Các bài toán chọn lọc về số học pps

Líp CH pp to¸n
Häc viªn : NguyÔn V¨n Nho
1

Các bài toán chọn lọc về số học
I) sơ đồ giải BT pec ma ;
BT1: tìm nghiệm nguyên dương của PT :
Xy =z
2
BT2 : Tìm nghiệm nguyên dương PT :
X
2
+ y
2
= z
2
.

BT 3 : CMR : PT sau không có nghiệm nguyên dương :
X
4
+y
4
= z
2
.
BT4 : : CMR : PT sau không có nghiệm nguyên dương:
X
4
+y
4

= z
4
.
BT 5 : cho pt : x
n
+ y
n
=z
n
.(1) .
CMR : pt(1) vô nghiệm với mọi n )1(3 pt


vô nghiệm với mọi n là số
nguyên tố .3


II) Định nghĩa chuẩn : cho K là một trường số . khi đó

là một hàm số
trên K ĐGL một chuẩn trên K nếu tm các ĐK sau :
1)

(0) =0;

(a) >0
0


a

.
2)

(a.b) =

(a).

(b).
3)

(a+b)


(a) +

(b) ( bđt tam giác ) .
Líp CH pp to¸n
Häc viªn : NguyÔn V¨n Nho
2

III) chuẩn phi csi mét : Cho trên trường K một chuẩn

.

đgl chuẩn phi acsi mét nếu :

(a+b)

Ma x (


(a) ;

(b) ).
IV ) Định lý Ma son :
K là một trường đóng đại số đặc số không. a,b,c là các đa thức khác hằng
số trên K và nguyên tố cùng nhau sao cho b + c =a . khi đó :
Ma x ( deg a ; deg b ; deg c )

n
0
(abc ) – 1.
Trong đó n
0
(a) : số nghiệm của đa thức a .
V) Hệ quả : khụng tồn tại các đa thức trong trường đóng đại số đặc số
không K ,khác hằng số , đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mạn PT :
a
N
+b
n
= c
n
.
3



VI ) Định lý Dven port:
f và g là các đa thức trên trường K , nguyên tố cùng nhau , sao cho :
f

3


g
2
. khi đó ta có :
deg ( f
3
- g
2
)


1deg
2
1
f
.
vII) giả thuyết ‘’abc’’:
Gs a,b,c là các số nguyên ,nguyên tố cùng nhau và a+ b =c . khi đó ,
o


,
tồn tại số C sao cho :
Max( |a|;|b|;|c|) < C.N
1

. Trong đó :
Líp CH pp to¸n

Häc viªn : NguyÔn V¨n Nho
3

N =

abcp
p
/
.
VI ) Số giả nguyên tố :
b là một số nguyên dương cho trước .Nếu n là hợp số nguyên dương Và b
n


b ( mod n), thì n đgl số giả nguyên tố cơ sở b .
VD : 561 là số giả nguyên tố cơ sở 2 vì:
2
561

1

( mod 561) .
VII) : Chẩn p- adic :
KH :

p :
Trong trường số hữu tỷ Q : ta biểu diễn :
Qa



, a =
m
p
r
s
.


(p) = p
m
. khi đó

p là một chuẩn phi ac si mét trên Q . đgl chuẩn
p – adic.
VIII ) Mở rộng hữu hạn :
I X) số đại số :
Cho mở rộng E/K ; u
E

đgl phân tử đai số trên K nếu tồn tại 0
][)( xKxf


: f(u) = 0 .
Líp CH pp to¸n
Häc viªn : NguyÔn V¨n Nho
4

Phân tử u
E


đgl siêu việt trên K nếu u không là phân tử đại số trên K
,tức là Nếu f(u) = 0 thì f(x) =0 ,
].[)( xKxf



Bổ đề : các số e ,

là các số siêu việt .
B T : u
2
là số đại số trên trường K

u là số đại số trên trường K .
X) Đa thức cực tiêu , đa thức đơn hệ :