Tải bản đầy đủ (.pdf) (51 trang)

KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC pptx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (610 KB, 51 trang )




PHNG PHÁP VÀ K THUT IN HÌNH
TRONG TÍNH PHÂN

Nguyn Vn Cng, THPT M c A, Hà Ni
T: 0127.233.45.98 - 04.33.741.526
Email:
ng ti ti

Phép tính tích phân là mt phn quan trng ca gii tích toán hc nói riêng
và trong Toán hc nói chung,không nhng nh là mt đi tng nghiên cu
trng tâm ca gii tích mà còn có đc lc trong nghiên cu lý thuyt v phng
trình, lý thuyt v hàm s.
Ngoài ra phép tính vi phân còn đc s dng nhiu trong các môn khoa
hc khác nh Vt lý Thiên vn hc ,c hc nó nh là mt gii pháp hu hiu
ca các mô hình toán hc c th Hc sinh lp 12 Khi ôn thi tt nghip ,Thi đi
hc –cao đng thng rt gp khó khn khi gii các bài tp trong chuyên đ này.
Nhng ngi mi hc và làm quen vi Tích phân thng cha hiu rõ t tng
cng nh phng pháp tip cn lý thuyt , đc bit là khâu vn dng lý thuyt vào
gii các bài toán thc t.
Bài vit này xin nêu ra mt s phng pháp đin hình thng đc dùng đ
gii các bài tp v tích phân trong các k thi i hc. Ni dung bài vit cng là ni
dung c bn ca đ tài sáng kin kinh nghim ca tôi trong nm hc 2010 đã đc
S giáo dc và đào to Hà Ni xp loi B.
Mc dù đã tham kho mt s lng ln các tài liu hin nay đ va vit,
va đi ging dy trên lp đ kim nghim song vì nng lc và thi gian có hn
,rt mong đc s đóng góp ca các bn đng nghip và nhng ngi yêu thích
môn toán đ chuyên đ này có ý ngha thit thc hn trong nhà trng ,góp phn
nâng cao hn na cht lng Giáo dc ph thông.Giúp các em có phng pháp -


k nng khi gii các bài Tích phân trong các k thi cui cp đng thi bc đu
trang b cho các em kin thc v phép tính vi phân –Tích phân trong nhng nm
đu hc đi hc. Xin vui lòng gii thiu vi các bn đng nghip và nhng ngi
yêu toán chuyên đ :
“Phng pháp và k thut đin hình tính tích phân”


MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 2

I - K thut bin đi vi phân (đa v bng nguyên hàm)

Khi s dng k thut bng nguyên hàm ta cn lu ý đn mt s phép toán vi phân
đn gin sau:
f (x)dx=dF(x) ,Trong đó F(x)- là mt nguyên hàm ca hàm s f(x)
dx=
1
( )
d ax b
a
+
x
k
dx=d
1
( )
1
k
x

a
k
+
+
+
sinxdx=d(-cosx)
2
2 2
( )
dx d x x a
x a x x a
+ +
=
+ + +
;
2
(t anx)
os
dx
d
c x
= ;
2
( cot x)
sin
dx
d
x
= -


Mt s công thc suy rng sau
cos
sin
kx
kxdx c
k
= - +
ò
;
sin
os
kx
c kxdx c
k
= +
ò
;
kx
kx
e
e dx c
k
= +
ò
;
,
ln
kx
kx
a

a dx c k R
k a
= + " Î
ò

Ví d 1( HA -2010) Tính tích phân :
1
2 x 2 x
x
0
x e 2x e
I dx
1 2e
+ +
=
+
ò

Li gii
1 1 1
2
2
0 0 0
(1 2 )
1 2 1 2
x x x
x x
x e e e
I dx x dx dx
e e

+ +
= = +
+ +
ò ò ò
;
1
1
3
2
1
0
0
1
;
3 3
x
I x dx
= = =
ò

1
2
0
1 2
x
x
e
I dx
e
=

+
ò
=
1
0
1 (1 2 )
2 1 2
x
x
d e
e
+
+
ò
=
1
0
1
ln(1 2 )
2
x
e
+ =
1 1 2
ln
2 3
e
+
æ ö
ç ÷

è ø
Vy I =
1 1 1 2
ln
3 2 3
e
+
æ ö
+
ç ÷
è ø

Ví d 1( HA -2009) Tính tích phaân
2
3 2
0
I (cos x 1)cos xdx
p
= -
ò

Li gii
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2
2
3 2 5 2 4 2
1
0 0 0 0 0
2 2 2 2 2

2 2
2 4 2
2
0 0
0 0 0 0 0
cos 1 cos cos cos , cos cos 1 sin cos
8 1 cos2 1 1 1 1
1 2sin sin (sinx) , cos cos2 sin 2
15 2 2 2 2 4 4
I x xdx xdx xdx I x xdx x xdx
x
x x d I xdx dx dx xdx x x
p p p p p
p p p p p
p p
p
= - = - = = - =
+
- + = = = = + = + =
ò ò ò ò ò
ò ò ò ò ò

Tính tích phân
3
x
1
dx
I
e 1
=

-
ò

Ví d 3 HKD -09) Tính tích phân
3
x
1
dx
I
e 1
=
-
ò

Li gii
3 3 3
x x x
3
x
x x
1
1 1 1
1 e e e
I dx dx dx 2 ln e 1
e 1 e 1
- +
= = - + = - + -
- -
ò ò ò


MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 3


3 2
2 ln(e 1) ln(e 1) 2 ln(e e 1)
= - + - - - = - + + +

Ví d 1 (HKB -03) Tính I=
/4
2
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x
p
-
+
ò

Li gii:
Nhn thy d(1+sin2x)=
1
os2
2
c xdx
, 1-2sin

2
x=cos2x nên ta có
I =
/4 /4 /4
2
/4
0
0 0 0
1 2sin os2 1 (1 sin 2 ) 1 1
ln(1 sin 2 ) ln 2
1 sin 2 1 sin 2 2 1 sin 2 2 2
x c x d x
dx dx x
x x x
p p p
p
- +
= = = + =
+ + +
ò ò ò

Ví d 2 (H KA-06)
J =
/4
2 2
0
sin 2
os 4sin
x
dx

c x x
p
+
ò

Li gii:
Nhn thy d(cos
2
x+4sin
2
x)=sin2xdx do đó ta có

J=
/4
2 2
0
sin 2
os 4sin
x
dx
c x x
p
+
ò
=
/4
2 2
2 2
0
1 ( os 4sin )

3
os 4sin
d c x x
dx
c x x
p
+
+
ò
=
1
2 2 /4
2
0
2
( os 4sin )
3
c x x
p
+
=
1
( 10 2)
3
-

Ví d 3
Tính K=
3
2

1
ln 2 ln
e
x x
dx
x
+
ò
(HKB-04)
Li gii:
K =
3
2
3 2 2 1/3 2
3
3
1 1 1
ln 2 ln 1 3
2 ln ln (ln ) (2 ln ) (2 ln ) (3 3 2 2)
2 8
e e e
x x
dx x xd x x d x
x
+
= + = + + = -
ò ò ò

Nhn xét 1:


- Các tích phân trên có th gii đc bng phng pháp đi bin s song nu ta
khéo léo bin đi vi phân thì đa đc v các tich phân c bn .
-Dùng phép bin đi vi phân đa v bng nguyên hàm c bn giúp Li gii ngn
gn,so vi Phép đi bin s thì không phi đi cn ,Trong gii toán thêm mt
phép toán là thêm mt nguy c sai. đ làm rõ u đim ca phng pháp này ta xét
bài toán sau

Ví d 4: Tính L=
( )
ln ( ) ( )
( )( )
b
x a x b
a
dx
x a x b
x a x b
+ +
é ù
+ +
ë û
+ +
ò
vi b>a>0
Li gii:
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 4

Vit li L=

( )ln( ) ( )ln( )
( )( )
b
a
x a x a x b x b
x a x b
+ + + + +
+ +
ò
dx =
ln( ) ln( )
b
a
x a x b
dx
x b x a
+ +
é ù
+
ê ú
+ +
ë û
ò
=
[ ]
ln( ) ln( ) ln( ) ln( )
b
a
x x d x b x b d x a
+ + + + +

ò

=
[ ]
ln( )ln( ) ln( )ln( ) ln ln( )
b
b
a
a
a
d x b x b x a x b a b
b
+ + = + + = +
ò

Nhn xét 2

-ây là mt trong nhng bài toán đin hình minh ho tính u vit cho phng
pháp s dng phng pháp bin đi vi phân đa v bng nguyên hàm
-Mt trong nhng phng pháp c bn nht đ tính tích phân lng giác đó là bin
đi
Vi phân đa v bng nguyên hàm c bn,khi đó ta cn dùng các công thc bin
đi lng giác nh h bc ,nhân đôi ,tng thành tích ta xét các ví d sau

Ví d 5 Tính
M=
/2
sin
0
( cos ) cos

x
e x xdx
p
+
ò
(H K D-05)
Li gii:
M=
/2 /2
sin
0 0
1 os2
(cos ) 1
2 4
x
c x
e d x dx e
p p
p
+
+ = - +
ò ò


Ví d 6: Tính
N=
/3
2 2
/4
sin

os 1 os
xdx
c x c x
p
p
+
ò

Li gii:

N=
/3 /3 /3
2 1/2 2
2 2
2
/4 /4 /4
2
sin tan 1
(2 tan ) (2 tan ) 5 3
2
1
os 2 tan
os cos 1
os
xdx xdx
x d x
c x x
c x x
c x
p p p

p p p
-
= = + + = -
+
+
ò ò ò

Ví d 7: Tính P=
2
3
1
2
0
1
x
x
e dx
x
+
+
ò

Li gii:
P=
2 2 2 2
3 3 3
1
1 1 2 2 1 2 1 3 2
2
1

2
0 0 0
(1 ) (1 ) (1 )
1
x x x x
x
e dx e x d x dx e d x e e e
x
-
+ + + +
= + + = + = = -
+
ò ò ò


MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 5

Mt s sai lm thng gp khi tính tích phân bng phng pháp bin đi vi
phân
Víd 7 : Tính I=
0
1 sinx
dx
p
+
ò

Nhn xét: Hc sinh khi gii thng gp sai lm sau

t x=tanx/2
dx=
2
2
0
2 2 2
0 0 0
2 1 1 2 2 2 2
; 2 (1 ) ( 1)
1 1 sinx (1 ) 1 sinx (1 ) tan 0 1
t an 1 tan 1
2 2
dt t dx dt
t d t
x
t t t
p p p
p
p
-
+ - - -
= Þ = = + + = = -
+ + + + + +
+ +
ò ò ò

Do tan
2
p
không xác đnh nên tích phân trên không tn ti.

Nguyên nhân sai lm :Do tích phân là tng vô hn các hng t nên
2
0
tan 1
2
p
-
Þ
+

vn đc tha nhn.
Li gii đúng: I=
0
1 sinx
dx
p
+
ò

=
0
1 os( )
2
dx
c x
p
p
+ -
ò
=

0
2
0
( )
2 4
tan( ) tan tan( )
2 4 4 4
1 os ( )
2 4
x
d
x
x
c
p
p
p
p p p
p
-
= - = - -
+ -
ò
=2
Qua bài toán trên ngi thy nên lu ý vi hc sinh khi đi bin s trc ht phi
ngh ngay ti phép đi bin có tn ti hay không?( cng ging nh khi ta gii
phng trình cn đt điu kin cho n s nu có)
Ví d 8 I=
4
2

0
6 9
x x dx
- +
ò

Nhn xét:
Hc sinh thng mc sai lm sau
I=
4
2
0
6 9
x x dx
- +
ò
=
4 4
2
2 2 4
0
0 0
( 3)
( 3) ( 3) ( 3) 4
2
x
x dx x d x
-
- = - - = = -
ò ò


Nguyên nhân sai lm là phép bin đi
2
( 3) 3
x x
- = -
không tng đng đng
trên
[
]
0,4
vì |x-3|=
3;3 4
3 ;0 3
x x
x x
- £ £
ì
í
- £ £
î

Li gii đúng là
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 6

I=
4
2

0
6 9
x x dx
- +
ò

=
4 4 4 3 4
2 2
0 0 0 0 3
( 3) ( 3) ( 3) | 3| ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)
x dx x d x x d x x d x x d x
- = - - = - - = - - - + - -
ò ò ò ò ò

=
2 2
3 4
0 0
( 3) ( 3)
| 5
2 2
x x- - -
+ =

Ví d 9: Tính I=
2
2
2
( 1)

dx
x
-
+
ò

Hc sinh thng mc sai lm khi bin đi nh sau

I =
2
2
2
( 1)
dx
x
-
+
ò
=
2
2
2
( 1)
( 1)
d x
x
-
+
+
ò

=
2
2
1 4
|
1 3
x
-
- -
=
+

Nguyên nhân sai lm là do hàm s y=
2
1
( 1)
x +
gián đon trên đon
[
]
2;2
- nên
không s dng đc công thc NeW ton –leibnitz nh trên.
Li gii đúng là :
hàm s y=
2
1
( 1)
x +
không xác đnh ti x=-1

[
]
2;2
Î - nên gián đon trên
[
]
2;2
- ,do vy
tích phân trên không tn ti.

Tng kt:
 s dng đc thành tho k thut s dung bng nguyên hàm hc sinh hiu
đc bn cht ca các công thc,phi hiu công thc trong trng thái đng.khi
đng trc bài toán tính tích phân cn xem xét k biu thc di du tích phân,nu
có ý tng s dng bng nguyên hàm thì đnh đa v công thc nào trong bng
nguyên hàm.  làm đc điu đó hoc sinh phi hiu k bn cht ca công thc,
có t duy trong bin đi vi phân mt cách logic, đ tip nhn nó mt cách t
nhiên ,không gng ép . Chng hn khi hng dn hc sinh s dung công thc
1
1
x
x dx c
a
a
a
+
= +
+
ò
, hc sinh phi hiu giá tr x trong hai s

x
a
và dx là ging nhau,
nu thay x trong hai s đó bi mt biu thc khác th công thc trên vn đúng ví
d thay

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 7

X = 2t+1 thì ta có
1
(2 1)
(2 1) (2 1)
1
t
t d t c
a
a
a
+
+
+ + = +
+
ò
,Nhng nu ch có dng
(2 1)
t dt
a
+

ò
mun s dng đc công thc trên phi bin đi dt =
1
(2 1)
2
d x
+
.ngha
là ta đã bin đi vi phân. Tng t đi vói các nguyên hàm khác.
 luyn tp k thut trên ta có th làm tng t các bài tp sau
1/I=
4
3
sinx
dx
p
p
ò
; 2/J=
4
3
cos
dx
x
p
p
ò
; 3/K=
32 3
1

x x dx
-
ò
;4/L=
tan x
dx
ò
;5/ M=
4
dx
cos x
ò


6/N=
2 4 2
1 os 1
x
x c x
+ +
ò
; 7/ P=
2
1
ln
(ln 1)
e
x
x x
+

ò
; 8/Q=
2001
2 1002
(1 )
x dx
x+
ò
;

9/y=
2
2 2
0
sin x cos
3sin 4 os
xdx
x c x
p
+
ò
; 10/T=
3
3 5
6
sin os
dx
xc x
p
p

ò
; 11/H=
4
6 6
0
sin 4
sin os
xdx
x c x
p
+
ò





II-Tính tích phân bng cách đa biu thc di du tích phân v do hàm
ca mt hàm s
khi s dng k thut này ta chú ý đn các tính cht quan trng sau
· ( UV)

=UV

+U

V
·
'
' '

2
U U V UV
V V
-
æ ö
=
ç ÷
è ø

·
(
)
(
)
' '
U V UV dx d UV
+ =
ò ò

·
' '
2
U V UV U
dx d
V V
-
æ ö
=
ç ÷
è ø

ò ò

Ví d 1 I=
2
1
2 ln
ln
e
e
x dx
x
æ ö
+
ç ÷
è ø
ò
(H NT-00)
Li gii:
Ta có
' ' '
1
2 ln 2 ln .( ) (2 ln ) (2 ln )
ln
x x x x x x x
x
+ = + =

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, H Ni - www.MATHVN.com 8


Do ú I=
2 2
2
2
1
2 ln (2 ln )= 2 ln 2 2 2
ln
e e
e
e
e e
x dx d x x x x e e
x
ổ ử
+ = = -
ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ

Vớ d 2 J=
2
0
1 sinx
1 cos
dx
x
p
+
+

ũ
(H -Dc -00)
Li gii:
J=
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
2 2
0
1 2sin os
1 sinx 1
2 2
tan tan
1 cos 2 2
2 os 2 os
2 2
tan
2
x x x x x
x
x x
c
x x
e dx e dx e e dx d e
x x
x
c c
x
e e
p p p p

p p
ộ ự
+
ờ ỳ
+
ổ ử
= = + = =
ờ ỳ
ỗ ữ
+
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
ổ ử
=
ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ ũ ũ

Nhn xột :Ngoi cỏch gii trờn ta cũn cú th gii nh sau
Cỏch 2 Phõn tớch K=
2 2 2
1 2
0 0 0
1 sinx 1 sinx
1 cos 1 cos 1 cos
x x x
e dx e dx e dx K K
x x x
p p p

+
= + = +
+ + +
ũ ũ ũ

2 2 2 2
2
1 0
2
0 0 0 0
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
0 0
1 1
(tan ) tan tan
1 cos 2 2 2
2 os
2
sin sin
1 cos
2 os
2
x x x x x
x x
x x x
K e dx e dx e d e e dx
x
x

c
x x
e e dx e e dx K K e K K e
x
x
c
p p p p
p
p p
p p p p
= = = = -
+
= - = - - ị = + - =
+
ũ ũ ũ ũ
ũ ũ

Cỏch 3: Cú th t
2 2
(1 cos ) sinx
1 sinx
(1 cos ) (1 cos )
1 cos
x
x
x
du
u
x x
x

dv e dx
v e

ộ ự
+
+

= -
=
ù
ù
ờ ỳ
+ +

+
ớ ớ
ở ỷ
ù ù
=
=


dx
T ú ta cú K=
2 2
'
2 2
2 2
0
2 2 2

1 sinx (1 cos ) sinx 1 e
2 ( )
1 cos (1 cos ) (1 cos ) 2 (1 cos )
1
2 ( )
2 1 cos
x x x
x
o
o
x
o
x e e
e dx e dx
x x x x
e
e e
x
p p
p p
p p p
ộ ự
+ +
- - = - - =
ờ ỳ
+ + + +
ở ỷ
- - =
+
ũ ũ


Vớ d 3 K =
2
2
.
( 2)
x
x e
x +
ũ
dx
Li gii:
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 9

K =
2
'
2 2 2
'
. 4 4 2 1 1 1
4 4 ( ) ( )
( 2) ( 2) ( 2) 2 2
4 ( ) 4( )
2 2
x
x x x x x x
x x
x x

x e x x
dx e e dx e dx e e e dx
x x x x x
e e
e dx e C
x x
é ù
+ + -
é ù
= - = - = - +
ê ú
ê ú
+ + + + +
ë û
ë û
- = - +
+ +
ò ò ò ò
ò

 luyn tp ta tính các tích phân sau

I=
4
2 2
0
4 tan (1 tan )
2 2
x x
x x dx

p
é ù
+ +
ê ú
ë û
ò
HD: I=
2
tan
8 8
p p

J=
1
2
2
0
( 1)
( 1)
x
x e
dx
x
+
+
ò
HD: J=1
K=
2
sinx

0
(1 cos )
e x x dx
p
+
ò
HD: K=
2
e
p








III-K thut đi bin s
1/i bin s dng 1:

i bin s là mt trong nhng phng pháp quan trng nht đ tính nguyên hàm
và tích Phân .C s ca phng pháp đi bin s dng 1 là công thc sau

,
[ ( )] ( )
b
a
f u x u x dx
ò

=
( )
f u du
b
a
ò

Trong đó f(x) là hàm s liên tc và hàm s u(x) có đo hàm liên tc trên K sao
cho
f[u(x) ] xác đnh trên K và
( ), ( )
u a u b
a b
= =
.
Áp dng tính cht trên ta có quy tc đi bin sau
Xét tích phân
( )
b
a
f x dx
ò
. t t=V(x) khi đó ta bin đi f(x)dx=g(t)dt do đó
( )
b
a
f x dx
ò
=
( )

g t dt
b
a
ò

( ), ( )
u a u b
a b
= =

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, H Ni - www.MATHVN.com 10

Khi i bin s iu quan trng l chn c hm V(x) thớch hp sao cho tớch
phõn vi bin mi phi n gin hn so vi tớch phõn ban u ,v gn lin vi vic
i bin ú l phi i cn , ta xột mt s bi toỏn sau trc khi rỳt ra nhng kinh
nghim trong
vic la trn hm V(x).
Vớ d 0(HKB-2010): Tớnh tớch phõn I =
2
1
ln
(2 ln )
e
x
dx
x x+
ũ


( )
2
1
ln
2 ln
e
x
I dx
x x
=
+
ũ
;
1
ln
u x du dx
x
= ị =
( ) ( )
1 1
2 2
0 0
1 2
2
2 2
u
I du du
u
u u
ổ ử

= = -
ỗ ữ
ỗ ữ
+
+ +
ố ứ
ũ ũ

1
0
2
ln 2
2
u
u
ổ ử
= + +
ỗ ữ
+
ố ứ
( )
2
ln3 ln2 1
3
ổ ử
= + - +
ỗ ữ
ố ứ

3 1

ln
2 3
ổ ử
= -
ỗ ữ
ố ứ


Vớ d 1: Tớnh I=
2 3
2
5
4
dx
x x
+
ũ
(HKA-03)
Li gii: t t=
2
4
x
+
khi x=
5
,t=3 x=
2 3
,t=4. t
2
=x

2
+4 suy ra x
2
=t
2
-
4,tdt=xdx

I=
2 3
2
5
4
dx
x x
+
ũ
=
2 3
2 2
5
4
xdx
x x
+
ũ
=
4 4 4 4 4
2 2
3 3 3 3 3

1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) 1 ( 2)
( 4) 4 4 ( 2)( 2) 4 2 4 2
tdt dt t t d t d t
dt
t t t t t t t
+ - - - +
= = = - =
- - + - - +
ũ ũ ũ ũ ũ

4
3
1 2 1 5
ln ln
4 2 4 3
t
t
-
=
+
.
Nhn xột 1:
-Dng tng quỏt ca tớch phõn trờn l
2
( )
b
a
dx
mx n px qx c
+ + +

ũ
ngoi cỏch gii nh
trờn l t t=
2
px qx c
+ +
ta cũn cú th gii nh sau:
t mx+n=
1
t
. Sau ú chuyn tớch phõn trờn v bin mi t ta cng thu c kt qu
trờn
-i vi cỏc tớch phõn cú cha biu thc
( )
n
f x
ta thng ngh ti vic la chon
t=
( )
n
f x

( tr mt s trng hp s cú du hiu i bin s dng 2 s trỡnh by sau ).Ta xột
thờm mt s vớ d lm sỏng t

Vớ d 2 :
Tớnh (HKA-04)
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 11


J=
2
1
1 1
dx
x
+ -
ò

Li gii:
Thc hin phép biên đi t=
1
x
-
,x=1 thì t=o,x=2 thì t=1,t
2
=x-1 suy ra x=t
2
+1
2tdt = dx t đó ta có

2
1
1 1
dx
x
+ -
ò
=

1
2
0
( 1)2
1
t tdt
t
+
+
ò
=
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
4 ( 1) 11
[2 2 4 ] 2 2 4 4ln 2
1 1 3
d t
t t dt t dt dt
t t
+
- + - = - - = -
+ +
ò ò ò ò

Ví d 3:( HKB-04)
K=
1
1 3ln ln
e

x x
dx
x
+
ò

Li gii:
Nhn thy K=
1
1 3ln ln (ln )
e
x xd x
+
ò
do vy ta chn t=
1 3ln
x
+
, x=1,t=1,x=2,t=2
lnx=
2
1
2
t
-
và 2tdt=
3
dx
x
.Do đó

K=
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
ò
=
2 2 2
2
4 2
1 1 1
( 1)2 2 116
[ ]
3.3 9 135
t t
tdt t dt t dt
-
= - =
ò ò ò

Ví d 4: Tính L=
3
2
1
ln
ln 1
e

x
dx
x x +
ò
( thi d b KD-2005)
Li gii:
t t=
2 2
3
ln 1 ln 1 2 , 1 ln
2; 1 1
dx
x t x tdt t x
x
x e t x t
+ Þ = + Þ = - =
= Þ = = Þ =

L=
3
2
2
4 2
1 1
ln 76
2 ( 2 1)
15
ln 1
e
x

dx t t dt
x x
= - + = =
+
ò ò


Ví d 5:
Tính M=
4
7
3
3 4
0
1 1
x dx
x
+ +
ò

Li gii:
t t=
3
4
1
x
+
x=0,t=1,x=
4
7

,t=2.Ta có t
3
=x
4
+1 suy ra 3t
2
dt=4x
3
dx do đó
M=
4
7
3
3 4
0
1 1
x dx
x
+ +
ò
=
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
3 3 ( 1) 1 3 3 ( 1) 3 3 3
( 1) ( 1) ln
4 1 4 1 4 4 1 8 4 2
t dt t d t
t d t
t t t

+ - +
= = - - + = +
+ + +
ò ò ò ò

Nhn xét 2:
Do đc thù mt s tích phân phc tp ,trc khi đi bin s dng 1 đôi khi ta phi
bin
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 12

đi đ d nhn thy bin mi rõ hn
Ví d 6: Tính N=
2
11 4
1
1
dx
x x
+
ò

Li gii:
Bién đi N=
2
11 4
1
1
dx

x x
+
ò
=
1
13
0
4
1
1
dx
x
x
+
ò
t t=
5
2
4 4
4
2
1
1 1
1 1,
1
1
dx
x
suyra t dt
x x

x
-
+ = - =
+

Và t đó
2
4 5
2 2
13 4 4
1 1
( )
1
( 1)
2
1 1
dx
dx
x x
t dt
x x x
= = - -
+ +
,x=1,t=
17
2, 2, 2,
16
x x t= = =

N=

1
11 4
0
1
dx
x x
+
ò
=
17
16
4 2
2
1
( 2 1)
2
t t dt
- - +
ò
ta đa v tích phân quen thuc

Nhn xét 3
-Các tích phân cha các hàm s lng giác trc khi nhn din đc bin mi cn
có hng bin đi lng giác nh vào các công thc quen thuc nh:công thc
nhân đôi , h bc,tng thành tích ,
Ví d 7:
Tính L=
/4
0
sin( / 4)

sin 2 2(1 sinx cos )
x
dx
x x
p
p
-
+ + +
ò
(HKB-08)
Li gii:
Nhn xét :tích phân trên mi nhìn ta thy khó nhn din đc bin mi ta th
xem mu và t sô có mi qua h gì ?
sin2x+2(1+sinx+cosx)=1+2sinxcosx+2(sinx+cosx)+1=(sinx+cosx)
2
+
2(sinx+cosx)+1 =(sinx+cosx+1)
2
, d(sinx+cosx)=(cosx-sinx)dx=
-
2 sin( / 4)
x
p
-
dx
Do đó đt t=sinx+cosx khi đó đi cn ta có:
L=
/4
0
sin( / 4)

sin 2 2(1 sinx cos )
x
dx
x x
p
p
-
+ + +
ò
=
2
2
1
( 1)
2 4 3 2
2 ( 1) 4
d t
dt
t
+
- -
=
+
ò


Ví d 8
Tính P=
/6
4

0
tan
os2
x
dx
c x
p
ò
(HKA-08)
Li gii:
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 13

Nhn xét P=
/6
4
0
tan
os2
x
dx
c x
p
ò
=
/6
4
2 2
0

tan
os sin
x
dx
c x x
p
-
ò
=
/6
4
2 2
0
tan
(1 tan ) os
x
dx
x c x
p
-
ò
=
/6
4
2
0
tan (t anx)
(1 tan )
xd
x

p
-
ò

t tanx=t ,x=0thì t=0,x=
6
p
thì t=
1
3
.
Do đó P=
/6
4
0
tan
os2
x
dx
c x
p
ò
=
1
3
4
2
0
1
t

dt
t
-
ò
=

1 1 1
3 3 3
4
2
2 2
0 0 0
1 (1 ) 10 1
(1 ) ln(2 3)
1 1 2
9 3
t dt
dt t dt
t t
- -
= - + = - + +
- -
ò ò ò

Nhn xét 4
-khi tính tích phân dng
(tan )
os2
b
a

f x
dx
c x
ò
hoc
(tan )
sin 2
b
a
f x
dx
x
ò
ta vit nh sau
Cos2x=cos
2
x(1-tan
2
x); sin2x=2cos
2
xtan
2
x sau đó đt t= tanx thì
dt=
2
os
dx
c t
sau đó a v tích phân c bn.
-Bài toán tng quát ca bài trên là P=

4
tan
; ,
os2
a x
dx a b R
bc x
b
a
Î
ò


- Vi cánh khai thác trên ta có th gii quyt bài toán tng quát hn nh sau

P
1
=
4
2 2
tan
; , , ,
sin sin x cos os
a x
dx a b c d R
b x c x dc x
b
a
Î
+ +

ò
vi chú ý là
(bsin
2
x+csinx cosx+dcos
2
x)=(btan
2
x+ctanx+d)cos
2
x do đó ta chn t =tanx
- i vi các tích phân lng giác
(sinx,cos )
b
a
R x dx
ò
cha hai hàm lng giác
sinx,cosx ta có my điu quan trng sau
+ Nu l theo bc ca sinx thì nên chn t=cosx
+Nu l theo bc ca cosx thì nên đt t=sinx
+chn theo sinx và cosx thì đt t=tanx

Ví d 9: Tính Q=
/2
0
sin 2 cos
1 os
x x
dx

c x
p
+
ò
(HKB-05)
Li gii:
Bin đi
Q=
/2
0
sin 2 cos
1 os
x x
dx
c x
p
+
ò
=
/2
2
0
sin cos
2
1 os
x x
dx
c x
p
+

ò

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 14

t t=1+cosx (vì bc ca sinx l) suy ra dt=-sinxdx ,x=0thì t=
/ 2
p
,x=
/ 2
p
thì
t=1

Q=
/2
0
sin 2 cos
1 os
x x
dx
c x
p
+
ò
= Q=
2
2
1

( 1)
2ln 2 1
t
dt
t
-
= -
ò

Nhn xét 5:
-Tích phân trên có dng tng quát Q=
sin 2 cos
os
a x x
dx
b Cc x
b
a
+
ò
có hai cách đt
C1: t=b+ ccosx
C2: t=cosx
Ví d 10:
R=
/3
2
/4
sin 2sin xcos
dx

x x
p
p
-
ò

Li gii: Nhn xét bc ca sinx chn nên ta ngh ti cách đt t= tanx
R=
/3
2
/4
sin 2sin x cos
dx
x x
p
p
-
ò
= R=
/3
2 2
/4
1
(tan 2 t anx) os
dx
x c x
p
p
-
ò

=
/3
2
/4
(t anx)
(tan 2 t anx)
d
x
p
p
-
ò

đt t=tanx ta có R=
/3
2
/4
(t anx)
(tan 2 t anx)
d
x
p
p
-
ò
=
3 3
2
1 1
1 1 1 1 2

( ) ln(1 )
2 2 2 2
3
dt
dt
t t t t
= - = -
- -
ò ò

Nhn xét 6
- Tích phân tng quát ca tích phân trên là R=
2 2
sin sin x cos os
dx
a x b x cc x
b
a
+ +
ò

Ta bin đi R=
2 2
( tan t anx ) os
dx
a x b c c x
b
a
- +
ò

=
2
(t anx)
( tan t anx )
d
a x b c
b
a
- +
ò

sau đó đt t=tanx
- Tng t đi vi tích phân lng giác có dng R=
2 2 2 2
sin x cos
,
( sin os )
n
xdx
n N
a x b c x
b
a
Î
+
ò

Nhn xét 7:
i vi mt s tích phân không có du hu đc bit nh cha
( )

n
f x
hay cha các
hàm
s lng giác nh đã xét  trên khi đó ta phi quan sát k và khéo léo phân tích đ
có th nhn diên đc bin mi.Ta xét thêm mt s các ví d sau
Ví d 11
Tính G=
2
2
4
1
1
1
x
dx
x
-
+
ò

Li gii:
Nhn xét (
2 2
2 2
1 1 1 1
) ( ) 2, ( ) (1 )
x x d x dx
x x x x
+ = + - + = -

t đó ta bin đi nh sau
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 15

G=
2
2
4
1
1
1
x
dx
x
-
+
ò
=
2
2
2
1
2
1
1
1
x
dx
x

x
-
+
ò
= G=
2
2
2
1
1
1
1
( ) 2
x
dx
x
x
-
+ -
ò
=
2
2
1
1
( )
1
( ) 2
d x
x

x
x
+
+ -
ò

t t=x
1
x
+
,x=1 thì t=2,x=2 thì t=5/2
Khi đó ta có
G=
2
2
4
1
1
1
x
dx
x
-
+
ò
=
5/2 5/2
5/2
2
2

2 2
(5 2 2)(2 2)
1 ( 2) ( 2) 1 2 1
ln ln
2
2 2 ( 2)( 2) 2 2 2 2 2 6 2
dt t t t
dt dt
u
t t t
- +
- - - -
= = =
-
- + + -
ò ò

Ví d 12

Y=
ln5
ln3
2 3
x x
dx
e e
-
+ -
ò
(HKB-06)

Li gii:
Nhn xét
2
( )
2 3 3 2 ( 1)( 2)
x x
x x x x x x
dx e dx d e
e e e e e e
-
= =
+ - - + - -

t t=e
x
,x=ln3 thì t=3,x=ln5 thì t=5
Y=
ln5
ln3
2 3
x x
dx
e e
-
+ -
ò
=
5
3
( 1)( 2)

dt
t t
=
- -
ò

5 5 5
5
3
3 3 3
( 1) ( 2) ( 2) ( 1) 2 3
ln ln
( 1)( 2) 2 1 1 2
t t dt d t d t t
t t t t t
- - - - - -
= - = =
- - - - -
ò ò ò

Ví d 13
H=
2
7
7
1
1
(1 )
x
dx

x x
-
+
ò

Li gii:
Nhn thy
7 7 6 7
7
7) 7 7 7
1 (1 ) 1 (1 )
( )
(1 (1 ) 7 (1 )
x x x x
dx dx d x
x x x x x
- - -
= =
+ + +
do đó ta ngh ti đt t=x
7

H=
2
7
7
1
1
(1 )
x

dx
x x
-
+
ò
=
128
1
1 (1 )
7 ( 1)
t dt
t t
-
+
ò
=
128
1
1 (1 ) 2
7 ( 1)
t t
dt
t t
+ -
=
+
ò
128 128
1 1
1 1 512

[ 2 ] ln
7 1 7 16641
dt dt
t t
- =
+
ò ò


Ví d 14
K=
1
5 3 6
0
(1 )
x x dx
-
ò

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 16

Li gii:
Nhn xét x
5
(1-x
3
)
6

=x
3
(1-x
3
)
6
x
2
=-
3 3 6 3
1
(1 ) (1 )
3
x x d x
- -
=
3 3 6 3
1
[1 (1 )](1 ) (1 )
3
x x d x
- - - - -

Do đó ta đt t=1-x
3
và ta có
K=
1
5 3 6
0

(1 )
x x dx
-
ò
=
0
6
1
1
(1 )
3
t dt
- - =
ò
0
6
1
1 1
(1 ) (1 )
3 168
t d t- - =
ò

Nhn xét 8:
Các ví d trên đc gii nh vào vic bit phân tích mi quan h gia các biu
thc di du tích phân.ta gi chung là đi bin nh ‘Phân tích’

Nhn xét chung:
i bin s dng 1 là mt trong nhng phng pháp rt c bn, hc sinh thng
gp trong Các k thi tt nghiêp và thi vào các trng i hc,bi nó có th phát

huy ti đa t duy Linh hot ca hc sinh ,Hc sinh không th dùng mt công thc
đi bin tông quát nào áp dng Cho các bài toán khác nhau.Chính vì l đó trong
ging dy hc sinh dùng phng pháp đi bin s dng 1 ,ngi thy không quá sa
đà vào vic dy hc sinh nhng dng toán có tính cht công thc,máy móc. iu
quan trng là phát trin  hc sinh t duy logíc,s sáng to ,các em t mình chim
lnh kin thc ,t rút ra nhng bài hc b ích t vic gii đc hay không gii đc
nhng bài tích phân,có nh vy khi đng trc nhng bài toán mi hay nhng bài
toán đc ngy trang thì các em vn có đc ‘sc đ kháng’’ đ vt qua.Tôi coi
đó là t tng ch yu ca dy hc tích phân nói riêng và môn toán nói chung.

2-i bin s dng hai:
T tng ca k thut này là :Gi s ta cn tính tích phân I=
( )
b
a
f x dx
ò
thì ta chn
X=u(t),vi u(t) là hàm s ta chn thích hp
Biu din dx=u

(t)dt, u(
) , ( )
a u b
a b
= =

Biu th f(x)dx theo t và dt,gi s f(x)dx=g(t)dt
I=
( )

b
a
f x dx
ò
=
( )
g t dt
b
a
ò
là tích phân d tìm hn tích phân ban đu.
Ví d 1: Tính I=
2
2
2
2
0
1
x dx
x
-
ò

Li gii :
Nx: ta có sin
2
t+cos
2
t =1 nên 1-sin
2

t=cos
2
t,
2
1 sin cos
t t
- = do đó ta ngh ti
t x=sint

t
;
2 2
p p
é ù
Î -
ê ú
ë û
x=0,t=0,x=
2
,
2 4
t
p
=
,dx=costdt
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 17

I=

2
2
2
2
0
1
x dx
x
-
ò
= I=
/4 /4 /4
2 2
2
0 0 0
sin cos sin cos 1 os2 1
cos 2 8 4
1 sin
x tdt t t c t
dt dt
t
t
p p p
p
-
= = = -
-
ò ò ò

Nhn xét 1 :

- Có th đt x=cost t
[
]
0;
p
Î
-i vi nhng tích phân có cha các biu thc
2 2
a x
-
ta có th đt x=acost ,
t
[
]
0;
p
Î
hoc x= asint , t
;
2 2
p p
é ù
Î -
ê ú
ë û

Ví d 2: Tính J=
6
2
3 2

9
dx
x x
-
ò

Li gii:
t x=
3
,
sin
t

(0; / 2)
t
p
Î

dx=
2
3cos
sin
tdt
t
-
,
1 1
3 2,sin , 6,sin
4 2 6
2

x t t x t t
p p
= = Þ = = = Þ =

J=
6
2
3 2
9
dx
x x
-
ò
=
/6
2
/4
2
3cos
3 9
sin 9
sin sin
tdt
t
t t
p
p
-
-
ò

=
/4 4
/6 /6
1 cos 1
cos
3 3 36
sin
sin
tdt
dt
t
t
t
p p
p p
p
= =
ò ò


Nhn xét 2:
- có th đt x=
3
,
os
c t

- đi vi nhng tích phân có cha biu thc
2 2
x a

-
(a>0) ta có th đt x=
os
a
c t

hoc X=
,
sin
a
t

Ví d 3
Tính K=
3
2
2
1
1 x
dx
x
+
ò

Li gii;
t x=tant,t
( ; )
2 2
p p
Î -


1 , 3
4 3
x t x x
p p
= Þ = = Þ =
,
2 2
2
1
; 1 1 tan
os cos
dt
dx x x
c t t
= + = + =

K=
3
2
2
1
1 x
dx
x
+
ò
=
/3 /3 /3
2

2 2 2 2
/4 /4 4
2
1 (sin )
sin
os cos sin sin (1 sin )
cos
os
dt dt d t
t
c t t t t t
t
c t
p p p
p p p
= = =
-
ò ò ò
3
2
2 2
2
2
(1 )
du
u u
=
-
ò


MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 18


3
2
2
2
2
du
u
+
ò

3
2
2
2
2
1
du
u
-
ò
=
3 2 2 3
ln(2 3)( 2 1)
3
-

+ - +

Nhn xét 3:
-i vi nhng tích phân có cha biu thc (a
2
+x
2
)
k
(a>0)ta thng đt x=atant
hoc x=acott
-Mt s tích phn sau khi bién đi mi đa v dng có cha biu thc (a
2
+x
2
)
k
.ta
xét ví d sau
Ví d 4 Tính L=
1
4 2
0
1
xdx
x x
+ +
ò

Li gii:

L=
1
4 2
0
1
xdx
x x
+ +
ò
=
1
2
2 2 2
0
1 ( )
2 ( ) 1
d x
x x
+ +
ò
=
1
2
0
1 ( )
2 ( ) 1
d t
t t
+ +
ò

=
1
2 2
0
1
( )
1
2
2
1 3
( ) ( )
2 2
d t
t
+
+ +
ò
=
3
2
1
2 2
2
1 ( )
2
3
( ) ( )
2
d u
u +

ò

t
3
tan , ( ; )
2 2 2
t
p p
a
Î -
,u=
3 1
tan 3 ,,
2 3 2 6
u
p p
a a a
Þ = Þ = = Þ =

L =
3
2
1
2 2
2
1 ( )
2
3
( ) ( )
2

d u
u +
ò
=
3 3
2 2
6 6
3
1 3 3
2
3
2 3 18
os . (1 tan )
4
d
d
c
p p
p p
a
p
a
a a
= =
+
ò ò
,
Nhn xét 5
Mt s tích phân có cha các biu thc
( )( )

x a b x
- -
,b>a>0 Khi đó ta đt
X=a+(b-a)sin
2
t , t
0;
2
p
é ù
Î
ê ú
ë û
.ta xét ví d sau
Ví d 5: Tính M=
3
2
5
4
( 1)(2 )
x x dx
- -
ò

Li gii :
Nhn xét a=1,b=2 t x=1+sin
2
t
t
0;

2
p
é ù
Î
ê ú
ë û
,dx=2sintcostdt,x=
5 3
;
4 6 2 4
t x t
p p
Þ = = Þ =

M=
3
2
5
4
( 1)(2 )
x x dx
- -
ò
=
3
2
5
4
( 1)(2 )
x x dx

- -
ò
=2
4
2 2
6
sin (1 sin ) sin cos
t x t tdt
p
p
- =
ò

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 19

2
4
2 2
6
sin cos
t tdx
p
p
=
ò
4
6
1 1 3

(1 os2 ) ( )
2 8 12 8
c t d
p
p
p
- = -
ò
.
Nhn xét 6:
Bng cách khai thác tng t ta s rút ra đc các cách bin s dng 2 đi vi
nhng tích phân có cha nhng biu thc đc thng kê qua bng sau:





Du hiu Cách chn

2 2
a x
-
(a>0)
X=asint t
;
2 2
p p
é ù
Î -
ê ú

ë û
hoc
x=acost t
[
]
0;
p
Î

2 2
x x
-
(a>0)
X=
sin
a
t
t
;
2 2
p p
é ù
Î -
ê ú
ë û
\0
X=
os
a
c t

t
[
]
0;
p
Î \
/ 2
p


2 2
a x
+
(a>0)
X=atant t
;
2 2
p p
æ ö
Î -
ç ÷
è ø
ho c
X=acott t
(
)
0;
p
Î


a x
a x
+
-
hoc
a x
a x
-
+

X=acos2t


( )( )
x a b x
- -

X=a+(b-a)sin
2
t

Nhn xét 7:
-ôi khi đ s dng đi bin s dng 2 la bt đu t dng 1
Ví d 6: Tính K=
2
4
4 2
4
sin
os (tan 2 t anx 5)

xdx
c x x
p
p
-
- +
ò
( thi d b 2008-B)
Li gii:
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 20

Bin đi K=
2 2
4 4
4 2 2
4 4
sin tan (t anx)
os (tan 2 t anx 5) (tan 2 t anx 5)
xdx xd
c x x x
p p
p p
- -
=
- + - +
ò ò

t tanx=t đi cn đa K v dng

K=
1 1 1 1
2 2
2 2 2
1 1 1 1
( 2 5)
3
( 2t 5) 2 5 ( 1) 4
t dt d t t dt
dt
t t t t
- - - -
- +
= + -
- + - + - +
ò ò ò ò

Li đt t-1=2tant đi cn tính toán ta đc K=2-ln2
3
8
p


-Mt trong nhng phép đi bin hay dùng na là phép thay bin x=a-t đói vi
nhng tích phân có cn trên là a và hàm di du tích phân cha các biu thc
lng giác và các biu thc này có liên quan đn cn trên là a (Theo ngha chúng
có mi quan h đn các góc liên quan đc bit).Vì l đó các tích phân này thng
có cn trên là
; ;2 ,
2

p
p p

Khi tính các tích phân này thng dn ti gii mt phng trình đn gin vi n
s là t
Ví d 7:

Tính H=
/2
4
4 4
0
sin
os sin
xdx
c x x
p
+
ò

Li gii: t x=
2
t dx dt
p
- Þ = -
và ta có
I=
0
4
4 4

2
sin
os sin
xdx
c x x
p
-
+
ò
=
/2
4
4 4
0
os
os sin
c xdx
c x x
p
+
ò
suy ra
2I=
/2 /2
4 4
4 4
0 0
sin os
/ 2
os sin 4

x c xdx
dx x
c x x
p p
p
p
+
= = Þ =
+
ò ò

Ví d 8
Tính F=
2
3
0
os
xc xdx
p
ò

Li gii:
t x=
2
t dx dt
p
- Þ = -
và ta có
I=
0 2 2 2

3 3 3 3
2 0 0 0
(2 ) os (2 ) (2 ) os 2 os os
t c t dt t c tdt c tdt tc tdt
p p p
p
p p p p
- - - = - = -
ò ò ò ò

2
3
0
2 os
I c tdt
p
Þ =
ò
=
2
0
os3 3cos
0
4
c t t
dt
p
+
=
ò


Ví d 9:
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 21

Tính M=
2
0
sinx
1 os
x
dx
c x
p
+
ò

Li gii:
t x=
t dx dt
p
- Þ = -

M=
2
0
sinx
1 os
x

dx
c x
p
+
ò

=
0
2 2 2 2 2
0 0 0 0
( )sin sin sin sin sin
2
1 os 1 os 1 os 1 os 2 1 os
t tdt tdt t tdt tdt tdt
M M
c t c t c t c t c t
p p p p
p
p p
p p
-
= - Þ = Þ =
+ + + + +
ò ò ò ò ò

Li đt u=cost suy ra du=sintdt
M=
1 1
2
2 2 2

0 1 0
sint
2 1 os 2 1 1 4
dt dt
dt
c t t t
p
p p p
p
-
= = =
+ + +
ò ò ò

Nhn xét 8:

Li gii ca các bài toán trên da vo tính cht :
Nu hàm s f(x) liên tc trên
[
]
;
a b
tho mãn f(x)=f(a+b-x) thì
( ) ( )
2
b b
a a
a b
xf x dx f x dx
+

=
ò ò

c bit hn :
Nu f(x) là hàm s liên tc trên
[
]
0;1
thì
(sinx) (sinx)
2
xf dx f dx
p a p a
a a
p
- -
=
ò ò

Nu f(x) là hàm s liên tc trên
[
]
0;1
thì
2 2
( osx) ( osx)
xf c dx f c dx
p a p a
a a
p

- -
=
ò ò

Các tính cht này s đc chng minh và ng dng trong k thut s dng lp các
Tích phân đc bit .




IV-K thut s dng Tích phân tng phn

C s lý thuyt :Theo công thc v phép tính vi phân ta có

d(uv)=udv+vdu
Hay udv=uv-vdu
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 22


b b
b
a
a a
udv uv vdu
Þ = -
ò ò
(I)


Công thc trên gi là công thc tính tích phân tng phn ,Phng pháp s dng
công thc Trên đ tính gi là phng pháp tích phân tng phn.
Nhn dng :
Hàm s di du tích phân thng là hàm hai bin s khác nhau
Ý ngha:
a mt tích phân phc tp v mt tích phân đn gin hn .Trong nhiu
trng hp khi s dng tích tng phn s gim bt hàm s di du tích
phân và cui cùng ch còn mt hàm s di du tích phân.
Nh vy đ tính
b
a
udv
ò
ta chuyn v tính
b
a
vdu
ò
,Nh vy điu quan trng nht khi
tính tích phân tng phn là phi chn u,v thích hp đm bo hai nguyên tc c bn
sau
-Chon u,v sao cho du đn gin dv d tính
-Tích phân
b
a
vdu
ò
d tính hn so vi
b
a

udv
ò

Sau đây là mt s dng Tích phân thng đc s dng k thut “Tích phân tng
phn”
1-Dng I ( ) ln
b
k
a
P x xdx
ò
: (
)
K Z
Î

Thng chn:
1
ln
ln
( )
( )
k
k
du k xdx
u x
v p x dx
dv p x dx
-
ì

=
ì
=
ï
Þ
í í
=
=
î
ï
î
ò

Chn u nh vy đ kh lnx di du Tích phân , đng thi d tìm V
Ví D 0: (HKD-2010)Tính tích phân
1
3
2 ln
e
I x xdx
x
æ ö
= -
ç ÷
è ø
ò

1 2
1 1 1
3 1

2 ln 2 ln 3 ln .
e e e
I I
I x xdx x xdx x dx
x x
æ ö
= - = -
ç ÷
è ø
ò ò ò
14243 14243
1
1
ln
e
I x xdx
=
ò
;t
ln
dx
u x du
x
= Þ =
;
2
2
x
dv xdx v= Þ =
2 2 2 2

1
1
1 1
1 1 1
ln
2 2 2 2 2 4
e e
e
x e x e
I x xdx
æ ö æ ö
+
= - = - =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 23

Tính I
2
: t t = lnx Þ
dx
dt
x
=
x = 1 ; t = 0; x = e ; t = 1.
1

1
2
2
0
0
1
2 2
t
I tdt
æ ö
= = =
ç ÷
è ø
ò
. Vy
2
2
2
e
I
-
=

Ví D 1: (HKD-2009): Tính tích phân
3
2
1
3 ln x
I dx
(x 1)

+
=
+
ò

3
3 3 3 3 3
1 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
1
3 ln x dx ln x dx 3 3 ln x
I dx 3 dxI 3 I dx
(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) 4 (x 1)
+ -
= = + = = = =
+ + + + + +
ò ò ò ò ò

t u = lnx
dx
du
x
Þ =
2
dx
dv .
(x 1)
=
+

Chn
1
v
x 1
-
=
+

3
3 3 3
2
1
1 1 1
ln x dx ln3 dx dx ln 3 3
I ln
x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2
= - + = - + - = - +
+ + +
ò ò ò
Vy :
3
I (1 ln3) ln2
4
= + -


Ví D 2: (HKD-08) I=
2
3
1

ln
x
dx
x
ò

Li gii:
t
3
3 2
ln
1
2
dx
du
u x
x
dx
dx
dv
v
x
x x
ì
ì
=
=
ï
ï ï
Þ Þ

í í
-
=
ï ï
= =
î
ï
î
ò
: I=
2 2
2
3 2 3
1
1 1
ln ln 3 2ln 2
2 2 16
x x dx
dx
x x x
- -
= + =
ò ò

Nhn xét: Mt s tích phân mun đa v dng trên cn thông qua đi bin s dng
1

Ví d 3:
J=
2

2
6
cos ln(sinx)
sin
x
dx
x
p
p
ò

Li gii:
Vit li J=
2
2
6
ln(sinx)
(sinx)
sin
d
x
p
p
ò
t t=sinx , i cn ta đi đn tích phân sau
J=
1
2
1
2

ln
t
dt
t
ò
t
2
2
ln
1
dt
du
u t
t
dt
dt
dv
v dt
t
t t
ì
ì
=
=
ï
ï ï
Þ Þ
í í
-
=

ï ï
= =
î
ï
î
ò
M=
1
1
1
2
1
2
ln
1 2ln 2
t dt
t t
-
= + = -
ò


MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 24

Ví d 4: K=
3
2
4

ln(tan x)
os
dx
c x
p
p
ò

Li gii:
Ngoài cách trình bày bng đi bin sau đó dùng tích phân tng phn nh trên ta
có th trình bày trc tip nh sau

K=
3
2
4
ln(tan x)
os
dx
c x
p
p
ò
=
3
4
ln(t anx) (t anx)
d
p
p

ò
t
ln (t anx)
sin x cos
(t anx)
t anx
dx
du
u
x
dv d
v
ì
ì
=
=
ï
Þ Þ
í í
=
î
ï
=
î

K=
3
3 3
4 4
4

t anx 3ln 3 3 ln 3
tan x ln(t anx) tanx 3 1
sin cos 2 2
dx
x x
p
p p
p p
p
- = - = - +
ò


Nhn xét 2 :Do không có công thc tính nguyên hàm ca biu thc cha lnx nên
mc ích ca ta khi tính tích phân trên là kh lnx ,vì vy s ln s dung công
thc Tính tích phân tng phn ph thuc vào s K trong tích phân
( )ln
b
k
a
P x xdx
ò
.C
th là k=1 (nh ví d trên) dùng mt ln,k=2 s dng 2 ln ta xét thêm ví d
sau mô ta điu đó

Ví d 5: L=
3 2
1
ln

e
x xdx
ò
(HKD-07)
Li gii:

t
2
4
3
3
2ln
ln
4
xdx
du
u x
x
x
dv x dx
v x dx
ì
=
ï
ì
=
ï ï
Þ Þ
í í
=

ï
î
ï
= =
ï
î
ò
L=
4 2 4
3 '
1
1
ln 1
ln
4 2 4
e
e
x x e
x x L
- = -
ò

Li đt
4
3
3
ln
4
dx
du

u x
x
x
dv x dx
v x dx
ì
=
ï
ì
=
ï ï
Þ Þ
í í
=
ï
î
ï
= =
ï
î
ò
L

=
'
4 4
3
1
1
ln 1 3 1

4 4 16 16
e
e
x x e
x dx- = -
ò

T đó L=
4
5 1
32
e
-

Nhn xét 3:
M s tích phân cha p(x) phc tp ,ta vn da vào cách đt trên đ kh lnf(x)
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 25

Ví d 6: N=
3
2
2
1
ln( 1)
1
x x x
x
+ +

+
ò

Li gii:
t
2
3
2
2 2 3
1
2
0
2
2
ln( 1)
1
1ln( 1) 2ln 3 3
1
1
1
dx
du
u x x
x
N x x x dx
x
x
dv
v dx x
x

x
ì
=
ì
= + +
ï
ï
+
ï
Þ Þ = + + + - = -
í í
=
ï ï
= = +
+
î
ï
+
î
ò
ò


Dng 2: ( )cos
b
a
P x xdx
ò
( ( ) cos
b

a
P x xdx
ò
)
t
cos
( )
u x
dv P x dx
=
ì
í
=
î
Hoc
cos
( )
dv x
u P x dx
=
ì
í
=
î

Ví d 1: I=
/4
2
0
(2cos 1)

x x dx
p
-
ò

Li gii:
vit li I=
/4
2
0
(2cos 1)
x x dx
p
- =
ò
/4
0
os2
xc xdx
p
ò

t
/4
/4
/4
0
0
0
sin 2

cos 2
sin 2
1 sin 2 os2
sin 2 ( )
2
2 2 2 4
1
8 2
x
dv xdx
v dx
x x
x x c x
I xdx
u x
du dx
p
p
p
p
ì
=
=
ì
ï
Þ Þ = + = -
í í
=
î
ï

=
î
= +
ò

Ví d 2
J=
1
cos(ln )
e
x dx
p
ò

Li gii
t
sin(ln )
cos(ln )
x dx
u x
du
x
dv dx
v x
ì
=
=
ì
ï
Þ

í í
=
î
ï
=
î

J=xcos(lnx)|
1
e
p
-
1
1
sin(ln )
e
x dx e J
p
p
= - -
ò

×