Tải bản đầy đủ (.pdf) (120 trang)

Bộ Đề Toán Luyện thi Đại học Cấp tốc 2011 (có đáp án) pptx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.14 MB, 120 trang )

Biên son: Trn Duy Thái
2




S GD & T Tin Giang
 THI TH I HC MÔN TOÁN
Trng THPT Gò Công ông Môn: Toán - Thi gian: 180 phút

 1
I. PHN CHUNG CHO TT C CÁC THÍ SINH
Câu I (2 đim) Cho hàm s y =
2 3
2
x
x


có đ th là (C)
1) Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s trên.
2) Tìm trên (C) nhng đim M sao cho tip tuyn ti M ca (C) ct 2 tim cn ca (C) ti A,
B sao cho AB ngn nht.
Câu II (2 đim)
1) Gii phng trình:
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cos
x x x x x x x x
      

2) Gii phng trình:




2
2 2
1 5 2 4;
x x x x R
    

Câu III (1 đim) Tính tích phân:
2
1
ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
 
 
 

 


Câu IV (1 đim) Mt hình nón đnh
S
, có tâm đng tròn đáy là
.
O

,
A B
là hai đim trên đng tròn đáy sao
cho khong cách t
O
đn đng thng
AB
bng
a
,


0
60
ASO SAB
 
. Tính theo
a
chiu cao và
din tích xung quanh ca hình nón
Câu V (1 đim) Cho hai s dng
,
x y
tha mãn:
5
x y
 
.
Tìm giá tr nh nht ca biu thc:
4 2

4
x y x y
P
xy
 
 

II. PHN RIÊNG
: Thí sinh ch làm mt trong hai phn (Phn 1 hoc phn 2)
1. Theo chng trình chun
.
Câu VI (2 đim)
1) Trong mt phng ta đ
Oxy
cho đng thng
( )
d
có phng trình :
0
x y
 
và đim
(2;1)
M
. Tìm
phng trình đng thng

ct trc hoành ti
A
ct đng thng

( )
d
ti
B
sao cho tam giác
AMB

vuông cân ti
M

2) Trong không gian ta đ
Oxyz
, lp phng trình mt phng



đi qua hai đim


0; 1;2 ,
A 


1;0;3
B
và tip xúc vi mt cu


S
có phng trình:

2 2 2
( 1) ( 2) ( 1) 2
x y z
     

Câu VII (1 đim) Cho s phc
z
là mt nghim ca phng trình:
2
1 0
z z
  
.
Rút gn biu thc
2 2 2 2
2 3 4
2 3 4
1 1 1 1
P z z z z
z z z z
       
       
       
       

2. Theo chng trình nâng cao
.
Câu VI (2 đim)
1) Trong mt phng ta đ
Oxy

cho đng tròn


C
có phng trình
 
2
2
: 4 25
x y
  
và đim
(1; 1)
M

. Tìm phng trình đng thng

đi qua đim
M
và ct đng tròn


C
ti 2 đim
,
A B
sao
cho
3
MA MB



2) Trong không gian ta đ
Oxyz
cho mt phng


P
có phng trình:
1 0
x y
  
. Lp phng trình
mt cu


S
đi qua ba đim






2;1; 1 , 0;2; 2 , 1;3;0
A B C  và tip xúc vi mt phng


P


B  LUYN THI CP TC MÔN TOÁN 2011
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
3

Câu VII (1 đim) Gii bt phng trình:
 
 
2
1 2
2
2
1
2
3
log 1 log 1 6
2
log 1
2 log ( 1)
x x
x
x
 
   
 
 
 
 

ÁP ÁN  1

1) y=
2 3
2
x
x


(C)
D= R\ {2}
lim 2 : 2
x
y TCN y

  

2 2
lim ; lim
x x
y y
 
 
    
TC x = 2
y’ =
2
1
0; 2
( 2)
x
x


  


BBT


2) Gi M(x
o
;
0
0
2 3
2
x
x


) (C) .
Phng trình tip tuyn ti M: () y =
2
0 0
2 2
0 0
2 6 6
( 2) ( 2)
x x
x
x x
 



 

( )  TC = A (2;
0
0
2 2
2
x
x


)
( )  TCN = B (2x
0
–2; 2)
0
0
2
(2 4; )
2
AB x
x

 


 AB =
2

0
2
0
4
4( 2) 2 2
( 2)
cauchy
x
x
 



 AB min =
2 2

0
3 (3;3)
1 (1;1)
o
x M
x M
 


 


II 1.
2 3 4 2 3 4

sin sin sin sin cos cos cos cos
x x x x x x x x
      

1,0
TX: D =R
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cos
x x x x x x x x
      
 
sin 0
(sin ). 2 2(sin ) sin . 0
2 2(sin ) sin . 0
x cosx
x cosx x cosx x cosx
x cosx x cosx
 

      

   





0,25
+ Vi
sin 0 ( )

4
x cosx x k k Z


     


0,25
+ Vi
2 2(sin ) sin . 0
x cosx x cosx
   
, đt t =
sin (t 2; 2 )
x cosx
 
  
 

đc pt : t
2
+ 4t +3 = 0
1
3( )
t
t loai
 




 





0.25
-2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y

www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
4

t = -1
2
( )
2
2
x m
m Z

x m
 


 


 

  


Vy :
( )
4
2 ( )
2
2
x k k Z
x m m Z
x m


 



  



  


  










0,25
Câu II.2
(1,0 đ)



2
2 2
1 5 2 4;
x x x x R
    

t
2 2 4 2
2 4 2( 2 )
t x x t x x

    
ta đc phng trình
2
2
1 5 2 8 0
2
t
t t t
      

4
2
t
t
 






+ Vi t =

4 Ta có
2
4 2 4 2
0 0
2 4 4
2( 2 ) 16 2 8 0
x x

x x
x x x x
 
 
    
 
    
 


2
0
2
2
x
x
x


   




+ Vi t = 2 ta có
2
4 2 4 2
0 0
2 4 2
2( 2 ) 4 2 2 0

x x
x x
x x x x
 
 
   
 
    
 


2
0
3 1
3 1
x
x
x



   

 



S: phng trình có 2 nghim
2, 3 1
x x

   



0,25




0,25







0,25








0,25





III
2
1
ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
 
 
 

 


I
1
=
1
ln
1 ln
e
x
dx
x x



, t t =
1 ln
x

,… Tính đc I
1
=
4 2 2
3 3





0.5


 
2
2
1
ln
e
I x dx


, ly tích phân tng phn 2 ln đc I
2
= e – 2
I = I

1
+ I
2
=
2 2 2
3 3
e  



0.25


0.25


www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
5

Câu IV
(1,0 đ)

Gi I là trung đim ca
AB
, nên
OI a


t

OA R



0
60
SAB SAB
  
đu

1 1 1
2 2 2
3
sin
OA R
IA AB SA
ASO
   
Tam giác
OIA
vuông ti
I
nên
2 2 2
OA IA IO
 

2
2 2
6

3 2
R a
R a R    
2
SA a
 

Chiu cao:
2
2
a
SO 
Din tích xung quanh:
2
6
2 3
2
xq
a
S Rl a a
  
  




0,25





0,25



0,25



0,25

Câu V
(1,0 đ)

Cho hai s dng
,
x y
tha mãn:
5
x y
 
.
4 2 4 1 4 1
4 2 4 4 2 2
x y x y x y y x y
P
xy y x y x
 
          


Thay
5
y x
 
đc:
4 1 5 4 1 5 4 1 5 3
2 . 2 .
4 2 2 4 2 4 2 2
y x x y y
P x x
y x y x y x

             

P
bng
3
2
khi
1; 4
x y
 
Vy Min P =
3
2

Lu ý:

Có th thay
5

y x
 
sau đó tìm giá tr bé nht ca hàm s
3 5 3 5
( )
(5 ) 4
x x
g x
x x
 
 





0,25



0,50



0,25

Câu
AVI.1
(1,0 đ)


A
nm trên
Ox
nên


;0
A a
,
B
nm trên đng thng
0
x y
 
nên
( ; )
B b b
,
(2;1)
M
( 2; 1), ( 2; 1)
MA a MB b b
      
 

Tam giác ABM vuông cân ti M nên:
2 2 2
( 2)( 2) ( 1) 0
. 0
( 2) 1 ( 2) ( 1)

a b b
MA MB
MA MB
a b b
    



 

 

     




 
,
do
2
b

không tha mãn vy
2
2 2 2
2 2
1
2 , 2
1

2 , 2
2
2
1
( 2) 1 ( 2) ( 1)
1 ( 2) ( 1)
2
b
a b
b
a b
b
b
b
a b b
b b
b


  



  

 

 

 

 
     
    

 


 


2 2
2
2
1
2 , 2
1
2
1
4
( 2) ( 1) . 1 0
( 2)
3
a
b
a b
b
b
a
b b
b

b





  





 

 


 



 
    

 
  


 







0,25




0,25














S

O

A


B

I

www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
6

Vi:
2
1
a
b





đng thng

qua AB có phng trình
2 0
x y
  

Vi
4
3
a

b





đng thng

qua AB có phng trình
3 12 0
x y
  


0,25



0,25


 2
I. PHN CHUNG CHO TT C CÁC THÍ SINH
Câu I (2 đim) Cho hàm s
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x
     
có đ th (C
m

).
1. Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s khi m = 0.
2. Tìm m đ hàm s đng bin trên khong


;2

Câu II (2 đim) a) Gii phng trình:
1)12cos2(3cos2


xx

b) Gii phng trình :
3
2
3
512)13(
22
 xxxx

Câu III (1 đim) Tính tích phân



2ln3
0
23
)2(
x

e
dx
I

Câu IV (1 đim) Cho hình lng tr ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đu cnh a, hình chiu vuông góc ca A’ lên mt
phng (ABC) trùng vi tâm O ca tam giác ABC. Tính th tích khi lng tr ABC.A’B’C’ bit khong cách gia
AA’ và BC là
a 3
4

Câu V (1 đim)
Cho x,y,z tho mãn là các s thc:
1
22
 yxyx
.Tìm giá tr ln nht ,nh nht ca biu thc

1
1
22
44



yx
yx
P

II. PHN RIÊNG
: Thí sinh ch làm mt trong hai phn (Phn 1 hoc phn 2)

Dành cho thí sinh thi theo chng trình chun
Câu VIa (2 đim)
a) Cho hình tam giác ABC có din tích bng 2. Bit A(1;0), B(0;2) và trung đim I ca AC nm trên đng
thng y = x. Tìm to đ đnh C.
b) Trong không gian Oxyz, cho các đim A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm ta đ đim O’ đi xng vi
O qua (ABC).
Câu VIIa(1 đim) Gii phng trình:
10)2)(3)((
2
 zzzz
,

z
C.
Dành cho thí sinh thi theo chng trình nâng cao
Câu VIb (2 đim)
a. Trong mp(Oxy) cho 4 đim A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5). Tìm to đ đim M thuc đng thng
( ) :3 5 0
x y
   
sao cho hai tam giác MAB, MCD có din tích bng nhau
b.Trong không gian vi h ta đ Oxyz, cho hai đng thng:

2
5
1
1
3
4
:

1







zyx
d

1
3
3
1
2
:
2
zyx
d 




Vit phng trình mt cu có bán kính nh nht tip xúc vi c hai đng thng d
1
và d
2

Câu VIIb (1 đim) Gii bt phng trình:

2log9)2log3(
22
 xxx


www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
7

ÁP ÁN  2

Câu I
a)
 th Hc sinh t làm

0,25

3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x
     
)1(6)12(66'
2
 mmxmxy

y’ có
01)(4)12(
22
 mmm


0,5






1
0'
mx
mx
y

Hàm s đng bin trên


;2


0'

y

2


x

21



m

1

m

0,25

b)

0,25

Câu II a)

Gii phng trình:
1)12cos2(3cos2


xx

1 đi
m
PT

1)1cos4(3cos2
2
xx

1)sin43(3cos2

2
 xx

0,25

Nhn xét
Zkkx


,

không là nghim ca phng trình đã cho nên ta có:
1)sin43(3cos2
2
 xx

xxxx sin)sin4sin3(3cos2
3


xxx sin3sin3cos2


xx sin6sin


0,25










26
26
mxx
mxx










7
2
7
5
2


m
x
m

x
;
Zm


0,25



Xét khi

5
2

m

k

2m=5k

m
t5

,
Zt


Xét khi
7
2

7


m

=

k

1+2m=7k

k=2(m-3k)+1 hay k=2l+1& m=7l+3,
Zl


Vy phng trình có nghim:
5
2

m
x  (
tm 5

);
7
2
7


m

x  (
37


lm
)
trong đó
Zltm

,,



0,25

Gii phng trình :
3
2
3
512)13(
22
 xxxx

1 đi
m
PT

631012)13(2
22
 xxxx


232)12(412)13(2
222
 xxxxx
. t
)0(12
2
 txt

Pt tr thành
0232)13(24
22
 xxtxt

Ta có:
222
)3()232(4)13('  xxxx

0,25

b)

Pt tr thành
0232)13(24
22
 xxtxt

Ta có:
222
)3()232(4)13('  xxxx


0,25

www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
8

T đó ta có phng trình có nghim :
2
2
;
2
12




x
t
x
t

Thay vào cách đt gii ra ta đc phng trình có các
nghim:










7
602
;
2
61
x



0,5

Tính tích phân



2ln3
0
2
3
)2(
x
e
dx
I
1 đi
m
Ta c ó




2ln3
0 2
33
3
)2(
xx
x
ee
dxe
I
=
t u=
3
x
e

dxedu
x
3
3 
;
22ln3;10







uxux

0,25

Ta đc:



2
1
2
)2(
3
uu
du
I
=3
du
u
uu














2
1
2
)2(2
1
)2(4
1
4
1

0,25


=3
2
1
)2(2
1
2ln
4
1
ln
4
1











u
uu

0,25

Câu III

8
1
)
2
3
ln(
4
3


Vy I
8
1
)
2

3
ln(
4
3


0,25



Câu IV





























0,5
A
B
C
C’
B’
A’
H
O
M
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
9

Gi M là trung đim BC ta thy:





BCOA

BCAM
'
)'( AMABC



K
,'AAMH

(do
A

nhn nên H thuc trong đon AA’.)
Do
BCHM
AMAHM
AMABC






)'(
)'(
.Vy HM là đan vông góc chung ca
AA’và BC, do đó
4
3
)BC,A'( aHMAd  .


Xét 2 tam giác đng dng AA’O và AMH, ta có:
AH
HM
AO
OA

'


suy ra
3
a
a3
4
4
3a
3
3a
AH
HM.AO
O'A 
Th tích khi lng tr:
12
3a
a
2
3a
3
a

2
1
BC.AM.O'A
2
1
S.O'AV
3
ABC


0,5
1.Cho a, b, c là các s thc dng tho mãn
3



cba
.Chng minh
rng:

134)(3
222
 abccba


1 đi
m
t
2
;134)(3),,(

222
cb
tabccbacbaf



*Trc ht ta chng minh:
),,(),,( ttafcbaf

:Tht vy
Do vai trò ca a,b,c nh nhau nên ta có th gi thit
cba



33





cbaa
hay a
1





),,(),,( ttafcbaf

134)(3134)(3
2222222
 atttaabccba

=
)(4)2(3
2222
tbcatcb 

=
















22
22
4
)(

4
4
)(2
3
cb
bca
cb
cb
=
2
2
)(
2
)(3
cba
cb



= 0
2
))(23(
2

 cba
do a
1




0,5
*Bây gi ta ch cn chng minh:
0),,(

ttaf
vi a+2t=3
Ta có
134)(3),,(
2222
 atttattaf

=
13)23(4))23((3
2222
 ttttt

=
0)47()1(2
2
 tt
do 2t=b+c < 3
Du “=” xy ra
10&1









cbacbt
(PCM)
0,5
Câu V
2. Cho x,y,z tho mãn là các s thc:
1
22
 yxyx
.Tìm giá tr ln nht
,nh nht ca biu thc

www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
10



1
1
22
44



yx
yx
P

T gi thit suy ra:


xyxyyx
xyxyxyyxyx
33)(1
21
2
22



T đó ta có
1
3
1
 xy
.


0,25

M¨t kh¸c
xyyxyxyx  11
2222

nªn
12
2244
 xyyxyx
.®¨t t=xy
Vëy bµi to¸n trë thµnh t×m GTLN,GTNN cña


1
3
1
;
2
22
)(
2



 t
t
tt
tfP



0.25

TÝnh










)(26
26
0
)2(
6
10)('
2
lt
t
t
tf



0.25

Do hàm s liên tc trên
 
1;
3
1

nên so sánh giá tr ca
)
3
1
(

f

,
)26( f
,
)1(f
cho ra kt qu:
626)26(  fMaxP ,
15
11
)
3
1
(min  fP



0.25

Câu VIa

1 đi
m
(Hc sinh t v hình)
Ta có:


1;2 5
AB AB   

. Phng trình ca AB là:
2 2 0

x y
  
.




: ;
I d y x I t t
  
. I là trung đim ca AC:
)2;12( ttC




0,5
a)
Theo bài ra: 2),(.
2
1


ABCdABS
ABC

446. t








3
4
0
t
t


T đó ta có 2 đim C(-1;0) hoc C(
3
8
;
3
5
) tho mãn .



0,5

1 đi
m
*T phng trình đon chn suy ra pt tng quát ca mp(ABC) là:2x+y-z-2=0

0.25

b)

*Gi H là hình chiu vuông góc ca O l ên (ABC), OH vuông góc vi
(ABC) nên
)1;1;2(// nOH
;


H ABC


Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phng trình( ABC) có t=
3
1
suy ra
)
3
1
;
3
1
;
3
2
( H


0,25

www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
11


*O’ đi xng vi O qua (ABC)

H là trung đim ca OO’

)
3
2
;
3
2
;
3
4
(' O

0,5
Gii phng trình:
10)2)(3)((
2
 zzzz
,

z
C.
1 đi
m
PT







10)3)(1)(2( zzzz 0)32)(2(
22
 zzzz

t
zzt 2
2

. Khi đó phng trình (8) tr thành:

0,25

t
zzt 2
2

. Khi đó phng trình (8) tr thành

0103
2
 tt


0,25

CâuVIIa














61
1
5
2
z
iz
t
t

Vy phng trình có các nghim:
61z
;
iz



1




0,5
Câu VIb
a)

1 đi
m
Vit phng trình đng AB:
4 3 4 0
x y
  

5
AB


Vit phng trình đng CD:
4 17 0
x y
  

17
CD 


0,25

im M thuc


có to đ dng:
( ;3 5)
M t t
 
Ta tính đc:

13 19 11 37
( , ) ; ( , )
5
17
t t
d M AB d M CD
 
 


0,25


T đó:
( , ). ( , ).
MAB MCD
S S d M AB AB d M CD CD
  


7
9
3

t t
    


Có 2 đim cn tìm là:
7
( 9; 32), ( ;2)
3
M M 
0,5

1 đi
m
Gi s mt mt cu S(I, R) tip xúc vi hai đng thng d
1
, d
2
ti hai đim A
và B khi đó ta luôn có IA + IB ≥ AB và AB ≥


1 2
,
d d d
du bng xy ra khi I là
trung đim AB và AB là đon vuông góc chung ca hai đng thng d
1
, d
2





0, 25

Ta tìm A, B :
'
AB u
AB u







 
 
Ad
1
, Bd
2
nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’)
0,25


AB

(….)…


A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1)

I(2; 1; -1)
0,25

b)


Mt cu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R=
6

Nên có phng trình là:
 
2
2 2
2 ( 1) ( 1) 6
x y z
     


0,25

CâuVIIb

Gii bt phng trình
2log9)2log3(
22
 xxx

1 đi

m
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
12


iu kin:
0

x

Bt phng trình

)1(2log)3(3
2
 xxx

Nhn thy x=3 không là nghim ca bt phng trình.

0.25

TH1 Nu
3

x
BPT

3
1
log

2
3
2



x
x
x

Xét hàm s:
xxf
2
log
2
3
)( 
đng bin trên khong


;0


3
1
)(



x

x
xg nghch bin trên khong


;3

*Vi
4

x
:Ta có





3)4()(
3)4()(
gxg
fxf

Bpt có nghim
4

x

* Vi
4

x

:Ta có





3)4()(
3)4()(
gxg
fxf

Bpt vô nghim


0,25

TH 2 :Nu
30


x
BPT

3
1
log
2
3
2




x
x
x


xxf
2
log
2
3
)( 
đng bin trên khong


;0


3
1
)(



x
x
xg
nghch bin trên khong



3;0

*Vi
1

x
:Ta có





0)1()(
0)1()(
gxg
fxf

Bpt vô nghim
* Vi
1

x
:Ta có





0)1()(

0)1()(
gxg
fxf

Bpt có nghim
10


x



0,25

Vy Bpt có nghim





10
4
x
x

0,25



Câu V Cho x , y , z là ba s thc tha mãn : 5

-x
+ 5
-y
+5
-z
= 1 .Chng minh rng :

  
 
  
25 25 25
25 5 5 5 5 5
x y z
x y z y z x z x y


 
5 5 5
4
x y z

t 5
x
= a , 5
y
=b , 5
z
= c . T gi thit ta có : ab + bc + ca = abc
Bt đng thc cn chng minh có dng :
2 2 2

4
a b c a b c
a bc b ca c ab
 
  
  
( *)
( *)

3 3 3
2 2 2
4
a b c a b c
a abc b abc c abc
 
  
  






0,25đ



0,25đ



www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
13




3 3 3
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
a b c a b c
a b a c b c b a c a c b
 
  
     

Ta có
3
3
( )( ) 8 8 4
a a b a c
a
a b a c
 
  
 
( 1) ( Bt đng thc Cô si)
Tng t
3
3
( )( ) 8 8 4

b b c b a
b
b c b a
 
  
 
( 2)

3
3
( )( ) 8 8 4
c c a c b
c
c a c b
 
  
 
( 3) .
Cng v vi v các bt đng thc ( 1) , ( 2) , (3) suy ra điu phi chng minh


0,25đ



0,25đ
Phn B. (Thí sinh ch đc làm phn I hoc phn II)
Phn I. (Danh cho thí sinh hc chng trình chun)
1. Chng trình Chun.
Cõu Ph

n
Ni dung im
CâuVI
a.
(1,0)
1(1,
0)
+ Do
AB CH

nn AB:
1 0
x y
  
.
Gii h:
2 5 0
1 0
x y
x y
  


  

ta có (x; y)=(-4; 3).
Do đó:
( 4;3)
AB BN B
  

.
+ Ly A’ đi xng A qua BN th
'
A BC

.
- Phng trình đng thng (d) qua A và
Vung gúc vi BN là (d):
2 5 0
x y
  
. Gi
( )
I d BN
 
. Gii h:
2 5 0
2 5 0
x y
x y
  


  

. Suy ra: I(-1; 3)
'( 3; 4)
A
  


+ Phng trình BC:
7 25 0
x y
  
. Gii h:
7 25 0
1 0
x y
x y
  


  


Suy ra:
13 9
( ; )
4 4
C
 
.
+
2 2
450
( 4 13 / 4) (3 9 / 4)
4
BC       ,
2 2
7.1 1( 2) 25

( ; ) 3 2
7 1
d A BC
  
 

.
Suy ra:
1 1 450 45
( ; ). .3 2. .
2 2 4 4
ABC
S d A BC BC  





0,25đ



0,25đ




0,25đ

0,25đ

Câu
VIIA

1) Véc t ch phng ca hai đng thng ln lt là:
1
u

(4; - 6; - 8)

2
u

( - 6; 9; 12)
+)
1
u


2
u

cùng phng


0,25đ


+) M( 2; 0; - 1)

d

1
; M( 2; 0; - 1)

d
2

Vy d
1
// d
2

0,25đ


*) Véc t pháp tuyn ca mp (P) là
n

= ( 5; - 22; 19)
(P): 5x – 22y + 19z + 9 = 0
2)
AB

= ( 2; - 3; - 4); AB // d
1

Gi A
1
là đim đi xng ca A qua d
1 .
Ta có: IA + IB = IA

1
+ IB

A
1
B
IA + IB đt giá tr nh nht bng A
1
B
Khi A
1
, I, B thng hàng

I là giao đim ca A
1
B và d



0,25đ
B

C

A

H

N


www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
14

Do AB // d
1
nên I là trung đim ca A
1
B.
*) Gi H là hình chiu ca A lên d
1
. Tìm đc H
36 33 15
; ;
29 29 29
 
 
 



A’ đi xng vi A qua H nên A’
43 95 28
; ;
29 29 29
 

 
 


I là trung đim ca A’B suy ra I
65 21 43
; ;
29 58 29
 
 
 
 



0,25đ









Cõu Ni dung im
Câu VIIa
(1,0)
Cõu VII.a (1 đim): Gii phng trình sau trn tp s phc C:
2
4 3
1 0
2
z

z z z
    
(1)


Nhn xét z=0 không là nghim ca phng trình (1) vy z
0


Chia hai v PT (1) cho z
2
ta đc : ( 0
2
1
)
1
()
1
2
2

z
z
z
z (2)

0.25đ

t t=z-
z

1
Khi đó
2
1
2
22

z
zt 2
1
2
2
2
 t
z
z

Phng trình (2) có dng : t
2
-t+
0
2
5

(3)
2
99
2
5
.41 i


PT (3) có 2 nghim t=
2
31 i

,t=
2
31 i







0.25đ

Vi t=
2
31 i

ta có
02)31(2
2
311
2


 ziz
i

z
z
(4)

222
)3(696816)31( iiiii 

PT(4) có 2 nghim : z=
i
ii




1
4
)3()31(
,z=
2
1
4
)3()31(





iii




0.25đ

Vi t=
2
31 i

ta có
02)31(2
2
311
2


 ziz
i
z
z
(4)

222
)3(696816)31( iiiii 

PT(4) có 2 nghim : z=
i
ii





1
4
)3()31(
,z=
2
1
4
)3()31(






iii

Vy PT đã cho có 4 nghim : z=1+i; z=1-i ; z=
2
1

i
; z=
2
1


i






0.25đ
Phn II.
Câu VIb. 1)
I

d
1
H

A

B

A
1
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
15

Ta có:
Idd
21

. To đ ca I là nghim ca h:












2/3y
2/9x
06yx
03yx
. Vy






2
3
;
2
9
I
Do vai trò A, B, C, D nên gi s M là trung đim cnh AD
OxdM
1


Suy ra M( 3; 0)




0,25đ

Ta có:
23
2
3
2
9
32IM2AB
22
















Theo gi thit:

22
23
12
AB
S
AD12AD.ABS
ABCD
ABCD

Vì I và M cùng thuc đng thng d
1

ADd
1


ng thng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc vi d
1
nhn
)1;1(n
làm VTPT nên có PT:
03yx0)0y(1)3x(1









. Li có:
2MDMA 





0,25đ

To đ A, D là nghim ca h PT:
 







2y3x
03yx
2
2

   



















13x
x3y
2)x3(3x
3xy
2y3x
3xy
2
2
2
2







1y

2x
hoc





1y
4x
. Vy A( 2; 1), D( 4; -1)



0,25đ

Do






2
3
;
2
9
I là trung đim ca AC suy ra:






213yy2y
729xx2x
AIC
AIC

Tng t I cng là trung đim ca BD nên ta có B( 5; 4)
Vy to đ các đnh ca hình ch nht là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)

0,25đ

Cõu Phn Ni dung im
CâuVIb.
(1,0)
2.a)
Các véc t ch phng ca D
1
và D
2
ln lt là
1
u

( 1; - 1; 2)

2
u


( - 2; 0; 1)
Có M( 2; 1; 0)

D
1
; N( 2; 3; 0)

D
2

0,25đ


Xét
1 2
; .
u u MN
 
 
  
= - 10

0
Vy D
1
chéo D
2

0,25đ


Gi A(2 + t; 1 – t; 2t)

D
1
B(2 – 2t’; 3; t’)

D
2


1
2
. 0
. 0
AB u
AB u








 



1
3

' 0
t
t

 








A
5 4 2
; ;
3 3 3
 

 
 
; B (2; 3; 0)
ng thng

qua hai đim A, B là đng vuông góc chung ca D
1

và D
2
.

Ta có

:
2
3 5
2
x t
y t
z t
 


 







0,25đ






0,25đ

www.VNMATH.com

Biên son: Trn Duy Thái
16

PT mt cu nhn đon AB là đng kính có
dng:
2 2 2
11 13 1 5
6 6 3 6
x y z
     
     
     
     

0,25đ

CâuVIIb
(1,0)

Ta có:
2009 0 1 2009 2009
2009 2009 2009
(1 ) i C iC i C    


0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 3 5 7 2007 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009


( )
C C C C C C
C C C C C C i
      
     

Thy:
1
( )
2
S A B
 
, vi
0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
A C C C C C C      


0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
B C C C C C C     

+ Ta có:
2009 2 1004 1004 1004 1004
(1 ) (1 )[(1 ) ] (1 ).2 2 2
i i i i i
       
.
ng nht thc ta có A chnh là phn thc ca
2009

(1 )
i

nn
1004
2
A

.
+ Ta có:
2009 0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009
(1 ) x C xC x C x C     

Cho x=-1 ta có:
0 2 2008 1 3 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
C C C C C C      

Cho x=1 ta có:
0 2 2008 1 3 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
( ) ( ) 2
C C C C C C       
.
Suy ra:
2008
2
B


.
+ T đó ta có:
1003 2007
2 2
S  
.




0,25đ



0,25đ





0,25đ
0,25đ



 3
I. PHN CHUNG CHO TT C THÍ SINH (7,0 đim)
Câu I (2,0 đim). Cho hàm s y =
1
2


x
x
.
1. Kho sát s bin thiên và v đ th ( C ) ca hàm s.
2. Tìm các giá tr ca m đ đng thng y = mx – m + 2 ct đ th ( C ) ti hai đim phân bit A,B và
đon AB có đ dài nh nht.
Câu II (2,0 đim)
1. Gii phng trình


 
2
cos . cos 1
2 1 sin .
sin cos
x x
x
x x

 


2. Gii phng trình
2 2
7 5 3 2 ( )
x x x x x x      


Câu III (1,0 đim). Tính tích phân

3
0
3
3. 1 3
x
dx
x x

  

.
Câu IV (1,0 đim). Cho t din đu ABCD có cnh bng 1. Gi M, N là các đim ln lt di đng trên các
cnh AB, AC sao cho




DMN ABC

. t AM = x, AN = y. Tính th tích t din DAMN theo x và y. Chng
minh rng:
3 .
x y xy
 

Câu V (1,0 đim). Cho x, y, z
0

tho mãn x+y+z > 0. Tìm giá tr nh nht ca biu thc
 

3 3 3
3
16
x y z
P
x y z
 

 

II. PHN RIÊNG (3,0 đim): Thí sinh ch đc làm mt trong hai phn (phn A hoc B).
A. Theo chng trình Chun:
Câu VI.a (2,0 đim)
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
17

1. Trong mt phng to đ Oxy, cho hình ch nht ABCD có phng trình đng thng AB: x – 2y + 1 = 0,
phng trình đng thng BD: x – 7y + 14 = 0, đng thng AC đi qua M(2; 1). Tìm to đ các đnh ca hình
ch nht.
2. Trong không gian to đ Oxyz, cho mt phng (P): 2x – y – 5z + 1 = 0 và hai đng thng
d
1
:
1 1 2
2 3 1
x y z
  
 
, d

2
:
2 2
1 5 2
x y z
 
 


Vit phng trình đng thng d vuông góc vi (P) đng thi ct hai đng thng d
1
và d
2
.
Câu VII.a (1,0 đim). Tìm phn thc ca s phc z = (1 + i)
n
, bit rng n  N tha mãn phng trình
log
4
(n – 3) + log
4
(n + 9) = 3
B. Theo chng trình Nâng cao:
Câu VI.b (2,0 đim)
1. Trong mt phng to đ Oxy cho tam giác ABC, có đim A(2; 3), trng tâm G(2; 0). Hai đnh B và C ln lt
nm trên hai đng thng d
1
: x + y + 5 = 0 và d
2
: x + 2y – 7 = 0. Vit phng trình đng tròn có tâm C và

tip xúc vi đng thng BG.
2. Trong không gian to đ cho đng thng d:
3 2 1
2 1 1
x y z
  
 

và mt phng (P): x + y + z + 2 = 0. Gi M
là giao đim ca d và (P). Vit phng trình đng thng

nm trong mt phng (P), vuông góc vi d đng
thi tho mãn khong cách t M ti

bng
42
.
Câu VII.b (1,0 đim). Gii h phng trình

 
1 4
4
2 2
1
log log 1
( , )
25
y x
y
x y

x y

  




 



ÁP ÁN  3

Câu Ni dung im

I HS tu lam 2,0
II

2.0
1
Gii phng trình


 
2
cos . cos 1
2 1 sin .
sin cos
x x
x

x x

 


1.0
K:
sin cos 0
x x
 
0.25
Khi đó








2
1 sin cos 1 2 1 sin sin cos
PT x x x x x
     





1 sin 1 cos sin sin .cos 0

x x x x x
     








1 sin 1 cos 1 sin 0
x x x
    

0.25
sin 1
cos 1
x
x
 



 

(tho mãn điu kin)
0.25

2
2

2
x k
x m


 

  



 





,k m


Vy phng trình đã cho có nghim là:
2
2
x k


   và
2
x m
 

 



,k m 


0.25
2
Gii phng trình:
2 2
7 5 3 2 ( )
x x x x x x      


1.0
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
18

2
2 2
3 2 0
7 5 3 2
x x
PT
x x x x x

  




     



0.25

2
3 2 0
5 2( 2)
x x
x x x

  



   



0.25

3 1
0
2
5 2.
x
x

x
x
x


  

 




  


 
 
2
2 0
1 16 0
x
x x
  




  




0.25


1
x
  

Vy phng trình đã cho có mt nghim x = - 1.
0.25
III
Tính tích phân
3
0
3
3. 1 3
x
dx
x x

  

.
1.0
t u =
2
1 1 2
x u x udu dx
     
; đi cn:

0 1
3 2
x u
x u
  


  


0.25
Ta có:
3 2 2 2
3
2
0 1 1 1
3 2 8 1
(2 6) 6
3 2 1
3 1 3
x u u
dx du u du du
u u u
x x
 
   
  
  
   


0.25

 
2
2
1
2
6 6ln 1
1
u u u   
0.25


3
3 6ln
2
  

0.25
IV

1.0

Dng
DH MN H
 

Do







DMN ABC DH ABC
  

.
D ABC

t din đu nên
H
là tâm tam giác đu
ABC
.





0.25
Trong tam giác vuông DHA:
2
2 2 2
3 6
1
3 3
DH DA AH
 
    

 
 
 

Din tích tam giác
AMN

0
1 3
. .sin 60
2 4
AMN
S AM AN xy
 
0.25

Th tích t din
.
D AMN

1 2
.
3 12
AMN
V S DH xy
 

0.25
D
A

B
C
H
M
N
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
19

Ta có:
AMN AMH AMH
S S S 
0 0 0
1 1 1
.sin 60 . .sin30 . .sin 30
2 2 2
xy x AH y AH  

3 .
x y xy
 


0.25
V

1.0
Trc ht ta có:
 
3

3 3
4
x y
x y

  (bin đi tng đng)
   
2
0
x y x y
    

0.25
t x + y + z = a. Khi đó
   
 
3 3
3 3
3
3
3 3
64 64
4 1 64
x y z a z z
P t t
a a
   
    
(vi t =
z

a
,
0 1
t
 
)
0.25
Xét hàm s f(t) = (1 – t)
3
+ 64t
3
vi t


0;1
 . Có
 
 
2
2
1
'( ) 3 64 1 , '( ) 0 0;1
9
f t t t f t t
 
      
 

Lp bng bin thiên
0.25


 
 
0;1
64
inf
81
t
M t

  
GTNN ca P là
16
81
đt đc khi x = y = 4z > 0
0.25
VI.a

2.0
1

1.0
Do B là giao ca AB và BD nên to đ ca B là nghim ca h:
21
2 1 0
21 13
5
;
7 14 0 13
5 5

5
x
x y
B
x y
y



  


 
 
 
 
  
 






0.25
Li có: T giác ABCD là hình ch nht nên góc gia AC và AB bng góc gia AB và
BD, kí hiu
(1; 2); (1; 7); ( ; )
AB BD AC
n n n a b

 
  
(vi a
2
+ b
2
> 0) ln lt là VTPT ca các
đng thng AB, BD, AC. Khi đó ta có:




os , os ,
AB BD AC AB
c n n c n n
   

2 2 2 2
3
2 7 8 0
2
7
a b
a b a b a ab b
b
a
 


        


 


0.25

- Vi a = - b. Chn a = 1

b = - 1. Khi đó Phng trình AC: x – y – 1 = 0,
A = AB  AC nên to đ đim A là nghim ca h:
1 0 3
(3;2)
2 1 0 2
x y x
A
x y y
   
 
 
 
   
 

Gi I là tâm hình ch nht thì I = AC  BD nên to đ I là nghim ca h:
7
1 0
7 5
2
;
7 14 0 5

2 2
2
x
x y
I
x y
y



  


 
 
 
 
  
 






Do I là trung đim ca AC và BD nên to đ
 
14 12
4;3 ; ;
5 5

C D
 
 
 

0.25
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
20


- Vi b = - 7a (loi vì AC không ct BD)
0.25

2 1.0
Phng trình tham s ca d
1
và d
2
là:
1 2
1 2 2
: 1 3 ; : 2 5
2 2
x t x m
d y t d y m
z t z m
    
 
 

    
 
 
   
 

0.25
Gi s d ct d
1
ti M(-1 + 2t ; 1 + 3t ; 2 + t) và ct d
2
ti N(2 + m ; - 2 + 5m ; - 2m)
MN


(3 + m - 2t ; - 3 + 5m - 3t ; - 2 - 2m - t).
0.25
Do d  (P) có VTPT
(2; 1; 5)
P
n
 

nên :
p
k MN kn
  
 
3 2 2
3 5 3

2 2 5
m t k
m t k
m t k
  


    


    

có nghim
0.25

Gii h tìm đc
1
1
m
t






Khi đó đim M(1; 4; 3)

Phng trình d:
1 2

4
3 5
x t
y t
z t
 


 


 

tho mãn bài toán



0.25
VII.a
Tìm phn thc ca s phc z = (1 + i)
n
, bit rng n  N tha mãn phng trình
log
4
(n – 3) + log
4
(n + 9) = 3
1.0
iu kin:
3

n N
n






Phng trình log
4
(n – 3) + log
4
(n + 9) = 3  log
4
(n – 3)(n + 9) = 3
0.25
 (n – 3)(n + 9) = 4
3
 n
2
+ 6n – 91 = 0
7
13
n
n




 



Vy n = 7.
0.25
Khi đó z = (1 + i)
n
= (1 + i)
7
=
     
3
2
3
1 . 1 1 .(2 ) (1 ).( 8 ) 8 8
i i i i i i i
 
        
 

0.25

Vy phn thc ca s phc z là 8. 0.25
VI.b 2.0
1 1.0
Gi s
1 2
( ; ) 5; ( ; ) 2 7
B B B B C C C C
B x y d x y C x y d x y
         


Vì G là trng tâm nên ta có h:
2 6
3 0
B C
B C
x x
y y
  


  


0.25
T các phng trình trên ta có: B(-1;-4) ; C(5;1)
0.25

Ta có
(3;4) (4; 3)
BG
BG VTPT n
 
 
nên phng trình BG: 4x – 3y – 8 = 0

0.25
(tho mãn)
(không tho mãn)
www.VNMATH.com

Biên son: Trn Duy Thái
21

Bán kính R = d(C; BG) =
9
5


phng trình đng tròn: (x – 5)
2
+(y – 1)
2
=
81
25

0.25
2

1.0
Ta có phng trình tham s ca d là:
3 2
2
1
x t
y t
z t
 



  


  


 to đ đim M là nghim ca h
3 2
2
1
2 0
x t
y t
z t
x y z
 


  


  


   

(tham s t)
(1; 3;0)
M
 


0.25
Li có VTPT ca(P) là
(1;1;1)
P
n

, VTCP ca d là
(2;1; 1)
d
u


.


nm trong (P) và vuông góc vi d nên VTCP
, (2; 3;1)
d P
u u n

 
  
 
  

Gi N(x; y; z) là hình chiu vuông góc ca M trên

, khi đó
( 1; 3; )

MN x y z
 

.
Ta có
MN

vuông góc vi
u


nên ta có phng trình: 2x – 3y + z – 11 = 0
Li có N

(P) và MN =
42
ta có h:
2 2 2
2 0
2 3 11 0
( 1) ( 3) 42
x y z
x y z
x y z

   

   



    


0.25

Gii h ta tìm đc hai đim N(5; - 2; - 5) và N(- 3; - 4; 5)
0.25

Nu N(5; -2; -5) ta có pt
5 2 5
:
2 3 1
x y z
  
  


Nu N(-3; -4; 5) ta có pt
3 4 5
:
2 3 1
x y z
  
  



0.25
VII.b
Gii h phng trình

 
1 4
4
2 2
1
log log 1
( , )
25
y x
y
x y
x y

  




 



1.0
iu kin:
0
0
y x
y
 






0.25
H phng trình
 
4 4 4
2 2 2 2 2 2
1 1
log log 1 log 1
4
25 25 25
y x y x
y x
y y y
x y x y x y
 
  
      
  
  
  
  
     
  

0.25
2
2 2 2 2

3
3 3
25
25 9 25
10
x y
x y x y
y
x y y y


 
 

  
  

   
 



0.25

 
 
15 5
; ;
10 10
15 5

; ;
10 10
x y
x y

 


 
 



 
  

 

 


Vy h phng trình đã cho vô nghim.
0.25
(không tha mãn đk)
(không tha mãn đk)
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
22



 4
I. PHN CHUNG CHO TT C THÍ SINH (7,0 đim)
Câu I:(2,0 đim) Cho hàm s
3
(3 1)
y x x m
  
(C ) vi m là tham s.
1. Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s (C) khi
1
m

.
2. Tìm các gíá tr ca m đ đ th ca hàm s (C) có hai đim cc tr và chng t rng hai đim
cc tr này  v hai phía ca trc tung.
Câu II:(2,0 đim)
1. Gii phng trình:
3 3
17
8cos 6 2 sin 2 3 2cos( 4 ).cos2 16cos
2
x x x x x

   
.
2. Tính tích phân :
  
1
2
1

1 1
x
dx
I
e x


 

.
Câu III:(2,0 đim)
1. Tìm các giá tr ca tham s m đ phng trình:
2
4
2
1
x
x
m e e
  
có nghim thc .
2. Chng minh:
 
1 1 1
12
x y z
x y z
 
    
 

 
vi mi s thc x , y , z thuc đon


1;3
.
Câu IV:(1,0 đim) Cho hình chóp S.ABC có chân đng cao là H trùng vi tâm ca đng tròn ni
tip tam giác ABC và AB = AC = 5a , BC = 6a . Góc gia mt bên (SBC) vi mt đáy là
0
60
.Tính
theo a th tích và din tích xung quanh ca khi chóp S.ABC.
II. PHN RIÊNG (3,0 đim). Thí sinh ch đc làm mt trong hai phn: A hoc B.
A. Theo chng trình chun
Câu Va:(1,0 đim) Trong mt phng ta đ (Oxy) , cho tam giác ABC vuông cân ti A vi


2;0
A và


1 3
G ;
là trng tâm . Tính bán kính đng tròn ni tip tam giác ABC.
Câu VI.a:(2,0 đim)
1. Gii phng trình:


3
log 4.16 12 2 1

x x
x
  
.
2. Tìm giá tr nh nht ca hàm s


1
y x ln x
  .
B. Theo chng trình nâng cao
Câu Vb:(1,0 đim) Trong mt phng ta đ (Oxy) , cho tam giác ABC vi


0 1
A ;
và phng
trình hai đng trung tuyn ca tam giác ABC qua hai đnh B , C ln lt là
2 1 0
x y
   

3 1 0
x y
  
. Tìm ta đ hai đim B và C.
Câu VI.b:(2,0 đim)
1. Gii phng trình:
3 3
log 1 log 2

2 2
x x
x
 
 
.
2. Tìm gii hn:


2
ln 2
lim
1
1
x
x
x



.
ÁP ÁN  4

Câu Ý NI DUNG
im
Câu I Ý 1
Khi m =1


3

3 1
y x x
  
. Tp xác đnh D=R .
0,25 đ

www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
23

Gii hn:
lim ; lim
x x
y y
 
   
.
y’= 3x
2
– 3 ; y’=0
1
x
  
.
0,25 đ


Bng bin thiên .
Hàm s đng bin trên khong





; 1 , 1;
   
và nghch bin
trên khong


1;1
 .
Hàm s đt C ti x = -1 ; y
C
= 3 và đt CT ti x = 1 ; y
CT
= -1 .

0,25 đ

(1,0 đ)


im đc bit: T ct Oy ti (0 ; 1) và qua (-2 ; -1) ; (2 ; 3).
 th ( không cn tìm đim un) .

0,25 đ

y’ = 0

3x

2
– 3m = 0 ;
' 9
m
 
.
0,25 đ

0
m

: y’ không đi du

hàm s không có cc tr .
0,25 đ


0
m

: y’ đi du qua 2 nghim ca y’=0

hàm s có 2 cc tr.
KL:
0
m

.

0,25 đ


(2,0đ)


Ý 2
(1,0 đ)

0
m



0
P m
   
đpcm.
0,25 đ

Bin đi:
3
4cos 3 2 sin 2 8cos
x x x
 


0,25 đ

2
2cos .(2cos 3 2 sin 4) 0
x x x

   

0,25 đ

2
cos 0 2sin 3 2 sin 2 0
x v x x
    
. 0,25 đ

Ý 1
(1,0 đ)


2
2
4
3
2
4
x k
x k
x k








 



  



 

, k
Z


KL:
0,25 đ


Khi x = 2y


1
y
  
2
1
x
y






;
2
1
x
y
 


 

(loi) .

0,25 đ

âu II
(2,0 đ)

Ý 2
(1,0 đ)

Khi y=2x

-3 x
2
= 3 : VN .
KL: nghim h PT là



2;1
.
0,25 đ

Câu III
(2,0 đ)
Ý 1
(1,0 đ)

t
2
x
t e

K: t > 0 .
PT tr thành:
44
1
m t t
  
.
0,25 đ

www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
24


Xét

44
( ) 1
f t t t
  
vi t > 0 .
3
4
4
4
'( ) 1 0
1
t
f t
t
 
  
 

 

hàm s NB trên


0;
 
.
0,50 đ




  
4 4 2
4
1
lim ( ) lim 0
1 1
t t
f t
t t t t
 
 
   
; f(0) = 1.
KL: 0< m <1.

0,25 đ

Ta có:
  
2
3
1 3 1 3 0 4 3 0 4
t t t t t t
t
            
.
0,25 đ

Suy ra :
3 3 3

4 ; 4 ; 4
x y z
x y z
     

 
1 1 1
3 12
Q x y z
x y z
 
       
 
 

0,50 đ

Ý 2
(1,0 đ)


   
1 1 1 1 1 1
3 6 12
2
Q
x y z x y z
x y z x y z
   
           

   
   

0,25 đ


Gi M là trung đim BC

A , M , H thng hàng
0
BC SM 60
BC AM SMH     
.

0,25 đ

AM=4a
2
3
12 ; 8
2
ABC
ABC
S
a
S a p a r
p
      =MH .
0,25 đ


3
.
3 3
6 3
2
S ABC
a
SH V a   
.
0,25 đ

Câu IV
(1,0 đ)

H HN , HP vuông góc vi AB và AC
;
AB SN AC SP
  

HM = HN = HP
2
3 3 24
XQ
SM SN SP a S ap a
       .

0,25 đ

t AB = a



2
2 2
2 ;
2 2
ABC
a
a
BC a S p

     .
0,50 đ


2 2
ABC
S
a
r
p
  

.
0,25 đ

Câu Va
(1,0 đ)




1; 3 2 3 3 2
AG AG AM a       



3 2 1
r
  
.
0,25 đ

Câu VIa

(2,0 đ)

Ý 1
(1,0 đ)

PT
2 1 2 2
4.16 12 3 4.4 4 .3 3.3
x x x x x x x

     
.
Chia 2 v cho
2
3 0
x


, ta có:
2
4 4
4 3 0
3 3
x x
   
  
   
   
.
0,50đ
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
25


t
4
3
x
t
 

 
 
. K:
2
3
0 ; 4 3 0 1( ); ( )

4
t t t t kth t th
       
.
0,25 đ


Khi
3
4
t

, ta có:
1
4 3 4
1
3 4 3
x
x

   
    
   
   
.
0,25 đ

TX:



0;D
  
;
1
' ln
x
y x
x

 
.
0,25 đ

y’= 0
1
x
 
; y(1) = 0 vì
1
ln
x
y x
x

 
là HSB
0,50 đ

Ý 2
(1,0 đ)


Khi 0 < x < 1
' 0
y
 
; khi x > 1
' 0
y
 
.
KL: miny = 0
1
x
 
.
0,25 đ

Ta đ trng tâm tam giác ABC là
2 1
4 1
;
3 1
7 7
x y
G
x y
 

 



 
 
 

.

0,25 đ

Gi


1
;2 1 ( )
B b b d
  ;


2
1 3 ; ( )
C c c d
 
Ta có:
5 2
3
7 7
3 1
2
7 7
b c b

b c c
 
  
 
 

 
 
   
 
 
.
0,50 đ

Câu Vb
(1,0 đ)
KL:
2 3 10 1
; ; ;
7 7 7 7
B C
   
 
   
   
.
0,25 đ

K: x > 0 . t
3

log 3
t
t x x
  
.
0,25 đ

Ta có:
2
1 9 2 4 2
2.2 2 3 .2 3
4 4 3 9 3
t
t t t t t
   
      
   
   
.
0,50 đ

Ý 1
(1,0 đ)

Khi t = 2 thì
3
log 2 9
x x
  
(th)

KL: nghim PT là
9
x

.

0,25 đ


t
1. : 1 0
t x Suyra x t
    
.
0,25 đ

Gii hn tr thành:


 
0
ln 1
lim
2
t
t
t t








 
0
ln 1
1 1
lim .
2 2
t
t
t t

 

  
 
.

0,50đ

Câu VIb

(2,0 đ)
Ý 2
(1,0 đ)

KL:



2
1
ln 2
1
lim
1 2
x
x
x


 

.
0,25đ

 5
PHN CHUNG CHO TT C CÁC THÍ SINH (7 đim)
Câu I (2 đim) Cho hàm s
2 4
1
x
y
x



.
1). Kho sát và v đ th



C
ca hàm s trên.
2). Gi (d) là đng thng qua A( 1; 1 ) và có h s góc k. Tìm k sao cho (d) ct ( C ) ti hai đim M, N và
3 10
MN 
.
Câu II (2 đim) :
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
26

1). Gii h phng trình:
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y

   


 



2). Gii phng trình :
0

1
cos
sin
2
sin
sin
2
2

x
x
x
x
.
Câu III (1 đim): Tính tích phân:
2
3
0
3sin 2cos
(sin cos )
x x
I dx
x x






Câu IV (1 đim) Cho hình chóp ct tam giác đu ngoi tip mt hình cu bán kính r cho trc. Tính th tích hình

chóp ct bit rng cnh đáy ln gp đôi cnh đáy nh.
Câu V (1 đim) Tìm m đ phng trình sau có 2 nghim phân bit :

x10
1).12(48
22
 xxmx
.
PHN RIÊNG
(3 đim): Thí sinh ch làm mt trong hai phn (Phn 1 hoc phn 2)
1. Theo chng trình chun
.
Câu VI.a (2 đim)
1. Cho

ABC có đnh A(1;2), đng trung tuyn BM:
2 1 0
x y
  
và phân giác trong CD:

1 0
x y
  
. Vit phng trình đng thng BC.
2. Cho đng thng (D) có phng trình:
2
2
2 2
x t

y t
z t
  


 


 

.Gi

là đng thng qua đim A(4;0;-1)
song song vi (D) và I(-2;0;2) là hình chiu vuông góc ca A trên (D). Trong các mt phng qua

, hãy vit
phng trình ca mt phng có khong cách đn (D) là ln nht.
Câu VII.a (1 đim) Cho x, y, z là 3 s thc thuc (0;1]. Chng minh rng
1 1 1 5
1 1 1
xy yz zx x y z
  
    

2. Theo chng trình nâng cao
.
Câu VI.b (2 đim)
1).Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho đng tròn hai đng
tròn
2 2

( ) : – 2 – 2 1 0,
C x y x y  
2 2
( ') : 4 – 5 0
C x y x
  
cùng đi qua M(1; 0). Vit phng trình
đng thng qua M ct hai đng tròn
( ), ( ')
C C
ln lt ti A, B sao cho MA= 2MB.
2). Trong không gian vi h ta đ Oxyz cho hai đng thng d và d’ ln lt có phng trình : d :
z
y
x 



1
2
và d’ :
1
5
3
2
2





z
y
x
.
Vit phng trình mt phng
)(

đi qua d và to vi d’ mt góc
0
30

Câu VII.b (1 đim) Cho a, b, c là ba cnh tam giác. Chng minh
1 1 2
2
3 3 2 3 3
b c
a
a b a c a b c a c a b
 
    
 
     
 


ÁP ÁN  5

Câu Phn Ni dung
I
(2,0)


1(1,0)
Làm đúng, đ các bc theo S đ kho sát hàm s cho đim ti đa.
2(1,0)
T gi thit ta có:
( ): ( 1) 1.
d y k x
  
Bài toán tr thành: Tìm k đ h phng trình sau
có hai nghim
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
x y x y
phân bit sao cho
   
2 2
2 1 2 1
90(*)
x x y y   

www.VNMATH.com

×