Tài liệu ôn toán - Chuyên đề hàm số - phần 4 pot

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
31



Xuất phát từ hàm ñơn ñiệu :
(
)
3 2
2 1
y f x x x
= = + +
mọi
0
x
≥
ta xây dựng phương trình :
( )
(
)
(
)
3
3 2 2
3 1 2 1 2 3 1 (3 1) 1
f x f x x x x x
= − ⇔ + + = − + − +
, Rút gọn ta ñược phương trình
(
)

3 2
2 3 1 2 3 1 3 1
x x x x x
+ − + = − −

Từ phương trình
(
)
(
)
1 3 1
f x f x
+ = −
thì bài toán sẽ khó hơn
(
)
(
)
3 2
2 7 5 4 2 3 1 3 1
x x x x x
+ + + = − −

ðể gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau :
ðặt
3 1
y x
= −
khi ñó ta có hệ :
3 2 3

2
2 7 5 4 2
3 1
x x x y
x y

+ + + =


− =


cộng hai phương trình ta ñược:
(
)
(
)
3 2
2 1 1
x x
+ + +
=
3 2
2
y y
+

Hãy xây dựng những hàm ñơn ñiệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ?

Bài 1.

Giải phương trình :
( )
(
)
(
)
2 2
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0
x x x x x
+ + + + + + + =

Giải:
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
2 2
2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 2 1 3
x x x x f x f x
⇔ + + + + = − + − + ⇔ + = −


Xét hàm số
( )
(
)
2

2 3
f t t t
= + +
, là hàm ñồng biến trên R, ta có
1
5
x
= −

Bài 2.
Giải phương trình
3 2 2
3
4 5 6 7 9 4
x x x x x
− − + = + −

Giải . ðặt
2
3
7 9 4
y x x
= + −
, ta có hệ :
( ) ( )
3 2
3
3
2 3
4 5 6

1 1
7 9 4
x x x y
y y x x
x x y

− − + =

⇒ + = + + +

+ − =



Xét hàm số :
(
)
3
f t t t
= +
, là hàm ñơn ñiệu tăng. Từ phương trình
( ) ( ) ( )
23
5
1 1 1 7 9 4
1 5
2
x
f y f x y x x x x
x

=


=  +  ⇔ = + ⇔ + = + − ⇔
− ±
 

=



Bài 3.
Giải phương trình :
3
3
6 1 8 4 1
x x x
+ = − −


V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
1. Một số kiến thức cơ bản:
 Nếu
1
x
≤
thì có một số t với
;
2 2
t

π π
− −
 
∈
 
 
sao cho :
sin
t x
=
và một số y với
[
]
0;
y
π
∈
sao
cho
cos
x y
=

 Nếu
0 1
x
≤ ≤
thì có một số t với
0;
2

t
π
 
∈
 
 
sao cho :
sin
t x
=
và một số y với
0;
2
y
π
 
∈
 
 
sao
cho
cos
x y
=


Với mỗi số thực x có
;
2 2
t

π π
 
∈ −
 
 
sao cho :
tan
x t
=


Nếu :
x
,
y
là hai số thực thỏa:
2 2
1
x y
+ =
, thì có một số t với
0 2
t
π
≤ ≤
, sao cho
sin , cos
x t y t
= =

Từ ñó chúng ta có phương pháp giải toán :

Nếu :
1
x
≤
thì ñặt
sin
t x
=
với
;
2 2
t
π π
− −
 
∈
 
 
hoặc
cos
x y
=
với
[
]
0;
y
π

∈

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
32



 Nếu
0 1
x
≤ ≤
thì ñặt
sin
t x
=
, với
0;
2
t
π
 
∈
 
 
hoặc
cos
x y
=
, với

0;
2
y
π
 
∈
 
 



Nếu :
x
,
y
là hai số thực thỏa:
2 2
1
x y
+ =
, thì ñặt
sin , cos
x t y t
= =
với
0 2
t
π
≤ ≤


Nếu
x a
≥
, ta có thể ñặt :
sin
a
x
t
=
, với
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
, tương tự cho trường hợp khác


x là số thực bất kỳ thi ñặt :
tan , ;
2 2
x t t
π π
 
= ∈ −
 

 

Tại sao lại phải ñặt ñiều kiện cho t như vậy ?
Chúng ta biết rằng khi ñặt ñiều kiện
(
)
x f t
=
thì phải ñảm bảo với mỗi
x
có duy nhất một
t
, và
ñiều kiện trên ñể ñảm bào ñiều này .
(xem lại vòng tròn lượng giác )
2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ?
Từ công phương trình lượng giác ñơn giản:
cos3 sin
t t
=
, ta có thể tạo ra ñược phương trình vô tỉ
Chú ý :
3
cos3 4cos 3cos
t t t
= − ta có phương trình vô tỉ:
3 2
4 3 1
x x x
− = −

(1)
Nếu thay
x
bằng
1
x
ta lại có phương trình :
2 2 2
4 3 1
x x x
− = −
(2)
Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó:
3 2 2
4 12 9 1 2
x x x x x
− + − = −
(3)
Việc giải phương trình (2) và (3) không ñơn giản chút nào ?
Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,…….hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo
kiểu lượng giác .
3. Một số ví dụ
Bài 1.
Giải phương trình sau :
( ) ( )
2
3 3
2
2 1
1 1 1 1

3
3
x
x x x
−
 
+ − + − − = +
 
 

Giải:
ðiều kiện :
1
x
≤

Với
[ 1;0]
x
∈ −
: thì
( ) ( )
3 3
1 1 0
x x
+ − − ≤
(ptvn)
[0;1]
x
∈

ta ñặt :
cos , 0;
2
x t t
π
 
= ∈
 
 
. Khi ñó phương trình trở thành:
1 1
2 6 cos 1 sin 2 sin cos
2
6
x t t t
 
+ = + ⇔ =
 
 
vậy phương trình có nghiệm :
1
6
x =

Bài 2.
Giải các phương trình sau :
1)

1 2 1 2
1 2 1 2

1 2 1 2
x x
x x
x x
− +
− + + = +
+ −
HD:
1 2cos
tan
1 2cos
x
x
x
+
=
−

2)

(
)
2 2
1 1 1 2 1
x x x
+ − = + −
ðs:
1
2
x

=

3)

3
3 2
x x x
− = +
HD: chứng minh
2
x
>
vô nghiệm


Bài 3
. Giải phương trình sau:
3
6 1 2
x x
+ =

Giải: Lập phương 2 vế ta ñược:
3 3
1
8 6 1 4 3
2
x x x x
− = ⇔ − =

Xét :
1
x
≤
, ñặt
[
]
cos , 0;
x t t
π
= ∈
. Khi ñó ta ñược
5 7
cos ;cos ;cos
9 9 9
S
π π π
 
=
 
 
mà phương trình
bậc 3 có tối ña 3 nghiệm vậy ñó cũng chính là tập nghiệm của phương trình.
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
33



Bài 4.

.Giải phương trình
2
2
1
1
1
x
x
 
+
 
−
 

Giải:
ñk:
1
x
>
, ta có thể ñặt
1
, ;
sin 2 2
x t
t
π π
 
= ∈ −
 
 

Khi ñó ptt:
( )
2
cos 0
1
1 cot 1
1
sin
sin 2
2
t
t
x
t
=


+ = ⇔

= −


Phương trình có nghiệm :
(
)
2 3 1
x
= − +

Bài 5
.Giải phương trình :
(
)
( )
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2 1
x
x
x
x
x x
+
+
+ = +
−

Giải: ñk
0, 1
x x
≠ ≠ ±

Ta có thể ñặt :
tan , ;
2 2
x t t
π π
 
= ∈ −
 
 

Khi ñó pttt.
(
)
2
2sin cos2 cos2 1 0 sin 1 sin 2sin 0
t t t t t t
+ − = ⇔ − − =

Kết hợp với ñiều kiện ta có nghiệm
1
3
x =


Bài tập tổng hợp
Giải các phương trình sau
( )
3
3 2 2
1 2 2

x x x x
+ − = −

2
2 2 30 2007. 30 4 2007 30. 2007
x x x
− − + =

2
12 8
2 4 2 2
9 16
x
x x
x
−
+ − − >
+

3
3 3
1 1 2
x x x
− + + =

3 3
1 2 1
x x x
+ + = +

4 5 3 1 2 7 3
x x x x
+ + + = + + +

( )
2 2
3 1 3 1
x x x x
+ + = + +

4 3 10 3 2
x x
− − = −

(HSG Toàn Quốc 2002)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 5 2 10
x x x x x
− − = + − −

2
3
4 1 2 3

x x x
+ = − + −

2 33
1 3 2 3 2
x x x
− + − = −

2
3
2 11 21 3 4 4 0
x x x
− + − − =

(OLYMPIC 30/4-2007)
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2
x x x x x x x
− + − − = + + + − +

2 2
2 16 18 1 2 4
x x x x
+ + + − = +

2
2
3 3 2
2
3 1

x x
x x
x
+ +
+ + =
+

12 2 1 3 9
x x x
+ − = +

3 2
4
4
1 1
x x x x
+ + = + +

2
4 3 3 4 3 2 2 1
x x x x x
+ + = + + −

3 2 4
1 1 1 1
x x x x x
− + + + + = + −

( )
(

)
( )
2 2
4 2 4 16 2 4 16 2 9 16
x x x x
+ + − + − = +

2
(2004 )(1 1 )
x x x
= + − −

( 3 2)( 9 18) 168
x x x x x
+ + + + =

2 4 2
3
3 1 1
3
x x x x
− + = − + +

( ) ( )
2 2
2
3
3 3
2 1 3 1 1 0
x x x

+ + − + − =

2
2008 4 3 2007 4 3
x x x
− + = −


(
)
(
)
2 2
3 2 1 1 1 3 8 2 1
x x x x
+ − = + + +

2
12 1 36
x x x
+ + + =

( )
3 3
4 1 1 2 2 1
x x x x
− + = + +

1 1 1
2 1 3

x
x x
x x x
−
+ = − + −

2 2
5 14 9 20 5 1
x x x x x
− + − − − = +

3
3
6 1 8 4 1
x x x
+ = − −

( )
( )
2
15
30 4 2004 30060 1 1
2
x x x
− = + +

2
4 9
7 7
28

x
x x
+
= +

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
34




2 2
4 4 10 8 6 10
x x x x
− − = − −

3
x x x x
− = +



CHUYÊN ðỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I.

PHƯƠNG PHÁP BIỂN ðỔI TƯƠNG ðƯƠNG
Dạng 1
: Phương trình
(*)

0
x D
A B A B
A B
∈

= ⇔ = ≥ ⇔

=


Lưu ý
: ðiều kiện (*) ñược chọn tuỳ thuôc vào ñộ phức tạp của
0
A
≥
hay
0
B
≥

Dạng 2
: Phương trình
2
0
B
A B
A B
≥


= ⇔

=


Dạng 3
: Phương trình
+)
0
0
2
A
A B C B
A B AB C

≥

+ = ⇔ ≥


+ + =


(chuyển về dạng 2)

+)
(
)
3 3 3 3
3 3

3 .
A B C A B A B A B C
+ = ⇒ + + + =

và ta sử dụng phép thế :
3 3
A B C
+ =
ta ñược phương trình :
3
3 . .
A B A B C C
+ + =

Bài 1
: Giải phương trình:
a)
2
1 1
x x
− = −

b)
2 3 0
x x
− + =

c)
2
1 1

x x
+ + =

e)
3 2 1 3
x x
− + − =

f)
3 2 1
x x
+ − − =

g)
9 5 2 4
x x
+ = − +

h)
3 4 2 1 3
x x x
+ − + = +

i)
2 2
( 3) 10 12
x x x x
+ − = − −

II.PHƯƠNG PHÁP ðẶT ẨN PHỤ
Phương pháp ñặt ẩn phụ thông thường.
-Nếu bài toán có chứa
( )
f x
và
( )
f x
khi ñó ñặt
( )
t f x
=
(với ñiều kiện tối thiểu là
0
t
≥
. ñối với
các phương trình có chứa tham số thì nhất thiết phải tìm
ñiều kiện ñúng
cho ẩn phụ).
-Nếu bài toán có chứa
( )
f x
,
( )
g x
và
( ). ( )
f x g x k
=

(với k là hằng số) khi ñó có thể ñặt :
( )
t f x
=
, khi ñó
( )
k
g x
t
=

-Nếu bài toán có chứa
( ) ( ) ; ( ). ( )
f x g x f x g x
±
và
( ) ( )
f x g x k
+ =
khi ñó có thể ñặt:
( ) ( )
t f x g x
= ±
suy ra
2
( ). ( )
2
t k
f x g x
−

=

-Nếu bài toán có chứa
2 2
a x
−
thì ñặt
sin
x a t
=
với
2 2
t
π π
− ≤ ≤
hoặc
cos
x a t
=
với
0
t
π
≤ ≤

Bài 2
: Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm:
2 2
3 2 2
x x m x x

− + − = + −

Bài 3
: Cho phương trình:
2
1
x x m
− − =

-Giải phương trình khi m=1
-Tìm m ñể phương trình có nghiệm.
Bài 4
: Cho phương trình:
2
2 3
x mx x m
+ − = −

-Giải phương trình khi m=3
-Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
35



-Nếu bài toán có chứa
2 2
x a
−

thì ñặt
sin
a
x
t
=
với
{ }
; \ 0
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
hoặc
cos
a
x
t
=
với
[ ]
0; \
2
t
π
π
 

∈
 
 

-Nếu bài toán có chứa
2 2
x a
+
ta có thể ñặt
.tan
x a t
=
với
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề


36

Bài 1: Giải phương trình:
a)
2 2

2 8 12 2
x x x x
+ + + = −

b)
2 2
2 5 2 3 9 3 3
x x x x
− + + = − −

c)
2 2
4 6 2 8 12
x x x x
− + = − +

d)
2 2
3 15 2 5 1 2
x x x x
+ + + + =

e)
2
( 4)( 1) 3 5 2 6
x x x x
+ + − + + =

f)
2 2

2 5 2 2 2 5 6 1
x x x x
+ + − + − =

g)
2 2
3 2 2 2 6 2 2
x x x x
+ + − + + = −

h)
2 2
11 31
x x
+ + =

i)
2
( 5)(2 ) 3 3
x x x x
+ − = +


Bài 2: Giải phương trình:
a)
( ) ( )
3
3 2 2
1 2 1
x x x x

+ − = −

b)
( ) ( )
3 3
2 2
1 1 1 1 2 1
x x x x
 
+ − − − + = + −
 
 

c)
2 2
1 2 1 2 1 0
x x x x
− − − − + =

d)
6 4 2 2
64 112 56 7 2 1
x x x x
− + − = −

e)
2
35
12
1

x
x
x
+ =
−

f)
( )( ) ( )
1
3 1 4 3 3
3
x
x x x
x
+
− + + − = −
−




Bài 4: Cho phương trình:
2
1 1
1
m
x
x
+ =
−

-Giải phương trình với
2
2
3
m = +
-Tìm m ñể phương trình có nghiệm.
Bài 5: Cho phương trình:
(
)
2 2
2 2 2 3 0
x x x x m
− + − − − =

-Giải phương trình với m = 9
-Tìm m ñể phương trình có nghiệm.

2. Phương pháp ñặt ẩn phụ không hoàn toàn
Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các
hệ số vẫn còn chứa x.
-Từ những phương trình tích
(
)
(
)
1 1 1 2 0
x x x
+ − + − + =
,

(
)
(
)
2 3 2 3 2 0
x x x x
+ − + − + =

Khai triển và rút gọn ta sẽ ñược những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, ñộ khó của phương
trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát.
Từ ñó chúng ta mới ñi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải ñược thể hiện qua các ví dụ
sau .
Bài 1. Giải phương trình :
(
)
2 2 2
3 2 1 2 2
x x x x
+ − + = + +

Giải:
2
2
t x
= +
, ta có :
( )
2
3
2 3 3 0

1
t
t x t x
t x
=

− + − + = ⇔

= −


Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề


37

Bài 2. Giải phương trình :
( )
2 2
1 2 3 1
x x x x
+ − + = +

Giải:
ðặt :
2
2 3, 2
t x x t= − + ≥

Khi ñó phương trình trở thnh :
(
)
2
1 1
x t x
+ = +
(
)
2
1 1 0
x x t
⇔ + − + =

Bây giờ ta thêm bớt , ñể ñược phương trình bậc 2 theo t có
∆
chẵn
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2 3 1 2 1 0 1 2 1 0
1
t
x x x t x t x t x
t x
=

− + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔

= −



Từ một phương trình ñơn giản :
(
)
(
)
1 2 1 1 2 1 0
x x x x
− − + − − + + =
, khai triển ra ta sẽ ñược pt sau
Bài 3. Giải phương trình sau :
2
4 1 1 3 2 1 1
x x x x
+ − = + − + −

Giải:
Nhận xét : ñặt
1
t x
= −
, pttt:
4 1 3 2 1
x x t t x
+ = + + +
(1)
Ta rt
2
1

x t
= −
thay vo thì ñược pt:
(
)
(
)
2
3 2 1 4 1 1 0
t x t x
− + + + + − =

Nhưng không có sự may mắn ñể giải ñược phương trình theo t
(
)
(
)
2
2 1 48 1 1
x x
∆ = + + − + −
không
có dạng bình phương .
Muốn ñạt ñược mục ñích trên thì ta phải tách 3x theo
(
)
(
)
2 2
1 , 1

x x
− +

Cụ thể như sau :
(
)
(
)
3 1 2 1
x x x
= − − + +
thay vào pt (1) ta ñược:
Bài 4. Giải phương trình:
2
2 2 4 4 2 9 16
x x x
+ + − = +

Giải .
Bình phương 2 vế phương trình:
( )
(
)
( )
2 2
4 2 4 16 2 4 16 2 9 16
x x x x
+ + − + − = +

Ta ñặt :

(
)
2
2 4 0
t x
= − ≥
. Ta ñược:
2
9 16 32 8 0
x t x
− − + =

Ta phải tách
(
)
(
)
2 2 2
9 2 4 9 2 8
x x x
α α α
= − + + −
làm sao cho
t
∆
có dạng chình phương .
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ ñạt ñược mục ñích.
Bài tập: Giải các phương trình sau:
a)
3 3

(4 1) 1 2 2 1
x x x x
− + = + +
b)
2 2
1 2 2
x x x x
− = −

c)
2 2
1 2 2
x x x x
− = +
d)
2 2
4 ( 2) 2 4
x x x x x
+ = + − +

3. Phương pháp ñặt ẩn phụ chuyển về hệ.
a) Dạng thông thường: ðặt
(
)
(
)
,
u x v x
α β
= =

và tìm mối quan hệ giữa
(
)
x
α
và
(
)
x
β
từ ñó tìm ñược
hệ theo u,v. Chẳng hạn ñối với phương trình:
(
)
(
)
m m
a f x b f x c
− + + =
ta có thể ñặt:
( )
( )
m
m
u a f x
v b f x

= −



= +



từ ñó suy ra
m m
u v a b
+ = +
. Khi ñó ta có hệ
m m
u v a b
u v c

+ = +

+ =


Bài tập: Giải các phương trình sau:
a)
3
2 1 1
x x
− = − −
b)
3
9 2 1
x x
− = − −
c)

2
1 ( 1) 0
x x x x x x
− − − − + − =

b) Dạng phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai:
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề


38

2
( )
ax b c dx e x
α β
+ = + + +
với
d ac
e bc
α
β
= +


= +


Cách giải: ðặt:
dy e ax b

+ = +
khi ñó phương trình ñược chuyển thành hệ:
( )
( )
2
2
2
( )
dy e ax b
dy e ax b
dy e c dx e x
c dy e x dy e
α β
α β

+ = +

+ = +
 
⇔
 
+ = + + +

+ = − + + −



->giải
Nhận xét
: Dể sử dụng ñược phương pháp trên cần phải khéo léo biến ñổi phương trình ban ñầu về dạng thỏa

mãn ñiều kiện trên ñể ñặt ẩn phụ.Việc chọn
;
α β
thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới
dạng :
(
)
' '
n
n
x p a x b
α β γ
+ = + +
là chọn ñược.
c) Dạng phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba.
(
)
3
3
ax b c dx e x
α β
+ = + + +
với
d ac
e bc
α
β
= +



= +


Cách giải: ðặt
3
dy e ax b
+ = +
khi ñó phương trình ñược chuyển thành hệ:
( )
( )
( )
( )
3
3
3
3
3
3
( ) ( )
dy e ax b
dy e ax b
c dy e acx bc
dy e c dx e x
c dx e ac d x dy bc
c dx e x dy e



+ = +
+ = +

+ = +
  
⇔ ⇔
  
+ = + + +
+ = − + +
+ = − + + −

 



α β
α β

Bài tập: Giải các phương trình sau:
1)
2
1 4 5
x x x
+ = + +

2)
2
3 1 4 13 5
x x x
+ = − + −

3)
3

3
2 3 3 2
x x
+ = −

4)
2
4 9
7 7 0
28
x
x x x
+
= + >


5)
3
3
1 2 2 1
x x
+ = −

6)
(
)
3 3
3 3
35 35 30
x x x x

− + − =

7)
2
4 13 5 3 1 0
x x x
− + + + =

8)
2
4 13 5 3 1 0
x x x
− + + + =


( )
( )
2
15
30 4 2004 30060 1 1
2
x x x
− = + +

3 2
3
3 5 8 36 53 25
x x x
− = − + −

9)
3 2
3
4
81 8 2 2
3
x x x x
− = − + −

10)
3
3
6 1 8 4 1
x x x
+ = − −

II. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Sử dụng các tính chất của hàm số ñể giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng
sau ñây:
Hướng 1: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:
( )
f x k
=

Bước 2: Xét hàm số
( )
y f x
=

Bước 3: Nhận xét:
• Với
0 0
( ) ( )
x x f x f x k
= ⇔ = =
do ñó
0
x
là nghiệm
• Với
0 0
( ) ( )
x x f x f x k
> ⇔ > =
do ñó phương trình vô nghiệm
• Với
0 0
( ) ( )
x x f x f x k
< ⇔ < =
do ñó phương trình vô nghiệm
• Vậy
0
x
là nghiệm duy nhất của phương trình
Hướng 2: thực hiện theo các bước
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:
( ) ( )
f x g x

=

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề


39

Bước 2: Dùng lập luận khẳng ñịnh rằng
( )
f x
và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác ñịnh
0
x
sao
cho
0 0
( ) ( )
f x g x
=

Bước 3: Vậy
0
x
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Hướng 3: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng
( ) ( )
f u f v
=

Bước 2: Xét hàm số
( )
y f x
=
, dùng lập luận khẳng ñịnh hàm số ñơn ñiệu
Bước 3: Khi ñó
( ) ( )
f u f v u v
= ⇔ =

Ví dụ: Giải phương trình :
( )
(
)
(
)
2 2
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0
x x x x x
+ + + + + + + =

pt
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( )

2 2
2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 2 1 3
x x x x f x f x
⇔ + + + + = − + − + ⇔ + = −

Xét hàm số
( )
(
)
2
2 3
f t t t
= + +
, là hàm ñồng biến trên R, ta có
1
5
x
= −

Bài tập: Giải phương trình:
2
4 1 4 1 1
x x
− + − =
,
3
1 4 5
x x x
− = − − +
,

2
1 3
x x x
− = + −
,
2 3
1 2 2
x x x x
= − + −
,
1 2 3
x x
− + + =
,
2
2 1 3 4
x x x
− + + = −