Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao ppsx


Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 1
DAO ĐỘNG CƠ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Dao động điều hòa:
* Dao động cơ, dao động tuần hoàn
+ Dao động cơ là chuyển động qua lại của vật quanh vị trí cân bằng.
+ Dao động tuần hoàn là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau, gọi là chu kì, vật trở lại vị trí
cũ theo hướng cũ.
* Dao động điều hòa
+ Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côsin (hay sin) của thời gian.
+ Phương trình dao động: x = Acos(t + ).
+ Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi là hình chiếu của một điểm M
chuyển động tròn đều trên đường tròn có đường kính là đoạn thẳng đó.
* Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hoà
Trong phương trình x = Acos(t + ) thì:
+ A là biên độ dao động, đó là giá trị cực đại của li độ x; đơn vị m, cm. A luôn luôn dương.
+ (t + ) là pha của dao động tại thời điểm t; đơn vị rad.
+  là pha ban đầu của dao động; đơn vị rad.
+  trong phương trình x = Acos(t + ) là tần số góc của dao động điều hòa; đơn vị rad/s.
+ Chu kì T của dao động điều hòa là khoảng thời gian để thực hiện một dao động toàn phần; đơn vị giây (s).
+ Tần số f của dao động điều hòa là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây; đơn vị héc (Hz).
+ Liên hệ giữa , T và f:  =
T

2
= 2f.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận


Trang 2
Các đại lượng biên độ A và pha ban đầu  phụ thuộc vào cách kích thích ban đầu làm cho hệ dao động, còn
tằn số góc  (chu kì T, tần số f) chỉ phụ thuộc vào cấu tạo của hệ dao động.
* Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hoà
+ Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian: v = x' = - Asin(t + ) = Acos(t +  +
2

)
Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng sớm pha hơn
2

so với với li độ.
Vị trí biên (x =  A), v = 0. Vị trí cân bằng (x = 0), |v| = v
max
= A.
+ Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc (đạo hàm bậc 2 của li độ) theo thời gian:
a = v' = x’’ = - 
2
Acos(t + ) = - 
2
x.
Gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng ngược pha với li độ (sớm pha
2


so với vận tốc).
Véc tơ gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng, có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ.
- Ở vị trí biên (x =  A), gia tốc có độ lớn cực đại: a
max

= 
2
A.
- Ở vị trí cân bằng (x = 0), gia tốc bằng 0.
+ Lực tác dụng lên vật dao động điều hòa F = ma = - kx luôn hướng về vị trí cân bằng, gọi là lực kéo về.
+ Đồ thị dao động điều hòa (li độ, vận tốc, gia tốc) là đường hình sin, vì thế người ta còn gọi dao động điều
hòa là dao động hình sin.
+ Phương trình dao động điều hòa x = Acos(t + ) là nghiệm của phương trình x’’ + 
2
x = 0. Đó là phương
trình động lực học của dao động điều hòa.
2. Con lắc lò xo:
Con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể, một đầu gắn cố định, đầu kia gắn
với vật nặng khối lượng m được đặt theo phương ngang hoặc treo thẳng đứng.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 3
* Phương trình dao động: x = Acos(t + ); với:  =
m
k
; A =
2
0
2
0









v
x
;  xác định theo phương trình
cos =
A
x
0
; (lấy nghiệm (-) nếu v
0
> 0; lấy nghiệm (+) nếu v
0
< 0).
* Chu kì, tần số của con lắc lò xo: T = 2
k
m
; f =
1
2

m
k
.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 4

* Năng lượng của con lắc lò xo:
+ Động năng: W
đ
=
2
1
mv
2
=
2
1
m
2
A
2
sin
2
(t+). Thế năng: W
t
=
2
1
kx
2
=
2
1
k A
2
cos

2
(t + ). Động năng,
thế năng của vật dao động điều hòa biến thiên tuần hoàn với tần số góc ’ = 2, tần số f’ = 2f, chu kì T’ =
2
T
.
+ Cơ năng: W = W
t
+ W
đ
=
2
1
k A
2
=
2
1
m
2
A
2
= hằng số.
3. Con lắc đơn. Con lắc vật lí:
Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không giãn, vật nặng kích thước không đáng kể so với
chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng kể so với khối lượng của vật nặng.
* Phương trình dao động (khi




10
0
): s = S
0
cos(t + ) hoặc  = 
0
cos(t + ); với  =
l
s
; 
0
=
0
S
l
.
* Chu kỳ, tần số, tần số góc của con lắc đơn: T = 2
g
l
; f =

2
1
l
g
;  =
l
g
.
* Lực kéo về khi biên độ góc nhỏ: F = - s

l
mg
.
* Ứng dụng: Xác định gia tốc rơi tự do nhờ đo chu kì và chiều dài của con lắc đơn: g =
2
2
4
T
l

.
* Năng lượng của con lắc đơn:
+ Động năng : W
đ
=
2
1
mv
2
. Thế năng: W
t
= mgl(1 - cos) =
2
1
mgl
2
(  10
0
,  (rad)).
+ Cơ năng: W = W

t
+ W
đ
= mgl(1 - cos
0
) =
2
1
mgl
2
0
.
Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua ma sát.

* Con lắc đơn chịu tác dụng thêm lực khác ngoài trọng lực

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 5
Nếu ngoài trọng lực ra, con lắc đơn còn chịu thêm một lực

F
không đổi khác (lực điện trường, lực quán
tính, lực đẩy Acsimet, ), thì trọng lực biểu kiến tác dụng lên vật sẽ là:

'
P
=

P

+

F
, ia tốc rơi tự do biểu
kiến là:

'g =

g +
m
F

. Khi đó chu kì dao động của con lắc đơn là: T’ = 2
'g
l
.
* Con lắc vật lí:
Con lắc vật lí là một vật rắn quay được quanh một trục nằm ngang cố định.
+ Phương trình dao động của con lắc vật lí:  = 
0
cos(t + ); với  =
d
mg
I
; trong đó m là khối lượng của
vật rắn, d là khoảng cách từ trọng tâm của vật rắn đến trục quay còn I là momen quán tính của vật rắn.
+ Chu kì, tần số của con lắc vật lí: T = 2
d
I
mg

, f =
1
2

d
mg
I
.
+ Ứng dụng của con lắc vật lí: Giống như con lắc đơn, con lắc vật lí dùng để đo gia tốc trọng trường g nơi đặt
con lắc.
4. Dao động tắt dần, dao động cưởng bức:
* Dao động tắt dần
+ Khi không có ma sát, con lắc dao động điều hòa với tần số riêng. Tần số riêng của con lắc chỉ phụ thuộc vào
các đặc tính của con lắc.
+ Dao động có biên độ giảm dần theo thời gian gọi là dao động tắt dần. Nguyên nhân làm tắt dần dao động là
do lực ma sát và lực cản của môi trường làm tiêu hao cơ năng của con lắc, chuyển hóa dần cơ năng thành
nhiệt năng. Vì thế biên độ của con lắc giảm dần và cuối cùng con lắc dừng lại.
+ Ứng dụng: các thiết bị đóng cửa tự động, các bộ phận giảm xóc của ô tô, xe máy, … là những ứng dụng của
dao động tắt dần.
* Dao động duy trì
Nếu ta cung cấp thêm năng lượng cho vật dao động có ma sát để bù lại sự tiêu hao vì ma sát mà không làm
thay đổi chu kì riêng của nó thì dao động sẽ kéo dài mãi và được gọi là dao động duy trì.
* Dao động cưởng bức

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 6
+ Dao động chịu tác dụng của một ngoại lực cưởng bức tuần hoàn gọi là dao động cưởng bức.
+ Dao động cưởng bức có biên độ không đổi và có tần số bằng tần số của lực cưởng bức.
+ Biên độ của dao động cưởng bức phụ thuộc vào biên độ của lực cưởng bức, vào lực cản trong hệ và vào sự

chênh lệch giữa tần số cưởng bức f và tần số riêng f
0
của hệ. Biên độ của lực cưởng bức càng lớn, lực cản
càng nhỏ và sự chênh lệch giữa f và f
0
càng ít thì biên độ của dao động cưởng bức càng lớn.
* Cộng hưởng
+ Hiện tượng biên độ của dao động cưởng bức tăng dần lên đến giá trị cực đại khi tần số f của lực cưởng bức
tiến đến bằng tần số riêng f
0
của hệ dao động gọi là hiện tượng cộng hưởng.
+ Điều kiện f = f
0
gọi là điều kiện cộng hưởng.
+ Đường cong biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ vào tần số cưởng bức gọi là đồ thị cộng hưởng. Nó càng
nhọn khi lực cản của môi trường càng nhỏ.
+ Tầm quan trọng của hiện tượng cộng hưởng:
Tòa nhà, cầu, bệ máy, khung xe, đều là những hệ dao động và có tần số riêng. Phải cẩn thận không để
cho chúng chịu tác dụng của các lực cưởng bức mạnh, có tần số bằng tần số riêng để tránh sự cộng hưởng,
gây dao động mạnh làm gãy, đổ.
Hộp đàn của đàn ghi ta, viôlon, là những hộp cộng hưởng với nhiều tần số khác nhau của dây đàn làm
cho tiếng đàn nghe to, rỏ.
5. Tổng hợp các dao động điều hòa:
+ Mỗi dao động điều hòa được biểu diễn bằng một véc tơ quay. Véc tơ này có góc tại góc tọa độ của trục Ox,
có độ dài bằng biên độ dao động A, hợp với trục Ox một góc ban đầu  và quay đều
quanh O theo chiều ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc .
+ Phương pháp giãn đồ Fre-nen dùng để tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương,
cùng tần số: Lần lượt vẽ hai véc tơ quay

1

A và

2
A biểu diễn hai phương trình dao động
thành phần. Sau đó vẽ véc tơ tổng hợp của hai véc tơ trên. Véc tơ tổng

A
=

1
A +

2
A là véc tơ quay biểu diễn
phương trình của dao động tổng hợp.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 7
+ Nếu một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số với các phương trình:
x
1
= A
1
cos(t + 
1
) và x
2
= A
2

cos(t + 
2
), thì dao động tổng hợp sẽ là: x = x
1
+ x
2
= Acos(t + ) với A và
 được xác định bởi các công thức: A
2
= A
1
2
+ A
2
2
+ 2 A
1
A
2
cos (
2
- 
1
) và tan =
2211
2211
coscos
sinsin



AA
AA


.
Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp phụ thuộc vào biên độ và pha ban đầu của các dao động
thành phần.
+ Khi x
1
và x
2
cùng pha (
2
- 
1
= 2k) thì dao động tổng hợp có biên độ cực đại: A = A
1
+ A
2
.
+ Khi x
1
và x
2
ngược pha (
2
- 
1
= (2k + 1)) thì dao động tổng hợp có biên độ cực tiểu: A = |A
1

- A
2
| .
+ Trường hợp tổng quát: A
1
+ A
2
 A  |A
1
- A
2
|.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. Tìm các đại lượng đặc trưng trong dao động điều hòa.
* Các công thức:
+ Li độ (phương trình dao động): x = Acos(t + ).
+ Vận tốc: v = x’ = - Asin(t + ) = Acos(t +  +
2

).
+ Gia tốc: a = v’ = - 
2
Acos(t + ) = - 
2
x; a
max
= 
2
A.
+ Vận tốc v sớm pha

2

so với li độ x; gia tốc a ngược pha với li độ x (sớm pha
2

so với vận tốc v).
+ Liên hệ giữa tần số góc, chu kì và tần số của dao động:  =
T

2
= 2f.
+ Công thức độc lập: A
2
= x
2
+
2
2
v

=
2 2
2 4
v a
 

.
+ Ở vị trí cân bằng: x = 0 thì |v| = v
max
= A và a = 0.

+ Ở vị trí biên: x =  A thì v = 0 và |a| = a
max
= 
2
A =
2
ax
m
v
A
.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 8
+ Lực kéo về: F = ma = - kx.
+ Quỹ đạo chuyển động của vật dao động điều hòa là một đoạn thẳng có chiều dài L = 2A.
* Phương pháp giải:
+ Để tìm các đại lượng đặc trưng của một dao động điều hòa khi biết phương trình dao động hoặc biết một số
đại lượng khác của dao động ta sử dụng các công thức liên quan đến những đại lượng đã biết và đại lượng cần
tìm rồi suy ra và tính đại lượng cần tìm theo yêu cầu của bài toán.
+ Để tìm các đại lượng của dao động điều hòa tại một thời điểm t đã cho ta thay giá trị của t vào phương trình
liên quan để tính đại lượng đó.
Lưu ý: Hàm sin và hàm cos là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 nên khi thay t vào nếu được góc của hàm sin hoặc
hàm cos là một số lớn hơn 2 thì ta bỏ đi của góc đó một số chẵn của  để dễ bấm máy.
+ Để tìm thời điểm mà x, v, a hay F có một giá trị cụ thể nào đó thì ta thay giá trị này vào phương trình liên
quan và giải phương trình lượng giác để tìm t.
Lưu ý: Đừng để sót nghiệm: với hàm sin thì lấy thêm góc bù với góc đã tìm được, còn với hàm cos thì lấy
thêm góc đối với nó và nhớ hàm sin và hàm cos là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 để đừng bỏ sót các họ
nghiệm. Cũng đừng để dư nghiệm: Căn cứ vào dấu của các đại lượng liên quan để loại bớt họ nghiệm không

phù hợp.
* Bài tập minh họa:
1. Phương trình dao động của một vật là: x = 6cos(4t +
6

) (cm), với x tính bằng cm, t tính bằng s. Xác định
li độ, vận tốc và gia tốc của vật khi t = 0,25 s.
2. Một vật nhỏ khối lượng 100 g dao động điều hòa trên quỹ đạo thẳng dài 20 cm với tần số góc 6 rad/s. Tính
vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của vật.
3. Một vật dao động điều hoà trên quỹ đạo dài 40 cm. Khi ở vị trí có li độ x = 10 cm vật có vận tốc
20 3 cm/s. Tính vận tốc và gia tốc cực đại của vật.
4. Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì 0,314 s và biên độ 8 cm. Tính vận tốc của chất điểm khi nó đi
qua vị trí cân bằng và khi nó đi qua vị trí có li độ 5 cm.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 9
5. Một chất điểm dao động theo phương trình: x = 2,5cos10t (cm). Vào thời điểm nào thì pha dao động đạt giá
trị
3

? Lúc ấy li độ, vận tốc, gia tốc của vật bằng bao nhiêu?
6. Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 5cos(4t + ) (cm). Vật đó đi qua vị trí cân bằng theo
chiều dương vào những thời điểm nào? Khi đó độ lớn của vận tốc bằng bao nhiêu?
7. Một vật nhỏ có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa với phương trình: x = 20cos(10t +
2

) (cm). Xác
định độ lớn và chiều của các véc tơ vận tốc, gia tốc và lực kéo về tại thời điểm t = 0,75T.
8. Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ

2
cm và với chu kì 0,2 s. Tính độ lớn của gia
tốc của vật khi nó có vận tốc 10
10
cm/s.
9. Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 20cos(10t +
2

) (cm). Xác định thời điểm đầu tiên vật đi
qua vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều ngược chiều với chiều dương kể từ thời điểm t = 0.
10. Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 4cos(10t -
3

) (cm). Xác định thời điểm gần nhất vận
tốc của vật bằng 20
3
cm/s và đang tăng kể từ lúc t = 0.
* Hướng dẫn giải và đáp số:
1. Khi t = 0,25 s thì x = 6cos(4.0,25 +
6

) = 6cos
6
7

= - 3 3 (cm);
v = - 6.4sin(4t +
6

) = - 6.4sin

6
7

= 37,8 (cm/s); a = - 
2
x = - (4)
2
. 3 3 = - 820,5 (cm/s
2
).
2. Ta có: A =
2
L
=
2
20
= 10 (cm) = 0,1 (m); v
max
= A = 0,6 m/s; a
max
= 
2
A = 3,6 m/s
2
.
3. Ta có: A =
2
L
=
2

40
= 20 (cm);  =
22
xA
v

= 2 rad/s; v
max
= A = 2A = 40 cm/s;
a
max
= 
2
A = 800 cm/s
2
.
4. Ta có:  =
314,0
14,3.22

T

= 20 (rad/s). Khi x = 0 thì v = ± A = ±160 cm/s.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 10
Khi x = 5 cm thì v = ± 
22
xA  = ± 125 cm/s.

5. Ta có: 10t =
3

 t =
30

(s). Khi đó x = Acos
3

= 1,25 (cm); v = - Asin
3

= - 21,65 (cm/s);
a = - 
2
x = - 125 cm/s
2
.
6. Khi đi qua vị trí cân bằng thì x = 0  cos(4t + ) = 0 = cos(±
2

). Vì v > 0 nên 4t +  = -
2

+ 2k
 t = -
3
8
+ 0,5k với k  Z. Khi đó |v| = v
max

= A = 62,8 cm/s.
7. Khi t = 0,75T =
0,75.2


= 0,15 s thì x = 20cos(10.0,15 +
2

) = 20cos2 = 20 cm;
v = - Asin2 = 0; a = - 
2
x = - 200 m/s
2
; F = - kx = - m
2
x = - 10 N; a và F đều có giá trị âm nên gia tốc và
lực kéo về đều hướng ngược với chiều dương của trục tọa độ.
8. Ta có:  =
2
T

= 10 rad/s; A
2
= x
2
+
2
2
v


=
2 2
2 4
v a
 
  |a| =
4 2 2 2
A v
 
 = 10 m/s
2
.
9. Ta có: x = 5 = 20cos(10t +
2

)  cos(10t +
2

) = 0,25 = cos(±0,42).
Vì v < 0 nên 10t +
2

= 0,42 + 2k  t = - 0,008 + 0,2k; với k  Z. Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ
nghiệm này (ứng với k = 1) là 0,192 s.
10. Ta có: v = x’ = - 40sin(10t -
3

) = 40cos(10t +
6


) = 20
3

 cos(10t +
6

) =
3
2
= cos(±
6

). Vì v đang tăng nên: 10t +
6

= -
6

+ 2k
 t = -
1
30
+ 0,2k. Với k  Z. Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này là t =
6
1
s.
2. Các bài tập liên quan đến đường đi, vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hòa.
* Kiến thức liên quan:

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận


Trang 11
Trong một chu kỳ vật dao động điều hoà đi được quãng đường 4A. Trong nữa chu kì vật đi được quãng
đường 2A. Trong một phần tư chu kì tính từ vị trí biên hay vị trí cân bằng thì vật đi được quãng đường A, còn
từ các vị trí khác thì vật đi được quãng đường khác A.
Càng gần vị trí cân bằng thì vận tốc tức thời của vật có độ lớn càng lớn (ở vị trí cân bằng vận tốc của vật có
độ lớn cực đại v
max
= A), càng gần vị trí biên thì vận tốc tức thời của vật có độ lớn càng nhỏ (ở vị trí biên
v = 0); do đó trong cùng một khoảng thời gian, càng gần vị trí cân bằng thì quãng đường đi được càng lớn còn
càng gần vị trí biên thì quãng đường đi được càng nhỏ.
Càng gần vị trí biên thì gia tốc tức thời của vật có độ lớn càng lớn (ở vị trí biên gia tốc của vật có độ lớn
cực đại a
max
= 
2
A), càng gần vị trí cân bằng thì gia tốc tức thời của vật có độ lớn càng nhỏ (ở vị trí cân bằng
a = 0); do đó càng gần vị trí biên thì độ lớn của lực kéo về (còn gọi là lực hồi phục) càng lớn còn càng gần vị
trí cân bằng thì độ lớn của lực kéo về càng nhỏ.
Các công thức thường sử dụng: v
tb
=
S
t

; A
2
= x
2
+

2
2
v

=
2 2
2 4
v a
 

; a = - 
2
x;
* Phương pháp giải:
Cách thông dụng và tiện lợi nhất khi giải bài tập loại này là sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và
chuyển động tròn đều:
+ Tính quãng đường đi của con lắc trong khoảng thời gian t từ t
1
đến t
2
:
- Thực hiện phép phân tích: t = nT +
2
T
+ t’.
- Tính quãng đường S
1
vật đi được trong nT +
2
T

đầu: S
1
= 4nA + 2A.
- Xác định vị trí của vật trên đường tròn tại thời điểm t
1
và vị trí của vật sau khoảng thời gian nT +
2
T
trên
đường tròn, sau đó căn cứ vào góc quay được trong khoảng thời gian t’ trên đường tròn để tính quãng đường
đi được S
2
của vật trong khoảng thời gian t’ còn lại.
- Tính tổng: S = S
1
+ S
2
.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 12
+ Tính vận tốc trung bình của vật dao động điều hòa trong một khoảng thời gian t: Xác định góc quay được
trong thời gian t trên đường tròn từ đó tính quãng đường S đi được và tính vận tốc trung bình theo công
thức: v
tb
=
S
t


.
+ Tính quãng đường lớn nhất hay nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < t <
2
T
:  = t;
S
max
= 2Asin
2


; S
min
= 2A(1 - cos
2


).
+ Tính tần số góc  (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ có khoảng thời gian t để vận
tốc có độ lớn không nhỏ hơn một giá trị v nào đó: trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí cân bằng khoảng thời
gian để vận có vận tốc không nhỏ hơn v là: t =
4
t
;  =
2
T

t; vật có độ lớn vận tốc nhỏ nhất là v khi li độ
|x| = Asin. Khi đó:  =
2 2

v
A x

.
+ Tính tần số góc  (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ có khoảng thời gian t để vận
tốc có độ lớn không lớn hơn một giá trị v nào đó: trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí biên khoảng thời gian
để vận có vận tốc không lớn hơn v là: t =
4
t
;  =
2
T

t; vật có độ lớn vận tốc lớn nhất là v khi li đ
ộ
|x| = Acos. Khi đó:  =
2 2
v
A x

.
+ Tính tần số góc  (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ có khoảng thời gian t để gia
tốc có độ lớn không nhỏ hơn một giá trị a nào đó: trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí biên khoảng thời gian
để vận có gia tốc không nhỏ hơn a là: t =
4
t
;  =
2
T


t; vật có độ lớn gia tốc nhỏ nhất là a khi li đ
ộ
|x| = Acos. Khi đó:  =
| |
| |
a
x
.
+ Tính tần số góc  (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ có khoảng thời gian t để gia
tốc có độ lớn không lớn hơn một giá trị a nào đó: trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí cân bằng khoảng thời
gian để vận có gia tốc không lớn hơn a là: t =
4
t
;  =
2
T

t; vật có độ lớn gia tốc lớn nhất là a khi li độ
|x| = Asin. Khi đó:  =
| |
| |
a
x
.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 13
* Bài tập minh họa:
1. Một chất điểm dao động với phương trình: x = 4cos(5t +

2

) (cm). Tính quãng đường mà chất điểm đi
được sau thời gian t = 2,15 s kể từ lúc t = 0.
2. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T = 0,2 s, biên độ A = 4 cm. Tính vận tốc trung bình của vật trong
khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí có li độ x = A đến vị trí có li độ x = -
2
A
.
3. Một chất điểm dao động theo phương trình x = 2,5cos10t (cm). Tính vận tốc trung bình của dao động trong
thời gian
8
1
chu kì kể từ lúc vật có li độ x = 0 và kể từ lúc vật có li độ x = A.
4. Vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 2cos(10t -
3

) cm. Tính vận tốc trung bình của vật trong
1,1 giây đầu tiên.
5. Một vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 5cos(2t -
4

) cm. Tính vận tốc trung bình trong khoảng
thời gian từ t
1
= 1 s đến t
2
= 4,825 s.
6. Vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 12cos(10t -
3


) cm. Tính quãng đường dài nhất và ngắn
nhất mà vật đi được trong
1
4
chu kỳ.
7. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 10 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để
chất điểm có vận tốc không vượt quá 20
3
cm/s là
2
3
T
. Xác định chu kì dao động của chất điểm.
8. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 8 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để
chất điểm có vận tốc không nhỏ hơn 40
3
cm/s là
3
T
. Xác định chu kì dao động của chất điểm.
9. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian
để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s
2
là
3
T
. Lấy π
2
= 10. Xác định tần số dao động

của vật.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 14
10. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 4 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian
để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không nhỏ hơn 500
2
cm/s
2
là
2
T
. Lấy π
2
= 10. Xác định tần số dao
động của vật.
* Hướng dẫn giải và đáp số:
1. Ta có: T =


2
= 0,4 s ;
T
t
= 5,375 = 5 + 0,25 + 0,125  t = 5T +
4
T
+
8

T
. Lúc t = 0 vật ở vị trí cân bằng;
sau 5 chu kì vật đi được quãng đường 20A và trở về vị trí cân bằng, sau
4
1
chu kì kể từ vị trí cân bằng vật đi
được quãng đường A và đến vị trí biên, sau
8
1
chu kì kể từ vị trí biên vật đi được quãng đường: A - Acos
4


= A - A
2
2
. Vậy quãng đường vật đi được trong thời gian t là s = A(22 -
2
2
) = 85,17 cm.
2. Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí biên x = A đến vị trí cân bằng x = 0 là
4
T
; khoảng thời gian ngắn
nhất vật đi từ vị trí cân bằng x = 0 đến vị trí có li độ x =
2
A

là
3

4
T
=
12
T
; vậy t =
4
T
+
12
T
=
3
T
.
Quãng đường đi được trong thời gian đó là s = A +
2
A
=
2
3A
 Tốc độ trung bình v
tb
=
t
s
=
T
A
2

9
= 90 cm/s.
3. Ta có: T =


2
= 0,2 s; t =
8
T
= 0,0785 s. Trong
8
1
chu kỳ, góc quay trên giãn đồ là
4

.
Quãng đường đi được tính từ lúc x = 0 là s = Acos
4

= 1,7678 cm, nên trong trường hợp n
ày
v
tb
=
0785,0
7678,1



t

s
= 22,5 (cm/s).
Quãng đường đi được từ lúc x = A là s = A - Acos
4

= 0,7232 cm, nên trong trường hợp n
ày
v
tb
=
0785,0
7232,0



t
s
= 9,3 (cm/s).
4. Ta có: T =


2
= 0,2 s; t = 1,1 = 5.0,2 +
2
2,0
= 5T +
2
T



Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 15
 Quãng đường vật đi được là: S = 5.4A + 2 A = 22A = 44 cm  Vận tốc trung bình: v
tb
=
t
S

= 40 cm/s.
5. T =


2
= 1 s; t = t
2
– t
1
= 3,625 = 3T +
2
T
+
8
T
. Tại thời điểm t
1
= 1 s vật ở vị trí có li độ x
1
= 2,5
2

cm;
sau 3,5 chu kì vật đi được quãng đường 14 A = 70 cm và đến vị trí có li độ - 2,5
2
cm; trong
8
1
chu kì tiếp
theo kể từ vị trí có li độ - 2,5
2
cm vật đi đến vị trí có li độ x
2
= - 5 cm nên đi được quãng đường 5 – 2,5
2

= 1,46 (cm). Vậy quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến thời điểm t
2
là S = 70 + 1,46 = 71, 46 (cm)
 v
tb
=
t
S


= 19,7 cm/s.
6. Vật có độ lớn vận tốc lớn nhất khi ở vị trí cân bằng nên quãng đường dài nhất vật đi được trong
1
4

chu kỳ
là S
max
= 2Acos
4

= 16,97 cm. Vật có độ lớn vận tốc nhỏ nhất khi ở vị trí biên nên quãng đường ngắn nhất
vật đi được trong
1
4
chu kỳ là S
min
= 2A(1 - cos
4

) = 7,03 cm.
7. Trong quá trình dao động điều hòa, vận tốc có độ lớn càng nhỏ khi càng gần vị trí biên, nên trong 1 chu kì
vật có vận tốc không vượt quá 20
3
cm/s là
2
3
T
thì trong
1
4
chu kỳ kể từ vị trí biên vật có vận tốc không
vượt quá 20
3
cm/s là

6
T
. Sau khoảng thời gian
6
T
kể từ vị trí biên vật có |x| = Acos
3

= 5 cm
  =
22
xA
v

= 4 rad/s  T =


2
= 0,5 s.
8. Trong quá trình dao động điều hòa, vận tốc có độ lớn càng lớn khi càng gần vị trí cân bằng, nên trong 1 chu
kì vật có vận tốc không nhỏ hơn 40
3
cm/s là
3
T
thì trong
1
4
chu kỳ kể từ vị trí cân bằng vật có vận tốc
không nhỏ hơn 40

3
cm/s là
12
T
. Sau khoảng thời gian
12
T
kể từ vị trí cân bằng vật có |x| = Asin
6

= 4 cm
  =
22
xA
v

= 10 rad/s  T =


2
= 0,2 s.
9. Trong quá trình vật dao động điều hòa, gia tốc của vật có độ lớn càng nhỏ khi càng gần vị trí cân bằng.
Trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s
2
là
3
T
thì

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận


Trang 16
trong một phần tư chu kì tính từ vị trí cân bằng, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không
vượt quá 100 cm/s
2
là
12
T
. Sau khoảng thời gian
12
T
kể từ vị trí cân bằng vật có |x| = Acos
6

=
2
A
= 2,5 cm.
Khi đó |a| = 
2
|x| = 100 cm/s
2
  =
||
||
x
a
= 2 10 = 2  f =



2
= 1 Hz.
10. Trong quá trình vật dao động điều hòa, gia tốc của vật có độ lớn càng lớn khi càng gần vị trí biên. Trong
một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không nhỏ hơn 500
2
cm/s
2
là
2
T
thì trong
một phần tư chu kì tính từ vị trí biên, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không nhỏ hơn
500
2
cm/s
2
là
8
T
. Sau khoảng thời gian
8
T
kể từ vị trí biên vật có |x| = Acos
4

=
2
A
= 2
2

cm.
Khi đó |a| = 
2
|x| = 500
2
cm/s
2
  =
||
||
x
a
= 5 10 = 5  f =


2
= 2,5 Hz.
3. Viết phương trình dao động của vật dao động, của các con lắc lò xo và con lắc đơn.
* Các công thức:
+ Phương trình dao động của con lắc lò xo: x = Acos(t + ).
Trong đó:  =
m
k
; con lắc lò xo treo thẳng đứng:  =
m
k
=
0
g
l


; A =
2
0
2
0








v
x =
2 2
2 4
v a
 
 ;
cos =
A
x
0
; (lấy nghiệm "-" khi v
0
> 0; lấy nghiệm "+" khi v
0
< 0); với x

0
và v
0
là li độ và vận tốc tại thời
điểm t = 0.
+ Phương trình dao động của con lắc đơn: s = S
0
cos(t + ).
Trong đó:  =
l
g
; S
0
=
2
2
v
s

 

 
 
=
2 2
2 4
v a
 
 ; cos =
0

s
S
; (lấy nghiệm "-" khi v > 0; lấy nghiệm "+"
khi v < 0); với s = l ( tính ra rad); v là li độ; vận tốc tại thời điểm t = 0.
+ Phương trình dao động của con lắc đơn có thể viết dưới dạng li độ góc:
 = 
0
cos(t + ); với s = l; S
0
= 
0
l (

và 
0
tính ra rad).

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 17
* Phương pháp giải: Dựa vào các điều kiện bài toán cho và các công thức liên quan để tìm ra các giá trị cụ
thể của tần số góc, biên độ và pha ban đầu rồi thay vào phương trình dao động.
Lưu ý: Sau khi giải một số bài toán cơ bản về dạng này ta rút ra một số kết luận dùng để giải nhanh một số
câu trắc nghiệm dạng viết phương trình dao động:
+ Nếu kéo vật ra cách vị trí cân bằng một khoảng nào đó rồi thả nhẹ thì khoảng cách đó chính là biên độ dao
động. Nếu chọn gốc thời gian lúc thả vật thì:  = 0 nếu kéo vật ra theo chiều dương;  =  nếu kéo vật ra theo
chiều âm.
+ Nếu từ vị trí cân bằng truyền cho vật một vận tốc để nó dao động điều hòa thì vận tốc đó chính là vận tốc
cực đại, khi đó: A =
max

v

, (con lắc đơn S
0
=
max
v

). Chọn gốc thời gian lúc truyền vận tốc cho vật thì:  = -
2


nếu chiều truyền vận tốc cùng chiều với chiều dương;  =
2

nếu chiều truyền vận tốc ngược chiều dương.
* Bài tập minh họa:
1. Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một vật có khối lượng 100 g và lò xo khối lượng không đáng kể, có độ
cứng 40 N/m. Kéo vật nặng theo phương thẳng đứng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng một đoạn 5 cm và
thả nhẹ cho vật dao động điều hoà. Chọn trục tọa độ Ox thẳng đứng, gốc O trùng với vị trí cân bằng; chiều
dương là chiều vật bắt đầu chuyển động; gốc thời gian lúc thả vật. Lấy g = 10 m/s
2
. Viết phương trình dao
động của vật.
2. Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m = 400 g, lò xo khối lượng không đáng kể, có đ
ộ cứng
k = 40 N/m. Kéo vật nặng ra cách vị trí cân bằng 4 cm và thả nhẹ. Chọn chiều dương cùng chiều với chiều
kéo, gốc thời gian lúc thả vật. Viết phương trình dao động của vật nặng.
3. Một con lắc lò xo có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì T = 0,2 s và chiều dài
quỹ đạo là L = 40 cm. Viết phương trình dao động của con lắc. Chọn gốc thời gian lúc con lắc qua vị trí cân

bằng theo chiều âm.
4. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào lò xo khối lượng không đáng
kể, có độ cứng k = 100 N/m. Chọn trục toạ độ thẳng đứng, gốc toạ độ tại vị trí cân bằng, chiều dương từ trên
xuống. Kéo vật nặng xuống phía dưới, cách vị trí cân bằng 5
2
cm và truyền cho nó vận tốc 20
2
cm/s
theo chiều từ trên xuống thì vật nặng dao động điều hoà với tần số 2 Hz. Chọn gốc thời gian lúc vật bắt đầu
dao động. Cho g = 10 m/s
2
, 
2
= 10. Viết phương trình dao động của vật nặng.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 18
5. Một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k và một vật nhỏ có khối lượng m = 100 g, được treo
thẳng đứng vào một giá cố định. Tại vị trí cân bằng O của vật, lò xo giãn 2,5 cm. Kéo vật dọc theo trục của lò
xo xuống dưới cách O một đoạn 2 cm rồi truyền cho nó vận tốc 40 3 cm/s theo phương thẳng đứng hướng
xuống dưới. Chọn trục toạ độ Ox theo phương thẳng đứng, gốc tại O, chiều dương hướng lên trên; gốc thời
gian là lúc vật bắt đầu dao động. Lấy g = 10 m/s
2
. Viết phương trình dao động của vật nặng.
6. Một con lắc đơn có chiều dài l = 16 cm. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 9
0
rồi thả nhẹ. Bỏ
qua mọi ma sát, lấy g = 10 m/s
2

, 
2
= 10. Chọn gốc thời gian lúc thả vật, chiều dương cùng chiều với chiều
chuyển động ban đầu của vật. Viết phương trình dao động theo li độ góc tính ra rad.
7. Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2 s. Lấy g = 10 m/s
2
, 
2
= 10. Viết phương trình dao
động của con lắc theo li độ dài. Biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc  = 0,05 rad và v
ận tốc
v = - 15,7 cm/s.
8. Một con lắc đơn có chiều dài l = 20 cm. Tại thời điểm t = 0, từ vị trí cân bằng con lắc được truyền vận tốc
14 cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g = 9,8 m/s
2
. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ
dài.
9. Một con lắc đơn đang nằm yên tại vị trí cân bằng, truyền cho nó một vận tốc v
0
= 40 cm/s theo phương
ngang thì con lắc đơn dao động điều hòa. Biết rằng tại vị trí có li độ góc  = 0,1
3
rad thì nó có v
ận tốc
v = 20 cm/s. Lấy g = 10 m/s
2
. Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật, chiều dương cùng chiều với
vận tốc ban đầu. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài.
10. Con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T =
5


s. Biết rằng ở thời điểm ban đầu con lắc ở vị trí biên, có
biên độ góc 
0
với cos
0
= 0,98. Lấy g = 10 m/s
2
. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ góc.
* Hướng dẫn giải và đáp số:
1. Ta có:  =
m
k
= 20 rad/s; A =
2
2
2
2
2
0
2
0
20
0
)5( 

v
x = 5(cm);
cos =
5

5
0


A
x
= - 1 = cos   = . Vậy x = 5cos(20t + ) (cm).
2. Ta có:  =
m
k
= 10 rad/s; A =
2
2
2
2
2
0
2
0
10
0
4 

v
x = 4 (cm); cos =
4
4
0

A

x
= 1 = cos0   = 0.
Vậy x = 4cos20t (cm).

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 19
3. Ta có:  =
T

2
= 10 rad/s; A =
2
L
= 20 cm; cos =
A
x
0
= 0 = cos(±
2

); vì v < 0   =
2

.
Vậy: x = 20cos(10t +
2

) (cm).
4. Ta có:  = 2f = 4 rad/s; m =

2

k
= 0,625 kg; A =
2
2
0
2
0

v
x  = 10 cm; cos =
A
x
0
= cos(±
4

); vì v > 0 nên
 = -
4

. Vậy: x = 10cos(4t -
4

) (cm).
5. Ta có:  =
0
l
g


= 20 rad/s; A =
2
2
0
2
0

v
x  = 4 cm; cos =
A
x
0
=
4
2

= cos(±
3
2

); vì v < 0 nên  =
3
2

.
Vậy: x = 4cos(20t +
3
2


) (cm).
6. Ta có:  =
l
g
= 2,5 rad/s; 
0
= 9
0
= 0,157 rad; cos =
0
0
0





 = - 1 = cos   = .
Vậy:  = 0,157cos(2,5 + ) (rad).
7. Ta có:  =
T

2
= ; l =
2

g
= 1 m = 100 cm; S
0
=

2
2
2
)(


v
l  = 5 2 cm;
cos =
0
S
l

=
2
1
= cos(
4

); vì v < 0 nên  =
4

. Vậy: s = 5
2
cos(t +
4

) (cm).
8. Ta có:  =
l

g
= 7 rad/s; S
0
=

v
= 2 cm; cos =
0
S
s
= 0 = cos(
2

); vì v > 0 nên  = -
2

.
Vậy: s = 2cos(7t -
2

) (cm).
9. Ta có S
2
0
=
2
2
0

v

= s
2
+
2
2

v
= 
2
l
2
+
2
2

v
=
4
22


g
+
2
2

v
  =
22
0

vv
g


= 5 rad/s; S
0
=

0
v
= 8 cm;
cos =
0
S
s
= 0 = cos(
2

); vì v > 0 nên  = -
2

. Vậy: s = 8cos(5t -
2

) (cm).

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 20
10. Ta có:  =

T

2
= 10 rad/s; cos
0
= 0,98 = cos11,48
0
 
0
= 11,48
0
= 0,2 rad; cos =
0


=
0
0


= 1 = cos0
  = 0. Vậy:  = 0,2cos10t (rad).
4. Các bài toán liên quan đến thế năng, động năng và cơ năng của con lắc lò xo.
* Các công thức:
+ Thế năng: W
t
=
2
1
kx

2
=
2
1
kA
2
cos
2
( + ).
+ Động năng: W
đ
=
2
1
mv
2
=
2
1
m
2
A
2
sin
2
( +) =
2
1
kA
2

sin
2
( + ).
Thế năng và động năng của con lắc lò xo biến thiên tuần hoàn với tần số góc ’ = 2, với tần số f’ = 2f và
với chu kì T’ =
2
T
.
+ Trong một chu kì có 4 lần động năng và thế năng của vật bằng nhau nên khoảng thời gian liên tiếp giữa hai
lần động năng và thế năng bằng nhau là
4
T
.
+ Cơ năng: W = W
t
+ W
đ
=
2
1
kx
2
+
2
1
mv
2
=
2
1

kA
2
=
2
1
m
2
A
2
.
* Phương pháp giải:
Để tìm các đại lượng liên quan đến năng lượng của con lắc ta viết biểu thức liên quan đến các đại lượng đã
biết và đại lượng cần tìm từ đó suy ra và tính đại lượng cần tìm.
* Bài tập minh họa:
1. Một con lắc lò xo có biên độ dao động 5 cm, có vận tốc cực đại 1 m/s và có cơ năng 1 J. Tính độ cứng của
lò xo, khối lượng của vật nặng và tần số dao động của con lắc.
2. Một con lắc lò xo có độ cứng k = 150 N/m và có năng lượng dao động là W = 0,12 J. Khi con lắc có li độ
là 2 cm thì vận tốc của nó là 1 m/s. Tính biên độ và chu kỳ dao động của con lắc.
3. Một con lắc lò xo có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì T = 0,2 s và chiều dài
quỹ đạo là L = 40 cm. Tính độ cứng lò xo và cơ năng của con lắc.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 21
4. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một vật nặng có khối lượng m gắn vào lò xo có khối lượng không
đáng kể, có độ cứng k = 100 N/m. Kéo vật nặng xuống về phía dưới, cách vị trí cân bằng 5
2
cm và truyền
cho nó vận tốc 20
2

cm/s thì vật nặng dao động điều hoà với tần số 2 Hz. Cho g = 10 m/s
2
, 
2
= 10. Tính
khối lượng của vật nặng và cơ năng của con lắc.
5. Một con lắc lò xo dao động điều hòa. Biết lò xo có độ cứng 36 N/m và vật nhỏ có khối lượng 100 g. Lấy

2
= 10. Xác định chu kì và tần số biến thiên tuần hoàn của động năng của con lắc.
6. Một con lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ là 50 g. Con lắc dao động điều hòa theo phương trình: x = Acost.
Cứ sau khoảng thời gian 0,05 s thì động năng và thế năng của vật lại bằng nhau. Lấy 
2
= 10. Tính độ cứng
của lò xo.
7. Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ và vật nhỏ dao động điều hòa theo phương ngang với tần số góc 10 rad/s.
Biết rằng khi động năng và thế năng của vật bằng nhau thì vận tốc của vật có độ lớn bằng 0,6 m/s. Xác định
biên độ dao động của con lắc.
8. Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình: x = 10cos(4t -
3

) cm. Xác định vị trí và vận tốc của
vật khi động năng bằng 3 lần thế năng.
9. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với tần số góc  = 10 rad/s và biên độ A = 6 cm. Xác định vị trí và
tính độ lớn của vận tốc khi thế năng bằng 2 lần động năng.
10. Con lắc lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng m = 400 g và lò xo có độ cứng k. Kích thích cho vật dao động
điều hòa với cơ năng W = 25 mJ. Khi vật đi qua li độ - 1 cm thì vật có vận tốc - 25 cm/s. Xác định độ cứng
của lò xo và biên độ của dao động.
* Hướng dẫn giải và đáp số:
1. Ta có: W =

2
1
kA
2
 k =
2
2
A
W
= 800 N/m; W =
2
1
mv
2
max
 m =
2
max
2
v
W
= 2 kg;  =
m
k
= 20 rad/s;
f =


2
= 3,2 Hz.

2. Ta có: W =
2
1
kA
2
 A =
k
W2
= 0,04 m = 4 cm.  =
22
xA
v

= 28,87 rad/s; T =


2
= 0,22 s.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 22
3. Ta có:  =
T

2
= 10 rad/s; k = m
2
= 50 N/m; A =
2

L
= 20 cm; W =
2
1
kA
2
= 1 J.
4. Ta có:  = 2f = 4 rad/s; m =
2

k
= 0,625 kg; A =
2
2
0
2
0

v
x  = 10 cm; W =
2
1
kA
2
= 0,5 J.
5. Tần số góc và chu kỳ của dao động:  =
m
k
= 6 rad/s; T =



2
=
3
1
s. Chu kỳ và tần số biến thiên tuần
hoàn của động năng: T’ =
2
T
=
6
1
s; f’ =
'
1
T
= 6 Hz.
6. Trong một chu kỳ có 4 lần động năng và thế năng bằng nhau do đó khoảng thời gian liên tiếp giữa hai lần
động năng và thế năng bằng nhau là
4
T
 T = 4.0,05 = 0,2 (s);  =
T

2
= 10 rad/s; k = 
2
m = 50 N/m.
7. Khi động năng bằng thế năng: W = 2W
đ

hay
2
1
m
2
A
2
= 2.
2
1
mv
2
 A =
2

v
= 0,06
2
m = 6
2
cm.
8. Ta có: W = W
t
+ W
đ
= W
t
+ 3W
t
= 4W

t

2
1
kA
2
= 4.
2
1
kx
2
 x = 
4
1
A =  5cm.
v = 
22
xA  =  108,8 cm/s.
9. Ta có: W = W
t
+ W
đ
= W
t
+
2
1
W
t
=

2
3
W
t

2
1
kA
2
=
2
3
.
2
1
kx
2

 x = 
3
2
A =  4,9 cm; |v| = 
22
xA  = 34,6 cm/s.
10. Ta có: W =
2
1
kA
2
=

2
1
k(x
2
+
2
2

v
) =
2
1
k(x
2
+
k
mv
2
) =
2
1
(kx
2
+ mv
2
)  k =
2
2
2
x

mvW 
= 250 N/m.
5. Con lắc lò xo treo thẳng đứng và con lắc lò xo đặt trên mặt phẵng nghiêng.
* Các công thức:
+ Con lắc lò xo treo thẳng đứng: l
0
=
k
mg
;  =
k
m
=
0
g
l

.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 23
+ Con lắc lò xo đặt trên mặt phẵng nghiêng: l
0
=
sin
mg
k

;  =

k
m
=
0
sin
g
l


.
+ Chiều dài cực đại của lò xo: l
max
= l
0
+ l
0
+ A. Chiều dài cực tiểu của lò xo: l
min
= l
0
+ l
0
– A.
+ Lực đàn hồi cực đại, cực tiểu: F
max
= k(A + l
0
), F
min
= 0 nếu A  l

0
; F
min
= k(l
0
– A) nếu A < l
0
.
+ Độ lớn của lực đàn hồi tại vị trí có li độ x: F
đh
= k|l
0
+ x| nếu chiều dương hướng xuống; F
đh
= k|l
0
- x|
nếu chiều dương hướng lên.
* Phương pháp giải:
+ Các bài toán về viết phương trình dao động thực hiện tương tự như con lắc lò xo đặt nằm ngang. Trường
hợp con lắc lò xo treo thẳng đứng tần số góc có thể tính theo công thức:  =
0
g
l

; còn con lắc lò xo đặt trên
mặt phẵng nghiêng thì tần số góc có thể tính theo công thức:  =
0
sin
g

l


.
+ Để tìm một số đại lượng trong dao động của con lắc ta viết biểu thức liên quan đến các đại lượng đã biết và
đại lượng cần tìm từ đó suy ra và tính đại lượng cần tìm.
* Bài tập minh họa:
1. Một con lắc lò xo gồm một quả nặng khối lượng 100 g, lò xo có độ cứng 100 N/m, khối lượng không đáng
kể treo thẳng đứng. Cho con lắc dao động với biên độ 5 cm. Lấy g = 10 m/s
2
; 
2
= 10. Xác định tần số và tính
lực đàn hồi cực đại, lực đàn hồi cực tiểu của lò xo trong quá trình quả nặng dao động.
2. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, đầu dưới có một vật m dao động với biên độ 10 cm và tần số 1 Hz. Tính
tỉ số giữa lực đàn hồi cực tiểu và lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao động. Lấy g = 10 m/s
2
.
3. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có vật nặng có khối lượng 100 g. Kích thích cho con lắc dao động theo
phương thẳng đứng thì thấy con lắc dao động điều hòa với tần số 2,5 Hz và trong quá trình vật dao động,
chiều dài của lò xo thay đổi từ l
1
= 20 cm đến l
2
= 24 cm. Xác định chiều dài tự nhiên của lò xo và tính lực
đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động. Lấy 
2
= 10 và g = 10 m/s
2
.

4. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa với chu kì 0,4 s; biên độ 6 cm. Khi ở vị trí cân bằng,
lò xo dài 44 cm. Lấy g = 
2
(m/s
2
). Xác định chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 24
5. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo có chiều dài tự nhiên 20 cm, độ cứng 100 N/m, vật nặng khối
lượng 400 g. Kéo vật nặng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng 6 cm rồi thả nhẹ cho con lắc dao động điều
hòa. Lấy g = 
2
(m/s
2
). Xác định độ lớn của lực đàn hồi của lò xo khi vật ở các vị trí cao nhất và thấp nhất của
quỹ đạo.
6. Một con lắc lò xo gồm quả cầu khối lượng 100 g gắn vào lò xo khối lượng không đáng kể có độ cứng
50 N/m và có độ dài tự nhiên 12 cm. Con lắc được đặt trên mặt phẵng nghiêng một góc  so với mặt phẵng
ngang khi đó lò xo dài 11 cm. Bỏ qua ma sát. Lấy g = 10 m/s
2
. Tính góc .
7. Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẵng nghiêng góc  = 30
0
so với mặt phẵng nằm ngang. Ở vị trí cân bằng
lò xo giãn một đoạn 5 cm. Kích thích cho vật dao động thì nó sẽ dao động điều hòa v
ới vận tốc cực đại
40 cm/s. Chọn trục tọa độ trùng với phương dao động của vật, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian khi
vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật. Lấy g = 10 m/s

2
.
8. Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m = 500 g, lò xo có độ cứng k = 100 N/m, hệ được đặt trên
mặt phẵng nghiêng một góc  = 45
0
so với mặt phẵng nằm ngang, giá cố định ở phía trên. Nâng vật lên đến vị
trí mà lò xo không bị biến dạng rồi thả nhẹ. Bỏ qua ma sát. Lấy g = 10 m/s
2
. Chọn trục tọa độ trùng với
phương dao động của vật, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống dưới, gốc thời gian lúc thả
vật. Viết phương trình dao động của vật.
* Hướng dẫn giải và đáp số:
1. Ta có:  =
m
k
= 10 rad/s; T =


2
= 0,2 s; f =
T
1
= 5 Hz; W =
2
1
kA
2
= 0,125 J;
l
0

=
k
mg
= 0,01 m = 1 cm; F
max
= k(l
0
+ A) = 6 N; F
min
= 0 vì A > l
0
.
2.  = 2f =
0
l
g

 l
0
=
22
4 f
g

= 0,25 m = 25 cm; F
max
= k(l
0
+A). l
0

> A  F
min
= k(l
0
- A)

)(
)(
0
0
max
min
Alk
Alk
F
F




=
7
3
.
3. Ta có: 2A = l
2
– l
1
 A =
2

12
ll

= 2 cm;  = 2f = 5 rad/s; l
0
=
2

g
= 0,04 m = 4 cm;
l
1
= l
min
= l
0
+ l
0
– A  l
0
= l
1
- l
0
+ A = 18 cm; k = m
2
= 25 N/m; F
max
= k(l
0

+ A) = 1,5 N; l
0
> A nên
F
min
= k(l
0
- A) = 0,5 N.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 25
4. Ta có:  =
T

2
= 5 rad/s; l
0
=
2

g
= 0,04 m = 4 cm; l
min
= l
0
+ l
0
– A = 42 cm;
l

max
= l
0
+ l
0
+ A = 54 cm.
5. Ta có:  =
m
k
= 5 rad/s; l
0
=
2

g
= 0,04 m = 4 cm; A = 6 cm = 0,06 m.
Khi ở vị trí cao nhất lò xo có chiều dài: l
min
= l
0
+ l
0
– A = 18 cm, nên có độ biến dạng |l| = |l
min
– l
0
| = 2 cm
= 0,02 m  |F
cn
| = k|l| = 2 N.

Khi ở vị trí thấp nhất lực đàn hồi đạt giá trị cực đại: |F
tn
| = F
max
= k(l
0
+ A) = 10 N.
6. Ta có: l
0
= l
0
– l = 1 cm = 0,01 m; mgsin = kl
0
 sin =
mg
lk
0

=
2
1
  = 30
0
.
7. Ta có:  =
0
sin
l
g



= 10 rad/s; A =

max
v
= 4 cm; cos =
A
x
0
= 0 = cos(
2

); vì v
0
> 0 nên  = -
2

rad.
Vậy: x = 4cos(10t -
2

) (cm).
8. Ta có:  =
m
k
= 10
2
rad/s; l
0
=

k
mg

sin
= 0,025
2
m = 2,5
2
cm;
A = l
0
= 2,5 2 cm; cos =
A
x
0
=
A
A

= - 1 = cos   =  rad. Vậy: x = 2,5 2 cos(10 2 t + ) (cm).
6. Tìm các đại lượng trong dao động của con lắc đơn.
* Các công thức:
+ Tần số góc; chu kỳ và tần số:  =
g
l
; T = 2
g
l
và f =
l

g

2
1
.
+ Thế năng: W
t
= mgl(1 - cos). Động năng: W
đ
=
2
1
mv
2
= mgl(cos

- cos
0
).
+ Cơ năng: W = W
t
+ W
đ
= mgl(1 - cos
0
).