Tài liệu ôn toán - Bài tập phương trình mũ logarit - phần 1 potx

Biờn son: GV HUNH C KHNH


DAẽNG 1. PHệễNG TRèNH Cễ BAN
Phng trỡnh m c bn cú dng:
x
a m
=
, trong ủú
a 0, a 1
>
v m l s ủó cho.
Nu
m 0

, thỡ phng trỡnh
x
a m
=
vụ nghim.
Nu
m 0
>
, thỡ phng trỡnh
x
a m
=
cú nghim duy nht
a
x log m.
=

Bi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1)
x 1 x x 1
5 6.5 3.5 52
+
+ =

2)
x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2
3 3 3 9.5 5 5
+ + + + +
+ + = + +

3)
x x 1
3 .2 72
+
=

4)
2 2 2
x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 7
4 4 4 1
+ + + + +
+ = +

5)
2x 1 x 1 x x 1
5.3 7.3 1 6.3 9

+
+ +
Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1)
(
)
3
log x x 2 1
+ =

2)
(
)
(
)
2
2 2
log x 3 log 6x 10 1 0
+ =

3)
(
)
(
)
log x 15 log 2x 5 2
+ + =

4)
(

)
x 1
2
log 2 5 x
+
=

Bi 3.
Bi t

p rốn luy

n. Gi

i cỏc ph

ng trỡnh sau:
1)
x 1 x 2
3 2.3 25
+
=
2)
( )( )
2 2
x 1
log log x 1 x 4 2
x 4

+ + =

+

3)
x 1 x 2 x x 2
3.2 2.5 5 2
+
+ = +
4)
2
x
x
log 16 log 7 2
=

5)
x 3x 1
4 7 16
0
7 4 49


=


6)
( )
( )
2
8 8
4

2log 2x log x 2x 1
3
+ + =

7)
2
logx 1 logx logx 2
4 6 2.3
+ +
=
8)
x 1 x 2 x 2 x 1
1 1
2.5 .4 .5 4
5 4
+ + + +
=

9)
(
)
(
)
5 3
3
log x 2 log x 2log x 2
=
10)
x 5 x 7
3 2 5 2 32

=

11)
(
)
(
)
x x 2 x 1 x 1 x 1
3 10 6 4.10 5 10 6
+ +
+ =


CHUYEN ẹE 1.



PHệễNG TRèNH

MUế LOGARIT
Biờn son: GV HUNH C KHNH
DAẽNG 2. PHệễNG PHAP ẹệA VE CUỉNG Cễ SO
Phng phỏp ủa v cựng c s
S dng cụng thc:

a a


= =

.

(
)
a a
b 0 c
log b log c
b c
>


=

=


hoặc > 0

Bi 1.
Gi

i cỏc ph

ng trỡnh sau:
1)
2x 1 x 1 x
5 7 175 35 0
+ +
+ =
3)

x 3 2 x 3 4
2 x 1 2 x 1
x .2 2 .2 2
x
+ +
+
+ = +

2)
x x 2 x 1 x 1
1 1
3.4 .9 6.4 .9
3 2
+ + +
+ = 4)
( )
2
2 2
x 1
x x 1 x
4 2 2 1
+
+
+ = +

Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1)
x x x
16 64
log 2.log 2 log 2

=

2)
2
5x 5
5
log log x 1
x
+ =

3)
2 3 4 20
log x log x log x log x
+ + =

4)
( )
( )
( )
2 2
x 3
1
log 3x 1 2 log x 1
log 2
+
+ = + +

5)
5)5)
5)

( )
2
2
9 3
3
1 x 1
log x 5x 6 log log x 3
2 2

+ = +

6)
(
)
(
)
2 2
2 2 2
log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3
+ + + + + = +
Bi 3. Gii phng trỡnh sau:
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log x 3 log x 1 log 4x
2 4

+ + =

Bi 4. Bi tp rốn luyn. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1)
2 3x
3
x x x 3
1
9 27 . 81
3

+

=


6)
(
)
(
)
2
5 5
log 6 4x x 2log x 4
= +

2)
x x 1 x 2 x 1
3.13 13 2 5.2
+ + +

+ =
7)
( )
5
1
2log x 1 log x log x
2
=

3)
(
)
(
)
4 2 2 4
log log x log log x 2
+ =
8)
(
)
2
9 3 3
2log x log x.log 2x 1 1
= +

4)
( )
2
5
5

x 1
log x 2x 3 log
x 3

+ =
+
9)
(
)
( )
2
2
4 4 4
log x 1 log x 1 log x 2
=

5)
( ) ( )
2 3
4 8
2
log x 1 2 log 4 x log 4 x
+ + = + +


Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
DẠNG 3. ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH A.B = 0
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2 2
x x x x 2x

2 4.2 2 4 0
+ −
− − + =

HD:
(
)
(
)
2 2 2
x x x x 2x x x 2x
2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0
+ − −
− − + = ⇔ − − =

Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng khơng thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân
tích thành
(
)
(
)
2
2
2 1 . 2 4
x x x−
− −
. ðây là phương trình tích đã biết cách giải.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
x x x

8.3 3.2 24 6
+ = +

2)
2 2
x x x x 2x
2 4.2 2 4 0
+ −
− − + =

3)
x x x 1
12.3 3.15 5 20
+
+ − =

Ví dụ 2:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
( )
(
)
2
9 3 3
2 log x log x.log 2x 1 1
= + −
.

Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích
(
)
3 3 3
log 2log 2 1 1 .log 0
x x x
 
− + − =
 
. ðây là phương trình tích đã biết cách giải.
Tổng qt: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng khơng thể biến đổi để đặt ẩn phụ
được thì ta biến đổi thành tích.
Bài 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2 7 2 7
log x 2.log x 2 log x.log x
+ = +
.


DẠNG 3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Sử dụng cơng thức về hàm số mũ và lơgarit để biến đổi bài tốn, sau đó đặt ẩn số
phụ, quy phương trình đã cho về các phương trình đại số (phương trình chứa hoặc
khơng chứa căn thức). Sau khi giải phương trình trung gian ta quy về giải tiếp các
phương trình mũ hoặc lơgarit cơ bản

A - Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1.
PHƯƠNG TRÌNH MŨ

●
Ph
ươ
ng trình
kx (k 1)x (k 2)x x
k k 1 k 2 1 0
a a a a 0
α α α α α
− −
− −
+ + + + + =
, khi đó ta đặt
x
,a
0
t
t
=
>
.
● Phương trình
x x
1 2 3
a b 0
α α α
+ + =
, với

a.b 1
=
. Khi đó đặt
x x
1
t a , t 0 b
t
= > ⇒ =
, ta được
phương trình:
2
1 3 2
t t 0
α α α
+ + =
.
● Phương trình
2x x 2x
1 2 3
a (ab) b 0
α α α
+ + =
. Chia hai vế cho
2x
a
hoặc
2x
b
ta được
2x x

1 2 3
a a
0
b b
α α α
   
+ + =
   
   
, đặt
x
a
t , t 0
b
 
= >
 
 
.

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
2 2
x x 2 x 1 x 2
4 5.2 6 0
+ − − + −
− − =

2)

3 2cosx 1 cosx
4 7.4 2 0
+ +
− − =

3)
(
)
(
)
(
)
x x x
26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
+ + + − − =

Bài 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
(
)
x x
2 3 2 3 14
− + + =

3)
3x x
3x x 1
8 1
2 6 2 1
2 2
−
   
− − − =
   
   

2)
3 x 1
5 3x
5.2 3.2 7 0
−
−
− + =
4)
x x x
27 12 2.8
+ =

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
● Nếu ñặt
(
)
a
t log x, x 0

= >
thì
k k
a x
1
log x t ; log a , 0 x 1.
t
= = < ≠
.
● Nếu ñặt
b
log x
t a=
thì
b
log a
t x=
. Vì
b b
log c log a
a c
=
.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
(
)
x 1 x

2 2
log 4 4 .log 4 1 3
+
+ + =
4)
x 3 3
x
1
log 3 log x log 3 log x
2
+ = + +

2)
(
)
(
)
4 2 2 4
log log x log log x 2
+ =
5)
(
)
2 x 1
log x 1 log 16
+
+ =
3)
(
)

2
x 25
log 125x .log x 1
=
6)
( )
3 9x
3
4
2 log x log 3 1
1 log x
− − =
−

Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
x x
log 6.5 25.20 x log25
+ = + 3)
82
4 16
log 4x
log x
log 2x log 8x
=

2)
2 2

2 x
log x.log (4x ) 12
=
4)
(
)
2
3
log x log x 2
= +

B - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 2.
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
Phương pháp: Ý tưởng là sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một
phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ só vẫn còn chứa ẩn x. Khi ñó thường ta ñược
một phương trình bậc 2 theo ẩn phụ có biệt số
∆
là một số chính phương.
Ví dụ : Giải phương trình:
(
)
x x
9 2 x 2 3 2x 5 0
+ − + − =
.
HD: ðặt
(
)
x
t 3 *

= , khi ñó ta có:
(
)
2
t 2 x 2 t 2x 5 0 t 1, t 5 2x
+ − + − = ⇒ = − = −
.
Thay vào (*) ta tìm ñược x.
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi
∆
là số chính phương.
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Bài 1. Giải phương trình:
(
)
2 2
x 2 x 2
9 x 3 3 2x 2 0
+ − − + =

Bài 2. Giải phương trình:
2x 3x 1 x 3
4 2 2 16 0
+ +
+ + − =

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(
)

(
)
(
)
2
3 3
log x 1 x 5 log x 1 2x 6 0
+ + − + − + =

HD: ðặt
(
)
3
t log x 1
= +
, ta có:
(
)
2
t x 5 t 2x 6 0 t 2, t 3 x
+ − − + = ⇒ = = −
. Suy ra
x 8, x 2.
= =

Bài 1.
Gi
ả
i ph
ươ

ng trình:
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2
lg x 1 x 5 lg x 1 5x 0
+ + − + − =

Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
2
2 2
lg x lgxlog 4x 2log x 0
− + =

2)
4 3 2
lg x lg x 2lg x 9lgx 9 0
+ − − − =

C - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 3.
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
Phương pháp: Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi chuyển phương trình về hệ ñơn giản.
Bài 1. Giải phương trình:
2 2 2

x 1 1 x (x 1)
4 2 2 1
+ − +
+ = +

Bài 2. Giải phương trình:
2 2 2
x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 7
4 4 4 1
− + + + + +
+ = +

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức logarit trong phương trình và khéo léo biến ñổi phương
trình thành phương trình tích.
Bài 1. Giải phương trình:
(
)
(
)
2
2
2 2 2
log x x 1 log xlog x x 2 0
− + − − =

Bài 2. Giải phương trình:
2
2 2 3 2 3
log x log x log x log xlog x 0

− + − =

Bài 3. Giải phương trình:
(
)
(
)
2 2
log x log x
2
2 2 x 2 2 1 x
+ + − = +

D - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 4.

ðặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.

PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
Ví dụ : Giải phương trình:
x
x 1 x x 1 1 x
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
− − −
+ =
+ + + +

HD: Viết phương trình dưới dạng
x 1 1 x x 1 1 x
8 1 18

2 1 2 2 2 2 2
− − − −
+ =
+ + + +
, ñặt
x 1 1 x
u 2 1, v 2 1; u, v 0
− −
= + = + >
.
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Nhận xét:
. .
u v u v
= +
Từ ñó ta có hệ:
8 1 18
.
u v u v
u v u v

+ =

+


= +


Bài 1. Giải phương trình:

2x x
2 2 6 6
− + =

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Bài 1. Giải phương trình:
(
)
(
)
2 2
2 2
log x x 1 3log x x 1 2
− − + + − =

Bài 2. Giải phương trình:
3
2 lgx 1 lgx 1
− = − −

Bài 3. Giải phương trình:
(
)
(
)
2 2
2 2
3 log x 4x 5 2 5 log x 4x 5 6
+ − + + − − + =

E - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 5.
PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một hệ phương trình với một ẩn phụ và
một ẩn x. Ta thực hiện các bước:
+ ðặt ñiều kiện có nghĩa cho phương trình.
+ Biến ñổi phương trình về dạng: f(x;
φ
(x)) = 0.
+ ðặt y =
φ
(x) ñưa về hệ:
( )
( ; ) 0
y x
f x y
φ
=


=

.
Chú ý: ðối với phương trình logarít có một dạng rất ñặc biệt, ñó là phương trình
dạng . ( )
ax b
s
s c log dx e x
α β
+
= + + +

. Với
;d ac e bc
α β
= + = +
.
Cách giải:
- ðiều kiện có nghĩa của phương trình:
0 1
0
s
dx e
< ≠


+ ≠


- ðặt
( )
s
ay b log dx e
+ = +
khi ñó phương trình ñã cho trở thành:
( )
( ) (1)
( )
(2)
ax b
ax b ax b
ay b ay b

s
s c ay b x
s acy x bc s acy d ac x e
ay b log dx e
s dx e s dx e
α β
α β
+
+ +
+ +

 
= + + +
= + + + = + − +
⇔ ⇔
  
+ = +
= + = +
 


- Lấy (1) trừ cho (2) ta ñược:
ax b ay b
s acx s acy
+ +
+ = + (3).
- Xét hàm số
( )
at b
f x s act

+
= +
là hàm số dơn ñiệu trên R. Từ (3) ta có f(x) = f(y)
⇔
x = y,
khi ñó (2)
ax b
s dx e
+
⇔ = +
(4) dùng phương pháp hàm số ñể xác ñịnh nghiệm phương trình (4).
Ví dụ: Giải phương trình:
(
)
x 1
7
7 6log 6x 5 1
−
= − +

HD: ðặt
(
)
7
y 1 log 6x 5
− = −
. Khi ñó chuyển thành hệ
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
(
)

( )
x 1
x 1
x 1 y 1
y 1
7
7 6 y 1 1
7 6y 5
7 6x 7 6y
y 1 log 6x 5
7 6x 5
−
−
− −
−

= − +

= −
 
⇔ ⇒ + = +
 
− = −
= −




.
Xét hàm số

(
)
t 1
f t 7 6t
−
= +
suy ra
x y
=
, Khi
ñ
ó
x 1
7 6x 5 0
−
− + =
.
Xét hàm s
ố

(
)
x 1
g x 7 6x 5
−
= − +
. Nh
ẩ
m nghi
ệ

m ta
ñượ
c 2 nghi
ệ
m:
x 1, x 2.
= =

Bài 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
2
2 2
log x log x 1 1
+ + =
3)
2
2 2 2
3log x 1 4log x 13log x 5
+ = + −

2)
2
lgx 1 lg x 4lgx 5
+ = + +
4)

2
2 2 2
3log x 1 4log x 13log x 5
+ = − + −

Bài 3. Giải các phương trình sau:
1)
2
lgx 1 lg x 4lgx 5
+ = + +
3)
(
)
x
6
6 3log 5x 1 2x 1
= − + +

2)
3
3
2 3
log x 2 3 3log x 2
+ = −
4)
3
3
x 1 3 2x 1
+ = −

Bài 4. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau:
1)
x x
9 10.3 9 0
− + =
16)
(
)
(
)
cosx cosx
5
7 4 3 7 4 3
2
+ + − =

2)
2 2
x x
4 6.2 8 0
− + =
17)
(
)
(
)
x x
x
2 3 2 3 2
+ + − =

3)
2 2 2
x x x
15.25 34.15 15.9 0
− + =
18)
(
)
(
)
x x
4 15 4 15 8
− + + =

4)
(
)
(
)
x x
2 3 2 3 4
+ + − =
19)
(
)
(
)
x x
x

7 3 5 7 3 5 14.2
+ + − =
5)
x 1 x 2
5 5.0,2 26
− −
+ =
20)
x 3
log 3x.log x 1 0
+ =

6)
x x x
25 12.2 6,25.0,16 0
− − =
21)
82
4 16
log 4x
log x
log 2x log 8x
=

7)
1 3
3
x x
64 2 12 0
+

− + =
22)
(
)
x 2 5
1 2log 5 log x 2
+
+ = +

8)
x x 1 x x
4 4 3.2
+ +
− =
23)
(
)
(
)
3
log log x log log x 2 0
+ − =

9)
x x
9 8.3 7 0
− + =
24)
(
)

(
)
x x 1
3
log 3 1 .log 3 3 6
+
− − =

10)
2x 1 x 1
1
.4 21 13.4
2
− −
+ =
25)
(
)
x
2
log 9 2 3 x
− = −

11)
1 1 1
x x x
6.9 13.6 6.4 0
− + =
26)
3 x

5
log x log 3
2
+ =

12)
3 3 3x x x
25 9 15 0
− + =
27)
8
2
3log xlog x
2x 2x 5 0
−
+ − =

13)
2 2
sin x cos x
9 9 10
+ =
28)
2 2
log x log 5
5 2.x 15
+ =

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
14)

2 2
sin x cos x
2 5.2 7
+ =
29)
( )
2
25
5
log 5x 1
log 7
7 x 0
−
− =

15)
2
cos2x cos x
4 4 3
+ =
30)
logx log5
25 5 4.x
= +

F - Một số bài toán (ñặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải ñưa về phương trình – hệ
phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.
●Dạng 1. Khác cơ số
Ví dụ: Giải phương trình:
7 3

log x log ( x 2)
= +
.
ðặ
t
t
7
t log x x 7
= ⇒ =
.
Ph
ươ
ng trình tr
ở
thành
(
)
t
t
t t t
3
7 1
t log 7 2 3 7 2 1 2.
3 3
 
 
= + ⇔ = + ⇔ = +
 
 
 

 
 

●Dạng 2. Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
Ví dụ 1: Giải phương trình:
(
)
(
)
4
2 2
6 5
log x 2x 2 2log x 2x 3
− − = − −
.
ðặt
2
t x 2x 3
= − −
, ta có
(
)
6 5
log t 1 log t
+ = .
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(
)
6
log x

2 6
log x 3 log x
+ =
.
ðặt
6
t log x
= , phương trình tương ñương
t
t t t t
3
6 3 2 3 1
2
 
+ = ⇔ + =
 
 
.
●Dạng 3.
(
)
b
log x c
a x
+
=
. (ðiều kiện:
b a c
= +
)

Ví dụ 1. Giải phương trình:
(
)
7
log x 3
4 x
+
=
.
ðặt
(
)
t
7
t log x 3 7 x 3
= +
⇒
= +

Phương trình trở thành:
t t
t t
4 1
4 7 3 3. 1
7 7
   
= − ⇔ + =
   
   
.

Ví dụ 2. Giải phương trình:
(
)
3
log x 5
2 x 4.
+
= +

ðặt
t x 4
= +
. Phương trình trở thành:
(
)
3
log t 1
2 t
+
=
.







Biờn son: GV HUNH C KHNH
DAẽNG 5. PHệễNG PHAP LOGARIT HOA

S dng cụng thc ly logarit hai v ca phng trỡnh vi c s thớch hp.
PHệễNG TRèNH MUế
Dng 1:
f (x)
a
0 a 1, b 0
a b
f(x) log b.
< >

=

=


Dng 2:
f (x) g(x) f (x) g(x)
a a a
a b log a log b f(x) g(x).log b.
= = =

Bi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1)
(
)
4
4
3 log x 1
log x 2
x 2

=
2)
2 3
lg x lgx 3
2
x
1 1
1 1 1 1
x x
+ +
=

+ + +

Bi 2.
Gi

i cỏc ph

ng trỡnh sau:
1)
4x 1 3x 2
2 1
5 7
+ +

=

2)
lgx 2
x 1000x
=

PHệễNG TRèNH LOGARIT
Dng 1:
a
b
0 a 1
log f(x) b
f(x) a
<

=

=

.

Dng 2:
a a
0 a 1
log f (x) log g(x)
f(x) g(x) 0
<

=

= >


Bi 1.
Gi

i cỏc ph

ng trỡnh sau:
1)
(
)
2
x
log x 4x 4 3
+ =
3)
(
)
x
log x 6 3
+ =

2)
( )
{ }
4 3 2 2
1
log 2log 1 log 1 3log x
2

+ + =

Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1)
3
2x 3
log
x
2 1




=
3)
2 3
2 2
log (x 1) 2log (x x 1)
= + +

2)
(
)
(
)
2
2 1
2

log x 1 log x 1
=
4)
x
x lg(1 2 ) xlg5 lg6
+ + = +

Bi 3.
Bi t

p rốn luy

n. Gi

i cỏc ph

ng trỡnh sau:
1)
x 1 2x 1
4.9 3 2
+
=
2)
x x
3 2
2 3
=

3)
2

x 2x x
2 .3 1,5

=
4)
2
x x
5 .3 1
=

5)
2x 1
x
x 1
5 .2 50

+
=
6)
x
x
x 2
3 .8 6
+
=

7)
3x
x
x 2

3 .2 6
+
=
.


Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
DẠNG 6. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH
BIẾN CỦA HÀM SỐ
● Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất
(thường là sử dụng cơng cụ đạo hàm)
● Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình
f(x) = C có khơng q một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao
cho f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhat của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b).
( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x

0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))
Tính chất 3 : ðịnh lí Rơn: Nếu hàm số
(
)
y f x
=
lồi hoặc lõm trên khoảng
(
)
a;b
thì
phương trình
(
)
f x 0
=
có khơng qua hai nghiệm thuộc khoảng
(
)
a;b
.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
log x
x 2.3 3
+ =

HD:

2 2
log x log x
x 2.3 3 2.3 3 x
+ = ⇔ = −
, v
ế
trái là hàm
đồ
ng bi
ế
n, v
ế
ph
ả
i là hàm
ngh
ị
ch bi
ế
n nên ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
x 1
=
.

Ví dụ 2:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
x x x x
6 2 5 3
+ = +
.
HD:
Ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng
x x x x
6 5 3 2
− = −
, gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m

α
.
Khi
đ
ó:
6 5 3 2
α α α α
− = −
. Xét hàm s
ố

( ) ( )
f t t 1 t
α
α
= + −
, với
t 0
>
. Ta nhận thấy
(
)
(
)
f 5 f 2
=
nên theo định lý lagrange tồn tại
(
)
c 2;5

∈
sao cho:
( ) ( )
1
1
f ' c 0 c 1 c 0 0, 1
α
α
α α α
−
−
 
= ⇔ + − = ⇔ = =
 
, thử lại ta thấy
x 0, x 1
= =
là
nghiệm của phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
( )
2
2
x x x 1
2 2 x 1
− −
− + = −
.
HD: Viết lại phương trình dưới dạng
2

x 1 x x 2
2 x 1 2 x x
− −
+ − = + −
, xét hàm số
(
)
t
f t 2 t
= +
là hàm đồng biến trên R (???). Vậy phương trình được viết dưới dạng:
(
)
(
)
2 2
f x 1 f x x x 1 x x x 1
− = − ⇔ − = − ⇔ =
.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
x x
3 2 3x 2
+ = +
.
HD: Dễ dàng ta tìm được nghiệm:
x 0
=
và
x 1
=

. Ta cần chứng minh khơng còn
nghi
ệm nào khác.