Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên năm học 2008 - 2009 môn toán pps

Sở giáo dục và đào tạo

Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên

Tỉnh ninh bình

năm học 2008 - 2009

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang)

Câu 1 (3,5 điểm):
Cho biểu thức
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
P
x x x x
+
=
+ +

1. Rút gọn biểu thức
P
.
2. Tìm giá trị của
x
để

1
2
P
=
.
Câu 2
(3,5 điểm):
Cho hai số thực
,
a b
thoả mn điều kiện
2
a b
ab
>


=

.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
a b
Q
a b
+
=

.
Câu 3

(4,0 điểm):
Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Ngời ta nhận thấy rằng, nếu mỗi ô
tô chỉ chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các
học sinh trên các ô tô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ô tô và có bao nhiêu học sinh đi tham
quan, biết rằng mỗi ô tô chỉ chở đợc không quá 32 học sinh.
Câu 4
(5,5 điểm):
Cho hình vuông ABCD. Điểm M di động trên tia đối của tia CD (M không trùng với C).
Đờng thẳng vuông góc với AM tại A cắt đờng thẳng BC tại N.
1. Chứng minh rằng tam giác MAN vuông cân.
2. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh rằng ba điểm D, B, E
thẳng hàng.
3. Xác định vị trí của điểm M sao cho tam giác EAC là tam giác đều.
Câu 5
(3,5 điểm):
1. Cho tam giác có độ dài các cạnh bằng
, ,
a b c
thoả mn điều kiện
2 2 2
a b c
+
.
Gọi
, ,
c
p r h
lần lợt là nửa chu vi, độ dài bán kính đờng tròn nội tiếp, độ dài đờng cao thuộc
cạnh
c

của tam giác. Chứng minh rằng
2
5
c
r
h
>
.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên (
;
x y
) thoả mn :
2
(2009 ) 5 0
x y x y
+ + + =
.
3. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn. Gọi M là điểm di động trên cung BC không
chứa điểm A. Xác định vị trí của điểm M sao cho 2008 MB + 2009 MC đạt giá trị lớn nhất.

Hết
Họ và tên thí sinh:.SBD: .Số CMND:
Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: .
đề thi chính thức
Hớng dẫn chấm thi Môn Toán
Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên năm học 2008-2009
( Hớng dẫn chấm thi gồm 4 trang)

I. Hớng dẫn chung:
-Dới đây chỉ là HD tóm tắt của một cách giải, bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt

chẽ, tính toán chính xác mới đợc điểm tối đa
-Bài làm của học sinh đúng đến đâu các giám khảo cho điểm đến đó
-Học sinh đợc sử dụng kết quả của câu trớc để áp dụng cho câu sau
-Trong bài hình nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm
-Với các cách giải khác với đáp án tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhng không
vợt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.
-Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải đợc thống nhất trong tổ chấm và chỉ cho
điểm theo sự thống nhất trong tổ chấm.
-Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đ chấm,không làm tròn
II. Đáp án và biểu điểm:
Câu Hớng dẫn chấm Điểm

Câu 1
(3.5 đ)
1. Điều kiện x
0

; x
1


Ta có
(15 11) (3 2)( 3) (2 3)( 1)
( 3)( 1)
x x x x x
P
x x
+ +
=
+

=
5 7 2 ( 1)( 5 2) ( 5 2)
( 3)( 1) ( 3)( 1) ( 3)
x x x x x
x x x x x
+ + +
= =
+ + +

2. Ta có
1 5 2 1 1 1
2 2 11 121
3
x
P x x
x
+
= = = =
+

0.5
0.5


0.75

1.75
Câu 2
(3.5 đ)

Ta có:
2 2 2
( ) 2 2 4
( ) ( )
a b a b ab ab
Q a b a b
a b a b a b a b
+ +
= = = + = +


áp dụng kết quả:
2
; 0 : ( ) 0 2 .
x y x y x y x y
+

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x=y
Ta có:
4
2. ( ). 4
( )
Q a b
a b
=


Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:
4
1 3

1 3
2
1 3
1 3
a
a b
a b
b
ab
a
a b
b



= +

=





= +



=

=


>



=






Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 4.
( Học sinh phải CM kết quả
2
; 0 : ( ) 0 2 .
x y x y x y x y
+
sau đó
mới áp dụng, n ếu HS không CM thì trừ 0.5 điểm phần này)


1.0

0.5

0.5



1.0


0.5


Câu 3
(4.0đ)


Gọi x là số ô tô ban đầu
Sau khi bớt đi một ô tô thì số ô tô còn lại là (x-1); Điều kiện x>1;
x N


Do mỗi ô tô chỉ chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh nên số học sinh đi
tham quan là (22x+1).
Số học sinh có trong mỗi ô tô của (x-1) ô tô là:
22 1
1
x
x
+

Theo giả thiết bài toán ta có
*
22 1
1
22 1
32
1
x
N
x
x
x
+






+






Mặt khác ta có:
22 1 22( 1) 23 23
22
1 1 1

x x
x x x
+ +
= = +


Do đó
22 1
1
x
x
+

* *
23
( 1)
N N
x


,hay (x-1) là ớc của 23
x-1=1
2
x
=
. Khi đó
22 1
1
x
x

+

=45>32 nên không thoả mn
x-1=23
24
x
=
.Khi đó
22 1
1
x
x
+

=23<32 nên thoả mn
Vậy Số ô tô ban đầu là 24
Số học sinh đi tham quan là 529



0.25

0.5
0.5


0.75


0.5

0.5


0.25

0.25
0.25
0.25
Câu 4
(5.5 đ)


( Học sinh vẽ hình đúng cho 0.25 đ)
a. Ta có: Tứ giác MCAN có


0
90
MAN MCN= =
nên tứ giác MCAN nội tiếp
đợc đờng tròn đờng kính MN.
Suy ra:


0
45
AMN ACN= =
( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
Mặt khác theo giả thiết:

0
90
MAN =

Vậy tam giác MAN vuông cân đỉnh A.

















0.5

0.5
0.5
0.25
D

A

B

E

N
C

M

b. Trong tam giác vuông CMN có ME là trung tuyến nên
1
.
2
CE MN
=

Trong tam giác vuông AMN có AE là trung tuyến nên
1
.
2
AE MN
=

Từ đó suy ra CE=AE, hay E thuộc đờng trung trực của AC
*.Do ABCD là hình vuông nên DA=DC; BA=BC nên B, D cũng thuộc vào
đờng trung trực của AC
Do đó ba điểm D, B, E thẳng hàng
0.5

0.5


0.5

0.5

c. Gọi a là độ dài các cạnh của hình vuông.
Do tam giác EAC cân đỉnh E nên:
EAC

đều khi và chỉ khi
. 2
EA AC a= =

* Trong tam giác vuông AMN: MN=2AE=2a
2

Khi đó AM= 2a.
* Trong tam giác vuông DAM ta có: DM
2
=AM
2
-AD
2
=4a
2
-a
2

=3a
2

Hay DM=a
3

Kết luận: Tam giác EAC là tam giác đều khi M thuộc tia đối của tia CD và
DM=DC.
3


0.5

0.5

0.5
Câu 5 1.( 1.5 điểm)
Gọi S là diện tích tam giác. Học sinh phải chứng minh S=p.r
( p: nửa chu vi của tam giác; r : Bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác)
Mặt khác S=
1
. .
2
c
c h
nên
2
c
r c c
h p a b c

= =
+ +
:

2 2 2 2 2 2 2
( ) 2( ) 2
2. ( 2 1).
2
2 1
5
a b c a b a b c
a b c a b c c
c
a b c
+ + +
+ + + +
>
+ +

Vậy ta có điều phải chứng minh.
( N ếu học sinh không chứng minh S=p. r thì trừ đi 0.5 điểm)
2. ( 1,0 điểm):
Ta có:
[ ]
2 2
2
(2009 ). 5 0 ( 2 1) 2007( 1) ( 1). 2003
( 1) 2007( 1) ( 1). 2003
( 1). ( 1) 2007 2003
x y x y x x x x y

x x x y
x x y
+ + + = + =
=
=

Từ phơng trình trên suy ra (x-1) là ớc của 2003. Mặt khác 2003 là số
nguyên tố nên xẩy ra bốn khả năng sau
*
1 1 2 4009
x x y
= = =

*
1 1 0 5
x x y
= = =

*
1 2003 2004 5
x x y
= = =

*
1 2003 2002 4009
x x y
= = =

V ậy có 4 cặp số nguyên (x;y) thoả mn là:
(2; - 4009);(0; - 5); (2004; -5);(- 2002; - 4009)

0.5

0.25



0.5


0.25




0.5




0.5





3. (1.0 điểm)
. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho

2008
2009
MC
ME
=

Khi đó


CME BAC
=
( vì cùng bù với

BMC
)
CME

có các góc không đổi

CEM

không đổi

3 điểm B, C, E nằm trên một đờng tròn cố định.
. Ta dựng đờng thẳng vuông góc với BC tại C, cắt đờng tròn ngoại tiếp
tam giác BCE tại F. Khi đó BF là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp tam
giác BCE

F là điểm cố định.
.Gọi M

0
là giao điểm thứ 2 của BF và đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Suy ra M
0
là điểm cố định
. Ta có 2008. MB + 2009. MC=2008.MB + 2008 ME=2008. BE

2008BF
D ấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi M

M
0

Vậy 2008.MB + 2009.MC đạt giá trị lớn nhất khi M

M
0












0.25

0.25



0.25





0.25



A
B

C
M
O
M

F
E