ĐỀ THI THỬ CAO ĐẲNG - ĐAI HỌC 2011 : TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC MÔN TOÁN KHỐI A pdf

TRNG THPT CHUYÊN VNH PHÚC K THI TUYN SINH I HC, CAO NG NM 2011
Môn: Toán 12. Khi A.

Thi gian làm bài: 150 phút (Không k thi gian giao đ)
A /phÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh. ( 7,0 đim )
Câu I
: ( 2,0 đim ). Cho hàm s :
3
y x 3x 2
  
có đ th là


C
.
1) Kho sát s bin thiên và v đ th hàm s (C)
2) Tìm tt c các đim M


C
 đ tip tuyn ti M ct (C)  đim N vi MN=2
6

Câu II :
( 2,0 đim )
1) Gii phng trình :
sin 4 2 3 4sin cos
x cos x x x
   

2) Gii phng trình:

2
1
2 3 1 4 3
x x x
x
     

Câu III : ( 1,0 đim ).
Tính tích phân:
1
2
2
0
4 4
x
x e
I dx
x x

 




Câu IV : ( 1,0 đim ). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cnh 2a,(a>0):
0
60
BAD  ;
Hai mt phng (SAC)và (SBD)cùng vuông góc vi đáy.Gi M,N ln lt là trung đim cnh BC và
SD.Mt phng(AMN) ct cnh bên SC ti E.Bit MN vuông góc vi AN .Tính th tích khi đa din

AND.MCE theo a .

Câu V :
( 1,0 đim ). Chng minh rng nu


, , 0;1
a b c thì:
5
1 1 1 2
a b c
abc
bc ca ab
   
  

B. PHN T CHN:
( 3,0 đim ).( Thí sinh ch đc làm 1 trong 2 phn,phn A hoc phn B)
A
.Theo chng trình chun:
Câu VIA :
( 2,0 đim ).
1.( 1,0 đim ) Trong mt phng vi h to đ Oxy cho đim A


2;10
và đng thng d:y=8.im E
di đng trên d.Trên đng thng đi qua hai đim A và E,ly đim F sao cho
. 24
AE AF


 
.im F
chy trên đng cong nào? Vit phng trình đng cong đó.
2.( 1,0 đim ) Trong không gian vi h ta đ 0xyz cho
ABC

,bit


3;2;3
C và phng trình đng
cao AH,phân giác trong BM ca góc B ln lt có phng trình:
2 3 3
1 1 2
x y z
  
 

và
1 4 3
1 2 1
x y z
  
 

.Tính chu vi
ABC


Câu VII A
.(1,0 đim):Tìm phn thc,phn o ca s phc:
2 3 2008
1 2 3 4 2009
z i i i i
     


B.Theo chng trình nâng cao
Câu VIB : ( 2,0 đim ).

1.(1.0 đim)Trong mt phng h to đ Oxy cho hai đng thng :
1 2
: 2 0; : 2 0
d y x d y x
   

,đim A
1
d

; đim B
2
d

tho mãn
. 3
OA OB

 

.Hãy tìm tp hp trung đim M ca AB.
2. (1,0đim) Trong không gian vi h ta đ 0xyz,vit phng trình mt phng (Q) cha đng thng
d:
1 1 3
2 1 1
x y z
  
  và to vi mt phng


: 2 5 0
P x y z
   
mt góc nh nht.
Câu VII B
:(1,0 đim):Cho s phc z tho mãn
1
z

và
2.
i
z
z
  Tính tng:
S
2 4 2010
1
z z z
    




Ht


 thi kho sát ln
4
www.VNMATH.com
TRNG THPT CHUYÊN VNH PHÚC K THI TUYN SINH I HC, CAO NG NM 2011
Môn: Toán 12. Khi A.


ÁP ÁN

Câu
Ý

Ni dung
im
I

2,00

1

Khi m=0 thì hàm s tr thành
3
3 2
  

y x x .

Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s
3
3 2
  
y x x .


 Tp xác đnh: Hàm s có tp xác đnh


D .

 S bin thiên:
 Chiu bin thiên
2
3 3
 
y' x .
Ta có
1
0
1
 

 




x
y'
x


,
y 0 x 1 x 1
      
h/s đng bin trên các khong




; 1 & 1;
  


,
y 0 1 x 1
     
hàm s nghch bin trên khong (-1;1)





1 4 1 0
    
CD CT
y y ; y y

 Gii hn
3
2 3
x
x
3 2
lim y lim x 1
x x


 
    
 
 



0,25






0,25
 Bng bin thiên:
x


-1 1



y'


0

0



y

4




0



0,25


  th:  th ct trc Ox ti các điêm (-2;0),(1;0),ct trc Oy ti đim (0;3)

0,25

2
Tìm tt c các đim M đ tip tuyn ti M ct (C)  đim N vi MN=2
6

1,00
1

-1
O



x

4
y

3
3 2
  

y x x

 thi kho sát ln
4
www.VNMATH.com
Ta có




3
; 3 2
M a a a C
   .Phng trình tip tuyn ca (C) ti M có dng
d:




2 3
3 3 3 2
y a x a a a
     
phng trình hoành đ giao đim ca (C) và
tip tuyn d là:




3 2 3

3 2 3 3 3 2
x x a x a a a
       

 
 
2
2 0
2
x a
x a x a
x a


    

 

đ tn ti N thì
0
a

.Suy raN có hoành đ


3
2 2 ; 8 6 2
a N a a a
     
theo gt MN=2

6



 


2
2 2 3 2
24 9 9 9 24 3 4 9 6 2 0
MN a a a t t t
          
(
2
0
t a
 
)
2
4 4 2 3 2 3 18 10 3
;
3 3 3 3 9
t a a M
 
        
 
 
 


0,25



0,25


0,25


0,25
II


2,00

1
Gii phng trình :
sin 4 2 3 4 sin cos
x cos x x x
   


1,00


pt







sin 4 sin 2 sin 2 cos 2 4 3
x x x x sinx cos x
      






  
2 3 sin 3 cos 2sin 1 2 4 0
2sin 1 3 cos 2 0
cos x x cos x x x sinx
x cos x x
      
    

1 5
2 2
2 6 6
sinx x k x k
 
 
        vi
k




3 cos 2 0 3 1, 1 1 2
cos x x cos x cosx cosx x k

          
vi
k



phng trình có 3 h nghim
5
2 2 2
6 6
x k x k x k
 
  
      
0,25


0,25


0,25

0,25

2
Gii phng trình:
2
1
2 3 1 4 3
x x x
x
     

1,00


+Khi
0
x

thì pt
2 2
1 3 1 3
2 4
x x x x
     
(1) đt t
2
1 3
2
x x
  

2

2
0
1 3
2
t
t
x x




  


pt(1)
2 2
6 6 0 3
t t t t t
        
( tm),


2
t l
 
2
1 3
2
x x
  

 
2
3 37
7 3 1 0
14
x x x tm

      và
3 17
14
x

 (loi)
Khi
0
x

thì pt
2 2
1 3 1 3
2 4
x x x x
      
(2) đt t
2
1 3
2
x x
  

2
2
0
1 3
2
t
t
x x




  


pt(1)
2 2
6 6 0 2
t t t t t
         
( tm),


3
t l
 
 
2
3 37
2 3 1 0 .

4
x x x k tm

      và
3 17
4
x

 (tm)
Kl nghim pt là:
3 37
14
x

 và
3 17
4
x







0,25


0,25

0,25




0,25
III

Tính tích phân:
1
2
2
0
4 4
x
x e
I dx
x x

 


1,00
www.VNMATH.com

   
 
 
2
1
1 2 3
2
0
2 4 2 4
4
2
x
x x e
I dx I I I
x
 
   
 
   


   
1
2 3 2 3
0
4 1 4
x
e I I e I I
      

vi
1
1
0
x
I e dx


;
 
1 1
2 3
2
0 0
;
2
2
x x
e e
I dx I dx
x
x
 


 
.Tính
2
I

đt
 
2
1 1
2
2
u du dx
x
x
   




x x
dv e dx v e
  

 
1
1
2 3
2
0
0
1
2 3 2
2
x x
e e e

I dx I
x
x
    



.Vy
 
2 3
1 3
1 4 1 4
3 2 3
e e
I e I I e

 
        
 
 
áp s:
3
3
e
I




0,25

0,25





0,25


0,25
IV

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD 1,00


AC BD O
 
do (SAC) và(SBD) cùng vuông góc vi (ABCD) nên


SO ABCD
 .Tam giác ABD cân có

0
60
BAD ABD
  

đu cnh 2a
đt


0 ; 3;
SO x x AO OC a BO OD a
     
,chn h trc to đ Oxyz
gc O trc Ox đi qua CA,trc Oy đi qua DB,trc Oz đi qua OS ta có
O(0;0;0),


 


   
3; 0;0 , 0; ;0 , 3; 0;0 , 0; ; 0 , 0;0;
A a B a C a D a S x
 

3
; ;0 , 0; ; 3; ;
2 2 2 2 2 2
3
; ; , . 0 2
2 2
a a a x a x
M N AN a
a x
MN a AN MN AN MN x a

 
   
     
 
   
 
   
 
 
      
 
 
 

  

,
I AM CD E IN SC
   
, do C là trung đim ca DI
E

là trng tâm tam
giácSDI


 
 
 
 

. .
3
1 1
, .
3 3
1 1 1 1 5 5 3
, . . . . .
3 3 2 3 3 2 18 9
ADN MCE N AID EMIC AID
MIC ABCD ABC ABD
CE
V V V d N ABCD S
CS
SO SO
d E ABCD S S S SO S a
     
   


0,25




0,25




0,25

0,25
V

Chng minh rng nu


, , 0;1
a b c thì
1,00


w.l.o.g.
a b c ab ac bc
    

t đó ta có:
  
1 1 0 1 1
1
b c
b c bc b c
bc

        


(do


, , 0;1
a b c )
1
1 1 1
b c b c
ca ab bc

  
  
vy :
1
1
1 1 1 1
a b c
abc bc
bc ca ab bc
     
   

ta cn cm
1 3 1 3
1 2 1 2
bc x
bc x
    
 
(*)vi



0;1
x 
(*)




2 1 1 0
x x
   
luôn đúng vi mi


0;1
x 
du bng xy ra khi và ch khi a=b=c=1
0,25


0,25


0,25


0,25
VIA

2,00

1
Trong mt phng vi h to đ Oxy cho đim A


2;10
và đng thng d:y=8 ….
1,00


Gi H là hình chiu vuông góc ca A trên d


2;8
H .Trên tia AH ly đim B
0,25
www.VNMATH.com
tho mãn
24
. . 24 12
AH AB AM AN AB
AH
    
   
(do ;
AB AH
 
cùng
hng,AH=2)

T đó


2; 2
B

.Ta thy


AHE AFB c g c
   

(do
ˆ
A
chung,
AH AF
AE AB
 )


0
90
AFB AHE  

F chy trên đng tròn tâm I


2; 4
bán kính

1
6
2
R AB
 
.Phng trình đng cong c đnh mà F chuyn đng trên đó là:

   
2 2
2 4 36
x y
   


0,25




0,25



0,25


2
…cho
ABC


,bit


3;2;3
C và phng trình đng….
1,00


pt tham s ca AH và BM
   
2 1
: 3 & : 4 2
3 2 3
x t x u
AH y t BM y u
z t z u
   
 
 
   
 
 
   
 

khi đó





2 ;3 ;3 2 & 1 ;4 2 ;3
A t t t B u u u
     

+xác đnh to đ B
Ta có




 
2; 2 2; & 1;1; 2
. 0 2 2 2 2 0 0
1; 4;3
AH
AH
CB u u u a
BC AH CB a u u u u
B
     
          






+xác đnh to đ A
Ta có:







1 ; 1 ; 2 , 1; 2;1 , 2; 2;0
BM
BA t t t u BC        
 

.
Vì BM là đng phân giác trong ca góc B nên:
   
   
     
2 2 2
. .
, ,
. .
01 2 1 1. 2
2 4 0
1
4 4
1 1 2
BM BM
BM BM
BM BM
BA u u BC
cos BA u cos u BC
BA u u BC

tt t t
t
t t t
  
     

 
 

 


     
 
 
 
 
 
 

+ t =0


2;3;3
A (loi) do A,B,C thng hàng
+ t =-1


1; 2;5
A (tm) khi đó ta có đc

2 2
AB BC CA  
tam giác ABC
đu ,vy chu vi tam giác ABC bng
6 2






0,25







0,25






0,25

0,25
VIIA

Tìm phn thc,phn o ca s phc:
2 3 2008
1 2 3 4 2009
z i i i i
     


1,00


2 3 2008
1 2 3 4 2009
z i i i i
     


2 3 4 2009
2 3 4 2009
iz i i i i i
     




  
2 3 2008 2009 2008 2009
1 1 2009 2009 1 2009

1 2009 1
1 2009 2010 2008
1005 1004
1 2 2
i z i i i i i i i i
i i
i i
z i
i
           
 
 
    


vy phn
thc ca s phc z bng 1005, phn o ca s phc z bng -1004

do
4 4 1 4 2 4 3
0
k k k k
i i i i k
  
     



0,25

0,25

0,25

0,25
VIB

2,00

1
Trong mt phng h to đ Oxy cho hai đng thng :
1 2
: 2 0; : 2 0
d y x d y x
   
……
1,00
www.VNMATH.com


T gt




1 1 1 2 2 2
; , ;
A x y d B x y d
 
nm v 2 phía trc tung

1 2
0
x x
 

có

1 1 2 2 1 2
2 , 2 5 , 5 ,
3
5
y x y x OA x OB x
AOB cos
 
     
  
 

t gt
1 2 1 2
. 3 1 1
OA OB x x x x
     
 
gi M(x;y) là trung đim ca AB
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 ; 2 4 2 2
x x x y y y x x x x x x x
          

(1)
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2
y x x y x x x x x x
        
(2)
T (1) và (2)
2
2
1
4
y
x
   
(3) Vy tp hp các đim M(x;y) là đng Hyperbol

cho bi (3).

0,25






0,25


0,25

0,25

2
vit phng trình mt phng (Q) cha đng thng
d:
1 1 3
2 1 1
x y z
  
  và to vi mt phng


: 2 5 0
P x y z
   
góc nh nht
1,00


+d có vtcp


2;1;1
u 

,(P) có vtpt



1; 2; 1
m
 


(Q) có vtpt
 


2 2 2
; ; 0
n a b c a b c
   


+do (Q) cha d nên ta có


. 0 2 0 2 ; ; 2
n u n u a b c c a b n a b a b
              
    

+gi góc hp bi (P) và (Q) là
 
 
2
2 2
. 2 2
;

.
6. 2
m n a b a b
cos cos m n
m n
a b a b
 
  
   
  
 
 
 

   
2 2
2
3 3
3
2
6. 3 2 6. 2
a b a b
cos
a a b a b

 
  
  


0
30


vy
0
min
30


du bng xy ra khi và ch khi
0
a

lúc đó ta chn


1; 1 0;1; 1
b c n
     


mt phng (Q):


 
: 1; 1;3
: 0;1; 1
qua A d
vtpt n


  


 



t đó mp (Q):
4 0
y z
  





0,25



0,25




0,25


0,25

VIIB

Tính tng S
2 4 2010
1
z z z
    


1,00


gi s


, , .
z a bi a b  

ta có h
pt :
 
2 2
2 22
1
1
2 1 2
2
z
a b
a b ab iz i z

 
 
 

 
    
 


   
2 2
2
2 2 2
1
2 1 4 1 4 1 0
b a
a a a ab

 



     


2 2
0; 1
1
0; 1
0

a b
b a
b a
ab

  

 

 


  





khi đó ta có 4 s phc là : 1; 1; ;
z z z i z i
     

khi
1
z

hoc
1
z
 

ta có
1006
S


khi
z i

hoc
z i
 
ta có




1006 1006
2 2
2 2
1 1
0
1 1
z i
S
z i
 
  
 

0,25


0,25


0,25


0,25



www.VNMATH.com