Cấu trúc cây trong đồ thị vô hướng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRỊNH THỊ THANH GIANG
CẤU TRÚC CÂY
TRONG ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRỊNH THỊ THANH GIANG
CẤU TRÚC CÂY
TRONG ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TSKH. Phan Thị Hà Dương
Thái Nguyên - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
Lời cảm ơn 3
Mở đầu 4
1 Một số khái niệm cơ bản về đồ thị 6
1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Một số đơn đồ thị đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Đồ thị đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Đồ thị vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Đồ thị bánh xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Đồ thị hai phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.5 Đồ thị phân đôi đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Các đồ thị mới từ đồ thị cũ . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Tính liên thông trong đồ thị vô hướng . . . . . . . . . . 10
2 Cấu trúc cây 12
2.1 Định nghĩa cây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Các tính chất của cây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Cây bao trùm của đồ thị đầy đủ 15
3.1 Cây bao trùm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Cây bao trùm của đồ thị đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Một số thuật toán xây dựng cây bao trùm của đồ thị vô
hướng liên thông 22
4.1 Thuật toán tìm kiếm ưu tiên chiều sâu . . . . . . . . . . 22
4.2 Thuật toán tìm kiếm ưu tiên chiều rộng . . . . . . . . . 25
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Kết luận 33
Tài liệu tham khảo 34
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Lời cảm ơn
Trong quá trình làm luận văn, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ
từ các thầy cô giáo cùng gia đình. Nhân dịp này cho phép tôi được bày
tỏ những lời cảm ơn chân thành nhất tới những người đã giúp đỡ tôi
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới TS.
Phan Thị Hà Dương - Viện Toán Học Việt Nam đã tận tình giảng dạy,
chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả các thầy cô giáo trong Trường
Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên và các thầy cô giáo Viện
Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã trực tiếp giảng

dạy và trang bị cho tôi những kiến thức cơ bản trong suốt quá trình tôi
học tập tại trường.
Tôi xin cảm ơn tới Sở GD - ĐT Tỉnh Hà Giang, Ban Giám Hiệu, các
đồng nghiệp Trường THPT Đồng Yên - Bắc Quang - Hà Giang đã tạo
điều kiện cho tôi học tập và hoàn thành kế hoạch học tâp.
Những lời cảm ơn cuối cùng tôi gửi tới những người thân yêu nhất
trong gia đình tôi đã giúp đỡ, chia sẻ, cũng như động viên tôi rất nhiều
để tôi vượt qua khó khăn và đạt được những kết quả trong học tập và
công tác như hiện nay.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Mở đầu
Lí thuyết đồ thị là ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại
có nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của nó được đưa ra
từ thế kỉ XVIII bởi nhà toán học Thụy sĩ tên là Leonhard Euler. Ông
đã dùng đồ thị để giải quyết bài toán cầu K¨onigsberg nổi tiếng.
Lí thuyết đồ thị được ứng dụng rất nhiều trong thực tế. Rất nhiều
bài toán thuộc nhiều ứng dụng khác nhau được giải bằng mô hình đồ
thị.
Một loại đồ thị đặc biệt được gọi là cây. Khái niệm cây đã được dùng
từ năm 1857, khi nhà toán học Anh, Arthur Cayley dùng cây để xác
định những dạng khác nhau của hợp chất hóa học. Từ đó cây đã được
dùng để giải nhiều bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Luận văn trình bày một số khái niệm cơ bản về đồ thị, cây và một số
tính chất của cây, trình bày công thức tính số cây bao trùm của đồ thị
đầy đủ n đỉnh được đánh nhãn và một số thuật toán tìm cây bao trùm
của đồ thị.
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm 4 chương.
Chương 1 Một số khái niệm cơ bản về đồ thị
Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản về đồ thị và các ví dụ

minh họa.
Chương 2 Cấu trúc cây
Chương này trình bày định nghĩa cây và các tính chất của cây.
Chương 3 Cây bao trùm của đồ thị đầy đủ
Chương này trình bày về cây bao trùm của đồ thị, cây bao trùm của
đồ thị đầy đủ, công thức tính số cây bao trùm của đồ thị đầy đủ, thuật
toán mã hóa Pr¨ufer và thuật toán giải mã Pr¨ufer.
Chương 4 Một số thuật toán xây dựng cây bao trùm của đồ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
thị vô hướng liên thông
Chương này trình bày về hai thuật toán tìm cây bao trùm của đồ thị:
Thuật toán tìm kiếm ưu tiên chiều sâu và thuật toán tìm kiếm ưu tiên
chiều rộng.
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2011.
Người thực hiện
Trịnh Thị Thanh Giang
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Chương 1
Một số khái niệm cơ bản về đồ thị
Ta hiểu Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối
các đỉnh đó. Người ta phân loại đồ thị tùy theo đặc tính và số các cạnh
nối các cặp đỉnh của đồ thị. Trong chương này chúng tôi chỉ đưa ra các
khái niệm về đồ thị vô hướng và các ví dụ minh họa.
Chương này gồm bốn mục: Trong mục 1.1, chúng tôi trình bày một số
định nghĩa về đồ thị vô hướng. Mục 1.2 trình bày một số đơn đồ thị đặc
biệt. Mục 1.3 trình bày về các đồ thị mới từ đồ thị cũ. Mục 1.4 trình bày
về tính liên thông trong đồ thị vô hướng. Các kiến thức trong chương
này được tham khảo từ chương 8 trong sách [1].

1.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Một đơn đồ thị G = (V, E) gồm một tập không
rỗng V là tập các đỉnh và một tập E là tập các cạnh, đó là các cặp không
sắp thứ tự của các đỉnh phân biệt.
Ví dụ 1.1. Đồ thị trong hình 1 là một đơn đồ thị.
Định nghĩa 1.2. Một đa đồ thị G=(V, E) gồm một tập các đỉnh V,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
một tập các cạnh E và một hàm f từ E tới {{u, v}|u, v ∈ V , u = v}. Các
cạnh e
1
và e
2
được gọi là cạnh song song hay cạnh bội nếu f (e
1
) = f (e
2
).
Ví dụ 1.2. Đồ thị trong hình 2 là một đa đồ thị.
Đinh nghĩa 1.3. Hai đỉnh u và v trong một đồ thị vô hướng G
được gọi là liền kề (hay láng giềng) nếu {u, v} là một cạnh của G. Nếu
e = {u, v } thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và v. Cạnh e cũng
được gọi là cạnh nối các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v được gọi là các
điểm đầu mút của cạnh {u, v }.
Định nghĩa 1.4. Bậc của một đỉnh trong đồ thị vô hướng là số các
cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên tại một đỉnh được tính hai lần cho
bậc của nó. Người ta kí hiệu bậc của đỉnh v là deg(v).
Ví dụ 1.3. Trong hình 3, deg(a) = 0, deg(b) = 3, deg(c) = 5, deg(d)
= 3, deg(e) = 3, deg(f) = 2.
1.2 Một số đơn đồ thị đặc biệt

1.2.1 Đồ thị đầy đủ
Đồ thị đầy đủ n đỉnh, kí hiệu là K
n
, là một đơn đồ thị chứa đúng một
cạnh nối mỗi cặp đỉnh phân biệt. Các đồ thị K
n
với n=1, 2, 3, 4, 5 được
biểu diễn trên hình 4.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
1.2.2 Đồ thị vòng
Đồ thị vòng C
n
, n  3, là một đồ thị có n đỉnh v
1
, v
2
, , v
n
và các cạnh
{v
1
, v
2
}, {v
2
, v
3
}, , {v
n−1

, v
n
} và {v
n
, v
1
}. Các vòng C
3
, C
4
, C
5
, C
6
biểu
diễn trên hình 5.
1.2.3 Đồ thị bánh xe
Khi thêm một đỉnh vào vòng C
n
, với n  3 và nối đỉnh này với mỗi
một trong n đỉnh của C
n
bằng những cạnh mới, ta sẽ nhận được đồ thị
hình bánh xe W
n
. Các đồ thị hình bánh xe W
3
, W
4
, W

5
, W
6
được biểu
diễn trên hình 6.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
1.2.4 Đồ thị hai phần
Một đơn đồ thị G được gọi là đồ thị hai phần nếu tập các đỉnh V có
thể phân thành hai tập con không rỗng, rời nhau V
1
và V
2
sao cho mỗi
cạnh của đồ thị nối một đỉnh của V
1
với một đỉnh của V
2
.
Ví dụ 1.4. Đồ thị trong hình 7 là đồ thị hai phần, vì các đỉnh của
nó là hợp của hai tập rời nhau {a, d, f} và {b, c, e} và mỗi cạnh của đồ
thị nối một đỉnh của tập con này với một đỉnh của tâp con kia.
1.2.5 Đồ thị phân đôi đầy đủ
Đồ thị phân đôi đầy đủ K
m,n
là đồ thị có tập đỉnh được phân thành
hai tập con tương ứng có m đỉnh và n đỉnh và có một cạnh giữa hai đỉnh
nếu và chỉ nếu một đỉnh thuộc tập con này và đỉnh thứ hai thuộc tập
con kia. Các đồ thị phân đôi đầy đủ K
2 ,3

, K
3 ,3
, K
2 ,6
được biểu diễn trên
hình vẽ sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
1.3 Các đồ thị mới từ đồ thị cũ
Định nghĩa 1.5. Đồ thị con của đồ thị G = (V, E) là đồ thị H=(W,
F), trong đó W ⊆ V và F ⊆ E .
Ví dụ 1.5. Trong hình 9, đồ thị H là đồ thị con của đồ thị G.
Định nghĩa 1.6. Hợp của hai đơn đồ thị G
1
= (V
1
, E
1
) và
G
2
= (V
2
, E
2
) là một đơn đồ thị có tập các đỉnh là V
1
∪ V
2
và tập

các cạnh là E
1
∪ E
2
. Ta kí hiệu hợp của các đồ thị G
1
và G
2
là G
1
∪ G
2
.
Ví dụ 1.6. Trong hình 10, đồ thị E là hợp của hai đồ thi G và H.
1.4 Tính liên thông trong đồ thị vô hướng
Định nghĩa 1.7. Đường đi độ dài n từ u tới v, với n là một số nguyên
không âm trong một đồ thị vô hướng là một dãy các cạnh e
1
, e
2
, , e
n
của
đồ thị sao cho f (e
1
) = {x
0
, x
1
}, f (e

2
) = {x
1
, x
2
}, , f (e
n
) = {x
n−1
, x
n
},
với x
0
= u và x
n
= v. Khi đồ thị là đơn ta kí hiệu đường đi này bằng dãy
các đỉnh x
0
, x
1
, , x
n
(vì danh sách các đỉnh này xác định duy nhất một
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
đường đi). Đường đi được gọi là một chu trình nếu nó bắt đầu và kết
thúc tại cùng một đỉnh, tức là u=v. Đường đi hoặc chu trình khi đó gọi
là đi qua các đỉnh x
1

, x
2
, , x
n−1
hay ngang qua các cạnh e
1
, e
2
, , e
n
.
Đường đi hay chu trình gọi là đơn nếu nó không đi qua cùng một cạnh
quá một lần.
Định nghĩa 1.8. Một đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu có
đường đi giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của đồ thị.
Ví dụ 1.7. Trong hình 11, đồ thi G liên thông vì giữa mọi cặp đỉnh
phân biệt đều có đường đi. Đồ thị H không liên thông, chẳng hạn, không
có đường đi giữa đỉnh 1 và đỉnh 4.
Một đồ thị không liên thông là hợp của hai hay nhiều đồ thị con liên
thông, mỗi cặp các đồ thị con này không có đỉnh chung. Các đồ thị con
liên thông rời nhau như vậy được gọi là các thành phần liên thông
của đồ thị đang xét.
Ví dụ 1.8. Trong hình 12, đồ thị H không liên thông, là hợp của ba
đồ thị con liên thông rời nhau H1, H2, H3. Ba đồ thị con này là ba thành
phần liên thông của H.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Chương 2
Cấu trúc cây
Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa cây và các tính chất

của cây. Chương gồm hai mục: Trong mục 2.1 là định nghĩa về cây và
ví dụ minh họa. Mục 2.2 trình bày các tính chất của cây và chứng minh
các tính chất đó. Các kiến thức trong chương này được tham khảo từ
chương 9 trong sách [1].
2.1 Định nghĩa cây
Cây là một đồ thị vô hướng, liên thông và không có chu trình.
Ví dụ 2.1. Trong hình 13, G là một cây vì G liên thông và không có
chu trình, H không là một cây vì H chứa chu trình đơn, ví dụ như chu
trình 1, 7, 2, 6, 1.
2.2 Các tính chất của cây
Định lí 2.1. Cho G = (V, E) là một đơn đồ thị vô hướng. Các mệnh
đề sau là tương đương:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
1. G là một cây.
2. G không chứa chu trình và|V | = |E| + 1.
3. G liên thông và |V | = |E| + 1.
4 .G liên thông nhưng nếu xóa đi một cạnh bất kỳ của G thì đồ thị
nhận được không liên thông nữa.
5. Giữa hai đỉnh bất kì của G có một và chỉ một đường đi.
6. G không chứa chu trình nhưng nếu thêm vào G một cạnh bất kì
thì đồ thị nhận được sẽ có chu trình.
Chứng minh:
• 1 =⇒ 2: Theo định nghĩa của cây thì G không chứa chu trình.
Ta sẽ chứng minh |V | = |E| + 1 bằng phương pháp quy nạp. Giả sử
G có n đỉnh, ta cần chứng minh G có n − 1 cạnh.
Rõ ràng khẳng định trên đúng với n = 1.
Giả sử khẳng định đúng với n − 1.
Ta phải chứng minh khẳng định đúng với n.
Trươc hết ta nhận thấy rằng mọi cây có n đỉnh đều tìm được ít nhất

1 đỉnh có bậc bằng 1. Thật vậy, gọi v
1
, v
2
, , v
k
là đường đi dài nhất
(theo số cạnh) trong G. Khi đó rõ ràng v
1
, v
k
là các đỉnh có bậc 1, vì
từ v
1
(hoặc v
k
) không có cạnh nối với bất cứ đỉnh nào trong các đỉnh
v
2
, v
3
, , v
k
(hoặc v
1
) (do đồ thị không chứa chu trình), cũng như bất cứ
đỉnh nào khác của đồ thị (do đường đi đang xét là dài nhất). Loại bỏ v
1
và cạnh (v
1

, v
2
) khỏi G, ta thu được cây G
1
với n − 1 đỉnh, mà theo giả
thiết quy nạp có n − 2 cạnh. Vậy G có n − 2 + 1 = n − 1 cạnh.
• 2 =⇒ 3: Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử G không
liên thông. Khi đó G phân rã thành k  2 thành phần liên thông
G
1
, G
2
, , G
k
. Do G không chứa chu trình nên mỗi G
i
(i = 1, , k)
cũng không chứa chu trình vì thế mỗi G
i
là một cây. Do đó, nếu gọi |V
i
|
và |E
i
| theo thứ tự là số đỉnh và số cạnh của G
i
, ta có: |V
i
| = |E
i

| + 1
(i = 1, , k).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Suy ra
|V | − 1 = |E| = |E
1
| + |E
2
| + + |E
k
|
= |V
1
| + |V
2
| + + |V
k
| − k
= |V | − k
< |V | − 1
Mâu thuẫn trên chứng tỏ G liên thông.
• 3 =⇒ 4: Việc loại bỏ một cạnh bất kỳ khỏi G dẫn đến đồ thị với n
đỉnh và n − 2 cạnh rõ ràng là đồ thị không liên thông.
• 4 =⇒ 5: Do G là liên thông nên hai đỉnh bất kỳ của nó được nối
với nhau bởi một đường đi.
Giả sử tồn tại hai đỉnh của G có hai đường đi khác nhau nối chúng,
thì từ đó suy ra đồ thị chứa chu trình. Khi đó nếu xóa đi một cạnh (a, b)
bất kì thuộc chu trình đó thì đồ thị nhận được vẫn liên thông.
Thật vây: Giả sử là chu trình a = v

0
, v
1
, , b = v
k
, v
m
, v
0
. Với hai
đỉnh c, d bất kì của G ta có:
+) Nếu đường đi từ c đến d không chứa cạnh (a, b) thì hiển nhiên vẫn
tồn tại đường đi từ c đến d.
+) Nếu đường đi từ c đến d chứa cạnh (a, b) thì sau khi xóa (a, b) vẫn
tồn tại đường đi từ c đến d là: từ c đi đến a và đi qua v
1
, , b = v
k
, , v
m
và đi đến d.
Vậy sau khi xóa một cạnh của G thì đồ thị nhận được vẫn liên thông
(mâu thuẫn với giả thiết (4)). Do đó chỉ có một và chỉ một đường đi
giữa 2 đỉnh bất kì của G.
• 5 =⇒ 6: G không chứa chu trình, vì nếu có chu trình thì sẽ tìm
được cặp đỉnh của G được nối với nhau bởi hai đường đi. Bây giờ, nếu
thêm vào G một cạnh e nối hai đỉnh u và v nào đó của G. Khi đó cạnh
này cùng với đường đi nối u với v sẽ tạo thành chu trình trong G.
• 6 =⇒ 1: Giả sử G không liên thông. Khi đó gồm ít ra là 2 thành
phần liên thông. Vì vậy, nếu thêm vào G một cạnh nối hai đỉnh thuộc

hai thành phần liên thông khác nhau ta không thu được thêm một chu
trình nào cả. Điều đó mâu thuẫn với giả thiết (6). Vậy G là một cây.
Định lý được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Chương 3
Cây bao trùm của đồ thị đầy đủ
Chương này bao gồm hai mục: Trong mục 3.1, chúng tôi trình bày
định nghĩa cây bao trùm. Mục 3.2 trình bày về cây bao trùm và công
thức tính số cây bao trùm của đồ thị đầy đủ được gán nhãn, thuật toán
mã hóa Pr¨ufer và giải mã Pr¨ufer. Các kiến thức trong chương này được
tham khảo từ [1] và [3].
3.1 Cây bao trùm
Định nghĩa 3.1. Cho G là một đồ thị. Một cây được gọi là cây bao
trùm của G nếu nó là một đồ thị con của G và chứa tất cả các đỉnh của
G.
Ví dụ 3.1. Trong hình 14, H, K là các cây bao trùm của G.
Cây bao trùm của đồ thị liên thông G cũng có thể được định nghĩa
như một đồ thị con không có chu trình lớn nhất, hay một đồ thị con liên
thông nhỏ nhất của G.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
3.2 Cây bao trùm của đồ thị đầy đủ
Câu hỏi đặt ra là có bao nhiêu cây bao trùm của một đồ thị đầy đủ
n đỉnh được gán nhãn? Để trả lời câu hỏi này trước hết chúng ta làm ví
dụ sau.
Ví dụ 3.2. Tìm các cây bao trùm của đồ thị K
4
trong hình 15?
Giải: Tất cả có 16 cây bao trùm của K

4
được cho trong hình vẽ sau:
Năm 1889, Cayley đã tìm ra công thức nổi tiếng: có n
n−2
cây bao
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
trùm của đồ thị đầy đủ K
n
được gán nhãn. Có nhiều chứng minh của
công thức này. Chứng minh đầu tiên của công thức Cayley là do Pr¨ufer.
Ý tưởng chứng minh của Pr¨ufer là tìm sự tương ứng một - một giữa tập
các cây bao trùm của đồ thị đầy đủ K
n
được gán nhãn và tập các dãy
số Pr¨ufer có độ dài n − 2 được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 3.2. Một dãy số Pr¨ufer có độ dài n − 2, với n  2, là
dãy bất kì các số nguyên từ 1 đến n, các chữ số có thể được lặp lại.
Bổ đề 3.1. Có n
n−2
dãy số Pr¨ufer có độ dài n − 2.
Chứng minh: Theo định nghĩa có n cách chọn mỗi phần tử của một
dãy số Pr¨ufer có độ dài n − 2. Khi đó có n − 2 phần tử được chọn, vậy
tổng cộng chúng ta có n
n−2
cách chọn toàn bộ dãy số.
Ví dụ 3.3. Tập các dãy số Pr¨ufer có độ dài 2 là: {(1, 1), (1, 2), (1,
3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1),
(4, 2), (4, 3), (4, 4)}. Tổng cộng có 4
4−2

= 16 dãy số Pr¨ufer có độ dài 2.
Cho một cây có nhãn với các đỉnh được gán nhãn bởi 1, 2, , n, thuật
toán mã hóa Pr¨ufer cho ra một dãy số Pr¨ufer duy nhất có độ dài n−2.
Nó khởi tạo với một dãy số rỗng. Nếu cây có nhiều hơn 2 đỉnh, thuật
toán tìm thấy lá với nhãn nhỏ nhất, và thêm vào dãy số nhãn của đỉnh
kề với lá đó. Sau đó lá với nhãn nhỏ nhất đó sẽ bị xóa khỏi cây. Quá
trình này được lặp lại n−2 lần cho đến khi cây chỉ còn lại 2 đỉnh. Thuật
toán kết thúc sau khi xóa n − 2 đỉnh. Do đó, dãy số thu được có chiều
dài là n − 2.
Ta có thuật toán mã hóa Pr¨ufer như sau:
Thuật toán: MÃ HÓA PR
¨
UFER
Đầu vào: Cây có nhãn với các đỉnh được gán nhãn bởi 1, 2, , n.
Đầu ra: Một dãy số Pr¨ufer.
Lặp n − 2 lần.
v ← lá với nhãn thấp nhất.
Đặt nhãn của đỉnh kề duy nhất của v trong dãy đầu ra.
Xóa v khỏi cây.
Chúng ta hãy nhìn vào hình 16. Trong hình 16 (e), đỉnh 3 là lá với
nhãn nhỏ nhất, do đó chúng ta thêm đỉnh kề duy nhất của nó là đỉnh 2
vào dãy số. Sau khi loại bỏ đỉnh 3 từ cây, đỉnh 2 trở thành lá với nhãn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
nhỏ nhất, và chúng ta lại thêm đỉnh kề duy nhất của nó là đỉnh 1 vào
dãy số. Vì vậy, dãy số Pr¨ufer thu được là (2, 1). Trong hình 16 (f), đỉnh
1 là lá với nhãn nhỏ nhất, do đó chúng ta thêm đỉnh kề duy nhất của
nó là đỉnh 2 vào dãy số. Sau khi loại bỏ đỉnh 1 từ cây, đỉnh 3 trở thành
lá với nhãn nhỏ nhất, và chúng ta lại thêm đỉnh kề duy nhất của nó là
đỉnh 2 vào dãy số. Vì vậy, dãy số Pr¨ufer thu được là (2, 2).

Bây giờ hãy xem xét một cây phức tạp hơn trong hình 17. Dãy số
Pr¨ufer tương ứng của nó là gì ?
Hình vẽ 18 minh họa từng bước mã hóa. Trong hình 18(a), đỉnh 1 là
lá với nhãn nhỏ nhất, do đó chúng ta thêm đỉnh kề duy nhất của nó là
đỉnh 3 vào dãy số, dãy số Pr¨ufer thu được dưới đây kí hiệu là P . Ta có
P = (3). Sau đó chúng ta xóa đỉnh 1 khỏi cây. Trong hình 18(b), đỉnh 2
là đỉnh có nhãn nhỏ nhất, chúng ta lại thêm đỉnh kề duy nhất của nó là
đỉnh 4 vào dãy số. Vì vậy chúng ta có P = (3, 4). Sau đó ta xóa đỉnh 2
khỏi cây thì đỉnh 5 là lá với nhãn nhỏ nhất. Chúng ta lại thêm đỉnh kề
duy nhất của nó là đỉnh 3 vào dãy số. Vì vậy chúng ta có P = (3, 4, 3).
Lặp lại quá trình này sau một số bước cho đến khi cây còn lại hai đỉnh.
Trong ví dụ này, đỉnh 6 và 9 là hai đỉnh còn lại. Ta được dãy số Pr¨ufer
tương ứng với cây trong hình 17 là P = (3, 4, 3, 6, 4, 6, 6).
Có thể thấy rằng các cây bao trùm khác nhau của đồ thị đầy đủ K
n
được gán nhãn xác định các dãy số Pr¨ufer khác nhau. Thuật toán giải
mã Pr¨ufer đưa ra thuật toán ngược lại. Nó tìm được cây T với n đỉnh
được gán nhãn ứng với một dãy số Pr¨ufer đã cho có n − 2 phần tử. Cho
một dãy số Pr¨ufer P = (p
1
, p
2
, , p
n−2
). Ta nhận thấy rằng bất kì đỉnh
v nào của T đều xuất hiện deg(v) − 1 lần trong dãy (p
1
, p
2
, , p

n−2
), với
deg(v) là bậc của đỉnh v. Do đó các đỉnh bậc một trong T không xuất
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
hiện trong P . Để xây dựng lại cây T từ dãy (p
1
, p
2
, , p
n−2
) ta làm như
sau: Cho V là tập các nhãn đỉnh của cây T, V = {1, 2, 3, , n}. Trong
lần lặp thứ i của vòng lặp, P = (p
i
, p
i+1
, , p
n−2
). Giả sử v là phần tử
nhỏ nhất của V không xuất hiện trong P. Chúng ta nối đỉnh v với đỉnh
p
i
. Sau đó chúng ta xóa v khỏi V và p
i
khỏi P . Lặp lại quá trình này
n − 2 lần cho đến khi còn lại 2 số trong V . Cuối cùng, chúng ta nối các
đỉnh tương ứng với hai số còn lại trong V . Ta có thể thấy các dãy số
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20

Pr¨ufer khác nhau sẽ cho các cây bao trùm khác nhau của đồ thị đầy đủ
K
n
được gán nhãn.
Ta có thuật toán giải mã Pr¨ufer như sau:
Thuật toán : GIẢI MÃ PR
¨
UFER
Đầu vào: Một dãy Pr¨ufer (p
1
, p
2
, , p
n−2
)
Đầu ra: Cây có nhãn với các đỉnh được gán nhãn bởi 1, 2, , n.
P ← dãy số Pr¨ufer đầu vào
n ← |P | + 2
V ← {1, 2, , n}
Bắt đầu với n đỉnh có nhãn 1, 2 , , n.
for i = 1 to n-2 do
v ← phần tử nhỏ nhất của tập V mà không xuất hiện
trong P
Nối đỉnh v đến đỉnh p
i
Xóa v khỏi tập V
Xóa p
i
khỏi P
/ * Bây giờ P = (p

i+1
, p
i+2
, , p
n−2
) */
Nối các đỉnh tương ứng với hai con số trong V.
Ta sẽ xem thuật toán giải mã Pr¨ufer chạy thế nào, chúng ta hãy xây
dựng một cây bao trùm tương ứng với dãy số P = (3, 4, 3, 6, 4, 6, 6).
Hình 19 minh họa từng bước của quá trình giải mã. Ban đầu, P =
(3, 4, 3, 6, 4, 6, 6) và V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Ta thấy 1 là phần tử nhỏ
nhất của V không xuất hiện trong P . Do đó chúng ta nối đỉnh 1 với
phần tử đầu tiên của P , nghĩa là đỉnh 3 (xem hình 19(a)). Sau đó chúng
ta xóa 1 khỏi V và 3 khỏi P . Bây giờ P=(4, 3, 6, 4, 6, 6) và V= {2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9}. Chúng ta nối đỉnh 2 với đỉnh 4 (xem hình 19 (b). Lặp lại
quá trình này cho đến khi chỉ còn hai đỉnh trong V . (Xem hình 19(h)).
Chúng ta đã thiết lập được một tương ứng một-một giữa tập các cây
bao trùm của đồ thị đầy đủ K
n
được gán nhãn và tập các dãy số Pr¨ufer
có độ dài n-2.
Định lí 3.1. Số các cây bao trùm của đồ thị đầy đủ K
n
được gán
nhãn là n
n−2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22
Chương 4
Một số thuật toán xây dựng cây
bao trùm của đồ thị vô hướng liên
thông
Chúng ta biết rằng có thể tìm được cây bao trùm của đồ thị nhờ vào
việc loại bỏ các cạnh, nhưng chúng ta có thể xây dựng cây bao trùm
bằng cách lần lượt ghép thêm các cạnh. Tôi sẽ giới thiệu hai thuật toán
dựa trên nguyên tắc này.
Chương này bao gồm hai mục: Trong mục 4.1 chúng tôi trình bày về
thuật toán tìm kiếm ưu tiên chiều sâu. Mục 4.2 trình bày về thuật toán
tìm kiếm ưu tiên chiều rộng. Các kiến thức trong chương này được tham
khảo từ chương 9 trong sách [1] và chương 22 trong sách [2].
4.1 Thuật toán tìm kiếm ưu tiên chiều sâu
Ta sẽ xây dựng cây bao trùm của một đồ thị liên thông bằng phương
pháp tìm kiếm ưu tiên chiều sâu. Nghĩa là sẽ tạo một cây có gốc và
cây bao trùm sẽ là đồ thị vô hướng nền của cây có gốc này. Chọn tùy
ý một đỉnh của đồ thị làm gốc. Xây dựng đường đi từ đỉnh này bằng
cách lần lượt ghép các cạnh vào sao cho mỗi cạnh mới ghép sẽ nối đỉnh
cuối cùng trên đường đi với một đỉnh còn chưa thuộc đường đi. Tiếp tục
ghép thêm các cạnh vào đường đi chừng nào không thể thêm được nữa
thì thôi. Nếu đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị thì cây do đường
đi này tạo nên sẽ là cây bao trùm. Nhưng nếu đường đi không đi qua
tất cả các đỉnh thì ta lùi lại đỉnh trước đỉnh cuối cùng của đường đi và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
xây dựng đường đi mới xuất phát từ đỉnh này đi qua các đỉnh còn chưa
thuộc đường đi. Nếu tất cả các đỉnh của đồ thị đều đã được viếng thăm
thì ta tìm được cây bao trùm, ngược lại, ta lại lùi thêm một đỉnh nữa
trên đường đi và xây dựng đường đi mới.

Lặp lại thủ tục này, bắt đầu từ đỉnh cuối cùng được viếng thăm lùi
theo đường đi mỗi lần một đỉnh, xây dựng đường đi mới càng dài càng
tốt cho tới khi nào không thể xây dựng được một cạnh nào nữa. Vì đồ
thị có hữu hạn cạnh và là liên thông nên quá trình đó sẽ kết thúc và tạo
được cây bao trùm. Mỗi đỉnh mà tại đó đường đi kết thúc ở mỗi giai
đoạn của thuật toán sẽ là lá trong cây có gốc. Mỗi đỉnh tại đó đường đi
bắt đầu từ đó sẽ là một đỉnh trong.
Tìm kiếm ưu tiên chiều sâu cũng được gọi là thủ tục quay lui, vì nó
quay lại đỉnh đã viếng thăm trước trên đường đi. Ví dụ sau đây minh
họa thủ tục quay lui.
Ví dụ 4.1. Dùng thuật toán ưu tiên chiều sâu, tìm cây bao trùm của
đồ thị G trên hình 20.
Giải: Các bước dùng trong thuật toán tìm kiếm ưu tiên chiều sâu
để xây dựng cây bao trùm của G được biểu thị trên hình 21. Chúng ta
xuất phát từ một đỉnh tùy ý, chẳng hạn đỉnh d. Đường đi được xây dựng
bằng cách lần lượt ghép, càng nhiều càng tốt, các cạnh liên thuộc với
các đỉnh còn chưa thuộc đường đi. Điều đó tạo ra được đường đi d, c, a,
b (lưu ý là có thể có đường đi khác được xây dựng). Tiếp theo, lùi lại a.
Không có đường đi bắt đầu từ a chứa các đỉnh chưa được viếng thăm.
Vì thế lùi tới c, ta thấy cũng không có đường đi bắt đầu từ c chứa các
đỉnh chưa được viếng thăm. Tiếp tục lùi về d. Từ d có đường đi d, e, h,
i. Ta lại lùi về h và xây dựng đường đi h, g, j. Ta lại lùi về g, xây dựng
đường đi g, f. Ta thấy tất cả các đỉnh của G đều đã được viếng thăm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên