Tài liệu ôn toán - Bài tập phương trình mũ logarit - phần 2 pdf

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Xét hàm số
(
)
(
)
x x x 2 x 2
f x 3 2 3x 2 f '' x 3 ln 3 2 ln 2 0
= + − − ⇒ = + > ⇒
ðồ thị của
hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. (ðịnh lí Rôn)
Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình
x
2
y
2
y
2007
y 1
x
2007
x 1
e
e

= −

−




= −

−

có ñúng hai nghiệm thỏa mãn
x 0, y 0.
> >

HD: Dùng tính chất 2 ñể chỉ ra
x y
=
khi ñó xét hàm số
( )
x
2
x
f x 2007
x 1
e= + −
−
.
●
N
ế
u
x 1
< −
thì
(
)

1
f x 2007 0
e
−
< − <
suy ra h
ệ
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
●
N
ế
u
x 1
>
dùng
ñị
nh lý Rôn và ch
ỉ
ra v
ớ
i
0
x 2
=
thì
(

)
f 2 0
<

ñể
suy ra
ñ
i
ề
u ph
ả
i
ch
ứ
ng minh.
Ví dụ 6:
Cho
a b 0
≥ >
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
b a
a b
a b
1 1
2 2
2 2

   
+ ≤ +
   
   

HD: Bất ñẳng thức
a b
a b
a b
a b
1 1
ln 2 ln 2
1 1
2 2
bln 2 a ln 2
2 2 a b
   
+ +
   
   
   
⇔ + ≤ + ⇔ ≤
   
   
.
Xét hàm số
( )
x
x
1

ln 2
2
f x
x
 
+
 
 
=
v
ớ
i
x 0
>
,
Suy ra
(
)
f’ x 0
<
v
ớ
i m
ọ
i
x 0
>
nên hàm s
ố
ngh

ị
ch bi
ế
n v
ậ
y v
ớ
i
a b 0
≥ >
ta có
(
)
f(a) f b
≤ .
Bài 1.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
x x x
3 4 5
+ =
7)
x x
4 3 1
− =

2)
(
)
2 3
log 1 x log x
+ =
8)
(
)
6
log x
2 6
log x 3 log x
+ =

3)
2 2 2
log 9 log x log 3
2
x x .3 x= −
9)
(
)
x 2 x 2
3.25 3x 10 5 3 x 0
− −
+ − + − =

4)
(

)
2 x x 3 2
x .3 3 12 7x x 8x 19x 12
+ − = − + − +

5)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 3
4 x 2 log x 3 log x 2 15 x 1
− − + − = +
 
 

6)
x x x x 3 2
x x x
1 1 1
5 4 3 2 2x 5x 7x 17
2 3 6
+ + + = + + − + − +

Bài 2. Giải các phương trình sau:
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

1)
x
x
2
2 1 3
= +
4)
(
)
x x
25 2 3 x 5 2x 7 0
− − + − =

2)
3 x 2
2 x 8x 14
−
= − + −
5)
x 3 x
8 x.2 2 x 0
−
− + − =

3)
2
log x 3 x
= −
6)
(

)
2
2 2
log x x 1 log x 6 2x
+ − = −

Bài 3. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau:
1)
x x x
4 9 25
+ =

2)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3 3
x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0
+ + + + + − =

3)
( )
x x
9 2 x 2 .3 2x 5 0

+ − + − =

4)
(
)
( )
2
x log x x 6 4 log x 2
+ − − = + +

5)
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3
x 3 log x 2 4 x 2 log x 2 16
+ + + + + =


DẠNG 7. MỘT VÀI BÀI KHÔNG MẪU MỰC

Bài 1. Giải phương trình:
(
)
(
)
x x x x
4 2.2 2 2 1 sin 2 y 1 2 0
− + − + − + =

HD: phương trình

(
)
(
)
x x x x
4 2.2 2 2 1 sin 2 y 1 2 0
− + − + − + =

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
x x x 2 x 2 x
2
x x 2 x
x x
x
2 1 2 2 1 sin 2 y 1 sin 2 y 1 cos 2 y 1 0
2 1 sin 2 y 1 cos 2 y 1 0
2 1 sin 2 y 1 0

cos 2 y 1 0
⇔ − + − + − + + − + + − =
 
⇔ − + + − + + − =
 

− + + − =

⇔

+ − =



Bài 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
y
sinx 1+sinx
4 2 cos xy 2 0
− + =
.
HD: phương trình
(
)

y
sinx 1+sinx
4 2 cos xy 2 0
− + =

( ) ( )
2
y
sinx 2
2 cos xy 2 cos xy 0
 
 
⇔ − + − =
 
 

Ta có
( )
2
sinx
2 cos xy 0
 
− ≥
 
và
( )
( )
y
y
2

2
2 1
2 cos xy 0
cos xy 1

≥

 
⇒ − ≥

 
≤



Do đó
( ) ( )
2
y
sinx 2
2 cos xy 2 cos xy 0
 
 
− + − ≥
 
 

Vậy phương trình
(
)

( )
(
)
(
)
( ) ( )
sinx sinx
y y
2 2
2 cos xy 0 2 cos xy 1

2 cos xy 0 2 cos xy 0 2
 
− = =
 
⇔ ⇔
 
− = − =
 
 

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
( )
( )
( )
y
2
2
y 0
2 1

2 y 0.
cos x.0 1
cos xy 1

=

=
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
=
=





Thay vào (1) ta ñược
x k
π
=
.
Bài 3. Giải phương trình:
( )
2x 1 3 2x
2
3
8
2 2
log 4x 4x 4

+ −
+ =
− +
.
HD: Ta có
( )
2
2
4x 4x 4 2x 1 3 3
− + = − + ≥
nên
(
)
2
3
log 4x 4x 4 1
− + ≥

Suy ra
( )
2
3
8
8
log 4x 4x 4
≤
− +
(1)
Mặt khác
2x 1 3 2x 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x

2 2 2 2 .2 2 2 8
+ − + − + + −
+ ≥ = =

(2)
Bài 4.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
2 2
3 3
log x x 1 log x 2x x
+ + − = −
.
HD:

ð
i
ề
u ki
ệ
n
x 0.
>
Ph
ươ

ng trình
(
)
2 2
3 3
log x x 1 log x 2x x
+ + − = −


( )
2
3
1
log x 1 1 x 1
x
 
⇔ + + = − − +
 
 

Ta có
●
3
1 1 1
x 2 x 1 3 log x 1 1
x x x
 
+ ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ + + ≥
 
 

●
( )
2
1 x 1 1
− − + ≤

Vậy phương trình
( )
3
2
1
log x 1 1
x
x 1
1 x 1 1

 
+ + =
 

 
⇔ ⇔ =


− − + =

.
Nhận xét: Bài toán tương ñương là giải phương trình
2

2
2
1
3
x x
x x
x
−
+ +
=
.
Bài 5.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
( )
2 3
1
log x 2 4 log 8
x 1
 
− + = +
 
−
 
.

HD: ð

i
ề
u ki
ệ
n
x 2
>
.

●

(
)
2
x 2 4 4 log x 2 4 2
− + ≥ ⇒ − + ≥


●
V
ớ
i
x 2
>
ta có
1 1
x 1 1 1 8 9
x 1 x 1
− ≥ ⇒ ≤ ⇒ + ≤
− −

3
1
log 8 2
x 1
 
⇒ + ≤
 
−
 

Bài 6.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
2 2 x x 1 2
4x 8 2 x 4 x x .2 x.2 2 x
+
+ − = + − + −
.
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
HD: ðiều kiện
2 x 2
− ≤ ≤
.

Phương trình
(
)
(
)
( )
x 2
4 x.2 x 1 2 2 x 0 *
⇔ − − + − =

Ta có
3
x 2
2
x 2 x.2 2.2 2.2 4
≤ ⇒ ≤ < =
. Do
ñ
ó
( )
2
* x 1 2 2 x 0
⇔ − + − =
.
Bài 7. Giải phương trình:
2 3 4 2 2
2 2
5x 6x x x log x (x x)log x 5 5 6 x x
+ − − = − + + + −
.

HD: ðiều kiện
2
x 0
0 x 3
6 x x 0
>

⇔ < ≤

+ − ≥

.
Phương trình
( )
(
)
( )
2
2
xlog x 5 6 x 1 x 0 *
x⇔ − + − + − =

Do
(
)
2 2 2 2
x 3 x log x 3log 3 log 32 5 xlog x 5 0
≤ ⇒ ≤ < = ⇒ − <

Khi ñó

( )
(
)
2
* 6 x 1 x 0
x
⇔ + − + − =
.
Bài 8. Giải phương trình:
2 2
sin x cos x x x
3 3 2 2 2
−
+ = + +
.
HD: Phương trình
2 2
x -x
2 2
sin x 1 sin x
2 2
3 3 2 2 2
−
⇔ + = + +


( )( )
2
2
2 2

2
x -x
2sin x
2 2
2 2
sin x
sin x sin x
2
x -x
2 2
sin x
3 3
4 2 2 2
3
3 1 3 3
2 2
3
+
⇔ − = + −
− −
 
⇔ = −
 
 

Ta có
2
2 sin x
0 sin x 1 1 3 3
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤

. Do ñó
VT 0 VP
≤ ≤
.
Bài 9. Giải phương trình:
3 2
2log cot x log cos x
= .
HD: ðặt
3 2
2log cot x log cos x t
= =
, ta có

2 t
t 2 t
t
2 t 2 t 2
t
cos x 4
cosx 2 cos x 4
4
cot x 3 cot x 3 sin x
3
cosx 0,cot x 0 cosx 0,cot x 0
cosx 0,cot x 0

=
 
= =


 

= ⇔ = ⇔ =
  
  
> > > >
 
> >




2 t
2 t
t
t
t
cos x 4
cos x 4
1
cosx
4
4 1 t 1
2
3
cosx 0,cot x 0
cosx 0,cot x 0
cosx 0,cot x 0


=

=


=

 
⇔ + = ⇔ = − ⇔
  
  
> >
> >


> >




π
x k2
π
3
⇔ = +
.
Tổng quát: Dạng
(
)
(

)
.log .log
a b
f x g x
α β
=
ta ñặt
(
)
(
)
.log .log
a b
t f x g x
α β
= =

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Bài 10. Giải phương trình:
(
)
2 3 2
2 2
3x 2x log x 1 log x.
− = + −

HD: ðiều kiện
x 0
>
.

ðặt
(
)
(
)
(
)
2 3 2
2 2
f x 3x 2x , g x log x 1 log x
= − = + −

● Ta có
(
)
(
)
(
)
2 3 2
f x 3x 2x f ' x 6x 6x ; f ' x 0 x 0, x 1
= − ⇒ = − = ⇔ = =
. Lập bảng
biến thiên ta thấy f(x) ñồng biến trên (0,1) và nghịch biến trên
(
)
1,
+∞
. Suy ra trên
(

)
0,
+∞
,
(
)
(
)
maxf x f 1 1
= =
hay
(
)
f x 1, x 0.
≤ ∀ >

● Ta có
( )
( )
2
2
2 2 2 2
x 1 1
g x log x 1 log x log log x
x x
 
+
 
= + − = = +
 

 
 
 
. Với
x 0
>
, ta có
( )
2 2
1 1
x 2 côsi log x log 2 1.
x x
 
+ ≥ => + ≥ =
 
 
Suy ra
(
)
g x 1, x 0.
≥ ∀ >

Vậ
y ph
ươ
ng trình
( )
2 3
2
2 2

3x 2x 1

log x 1 log x 1

− =

⇔

+ − =



Bài 11.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
( )
2
2
x 1 x x
2 2 x 1 .
− −
− = −
HD: phương trình
( )
(
)
2

x 1 x x 2
2 x 1 2 x x
− −
⇔ + − = + −
.
ðặt
2
u x 1; v x x.
= − = −
Khi ñó phương trình có dạng
u v
2 u 2 v
+ = +
.
Xét hàm số
(
)
t
f t 2 t
= +
, hàm này ñồng biến và liên tục trên
ℝ
.
Vậy phương trình
(
)
(
)
2
f u f v u v x 1 x x x 1

⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ =
.
Bài 12. Giải phương trình:
x x x
2009 2011 2.2010
+ =
.

HD:
G
ọ
i
0
x
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho. Ta
ñượ
c
(
)
0 0 0 0 0 0 0

x x x x x x x
2009 2011 2.2010 2009 2010 2010 2011 *
+ = ⇔ − = −
Xét hàm s
ố

( ) ( )
0
0
x
x
F t t t 1
= − + . Khi
ñ
ó (*)
(
)
(
)
F 2009 F 2010
⇔ = .
Vì F(t) liên t
ụ
c trên
[
]
2009,2010
và có
ñạ
o hàm trong kho

ả
ng
(
)
2009,2010
, do
ñ
ó
theo
ñị
nh lí Lagrange t
ồ
n t
ạ
i
(
)
c 2009,2010
∈ sao cho
( )
(
)
(
)
( )
0
0
x 1
0
x 1

0
0
x 0
F 2010 F 2009
F' c x . c c 1 0
x 1
2010 2009
−
−
=
−

 
= ⇔ − + = ⇔

 
=
−


Th
ử
l
ạ
i
0 0
x 0, x 1
= =
th
ấ

y
ñ
úng. V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là
0 0
x 0, x 1
= =
.
Nhận xét: Bài toán tương tự
1)
cosx cosx cosx cosx
3 2 cosx 3 2 3cosx 2cosx
− = ⇔ − = −
.
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
2)
3 3
log x log x
4 2 2x
+ =
. ðặt
u
3

u log x x 3
= ⇒ =
. Phương trình
u u u
4 2 2.3
⇔ + =
.
Lưu ý: Bài toán trên ta sử dụng ñịnh lí Lagrange: Nếu hàm số
(
)
y f x
= liên t
ụ
c trên
ñ
o
ạ
n
[
]
;
a b
và có
ñạ
o hàm trên kho
ả
ng
(
)
;

a b
thì t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
ñ
i
ể
m
(
)
;
c a b
∈ sao cho
( )
(
)
(
)
'
f b f a
f c
b a
−
=
−
.

Bài 13.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
2
3
2
x x 1
log x 3x 2
2x 2x 3
+ +
= − +
− +
.
HD: ðặt
(
)
2 2
u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0
= + + = − + > >
. Suy ra
2
v u x 3x 2.
− = − +

Phương trình ñã cho trở thành
3 3 3

u
log v u log u log v v u
v
= − ⇔ − = −


3 3
log u u log v v
⇔ + = +
.
Xét hàm số
(
)
3
f t log t t
= +
. Ta có
'
1
f (t) 1 0, t 0
t.ln3
= + > ∀ >
nên hàm số ñồng biến
khi
t 0
>
. Do ñó phương trình
(
)
(

)
f u f v
⇔ = suy ra
u v
=
hay
v u 0
− =
tức là
2
x 3x 2 0 x 1, x 2
− + = ⇔ = =
. Vậy phương trình có nghiệm
x 1, x 2
= =
.
Lưu ý: Với phương trình dạng
( )
log , 0, 0, 1
a
u
v u u v a
v
= − > > >
ta thường biến ñổi
log log log log
a a a a
u v v u u u v v
− = − ⇔ + = +
. Vì hàm số

(
)
log
a
f t t t
= +
ñồng biến khi
0
t
>
.
Suy ra
u v
=
.
Bài 14. Giải phương trình:
cosx sinx
2 2 3
+ =
.
HD: Áp dụng BðT Becnuli mở rộng:
(
)
1 1
t t
α
α
+ − ≤
với
[

]
0, 0,1
t
α
> ∈
Từ phương trình suy ra:
[
]
sinx, cos x 0,1
∈ . Suy ra
π
x k2
π; k2π
2
 
∈ +
 
 

Theo Becnuli:
(
)
cosx
2 1 2 cosx 1
+ − ≤


(
)
sinx

2 1 2 sinx 1
+ − ≤

Suy ra
(
)
cosx sinx
2 2 sinx cosx 2
+ ≤ + +

Suy ra
(
)
(
)
cosx sinx
2 2 min sinx cosx 2 min sinx cosx 2
 
+ ≤ + + = + +
 

Mà:
(
)
min sinx cosx 1
+ =
với
π
x k2
π; k2π

2
 
∈ +
 
 
.
Do ñó
cosx sinx
2 2 3
+ ≤
. Dấu
'' ''
=
xảy ra khi và chi khi
sinx 1
cosx 0
=


=

hoặc
sinx 0
cosx 1
=


=


Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

x k2π

π
x k2
π
2
=


⇔

= +

.
HẾT

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH


Ta có thể dùng các phương pháp biến đổi như đối với giải phương trình và sử dụng
các cơng thức sau
HÀM SỐ MŨ
●
0 a 1
< <


( ) ( )

(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ <
≥ ⇔ ≤
(ngh
ị
ch bi
ế
n)

●

a 1
>


( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )

( ) ( )
f x g x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ >
≥ ⇔ ≥
(
đồ
ng bi
ế
n)
HÀM SỐ LOGARIT
●

(
)
a
log f x
có ngh
ĩ
a
( )
0 a 1

f x 0
< ≠


⇔


>




●

(
)
(
)
b
a
log f x b f x a
= ⇔ =


●

( ) ( )
(
)
(
)
a a
f x g x
log f x log g x
0 a 1


=

= ⇔

< ≠



●

0 a 1
< <


(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
a a
a a
log f x log g x 0 f x g x
log f x log g x 0 f x g x
> ⇔ < <
≥ ⇔ < ≤
(ngh

ị
ch bi
ế
n)

●

a 1
>


(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
a a
a a
log f x log g x 0 f x g x
log f x log g x 0 f x g x
> ⇔ < >
≥ ⇔ < ≥
(
đồ
ng bi
ế

n)
Tổng qt ta có:


( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a a
a 0
log f x log g x f x 0; g x 0
a 1 f x g x 0

>


> ⇔ > >


 
− − >

 



( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a a
a 0
log f x log g x f x 0; g x 0
a 1 f x g x 0


>


≥ ⇔ > >


 
− − ≥

 




CHUYÊN ĐỀ 2.


BẤT PHƯƠNG TRÌNH

MŨ – LOGARIT
Biờn son: GV HUNH C KHNH
1. PHệễNG PHAP ẹệA VE CUỉNG Cễ SO
Vớ d 1. Gii bt phng trỡnh:
2
x x 1
x 2x
1
3
3

Li gii:
- iu kin:
x 0

hoặc
x 2

.
- Khi đó bất phơng trình tơng đơng với
2
x x 1
x 2x 2
3 3 x 2x x x 1



(1)
+ Nếu
x 0

thì

x 1 1 x
=
, khi đó bpt
( )
2
1 x 2x 2x 1

(đúng vì x 0)
+ Nếu
x 2

thì
x 1 x 1
=
, khi đó bpt
( )
2
1 x 2x 1



2
x 1 2
x 2x 1 0
x 1 2




+

- Kết hợp với điều kiện ta đợc
x 1 2
+
.

Vớ d 2. Gii bt phng trỡnh:
(
)
2
x
log 5x 8x 3 2
+ >

Li gii:
- Bất phơng trình trên tơng đơng với
2 2 2
2
2 2
2
0 x 1
0 x 1 0 x 1
1 3
x
1
5x 8x 3 x 4x 8x 3 0
2 2
x

2
3
5x 8x 3 0 3

x x 1
x x 1
5
5
x 1
x 1
x 1
5x 8x 3 x
1 3
4x 8x 3 0
x x
2 2








< <

< < < <






< <




+ < + <


<





+ >




< >
< >

>





>
>



+ >









+ >

< >

3
5
3
x
2

<



>





Lu ý:
Với bất
phng trỡnh
dạng
(
)
( )

log
f x
g x a
>
, ta xét hai trờng hợp của cơ số
(
)
0 1
f x
< <
v

(
)
1 .
f x
<


Vớ d 3. Gii bt phng trỡnh:
( )
2
3
3
log x
log x
3 x 6
+

Li gii:

- iu kin:
x 0
>

- Ta sử dụng phép biến đổi
( )
(
)
2
3
3
3 3
log x
log x
log x log x
3 3 x= =
. Khi đó bất phơng trình tơng đơng
với
3 3 3
log x log x log x
x x 6 x 3
+
.
- Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế, ta đợc:
(
)
3
log x
3 3 3 3
log x log 3 log x.log x 1

( )
2
3 3
1
log x 1 1 log x 1 x 3.
3


- Vậy phơng trình có nghiệm
1
x 3
3

.


Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Ví dụ 4. Giải bất phương trình:
1 2
3
1 2x
log log 0
1 x
+
 
>
 

+
 

Lời giải:
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi
2
2
1 2x 1 2x x
log 0 1 0
x 1 x 0
1 x 1 x 1 x
x 0
1 2x 1 2x 1 x 1
log 1 2 0
1 x 1 x 1 x

+ +
 
> > >

 
< − ∨ >

  
+ + +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >
   
+ + − > −

  

< < <
 

+ + + 



-
VËy
x 0
>
lµ nghiƯm cđa bÊt ph−¬ng tr×nh.
BÀI TẬP

Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:

1)
2
0,7 6
x x
log log 0
x 4
 
+

<
 
+
 

2)
(
)
2
3x x
log 3 x 1
−
− >

3)


(
)
(
)
(
)
(
)
2
1 1 25
5 5
5 25
log x 5 3log x 5 6log x 5 4log x 50 2 0

− + − + − − − + ≤


2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Ví dụ 1. Giải bất phương trình:
x x 2
x x
2.3 2
1
3 2
+
−
≤
−

Lời giải:
- ðiều kiện
x 0
≠
.
- Chia cả tử và mẫu cho
x
2
, ta được:
x
x x 2
x
x x
3
2. 4

2.3 2
2
1 1
3 2
3
1
2
+
 
−
 
−
 
≤ ⇔ ≤
−
 
−
 
 

- §Ỉt
( )
x
3
t , 0 t 1
2
 
= < ≠
 
 

. Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi
2t 4
1 0
t 1
−
− ≤
−


x
3
2
t 3 3
0 1 t 3 1 3 0 x log 3
t 1 2
−
 
⇔ ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤
 
−
 

- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm
3
2
0 x log 3
< ≤ .

Ví dụ 2. Giải bất phương trình:
( ) ( )

3
4 2 2
2 1 2 1
2
2 2
x 32
log x log 9log 4log x
8 x
 
 
− + <
 
 
 
 

Lời giải:
- ðiều kiện
x 0
>
.
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi
( ) ( )
( ) ( )
( )
[ ] [ ]
( )
1 1
3
4 2 2

2 2
2
2 2
2
4 3 2 2
2 2 2 2 2 2
2
4 2
2 2 2 2
x 32
log x log 9log 4log x
8 x
log x log x log 8 9 log 32 log x 4log x
log x 3log x 3 9 5 2log x 4log x
− −
 
 
⇔ − + <
 
 
 
 
   
⇔ − − + − <
   
⇔ − − + − <