Các dạng phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỷ trọng tâm trong đề thi đại học

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
1


CHỦ ĐỀ 10 : MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
PHẦN A: PHƢƠNG TRÌNH
Dạng I: Phƣơng pháp biến đổi trực tiếp
Sau khi tìm tập xác định của phương trình ta dùng phép bình phương hoặc lập phương hai vế
của phương trình ta được phương trình tương đương howacj phương trình hệ quả. Giải phương
trình này ta tìm được nghiệm thuộc tập xá định.
Ví dụ 1 : Giải phương trình

5 1 3 2 1 0x x x     

 
1

Giải
Điều kiện :
1x 

Phương trình
 
1
  
5 1 3 2 1 5 1 3 2 2 3 2 1 1x x x x x x x x              

       
2
2
2
2 2 3 2 1 2 4 3 2 1 11 24 4 0
2
11
x
x x x x x x x x
x



              




2x
. Vậy nghiệm của phương trình là:
2x 
.
Ví dụ 2 : Giải phương trình

3 3 3
1 2 3 0x x x     

 
2

Giải
Phương trình
 
2


  
 
 
3 3 3 3 3
3
1 3 2 1 3 1 3 1 3 3 2x x x x x x x x x x                   

  
 
   
33
33
3 1 3 1 3 3 6 1 2 3 2x x x x x x x x x             
 
*


14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
2

            
32
1 2 3 2 2 1 3 2 0 2x x x x x x x x x

               

.Thay
2x 

vào phương trình
 
2
thấy đúng. Vậy nghiệm cuả phương trình là :
2x 
.
Chú ý: Phép biến đổi ra phương trình
 
*
là phép biến đổi “không tương đương” nên khi tìm
được
2x 
ta phải thử lại.
Bài tập : Giải các phương trình sau
1.
55xx  
. Đáp số:
5x 
.
2.
 

2
2 8 3 4x x x   
. Đáp số:
4x 
,
7x 
.
3.
10 3 4 2 2x x x    
. Đáp số: Phương trình vô nghiệm.
4.
33
1 1 2xx   
. Đáp số:
0x 
.
Dạng II: Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
Nhiều phương trình nếu dùng phương pháp biến đổi trực tiếp thì lời giải phức tạp hoặc không đi
đến kết quả. Để khắc phục tình trang đó ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp
đặt ẩn phụ gồn các bước cơ bản sau:
Bước 1: Đặt ẩn phụ, xác định điều kiện của ẩn phụ.
Bước 2: Chuyển phương trình đã cho về phương trình ẩn phụ. Giải phương trình ẩn phụ tìm
nghiệm thích hợp.
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn phụ.
Ta thường gặp các dạng đặt ẩn phụ cơ bản sau đây:
Ví dụ 1 : Giải phương trình

2
3 1 4 4 3 2x x x x       

 
1

Giải
Điều kiện :
13x

Đặt
31t x x   
với
0t 

22
2 2 4 3t x x    
, thay vào phương trình
 
1
ta có :

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
3

 
22
2
2 2 2 6 0
3

2
t
t t t t
t



        



2
2 4 3 2 2t x x x       
(Thỏa mãn).
Vậy nghiệm của phương trình là:
2x 
.
Chú ý: Dạng tổng quát của ví dụ 1 là phương trình:
  
a cx b cx d a cx b cx m      

(với
, , , ,a b c d m
là hằng số
,0dc
).
Cách giải: Đặt
t a cx b cx   
với
0t 

.
Ví dụ 2 : Giải phương trình

2
2 2 2 4 2 2x x x x       

 
2

Giải
Điều kiện :
2x 

Đặt
22x x t   
với
0t 
22
2 2 4t x x   
, thay vào phương trình
 
2
ta có :
2
1
2 0 2 2 2 2 4 2 0
2
t
t t t x x x
t



              



2x
.
Vậy nghiệm của phương trình là:
2x 
.
Chú ý: Dạng tổng quát của phương trình
 
2
là phương trình:
       
 
   
20m f x g x n f x g x m f x g x k

     

với
22
0mn

Cách giải : Đặt
   
t f x g x
.

Ví dụ 3 : Giải phương trình

 
23
2 3 2 3 8x x x   

 
3

Giải
Điều kiện :
2x 


14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
4

Phương trình
 
3 
 
   
 
22
2 2 4 2 2 3 2 2 4x x x x x x       

 

*

Do
2x 
không phải là nghiệm

20x
, chia 2 vế phương trình
 
*
ta được :
22
2 4 2 4
2 3 2 0
22
x x x x
xx
   
  

. Đặt
2
24
2
xx
t
x




với
0t 
, ta được phương trình sau
2
22
2
24
2 3 2 0 2 2 6 4 0
1
2
2
t
xx
t t t x x
x
t




           




3 13x  
.
Vậy nghiệm của phương trình là :
3 13x 
.

Chú ý: Dạng tổng quát của phương trình
 
3
là :
       
a.f . . . 0x b g x c f x g x  
với
0abc 
.
Cách giải :
- Nếu
   
00f x g x  
, kiểm tra trực tiếp.
- Nếu
 
 
 
 
 
00
g x g x
f x a b c
f x f x
    
, đặt
 
 
gx
t

fx

.
Ví dụ 4 : Giải phương trình

23
6 9 6 9
6
x
x x x x

     

 
4

Giải
Điều kiện :
9x 

Phương trình
 
4
6 9 3 9 3 23x x x

       

, đặt
9tx
với

0t 

2
9xt  
. Khi đó ta có phương trình:
 
2
6 3 3 32t t t    

 
*

Với
3t 
thì
 
*

2
4 73
12 32 0
8 25
tx
tx
tx


     




.
Với
03t
thì
 
*
2
4 2 13t t x     
.

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
5

Vậy nghiệm của phương trình là :
13x 
,
25x 
,
73x 
.
Chú ý: Dạng tổng quát của phương trình
 
4
là phương trình:
22
22x a b a x b x a b a x b cx m          

,với
, , ,a b c m
là hằng số,
0a 
.
Cách giải :
t x b
,
0t 
.
Bài tập : Giải các phương trình sau
1.
22
3 21 18 2 7 7 2x x x x     

HD: Đặt
2
77t x x  
, với
0t 
. Đáp số :
6x 
,
1x 
.

2.
  
1 4 1 4 5x x x x      

HD: Đặt
14t x x   
, với
0t 
. Đáp số :
0x 
,
3x 
.
3.
2
3 2 1 2 3 5 2 4 9x x x x x       

HD: Đặt
3 2 2t x x   
, với
0t 
. Đáp số :
2x 
.
4.
2
2 3 1 2 2 5 3 3 16x x x x x       

HD: Đặt
2 3 1t x x   
, với
0t 
. Đáp số :
3x 

.
5.
 
2 3 3
2 2 5 1x x x   

HD:
 
   
 
2
22
2
11
2 1 2 1 5 1 1 2 2 5
11
x x x
x x x x x x
x x x
  
          
  
.
Đặt
2
1
1
xx
t
x




với
0t 
. Đáp số :
5 37
2
x


.
6.
5
2 2 1 2 2 1
2
x
x x x x

       

HD: Đặt
1tx
, với
0t 
2
4
11
2
t

tt

    
. Đáp số :
3x 
,
1x 
.
Loại 2 : Dùng ẩn phụ đƣa về phƣơng trình tích
Ví dụ 1 : Giải phương trình

 
23
2 2 5 1x x x   

 
1

Giải

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
6

Điều kiện :
1x 

Phương trình
 
2
 
   
 
22
2 1 2 1 5 1 1x x x x x x        
. Đặt
2
1
1
xu
x x v




  


,
0
0
u
v



Ta có :

  
22
2
2( ) 5 2 2 0
2
uv
v u uv u v v u
vu


      



.
Với :
22
2 1 2 1 4 5 3 0u v x x x x x         

Vô nghiệm.
Với :
22
2 2 1 1 5 3 0v u x x x x x         
5 37
2
x


.
Vậy nghiệm của phương trình là:

5 37
2
x


.
Bài tập : Giải các phương trình sau
1.
22
7 25 9 2 35 7 2x x x x x      

HD:
22
7 25 9 7 2 2 35x x x x x       

   
2
3 11 22 7 2 5 7x x x x x      
 
   
 
22
3 5 14 4 5 7 5 5 14x x x x x x        
. Đặt Đặt
5ux
,
0u 
;
2
5 14v x x  

,
0v 
. Đáp số:
3 2 7x 
,
61 11137
18
x


.
2.
24
7 10 14 5 4x x x   

HD:
2 2 2 2
( 2 2) 5 ( 2 2)( 2 2) 6( 2 2) 0x x x x x x x x           
.
Đặt:Đặt
2
22u x x  
0u 
;
2
22v x x  
,
0v 
. Đáp số:
57

3
x


.
Loại 3 : Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Ví dụ 1 : Giải phương trình

 
22
1 2 3 1x x x x    

 
1

Giải

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
7

Đặt :
2
23x x t  
với
0t 
22
23x t x   

, Khi đó phương trình
 
1
trở thành :
        
22
1 2 2 1 2 1 0 1 2 0x t t x t x t x x t t              
2
1
t
tx






.
Với :
22
2 2 3 2 2 1 0 1 2t x x x x x           
.
Với :
2
1 2 3 1t x x x x       
Phương trình vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là:
12x 
.
Ví dụ 2 : Giải phương trình

 
22
10 3 1 1 6 3x x x x    

 
2

Giải
Đặt :
2
3tx
,
0t 
22
3xt  
. Thay vào phương trình
 
2
và thu gọn ta được
 
22
1 6 9 3 2 0t x t x x     
, Xem đây là phương trình bậc hai ẩn t
90
t
   
nên phương
trình có hai nghiệm phân biệt :
1 6 3

23
2
1 6 3
13
2
x
tx
x
tx


  




   


.
Với :
2
2
2
6 40
2 3 3 2 3
3
8
8 12 1 0
x

t x x x x
xx




        


  

.
Với :
2
2
1
1 3 3 1 3 1
3
4 3 1 0
x
t x x x x
xx



          


  


.
Vậy nghiệm của phương trình là :
6 40
8
x


,
1x 
.
Bài tập : Giải các phương trình sau
1.
 
22
3 1 3 1x x x x    


14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
8

HD: Đặt
2
1tx
. Đáp số :
22x 
.
2.

  
2 4 4 1 2 1 4x x x x x       

HD: Đặt
2
44t x x t    
 
2 1 4 1 2t x x x      

 
 
 
2
2
2 1 4 1 2 4 3 1 2
t
t t x x x x x              
.
Đáp số :
20 8 13
9
x


.
3.
 
22
2 4 2 2 8 4x x x x     

HD:
   
2
2 2 2 2
2 4 2 2 8 4 2 4 2 2 8 4x x x x x x x x

             


 
22
5 8 16 4 2 2 4 0x x x x      
 
*
. Đặt
2
22
4
24
2
t
t x x

   
, thay vào
phương trình
 
*
được :
 

2
5 8 2 16 32 0t x t x    
. Đáp số :Phương trình vô nghiệm.

Loại 4 : Đặt ẩn phụ chuyển phƣơng trình vô tỉ về hệ phƣơng trình vô tỉ
Ví dụ 1 : Giải phương trình

3
2 3 2 3 6 5 8 0xx    

 
1

Giải
Điều kiện:
6
5
x 
, Đặt :
3
32
65
xu
xv








, với
0v 
, ta có hệ phương trình
32
238
5 3 8
uv
uv





 
 
*
**

Từ
 
*
82
3
u
v


, thay vào
 

**
thu gọn ta được :
 
 
2
2 15 26 20 0u u u   
2u  


3
3 2 2 3 2 8 2x x x         
( Thỏa mãn điều kiện).
Vậy nghiệm của phương trình là :
2x 
.
Ví dụ 2 : Giải phương trình

22
4 5 1 2 1 9 3x x x x x      

 
2

Giải

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
9

Điều kiện:
1
4
1
x
x






, Đặt :
2
2
4 5 1
21
x x u
x x v

  


  


, với
0
0

u
v





, ta có hệ phương trình
22
93u v x
u v u v
  


  

22
22
0
4 5 1 2 1
56
1
4 5 1 1 2 1
65
x
u v x x x x
uv
x
x x x x




     










     


.
Vậy nghiệm của phương trình là:
0x 
,
56
65
x 
.
Ví dụ 3 : Giải phương trình

32
3
3 3 3 5 1 3x x x x    

 
3

Giải
Phương trình
 
3
 
3
3
1 3 3 5 2xx    
. Đặt :
3
3 5 1xy  
ta có:
 
 
3
3
1 3 5
1 3 5
xy
yx

  


  



Trừ vế theo vế của hai phương trình ta được :
        
22
1 1 1 1 3 0x y x x y y

        


 
3
32
1 3 5 3 4 0 1x y x x x x x           
,
2x 
.
Vậy nghiệm của phương trình là :
1x 
,
2x 
.
Bài tập : Giải các phương trình sau
1.
22
4 5 1 4 5 7 3x x x x     

Đáp số :
5 13
8
x



.
2.
3
11
1
22
xx   

HD: Đặt
3
11
,
22
x u x v   
. Đáp số :
17
2
x 
,
1
2
x 
.
3.
3 2 2
4
2 1 17 1xx    

HD: Đặt
32
2 1 ,xu
2
4
17 xv
. Đáp số :
1x 
.
4.
2
2 3 1 1x x x    


14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
10

HD: Đặt:
22
2
12
13
1
x a a b
a ab a
xb



   



  
  



. Đáp số :
24
25
x 
,
3
2
x 
.
5.
2
3 1 4 13 5x x x    

HD:
 
2
3 1 2 3 3x x x      
. Đặt :
3 1 2 3xy   
 

 
2
2
2 3 3 1
2 3 2 1
yx
x y x

   



   



Đáp số:
15 97
8
x


,
11 73
8
x


.
6.

32
3
3 5 8 36 53 25x x x x    

HD:
 
3
3
3 5 2 3 3x x x     
.Đặt :
3
3 5 2 3xy  
,Đáp số
53
,2
4
xx


.
Loại 5 : Đặt ẩn phụ là lƣợng giác ( Phƣơng pháp lƣợng giác hóa)
Ví dụ : Giải phương trình



22
1 1 1 2 1x x x    

 
1

Giải
Điều kiện:
11x  

Đặt :
sin ;
22
x t t


   


, ta có phương trình :
 
1 cos sin 1 2cost t t  

3 3 2
2 os 2cos sin sin
2 2 2 2 2
t t t t
c   
(vì
;
22
t






nên
os 0
2
t
c 
)


1
6
1
2
2
x
t
x
t



















Vậy nghiệm của phương trình là :
1x 
,
1
2
x 
.
Bài tập : Giải các phương trình sau
1.
   
33
22
1 1 1 1 2 1x x x x

       




14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.

11

HD: Đặt
 
os 0;x c t t

  
. Đáp số :
2
2
x 
,
1 2 2 2 1
2
x
  

.
2.
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
xx
xx
xx

    


HD: Đặt

 
2 os 0;x c t t

  
. Đáp số :
0x 
.
3.
2
3
2
9
x
x
x



HD: Đặt
 
3
0; ,
cos 2
x t t
t


   
. Đáp số :
32x 

.
Dạng III: Dùng biểu thức liên hợp
Nhân các biểu thức trong phương trình với biểu thức liên hợp thì xuất hiện nhân tử chung và ta
chuyển được phương trình đã cho về phương trình tích đơn giản hơn. Ta thường sử dụng các
biểu thức sau:
AB
AB
AB



;
AB
AB
AB




2
AB
AB
AB



;
2
AB
AB

AB




33
33
22
3
AB
AB
A AB B



;
33
33
22
3
AB
AB
A AB B




3
3
3

22
3
AB
AB
A AB B



;
3
3
3
22
3
AB
AB
A AB B




Sau đây ta xét một số ví dụ
Ví dụ 1 : Giải phương trình

2
2 5 2 1 2 13 0x x x     

 
1

Giải
Điều kiện:
5
2
x 
. Khi đó hương trình
 
   
 
2
1 2 5 1 2 1 2 2 9 0x x x        

   
  
2 3 2 3
2 3 3 0
2 5 1 1 1
xx
xx
xx

    
   
 
11
2 3 3 0
2 5 1 1 1
xx
xx


     

   



14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
12

3
11
30
2 5 1 1 1
x
x
xx





   

   


 

*

Với :
5
2
x 
ta có :
11
33
2 5 1 1 1
x
xx
   
   
nên phương trình
 
*
vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là :
3x 
.
Ví dụ 2 : Giải phương trình

22
12 5 3 5x x x    

 
2

Giải

Nhận xét :

22
5
12 5 3 5 0
3
x x x x       
,
Phương trình
 
2
 
22
12 4 3 2 5 3x x x      

   
22
2 2 2 2
4 4 2 2
3 2 0 2 3 0
12 4 5 3 12 4 5 3
x x x x
xx
x x x x

   
         

       



22
2
22
30
12 4 5 3
x
xx
xx





  

   

 
*

2 2 2 2
5 2 2 2 2
30
3
12 4 5 3 12 4 5 3
x x x x
x
x x x x

   
      
       

 
*
vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là :
2x 
.
Ví dụ 3 : Giải phương trình

2
3
5 1 9 2 3 1x x x x     

 
3

Giải
Điều kiện :
1
5
x 
, khi đó phương trình
 
3
 
2
3

( 5 1 2) 9 2 2 3 5x x x x        


14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
13

 
 
  
2
3
3
51
1
1 2 5
5 1 2
9 2 9 4
x
x
xx
x
xx


    

   

 
 
2
3
3
51
1 2 5 0
5 1 2
9 2 9 4
xx
x
xx


     



   


 
 
2
3
3
5 5 1 5 1
1 2 0 1
5 1 2

9 2 9 4
x
x x x
x
xx



      


   

.

Vậy nghiệm của phương trình là :
1x 
.
Ví dụ 4 : Giải phương trình

2
3
3 1 2 19 8 2 5x x x x     

 
4

Giải
Điềukiện:
1

3
x 
,phương trình
 
3 
 
   
2
3
2 2 1 3 1 2 2 19 8 0x x x x x x
   
         
   

 
 
 
   
2
2
2
2
2
3
3
2 14
20
1 3 1
2 2 19 8 (19 8)
x x x

xx
xx
xx
x x x x


    
  
     

 
   
22
2
2
3
3
1 2 14
20
1 3 1
2 2 19 8 (19 8)
x
x x x x
xx
x x x x



      


  
     

0
1
x
x






vì
   
2
2
3
3
1 2 14
20
1 3 1
2 2 19 8 (19 8)
x
xx
x x x x

  
  
     

với
1
3
x 
.
Vậy nghiệm của phương trình là :
0x 
,
1x 
.
Ví dụ 5 : Giải phương trình

22
2 9 2 1 4x x x x x      

 
5

Giải
Ta thấy :
   
 
22
2 9 2 1 2 4x x x x x      


14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.

14

4x 
không phải là nghiệm
Xét
4x 
, khi đó phương trình
 
5


22
22
28
4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
x
x x x x x
x x x x

        
    

Vậy ta có hệ:
22
2
22
0
2 9 2 1 2
2 2 9 6

8
2 9 2 1 4
7
x
x x x x
x x x
x
x x x x x



     


     



      




Thử lại thỏa mãn phương trình
 
5

Vậy phương trình có 2 nghiệm
8
0;

7
xx
.
Chú ý : Ví dụ 5 là phương pháp đưa về hệ tạm
Nếu phương trình vô tỉ có dạng
A B C
, mà :
A B C



ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của
x
. Ta có thể giải như sau :
AB
C A B
AB


   

, khi đó ta có hệ:
2
A B C
AC
AB






  





Bài tập : Giải các phương trình sau
1.
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x      

HD:
 
31
5 3 1 0
3 1 6 1
xx
xx

     

  

. Đáp số:
5x 
.
2.
 
3 2 2 2 6x x x    

HD:
 
 
3 2 6 3 2 4 0x x x

      

. Đáp số:
3x 
,
11 3 5
2
x


.
3.
2
3
2 11 15 3 4 4x x x   

HD:
  
 
 
2
3
3
12 3

3 2 5
4 4 2 4 4 4
x
xx
xx

   
   
. Đáp số:
3x 
.
4.
2
2 3 4 3 5 9 6 13x x x x     


14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
15

HD:
 
2
23
10
3 4 2 5 9 3
xx
x x x x


    

     

. Đáp số:
0x 
,
1x 
.
5.
11
2
13
x
x
xx


  

HD:
1
1 2( 1)
13
x
x
xx

  

  
. Đáp số:
1x 
.
Dạng IV: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số và bất đẳng thức
Nhiều khi ta gặp các phương trình mà dùng phương pháp : biến đổi trực tiếp, đặt ẩn phụ hay
nhân liên hợp thì cách giải sẽ phức tạp hoặc không đi đến kết quả cuối cùng. Khi đó phương
pháp dùng hàm số và bất đẳng thức lại tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn, việc tìm nghiệm
sẽ dễ dàng hơn rất nhiều.
Loại 1 : Dùng tính đơn diệu của hàm số

Cho hàm số
 
y f x
đơn điệu trên
D
khi đó ta có các kết quả sau :

 
f x m
có nghiệm duy nhất.


   
f x f y x y  
.


 
 

0
0
f x m
xx
f x m








là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 1 : Giải phương trình

 
32
3 4 2 3 2 3 1x x x x x     

 
1

Giải
Điều kiện :
1
3
x 
, khi đó phương trình
     

 
3
3
1 1 1 3 1 3 1x x x x       
. Xét hàm
số đặc trưng :
 
3
f t t t
với
0t 
,
 
2
' 3 1 0f t t  
 
ft
: là hàm đồng biến trên


0;
.
Ta có :
 
 
1 3 1f x f x  
2
0
1 3 1 0
1

x
x x x x
x


       



.
Vậy nghiệm của phương trình là :
0x 
,
1x 
.
Ví dụ 2 : Giải phương trình

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
16




 


22

3 2 9 3 4 2 1 1 0x x x x x       

 
2

Giải
Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là :
1
0
2
x  
, khi đó
Phương trình
       
22
2 3 2 3 3 2 1 2 1 3 2x x x x
   
         


   
.
Xét hàm
 


2
23f t t t  
với
0t 

 
2
2
23
' 2 0
3
t
ft
t

   

với
0t
 
ft
là hàm
đồng biến trên
 
0;
. Ta có :
   
3 2 1 3 2 1f x f x x x      
1
5
x  
.
Vậy ngiệm của phương trình là :
1
5

x 
.
Ví dụ 3 : Giải phương trình

3 2 2 3 3
2 10 17 8 2 5x x x x x x     

 
3

Giải
Nhận xét
0x 
không phải là nghiệm của phương trình
 
3
nên chia hai vế cho
3
x
ta được :
3
2 3 2
10 17 8 5
2 2 1
x x x x
     
. Đặt
1
y
x


với
0y 
3 2 2
3
8 17 10 2 2 5 1y y y y     

   
 
3
22
3
2 1 2 2 1 5 1 2 5 1y y y y       
. Xét hàm số :
   
32
2 ' 3 2f t t t f t t    

 
ft
là hàm đồng biến. Ta có :
 


22
33
2 1 5 1 2 1 5 1f y f y y y      

 
2

17 97
17 97
16
12
8 17 6 0
17 97 17 97
16 12
y
x
y y y
yx










     









Vậy nghiệm của phương trình là:
17 97
12
x


,
17 97
12
x


.

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
17

Bài tập : Giải các phương trình sau
1.
2
4 1 4 1 1xx   

Đáp số:
1
2
x 

.
2.
68
6
32xx



Đáp số:
3
2
x 
.
3.
 
2
21
2 1 3 2
2
x
xx

   

HD: Xét hàm số
 
 
2
21
2 1 3 2

2
x
f x x x

    
, với
13
;
22
x





 
 
 
'
11
( ) 2 2 1 1 0
2
(2 1) 3 2 2 1 3 2
f x x x
x x x x


     

    


nên phương
trình đã cho có tối đa 2 nghiệm. Đáp số:
1
2
x 
,
3
2
x 
.
4.
32
3
15 78 144 5 2 9x x x x    

HD:
   
3
3
5 5 5 2 9 5 2 9x x x x       
. Đáp số:
4x 
,
11 5
2
x


.

5.
3
3
8 4 1 6 1x x x   

HD:
 
3
3
2 2 6 1 6 1x x x x     
. Đáp số:
os
9
xc


,
5
os
9
xc


,
7
os
9
xc



.
Loại 2 : Dùng bất đẳng thức
 Xét phương trình
   
f x g x
xác định trên
D
nếu
   
   
f x h x
g x h x







, với
xD
thì
   
   
   
f x h x
f x g x
g x h x









.
 Ngoài bất đẳng thức Cô Si, ta thường áp dụng các bất đẳng thức cơ bản sau :

2
A A A
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0A
.

2
0A 
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0A 
.

A B A B  
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0AB 
.

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.

18


u v u v  
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
u
và
v
cùng hướng.
Ví dụ 1 : Giải phương trình

2
4 6 10 27x x x x     

 
1

Giải
Điều kiện :
46x
. Theo Cô Si ta có:
 
4 1 3
4 4 1
22
xx
xx
  
    
;

 
6 1 5
6 6 1
22
xx
xx
  
    

4 6 2xx    
.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
41
5
61
x
x
x






.
Mặt khác :
 
2
2
10 27 5 2 2x x x     
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

5x 
.
Vậy nghiệm của phương trình là :
5x 
.
Ví dụ 2 : Giải phương trình

 
2 2 2
19 7 22 28 13 43 37 3 3 3x x x x x x x         

 
2

Giải
Nhận xét :
2
A A A
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0A 
.
Ta có:
2
2
1 75 75 5 3
19
2 4 4 2
x x x

      



.
       
2 2 2
2
7 22 28 2 1 3 3 3 3 3 3 3 3x x x x x x x           
.
2 2 2
2
1 7 7 7 7
13 43 37 3 2 3 2 3 2 3 2
2 2 2 2 2
x x x x x x x
       
           
       
       
.
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được :

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
19

 
2 2 2
5 3 7

19 7 22 28 13 43 37 3 3 3 2
22
x x x x x x x x

            


 
3 3 3x
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
1
0
2
2 1 0
1
30
2
7
20
2
x
x
x
x
x







  







.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là :
1
2
x 
.
Ví dụ 3 : Giải phương trình

22
2 2 2 2 2 2x x x x     

 
3

Giải
Phương trình
     
22
3 1 1 1 1 2 2xx      
. Xét :
 

1;1ux
,
 
1 ;1vx
 
2;2uv  
 
2
11ux   
,
 
2
11ux  
,
22uv
. Phương trình
 
3
trở
thành
u v u v   
khi
u
và
v
cùng hướng
11
0
11
xx

x

   
.
Vậy nghiệm của phương trình là :
0x 
.
Bài tập : Giải các phương trình sau
1.
2
4 6 10 27x x x x     

HD:
2VT 
;
2VP 
. Đáp số :
5x 

2.
2
3
2 11 21 3 4 4x x x   

HD:
3VP x
. Đáp số :
3x 
.

3.
 
2 2 2 2
17 1
13 6 10 5 13 17 48 36 36 8 21
22
x x x x x x x x          

HD:
3
6
2
VT x
;
3
6
2
VP x
. Đáp số :
3
2
x 
.
4.
2
1 3 2 1x x x x    

HD: Xét :
 
1;1ux

,
 
1 ;1vx
. Đáp số :
1x 
,
12x 
.

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
20

5.
4 3 3
16 5 6 4x x x  

HD:
2
4 4 3VP x x  
. Đáp số :
1
2
x 
.
6.
3
4 1 8 1 1xx   

Đáp số:
1
2
x 
.
PHẦN B: BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Dạng I: Phƣơng pháp biến đổi trực tiếp
Ta thực hiện theo các bước sau đây
 Bước 1: Tìm tập xác định của bất phương trình.
 Bước 2: Bình phương, lập phương bất phương trình đã cho biến đổi, ta được bất phương
trình đơn giản hơn và tìm được nghiệm của bất phương trình này.
 Bước 3: Kết hợp tập xác định suy ra nghiệm của bất phương trình.
Chú ý : Các bất phương trình cơ bản

   
 
 
   
2
0
0
gx
f x g x f x
f x g x




  








   
 
 
 
   
2
0
0
0
gx
fx
f x g x
gx
f x g x


























       
0f x g x f x g x   

Ví dụ 1 : Giải bất phương trình

5 2 3 2x x x    

 
1

Giải
Điều kiện :
 
5

2*
2
x  
, khi đó bất phương trình
 
1
tương đương với bất phương trình

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
21

  
 
2
2
2
2 3 0
2 3 0
5 2 3 2 5 2 3 2 2 11 15 2 3
2 11 15 2 3
x
x
x x x x x x x x
x x x






             




   




2
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2 6 0
x
x
x
x
xx
















  





  



, kết hợp với điều kiện
 
*
, ta có:
22x  
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là



2;2D 
.
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình

5 1 1 2 4x x x    

 
2

Giải
Điều kiện :
 
2*x 
, bất phương trình
 
2 5 1 2 4 1x x x     

     
    
2
20
5 1 3 5 2 1 2 4 1 2 4 2
1 2 4 2
x
x x x x x x x
x x x




            

   



2
10 0 0 10x x x     
, kết hợp với
 
*
ta có :
2 10x
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là


2;10D 
.
Bài tập : Giải các bất phương trình sau
1.
 
2
2 16
7
3
33
x
x

x
xx


  

. Đáp số:
10 34x 
.
2.
3 2 8 7x x x    
. Đáp số :
45
67
x
x





.
3.
1
31
2
xx   
. Đáp số :
8 31
1

8
x

  
.

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
22

4.
2 4 3
2
xx
x
  

. Đáp số:
0
12
x
x





.

5.
2
51 2
1
1
xx
x



. Đáp số:
1 1 52
1 52 5
x
x

   

    


.
Dạng II: Phƣơng pháp nhân liên hợp
Ta cần chứ ý các công thức sau:

AB
AB
AB






2
AB
AB
AB





33
33
22
3
AB
AB
A AB B





3
3
3
22
3
AB

AB
A AB B



.
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình

 
2
2
2
21
3 9 2
x
x
x



 
1

Giải
Điều kiện :
9
9 2 0
2
9 2 3
0

x
x
x
x














 
*

Bất phương trình
 
 
2
2
2
2 3 9 2
1 21 18 2 6 9 2 2 42
4

xx
x x x x
x

        

7
9 2 4 9 2 16
2
x x x       
. Kết hợp với
 
*
ta được tập nghiệm của bất phương
trình là:
97
;0 0;
22
D
   
  
  

   
.
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.

Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
23


11x x x   

 
2

Giải
Điều kiện :
11x  

Bất phương trình
   
   
2 1 1 1 1 1 1 2x x x x x x x x x            

 
*

Nếu
0x 
thì
 
*
luôn đúng.
Nếu
0x 
thì

 
22
* 1 1 2 1 1 2 1 4 1 1x x x x x x              
luôn
đúng.
Nếu
0x 
thì
 
* 1 1 2xx    
vô lí vì
1 1 2xx   
luôn đúng.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
 
0;1D 
.
Bài tập : Giải các bất phương trình sau
1.
 
2
4
11
x
x
x


. Đáp số:
18x  

.
2.
2 1 2 2x x x    
. Đáp số:
7 32 2x  
.
3.
2
1 1 4
3
x
x


. Đáp số:
1
0
2
1
0
2
x
x

  







.
4.
21x x x   
. Đáp số:
2 3 3
3
x


.
5.
2
1 2 1
29
x
x
x
  

. Đáp số:
45
0
8
x
.
Dạng III: Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
Ta thực hiên theo các bước sau
 Bước 1: Chọn ẩn phụ thích hợp, tìm điều kiện của ẩn phụ.
 Bước 2: Chuyển bất phương trình đã cho về bất phương trình ẩn phụ, giải bất phương

trình ẩn phụ, tìm nghiệm của ẩn phụ.
 Bước 3: Từ tập nghiệm của bất phương trình ẩn phụ suy ra tập nghiệm của bất phương
trình đã cho.

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
24

Ví dụ 1 : Giải bất phương trình

2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x       

 
1

Giải
Điều kiện :
6
7
x 

Bất phương trình
 
 
2
1 7 7 7 6 7 7 7 6 182x x x x        

Đặt
7 7 7 6x x t   
với
0t 
, ta có bất phương trình
2
182 0 13t t t    

2
6
6
12
7
7 7 7 6 13
12
1183 7098
49 7 42 84 7
x
x
xx
x
x x x





     




   


6
6
7
x  
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
6
;6
7
D





.

Ví dụ 2 : Giải bất phương trình

51
5 2 4
2
2
xx
x
x

   

 
2

Giải
Điều kiện :
0x 

Đặt
11
2 . 2
22
t x x
xx
   
2t
;
22
11
1 2 2 2
42
t x x t
xx
      

Ta có :
22
2
1

5 2 2 4 2 5 2 0 2 2
1
2
2
t
t t t t t x
t
x



            




2 2 3
2
22
2 4 1 0
3
22
02
2
2
xx
xx
x
x




  



    




  






Vậy tập nghiệm của bất phương trình là :
33
0; 2 2;
22
D
   
    
   
   
.

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
25

Ví dụ 3 : Giải bất phương trình

2
1 1 2
4
x
xx    

 
2

Giải
Điều kiện :
11x  

Đặt
 
cos 0;x t t

  
, ta có bất phương trình :
 
2
2
2

3 2 2 1 2
4
x
x

    



22
22
2 4 2
os 7 sin
2 2 1 os 2 2 2sin sin 14sin 32sin 17 0
44
c t t
c t t t t t
   

            
   
   

 
 
2
2
sin 1 sin 2sin 17 0t t t    
luôn đúng với
 

0;t


.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
 
1;1D 
.
Bài tập : Giải các bất phương trình sau
1.
31
3 2 7
2
2
xx
x
x
   
. Đáp số:
8 3 7
2
8 3 7
0
2
x
x











.
2.
13
1
2
xx
xx



. Đáp số:
10
12
x
x
  




.
3.
  
4

2 3 2 2 3 3 2 2x x x x     
. Đáp số:
2
2 34
3 47
x
x






.
4.
   
 
2
2
9 1 3 7 1 3 4x x x    
. HD: Đặt
34tx
. Đáp số:
4
1
3
x   
.
5.
 

2
1 3 2 3 2 2x x x x      
. HD: Đặt
1; 3u x v x   
. Đáp số:
5x 
.
Dạng IV: Phƣơng pháp chia tập xác định
 Bất phương trình có tập xác định
D
, việc giải bất phương trình trên tập
D
gặp khó
khăn, khi đó ta chia
1 2 3

n
D D D D D   
.