Tài liệu ôn toán - Chuyên đề hàm số - phần 1 pptx

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
1



HÀM SỐ
☯
☯☯
☯1. TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính ñơn ñiệu của hàm số
I. Kiến thức cơ bản

1. ðịnh nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) xác ñịnh trên K:
+ Hàm số y = f(x) ñược gọi ñồng biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x K x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ <

+ Hàm số y = f(x) ñược gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x K x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ >

2. Qui tắc xét tính ñơn ñiệu

a. ðịnh lí

Cho hàm số y = f(x) có ñạo hàm trên K:
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số ñồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến
b. Qui tắc

B1: Tìm tập xác ñịnh của hàm số
B2: Tính ñạo hàm của hàm số. Tìm các ñiểm x
i
(i = 1, 2,…,n) mà tại ñó ñạo hàm bằng 0 hoặc
không xác ñịnh.
B3: Sắp xếp các ñiểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: Nêu kết luận về các khoảng ñồng biến, nghịch biến.
II. Các ví dụ

Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 1. Xét sự ñồng biến và nghịc biến của hàm số:
3 2 2
4 2
1 1
. y = 2 2 b. y = -x 3 4
e. y = x( 3), (x >
0)
3 2
x - 1
c. y = x 2 3 . y =
x +1
a x x x x x

x d
− − + + + −
− +

Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
2 3 4 2 3 2
2
2
. y = 3x 8 b. y = x 8 5
c. y = x 6 9
3- 2x x 2 3
. y = e. y = f. y = 25-x
x + 7 1
a x x x x
x
d
x
− + + − +
− +
+

Loại 2:
Chứng minh hàm số ñồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác ñịnh.
Phương pháp
+ Dựa vào ñịnh lí.
Ví dụ 3.
Chứng minh hàm số
2
2
y x x

= −
nghịch biến trên ñoạn [1; 2]
Ví dụ 4
a.

Chứng minh hàm số
2
9
y x
= −
ñồng biến trên nửa khoảng [3; +
∞
).
b.

Hàm số
4
y x
x
= +
nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Ví dụ 5. Chứng minh rằng
a.

Hàm số
3
2 1
x
y
x

−
=
+
nghịch biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó.
b.

Hàm số
2
2 3
2 1
x x
y
x
+
=
+
ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó.
c.

Hàm số
2
8
y x x
= − + +
nghịch biến trên R.

Dạng 2.
Tìm giá trị của tham số ñể một hàm số cho trước ñồng biến, nghịch biến trên khoảng xác ñịnh
cho trước
Phương pháp:

+ Sử dụng qui tắc xét tính ñơn ñiêu của hàm số.
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
2



+ Sử dụng ñịnh lí dấu của tam thức bậc hai
Ví dụ 6.
Tìm giá trị của tham số a ñể hàm số
3 2
1
( ) ax 4 3
3
f x x x
= + + +
ñồng biến trên R.
Ví dụ 7.
Tìm m ñể hàm số
2 2
5 6
( )
3
x x m
f x
x
+ + +
=
+
ñồng biến trên khoảng

(1; )
+∞

Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số:
2
1
m
y x
x
= + +
−
ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó.
Ví dụ 9
Xác ñịnh m ñể hàm số
3
2
( 1) ( 3)
3
x
y m x m x
= − + − + +
ñồng biến trên khoảng (0; 3)
Ví dụ 10
Cho hàm số
4
mx
y
x m
+
=

+

a.

Tìm m ñể hàm số tăng trên từng khoảng xác ñịnh
b.

Tìm m ñể hàm số tăng trên
(2; )
+∞

c.

Tìm m ñể hàm số giảm trên
( ;1)
−∞

Ví dụ 11
Cho hàm số
3 2
3(2 1) (12 5) 2
y x m x m x
= − + + + +
. Tìm m ñể hàm số:
a.

Liên tục trên R
b.

Tăng trên khoảng

(2; )
+∞

Ví dụ 12 (ðH KTQD 1997)
Cho hàm số
3 2 2
ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)
y x a a x a a
= − − − + + − −
ñồng biến trên
[2:+ )
∞

Dạng 3
. Sử dụng chiều biến thiên ñể chứng minh BðT
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
+ Dấu hiệu ñể hàm số ñơn ñiệu trên một ñoạn.
+ f ( x) ñồng biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ()
f a f x f
≤ ≤

+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )
f a f x f b
≥ ≥

Ví dụ 1. Chứng minh các bất ñẳng thức sau:
2

2 3
1 1
. tanx > sinx, 0< x <
b. 1 + 1 1 , 0 < x < +
2 2 8 2
x x
. cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0
2 6
x
a x x x
c x
π
− < + < + ∞
≠

Ví dụ 2.
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
a.

Chứng minh rằng hàm số ñồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 


 

b.

Chứng minh rằng
2sin tan 3 , (0; )
2
x x x x
π
+ > ∀ ∈
Ví dụ 3
Cho hàm số
( ) t anx - x
f x
=

a.Chứng minh hàm số ñồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 


 

b. Chứng minh
3
tan , (0; )
3 2
x
x x x
π
> + ∀ ∈

Ví dụ 3
Cho hàm số
4
( ) t anx, x [0; ]
4
f x x
π
π
= − ∈
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
3



a.

Xét chiều biến thiên của hàm số trên
[0; ]
4
π

b.

Chứng minh rằng
4
tan , [0; ]
4
x x x
π

π
≤ ∀ ∈





 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1
. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:

Dựa vào 2 qui tắc ñể tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tìm tập xác ñịnh.
B2: Tính f’(x). Tìm các ñiểm tại ñó f’(x) = 0 hoặc
f’(x) không xác ñịnh.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác ñịnh.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí
hiệu là x
i
là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(x
i
)
B4: Dựa vào dấu của f ” (x
i

) suy ra cực trị
( f ”(x
i
) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x
i
; ( f ”(x
i
) < 0
thì hàm số có cực ñại tại x
i
)
* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số
3 2
2 3 36 10
y x x x
= + − −

Qui tắc I.
TXð: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3
y x x
y x x
x

x
= + −
= ⇔ + − =
=

⇔

= −


+
∞
∞∞
∞
-
∞
∞∞
∞
- 54
71
+
+
-
0
0
2
-3
+
∞
∞∞

∞
-
∞
∞∞
∞
y
y'
x

Vậy x = -3 là ñiểm cực ñại và y
cñ
=71
x= 2 là ñiểm cực tiểu và y
ct
= - 54
Qui tắc II
TXð: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3
y x x
y x x
x
x
= + −
= ⇔ + − =

=

⇔

= −


y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số ñạt cực tiểu tại x = 2 và
y
ct
= - 54
y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số ñạt cực ñại tại x = -3
và
y
cñ
=71


Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x
b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7
d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x

− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x

Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
+ −
+ + − +
− +
− +

Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề

4



2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y =
f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x
+
−

Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c
π
∈

y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]

Dạng 2
. Xác lập hàm số khi biết cực trị
ðể tìm ñiều kiện sao cho hàm số y = f(x) ñạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm ñược m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn ñiều kiện ñã nêu không ( vì hàm số ñạt cực trị tại a thì
f’(a) = 0 không kể Cð hay CT)
Ví dụ 1.
Tìm m ñể hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ ( m - 1)x + 2 ñạt cực tiểu tại x = 2
LG
2
' 3 6 1
y x mx m
= − + −
.
Hàm số ñạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0
2
3.(2) 6 .2 1 0 1
m m m
⇔ − + − = ⇔ =

Với m = 1 ta ñược hàm số: y = x
3
– 3x

2
+ 2 có :
2
0
' 3 6 ' 0
2
x
y x x y
x
=

= − ⇒ = ⇔

=

tại x = 2 hàm số ñạt giá
trị cực tiểu
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Bài 1. Xác ñịnh m ñể hàm số
3 2
3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
y mx x x
= + + +

Bài 2. Tìm m ñể hàm số
3 2
2
( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè
cã C§ hay CT
3

y x mx m x
= − + − +

Bài 3. Tìm m ñể hàm số
2
1
®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+

Bài 4. Tìm m ñể hàm số
3 2 2
2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1
y x mx m x= − + −
Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:
3 2
( ) ax
f x x bx c
= + + +
ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 1, f(1) = -3
và ñồ thị cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ bằng 2
Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số
( )
1
q
f x xp

x
= +
+
ñạt cực ñại tại ñiểm x = -2 và f(-2) = -2
Hướng dẫn:
2
'( ) 1 , x -1
( 1)
q
f x
x
= − ∀ ≠
+

+ Nếu
0 th× f'(x) > 0 víi x -1. Do ®ã hµm sè lu
«n ®ång biÕn . Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ.
q
≤ ∀ ≠

+ Nếu q > 0 thì:
2
2
1
2 1
'( ) 0
( 1)
1
x q
x x q

f x
x
x q

= − −
+ + −
= = ⇔

+

= − +


Lập bảng biến thiên ñể xem hàm ñạt cực tại tại giá trị x nào.
Dạng 3.
Tìm ñiều kiện ñể hàm số có cực trị
Bài toán: ‘Tìm m ñể hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào ñó.’
Phương pháp

B1: Tìm m ñể hàm số có cực trị.
B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý:
•

Hàm số
3 2
ax ( 0)
y bx cx d a
= + + + ≠
có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm
phân biệt.

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
5



•

Cực trị của hàm phân thức
( )
( )
p x
y
Q x
=
. Giả sử x
0
là ñiểm cực trị của y, thì giá trị của y(x
0
) có thể
ñược tính bằng hai cách: hoặc
0 0
0 0
0 0
( ) '( )
( ) hoÆc y(x )
( ) '( )
P x P x
y x
Q x Q x

= =

Ví dụ . Xác ñịnh m ñể các hàm số sau có cực ñại và cực tiểu
2
3 2
1 x 2 4
. y = ( 6) 1 . y =
3 2
mx m
a x mx m x b
x
+ − −
+ + + −
+

Hướng dẫn.
a. TXð: R

2
' 2 6
y x mx m
= + + +
.
ðể hàm số có cực trị thì phương trình:
2
2 6 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
x mx m+ + + =

2
3

' 6 0
2
m
m m
m
>

∆ = − − > ⇔

< −


b. TXð:
{
}
\ 2
−
¡


2 2
2 2
2
(2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4
'
( 2) ( 2)
µm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi ' 0 ã hai
nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 4 4 4 0
' 0 4 4 4 0
0

4 8 4 4 0 0
x m x x mx m x x m
y
x x
H y c x x m
m
m
m m
+ + − + − − + + +
= =
+ +
= ⇔ + + + =
∆ > − − >
 
⇔ ⇔ ⇔ <
 
− + + ≠ ≠
 

Bài 1. Tìm m ñể hàm số
3 2
3 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã
C§, CT?
y x mx= − +

Bài 2. Tìm m ñể hàm sô
2 3
( 1) 1
x m m x m
y

x m
− + + +
=
−
luôn có cực ñại và cực tiểu.
Bài 3. Cho hàm số
3 2
2  12 13
y x x
= + − −
. Tìm a ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực tiểu của
ñồ thị cách ñều trục tung.
Bài 4. Hàm số
3 2
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx
= − + + −
. Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu.
Bài 5. Cho hàm
2
1
x mx
y
x
+
=
−
. Tìm m ñể hàm số có cực trị

Bài 6. Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
. Xác ñịnh m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu.

Dạng 4. Tìm tham số ñể các cực trị thoả mãn tính chất cho trước.
Phương pháp
+ Tìm ñiều kiện ñể hàm số có cực trị
+ Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet ñể thoả mãn tính chất.
Ví dụ .
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
6



Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x
b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7

d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x

Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
+ −
+ + − +
− +
− +

Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y =
f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x
+
−

Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c
π
∈
y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]

Bài 5. Xác ñịnh m ñể hàm số
3 2
3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
y mx x x= + + +

Bài 6. Tìm m ñể hàm số
3 2
2
( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè
cã C§ hay CT
3
y x mx m x
= − + − +
Bài 7. Tìm m ñể hàm số
2
1
®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+

Bài 8. Tìm m ñể hàm số
3 2 2
2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1
y x mx m x
= − + −

Bài 9. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:
3 2
( ) ax
f x x bx c
= + + +
ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 1, f(1) = -3
và ñồ thị cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ bằng 2
Bài 10. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số
( )
1
q
f x xp
x
= +
+
ñạt cực ñại tại ñiểm x = -2 và f(-2) = -2

Bài 11. Tìm m ñể hàm số
3 2
3 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã
C§, CT?
y x mx
= − +
Bài 12. Tìm m ñể hàm sô
2 3
( 1) 1
x m m x m
y
x m
− + + +

=
−
luôn có cực ñại và cực tiểu.
Bài 13. Cho hàm số
3 2
2  12 13
y x x
= + − −
. Tìm a ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực tiểu của
ñồ thị cách ñều trục tung.
Bài 14. Hàm số
3 2
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx
= − + + −
. Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu.
Bài 15. Cho hàm
2
1
x mx
y
x
+
=
−
. Tìm m ñể hàm số có cực trị
Bài 16. Cho hàm số
2

2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
. Xác ñịnh m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu.






 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

DẠNG 1.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi đại học (Chun ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chun ðề
7



•

ðể tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên

(
)
;
a b
:
+B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
+ B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên





Trong đó tại x
0
thì f’(x
0
) bằng 0 hoặc khơng xác định
•

ðể tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
B1:
Tìm các giá trò x
i

[
]
;
a b
∈ (i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh .
B2:

Tính
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b

B3:
GTLN = max{
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
GTNN = Min{
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
Ví dụ 1.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1
y x
x
= +
trên khoảng
(0; )
+∞

Hướng dẫn:

Dễ thầy h àm số liên tục trên
(0; )
+∞

2
2
2 2
1 1
' 1 ' 0 1 0 1
x
y y x x
x x
−
= − = ⇒ = ⇔ − = ⇒ = ±
.
Dễ thấy
1 (0; )
x
= − ∉ +∞

Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2.
Tính GTLN, GTNN của hàm số
3
2
2 3 4
3
x
y x x

= + + −
trên đoạn [-4; 0]
Hướng dẫn

Hàm số liên tục trên [-4; 0],
2 2
[-4;0]
[-4;0]
1
'( ) 4 3 '( ) 0 4 3 0
3
16 16
( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4
3 3
Ëy Max 4 x = -3 hc x = 0
16
Min khi x = -4 hc x = -1
3
x
x
x
f x x x f x x x
x
f f f f
V y khi
y
∈
∈
= −


= + + ⇒ = ⇔ + + = ⇒

= −

− −
− = − = − − = = −
= −
−
=

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
3 2 3
4 2 3 2
. f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1]
c. f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3]
d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4;
3]
a x x x
x x x
+ − + + −
− + + − −

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
2
x 1
. f(x) = trªn nưa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 +
trªn kho¶ng (1; + )
x + 2 x- 1
c. f(x) = x 1 - x d. f(x)
a

∞
1 3
= trªn kho¶ng ( ; )
cosx 2 2
π π


TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức cần nắm
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
•

y = y
0
là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mãn:
0 0
lim ( ) , hc lim ( )
x x
f x y f x y
→+∞ →−∞
= =

GTLN
-
+
y
y'
b
x
0

a
x
GTNN
+
-
y
y'
b
x
0
a
x
+
∞
∞∞
∞
+
∞
∞∞
∞
0
2
+
-
y
y'
+
∞
∞∞
∞

1
0
x
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
8



•

x = x
0
là tiệm cận ñứng của (C) nếu một trong các ñiều kiện sau ñựơc thoả mãn:
0 0 0 0
lim , lim , lim , lim
x x x x x x x x
+ − + −
→ → → →
= +∞ = +∞ = −∞ = −∞

•

ðường thẳng y = ax + b (
0
a
≠
) ñược gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai ñiều kiện sau thoả
mãn:
lim [ ( ) (ax + b)] = 0 hoÆc lim [ ( ) (ax+b)]=0

x x
f x f x
→+∞ →−∞
− −

II. Các dạng toán
Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ
( )
( )
P x
y
Q x
=

Phương pháp
•

Tiệm cận ñứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác ñịnh tiệm cận ñứng.
•

Tiệm cận ngang, xiên:
+ Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0
+ Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
+ Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên ñược xác ñịnh bằng
cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b +
( )
x
ε
với
lim ( ) 0

x
x
ε
→∞
=
thì y = ax + b là tiệm cận
xiên.
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số:
2
2
2x- 1 x 7 x + 2
. y = b. y = c. y =
x + 2 3 x 1
x
a
x
− −
− −

Hướng dẫn
a. Ta thấy
2 2
2 1 2 1
lim ; lim
2 2
x x
x x
x x
− +
→− →−

− −
= −∞ = +∞
+ +
nên ñường thẳng x= 2 là tiệm cận ñứng.
Vì
1
2
2 1
lim lim 2
2
2
1
x x
x
x
x
x
→±∞ →±∞
−
−
= =
+
+
nên y = 2 là tiệm cận ngang của ñồ thị hàm số.
b.
+
2
3
7
lim

3
x
x x
x
−
→
− −
= −∞
−
. Nên x = 3 là tiệm cận ñứng của ñồ thị hàm số.
+
1
2
3
y x
x
= + −
−
. Ta thấy
1
lim[y - (x + 2)]= lim 0
3
x x
x
→∞ →∞
−
=
−
Vậy y = x+ 2 là tiệm cân xiên của ñồ thị hàm
số.

c. Ta thấy
2
1
2
lim .
1
x
x
x
+
→
+
= = +∞
−
Nên x = 1 là ñường tiệm cận ñứng.
+
2
1
2
lim
1
x
x
x
−
→−
+
= +∞
−
. Nên x = -1 là tiệm cận ñứng.

+
2
2
2
1 2
2
lim 0
1
1
1
x
x
x x
x
x
→+∞
+
+
= =
−
−
. Nên y = 0 là tiệm cận ngang của ñồ thị hàm số.



Dạng 2. Tiệm cận của hàm vô tỉ
2
ax ( 0)
y bx c a
= + + >

Phương pháp
Ta phân tích
2
ax ( )
2
b
bx c a x x
a
ε
+ + ≈ + +

Với
lim ( ) 0
x
x
ε
→+∞
=
khi ñó
( )
2
b
y a x
a
= +
có tiệm cận xiên bên phải
Với
lim ( ) 0
x

x
ε
→−∞
=
khi ñó
( )
2
b
y a x
a
= − +
có tiệm cận xiên bên tr ái
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
9



VÝ dô
T×m tiÖm cËn cña hµm sè:
2
9 18 20
y x x
= − +

H−íng dÉn
2
9( 2) 6
y x
= − +

Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12)
- Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn
10



Các tính giới hạn vô cực của hàm số
( )
( )
f x
y
g x
=

lim ( )
0
f x
x x

lim ( )
0
g x
x x

Dấu của g(x)
( )
lim
( )
0

f x
x x
g x


L


Tuỳ ý 0
+ +


L > 0 0
- -


- +


L < 0 0
+ -



Bài 1. Tìm tiệm cận các hàm số sau:
2x - 1 3 - 2x 5 -4
. y = b. y = c. y =
d. y =
x + 2 3x + 1 2 - 3x x + 1
x+ 1 1

e. y = f. y = 4 +
2x + 1 x- 2
a
-x + 3 4 - x
g. y = h. y =
x 3x + 1

Bài 2. Tìm tiệm cận của các hàm số sau:
2 2 2
2 2 2 2
2
x 12 27 x 2 x 3 2- x
. y = b. y = c. y = d. y =
4 5 ( 1) 4 x 4 3
1 x 2
. y = 2x -1 + f. y =
x 3
x x x
a
x x x x x
x
e
x
+ +
+ +
+

3 2
2 2
1 2x

g. y = x- 3 +
h. y =
2(x- 1) 1
x
x

+

Bài 3. Tìm tiệm cận các hàm số
2
2
x
. y =
1
x+ 3
b. y =
x+ 1
1
.
4
x
a
x
x
c y
x
+

+
=

Bài 4. Xác định m để đồ thị hàm số:
2 2
3
2( 2) 1
x
y
x m x m

=
+ + + +
có đúng 2 tiệm cận đứng.
Bài 5. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục toạ độ của các hàm số:
2 2
3x 1 -3x 4
. y = b. y =
1 2
x x
a
x x
+ + +
+

Bài 6.(ĐHSP 2000). Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
2
2( 1) 4 3
2

x m x m
y
x
+ +
=

tạo với hai trục
toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt)
Bài 7. Cho hàm số:
2
(3 2) 3 3
1
x x m m
y
x
+ +
=

(1)
a.

Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị đi qua điểm
(4; 3)
A
b.

Tìm m để đờng tiệm cận xiên của (1) cắt Parabol
2
y x
=

tại hai điểm phân biệt.
2
-2
-4
-5
5
2
-2
-4
-5
5
2
-2
-4
-5
5