PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN pot

,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí
  1

PHƯƠNGTRÌNHMẶTCẦUTRONGKHÔNGGIAN
1)Phươngtrìnhmặtcầu:

*ChomặtcầuS(I,R)có tâm
( )
; ;I a b c vàbán kính R:Ptmặtcầu là
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R - + - + - =
*Dạngkhaitriển :
2 2 2
0x y z ax by cz d + + + + + + = làptmặtcầukhivàchỉ khi
2 2 2
4 0a b c d + + - f
Khi đótaviếtpttrênvềdạng
2 2 2
2 2 2
4
2 2 2 4
a b c a b c d
x y z
+ + -
æ ö æ ö æ ö
+ + + + + =
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
Suyratâmmặtcầulà:

2 2 2
1
; ; , 4
2 2 2 2
a b c
I R a b c d
æ ö
- - - = + + -
ç ÷
è ø

Vídụ1:
Viếtptmặtcầu trongcác trườnghợpsau“
a)đườngkínhABvới
( ) ( )
1;1;1 , 3; 1;1A B -
b)điqua3điểm
( ) ( ) ( )
0;0;1 , 1;0;0 , 0;1;0A B C vàgốc tọađộ
c)điqua3điểm A,B,Cởtrênvàcótâmthuộcmặtphẳng 3 0x y z + + - =

Giải:
a)Tâmlàtrungđiểm củaABlà:
( )
2;0;1I ,bán kính
1
2
2
R AB = =
Vậy ptmclà:

( ) ( )
2 2
2
2 1 2x y z - + + - =
b)Gọi ptmclà:
2 2 2
0x y z ax by cz d + + + + + + =
Mặtcầuđiqua4điểm trênnênlầnlượtthaytọa độ4điểm đóvàopttacóhệ:
1 0 1
1 0 1
1 0 1
0 0
c d a
a d b
b d c
d d
+ + = = -
ì ì
ï ï
+ + = = -
ï ï
Û
í í
+ + = = -
ï ï
ï ï
= =
î î
.Vậy ptmclà:
2 2 2

0x y z x y z + + - - - =
d)Gọi tâmmặtcầulà
( )
; ;I a b c vàbán kính R ,Tacó:
( )
IA R
IB R
IC R
I
a

=
ì
ï
=
ï
í
=
ï
ï
Î
î
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
2 2 2
2

2 2 2
1
1
1
1
1
1
2
3 0
a b c R
a
b
a b c R
c
a b c R
R
a b c
ì
+ + - =
=
ì
ï
ï
=
ï
- + + =
ï ï
Û Û
í í
=

ï ï
+ - + =
ï ï
=
î
+ + - =
ï
î

Vídụ2:
Viếtptmcđiqua3điểm
( ) ( ) ( )
0;0;1 , 1;0;0 , 0;1;0A B C vàcóbán kínhnhỏnhất.

Giải:
Gọi tâmmặtcầulà
( )
; ;I a b c vàbán kính R ,Tacó:
IA IB
IA IC
=
ì
í
=
î
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2

2 2 2 2
1 1
1 1
a b c a b c
a c b
a b c a b c
ì
+ + - = - + +
ï
Û Û = =
í
+ + - = + + -
ï
î
Talại có:
( )
2
2
2 2 2
1 2 2
1 3 2 1 3
3 3 3
R IA a b c a a a
æ ö
= = + + - = - + = - + ³
ç ÷
è ø
Bán kính nhỏnhấtkhivàchỉ khi
1 2
,

3 3
a b c R = = = =
PTmclà:
2 2 2
1 1 1 2
3 3 3 3
x y z
æ ö æ ö æ ö
- + - + - =
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
,hctoỏnvụnthiminphớ,VừTrngTrớ
2

2)Mtphng tipxỳcvimtcu:

Chomtcu
( )
,S I R vmtphng
( )

a
.
Mtphng
( )

a
tipxỳcmtcu
( )
,S I R

( )
( )
,d I R
a
=

Vớd3:
Vitptmccútõmthuc trcOx,v tipxỳcvi haimpsau:
( ) ( )
: 2 2 1 0, : 2 2 6 0x y z x y z
a b
+ - + = + + - =

Gii:
Tõm
( )
00I Ox I a ẻ ị
Tacú:
( )
( )
( )
( )
2 1
,
3
6
,
3
a
R

d I R
a
d I R
R

a
b

ỡ +
=
ù
ỡ
=
ù ù
ị
ớ ớ
-
=
ù ù
ợ
=
ù
ợ
Suyra:
2
2 1 6
5
3
a
a a

a
= -
ộ
ờ
+ = -
ờ
=
ở
Vi
13
2
3
a R = - ị = :ptmcl:
( )
2
2 2
169
2
9
x y z + + + =
Vi
5 13
3 9
a R = ị = :ptmcl:
2
2 2
5 169
3 81
x y z
ổ ử

- + + =
ỗ ữ
ố ứ

Vớd4:
Chomtcucúpt:
( )
2 2 2
9 9 9 126 272 0x y z x S + + + + = .Vitptmtphngtipxỳcmtcutrờn
viquacỏcim
( ) ( )
211 , 030A B

Gii:
Mtcu cú tõm
( )
13
700 ,
3
I R - =
Giptmtphngl:
( )
( )
2 2 2
: 0 0ax by cz d a b c
a
+ + + = + + ạ ,Tacú:
( )
( )
( )

( )
,d I R
A
B

a
a
a

ỡ
=
ù
ù
ẻ
ớ
ù
ẻ
ù
ợ
( )
( )
( )
2 2 2
7
13
1
3
2 0 2
3 0 3
a d

a b c
a b c d
b d
ỡ - +
=
ù
+ +
ù
ù
+ + + =
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
*Nu
0b =
:t (3)tacúd=0,v t(2)tacú
2c a = -
thayttcvo(1)tacú:
2
7
13 7 13
3 3
5
5
a
a
-

= =
,dooúptvụnghim
*Nu
0b ạ
:chn
1b =
T(3)tacú
3d = -
vt (2)tacú:
2 2c a = -
.Thayvopt(1)tacú:
( )
2
2
7 3
13
3
1 2 2
a
a a
- -
=
+ + -
Gii ptny bngcỏch bỡnhphnghaiv:
( ) ( )
( )
2 2
2
9 7 3 169 1 2 2a a a + = + + - ,tatỡmca,t útớnh
cc.

Mtỏpsl: 2 2 6 0x y z + + - =
,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí
  3

Vídụ5:
Viếtptmặtphẳngtiếpxúcvới mặtcầu
( )
2 2 2
: 4 2 0S x y z x + + - + = ,điquađiểm
( )
1;0;1A ,và tạo
vớimặtphẳng
( )
xOy mộtgóc
0
45

Giải:
Mặtcầu đãchocó tâm
( )
2;0;0 , 2I R =
Gọi ptmặtphẳnglà:
( )
2 2 2
0 0ax by cz d a b c + + + = + + ¹
Tacó:
( )
( )
( )
0

,
.
2
cos 45
2
.
d I R
A
n k
n k

a
a
a
a

ì
ï
ï
=
ï
ï
Î
í
ï
ï
= =
ï
ï
î

uur r
uur r
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
1
2
2 2
0 0
1 1
2 2
c
a d
a d
a b c
a c d a c d
c c
a b c a b c
ì
ì +
=
=
ï
ï
+
+ +
ï
ï
ï ï
Û + + = Û + + =

í í
ï ï
ï ï
= =
ï ï
+ + + +
î
î
*Nếuc=0thìtừPT(1)tathấyhệvônghiệm
*Nếu
0 :c ¹
chọn
1c =
.Từpt(2)tacó
1d a = - -
thayvào(1)tacó
3
1 1
1 2
12 1 2
a
a
aa a
=
é
= Û - = Û
ê
= - - -
ë
Với

3 4a d = Þ = -
thayvào(3):
2
1 1
2
9 1
vn
b
= Þ
+ +
Với
1 0a d = - Þ =
thayvào(2)tacó
0b =
Vậy mặtphẳngcần tìm cópt:
0x z - + =

Vídụ6:
Cho
( ) ( )
1;1;1 , 1;3; 1A B - .Viếtptmặtcầucótâmthuộcmặtphẳng
( )
xOy ,điquaBvàtiếpxúcvới
đườngthẳng
OA
tạiA

Hướngdẫn:
GọimặtcầuScótâm
( )

; ;0I a b ,bánkínhR.
Tacócácđiềukiện:
. 0
IB R
IA R
IAOA
ì
=
ï
=
í
ï
=
î
uur uuur
,giảirađược 1, 2, 2a b R = = =

Vídụ7:
Viếtptmặtcầutiếpxúchaimặtphẳng
( ) ( )
: 2 2 1 0, : 2 2 5 0a y z x y z
a b
+ + + = + + - = vàđiquahai
điểm
( ) ( )
2;0;0 , 1;0;1A B

Hướngdẫn:
Nhậnxéthaimptrênsongsongvớinhau.,dođóbánkínhmặtcầu
( ) ( )

( )
1
,
2
R d
a b
=
Lâyđiểm
( ) ( )
0;0; 1M
a
- Î , thì
( )
( )
1 5
1 1
, 1
2 2 3
R d M
b

- -
= = =
GọimặtcầuScótâm
( )
; ;0I a b ,bánkínhR,tacó:
( )
( )
( )
( )

,
,
d I R
d I R
IA R
IB R

a
b

ì
=
ï
= ï
í
=
ï
ï
=
î
giảihệnàyrađượca,b,c

Vídụ8:
ViếtptmặtcầucótâmthuộctrụcOzvàtiếpxúchai đườngthẳng
1
: 1 , 1 2 , 2x t y t z t D = + = + = ,
2
: 3 2 , 2 , 2 2x t y t z t D = + = + = +

Hướngdẫn:

Nhận thấy
( )
1 2
1;1;0I D Ç D =
( )

a
 làmặtphẳngchứađườngphângiáccủagóc tạobởi hai đườngthẳngtrênvàvuônggócvới mpchứahai
đtđó.TâmIcủamặtcầulàgiaođiểm củatrụcOzvới
( )

a
,hctoỏnvụnthiminphớ,VừTrngTrớ
4

Cỏchkhỏc:
Gi mtcuScútõm
( )
00I a ,bỏn kớnh R.Vhaitipim cahai ngthngvi mtcu
( ) ( )
1 ,1 2 ,2 , 3 2 , 2 , 2 2M m m m N n n n + + + + + .
Tacú:
( )
1
2
. 0
. 0
IM IN R
IM u
IN u

D
D
ỡ
= =
ù
ù
=
ớ
ù
=
ù
ợ
uuur uur
uur uuur
giihbapt3nnytỡm ca,R,m,n.
*Hocgi ta tõm
( )
00I a ,khi útacú:
( ) ( )
1 2
1 2
1 2

, ,
u IM u IN
d I d I R
u u
ộ ự ộ ự
ở ỷ ở ỷ
D = D = =

ur uuur uur uur
ur uur
,trongú
( ) ( )
110 , 322M N

Vớd9:
Chobaim
( ) ( ) ( )
100 , 010 , 001A B C .Vitptmtcucúbỏn kớnh nhnhtmtipxỳcvi
ngthngACvOB

Hngdn:
GiIltõmmtcu,M,Nlnltltipim camtcuv tiptuyn.Tacú:
2
2
MN
R IM IN MN R = + ị
Vy RnhnhtkhiMNnhnhtvIthucon MN,hayMNlonvuụnggúcchungvIltrungim
caMN.
úlmtcucúngkớnh MNlon vuụnggúcchungcahai ngthngACvOB

3)Mtphngctmtcu:

Chomtcu StõmI,bỏn kớnh Rvmtphng
( )

a

Nu

( )
( )
,h d I R
a
= p thỡ mtphngctmtcu theogiaotuynlmtngtrũn xỏcinhnhsau:
TõmHlhỡnh chiuvuụnggúcca tõmItrờnmp
( )

a

Bỏn kớnh tớnh theocụngthc
2 2
r R h = -
ngtrũn lnnhtkhivch khih=0haymp
( )

a
iquatõmmtcu.

Vớd10:
Chomtphng
( )
: 2 2 3 0x y z
a
+ - - = .Vitptmtcu:
a)Cú tõml
( )
112I vctmtphng
( )

a
theongtrũn cúdin tớchbng
35
9

p

b)Cútõmthuc trc Ox,tipxỳcmtphng
( )
yoz vctmtphng
( )

a
theongtrũn cúbỏn kớnhln
nht.

Gii:
KhongcỏchttõmInmtphng
( )

a
l:
( )
2
2 2
2 2 2 3
1
3
2 2 1
h

+ - -
= =
+ + -
,t cụngthcdin tớch ng
trũn
2
35
3
S
S r r
p
p

= ị = = .M
2 2 2
1 35
4 2
9 9
R h r R = + = + = ị =
Vy ptmccn tỡm l:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 2 4x y z - + - + - =
b)Mtcuctmp
( )

a
theomtng trũn ln nhtkhitõmIthucmp
( )

a
.Theogithitnúcũn thuc
Ox,nờntacúngaytõml
3
00
2
I
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
Tipxỳcmt
( )
yOz nờncúbỏn kớnh
3
2
I
R x = =
Vy ptmcl:
2
2 2
3 9
2 4
x y z
ổ ử
- + + =
ỗ ữ
ố ứ

Vớd11:
Chomtcucúphngtrỡnh :

( ) ( )
2 2
2
1 2 9x y z - + + - = vhai im
( )
103A ,
( )
20 2B
,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí
  5
ViếtptmpquaA,Bsaochonócắtmặtcầutheomộtđườngtròn có
a)Bán kínhlớnnhất
b)Bán kínhnhỏnhất

Giải:
a)Mặtphẳngcầntìm điquaA,Bvàtâmmặtcầu.Bạn tự giải
b)Gọiptmplà
( )
( )
2 2 2
: 0 0ax by cz d a b c
a
+ + + = + + ¹
VìmặtphẳngđiquaA,Bnêntacó:
3 0
2 2 0 4
a c d a c
a c d d c
+ + = =
ì ì

Þ
í í
+ + = = -
î î
Mặtphẳngcắtmặtcầu theomộtđườngtròn cóbánkínhnhỏnhấtkhivàchỉ khikhoảngcách từ tâmIcủa
mặtcầuđếnmplớn nhất.
( )
( )
2 2 2 2 2
2
,
2
a c d c
h d I
a b c c b

a

+ + -
= = =
+ + +
Nếuc=0thì h=0
Nếu
0c ¹
chọn
1c =
:khi đó
2
1
2

h
b
=
+
lớnnhấtkhib=0
Khi đóptmpcần tìm là:
4 0x z + - =

Vídụ12:
Viếtptđườngtròn điqua3điểm
( ) ( ) ( )
1;1;0 , 0; 2;0 , 1;1;1A B C

Hướngdẫn:
Viếtptmặtphẳng
( ) ( )
ABC
a
=
Lấy 1điểm
( )
D
a
Ï (nênthửgốc tọa độO),viếtptmặtcầuđiqua4điểmA,B,C,D
Đườngtròn cần tìmlàgiaocủamặtphẳngvàmặtcầutrên

Vídụ13:
Chomặtcầu
( )
2 2 2

: 2 2 2 0S x y z x z + + - + - = vàmặtphẳng
( )
: 2 2 6 0x y z
a
- + + = .Tìm điểm
Mthuộcmặtcầu
( )
S saochokhoảngcách từMđến mặtphẳng
( )

a
 nhỏnhất,lớn nhất
Hướngdẫn :Mặtphẳngkhôngcắtmặtcầu.
Giảsửđườngthẳngquatâmmặtcầuvuônggócvới mpcắtmặtcầu tại hai điểm A,B.Đólàhai điểmcần tìm

Vídụ14:
Chomặtcầu:
( ) ( ) ( )
2 2
2
: 2 2 9S x y x + - + + = vàhai điểm thuộcmặtcầu
( ) ( )
3;2; 2 , 0;2;1A B - .
Tìm điểm Cthuộcmặtcầu
( )
S saochodiện tích
ABC D
lớnnhất.

Hướngdẫn:

Tacó thểdễdàngchứngminhrằngđólà1tronghaigiaođiểm củađườngthẳngđiquatâm
mặtcầuvàtrungđiểm củaAB.

Vídụ15:
Chomặtcầu
( ) ( ) ( )
2 2
2
28
: 1 1
3
S x y z - + - + = vàmặtphẳng
( )
: 2 2 6 0x y z
a
- + + =
Viếtptmpnằmtrongmp
( )

a
 , điquađiểm
( )
2;2; 6A - vàtiếpxúcvớimặtcầu
( )
S

Hướngdẫn:
đápsố : 1 3 , 1 , 2 4x t y t z t D = - + = + = - -