ĐỀ THI THỬ CAO ĐẲNG - ĐAI HỌC 2011 :TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ MÔN TOÁN KHỐI D doc

TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ
NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng
(d): x +2y –3 =0.
Câu 2: (2 điểm)
1. Giải phương trình
1 sin 2 sinx os
2 3 0
1 sin 2 sinx cos
x c x
x x
+ +

+ − =
− −
.
2. Giải phương trình
3 4 2
1 1 2
2 4
2
log ( 2) 2 log ( 4) log ( 6)
3
x x x+ − = − − +
.
Câu 3: (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :
2 2
( 1) ( 2) 13
x y
+ + − =
và
đường thẳng ∆ : x – 5y – 2 = 0. Gọi giao điểm của đường tròn (C) với đường thẳng ∆ là
A, B. Tìm tọa độ điểm C biết ∆ABC vuông tại B, nội tiếp đường tròn (C) và x
B
<0.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1), B(b;0;0), C(0;b;0) (b≠0) và
đường thẳng (d):
3
2 1 3
x y z
−
= =

. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) biết rằng mặt phẳng
(ABC) song song với đường thẳng (d).
Câu 4: (1 điểm)
Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ biết A’A = AB = a; AC = 2a, ˔˓˕

= 60
"
. Gọi M
là giao điểm của A’C và AC’ . Tìm thể tích của tứ diện MBB’C’ và tính bán kính mặt cầu ngoại
tiếp lăng trụ.
Câu 5: (2 điểm)
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
2
3
x y
+ =
và
1 0.
x y
+ − =

2. Cho z
1
, z
2
là nghiệm của phương trình
2
( 2) 0
z i z i
− + + =

. Tính :
1 2
2 1
z z
z z
+
.
Câu 6: (1điểm)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

1 1 1
1 8 1 8 1 8
a b c
+ +
+ + +
.

HẾT
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:…………………………………………………SBD:…………………………………
www.VNMATH.com

TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ
NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN

Câu ý Nội dung Điểm
1
(2điểm)

1
TXĐ: R\{1}
2
2
' 0 1
( 1)
y x
x
= − < ∀ ≠
−

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+
∞)

Giới hạn:
1
1
1
lim
x
x
x
±
→
+
= ±∞ ⇒

−
đường tiệm cận đứng của đồ thị là x =1

1
1
1
lim
x
x
x
→±∞
+
= ⇒
−
đường tiệm cận ngang của đồ thị là y =1
bảng biến thiên
x


-
∞

1 +
∞
y’ - -

y

Nhận xét: đồ thị nhận điểm I(1;1) là tâm đối xứng

0,25
0,25
0,25
0,25
2 Gọi (d’) là đường thẳng qua AB
Phương trình đường thẳng (d’) vuông góc với d có dạng: y=2x+m
(d’) cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A,B ⟺
1
2
1
x
x m
x
+
= +
−
có 2 nghiệm
phân biệt
2
2 ( 3) 1 0x m x m⇔ + − − − =
có 2 nghiệm phân biệt khác 1
0
(1) 0
m R
f
∆ >


⇔ ⇔ ∀ ∈

≠


0,25
Gọi I là trung điểm của AB
3
2 4
3
2
2
A B
I
I I
x x m
x
m
y x m
+ −

= =


⇒

+

= + =






0,25


2
-2
-5
5
1
-∞
+∞
1
O
x
y
www.VNMATH.com
Vì AB
⊥
(d) nên A đối xứng với B qua (d)
⟺
trung điểm của AB thuộc (d)
3 3
2 3 0 1
4 2
m m
m

− +
⇔ + − = ⇔ = −

0,25
Với m = -1 ta có :
2
0 1
2 4 0
2 3
x y
x x
x y
= ⇒ = −

− = ⇔

= ⇒ =


Vậy 2 điểm cần tìm là A(0;-1) và B(2;3)
0,25
2
(2điểm)

1
Điều kiện :
sin 2 1
x
≠

(1)
⇔

2
2
(sinx cos ) sinx cos
2 3 0
sinx cos
(sinx cos )
x x
x
x
+ +
+ − =
−
−

0,25
Đặt
sinx cos
sinx cos
x
t
x
+
=
−

Pt trở thành
⇔

2
1
2 3 0
3
t
t t
t
=

+ − = ⇔

= −


0,25


⇔
sinx cos
1
os 0
sinx cos
2
sinx cos 4sin 2cos 1
3 arctan
sinx cos 2
x
x k
c x

x
x x x
x k
x
π
π
π
+


=
= +


=

−
⇔ ⇔



+ =



= − = +



−



thỏa mãn điều kiện
Vậy nghiệm của phương trình là :
2
1
arctan
2
x k
x k
π
π
π

= +



= +



0,5
2
Điều kiện:
2; 4
x x
> − ≠

2 2 2

2log ( 2) 2 2log 4 2log ( 6)
x x x
− + − = − − − +

2 2
log 2( 2) log 4 ( 6) 2( 2) 4 ( 6)
x x x x x x
⇔ + = − + ⇔ + = − +


0,5
+) với x>4: pt
2
2 7
28
2 7( )
x
x
x l

=
⇔ = ⇔

= −



0,25
+) với 4>x>-2: pt
2

2 2 6
4 20 0
2 2 6( )
x
x x
x l

= − +
⇔ + − = ⇔

= − −



Vậy phương trình có hai nghiệm là
2 7; 2 2 6
x x= = − +

0,25
3
(2điểm)

1
Giao điểm của
∆
và (C) là nghiệm của hệ
2 2
( 1) ( 2) 13
5 2 0
x y

x y

+ + − =

− − =


Giải hệ được A(2;0) ; B(-3;-1)

0,25

0,25
Vì tam giác ABC vuông tại B và nội tiếp đường tròn (C) nên AC là đường
kính của (C)
Mà đường tròn (C) có tâm I(-1;2)
⟹
I là trung điểm của AC
Suy ra C(-4;4)
0,5
2
Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng :
1
x y z
b b c
+ + =

0,25

www.VNMATH.com
Vì (ABC) đi qua A(1;1;1)

⟹

2 1
1
b c
+ =

Mặt phẳng (P) có vtpt
1 1 1
( ; ; )
n
b b c


Đường thẳng (d) có vtcp
(2;1;3)
u




0,25
(d)//(P)
2 1 3
1 1
0
0
0
3
(3;0;0) ( ), ( )

3
1
nv
b b c
b c
M d M P
b
b

+ + =



+ =
=
 
⇔ ⇔ ⇔
  
∈ ∉

 
≠
≠



 


0,25

Ta có hệ :
2 1
1
1
1 1
0 1
3
3
b c
b
c
b c
b
b

+ =

=


 
+ = ⇔ = −
 
 
≠

≠




Vậy phương trình mặt phẳng (P) là :
1 0
x y z
+ − − =





0,25
4
(1điểm)




+)Tính V
MBB’C’

' ' ' '
1 1 1
. '.
2 2 3
MBB C MBCC ABCC ABC
V V V CC S= = =


0,25
2

0
1 3
. .sin60
2 2
ABC
a
S AB AC= =

Vậy
2 3
' '
1 3 3
.
6 2 12
MBB C
a a
V a= =
0,25
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có:
2 2 2 0 2
2 . os60 3
BC AB AC AB ACc a
= + − =

Suy ra
2 2 2
AC BC AB
= +
⇒
∆ABC vuông tại B

0,25
M
C
B
A
C'
B'
A'
www.VNMATH.com
Ta có MA =MB =MC =MA’ =MB’ =MC’
Suy ra M là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
Vậy
' 5
2 2
AC a
R = =

0,25
5
(2điểm)

1 Tung độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
2
1
3 1
2
y
y y
y
= −


− = − ⇔

=


0,25
Suy ra diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
2
3
x y
+ =
và
1 0
x y
+ − =
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
2
3 ,
x y
= −

1
x y
= − +

và hai đường thẳng y=-1; y=2
2
2
1

(3 ) (1 )
S y y dx
−
= − − −
∫

0,25
2 2
2 2
1 1
2 3
2
1
2 (2 )
9
(2 ) |
2 3 2
S y y dx y y dx
y y
y
− −
−
= + − = + −
= + − =
∫ ∫

0,5
2
Theo định lý viet ta có:
1 2

1 2
2
z z i
z z i
+ = +


=


0,25


T có :
( )
2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 1 1 2 1 2
2
z z z z
z z z z
z z z z z z
+ −
+
+ = =


0,25

(
)
2
2 2
2 3
2 3
i i
i
i
i i
+ −
+
= = = −


0,25
Vậy
1 2
2 1
2 3 13
z z
i
z z
+ = − =


0,25
6
(1điểm)

Với mọi x,y > 1 ta có :
2 2
1 1 2
1
1 1
xy
x y
+ ≥
+
+ +

thật vậy
2 2 2 2
2 2
1 1 2
(2 )(1 ) 2(1 )(1 )
1
1 1
x y xy x y
xy
x y
+ ≥ ⇔ + + + ≥ + +
+
+ +
2
( 1)( ) 0
xy x y
⇔ − − ≥

luôn đúng với mọi x,y >1
d
ấu bằng xảy ra khi x =y


0,25


0,25



Vì a,b,c dương nên
8 ,8 ,8
a b c
đều lớn hơn 1.Áp dụng kết quả trên ta có:
1 1 1 1 2 2
1 2
1 8 1 8 1 8
1 8 1 2.8
a b c
a b c
+
+ + + ≥ +
+
+ + +
+ +

4 2 4
3

1 16
1 8 .8 .2
a b c+
≥ = =
+
+
1 1 1
1
1 8 1 8 1 8
a b c
⇒ + + ≥
+ + +

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi a =b =c =
1
3

0,25




0,25


Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa

www.VNMATH.com