Tổng hợp kiến thức toán lớp 12

Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận 0987.192212 Trang 1

GIẢI TÍCH
I. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM: (D
erivative
)


Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
là :
∆x
)f(x∆x)f(x
lim
∆x
∆y
lim)(xf')(xy'
00
0∆x0∆x
00
−+
===
→→

Đạo hàm bên phải tại x
0
:
x
y

lim)(xf'
0x
∆
∆
∆
0
+
→
+
=

Đạo hàm bên phải tại x
0
:
x
y
lim)(xf'
0x
∆
∆
∆
0
−
→
−
=

Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) hàm số có đạo hàm tại mọi điểm x
0

∈.(a ; b)
Hàm số y = f(x) đạo hàm trên đoạn [a ; b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a ; b) và có
đạo hàm bên phải tại a và bên trái tại b.
Cách tính đạo hàm :
Muốn tính đạo hàm hàm số y = f(x), ta cần thực hiện 3 bước sau :
1) Cho số gia x tại x
0
và tính:
)
f(x
x)
f(x
y
00
−+= ∆∆

2) Lập tỉ số :
x
y
∆
∆

3) Tìm
x
)
f(x
x)
f(x
lim
x

y
lim
00
0x0x
∆
∆
∆
∆
∆∆
−+
=
→→


II. CÁC CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM:
( )
( )
( )
2
2
2
2
-1 x x
,
x x
2
,
,
,
a

1
(C)'=0 (tgx)'= =1+tg x
cos x
1
(x)'=1 (cotgx)'=- =-(1+cotg x)
sin x
(x )'= x ( R) (e )'=e
1 1
=- (a )'=a .lna
x x
1 1
x = ln x =
x
2 x
1
(sinx)'=cosx log x =
xlna
(cosx)'=-sinx
α α
α α ∈
 






 

Chú ý: Đối với hàm số hợp dạng trên, chỉ cần thay x bởi u và nhân thêm u’.
Ví dụ:
(
)
(
)
, ,
1 u'
x = u =
2 x 2 u
⇒
Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 2


2
,
v
uv'vu'
v
u
uv'vu'(uv)'
R)
(k
ku'
(ku)'

w'
v'
u'
w)'
v
(u
−
=






+=
∈
=
+
+
=
−
+


Chú ý các giới hạn sau:
( )
1
1
lim*1
)1ln(

lim*
1lim*
1
1lim*1
sin
lim*
00
1
00
=
−
=
+
=+=






+=
→→
→+∞→→
x
e
x
x
exe
xx
x

x
xx
x
x
x
xx


III. ĐẠO HÀM CẤP CAO – VI PHÂN:
(Diferential)

[f
(n)
(x)]’= f
(n + 1)
(x)
df(x) = f’(x).dx

IV. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM:
1. Sự đồng biến, nghòch biến của hàm số:
 Đònh lý Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], có đạo hàm trong (a; b) thì
tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho:
a
b
f(a)
f(b)
(c)f'
−
−
=

.
 Đònh lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong (a; b).
a. f(x) đồng biến trong (a; b) ⇔ f’(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b)
b. f(x) nghòch biến trong (a; b) ⇔ f’(x) ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b)
( Dấu bằng “=” chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm x
0
∈ (a; b) ).
 Điểm tới hạn: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trong (a; b) và x
0
∈ (a; b). Điểm x
0
được gọi
là điểm tới hạn của f(x) nếu f’(x) = 0 hoặc f(x) không có đạo hàm tại điểm x
0
.
2. Cực trò của hàm số:
 Đònh lý Fermat: (Điều kiện cần để hàm số có cực trò)
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x
0
và đạt cực trò tại đó thì f’(x
0
) = 0
Lưu ý: Mọi điểm cực trò của hàm số đều là điểm tới hạn.
 Điều kiện đủ để hàm số có cực trò:
 Đònh lý 1:( Dấu hiệu 1 )
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong lân cận của điểm x
0
.
a. Nếu khi x đi qua x
0

mà f’(x) đổi dấu từ dương (+) sang âm (–) thì hàm số đạt cực đại tại
x
0
.
b. Nếu khi x đi qua x
0
mà f’(x) đổi dấu từ âm (–) sang dương (+) thì hàm số đạt cực tiểu tại
x
0
.
Lưu ý: Để hàm số đạt cực trò tại x
0
thì f’(x) phải đổi dấu khi đi qua x
0
.
Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 3

 Đònh lý 2:( Dấu hiệu 2 )
a. Hàm số f(x) đạt cực đại tại x
0
khi



<

=
0)(xf"
0)(xf'
0
0

b. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x
0
khi



>
=
0)(xf"
0)(xf'
0
0

3. Giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a- Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên tập D.
 Số thực M được gọi là giá trò lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu:
)(
)
xf
D
00
max M : hiệuKí
Mf(x:Dx
M

f(x) thì Dx
=



=∈∃
≤∈∀

 Số thực m được gọi là giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu:
)(
)
xf
D
00
min m : hiệuKí
mf(x:Dx
mf(x) thì Dx
=



=∈∃
≥∈∀

b- Cách tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
 Trên (a; b):
 Tính y’, lập BBT.
 Nếu trên (a; b), hàm số có duy nhất một cực đại thì đó là max, duy nhất một cực
tiểu thì đó là min; ngoài ra thì không có.
 Trên [a; b]:

 Tính y’, tìm các điểm tới hạn, giả sử đó là x
1
; x
2
; ; x
n
.
 Tính f(a), f(b), f(x
i
) (i = 1; 2; ; n).
 Số lớn nhất trong các số vừa tìm được là max, số nhỏ nhất là min.
4. Tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thò hàm số:
* Đồ thò hàm số y = f(x) lồi trong (a; b) ⇔ f”(x) < 0, ∀ x ∈ (a; b).
* Đồ thò hàm số y = f(x) lõm trong (a; b) ⇔ f”(x) > 0, ∀ x ∈ (a; b).
* Điểm M
0
(x
0
; f(x
0
)) là điểm uốn nếu f”(x) đổi dấu khi đi qua x
0
.
5. Tiệm cận:
 Hàm số: y =
d
cx
b
ax
+

+
(c ≠ 0)
ngang cận tiệm là
c
a
y
c
a
ylim
đứng cận tiệm là
c
d
y ylim
=⇒=
−=⇒∞=
∞→
−→
x
c
d
x



Hàm số: y =
e
dx
cbxax
2
+

++
(a, d ≠ 0)
Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 4

xiên cận tiệm là nmx y 0
e
dx
p(x)
lim
edx
p(x)
n mx y được mẫu, cho tử chia phép hiệnThực
đứng cận tiệm là
d
e
y ylim
+=⇒=
+
+
++=
−=⇒∞=
∞→
−→
x
d

e
x

6. Các hàm số thường gặp:
A. Hàm bậc ba: y = ax
3
+ bx
2
+ c + d (a ≠ 0)

Tập xác đònh: D = R.

y’ = 3ax
2
+ 2bx + c: Hoặc có hai cực trò (y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt), hoặc
không có cực trò.

Đồ thò luôn có một điểm uốn.

Đồ thò có một tâm đối xứng là điểm uốn.

y = f(x) = (mx + n).f’(x) + p(x) + q. Do đó nếu hàm số có hai cực trò thì đường
thẳng đi qua hai điểm cực trò có phương trình: y = p(x) + q.

Đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi y’ = 0 có hai nghiệm phân
biệt và y
CĐ
.y
CT
< 0.


Đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp
số cộng (Cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C sao cho AB = BC) khi y’ = 0 có hai
nghiệm phân biệt và điểm uốn thuộc Ox.
B. Hàm trùng phương : y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)

Tập xác đònh: D = R.

y’ = 4ax
3
+ 2bx = 2x(2ax
2
+ b): Hoặc có ba cực trò (y’ = 0 có ba nghiệm phân
biệt), hoặc có một cực trò.

Đồ thò nhận Oy làm trục đối xứng.

Đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp
số cộng khi at
2
+ bt + c = 0 có hai nghiệm t
1
; t
2
thỏa 0 < t
1

< t
2
và t
2
= 9 t
1
, với t =
x
2
.
C. Hàm hữu tỷ: y =
d
cx
b
ax
+
+
:

Tập xác đònh: D = R\






−
c
d
.


y’ =
2
d)(cx
bc
ad
+
−
, hàm số luôn tăng hoặc giảm với x ∈ D nên không có cực trò.

đứng cận tiệm là
c
d
y ylim −=⇒∞=
−→
c
d
x


ngang cận tiệm là
c
a
y
c
a
ylim =⇒=
∞→x



Đồ thò có một tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận.
Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 5


Đồ thò là một Hyperbol.
D. Hàm hữu tỷ: y =
e
dx
cbxax
2
+
++


Tập xác đònh: D = R\






−
d
e
.


Hàm số có hai cực trò (y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt), hoặc không có cực trò.

đứng cận tiệm là
d
e
y ylim −=⇒∞=
−→
d
e
x


e
dx
p(x)
n mx y được mẫu, cho tử chia phép hiệnThực
+
++=


xiên cận tiệm là nmx y 0
e
dx
p(x)
lim +=⇒=
+
∞→x



Đồ thò có một tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận.

Đồ thò là một Hyperbol.

Nếu hàm số có hai cực trò thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trò có phương trình:
y =
d
b
2ax
+
.
CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH KHẢO SÁT HÀM SỐ:

Tìm TXĐ.

Tính y’, tìm các cực trò (Nếu có).

Tìm các tiệm cận (Hàm hữu tỷ) hoặc tính
±∞→x
lim
(Hàm đa thức)

Lập BBT.

Tính y”, lập bảng xét dấu y” (Đối với hàm đa thức).

Cho các điểm đặc biệt (Thường là các điểm nguyên ở hai bên cực trò hoặc điểm
uốn).

Vẽ đồ thò.

V. NGUYÊN HÀM:
(Primitive)

1. Đònh nghóa:

∫
=⇔+= const:Cf(x)(x)F'CF(x)f(x)dx


2. Tính chất:
(
)
( )
dxg(x)f(x)dxdxg(x)f(x)*
Rkf(x)dxkk.f(x)dx*
f(x)f(x)dx*
'
∫
∫
∫
∫∫
∫
±=±
∈=
=

Lưu ý:
Nguyên hàm của một hàm số không phụ thuộc vào biến, nghóa là:
Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 6

;CF(t)f(t)dt;CF(u)f(u)duthìCF(x)f(x)dxNếu
∫
∫
∫
+=+=+=

3. Bảng các nguyên hàm:


a. Các nguyên hàm cơ bản:


)10(
ln
*
*cossin*
cot
sin
1
*ln
cos
1
*)1(
1

sincos*
2
2
1
≠<+=
+=+−=
+−=+=
+=≠
+
=
+=+=
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
+
aC
a
a
dxa
CedxeCxxdx
Cgxdx
x
Cx
x
Ctgxdx
x
x
dx

CxxdxCx
x
x
xx
dx
*
x*
dx*
α
α
α
α


b. Các nguyên hàm mở rộng:

)0(ln
)(
11
*
)0,10(
ln
1
*
)0(
1
*
)0()(cot
1
)(sin

1
*
)0()(
1
)(cos
1
*
)0()sin(
1
)cos(*
)0()cos(
1
)sin(*
)0(ln
1
)1;0(
1
1
2
1
21
2
2
2
1
≠+
−
−
−
=

++
≠≠<+=
≠+=
≠++−=
+
≠++=
+
≠++=+
≠++−=+
≠++=
+
≠≠+
+
+
=+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
+
++
+
aC
xx

xx
xxa
dx
cxbax
maC
a
a
m
dxa
aCe
a
dxe
aCbaxg
a
dx
bax
aCbaxtg
a
dx
bax
aCbax
a
dxbax
aCbax
a
dxbax
aC
a
aC
a

nmx
nmx
baxbax
bax
bax
dx
*
b)(ax
dxb)(ax*
α
α
α
α



VI. TÍCH PHÂN:
(Integral)

Với x
1
; x
2
là hai nghiệm của ax
2
+ bx + c = 0

Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 7

1. Đònh nghóa:


[ ]
f(x) của hàmnguyênmột là F(x) VớiF(a)F(b)F(x)f(x)dx
b
a
b
a
−==
∫


Công thức trên gọi là công thức Newton-Laipnitz
2. Tính chất:
Giả thiết rằng các hàm số f(x), g(x) liên tục trên [a; b].

( )
const):m(M;a)M(bf(x)dxa)m(bMf(x)m*
g(x)dxf(x)dxb][a;xg(x),f(x)*
0f(x)dxb][a;x0,*f(x)g(x)dxf(x)dxdxg(x)f(x)*
f(x)dxf(x)dxf(x)dx*R)(kf(x)dxkk.f(x)dx*
f(x)dxf(x)dx*0f(x)dx*
b
a
b

a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
c
c
a
b
a
b
a
b
a
a
b
b
a
a
a
−≤≤−⇒≤≤
≥⇒∈∀≥
≥⇒∈∀≥±=±

+=∈=
−==
∫
∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
∫∫∫


Lưu ý:
Tích phân của một hàm số phụ thuộc vào hàm số đó và các cận a; b mà không
phụ thuộc vào biến, nghóa là:
∫ ∫∫
===
b
a
b
a
b
a
f(u)duf(t)dtf(x)dx


VII. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:
1. Phương pháp đổi biến số:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], x = ϕ(t) là hàm số có đạo hàm liên tục trên [α;
β], trong đó a = ϕ(α); b = ϕ(β). Khi t biến thiên trên [α; β] thì x biến thiên trên [a; b]. Ta có:
[ ]
dt(t)'.(t)ff(x)dx
β

α
b
a
∫∫
=
ϕϕ

Chú ý:
Đối với phương pháp này, nếu gặp tích phân có chứa:

A
α
thì đặt t = A.

α
A
thì đặt t =
α
A
.

A
1
thì đặt t = A.










−∈=
−
−
∫∫
2
π
;
2
π
tvớia.sintxđặtthì
xa
1
hoặcxa
22
22

Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 8









−∈=
+
−+
∫∫∫
2
;
2
tvớia.tgtxđặtthì
xa
dx
hoặc
xa
dx
hoặc
xa
22
2222
ππ
)(
n
dx

2. Phương pháp tích phân từng phần:

Nếu u(x); v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì:
∫∫
−=

b
a
b
a
v.duu.dv
b
a
uv

Chú ý:
Đối với phương pháp này, ta tách biểu thức f(x)dx thành u.dv sao cho từ dv tìm v
đơn giản và
∫
b
a
v.du
đơn giản hơn
∫
b
a
u.dv
.
Gặp:
P(x) đặt u thì dx
a
e
b)cos(ax
b)
sin(ax
P(x).

b
a
nmx
bax
=














+
+
∫
+
+


Gặp:
P(x) dvđặt thì dxP(x).
b
a

=






+
∫
x
bax
a
log
)ln(


VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
1. Diện tích các hình phẳng:
* Cho hàm số y = (f) liên tục trên đoạn [a ; b] thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi
đồ thò y = f(x), x = a, x = b, y = 0 (Ox) là:

* Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = f
1
(x), y = f
2
(x), đường thẳng x
= a, x = b là:

2. Thể tích vật thể tròn xoay:

*
Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình
phẳng giới hạn giữa x = g(y), y = a, y = b, x = 0

khi khi

quay quanh trục Oy :
dxxV
b
a
2
∫
= π

* Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình
phẳng giới hạn giữa y = f(x), x = a, x = b, y = 0
khi quay quanh trục Ox là:
dxyV
b
a
2
∫
= π

Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 9

IX. ĐẠI SỐ TỔ HP:
(Combinatorics)

1. Quy tắc cơ bản của phép đếm:
a. Quy tắc cộng: Nếu một hành động (H) có các trường hợp: A; B; C;
Trường hợp A có m cách thực hiện.
Trường hợp B có n cách thực hiện.
Trường hợp C có p cách thực hiện Thì (H) có m + n + p + cách thực hiện.
b. Quy tắc nhân: Nếu một hành động (H) có các giai đoạn: A; B; C;
Giai đoạn A có m cách thực hiện.
Giai đoạn B có n cách thực hiện.
Giai đoạn C có p cách thực hiện Thì (H) có m.n.p. cách thực hiện.
2. Hoán vò: (Permutation)
Đònh nghóa:
Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập X theo một thứ tự nhất đònh được gọi là
một hoán vò của n phần tử.
P
n
= n! = 1.2.3 n

Quy ước:
0! = 1
3. Chỉnh hợp: (Arrangement)
Đònh nghóa:
Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập X (0 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự nhất đònh
được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.

k)!(n
n!
A
k
n
−
=


Đặc biệt:

n!PA
n
n
n
==

4. Tổ hợp: (Combination)

Đònh nghóa:
Mỗi tập con gồm k phần tử của tập X gồm n phần tử (0 ≤ k ≤ n) được gọi là
một tổ hợp chập k của n phần tử.


k)!(nk!
n!
C
k

n
−
=


Tính chất:

CCC
CC
k
1-n
1-k
1-n
k
n
k-n
n
k
n
+=
=

5. Công thức nhò thức Newton:
baC bCabC baC baCbaCaCb)(a
n
0k
kknk
n
nn
n

1n1-n
n
kknk
n
22n2
n
1n1
n
n0
n
n
∑
=
−−−−−
=+++++++=+

Đặc biệt:
n
n
n1-n
n
1nk
n
k2
n
1
n
0
n
n

n
n
1-n
n
k
n
2
n
1
n
0
n
nn
C1)(C1)( C1)( CCC1)(10
CC C CCC1)(12
−+−++−+−+−=−=
+++++++=+=
−

6. Tam giác Pascal:
Cho ta biết các hệ số của khai triển Newton với n không quá lớn.
Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 10

n = 0: 1

n = 1: 1 1

n = 2: 1 2 1

n = 3: 1 3 3 1
n = 4: 1 4 6 4 1
n = 5: 1 5 10 10 5 1
n = 6: 1 6 15 20 15 6 1
n = 7: 1 7 21 35 35 21 7 1
n = 8: 1 8 28 56 70 56 28 8 1
n = 9: 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1



HÌNH HỌC

I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG:
1. Các phép toán về vectơ:

 
 

 

 
 
 
2 2
Cho u = (x; y); v = (x'; y').
u ± v = (x ± x'; y± y')

k.u = (kx; ky)
u . v = x.x'+ y.y'
u = x + y
u . v
cos(u;v) =
u . v

Cho A(x
A
; y
A
); B(x
B
; y
B
):
AB = (x
B
– x
A
; y
B
– y
A
)
* Điểm M(x
M
; y
M
) chia đoạn AB theo tỷ số k (MA = k.MB) thì:

− −
− −
A B A B
M M
x kx y ky
x = y =
1 k 1 k

* Điểm M(x
M
; y
M
) trung điểm AB

+ +
A B A B
M M
x x y y
x = y =
2 2

2. Đường thẳng:
2.1. Phương trình đường thẳng:

Đường thẳng d qua M(x
0
; y
0
), chỉ phương a = (a
1

; a
2
) có:
PTTS:



0 1
0 2
x = x + ta
y = y + ta
; PTCT:
− −
=
0 0
1 2
x x y y
a a

Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 11


Đường thẳng d qua M
0
(x

0
; y
0
), pháp vectơ n = (A; B) cóPTTQ:
d: A(x – x
0
) + B(y – y
0
) = 0
Chú ý:


Nếu d có n = (A; B) thì a = (B; – A) hoặc a = (– B; A).

d // d’: Ax + By + C = 0 thì d: Ax + By + C’ = 0.

d ⊥ d’: Ax + By + C = 0 thì d: Bx – Ay + C’ = 0.
2.2. Góc, khoảng cách:

Cho điểm M
0
(x
0
; y
0
) và d: Ax + By + C = 0 thì:
0 0
0
2 2
Ax + By + C

d(M ,d) =
A + B


Cho hai đường thẳng d có pháp vectơ n ; d’ có pháp vectơ n’ thì:

.
 
 
n.n'
cos(d, d') =
n n'

2.3. Vò trí tương đối giữa hai đường thẳng:
Cho d: Ax + By + C = 0 và d’: A’x + B’y + C’ = 0.
≠
A B
A' B'
: d cắt d’
= ≠
A B C
A' B' C'
: d // d’
= =
A B C
A' B' C'
: d ≡ d’
3. Đường tròn: (Circle)
3.1.
Cho I(a; b), R > 0.

C(I; R): (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
.
⇔ x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 (c =
−
2 2 2
a + b R
)
3.2. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:
Cho M
0
((x
0
; y
0
) và đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0.
P
M/(C)

=
2 2
0 0 0 0
x + y 2ax 2by + c
− −

4. Ba đường Cônic:
4.1. Elip:
Cho elip (E):
2 2
2 2
x y
+ =1
a b
(a > b)
b
2
= a
2
– c
2
.

Trục lớn: 2a; trục bé: 2b.

Các đỉnh:
A
1
(– a; 0), A
2

(a; 0)
B
1
(0; – b), A
2
(0; b)

Tiêu điểm: F
1
(– c; 0), F
2
(c; 0).

Tâm sai:
=
c
e
a
; đường chuẩn:
= ±
a
x
e

M
O

F
1
(

–
c; 0)

F
2
(c; 0)

x

y

Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 12


Tiếp tuyến với (E):
2 2
2 2
x y
+ =1
a b
tại M
0
(x
0
; y

0
) là d:
0 0
2 2
x.x y.y
+ =1
a b
.

Đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (E):
2 2
2 2
x y
+ =1
a b
⇔ A
2
.a
2
+ B
2
.b
2
= C
2
(C ≠ 0)
4.2. Hyperbol:
Cho Hyperbol (H):
−
2 2

2 2
x y
=1
a b

b
2
= c
2
– a
2
.

Trục thực: 2a; trục ảo: 2b.

Đỉnh thực:
A
1
(– a; 0), A
2
(a; 0)

Đỉnh ảo:
B
1
(0; – b), A
2
(0; b)

Tiêu điểm: F

1
(– c; 0), F
2
(c; 0).

Tâm sai:
=
c
e
a
; đường chuẩn:
= ±
a
x
e


Tiệm cận:
= ±
b
y x
a


Tiếp tuyến với (H):
−
2 2
2 2
x y
=1

a b
tại M
0
(x
0
; y
0
) là d:
−
0 0
2 2
x.x y.y
=1
a b
.

Đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (H):
−
2 2
2 2
x y
=1
a b
⇔ A
2
.a
2
– B
2
.b

2
= C
2
(C ≠ 0).
4.3. Parabol:
Cho parabol (P): y
2
= 2px


Tiêu điểm: F(
p
2
; 0).

Đường chuẩn:
−
p
x =
2


Tiếp tuyến với (P): y
2
= 2px tại M
0
(x
0
; y
0

) là:
d: y.y
0
= p(x + x
0
)

Đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (P): y
2
= 2px
⇔ pB
2
= 2A.C.


II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN:
1. Các phép toán về vectơ:
O

F
1
(
–
c; 0)

F
2
(c; 0)

x

x

y

O

F(
p
2
; 0)

x

y

Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 13


'
±
+
 
 


 

 
 
 
2 2 2
Cho u = (x; y; z); v = (x'; y'; z').
u ± v = (x ± x'; y± y'; z z )
k.u = (kx; ky; kz)
u . v = x.x'+ y.y'+ z.z'
u = x + y z
u . v
cos(u;v) =
u . v

Cho A(x
A
; y
A
; z
A
); B(x
B
; y
B
; z
B
):
AB = (x
B

– x
A
; y
B
– y
A
; z
B
– z
A
)
* Điểm M(x
M
; y
M
) chia đoạn AB theo tỷ số k (MA = k.MB) thì:
− − −
− − −
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x = y = z =
1 k 1 k 1 k

* Điểm M(x
M
; y
M
) trung điểm AB

+ + +
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x = y = z =
2 2 2

2. Tích có hướng của hai vectơ, ứng dụng:
∆
 
 
=
 
 
 
 
=
 
 
 




 
  
1 1 1 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
ABC

ABCD
Cho a = (x ;y ;z );b = (x ;y ;z )
y z z x x y
a ,b ; ;
y z z x x y
1
S AB, AC
2
1
V = AB, AC .AD
6

2. Mặt phẳng:
Mặt phẳng α qua M
0
(x
0
; y
0
), pháp vectơ n = (A; B; C) cóPTTQ:
α: A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
Chú ý:



α có hai chỉ phương


a ,b
thì có pháp véctơ
 
 

 
n = a ,b
.

α qua A, B, C thì có pháp véctơ
 
 
 

n = AB ,AC
.
3. Đường thẳng:
Đường thẳng d qua M(x
0
; y
0
; z
0
), chỉ phương a = (a
1
; a
2

; a
3
) có:
PTTS:





0 1
0 2
0 3
x = x + ta
y = y + ta
z = z + ta
; PTCT:
0 0 0
1 2 2
x x y y z z
= =
a a a
− − −
⇔
0 0
1 2
0 0
2 2
x x y y
=
a a

y y z z
=
a a
− −




− −




Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 14

4. Vò trí tương đối:
4.1. Vò trí tương đối giữa hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng:
α: Ax + By + Cz + D = 0
β: A’x + B’y + C’z + D’ = 0

A : B : C ≠ A’ : B’ : C’: α cắt β.

A B C D
= = =

A' B' C' D'
: α ≡ β.

A B C D
= =
A' B' C' D'
≠
α // β.
4.2. Vò trí tương đối giữa hai đường thẳng:
d
1
qua M
1
(x
1
; y
1
; z
1
), chỉ phương a = (a
1
; a
2
; a
3
)
d
2
qua M
2

(x
2
; y
2
; z
2
), chỉ phương b = (b
1
; b
2
; b
3
)

 
=
 



1 2
a ,b .M M 0
⇔ d
1
và d
2
đồng phẳng.

a
1

: a
2
: a
3
≠ b
1
: b
2
: b
3
: d
1
cắt d
2
.

a
1
: a
2
: a
3
= b
1
: b
2
: b
3
: d
1

≠ (x
2
– x
1
):(y
2
– y
1
):(z
2
– z
1
): d
1
// d
2
.

a
1
: a
2
: a
3
= b
1
: b
2
: b
3

: d
1
= (x
2
– x
1
):(y
2
– y
1
):(z
2
– z
1
): d
1
≡ d
2
.

 
≠
 



1 2
a ,b .M M 0
⇔ d
1

và d
2
chéo nhau.
4.2. Vò trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Đường thẳng d qua M(x
0
; y
0
; z
0
), chỉ phương a.
Mặt phẳng α: Ax + By + Cz + D = 0 có pháp véctơ n

≠
 
a .n 0
:d cắt α.

 
a .n = 0
:

Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D = 0: d // α.


Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D ≠ 0: d ⊂ α.

5. Góc:
5.1. Góc giữa hai đường thẳng:
d có chỉ phương a. d’ có chỉ phương a’ thì

.
 
 
a.a'
cos(d, d') =
a a'

5.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
d có chỉ phương a. α có pháp véctơ n thì

.
α
 
 
a.n
sin(d, ) =
a n

5.3. Góc giữa hai mặt phẳng:
α có pháp véctơ n , β có pháp véctơ n’ thì

.
α β
 
 
n.n'
cos( , ) =
n n'

6. Khoảng cách:
6.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 15

Cho điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và α: Ax + By + Cz + D = 0 thì:
0 0 0

0
2 2 2
Ax + By + Cz + D
d(M ,d) =
A + B + C

6.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Cho điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và đt d đi qua M
1
, chỉ phương a thì:
0 1
1
M M .u
d(M ,d) =
u
 
 




6.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

d qua M, chỉ phương a. d’ qua M’, chỉ phương a’ thì
[
]
[ ]
a.a' .MM'
d(d,d') =
a.a'

 
 

7. Mặt cầu: (Sphere)
3.1.
Cho I(a; b; c), R > 0.
S(I; R): (x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R
2
.
⇔ x
2
+ y
2
+ z
2

– 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (d =
2 2 2 2
a + b + c R
−
)
3.2. Tương giao của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho: S(I; R): (x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R
2
.
α: Ax + By + Cz + D = 0
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I(a; b; c) lên α ⇒ IH = d(I, α)

Nếu IH > R: α không cắt (S).

Nếu IH = R: α là mặt tiếp diện của (S) tại H.

Nếu IH < R: α cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn:
C(H,
2
2 2 2 2
Ax + By + Cz + D = 0
IH ) :
(x a) + (y b) + (z c) = R
2

R

−

− − −




Giáo viên: Nguyễn Hữu Chung Kiên
Trường THPT Vónh Thuận
Email:
Website: fun.easyvn.com/chungkien