Chương I BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH - Bài 4. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH docx

Chương I
BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Bài 4. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH
1. Giới thiệu chung: Ta xét bài toán
QHTT dạng chính tắc:
1
1
( ) , min (max)
1,
0 1, .
n
j j
j
n
ij j i
j
j
f x c x c x
a x b i m
x j n
=
=
= = 〈 〉 →
= =
≥ =
∑
∑

Hoặc viết dưới dạng:
( ) , min (max)

0
f x c x
Ax b
x
= 〈 〉 →
=
≥
( )
1,
1,
i m
ij
j n
A a
=
=
=
1 2 1 2
1 2
( , , , ) , ( , , , )
( , , , )
T T
n m
n
x x x x b b b b
c c c c
= =
=
Trong đó:

Giả sử bài toán đang xét ta đã biết
một phương án cực biên dạng :
10 20 0
( ; ; ; ;0;0; ;0)
m
x x x x=
0
0, 1,
j
x j m> =
trong đó
cơ sở liên kết của
x là
1 2
, , ,
m
A A A
1 2
10 20 0

m
m
x A x A x A b+ + + =
1 10 2 20 0
( )
m m
f x c x c x c x= + + +
Giá trị hàm mục tiêu là:
1 2
1 2

m j
j j mj
x A x A x A A+ + + =
Với mỗi j = 1, 2, , n

Ký hiệu :
1 2
( ; ; ; )
j
j j mj
x x x x=
Nếu mà ta đã biết được x là phương án tối
ưu nhờ một cách nào đó thì mục đích của ta đã
xong.
Nếu x không phải là phương án tối ưu thì ta
tìm phương án cực biên khác tốt hơn tức là
phương án làm cho giá trị hàm mục tiêu nhỏ
hơn.
Muốn vậy ta phải xây dựng một cơ sở mới,
đơn giản nhất là thay thế một véctơ trong cơ sở
cũ bằng một véctơ nằm ngoài cơ sở cũ.

1
, , 1,
m
j
j i ij
i
z c x c x j n

=
= = 〈 〉 =
∑
Đặt:
j j j
z c∆ = −
Từ hai véctơ:
10 20 0
1 2
( ; ; ; ;0;0; ;0)
( ; ; ; )
m
j
j j mj
x x x x
x x x x
=
=

2. Định lý 1.( Dấu hiệu tối ưu)
Nếu là một
phương án cực biên của bài toán Quy
hoạch tuyến tính dạng chính tắc sao cho :

thì x là phương án tối ưu, và ngược lại.
10 20 0
( ; ; ; ;0;0; ;0)
m
x x x x=
0, 1,

j
j n∆ ≤ ∀ =

j
A
3. Định lý 2: Nếu tồn tại véctơ ngoài
cơ sở liên kết của phương án cực biên
sao cho và thì bài toán Quy
hoạch tuyến tính dạng chính tắc không có
phương án tối ưu. Rõ hơn là hàm mục tiêu
không bị chặn dưới trên tập phương án.
10 20 0
( ; ; ; ;0;0; ;0)
m
x x x x=
0
j
∆ >
0
j
x ≤

Ví dụ 1: Xét bài toán QHTT
1 2 3
1 3
2 3
( ) 6 9 min
2 6
8
0, 1,2,3.

j
f x x x x
x x
x x
x j
= + + →
+ =


+ + =

≥ =
với phương án cực biên x=(6,8,0).
Xét xem x có phải là phương án tối ưu hay
không ?
Giải:
Véctơ x có cơ sở liên kết là:
1 2
1 0
,
0 1
A A
   
= =
 ÷  ÷
   

Ta xác định các véctơ x
j
:

1 2
1 2

j m
j j mj
A x A x A x A= + + +
1 2
( ; ; ; )
j
j j mj
x x x x=
1 1 2 1 2 1
11 21
1. 0. (1,0)A x A x A A A x= + = + ⇒ =
2 1 2 1 2 2
12 22
0. 1. (0,1)A x A x A A A x= + = + ⇒ =
3 1 2 1 2 3
13 23
2. 1. (2,1)A x A x A A A x= + = + ⇒ =
1
,
m
j
j j j i ij j j
i
z c c x c c x c
=
∆ = − = − = 〈 〉 −
∑

Lần lượt thay j=1,2,3 ta có :

1
1 1 1 1
, (1,6),(1,0) 1z c c x c∆ = − = 〈 〉 − = 〈 〉 −
1.1 6.0 1 0= + − =
2
2 2 2 2
, (1,6),(0,1) 6z c c x c∆ = − = 〈 〉 − = 〈 〉 −
1.0 6.1 6 0= + − =
3
3 3 3 3
, (1,6),(2,1) 9z c c x c∆ = − = 〈 〉 − = 〈 〉 −
1.2 6.1 9 1= + − = −
Ta thấy tất cả các với mọi j. Vậy x
là phương án tối ưu và giá trị tối ưu là:
f(x)=1.6+6.8+9.0=54.
0
j
∆ ≤

Để dễ thấy ta sắp xếp các phép toán lên
bảng sau:
Cơ sở Hệ số P. án 1
x
1
6
x
2
9

x
3
A
1
A
2
1
6
6
8
1
0
0
1
2
1
f(x) 54
1
0∆ =
2 3
0 1∆ = ∆ = −
Bảng gồm 3 dòng, 6 cột. Cột một ghi cơ
liên kết của p. án x, cột hai ghi hệ số liên
kết của x, cột 3 ghi p. án x, cột 4; 5; 6 ở
dòng hai ghi toàn bộ ma trận A…

Ví dụ 2: Xét bài toán QHTT
1 2 3
1 2
2 3

( ) 7 26 9 min
2 5
7
0, 1,2,3.
j
f x x x x
x x
x x
x j
= − + →
− =


− + =

≥ =
với phương án cực biên x=(5,0,7).
Xét xem x có phải là phương án tối ưu hay
không ?
Giải:
Véctơ x có cơ sở liên kết là:
1 3
1 0
,
0 1
A A
   
= =
 ÷  ÷
   

Ta xác định các véctơ x
j
:
1 1 3 1 3 1
11 31
1. 0. (1,0)A x A x A A A x= + = + ⇒ =
2 1 3 1 3 2
12 32
2 1. ( 2, 1)A x A x A A A x= + = − − ⇒ = − −
3 1 2 1 2 3
13 23
0. 1. (0,1)A x A x A A A x= + = + ⇒ =
,
j
j j
c x c∆ = 〈 〉 −
Lần lượt thay j=1,2,3 ta có :

1
1 1 1 1
, (7,9),(1,0) 7 0z c c x c∆ = − = 〈 〉 − = 〈 〉 − =
2
2 2 2 2
,
(7,9),( 2, 1) ( 26) 3
z c c x c∆ = − = 〈 〉 − =
= 〈 − − 〉 − − =
3
3 3 3 3

, (7,9),(0,1) 9 0z c c x c∆ = − = 〈 〉 − = 〈 〉 − =
Ta thấy và .Vậy bài
toán không có phương án tối ưu. Rõ hơn
là hàm mục tiêu không bị chặn dưới trên
tập phương án.
2
0∆ >
2
( 2, 1) 0x = − − ≤

Cơ sở Hệ số P. án 7
x
1
-26
x
2
9
x
3
A
1
A
3
7
9
5
7
1
0
-2

-1
0
1
1
0∆ =
2
3∆ =
3
0∆ =
Bảng gồm 3 dòng, 6 cột. Cột một ghi cơ
liên kết của p. án x, cột hai ghi hệ số liên
kết của x, cột 3 ghi p. án x, cột 4; 5; 6 ở
dòng hai ghi toàn bộ ma trận A…

Ví dụ 3: Cho bài toán
Chứng minh là phương án cực
biên, tối ưu của bài tóan đã cho.
= − + + + →
+ + + =


− + + =


− + + =

≥ =
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4

1 2 3 4
( ) 4 3 7 8 min
3 3 4 5 21
7 6 8
2 5 2 15
0, 1,4.
j
f x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x j
( )
1,2,3,0x =
Giải: Phương án này có hệ véctơ liên kết
là
=
1
(3,7,2);A
= − −
2
(3, 1, 1);A
=
3
(4,1,5)A

Dễ thấy đây là hệ độc lập tuyến tính nên là
phương án cực biên.
− = − ≠
−

3 3 4
7 1 1 131 0
2 1 5
1 2 3
4 1 4
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
120 73 19
, ,
131 131 131
x x x
x B A
−
= = =
 
= =
 ÷
 
1 2 3
4
4 4
0
1176
, 0
131
c x c
∆ = ∆ = ∆ =
−
∆ = − = <

4. Định lý 3:

Nếu tồn tại véctơ ngoài cơ sở
liên kết của phương án cực biên
sao cho , và với mỗi j mà ta
luôn tìm được ít nhất một , thì khi
đó ta có thể tìm được một phương án cực
biên mới tốt hơn x, nghĩa là phương án
này làm cho hàm mục tiêu nhỏ hơn
phương án x.
j
A
10 20 0
( ; ; ; ;0;0; ;0)
m
x x x x=
0
j
∆ >
0
j
∆ >
0
ij
x >

Cách xây dựng phương án mới như sau:
Thay thế một véctơ trong cơ sở cũ
bằng một véctơ nằm ngoài cơ sở cũ.
Véctơ đưa vào thay thế ứng với
lớn nhất. Giả sử đó là A
k

.
0
j
∆ >
Véctơ bị thay ra là A
s
, với cách xác định
A
s
như sau:
0 0
min : 0
i s
ik
ik sk
x x
x
x x
θ
 
= > =
 
 
Trong đó x
ik
là hệ số biểu diễn của
A
k
theo cơ sở liên kết của p. án x.

Và khi đó phương án mới x
’
được
xác định theo công thức:
10 1 20 2 0
( ; ; ; ; ; ;0; ;0)
j j m mj
x x x x x x x
θ θ θ θ
′
= − − −
Phương án x
’
tốt hơn x.
Đến đây ta xem x
’
như x và kiểm tra x
’

có thỏa định lý 1, hay định lý 2 không.
Nếu không ta lại xây dựng một phương
án mới tốt hơn …
Hoặc có thể biểu diễn véctơ b theo cơ
sở mới này ta có p. án mới x
’
.

Ví dụ: Xét bài toán QHTT
1 2 3 4
1 2 4

2 3 4
( ) 2 2 0 min
4 6
2 5 8
0, 1,2,3,4.
j
f x x x x x
x x x
x x x
x j
= − + + →
+ + =


+ + + =

≥ =
Với p. án x=(6,0,8,0) cơ sở liên kết là:
1 3
1 0
,
0 1
A A
   
= =
 ÷  ÷
   
Trước tiên ta xem x có phải p. án tối
ưu hay không.

Để thuận tiện ta sắp xếp các phần tử lên
bảng và tính toán các ta có:
j
∆
Cơ
sở
Hệ số P. án 1
x
1
-2
x
2
2
x
3
0
x
4
A
1
A
3
1
2
6
8
1
0
1
2

0
1
4
5
f(x) 22 0 7 0 14
Ta thấy p. án này chưa tối ưu, và trong
số các ,các x
j
đều có hệ số dương.
Do đó có thể tìm p. án mới tốt hơn.
0
j
∆ >

Véctơ đưa vào thay thế đó là A
4
.
0 10 30
4
4 14 34
min : 0 min ,
i
i
i
x x x
x
x x x
θ
   
= > =

   
   
6 8 3
min ,
4 5 2
 
= =
 
 
10
14
x
x
=
Vậy A
1
bị thay ra.
P. Án mới x
’
được xác định như sau:
Cơ sở mới là A
3
, A
4
. Biểu thị véctơ
theo cơ sở này ta được
6
8
b
 

=
 ÷
 
6 0 4
1 3
8 1 5
2 2
b
     
= = +
 ÷  ÷  ÷
     

Từ đó ta có p. án mới là:
1 3
0,0, ,
2 2
x
 
′
=
 ÷
 
Giá trị hàm mục tiêu lúc này là:
1 3 1
( ) 0,0, , 0 2.0 2. 1
2 2 2
f x f
 
′

= = − + =
 ÷
 
Rõ ràng p. án này tốt hơn x.
Bây giờ xem x
’
như x. Ta kiểm tra xem x
’
có phải là p. án tối ưu không.

Ta xác định các véctơ x
j
:
1 3 4 3 4 1
31 41
5 1 5 1
. . ,
4 4 4 4
A x A x A A A x
− −
 
= + = + ⇒ =
 ÷
 
2 3 4 3 4 2
32 42
3 1 3 1
,
4 4 4 4
A x A x A A A x

 
= + = + ⇒ =
 ÷
 
3 3 4 3 4 3
33 43
1. 0. (1,0)A x A x A A A x= + = + ⇒ =
,
j
j j
c x c∆ = 〈 〉 −
Lần lượt thay j=1, 2, 3, 4 ta có :
4 3 4 3 4 3
34 44
0. 1. (0,1)A x A x A A A x= + = + ⇒ =