Luyện thi ĐH môn toán - Tích phân năm 1999 - 2009 doc

1
£23
Tích phân

Luyện thi Đại học
Tích phân
Đề thi 1999-2009
7 tháng 2
2010
2
£1
Tích phân 1999-2008
I.Bất đẳng thức tích phân
1.Chứng minh các bất đẳng thức sau :
1)


2
1
2
1
2
lnxdxdx(lnx)
2)
3
1
x
cotgx
12
3
3

4


π
π
3)
4
x-1
dx
2
1
2
1
0
2000
π


4)
26
1
dx
x1
x
226
1
1
0
3
10

25
3




5)
3
32
1cosxxcos
dx
3
3
0
2
ππ
π




6)
 
108dxx117x254
11
7



3.Giải bất phương trình :




 x
e
lnx2
lnx
4
3
t
dt
t2
dt
Phương pháp đổi biến số
Tích phân của các hàm phân thức
1999-2000
1.Tính tích phân :
a)
dx
x1
x1
1
2
1
3
2



b)




3
1
24
2
dx
1xx
1x
c)



1
0
6
4
dx
1x
1x
d)
2)3x(x
dx
1
0
22


e)



1
0
2
23xx
dx
f)
1)(x
xdx
1
0
3


g)
dx
1x
1x
1
0
6
2



h)


4

1
2
1)(xx
dx
i)
dx
1xx
26x
2
0
2



£22
3.Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi cho hình
phẳng giới hạn bởi các đường : y = e
x
, y = 1/e, y = e và trục
tung quay xung quanh trục Oy.
Đề thi Tú tài năm 2008
Kỳ I
Tính tích phân
1.Không phân ban


1
0
)xdx
x

e(1
2.Phân ban Ban A


1
1-
dx
4
)
3
x(1
2
x
Ban CB


2
π
0
cosxdx1)(2x
3.Bổ túc

2
π
0
sinxdxcosx
Đề thi Tú tài năm 2008
Kỳ II
Tính tích phân
1.Không phân ban



1
0
dx13x
2.Phân ban Ban A


1
0
dx
x
e1)(4x
Ban CB


2
1
1)dx4x
2
(6x
3.Bổ túc


1
0
1)dx2x
2
(3x
3

£21
Từ đó tìm
CĐ Kinh tế – Công nghệ tp.HCM năm 2007
4. Hãy chứng minh
54
dx
x
2
cos4
1
57
ππ
4
π
6
π




Diện tích hình phẳng
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường :
1.
3xy,34x
2
xy 
. 2.
24
2
x

y
4
2
x
4y  ,
.
3.
)x
x
e(1y1)x,(ey 
Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2007
4. x + y = 0, x
2
 2x + y = 0
CĐ KTKT Công nghiệp II năm 2007
5. y = 7  2x
2
, y = x
2
+ 4.
CĐ KT Cao Thắng năm 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol (P) : y = – x
2
+ 4x và
đường thẳng d : y = x.
Đề thi CĐ khối A, B, D năm 2008
Thể tích của các khối tròn xoay
1.Cho hình phẳng H giới hạn bỏi các đường y = xlnx, y = 0, x = e.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh
trục Ox.

Đề thi ĐH-CĐ khối B năm 2007
2.Cho hình phẳng H giới hạn bỏi các đường y = e
x
, y = e

x + 2
x = 0, x = 2.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh
trục Ox.
£2
2. Chứng minh rằng :





cotga
1/e
2
tga
1/e
2
0)(tga1
)xx(1
dx
x1
xdx
3.Tính tích phân :
dxa1)x(ax
2

1
2


trong đó a là một số cho trước .
4 Tính :
dx
1)(x
x
lim
1
0
22n
13n
n




Tính các tích phân :
a)
dx
x1
arctgxxx
1
0
2
2




b)

5
4
20
dx4)-x(x
2000-2001
Tính các tích phân :
a.
dx
92xx
110x2xx
2)dx
92xx
103xx
1)
1
0
2
23
1
0
2
2






b.



2
1
2
2
1
0
2
dx
127xx
x
2)dx
65xx
114x
1)


1
0
24
34xx
dx
3)


2
0

2
3
dx
12xx
3x
4)


1
0
24
dx
1xx
x
5)


1
0
3
dx
x1
3
6)
2001-2002
1.Tìm họ nguyên hàm :



dx

1)3x1)(x5x(x
1x
22
2
4
£3
2




2
51
1
dx
1
2
x
4
x
1
2
x
3.



1
1
12xx

dxx
24
4.



1
1
22
)x(1
dx
5.


2
1
1)
4
x(x
dx
6.



2
1
dx
1)x(x
1x
2

x
7.



b
0
dx
2
)
2
x(a
2
xa
(a,b là các tham số dương cho trước)
2002-2008
1.
1
0
3
1)(x
xdx


2.
0
2
x1
xdx



1
3.


1
0
1
2
x
dx
3
x
4.
0
25x
2
2x
dx


1
5.
1
3
xx
dx


3

6.
dx
x
2
x
22x
2
3x
3
x
4
x
2
1



CĐ GTVT III năm 2007
7.
dx
1
2
x
1x
1
0



CĐ Công Nghiệp Thực phẩm Tp.HCM năm 2007

8.
0
1-
22x
2
x
dx


9.
dx
1x
2
x
12x
1
0



10.
0
1-
42x
2
x
dx


Đề thi ĐH Sài gòn khối A năm 2007

£20



T
0
Ta
a
f(x)dxf(x)dx
Dùng tính chất chẵn lẻ của hàm số
1999 − 2000
Tính tích phân :





1
1
2
4
dx
1x
sinxx
I
2000 − 2001
1.Chứng minh rằng :
0nx)dx-sin(sinxI
2π
0



với mọi n nguyên
2.Tính tích phân :
1)
dx
xsin-4
cosxx
2
π
2
π
2



2)
)dxxexsin(eI
2x
1
1-
x
2


Các tích phân đơn giàn
2002-2008
1.Cho hàm số
x
bxe

3
1)(x
a
f(x) 


TÌm a và b biết rằng f’(0) =  22 và
5dxf(x)
1
0


.
2.Tính tích phân


2
0
dxx
2
xI
3. Tính tích phân
I(x) =


x
1
dt
1)t(t
1

với x > 0.
5
£19
19
19
C
21
1
18
19
C
20
1

2
19
C
4
1
1
19
C
3
1
0
19
C
2
1
S 

2.a)Tính tíc h phân :
dx)x(1xI
1
0
n32
n


b)Chứng minh rằng
1)3(n
1-2
C
33n
1
C
12
1
C
9
1
C
6
1
C
3
1
1n
n
n
3

n
2
n
1
n
0
n





Các dạng toán khác
Các tích phân đơn giàn
2000 − 2001
1.Tính các tíc h phân :
dx
e
)e(1
2)dx4-2J1)
1
0
3
2x
3
0
x




2.Tính tích phân :
(x)]dxgmax[f(x),
2
0

trong đ ó : f(x) = x
2
và g(x) = 3x 2 .
3.Cho f(x) = Asin2x + B . Tính A, B để
.3f(x)dx,4(0)f
2π
0
2


2001 − 2002
1.Tính tích phân :
dx
4
0
m-xx

tuỳ theo m.
2.Tính tích phân :
2
1
x
dx
2
1)(2x



.
Dùng tính chất tuần hoàn của hàm số
Chứng minh rằng nếu f(x) là ha øm liên tục với mọi giá trò của
x và tuần hoàn với c hu kỳ T thì :
£4
11.
dx
4
2
x
1x
4
x
2
0



Tích phân của các hàm căn thức
1999-2000
Tính tích phân :
a.



3
7
0

3
dx
13x
1x
b.


4
7
2
9xx
dx
c.
dx
23x
1x
2
0
3



d.



1
0
2
2

1x
x)dx(x
e.
1x1)(2x
dx
3
1
0
22


f.
dx
1x
2xx
3
0
2
35



g.


1
0
1x
xdx
2000-2001

Tính c ác tích phân :
a.
dxx2xx1)
4
0
23




3
0
23
dxx2xx2)
b.
dxxax1)
a
0
222


(a là hằng số dương )
dx)x(12)
1
0
32


c.
1xx

dx
1)
2




2
1
2
x1x
dx
2)
2001-2002
1.
dx
3
x1
5
x
1
0


2.


1
0
23

dxx1.x
3.


10
2
15x
dx
:
6
£5
2002-2008
1.


9
1
dx
3
x1x
2.


1
0
dx
2
x1
3
x .

3.


1
0
.dx1
2
xx
4.
dx
3
x2
2
x


5.


1
0
.dxx1x
6.


3
0
dx
5
.x1

2
x
7.
dx
1x1
x
2
1


8.


10
5
1x2x
dx
9.


32
5
4
2
xx
dx
10.




7
0
dx
3
1x
2x
11.
dx
1
5
x
4
x
2
0


12.
dx
3x1x3
3x
3
1-



13.
dx
1
2

x
3
2x
5
x
3
0



14.



3
7
0
dx
3
13x
1x
15.
dx
12x
xdx
1
0


CĐ Nguy ễn tất Thành năm 2007

16.
dx
5x
1xx
2
1



17.


1
5
3x11
dx
18.


6
2
14x12x
dx
Tích phân của các hàm mũ
1999-2000
a)


ln2
0

x
1e
dx
b)
1
1-


dx
21
x
x
4
£18
2.Cho tích phân :


2
π
0
n
n
xdxcosI
với n là số nguy ên dương .
1) Tính I
3
và I
4
.
2) Thiết lập hệ thức giữa I

n
và I
n-2
với n > 2 . Từ đ ó tính I
11
và
I
12
.
3.Cho




1
0
2x
2nx
n
dx
e1
e
I
với n = 0,1,2,3,…
1) Tính I
o
.
2) Tính I
n
+ I

n+1
.
Công thức Newton
2000 − 2001
1.Tính tích phân :
)*Nn(dx)x-x(1I
1
0
n2


Từ đó chứng minh rằng :
1)2((n
1
C
1)2(n
1)(
C
8
1
C
6
1
C
4
1
C
2
1
n

n
n
3
n
2
n
1
n
0
n





2.Tính tích phân :
)*Nn(dxx)(1I
1
0
n


Từ đó chứng minh rằng :
1n
1-2
C
1n
1
C
3

1
C
2
1
1
1n
n
n
2
n
1
n





3.Cho n là một số nguyên dương .
a)Tính tích phân :
dxx)(1I
1
0
n


b)Tính tổng :
n
n
2
n

1
n
0
n
C
1n
1
C
3
1
C
2
1
CS


1.Tính tích phân :
dxx)-x(1I
1
0
19


Rút gọn tổng :
7
£17
4.Chứng minh rằng với mọi n ngyên dương ta c ó :
0dxe1)-(2x
2
x-x

1
0
12n



2000-2001
4.a)Chứng minh rằng :
1)!n(m
n!!m
dxx)-(1xI
1
0
nm
nm,



với mọi m,n = 0,1,2,3,…
( Ky ù hiệu m ! = 1.2.3…m và quy ước 0 ! = 1 ) .
b)Giả sử rằng m + n = 10 . Hỏi với m,n nào thì I
m,n
đạt
giá trò lớn nhất , bé nhất ? Tại sao ?
5.Tính tích phân :
)Nn(dx)x-(1I
1
0
n2
n



a)Tìm hệ thức giữa I
n
và I
n

1
( với n  1 ) .
b)Tính I
n
theo n .
6.Tính tích p hân :
.)0,1,2,3, n(dx)x-x(1J,dx)x-(1xI
1
0
1
0
n2
n
n22
n
 

1)Tính J
n
va ø chứng minh bất đẳng thức :
1)2(n
1
I

n


với mọi n = 0,1,2, …
2)Tính I
n+1
theo I
n
va ø tìm :
n
1n
n
I
I
lim


7.Tính tích phân :
1,2,3, )n(
x1)x(1
dx
1
0
n
nn



2001-2002
1.Cho tích phân :




π
0
m
dx
2cos2x3
sin2mx
I
(m là tham số )
Chứng minh rằng :
I
m
+ I
m-2
= 3I
m-1
với mọi m  2 .
£6
2000-2001
1)


ln2
0
dx
1
x
e

2x
e
2)


1
0
dx
3
2x
e
1
2001-2002
1.




4
4
dx
1
x
6
x
6
cosx
6
sin
π

π
2.


1
0
x
21
dx
2002-2009
1.




ln5
ln3
3
x
2e
x
e
dx
2.


ln2
0
dx
2

x
e
2x
e
3.


8ln
ln3
dx
2x
.e1
x
e
4.


ln5
ln2
1
x
e
dx
2x
e
5.


ln3
0

3
1)
x
(e
dx
x
e
Tích phân của các hàm logarit
1999-2000
a)
dx
x
x)ln1lnx
e
1
3
2


b)


e
1
dx
2x
lnx2
c)

e

1
dx
x
lnx
2000-2001
e
1
dx
x
x
2
ln1


8
£7
2001-2002
1.
dx
cosx1
sinx)(1
ln
2
π
0
cosx1





2.


4
0
tgx)dx(1ln
π
:
2002-2008
1.


e
1
dx
x
lnx3lnx1
2.



e
1
dx
2lnx1x
2lnx3
3.


3

e
1
dx
1lnxx
x
2
ln
4.

3
π
4
π
dx
sin2x
(tgx)ln
5.


e
1
3
lnx1x
xd
CĐ Xây dựng số 2 na êm 2007
Tích phân của các hàm lượng giác
1999 − 2000
1.Cho 2 số nguyên dương p và q . Tính :
xdxcospx.cosqI
2π

0


trong trường hợp p = q và p  q .
2.Cho ha øm số :
sin3xsin2xsinxg(x) 
a)Tìm họ nguyên hàm c ủa g(x) .
b)Tính tích phân :
dx
1e
g(x)
I
2
π
2
π
x




3.Tính tích phân :
a)
dx
sin2x3
sinxcosx
π/3
π/4




b)

4
π
0
2
xdxtg
c)
dx
53cosx4sinx
67cosxsinx
π/2
0



d)
xcos
dx
π/4
0
4

£16
2) Từ các kết quả trên , ha õy tính c ác giá trò c ủa I , J và :



3

5π
2
3π
sinx3cosx
cos2xdx
K
2.Tính tích phân :
1)


2
0
π
dx
cosxsinx
cosx
2)


8
π
0
dx
cos2xsin2x
cos2x
3)
π
2
0
5c osx 4sinx

dx
3
(cosx sinx)



:
2002-2008
Tính ca ùc tích phân


2
π
0
dx
x
2004
cosx
2004
sin
x
2004
sin
13.

2
π
0
sin5xdx
3x

e
Tích phân truy hồi
1999-2000
1.Tính tích phân :
1,2,3, ndxexI
2x-
1
0
n
n


1)Chứng minh : I
n
 I
n+1 .
Tính I
n+1
theo I
n
.
2)Chứng minh :
1)2(n
1
I0
n


với mọi n  2 .
Từ đó tìm

n
n
Ilim

2.Cho :
dx
e1
e
I
1
0
x-
-nx
n



1) Tính I
1
.
2) Với n > 1 hãy tìm c ông thức biểu diễn I
n
qua I
n-1
.
3.Cho tích phân :


1
0

2
dx(xsinx)I(t)
.
a) Tính tích phân khi t =  .
b) Chứng minh rằng I(t) + I( t) = 0 ( t  R ) .
9
£15
5.

2
π
0
dxxsinx
6.


0
1-
dx)
3
1x
2x
x(e
7.


2
π
0
sinxdxx)

3
cos(x
8.


e
1
lnxdx
x
1
3
x
9.


e
1
lnxdx
x
1
2
x
10.

2
π
0
2xdxsin
cosx
e

Tích phân liên hợp
1999-2000
1.Tính tích phân :


π
0
2x
cosxdxeI
2.1) Cho hàm số f liên tục trên
 
1,0
.Chứng minh :


π/2
0
π/2
0
f(cosx)dxf(sinx)dx
2) Sử dụng kết qua û trên để tính :





π/2
0
3
π/2

0
3
dx
cosxsinx
xdxsin
Jdx
cosxsinx
xdxcos
I
2001-2002
1. Đặt :





6
π
0
2
6
π
0
2
cosx3sinx
xdxcos
J,
cosx3sinx
xdxsin
I

1) Tính I  3J và I + J .
£8
e)
2
x
sin
dx
3
4π
π

f)


π/2
0
sin2x1
dx
g)
dxx)sinsin2x(1
π/2
0
32


h)


π
0

2
dxcosx)sinxcosx(1
i)
dx
cosx1
x4sin
π/2
0
3


j)

3
π
6
π
4
xcosxsin
dx
k)


2
π
0
cosx1
dx
8.Tính tích phân :
dx

xsinbxcosa
sinxcosx
I
π/2
0
2222



với a  0 , b  0 và a
2
 b
2
.
2000 − 2001
1.Chứng minh rằng với hai số tự nhiên m , n khác nhau
0xdxsinmx.sinnxdxcosmx.cosn
π
π-
π
π-


2.Tính các tíc h phân :
a.
xdxcos2)xdxsinxcos1)
/2
/6
3
0

22

π
π
π

π
0
4
π/4
0
4
xdxcos4)xdxsin3)


/2
0
441010
x)dxx.sincos-xsinx(cos5)
π

π
0
3
xcos5xdxcos6)
b.
dx
cosxsinx
cosxsinx
1)

3
4









π
π


4
0
2
dx
xcos
sin2x1
2)
π
10
£9
3)


3
π

6
π
22
dx2xcotgxtg
c.
tgx1
dx
1)
4
π
0



3
π
4
π
4
xdxtg2)








3
π

6
π
6
π
xsinxsin
dx
3)
d.
xcos-2
dx
1)
4
0
2

π
dx
xcos
xsin
2)
3
4
6
2

π
π
dxe
cosx1
sinx1

3)
2
π
0
x



e.



2
2
dx
x
2
sin-4
cosxx
π
π
2001-2002
1.

2
0
xdx
3
sin
π

2.


4
0
2
2cosx)(sinx
dx
π
3.
dx
cos2x
x
3
tg
6
0

π
4.
dx
xcosxsin
sin4x
4
π
0
66









5.

4
π
0
4
dx
xcos
1
6.


2
0
dx
sinx1
x
3
4cos
π
7.


π2
0

dxsinx1
8.


4
0
3x
2
4sin
dx
π
9.


2π
0
dxcos2x1
10.


2
0
)dxsinxcosx(
π
11.a ) Tính tíc h phân :

2
π
0
2

sin2xdxxcos
b) Chứng minh rằng :


2
π
0
5
2
π
0
6
sin6xdxsinxxcoscos6xdxxcos
£14
2.


2
π
0
2xdxsin1)(x
3.


4
π
0
cosxdx1)(x
4.


4
π
0
dx
x
2
cos
x
5.


4
π
0
dx
cos2x1
x
6.


2
π
0
dxx
2
cos1)(2x
7.


1

0
dx
2x
e2)(x
8.


2
π
0
xcosx)cosxd
sinx
(e
9.


4
π
0
dxcosx)
sinx
e(tgx
Pp đổi biến số và pp tích phân từng phần
1999-2000


3
0
1
1-

x.arctgxdx
4x-5
x
2002-2008
1.



4
0
dx
3
1)(2x
12xln
2.

1
0
dx
2
x
e
3
x
3.

5
0
dx
2

x
e
5
x
4.

9
2
π
0
dxxsin
CĐ GTVT III năm học 2007
11
£13
10.


2
1
dx
2
x
x)(1ln
11.

e
1
dx
x
xln

12.

2
1
dx
3
x
xln
Đề thi ĐH-CĐ khối D năm 2008
Khử hàm đa thức
1999-2000
a.

1
0
x
dxxe
b .

 dx1)ex(2x
x2
c.
dxxsin
2
π
0

d.

π

0
2
sinxdxx
e.

π
0
34
xdxxsinxcos
2000-2001

3
π
0
xcosxdx1)
xdxxtg2)
π/4
0
2

2001-2002
)dxxexsin(e
2x
1
1-
x
2


2002-2008

1.

2
π
0
2xdxsinx
CĐ Kinh tế Tp.HCM năm 2007
£10
và tính :

2
π
0
5
cos7xdxxcos
12.Tìm họ nguyên hàm :















 dx
6
π
xcotg
3
π
xtgI
2002-2009
1.

4
π
0
xtgxdx
2
sin
2.


4
π
0
x)dx
8
tg1(
3.


2
π

0
dx
3
x)
2
sin2x(1sin
4.


4
π
0
dxx)
4
sinx
4
(cos
5.


2
π
0
dx
cosx1
2xcosxsin
6.




4
π
0
dx
2xsin1
x
2
sin21
7.


4
π
0
dx
2xsin1
cos2x
8.


2
π
0
dx
cosx1
x
3
4sin
9.



2
π
0
dx
12cos3x
sin3x
10.


2
π
0
dx
2sinx5
cosx
11.


2
π
0
dx
2
x)sin(2
2xsin
12.
dx
cosxcos2x
sinx

2
3


π
π
CĐ Tài chính – Hải quan năm 2007
13.


2
π
0
dx
x
2
cos5sinx7
cosxdx
14.


2
π
0
dx
3
3)cosx x(sin
cos2x
15.



2
π
0
xdx
5
sinxcos
6
x
3
cos1
16.


2
π
0
dx
x
2
4sinx
2
cos
2xsin
12
£11
17.




2
π
0
dx
3cosx1
sinx2xsin
18.



2
π
4
π
dx
2xsin1
cosxsinx
19.

6
π
0
dx
cos2x
x
4
tg
Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2008
20.
4

cosx)sinx2(12xsin
dx
4
xsin









π
0
π
Đề thi ĐH-CĐ khối B năm 2008
Phương pháp tích phân từng phần
Khử hàm logarit
1999 − 2000
a.

2
1
xlnxdx
b.


e
e

1
2
dx
x)(1
lnx
c.


2
π
0
dxcosx)cosxln(1
d.



2
π
2
π
2
dx)1x xcosxln(
2000-2001
dx
x
1)ln(x
2
1
2



£12
2001-2002
1.

e
1
xlnxdx
2.

e
1
lnxdx
2
x
3.

10
1
xdx
2
xlg
4.


3
π
3
π
2

dx
xcos
xsinx
5.

2
π
0
dxxsin
6.
dxxsin
3
2
π
0
3







7.Cho hàm số f(x) = ax+b với a
2
+ b
2
> 0 . Chứng minh rằng :
0f(x)cosxdxf(x)sinxdx
2

3
π
0
2
3
π
0



















2002-2009
1.



2
1
2)lnxdx(x
2.

e
1
lnxdx
2
x
3.


3
2
x)dx
2
(xln
4.


1
0
dx)
2
x(1xln
5.


2

1
1)lnxdx(4x
6,


2
0
dx1)7)ln(x(2x
7.


3
0
dx5)
2
(xxln
8.

e
1
xdx
2
ln
3
x
Đề thi ĐH-CĐ khối D năm 2007
9.

e
1

dx
3
x
xln
Đề thi ĐH Sài gòn khối D, M năm 2007