THI OLIMPIC MÔN TOÁN 11 THPT THỊ XÃ BỈM SƠN LẦN THỨ NHẤT 2009 pot

UỶ BAN NHÂN DÂN KỲ THI OLIMPIC THPT THỊ XÃ BỈM SƠN LẦN
THỊ XÃ BỈM SƠN THỨ NHẤT, NĂM 2009

Môn thi: TOÁN-Lớp: 11
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề này gồm có 01 trang)

Câu I. (4 điểm)
1) Giải phương trình:
sin
2
x + sin2xsin4x + sin3xsin9x + + sin(nx)sin(n
2
x) = 1 với n Î N*.
2) Giải hệ phương trình sau :
3 2
3 2
3 2
x 3x y 3x y 0
y 3y z 3y z 0
z 3z x 3z x 0
ì
- - + =
ï
- - + =
í
ï
- - + =
î

Câu II. (3 điểm)

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà các số
tạo thành là:
1) Số có ba chữ số khác nhau.
2) Số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 345.
Câu III. (4 điểm)
Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh a. Gọi M, N là hai điểm di động trên
hai cạnh AD' và BD sao cho AM = DN = x (
0 x a 2
£ £
). Tìm x để MN có độ dài
nhỏ nhất, lớn nhất
Câu IV. (2 điểm)
1) Cho sáu số thực a, b, c, d, e, f thỏa mãn điều kiện: ab + bc + cd + de + ef = 1.
Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
1
a b c d e f
cos
7
+ + + + + ³
p

2) Cho a;b;c là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện: a
2009
+ b
2009
+ c
2009
= 3. Tìm
giá trị lớn nhất của M = a

2
+ b
2
+ c
2
.
Câu V. (3điểm) Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 1 và u
n+1
= 6u
n
– 1.
1) Hãy tính u
2009
.
2) Tính tổng 2009 số hạng đầu tiên của dãy (u
n
).
Câu VI. (4 điểm).
1)Tính các giới hạn sau:
(
)
2
11 3
4
1 2
2

x 0
x
2
x 2009 . 1 2x 2009 sin x sin x
a / L lim ; b / L lim
x cos x
p
®
®
+ - - -
= =

2) Chứng minh rằng với d < 0 thì phương trình sau có ít nhất hai nghiệm phân
biệt: x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0.
…………….Hết…………….
(Chú ý: Thí sinh không được dùng máy tính bỏ túi)
Đề chính thức