Đề thi thử Đại học 2011 môn toán - Khoa Toán Tin ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI pot

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011
KHOA TOÁN-TIN
MÔN: TOÁN- KHỐI A
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề )


A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm )
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số:
21
1
x
y
x



(C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là một điểm bất kì trên (C), tiếp tuyến của (C) tại M cắt các tiệm cận
tại A, B. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C).
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
33
sin .sin 3 os .cos3 1
8
tan .tan
63
xxcx x
xx










2. Giải phương trình

33
22
11 1 1 21
x
xx x

    


.
Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân

1
2
0
ln 1Ixxxdx

.
Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có
A
BADa



,
3
AA '
2
a

, góc BAD bằng
0
60
. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể
tích khối đa diện AA’BDMN theo
a
.
Câu V. (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương
,,abc thỏa mãn
222
1abc

, ta có:
53 53 53
22 2 2 22
22223
3
aaabbbccc
bc ca ab
  



.
B. PHẦN RIÊNG (3,0 ĐIỂM):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

I. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của
hai đường thẳng: d
1
: x – y – 3 = 0, d
2
: x + y – 6 = 0. Trung điểm một cạnh là giao điểm của d
1
và tia Ox. Tìm
tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;1;1) và đường thẳng d:
14 5
412
xyz




. Viết phương
trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 16.
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số chứa x
2
trong khai triển:
4
1

2
n
x
x




, biết n là số nguyên dương thỏa mãn:

23 1
012
2 2 2 6560
2
23 1 1
n
n
nnn n
CCC C
nn

 


.
II. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông có đỉnh là (-4; 8) và một đường chéo có phương trình
7x – y + 8 = 0. Viết phương trình các cạnh của hình vuông.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):

10xyz


và hai điểm A(1;-3;0), B(5;-1;-2).
Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
M
AMB đạt giá trị lớn nhất.
Câu VII.b (1.0 điểm) Cho hệ phương trình
2
33
3
2
1
log log 0
2
,( )
0
xy
mR
xymy






 

. Tìm m để hệ có nghiệm.
Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:

63 Đề thi thử Đại học 2011
-39-

I
1
1,0
 TXĐ : D = R\


1
.
 Sự biến thiên:
y’ =

2
1
0,
1
x
D
x



.

Hàm số nghịch biến trên:





;1 à 1;v



0,25
Giới hạn: lim lim 2
xx 
; tiệm cận ngang: y = 2

11
lim , lim
xx


 
; tiệm cận đứng: x = 1
0,25
Bảng biến thiên: 0,25

 Đồ thị:

0,25
2
1,0
Gọi M(m;
21

1
m
m


)
Tiếp tuyến của (C) tại M:


2
121
1
1
m
yxm
m
m






0,25
A(1;
2
1
m
m


), B(2m-1; 2)
0,25
IA =
21
22
11
m
mm


, IB =
222 1mm



0,25


1
.2
2
IAB
SIAIB


.
Vậy diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C).
0,25
II
1

1,0
Điều kiện:
62
k
x



Ta có
tan .tan tan .cot 1
63 66
xx x x
 

 



0,25
Phương trình tương đương với:
33
sin .sin3 os .cos3
x
xc x x =
1
8


1 os2 os2 os4 1 os2 os2 os4 1

22 228
1
2 os2 os2 . os4
2
cxcxcx cxcxcx
cxcxcx


 

0,25


3
11
os os2
82
cx c x 

0,25
63 Đề thi thử Đại học 2011
-40-


ai
6
,
6
xklo
kZ

xk










 


. Vậy :
6
x
k


 

0,25
2
1,0
Đk: -1 1
x

Đặt u =


3
1
x

, v =
3
(1 )
x
 ; u,v 0
Hệ thành:
22
33
2
1( )2
uv
uv u v uv








0,25
Ta có:







2
22
33 22
11 1
122 2
22 2
()2
uv uv u v uv u v
u v uvu v vu uv uv
     
   

0,25
22
2
22
2
2
1
2
2
uv
u
uv










0,25

2
2
x

0,25
III

1,0
Đặt

2
2
2
21
ln 1
1
2
x
du dx
uxx
xx
x
dv xdx

v




















1
232
2
0
1
12
2
ln 1
221

0
xxx
Ixx dx
xx





0,25

1
1
221
0
2
0
0
11 1 3
ln 3 ln( 1)
22 4 4 1
33
ln 3
44
dx
xx xx
x
x
J
 






0,25
1
2
2
0
13
22
dx
J
x









. Đặt
13
tan , ;
22 22
xtt




 



3
6
23 3
39
Jdx






0,25


Vậy I =
3
ln 3
4
-
3
12


0,25

IV

1,0


Gọi O là tâm của ABCD, S là điểm đối xứng với A qua A’
 M, N lần lượt là trung
điểm của SD và SB
AB = AD = a, góc BAD = 60
0


ABD đều  OA =
3
,3
2
a
A
Ca

SA = 2AA’ = a
3
3, ' AA'
2
a
CC 

0,25
63 Đề thi thử Đại học 2011
-41-

~'
'
AO SA
SAO ACC
A
CCC
  

'~
A
CC AIO  (I là giao điểm của AC’ và SO)
'SO AC (1)
Mặt khác
('') '
B
DACCA BDAC (2)
Từ (1) và (2)
 đpcm
0,25
2
2
2
2
'
13
3
32 4
133
32 4 2 32

SABD
SA MN
a
Vaa
aaa
V






0,25
2
AA ' '
7
32
BDMN SABD SA MN
a
VVV 

0,25
V

1,0
Do a, b, c > 0 và
222
1abc
nên a, b, c



0;1

Ta có:


2
2
53
3
22 2
1
2
1
aa
aaa
aa
bc a





BĐT thành:

333
23
3
aa bb cc 

0,25
Xét hàm số




3
,0;1fx x xx  
Ta có:

ax
0;1
M


f
x
=
23
9

0,25
0,25


  
23
3
fa fb fc
đpcm

Đẳng thức xảy ra
1
3
abc

0,25
VI.a 1 1,0
I
93
;
23



, M


3; 0

0,25
Giả sử M là trung điểm cạnh AD. Ta có: AB = 2IM = 32
.12 22
ABCD
SABAD AD

AD qua M và vuông góc với d
1
 AD: x + y – 3 = 0
0,25
Lại có MA = MB = 2

Tọa độ A, D là nghiệm của hệ:

2
2
30
2
1
32
xy
x
y
xy












hoặc
4
1
x
y







0,25

Chọn A(2 ; 1)






4; 1 7; 2 à 5; 4DCvB
0,25
2
1,0
Gọi H là trung điểm đoạn AB 8HA
0,25
IH
2
= 17 0,25
IA
2
= 81 9R
0,25


     

222
:1 1 181Cx y z
0,25
VII.a

1,0
63 Đề thi thử Đại học 2011
-42-


2
23 1
012
0
22 2
2 1
23 1
n
n
n
nnn n
CCC C xdx
n

 



0,25
1

1
3 1 6560
3 6561 7
11
n
n
n
nn






0,25
7
14 3
7
4
7
4
0
11
2
2
k
k
k
xCx
x








0,25


Số hạng chứa x
2
ứng với k thỏa:
14 3
27
4
k
k




Vậy hệ số cần tìm là:
21
4

0,25
VI.b
1
1,0

Gọi A(-4; 8)

BD: 7x – y + 8 = 0

AC: x + 7y – 31 = 0
0,25
Gọi D là đường thẳng qua A có vtpt (a ; b)
D: ax + by + 4a – 5b = 0,
D hợp với AC một góc 45
0
 a = 3, b = -4 hoặc a = 4, b = 3
AB:
34320; :4310xy ADxy 

0,25
Gọi I là tâm hình vuông  I(
19
;)
22



3; 4C

:4 3 24 0; :3 4 7 0BC x y CD x y 
0,25

KL: 0,25
2
1,0

Ta có: A, B nằm khác phía so với (P).Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P)
 B’(-1; -3; 4)
0,25
''
M
AMB MAMB AB 
Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng
 M là giao điểm của (P) và AB’
0,25
AB’:
1
3
2
x
t
y
zt









0,25


M(-2; -3; 6) 0,25

VII.b

1,0
Đk: x  0, y > 0


2
33
33
3
2
3
2
2
32
1
log log
log log 0
2
0
0
,1
,2
0
x
y
xy
xyay
xymy
yx

yx
yya
yyay










 













0,25
Hệ có nghiệm khi (2) có nghiệm y > 0
Ta có : f(y) =

2
yy >0 ,  y > 0
0,25
Do đó pt f(y) = a có nghiệm dương khi a>0 0,25


Vậy hệ có nghiệm khi a > 0 0,25

63 Đề thi thử Đại học 2011
-43-