Tổng hợp kiến thức toán lớp 9

Tổng hợp Lí Thuyết - Đại số 9
Phần I / căn thức bậc 2.
I/ Định nghĩa Tính chất:
1. Căn bậc hai số học :
* ĐN: Căn bậc 2 số học của 1 số a không âm là số x sao cho x
2
= a.
- Số dơng a có đúng 2 CBH là 2 số đối nhau :
a
và -
a
.
- Số 0 có đúng 1 CBH , chính là 0 :
a
= 0.
* Chú ý : Với a

0 ta có x =
a


x

0 và x
2
= a
* Định lí : Với a , b

0 ta có a < b

a
<
b
2. Căn thức bậc 2:
- Với A là 1 biểu thức đại số , ta gọi
A
là căn thức bậc 2 của A , còn A là biểu thức
lấy căn hay biểu thức dới dấu căn.
- ĐKXĐ của A là A

0 .
3. Hằng đẳng thức : - Với
Ra

ta có
aa =
2
.
*





<

==
0,
0,
2

KhiAA
KhiAA
AA
* Chú ý :
( )
AAA ==
2
2
nếu A

0.
4. Căn bậc 3: Căn bậc 3 của 1 số là số x sao cho x
3
= a .
. Mỗi số a có duy nhất 1 căn bậc 3 là
3
a
.
. ĐKXĐ của
3
a
là
Rx

.
* Chú ý : Căn bậc 3 của 1 số dơng ( hay 1 số âm ) là 1 số dơng ( hay 1 số âm )
II/ Các phép biến đổi căn bậc hai :
1.
BABA =.
( A; B

0 ).
2.
BABA =
2
.
( B

0 ).
3.
B
A
B
A
=
( A

0 ; B > 0 ).
4.





<

=
)0;0(
)0;0(,
2

2
BABA
BABA
BA
5.
)0,0.(;
2
= BBA
B
AB
B
A
.
6. a,
)0(;
.
>= B
B
BA
B
A

b,
);0(;
)(
2
2
ABA
BA
BAC

BA
C


=


c,
( )
);0,(; BABA
BA
BAC
BA
C


=


III/ Một số tính chất mở rộng về căn thức :
1. Với A; B

0 ta có : A = B


BA =
A < B


BA <

2. 0 < A < 1

A <
A
< 1
3. A > 1

1 <
A
< A
4.
0;0 = xaxa
n
; x
n
= a ( n chẵn)
5.
=
n
ax
x
n
= a ( n lẻ ).
6.
nnnn
cbaabc =
7.
n
n

n
a a
b
b
=

8.
m
n
mn
aa =

9.
( )
n
m
m
n
aa =
10.
mn
m
n
aa =
( m; n

N; m; n

2 )
11.

nk
mk
n
m
aa =
( k

0 ).
12.
nm
n
m
aa
/
=
1
Tổng hợp Lí Thuyết - Đại số 9
*
( )
; 0a b a b a b+ +
. Dấu = xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0
*
( )
0a b a b a b
. Dấu = xảy ra khi a = b hoặc b = 0
*
2
a b
ab
+

Dấu = xảy ra khi a = b
*
1 1
a b
ab

+
( a > 0 ; b > 0 )
*
a b a b+ +
Dấu = xảy ra khi a b

0
*
a b a b
Dấu = xảy ra khi a

b

0 Hoặc a

b

0.
* + Với n là số tự nhiên : +
1
1
1
n n

n n
+ =
+ +
+
1 1 1 1 1 1
( 1) 1
1 1
n
n n
n n n n
n n n n


= = +
ữ ữ
ữ
ữ ữ
+ +
+ +


Chú ý : - Mọi số thực a đều có căn bậc lẻ.
- Số âm không có căn bậc chẵn.
* Công thức căn phức tạp :
*
BANM = 2
,
Trong đó a, b là nghiệm của PT : t
2
Mt + N = 0

Hay a+ b = M , ab = N.
*
2 2
2
A A B A A B
A B
+
=
( Với A; B > 0 ; A
2
> B )
* Chú ý: Nếu hệ số của
N


2 ta làm xuất hiện hệ số 2 ở đó.
IV/ Một số bài toán về căn bậc 2:
1/ Bài toán 1: Thực hiện phép tính :
Dạng tính 1 : Thực hiện tính khai căn bậc 2 nhờ phân tích 2ab trong HĐT( a + b )
2
:
Khi gặp căn thức dạng P =
NEM
ta có thể nghĩ đến việc phân tích E
N
về dạng
E
N
= 2.a.b và phân tích M = a
2

+ b
2
> kq.
Dạng tính 2 : Th.hiện tính khai căn bậc 2 nhờ xhiện bình phơng khi dùng HĐT a
2
- b
2

Trong 1 tích , nếu xuất hiện thừa số có dạng M -
N
( Hoặc M +
N
) thì ta có thể là
xuất hiện thừa số dạng M +
N
( Hoặc M -
N
).
Dạng tính 3 : Tính GTBT T,trớc hết tính T
2
rồi xét dấu của T để có k quả của biểu
thứcT.
Dạng tính 4: Khi gặp mẫu của biểu thức chứa căn ta nghĩ đến việc trục căn thức ở mẫu
Hoặc quy đồng mẫu Hoặc đa thừa số vào trong căn , ra ngoài căn rồi nhóm.
Dạng tính 5 : Biểu diễn luỹ thừa bậc cao qua luỹ thừa bậc 1.
VD : Tính GTBT: E = 2x
5
+ x
3
3x

2
+ x - 1 với x = 1 -
2
G : Vì x = 1 -
2
nên ta có :
* x
2
= (1 -
2
)
2
= 3 - 2
2
= 1 + 2(1 -
2
) = 1 + 2x
* x
3
= x
2
x = = x + 2x
2
= = x + 2(1 + 2x ) = 5x + 2
* x
5
= x
3
x
2

= = 9x +2 + 10x
2
= 9x + 2 + 10( 1 + 2x ) = 29x + 12
> E = 2(29x + 12) + 5x + 2 -3(1 + 2x) + x 1 = 58x + 22 =
E = 80 - 58
2
./
2. Bài toán 2 : Chứng minh đẳng thức A = B:
C1 : Dựa vào định nghĩa: A = B

A B = 0.
- Lập hiệu số A B > biến đổi A B > Chứng tỏ A B = 0 > KLuận.
C2: Biến đổi trực tiếp : Biến đổi từ vế phức tạp về vế đơn giản: A > B Hoặc B > A.
C3 : Biến đổi song song 2 vế của đẳng thức đã cho.
C4 : Với bài toán chứng minh có ĐK ta có thể :
- Dùng các ĐK để biến đổi sao cho > có mối liên hệ với biểu thức đã cho.
- Hoặc: Niến đổi biểu thức đã cho sao cho > có mối liên hệ với ĐK.
C5 : Dùng PP quy nạp nếu đẳng thức đã cho phụ thuộc vào số nguyên n .
2
Tổng hợp Lí Thuyết - Đại số 9
C6 : Dùng biểu thức phụ :
- Đặt y =A , y phải thoả mãn ĐK (*) nào đó.
- Bình phơng 2 vế ta có : y
2
= A
2
= A
1
= = B
2

- Suy ra y = B hoặc y = - B .
- Đối chiếu với ĐK (*) suy ra B. > KL.
3. Bài toán 3: Rút gọn biểu thức :
* Các bớc thực hiện:
- Quy đồng mẫu ( Phân tích nhân tử Nếu có Nếu cần )
- Đa bớt thừa số ra ngoài dấu căn Hoặc vào trong dấu căn ( Nếu cần )
- Trục căn thức ở mẫu ( Nếu có )
- Thực hiện các phép tính : Luỹ thừa , khai căn , nhân,chia ,
- Cộng trừ các số hạng đồng dạng.
4. Bài toán 4: Giải PT chứa căn thức. ( Xem CĐ PT Vô Tỉ ).
@@@
Phần II / Hàm số bậc nhất: y = ax + b ( a

0 )
Hàm số : y =
x
a
( a

0 )
Hàm số bậc hai : y = ax
2
; y = ax
2
+ bx + c ( a

0 ).
A/ Hàm số - Đồ thị hàm số bậc nhất.
I/ Định nghĩa Tính chất của hàm số bậc nhất :
1. Định nghĩa hàm số:

Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x thay đổi sao cho với mỗi giá trị của x
ta luôn xác định đợc chỉ 1 giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x
và x đợc gọi là biến số.
2. Định nghĩa hàm số bậc nhất:
Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax hay y = ax + b,
trong đó a, b

R, a

0.
3. Tính chất :
- HSố bậc nhất xác định với

x

R .
- Trên tập hợp số thực R , hàm số bậc nhất đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0.
II/ Đồ thị hàm số y = ax và y = ax + b.
1. Đồ thị hàm số y = ax (a

0) là 1 đờng thẳng đi qua gốc toạ độ.
* Cách vẽ :
- Tìm thêm 1 điểm M(x
0
, y
0
) bằng cách cho x = x
0

y
0
= ax
0
- Dựng điểm M trên mặt phẳng toạ độ.
- Vẽ đờng thẳng đi qua M(x
0
, y
0
) và O( 0;0 ).
2. Đồ thị hàm số y = ax + b là đờng thẳng song song với đờng thẳng y = ax ; cắt trục tung
tại điểm có tung độ bằng b ( nếu b

0 ).
* Cách vẽ 1 :
- Xác định 2 điểm A, B bất kì của đồ thị:
. Cho x = 1

y = a + b, ta có A(1; a + b)
. Cho x = - 1

y = - a + b, ta có B(1; - a + b)
- Dựng 2 điểm A , B trên Oxy.
- Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hs.
* Cách vẽ 2 :
- Xác định giao điểm của đồ thị với 2 trục toạ độ:
. Cho x = 0

y = b , ta có A( 0; b)
. Cho y = 0

x = - b/ a , ta có B(-b/ a ; 0 )
- Dựng 2 điểm A , B trên Oxy.
- Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hs.
III/ Hệ số góc của đ ờng thẳng y = ax và y = ax + b
Đờng thẳng y = ax (d ) Đờng thẳng y = ax + b (d)
3
Tổng hợp Lí Thuyết - Đại số 9
Góc hợp
bởi đờng
thẳng với
tia Ox
Góc

tạo bởi đgt
(d)và tia Ox đó là góc
hợp bởi tia Ox và nửa
đgt nằm trong nửa mf
bờ là trục hoành và
chứa tia Oy.
Góc

tạo bởi đgt (d) và tia Ox đó là
góc hợp bởi tia Ax và AB trong đó AB là
phần đgt (d) nằm trong nửa mf bờ là trục
hoành và chứa tia Oy.
Hệ số góc
a của đờng
thẳng
. a > 0

nhọn.
a càng lớn thì

càng lớn (< 90
o
).
. a < 0



tù.
a càng lớn thì

càng lớn (<180
o
).
. a > 0


nhọn.
a càng lớn thì

càng lớn (< 90
o
).
. a < 0

tù.
a càng lớn thì

càng lớn (<180
o
).
B/ Hàm số bậc hai - Đồ thị hàm số bậc hai.
I/ Định nghĩa Tính chất của hàm số bậc hai :
1. Định nghĩa:
Hàm số bậc 2 là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax
2
(a

0), trong đó a,b

R, a

0.
2. Tính chất:
- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 , hàm số đồng biến khi x > 0.
- Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 , hàm số đồng biến khi x < 0.
( Hàm số Đồng biến khi a và x cùng dấu ; Nghịch biến khi a và x trái dấu )
Nhận xét :
- Nếu a > 0 thì y > 0 với
0

x
; Khi x = 0 thì y = 0 là GTNN của hàm số .
- Nếu a < 0 thì y < 0 với

0x
; Khi x = 0 thì y = 0 là GTLN của hàm số .
II/ Đồ thị hàm số y = ax
2
(a

0).
* Tính chất của đồ thị:
- Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a

0) là 1 Parabol đi qua gốc toạ độ O , nhận trục Oy làm
trục đối xứng, O là đỉnh của Parabol.
- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
B/ Hàm số bậc hai - Đồ thị hàm số bậc hai.
I/ Định nghĩa Tính chất của hàm số bậc hai :
2. Định nghĩa:
Hàm số bậc 2 là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax
2
(a

0), trong đó a,b

R, a

0.
2. Tính chất:
- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 , hàm số đồng biến khi x > 0.
- Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 , hàm số đồng biến khi x < 0.

( Hàm số Đồng biến khi a và x cùng dấu ; Nghịch biến khi a và x trái dấu )
Nhận xét :
- Nếu a > 0 thì y > 0 với
0

x
; Khi x = 0 thì y = 0 là GTNN của hàm số .
- Nếu a < 0 thì y < 0 với
0x
; Khi x = 0 thì y = 0 là GTLN của hàm số .
II/ Đồ thị hàm số y = ax
2
(a

0).
* Tính chất của đồ thị:
- Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a

0) là 1 Parabol đi qua gốc toạ độ O , nhận trục Oy làm
trục đối xứng, O là đỉnh của Parabol.
- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
4
y = ax + b (a>0)
y
x
O
O
x

y
y = ax + b (a<0)
y = ax
y
x
O
Tổng hợp Lí Thuyết - Đại số 9
y = ax
2
( a > 0 ) y = ax
2
( a < 0 )
* Cách vẽ : - Lập bảng giá trị tơng của x và y:
x x
,
2
x
,
1
0 x
1
x
2
y y
,
2
y
,
1
0 y

1
y
2
( Chú ý: x
1
và x
,
1
đối nhau ; y
1
và y
,
1
đối nhau)
- Biểu diễn các điểm có toạ độ (x
i
; y
i
).
- Vẽ đờng cong (P) đi qua O( 0; 0 ) và các điểm (x
i
; y
i
).
III/ Mở rộng:
1/ Hàm số
x
a
y
=

Đồ thị của hàm số y = a/ x ( a

0 ) là đờng cong Hypebol gồm 2 nhánh.
y = a/ x ( a > 0) y = a/ x ( a < 0 )
2/ Hàm số y = / x /
Đồ thị của hàm số có dấu GTTĐ bậc nhất là 1 hình bao gồm các tia hoặc các tia và
đoạn thẳng liên tiếp nhau.
VD : y = / x /







<=
=
0,
0,
khixxy
khixxy

3/ Hàm số y = ax
2
+ bx + c ( a

0 ):
a/ Xét hàm số y = ax
2
+ bx + c ( a

0 ):
Ta có
aa
b
xa
a
b
c
a
b
x
a
b
xacx
a
b
xay
4
44
2
2
2
2
2
22

+=+








++=+






+=
Đặt
0
2
x
a
b
=

;

0
4
y
a
=

ta có y = a( x x
0
)
2
+ y
0
.
- Nh vậy để vẽ Parabol (P) ta tịnh tiến theo tr hoành x
0
đơn vị rồi tịnh tiến theo tr tung y
0

đơn vị. Cụ thể:
. Đỉnh (P) là điểm D(
a
b
2

;
a4

)
. Giao điểm của (P) với trục tung là C(0; c)
. Điểm thứ 2 của (P) có tung độ bằng c là C

,
( -b/a ; c ), điểm này đối xứng với C
qua đờng thẳng x = -b/2a
.Giao điểm của (P) với trục hoành ( nếu có) , hoành độ các điểm này là nghiệm
của PT ax
2
+ bx + c = 0.
b/ Nhận xét :
- Hàm số y = f(x) = ax
2
+ bx + c (a

0).
. Nếu a > 0 Thì Min f(x) =
a4

với x
0
=
a
b
2

. Nếu a < 0 Thì Max f(x) =
a4

với x
0
=
a

b
2

- Trong 1số tr. hợp, x không nhận giá trị thuộc R mà chỉ thuộc 1 tập con của R . Chẳng
hạn, x

[ ]

;
hoặc nằm ngoài khoảng
( )

;
.
- Trong trờng hợp x
0
=
a
b
2

không thuộc khoảng đang xét của x ta cũng tìm đợc GTLN ,
GTNN của f(x) căn cứ vào đồ thị của hàm số y = f(x) và xét các giá trị f(

) ; f(

)./.
C/ Một số dạng bài toán liên quan đến hàm số .
5
Tổng hợp Lí Thuyết - Đại số 9

Bài toán1. Lập PT đờng thẳng y = ax + b thoả mãn đ.kiện cho trớc (Tức là tìm a, b).
1/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x
A
, y
A
) và có hệ số góc bằng k:
- B1: Xác định a: Theo đề bài ta có a = k.
- B2: Xác định b : Đờng thẳng đi qua A nên ta có y
A
= kx
A
+ b

b
- KL: Thay a, b tìm đợc vào công thức ta đợc PT cần tìm.
2/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x
A
, y
A
) và B(x
B
, y
B
)
- B1: Đờng thẳng (d) đi qua A(x
A
, y
A
) và B(x
B

, y
B
) nên ta có :





+=
+=
baxy
baxy
BB
AA


a ; b.
3/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x
A
, y
A
) và có tung độ gốc là h:
- B1: Xác định b: Theo đề bài ta có b = h.
- B2: Xác định a : Đờng thẳng đi qua A nên ta có y
A
= kx
A
+ h

a

4/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x
A
, y
A
) và // trục hoành Ox (Hoặc trục tung Oy)
- Đờng thẳng song song với trục hoành thì x = x
A


y = b = y
A
( Nếu đgt // trục tung Oy thì y = y
A


x = x
A
= b )
5/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x
A
, y
A
) và vuông góc với đgt d
,
có PT y = a
,
x + b
,
- Đờng thẳng d

d
,
nên a.a
,
= - 1 .Từ đó suy ra a.
- Thay toạ độ của A vào PT trên suy ra b.
6/ Lập PT đờng thẳng (d) // (d
,
) : y = a
,
x + b
,
và đi qua A(x
A
, y
A
) .
Khi b

b
,
: - Xác định a: Theo đề bài ta có a = a
,
.
- Xác định b : Đờng thẳng đi qua A nên ta có y
A
= a
,
x
A

+ b

b.
- KL: Thay a, b tìm đợc vào công thức ta đợc PT cần tìm.
7/ Lập PT đờng thẳng (d) cắt trục Ox tại A(x
A
, 0 ) và cắt trục Oy tại B( 0, y
B
).
- B1: Xác định b: (d) cắt Oy tại B( 0, y
B
) nên b = y
B

- B2: Xác định a : (d) cắt Ox tại A(x
A
, 0 ) nên a = b/ x
A

8/ Lập PT đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng k và tiếp xúc với đờng cong (P): y = f(x).
- B1: Xác định a : Theo đề bài ta có a = k . PT có dạng y = kx + b (*)
- B2: Xác định b : PT hoành độ điểm chung của (d) và (P) là f(x) = kx + b.
Vì (d) tiếp xúc với (P) nên PT (*) có nghiệm kép (

= 0)

b.
9/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x
A
, y

A
) và tiếp xúc với đờng cong (P): y = f(x).
- PT hoành độ điểm chung của (d) và (P ) là f(x) = ax + b. (*)
- Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P)

PT (*) có nghiệm kép .
Từ ĐK này ta tìm đợc 1 hệ thức liên hệ giữa a và b . Ta đợc (**)
- Đờng thẳng (d) đi qua A nên ta có y
A
= ax
A
+ b (***)
- Từ (**) và (***) suy ra a và b.
10/ Lập PT đgt (d) có hệ số góc bằng k và cắt đcong (P): y = f(x) tại 2 điểm phân biệt.
- Theo đề bài ta có a = k . PT có dạng y = kx + b
- PT hoành độ giao điểm của (d) và (P) là f(x) = kx + b.(*)
- Đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi PT (*) có

> 0

b.
11/ Lập PT đgt (d) có hệ số góc bằng k và cắt đcong (P): y = f(x) tại A có hoành độ x
A
:
- Theo đề bài ta có a = k . PT có dạng y = kx + b
- PT hoành độ điểm chung của (d) và (P) là f(x) = kx + b.(*)
- Đờng thẳng (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ x
A
khi x
A

là nghiệm của PT (*).
Khi đó ta có f(x
A
) = kx
A
+ b

b.
* Chú ý :
1. Bài toán lập PT đờng cong y = ax
2
đi qua điểm A(x
A
, y
A
) tức là xác định hệ số a.
Giải tơng tự bài toán lập PT đgt.
2. Hoành độ giao điểm của đờng cong y = ax
2
(P) và đgt y = mx+ n (d) là nghiệm
của PT ax
2
= mx +n (1)
- Nếu PT (1) vô nghiệm thì (d) không giao với (P)
- Nếu PT (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
- Nếu PT (1) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P).
3. Bài toán với hàm số y = ax
2
+ bx + c giải tơng tự bài toán với hàm số y = ax
2

( Theo các bài toán 1 > 5 )
4. Khi vẽ đồ thị hàm số y = ax + b trong đó a, b là số vô tỉ a =
m
, b =
n
ta cần sử
dụng định lí Pitago trong tam giác vuông.
Bài toán 2 .Xác định vị trí tơng đối giữa: Đờng thẳng-đờng thẳng; Đờng thẳng Parbol.
1. Xác đinh vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng y = ax + b (d) và y = a
,
x + b
,
(d
,
)
* d // d
,


a = a
,
và b

b
,

* d

d

,


a

a
,

* d

d
,


a = a
,
và b = b
,

* d

d
,


a.a
,
= 1
2. Xác đinh vị trí tơng đối của đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax
2

(P)
PT hoành độ giao điểm chung nếu có của (d) và (P) là ax + b = ax
2
(1)
6
Tổng hợp Lí Thuyết - Đại số 9
* (d)

(P) tại 2 điểm phân biệt

PT(1) có 2 nghiệm phân biệt (

> 0 )
* (d) và (P) chỉ có 1 điểm chung

PT (1) có nghiệm kép (



0 )
* (d) và (P) không có điểm chung

PT (1) vô nghiệm (

< 0 ).
Bài toán 3. Bài toán chứng minh:
a. Chứng minh đờng thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định.
- Gọi C(x
0
, y

0
) là điểm cố định của đờng thẳng (d)
- ĐK cần và đủ để đờng thẳng luôn đi qua C(x
0
, y
0
) với mọi tham số m là : Am = B
( Biến đổi PT đgt khi C(x
0
,y
0
)

(d) )
Trong đó : A là biểu thức chứa x
0
, y
0
hoặc x
0
hoặc y
0
.
B là biểu thức chứa x
0
hoặc y
0
hoặc x
0
; y

0
.
- GPT A = 0 ; B = 0 với tham số m

x
0
; y
0


C(x
0
; y
0
)

.
VD: CMR đờng thẳng (d) có PT y = mx +
2
1
luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m?
G: Gọi C(x
0
; y
0
)

là điểm cố định của (d)

C

(d) với mọi m

Ta có y
0
= mx
0


+
2
1


2y
0
- 1= 2mx
0
,

với mọi m

2y
0
- 1= 2x
0
m,

với mọi m

2y
0
1 = 0 và 2x
0
= 0

x
0
= 0 ; y
0
= 0.
Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định C( 0;
2
1
) .
b. Chứng minh (d) luôn tiếp xúc (hoặc không cắt hoặc cắt (P) tại 2 điểm p.biệt) :
Đờng thẳng (d) luôn tiếp xúc ( không cắt hoặc cắt (P) tại 2 điểm p.biệt)

PT hđộ gđiểm ax + b = ax
2
có N
0
kép ( hoặc vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm phân
biệt).
VD: CMR với mọi m thì đgt (d) có PT y = mx +
2
1
và (P) y =
2
1

x
2
luôn cắt nhau tại 2
điểm phân biệt ?
G : PT hoành độ giao điểm của (d) và (P) là mx +
2
1
=
2
1
x
2




x
2
2mx 1 = 0
có

,
= m
2
+ 1 > 0 với mọi m.
Vậy với mọi m (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Bài toán 4. Xác định toạ độ giao điểm 2 đờng thẳng trên cùng 1 hệ trục toạ độ.
Giả sử điểm M(x
0
, y

0
) là giao điểm 2 đờng thẳng (d) : y = ax + b và y = a
,
x + b
,
(d
,
)
B1: Tìm hoành độ giao điểm x
0
thoả mãn nghiệm đúng PT ax + b = a
,
x + b
,
.
B2: Tìm tung độ giao điểm y
0
bằng cách thay x
0
vào 1 trong 2 hàm số đã cho.
Bài toán 5. Xác định điểm M( x
M
, y
M
) cho trớc có thuộc đồ thị của HSố cho hay không.
Cách giải : Đồ thị của hàm số đi qua M khi toạ độ của M thoả mãn nghiệm đúng PT
của (d) : M

(d)

y
M
= f(x
M
)
Do đó tính f(x
M
) : Nếu f(x
M
) = y
M
Thì (d) đi qua M
Nếu f(x
M
)

y
M
Thì (d) không đi qua M
@@@
Phần III / Hệ ph ơng trình
1)H hai phng trỡnh bc nht hai n
- nh ngha :
Cho hai phng trỡnh bc nht hai n ax+by =c v ax+by=c.
Khi ú ta cú h hai phng trỡnh bc nht hai n
'
( )
' ' '( )
ax by c d
a x b y c d

+ =


+ =

(I)
- Nu hai phng trỡnh cú nghim chung (x
0
;y
0
) thỡ nú c gi l nghim ca h (I)
- Nu hai phng trỡnh y khụng cú nghim chung thỡ ta núi h vụ nghim.
2)Quan h gia s nghim ca h v ng thng biu din tp nghim
- Nu (d) ct (d) h cú nghim duy nht
- Nu (d) song song vi (d) thỡ h vụ nghim.
- Nu (d) trựng (d) thỡ h vụ s nghim
3)H phng trỡnh tng ng:
Hai HPT c gi l tng ng vi nhau nu chỳng cú cựng tp nghim
7
Tæng hîp LÝ ThuyÕt - §¹i sè 9
4) Một số PP giải HPT:
* Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
+ Từ 1 PT của hệ đã cho ta b.diễn1 ẩn kia rồi thế vào PT thứ 2 để được 1 PT mới
(chỉ có1 ẩn)
+ Dùng PT mới ấy thay thế cho một trong hai PT của hệ (và giữ nguyên PT kia )
* Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
+ Nhân 2 vế của mỗi PT với 1 số thích hợp (nếu cần ) sao cho các hệ số của 1 ẩn nào đó
bằng nhau hoặc đối nhau.
+ Dùng quy tắc cộng đại số để được hệ mới trong đó có 1 PT bậc nhất 1 ẩn.
+ Giải PT 1 ẩn rồi suy ra nghiệm của hệ.

* Giải hệ phương trỡnh bằng PP đặt ẩn phụ.
* Giải hệ phương trỡnh bằng PP dựng đồ thị
Số nghiệm của hệ là số giao điểm của 2 đường thẳng (d) và (d’)
5/ Biện luận và Giải hệ phương trình :
B1. Dùng PP cộng hoặc thế đưa hệ về dạng Mx = N (*)
B2. Xét các trường hợp:
+ Nếu M
¹
0 thì (*) trở thành x =
N
M
thay vào y ở 1 trong 2 PT của hệ ta tìm được y.
Do đó hệ có nghiệm duy nhất (x;y).
+ Nếu M = 0 thì: +(*) vô nghiệm khi N
¹
0,Do đó hệ vô nghiệm.
+ (*) có vô số nghiệm khi N = 0.
Nghiệm TQ
x R
a c
y x
b b
ì
Î
ï
ï
ï
í
ï
=- +

ï
ï
î
Hoặc x;y
RÎ
Hoặc x = 0;
y RÎ
Hoặc y = 0
x RÎ
B3. Kết Luận
6) Một số bài toán về hệ có chứa tham số:
Xác định các giá trị của tham số thoả mãn ĐK cho trước
1/ Nghiệm thoả mãn các ĐK về số nghiệm :
Có nghiệm duy nhất- Vô số nghiệm - Vô nghiệm.
PP: Nếu
PP: Nếu ab’ – ba’
¹
0 Hay
' '
a b
a b
¹
thì (**) có nghiệm duy nhất.
Nếu
' '
' '
ì
=
ï
ï

í
ï
=
ï
î
ab ba
bc cb
Hoặc
' '
' '
a b
a b
b c
b c
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
thì (**) có vô số nghiệm.

Nếu
' '
' '
ì
=
ï
ï
í
ï
¹
ï
î
ab ba
bc cb
Hoặc
' '
' '
a b
a b
b c
b c
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
í
ï

ï
¹
ï
ï
ï
î
thì (**) vô số nghiệm.
2/ Nghiệm thoả mãn hệ đẳng thức, bất đẳng thức liên hệ giữa các giá trị của nghiệm.
+ B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm.
+ B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế )
+ B3: Cho nghiệm thoả mãn đẳng thức, bất đẳng thức giữa các giá trị của nghiệm từ đó
tìm được giá trị của tham số.
+ B4: KL: Xét giá trị của tham số tìm được so với ĐK có nghiệm và trả lời.
3/ Nghiệm của hệ là số nguyên.
+ B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm.
+ B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế )
8
Tổng hợp Lí Thuyết - Đại số 9
+ B3: Xột cỏc giỏ tr ca nghim tho món l s nguyờn
+ B4: KL: Xột giỏ tr ca tham s tỡm c so vi K cú nghim v tr li.
4/ Tỡm GTLN GTNN ca biu thc gia cỏc giỏ tr ca nghim.
+ B1: Tỡm K h cú nghim.
+ B2: Tỡm nghim ca h( bng PP cng hoc th )
+ B3: Xột cỏc giỏ tr ca biu thc gia cỏc giỏ tr ca nghim.
+ B4: KL: Xột giỏ tr ca tham s tỡm c so vi K cú nghim v tr li.
@@@
Phần IV / phơng trình bậc 2: ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0 )(1)
1. Công thức nghiệm của PT bậc 2:
acb 4
2
=
- Nếu

< 0 Thì PT vô nghiệm.
- Nếu

= 0 Thì PT có N
0
kép: x
1
= x
2
=
2
b
a

- Nếu

> 0 Thì PT có 2 N
0
phân biệt :
a
b
x
2

2,1

=
acb
=
2
,,
- Nếu
'

< 0 Thì PT vô nghiệm.
- Nếu
'

= 0 Thì PT có N
0
kép: x
1
= x
2
=
2
b
a

- Nếu
'

> 0 Thì PT có 2 N
0

phân biệt :

a
b
x
,,
2,1

=
Nhận xét :
*Nếu a + b + c = 0 thì :





=
=
a
c
x
x
2
1
1

*Nếu a - b + c = 0 thì :

=
=
a
c
x
x
2
1
1

* Nếu c = 0 thì :






=
=
a
b
x
x
2
1
0
*Nếu x

1
, x
2
là nghiệm của (1)
thì ax
2
+ bx + c = a( x x
1
)(x x
2
)
2. Hệ thức Vi-Et:
*Thuận : Phơng trình bậc2 Nếu có nghiệm Thì :







==
=+=
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21

.
*Đảo: Nếu 2 số x
1
, x
2
thoả mãn







==
=+=
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
.
( Với S
2
4P

0)
Thì x

1
,x
2
là 2 nghiệm của PT x
2
- Sx + P = 0

II/ Một số bài toán liên quan đến PT bậc 2:
Bài toán 1: Biện luận theo m sự có nghiệm của PT B2
- Xét hệ số a. Có thể có 2 trờng hợp xảy ra:
*Trờng hợp a = 0 với 1 vài giá trị nào đó của m
Giả sử a = 0

m = m
0
ta có (1) trở thành pt b1: bx + c = 0 (2)
-Nếu b

0 ( với m = m
0
), pt (2) có 1 nghiệm là
b
c
x

=
(cũng là nghiệm của(1))
-Nếu b = 0 và c =0 ( với m = m
0
), pt (2) vô định

pt (1) vô nghiệm.
-Nếu b = 0 và c

0 ( với m = m
0
), pt (2) vô định

pt (1) nghiệm
*Trờng hợp a

0:
- Nếu

> 0 : pt (1) có 2 nghiệm phân biệt :
a
b
x
2
2,1

=
- Nếu

= 0 : pt (1) có 2 nghiệm kép : x
1
= x
2
=
a

b
2

- Nếu

< 0 : pt (1) vô nghiệm / R .
9
Tổng hợp Lí Thuyết - Đại số 9
- Kết luận : Tóm tắt phần biện luận trên.
Bài toán 2: Điều kiện có nghiệm của PT bậc 2.
2.a, PT có nghiệm: C1, a= 0 , b

0
C2, Hoặc a

0 ,



0.
C3, Tìm số

sao cho a.f(

) < 0
C4, Tìm 2 số

,

sao cho f(

).f(

) < 0
Tập hợp các giá trị m phải tìm là tất cả các giá trị của m thoả a) hoặc b)
2.b, PTcó 2 nghiệm phân biệt:



>

0
0a
hoặc a.c < 0
2.c, PT có 1 nghiệm:




=
0
0
b
a
Hoặc



=

0
0a
Bài toán 3: Dấu của nghiệm số của PT bậc 2 (Tìm ĐK của m để phơng trình (1) t/mãn)
3.a, Có 2 nghiệm cùng dấu :
1 2
0; 0
. 0
a
P x x



= >

3.b, Có 2 nghiệm dơng:
0; 0
0; 0
a
c b
P S
a a





= > = >

( Hoặc có ít nhất 1N
0
không âm )
3.c, Có 2 nghiệm âm :
0; 0
0; 0
a
c b
P S
a a





= > = <



Hoặc



>
=+
0.
0
ca
cba
3.d, Có 2 nghiệm trái dấu :

<
<
0.
0
ca
P

Hoặc a.f(0) < 0
3.e, Có 1 nghiệm âm, 1 nghiệm không
âm :

0; 0
0; 0
a
b c
S P
a a





= < =


3.g, Có ít nhất 1nghiệm

0 :
0; 0
0
a
b
S
a





= =


.
Bài toán 4: Tìm điều kiện của m để PT (1) có 1 nghiệm x
1
tìm nghiệm kia
a, Tìm điều kiện của m để PT có 1 nghiệm x
1
tìm nghiệm kia:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x
1
cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:
0
(*)
- Thay x = x
1

vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận
+) Cách 2: - Thay x = x
1
vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào PT và gpt HoặcTính x
2
nhờ Vi-et x
2
= S
x
1
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào PT đã cho mà PT bậc hai này có

< 0 thì kết
luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x
1
cho trớc.
b, Tìm điều kiện của m để PT (1) có nghiệm này bằng k lần nghiệm kia:
- B1: Điều kiện PT có nghiệm
0; 0a
- B2: Nghiệm này bằng k lần nghiệm kia nên:




=
=
12
21

kxx
kxx







=
=
0
0
12
21
kxx
kxx
(x
1
kx
2
). (x
2
kx
1
) = 0.
-B3 : Biến đổi đẳng thức trên về tổng ; tích sau đó dùng định lí Vi-et.
Bài toán 5: Tìm điều kiện của m để Pt (1) có 2 nghiệm x
1
, x

2
thoả mãn hệ thức :
(Các hệ thức là biểu thức đối xứng ( Hoặc không đối xứng ) giữa các nghiệm)
1, Ph ơng pháp chung:
B1: - Điều kiện PT có nghiệm
0; 0a
(*)
- Tính giá trị của S , P theo m : Với đk (*) pt có 2 nghiệm t/m :







==
=+=
)2(.
21
21
a
c
xxP
a
b
xxS
B2: Biến đổi hệ thức đã cho sao cho có dạng chứa S và P.
( Hoặc rút x
1
hay x

2
từ đk đề bài nếu bthức cho không đối xứng).
B3: Thay các giá trị của S , P tính đợc ở B1 ta tính đợc m.
B4: Chọn các giá trị của m t/m đk (*).
10
Tổng hợp Lí Thuyết - Đại số 9
2, Các hệ thức đối xứng th ờng găp và cách biến đổi: :
*) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= S
2
2p = m
*) (x
1
x
2

)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
4x
1
x
2
= S
2
4p = n
*) x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1
x

2
(x
1
+ x
2
) = S
3
3Sp =
k
*) (x
1
a)( x
2
a) = x
1
x
2
a(x
1
+ x
2
) + a
2
= p aS
+ a
2
*)
2
21
21

21
2
))((
2
11
aaSp
aS
axax
axx
axax
+

=

+
=

+

= k
*) x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2
+ x

2
2
)
2
2x
1
2
x
2
2
= h
*)
21
21
21
11
xx
xx
xx
+
=+
=
p
S
= m
*)
21
2
2
2

1
1
2
2
1
xx
xx
x
x
x
x +
=+
=
p
pS 2
2

= n
(Các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện (*) )
Bài toán 6:Lập PT Bậc hai.
A/ Bài toán Thiết lập PT bậc 2 nhờ hệ thức Vi-et :
1,Cơ sở để thiết lập PT B2 là nhờ hệ thức Vi-et:
Nếu

==
=+=
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
.
Thì x
1
,x
2
là 2 nghiệm của PT X
2
- S X+ P = 0,Với

= S
2
4SP

0
2 , Ph ơng pháp : G/sử PT B2 cần tìm có dạng X
2
- S X + P = 0 (1) mà các nghiệm của (1)
t/m đk cho trớc là 1 biểu thức (*) liên hệ giữa nghiệm của (1) với nghiệm của PT B2 cho trớc
ax
2

+ bx + c = o (2), ta làm nh sau:
- Từ PT (2) ta tính đợc S và P (3)
- Biến đổi bthức (*) liên hệ giữa N
0
của (1) với nghiệm của PT (2) rồi thay giá trị của S,P ở (3)
vào ta tính đợc hệ số của X trong PT cần tìm.
B/ Bài toán lập PT bậc 2 nhờ sự t ơng giao giữa đồ thị của hàm số bậc 1, bậc 2
và trục toạ độ (Hay xác định parabol y =ax
2
+ bx + c (P) ):
( Xem phần hàm số)
Bài toán 7: Quan hệ nghiệm của 2 PT B2 : a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
= 0 ( a
1


0 ) (1)
a
2
x
2
+ b
2

x + c
2
= 0 ( a
2


0 ) (2)
7.a :Xác định các tham số để 2PT có nghiệm chung
ĐK cần : Giả sử 2 pt có nghiệm chung x
0
, khi đó ta có hệ :





=++
=++
0
0
202
2
02
101
2
01
cxbxa
cxbxa

Từ hệ ta xác định đợc tham số.

ĐK đủ : Thay giá trị của tham số tìm đợc ở trên vào 2 pt cho để tìm nghiệm chung./.
7.b :Định các t/ số để 2PT có nghiệm sao cho 1 nghiệm của PT
1
= k lần 1 nghiệm của PT2.
B1: Gọi x
0
là 1 nghệm của (2) thì kx
0
( k

0 ) là 1 nghiệm của (1).
Khi đó , x
0
là nghiệm của hệ:





=++
=++
0)()(
0
101
2
01
202
2
02
ckxbkxa

cxbxa
B2: Giải hệ trên tìm x
0
. Suy ra m.
B3: Lấy giá trị của m thế vào (1) và (2) để kiểm tra.
7.c: Bài toán mở rộng :
1, Cho 2 pt b2 có 1 nghiệm chung :
- Chứng minh đẳng thức , bđt giữa các hệ số,
- Nghiệm còn lại của 2 pt cho là nghiệm của pt thứ 3.
- 2 nghiệm còn lại của 2 pt là 2 nghiệm hữu tỉ phân biệt.
2, Cho 2 pt b2 có 1 nghiệm chung: Tìm GTLN _ GTNN của biểu thức cho.
Bài toán 8: Tính GTLN _ GTNN của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của PT B2
( Mở rộng với HPT đối xứng )
- Điều kiện PT có nghiệm
0; 0a
(*)
11
Tổng hợp Lí Thuyết - Đại số 9
( Với hệ PT bậc nhât 2 ẩn: x, y là nghiệm của PT X
2
+ SX+P=0.Tức là ĐK tồn tại x,y là

X



0 )
- Đa biểu thức về dạng biểu thức có chứa các ĐTĐXCB
- Xét miền giá trị của biểu thức ta tìm đợc GTLN GTNN của bthức.
(Dùng ĐK có nghiệm của PTB2,T/C BĐT, Cosi, Bunhiacopki )

Bài toán 9: Tính GT của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của PT mà không GPT.
- Điều kiện PT có nghiệm
0; 0a
(*)
- Sử dụng hệ thức Vi-et : S , P. (*)
- Biến đổi BT đã cho về dạng ĐTĐXCB.
- Thay giá trị ở (*) vào ta tìm đợc GTBT.
Bài toán 10: Về nghiệmnguyên nghiệm hữu tỉ của PT B2.
a/ Tìm nghiệm nguyên của PT:
b/ Tìm nghiệm hữu tỉ của PT : ( Sử dụng nghiệm của đa thức)
- Nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là Ư(c).
- Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1), f(-1)

0 Thì f(1)/ (a - 1)và f(-1)/(a + 1)

Z.
- Đthức có hệ số

Z ,N
0
h.tỉ (nếu có) pải có dạng p/q trong đó p

Ư(c),q

Ư(a).
c/ Tìm m để PT có nghiệm hữu tỉ:
- Xét a = 0. PT trở thành PT B1, ta đợc nghiệm hữu tỉ.
- Xét a

0 .Tính

. PT có nghiệm hữu tỉ khi

là số chính phơng.
Bài toán 11: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm PT mà

không phụ thuộc tham số m:
- Điều kiện để PT có nghiệm : a

0 ;



0
- Lập S và P ( Phụ thuộc theo m).
- Khử m để lập 1 hệ thức giữa P và S: Bằng các phép bđổi (Chẳng hạn S 2P hay 2S + P, )
- Thay S = x
1
+ x
2
và P = x
1
.x
2
ta đợc hệ thức cần tìm.
Chú ý:Nếu S hay P là hằng số thì ta có ngay hệ thức cần tìm.
Bài toán 12 : So sánh số nghiệm của PT B2 với 1 số thực

,

cho tr ớc
( áp dụng định lí đảo về tam thức bậc 2 )
Tam thức bậc 2 f(x) = ax
2
+ bx + c ( a

0 ) , (1)

là số thực
*f(x) < 0, a < 0

(1) có nghiệm với

x ( x
1
< x
2
) :



>
<
2
1
xx
xx

> 0
*f(x) > 0 , a > 0

* Hoặc ( 1 ) có nghiệm với mọi x

R



< 0
* Hoặc ( 1 ) có nghiệm với mọi x

a
b
2





= 0
*f(x) > 0 , a < 0

(1) vô nghiệm với

x

> 0
*f(x) < 0 , a > 0

(1) có nghiệm với

x



> 0 ( x
1
< x < x
2
)
12.a, ĐK để

,

nằm trong khoảng 2 nghiệm : x
1
<

< x
2
: a.f(

) < 0 .
12.b , ĐK để

nằm ngoài khoảng 2 nghiệm :

* x
1
< x
2
<









<

>
>


a
b
fa
2
0)(.
0
*

< x
1

< x
2









>

>
>


a
b
fa
2
0)(.
0
*

< x
1
< x
2
<

<

<
>
>
>



a
b
fa
fa
2
0)(.
0)(.
0
12.c, ĐK để

,

nằm ngoài khoảng 2 nghiệm :

< x
1
< x
2
<




0
. ( ) 0; . ( ) 0
2
a f a f
b
a




>

> >

< <


12. d, ĐK để f có 2 nghiệm trong đó các nghiệm xen kẽ với

và

:
*

< x
1
<

< x
2






>
<
0)(.
0)(.


fa
fa

* x
1
<

< x
2
<






<
>
0)(.
0)(.


fa
fa

12.e , ĐK để f có 2 nghiệm mà 1 trong 2 nghiệm bằng

: a.f(

) = 0
@@@
12
Tổng hợp Lí Thuyết - Đại số 9

Phần V / giải bài toán bằng cách lập pT Hpt.
I/ Phng phỏp chung :
Bc 1: Lp PT -HPT
* Chn n v t iu kin cho n
* Biu din cỏc i lng cha bit theo n v cỏc i lngó bit
* Lp PT - H phng trỡnh
Bc 2: Gii PT - HPT
Bc 3: Kim tra xem nghim tỡm c cú tho món iu kin ca n hay khụng( Loi
b giỏ tr khụng thớch hp) ri kt lun v tr li.
II/ M t s chỳ ý.
Khi lp cỏc PT ta thng phi vn dng cỏc kin thc v cỏc tng quan t l,c bit l
tng quan t l thun t l nghch( Cỏc quy tc tam sut). C th:
1- S liờn h gia cỏc i lng trong toỏn chuyn ng: S = v.t
2- S liờn h gia s v ch s:
100 10abc a b c
= + +
;vi a,b,c

N;
1 9,0 , 9a b c

3- S liờn h gia lng riờng (d);K.lng (m);Th tớch (V) trong vt lý
4- S liờn h gia s tin phi tr (P). S n v mua (x), giỏ tin mi n v hng húa (y):
P = xy
5- S liờn h gia khi lng cụng vic,thi gian hon thnh, s ngi, nng sut lao ng
ca mi ngi,,hoc khi lng nc v cụng sut ca cỏc vũi nc,
TG
CV
NS =
;

+ Sau khi chn n v t K ta cn lu ý biu th y cỏc i lng bi toỏn ra v
da vo s tng quan gia cỏc i lng lp PT,HPT.
@@@
13