Biến đổi fourier rời rạc (dft) - chương 5 ppt

Chng 5
BIN I FOURIER RI RC (DFT)
T.S. inh c Anh V
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 2
Gii thiu v DFT
 Bin đi Fourier liên tc
 Vn đ: X() liên tc theo tn skhông thích hp cho vic tính toán trên máy tính
∑
∞
−∞=
−
=
n
nj
enxX
ω
ω
)()(
x(n)

x(n) = 0.8
n
u(n)
Min tn s
Min thi gian
F
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 3
Lymumin tns
X()
N=10 N=10
Ly
mu
)()(
2
kXkX
N
π
ω

=≡
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 4
Ly mu min tn s
1, ,1,0)()()(
/2
2
/2
−===
∑
∞
−∞=
−
=
NkenxkXX
n
Nknj
N
Nk

π
π
πω
ω
∑
∑∑
∑∑
∑∑∑
−
=
−
−
=
−
∞
−∞=
∞
−∞=
−+
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−=
−

=⇒






−=
=
++++=
1
0
1
0
1
121
0
1
2
2
2
222
)()(
)(
)(
)()()()(
N
n
knj
p

N
n
knj
l
l
NlN
lNn
knj
N
Nn
knj
N
n
knj
Nn
knj
N
N
N
NNN
enxkX
elNnx
enx
enxenxenxkX
π
π
π
πππ
LL
∑

∞
−∞=
−=
l
p
lNnxnx )()(
vi
Thay n bng (n-lN)
 T/h x
p
(n) – lp chu k ca x(n) mi N mu – là t/h tun hoàn vi chu k c bn N
1, ,1,0)(
1
1, 1,0)(
1
0
/2
1
0
/2
−==
−==
∑
∑
−
=
−
−
=
Nkenx

N
c
Nnecnx
N
n
Nknj
pk
N
k
Nknj
kp
π
π
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 5
Ly mu min tn s
 Có th phc hi t/h x
p
(n) t các mu ca ph X()

1,,1,0)(
1
)(
1,,1,0)(
1
1
0
2
−==
−==
∑
−
=
NnekX
N
nx
NkkX
N
c
N
k
knj
p
k
N
K
K
π
n
x(n)

0L
n
x
p
(n)
0NL
N>L
n
x
p
(n)
0N
N<L
alias



−≤≤
=
others
Nnnx
nx
p
0
10)(
)(
Khi N≥L, x(n) có th đc khôi phc
t các mu ph tn s ti 
k
=2k/N

Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 6
Ly mu min tn s
 Có th phc hi X() t các mu X(k) vi k=0,1,…,N-1
– Gi s N≥L  x(n) = x
p
(n) khi 0≤n≤N-1
∑
−
=
=
1
0
/2
)(
1
)(
N
k

Nknj
ekX
N
nx
π
∑∑
∑∑∑
−
=
−
=
−−
−
=
−
−
=
∞
−∞=
−






=







==
1
0
1
0
)/2(
1
0
1
0
/2
1
)(
)(
1
)()(
N
k
N
n
nNkj
N
n
nj
N
k
Nknj

n
nj
e
N
kX
eekX
N
enxX
πω
ωπω
ω
2/)1(
1
0
)2/sin(
)2/sin(
1
111
)(
−−
−
−
−
=
−
=
−
−
==
∑

Nj
j
Nj
N
n
nj
e
N
N
e
e
N
e
N
P
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω



−=
=
=
1,,2,10
01

)(
2
Nk
k
kP
N
K
π
LNkPkXX
N
k
N
≥−=
∑
−
=
1
0
2
)()()(
π
ωω
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý

Tín Hi

uS

Side 7
Ly mu min tn s
 Tóm tt
∑
∞
−∞=
−
=
n
nj
enxX
ω
ω
)()(
x(n)
có chiu dài L≤N
B F
∑
−
=
−
=
1
0
2
)()(

N
n
knj
N
enxkX
π
Ly mu
∑
−
=
=
1
0
2
)(
1
)(
N
k
knj
N
ekX
N
nx
π
∑
−
=
−=
1

0
)()()(
N
k
k
PkXX
ωωω
∑
−
=
−
=
1
0
1
)(
N
k
nj
e
N
P
ω
ω
k
N
k
π
ω
2

=
Phc hi
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 8
Ly mu min tn s
 Ví d: x(n)=a
n
u(n), 0<a<1
– Ph t/h đc ly mu ti các tn s 
k
=2k/N, k=0, 1, …, N-1
ω
ω
ω
j
n
njn
ae
eaX

−
∞
=
−
−
==
∑
1
1
)(
0
Nkj
aeN
k
XkX
/2
1
1
)
2
()(
π
π
−
−
==
N
n
l
lNn

l
p
a
a
a
lNnxnx
−
==
−=
∑
∑
−∞=
−
∞
−∞=
1
)()(
0
a=0.8
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS


Side 9
Bin đi Fourier ri rc (DFT)
 Chui không tun hoàn, nng lng hu hn x(n)
 Các mu tn s X(2k/N), k=0, 1,…,N-1 không đc trng cho x(n) khi x(n) có
chiu dài vô hn
 Nó đc trng cho chui tun hoàn, chu k N x
p
(n)
 x
p
(n) là lp tun hoàn ca x(n) nu x(n) có chiu dài hu hn L ≤ N
 Do đó, các mu tn s X(2k/N), k=0, 1,…,N-1 đc trng cho chui chiu dài
hu hn x(n); i.e. X(n) có th đc phc hi t các mu tn s {X(2k/N)}
 x(n)=x
p
(n) trên mt chu k N (đc đm vào N-L zero). Mc dù L mu ca
X() có th tái to li đc X(), nhng vic đm vào N-L zero giúp vic tính
toán DFT N đim ca X() đng nht hn
1,,1,0
)()(
1
0
2
−=
=
∑
−
=
−

Nk
enxkX
N
n
knj
N
K
π
1,,1,0
)(
1
)(
1
0
2
−=
=
∑
−
=
Nn
ekX
N
nx
N
k
knj
N
K
π

DFT
IDFT
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 10
Bin đi Fourier ri rc (DFT)
 Ví d: xác đnh DFT N đim ca chui x(n) có đ dài L hu hn (N≥L)



−≤≤
=
others
Ln
nx
0
101
)(
2/)1(
1

0
)2/sin(
)2/sin(
1
1
)()(
−−
−
−
−
=
−
∞
−∞=
−
=
−
−
=
==
∑∑
Lj
j
Lj
L
n
nj
n
nj
e

L
e
e
eenxX
ω
ω
ω
ωω
ω
ω
ω
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 11
Bin đi Fourier ri rc (DFT)
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X


L
ý
Tín Hi

uS

Side 12
DFT – B tuyn tính
1,,1,0
)()(
1
0
−=
=
∑
−
=
Nk
WnxkX
N
n
kn
N
K
1,,1,0
)(
1
)(
1

0
−=
=
∑
−
=
−
Nn
WkX
N
nx
N
n
kn
N
K
DFT
IDFT
1,,1,0
)()(
1
0
2
−=
=
∑
−
=
−
Nk

enxkX
N
n
knj
N
K
π
1,,1,0
)(
1
)(
1
0
2
−=
=
∑
−
=
Nn
ekX
N
nx
N
k
knj
N
K
π
Nghim th N ca đn v

Nj
N
eW
/2
π
−
=
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 13
DFT – B tuyn tính
 B DFT N đim













−
=












−
=
)1(
)1(
)0(
)1(
)1(
)0(
NX
X
X
X

Nx
x
x
x
NN
MM
















=
−−−−
−
−
)1)(1()1(21
)1(242
12
1

1
1
1111
NN
N
N
N
N
N
N
NNN
N
NNN
N
WWW
WWW
WWW
W
L
MMMM
L
L
L
Ma trn
B tuyn tính
NNN
XWx
1−
=
NN

N
N
XWx
*
1
=
NNN
N
N
N
NIWW
WW
=
=
−
*
*
1
1
NNN
xWX =
W
N
là ma trn
đng chéo
Các mu min
thi gian
Các mu min
tn s
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM

Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 15
DFT – Quan h vi các phép B khác
 Vi h s Fourier ca chui chu k
 Vi B Fourier ca chui không chu k
– DFT N đim cho ph vch ca chui không chu k x(n) nu x(n) hu hn có
đ dài L ≤ N
 SV xem thêm mi quan h gia DFT và B Z; gia DFT và h s Fourier ca
t/h LTTG
1,,1,0
)()(
1
0
2
−=
=
∑
−
=
−

Nk
enxkX
N
n
knj
N
K
π
1,,1,0
)(
1
)(
1
0
2
−=
=
∑
−
=
Nn
ekX
N
nx
N
n
knj
N
K
π

1,,1,0
)(
1
1
0
2
−=
=
∑
−
=
−
Nk
enx
N
c
N
n
knj
pk
N
K
π
∞≤≤∞−
=
∑
−
=
n
ecnx

N
k
knj
kp
N
1
0
2
)(
π
Chui {x
p
(n)} tun hoàn chu k N DFT N đim ca chui x(n)
DFT N đim cho chính xác
ph vch ca chui
tun hoàn chu k N
X(k) = Nc
k
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS


Side 16
DFT – Biudintínhiu
x(n) = {1 2 3 4}
Dng thng Dng vòng
x(n)
x(0)
x(1)
x(2)
x(3)
DngÂm
n
-2 -1 0 1 2
n=-1
n=1
Chiu dng
Chiu âm
n=0
01 23
n
1
2
3
4
x(n)
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X


L
ý
Tín Hi

uS

Side 17
DFT – Biu din tín hiu theo vòng
 Chui tun hoàn chu k N, m rng t x(n)
 Chui dch x
p
(n) đi k mu
 Chui có chiu dài hu hn t x’
p
(n)
 Quan h gia x(n) và x’(n): dch vòng
∑
∞
−∞=
−=
n
p
lNnxnx )()(
∑
∞
−∞=
−−=−=
l
pp
klNnxknxnx )()()(

'





−≤≤
=
otherwise
Nnnx
nx
p
0
10)(
)('
'
x’(n) = x(n-k, MOD N)  x((n-k))
N
0123
4
1
2
3
0123
4
1
2
3
4567
4

1
2
3
-4 -3-2-1
4
1
2
3
8123
4
1
2
3
4567
4
1
2
3
-2 -1 0
4
1
2
3
9
0123
4
1
2
3
x(n)

x(3)
x(0)
x(1)
x(2)
3
4
2
1
x’(n)
x’(3)
x’(0)
x’(1)
x’(2)
1
2
4
3
x
p
(n)x(n) x
p
(n-2)
x’(n)
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L

ý
Tín Hi

uS

Side 18
DFT – Tính đi xng vòng
 Phép dch vòng ca mt chui N đim tng đng vi phép dch
tuyn tính ca chui m rng tun hoàn ca nó
 Chui N đim là chn theo vòng nu nó đi xng qua đim 0 trên
vòng tròn
– i.e. x(N-n) = x(n), 0 ≤ n ≤ N-1
 Chui N đim là l theo vòng nu nó phn đi xng qua đim 0
trên vòng tròn
– i.e. x(N-n) = -x(n), 0 ≤ n ≤ N-1
 o theo thi gian ca chui N đim: đo các mu ca chui
quanh đim 0 trên vòng tròn
– i.e. x((-n))N = x(N-n), 0≤n≤N-1
– Phép đo đc thc hin bng cách v x(n) theo chiu kim
đng h
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi


uS

Side 19
DFT – Tính đi xng vòng
 Gi s x(n) và B DFT X(k) là t/h phc
– x(n) = x
R
(n) + jx
I
(n), 0≤n≤N-1
– X(k) = X
R
(k) + jX
I
(k), 0≤k≤N-1
 Nu x(n) thc: X(N-k) = X*(k) = X(-k)
và
 Nu x(n) thc và chn: x(n) = x(N-n) → X
I
(k) = 0
 Nu x(n) thc và l: x(n) = -x(N-n) → X
R
(k) = 0
 Nu x(n) thun o: x(n) = jx
I
(n)
[]
[]








−−=
+=
∑
∑
−
=
−
=
1
0
22
1
0
22
cos)(sin)()(
sin)(cos)()(
N
n
N
kn
I
N
kn
RI
N

n
N
kn
I
N
kn
RR
nxnxkX
nxnxkX
ππ
ππ
[]
[]







+=
−=
∑
∑
−
=
−
=
1
0

22
1
0
22
cos)(sin)(
1
)(
sin)(cos)(
1
)(
N
k
N
kn
I
N
kn
RI
N
k
N
kn
I
N
kn
RR
kXkX
N
nx
kXkX

N
nx
ππ
ππ
)()()()( kXkNXkXkNX −∠=−∠=−
∑
−
=
=
1
0
2
cos)()(
N
n
N
kn
nxkX
π
∑
−
=
=
1
0
2
cos)(
1
)(
N

k
N
kn
kX
N
nx
π
∑
−
=
−=
1
0
2
sin)()(
N
n
N
kn
nxjkX
π
∑
−
=
=
1
0
2
sin)(
1

)(
N
k
N
kn
kX
N
jnx
π
∑∑
−
=
−
=
==
1
0
2
1
0
2
cos)()(sin)()(
N
n
N
kn
II
N
n
N

kn
IR
nxkXnxkX
ππ
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 20
DFT – Tính cht
 Tun hoàn
 Tuyn tính
 Tng chp vòng



∀+=
∀+=
⇒
→←
kNkxkX
nNnxnx

kXnx
N
DFT
)()(
)()(
)()(
)()()()(
)()(
)()(
22112211
22
11
kXakXanxanxa
kXnx
kXnx
N
N
N
DFT
DFT
DFT
+→←+⇒





→←
→←
)()()()(

)()(
)()(
2121
22
11
kXkXnxnx
kXnx
kXnx
N
N
N
DFT
DFT
DFT
→←⊗⇒





→←
→←
N
Tng chp vòng N đim
N
1,,1,0))(()()()(
1
0
2121
−=−=⊗

∑
−
=
Nnknxkxnxnx
N
k
N
K
N
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 21
DFT – Tng chp vòng
∑∑∑
∑∑∑
∑
∑
−
=
−−

−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
=












=

=
=
=
1
0
)(
1
0
1
0
21
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
21
1
0
2
222
2
2
)()(
1

)()(
1
)()(
1
)(
1
)}
(
{
)
(
N
k
lnmkj
N
n
N
l
N
k
kmj
N
l
klj
N
n
knj
N
k
kmj

N
k
kmj
N
NNN
N
N
elxnx
N
eelxenx
N
ekXkX
N
ekX
N
k
X
I
DF
T
m
x
π
πππ
π
π



−=⇔=−−

=⇒
=−⇒==⇒≠
∈=−−=
=





≠
−
−
=
=
∑
∑
−
=
−−
−−
−
=
otherwise
nmlpNlnmN
a
aeaa
ZppNlnmkhia
eadoTrong
a
a

a
aN
a
N
N
k
k
NlnmjN
lnmj
N
N
k
k
N
0
))((
0111
,:,1
1
1
1
1
1
0
)(2
)(
1
0
2
π

π
1,,1,0))(()()(
1,,1,0))(()()(
1
0
21
1
0
21
−=−=
−=−=
∑
∑
−
=
−
=
Nnknxkxnx
Nmnmxnxmx
N
k
N
N
n
N
K
K
)()()()(
)()(
)()(

21
22
11
kXkXkXmx
kXnx
kXnx
N
N
N
DFT
DFT
DFT
=→←





→←
→←
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi


uS

Side 24
DFT – Tính cht
 o theo thi gian
 Dch vòng theo thi gian
 Dch vòng theo tn s
 Liên hp phc
)())(()())((
)()(
kNXkXnNxnx
kXnx
N
DFT
N
DFT
N
N
−=−→←−=−⇒
→←
Nklj
DFT
N
DFT
ekXlnx
kXnx
N
N
/2
)())((

)()(
π
−
→←−⇒
→←
N
DFT
Nnlj
DFT
lkXenx
kXnx
N
N
))(()(
)()(
/2
−→←⇒
→←
π





→←−=−
−=−→←
⇒
→←
)()())((
)())(()(

)()(
***
***
kXnNxNnx
kNXkXnx
kXnx
N
N
N
DFT
N
DFT
DFT
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 25
DFT – Tính cht
 Tng quan vòng
 Nhân 2 chui
 nh lý Parseval

)()()()(
)()(
)()(
*
~~
kYkXkRlr
kYny
kXnx
xy
DFT
xy
DFT
DFT
N
N
N
=→←⇒
→←
→←
∑
−
=
−=
1
0
*
~
))(()()(
N
n

N
xy
lnynxlr
)()()()(
)()(
)()(
21
1
21
22
11
kXkXnxnx
kXnx
kXnx
N
DFT
DFT
DFT
N
N
N
⊗→←⇒





→←
→←
N

∑∑
−
=
−
=
=⇒
→←
→←
1
0
*
1
0
*
)()()()(
)()(
)()(
N
k
N
n
DFT
DFT
kYkXnynx
kYny
kXnx
N
N
vi
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM

Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 26
 Y() = H()X()
– Hàm liên tc theo tn s
– Khó thc hin trên các máy tính s
 DFT: mt cách tính hiu qu ca tng chp min thi gian
 Lc tuyn tính
– Tín hiungn
DFT – Lc tuyn tính
h(n)
x(n) y(n)
x(n) chiu dài = L (n=0,1,…,L-1)
h(n) chiu dài = M (n=0,1,…,M-1)
∑
−
=
−=
1
0
)()()(

M
k
knxkhny
y(n) chiu dài N = M+L-1
S mu ph (tn s) cn thit đ biu din duy nht chui y(n) ≥ L+M-1
Y(k) = H(k)X(k), k=0,1,…,N-1
H(k), X(k): DFT N đim ca h(n), x(n)
(các s 0 đc đm vào đ tng kích thc chui lên N)
y(n) = IDFTN{Y(k)}
•Tng chp vòng N đim ca h(n) và x(n)
tng đng vi tng chp tuyn tính ca h(n) vi x(n).
•DFT có th đc dùng đ lc tuyn tính
(bng cách đm thêm các s 0 vào chui tng ng)
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 29
DFT – Lc tuyn tính
 Tín hiunhp dài: chia nh x(n) thành tng block có đ dài c đnh
– Overlap-Save
– Overlap-Add

 PP Overlap-Save
– DFT
N
và IDFT
N
vi N = L+M-1
– Mi block d liu đc x lý bao gm M-1 đim ca block trc và L đim
mi ca t/h nhp
 M-1 đim ca block đu tiên đc set bng 0
– áp ng xung ca b lc đc đm thêm L-1 s 0 đ tng chiu dài lên N
 DFT ca N đim ca h(n) đc tính mt ln duy nht
B lc có h(n): chiu dài M
T/h nhp x(n): đc chia nh thành tng block
có chiu dài L >> M
Input
M-1
Add M-1 zeros
x
1
(n)
x
2
(n)
x
3
(n)
Output
LL
L
M-1 L

M-1 L
M-1 L
M-1 L
M-1 L
M-1 L
Discard
Input
M-1
Add M-1 zeros
x
1
(n)
x
2
(n)
x
3
(n)
Output
LL
L
M-1 L
M-1 L
M-1 L
M-1 L
M-1 L
M-1 L
Discard
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin

g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 31
DFT – Lc tuyn tính
Input
M-1
x
1
(n)
x
2
(n)
x
3
(n)
Output
L
M-1L
M-1L
M-1L
M-1L
M-1L

+
+
zeros
 PP Overlap-Add
– m thêm M-1 s không vào mi block d liu đu vào
Phng pháp hiu qu hn dùng đ xác đnh b lc tuyn tính
đc trình bày trong chng 6
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 32
DFT – Phân tích tn s
 T/h ngn
– Tính DFT t x(n)
 T/h dài
– Cas hoá
Ca s ch nhtCa s Hanning



−≤≤

=
otherwise
Ln
nw
0
101
)(



−≤≤−
=
−
otherwise
Lnn
nw
L
0
10)cos1(
)(
1
2
2
1
π
x(n): t/h cn phân tích
Gii hn chiu dài chui mt khong L mu
⇔ Nhân chui vi ca s chiu dài L
x
w

(n) = x(n)w(n)
w(n): hàm ca s
Hàm ca s có chiu dài L
ch phân bit đc
nu các tn s cách nhau
ít nht mt đon
L
π
ω
2
=∆
Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM
Bài Gin
g
Môn:
X

L
ý
Tín Hi

uS

Side 33
DFT – Phân tích tn s
 Ví d
nnnx
21
coscos)(
ω

ω
+=
[]
)()()()()(
2121
2
1
^
ωωωωωωωωω
++++−+−= WWWWX
L=25
L=75
L=50
L=100

1
=0.2

2
=0.22



−≤≤
=
otherwise
Ln
nw
0
101

)(
Rò r công sut