PHÉP BIẾN đổi MELLIN và các TOÁN tử TOEPLITZ GIAO HOÁN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LÊ MINH PHẤN
ĐỀ TÀI
PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN
VÀ CÁC TOÁN TỬ TOEPLITZ GIAO HOÁN
Chuyên ngành: Giải Tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn: PGS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu
Thái Nguyên - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
PGS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và
thành kính nhất đến thầy, thầy không chỉ hướng dẫn tôi nghiên cứu khoa
học mà Thầy còn thông cảm tạo mọi điều kiện động viên tôi trong suốt
quá trình làm luận văn. Cũng nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn gia
đình và bạn bè tôi đã hết sức quan tâm và giúp đỡ tôi trong thời gian học
tập và hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo Đại học Sư Phạm Hà Nội, viện Toán học Việt Nam và các thầy cô
giáo trong khoa sau Đại học, Đại học Sư Phạm Thái Nguyên, Đại Học
Thái Nguyên đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc
chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự
góp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010
Học viên
Lê Minh Phấn

1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. HÀM CHỈNH HÌNH, KHÔNG GIAN BERGMAN
VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.Điều kiện Cauchy - Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.Chuỗi Taylor, chuỗi Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.Không gian Bergman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.Phép biến đổi Mellin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.Hàm Gamma, Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Chương 2. TOÁN TỬ TOEPLITZ GIAO HOÁNTRÊN KHÔNG
GIAN BERGMAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.Chứng minh kết quả chính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.Trường hợp
ˆ
ψ
k
hữu tỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.Trường hợp
ˆ
ψ
k
vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.Thảo luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
LỜI MỞ ĐẦU
Toán tử Toeplitz giao hoán đã được nghiên cứu trong không gian
Hardy bởi những kết quả cổ điển của Brown và Halmol. Gần đây Zeljko
Cuckovic và N.V. Rao đã nghiên cứu và phát biểu bài toán này trong không
gian Bergman thông qua phép biến đổi Mellin. Cụ thể hơn, các tác giả đã
chứng minh được kết quả cơ bản sau :
Cho ϕ và ψ là các hàm điều hòa bị chặn trên D. T
ϕ
T
ψ
= T
ψ
T
ϕ
nếu và
chỉ nếu:
1, ϕ và ψ là chỉnh hình trong D
2,
¯
ϕ à
¯
ψ là chỉnh hình trong D
3, Tồn tại a,b ∈ C, a
2
+ b
2
= 0, sao cho aϕ + bψ là hằng số trong D
Rõ ràng nếu ϕ và ψ là chỉnh hình trong D,

¯
ϕ và
¯
ψ là chỉnh hình trong
D, tồn tại a,b ∈ C, a
2
+ b
2
= 0, sao cho aϕ + bψ là hằng số trong D khi
và chỉ khi T
ϕ
T
ψ
= T
ψ
T
ϕ
.
Một câu hỏi tự nhiên khác là khi ϕ,ψ biểu diễn dưới dạng tọa độ cực
ψ(re
iθ
) =
+∞
∑
k=−∞
e
ikθ
ψ
k
(r) và ϕ(re

iθ
) = r
m
e
iδθ
thì điều kiện T
ϕ
,T
ψ
giao hoán được diễn tả như thế nào.
Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả nói trên của
Cuckovic và Rao .
Luận văn bao gồm 2 chương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1, trước hết chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về hàm
chỉnh hình, không gian Bergman, phép biến đổi Mellin. Chúng là những
công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn.
Chương 2 là một chương quan trọng của luận văn. Trong chương này
chúng tôi nghiên cứu toán tử Toeplitz giao hoán thông qua phép biến đổi
Mellin. Phần đầu chương trình bày điều kiện cần và đủ để toán tử Toeplitz
giao hoán với các symbol ϕ,ψ là các hàm điều hòa. Phần tiếp theo chúng
tôi trình bày các kết quả về điều kiện cần và đủ để toán tử Toeplitz giao
hoán thông qua phép biến đổi Mellin với ϕ,ψ ∈ L
∞
(D,dA) và
ˆ
ψ
k
là hữu
tỉ, vô tỉ.

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên
khi làm đề tài không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong
nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
HÀM CHỈNH HÌNH, KHÔNG GIAN BERGMAN VÀ
PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN
Trong chương này tôi trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là
các kiến thức sử dụng cho việc chứng minh chương sau. Một số kiến thức
quan trọng như khái niệm hàm chỉnh hình, lý thuyết tích phân của hàm
chỉnh hình, chuỗi Taylor, chuỗi Laurent trong không gian phức, không
gian Bergman, phép biến đổi Mellin.
1.1. Hàm chỉnh hình
1.1.1 Định nghĩa. Cho hàm số f xác định trên miền Ω ∈ C. Xét giới hạn
lim
∆z→0
f (z +∆z) − f (z)
∆z
, với z, z +∆z ∈ Ω.
Nếu tại diểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f
tại z, ký hiệu f

(z) hay
d f
dz
(z)
Như vậy
f


(z) = lim
∆z→0
f (z +∆z) − f (z)
∆z
.
Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C- khả vi
tại z.
Bởi vì
lim
∆z→0
[ f (z +∆z) − f (z)] = lim
∆z→0
f (z +∆z) − f (z)
∆z
∆z = 0
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
nên nếu f là C- khả vi tại z thì
lim
∆z→0
[ f (z +∆z) − f (z)] = 0.
Nói cách khác f liên tục tại z.
Cũng như đối với hàm biến thực, bởi quy nạp ta viết
f
(k)
= (f
(k−1)
)

nếu vế phải tồn tại và gọi là đạo hàm phức cấp k của f trên Ω.

1.2. Điều kiện Cauchy - Riemann
Giả sử f (z) = u(x,y) +iv(x,y),z = x +iy xác định trên miền Ω ∈ C.
Hàm f được gọi là R
2
- khả vi tại z = x + iy nếu hàm u(x,y) và v(x,y) khả
vi tại (x,y) (theo định nghĩa đã biết trong giải tích thực).
1.2.1 Định lý. Để hàm f C- khả vi tại z = x + iy ∈ Ω điều kiện cần và đủ
là f R
2
- khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Riemann sau được thỏa mãn tại
z.











∂ u
∂ x
(x,y) =
∂ v
∂ y
(x,y)
∂ u
∂ y

(x,y) = −
∂ v
∂ x
(x,y)
(1.2.1)
Chứng minh. Điều kiện cần:
Giả sử f C - khả vi tại z = x +iy ∈ Ω. Khi đó tồn tại giới hạn
f

(z) = lim
∆z→0
f (z +∆z) − f (z)
∆z
với ∆z = ∆x + i∆y.
Vì nếu giới hạn này tồn tại không phụ thuộc vào cách tiến đến điểm 0 của
∆z nên nếu chọn ∆z = ∆x, ta có :
f

(z) = lim
∆z→0
u(x +∆x,y) +iv(x + ∆x,y) −u(x, y) −iv(x,y)
∆x
=
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
= lim
∆z→0
u(x +∆x,y) −u(x,y)
∆x
+ i lim

∆z→0
v(x +∆x,y) −v(x,y)
∆x
tức là u và v có đạo hàm riêng theo x tại (x,y) và
f

(z) =
∂ u
∂ x
(x,y) + i
∂ v
∂ x
(x,y) (1.2.2)
Tương tự bằng cách chọn ∆z = i∆y ta có
f

(z) = −i
∂ u
∂ y
(x,y) +
∂ v
∂ y
(x,y) (1.2.3)
So sánh (1.2.2) và (1.2.3) ta được












∂ u
∂ x
(x,y) =
∂ v
∂ y
(x,y)
∂ u
∂ y
(x,y) = −
∂ v
∂ x
(x,y)
Ta còn phải chứng tỏ u(x, y) và v(x , y) khả vi tại (x,y).
Vì f C- khả vi tại z nên
∆ f = f (z + ∆z) − f (z) = f

(z)∆z + o(∆z)
với o(∆z) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆z, tức là
lim
∆z→0
o(∆z)
∆x
= 0.
Rõ ràng
∆ f = ∆u +i∆v,∆z = ∆x + i∆y.

theo (1.2.2) ta có
∆u +i∆v = (
∂ u
∂ x
+ i
∂ v
∂ x
)(∆x +i∆y) + o(∆z) +io(∆z)
Từ đó
∆u =
∂ u
∂ x
∆x −
∂ v
∂ x
∆y +o(∆z) =
∂ u
∂ x
∆x +
∂ u
∂ y
∆y +o(|∆z|)
∆v =
∂ v
∂ x
∆x +
∂ u
∂ x
∆y +o(∆z) =
∂ v

∂ x
∆x +
∂ v
∂ y
∆y +o(|∆z|).
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
điều kiện đó nghĩa là u và v khả vi tại (x,y).
Điều kiện đủ:
Vì u và v khả vi tại (x,y) nên
∆u =
∂ u
∂ x
∆x +
∂ u
∂ y
∆y +o(

∆x
2
+ ∆y
2
)
và
∆v =
∂ v
∂ x
∆x +
∂ v
∂ y

∆y +o(

∆x
2
+ ∆y
2
).
Theo điều kiện (1.2.1) hai đẳng thức này có thể viết thành
∆u =
∂ u
∂ x
∆x −
∂ v
∂ x
∆y +o(|∆z|) (1.2.4)
∆v =
∂ v
∂ x
∆x +
∂ u
∂ x
∆y +o(|∆z|) (1.2.5)
Từ (1.2.4) và (1.2.5) ta có
∆ f
∆z
=
∆u
∆z
+ i
∆v

∆z
=
∂ u
∂ x
∆x −
∂ v
∂ x
∆y +o(∆z)
∆z
+ i
∂ v
∂ x
∆x +
∂ u
∂ x
∆y +o(∆z)
∆z
=
∂ u
∂ x
∆x +i
∂ u
∂ x
∆y
∆z
+
− ∂v
∂ x
∆y +i
∂ v

∂ x
∆z
+
o(∆z)
∆z
=
∂ u
∂ x
+ i
∂ v
∂ x
+
o(∆z)
∆z
.
Vì vậy
lim
∆z→0
∆ f
∆z
=
∂ u
∂ x
+ i
∂ v
∂ x
tức là f C- khả vi tại z = x +iy.
1.2.2 Nhận xét. (1.) Giả sử f là R
2
-khả vi tại z ∈ Ω ⊂ C

8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Xét vi phân
d f =
∂ f
∂ x
dx +
∂ f
∂ y
dy (1.2.6)
Vì dz = dx +idy và d ¯z = dx − idy nên
dx =
1
2
(dz + d ¯z),dy =
1
2i
(dz −d ¯z).
Thế các đẳng thức này vào (1.2.6) ta có
d f =
1
2
(
∂ f
∂ x
− i
∂ f
∂ y
)dz +
1

2
(
∂ f
∂ x
+ i
∂ f
∂ y
)d ¯z.
Nếu đặt
∂ f
∂ z
=
1
2
(
∂ f
∂ x
− i
∂ f
∂ y
),
∂ f
∂ ¯z
=
1
2
(
∂ f
∂ x
+ i

∂ f
∂ y
) (1.2.7)
thì
d f =
∂ f
∂ z
dz +
∂ f
∂ ¯z
d ¯z (1.2.8)
Bởi vì
∂ f
∂ ¯z
=
1
2
(
∂ f
∂ x
+ i
∂ f
∂ y
) =
1
2
[(
∂ u
∂ x
−

∂ v
∂ y
) +i(
∂ v
∂ x
+
∂ u
∂ y
)]
nên f thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann tại z nếu và chỉ nếu
∂ f
∂ ¯z
(z) = 0.
Nói cách khác hàm R
2
-khả vi f tại z là C-khả vi nếu và chỉ nếu
∂ f
∂ ¯z
(z) = 0.
(2.) Từ (1.2.1) và (1.2.2) và nhận xét trên, nếu f C-khả vi tại z thì ta có
∂ f
∂ z
(z) =
1
2
[(
∂ u
∂ x
(z) + i
∂ v

∂ x
(z) − i
∂ u
∂ y
(z) +
∂ v
∂ y
(z)]
=
1
2
[2
∂ u
∂ x
(z) + 2i
∂ v
∂ x
(z)] =
∂ u
∂ y
(z) + i
∂ v
∂ y
(z) = f

(z).
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.2.3 Định nghĩa. Hàm f xác định trong miền Ω ∈ C với giá trị trong C
gọi là hàm chỉnh hình tại z

0
∈ Ω nếu tồn tại r > 0 để f C-khả vi tại mọi
z ∈ D(z
0
,r) ⊂ Ω. Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈ Ω ta nói f chỉnh hình trên
Ω.
1.2.4 Định lý. Giả sử Ω ⊂ C là một miền và H(Ω) là tập các hàm chỉnh
hình trên Ω. Khi đó
1. H(Ω) là một không gian véc tơ trên C.
2. H(Ω) là một vành.
3. Nếu f ∈ H(Ω) và f (z) = 0,∀z ∈ Ω thì
1
f
∈ H(Ω).
4. Nếu f ∈ H(Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi.
Chứng minh. Chứng minh 4.
Do f chỉ nhận giá tr ị thực
∂ f
∂ x
,
∂ f
∂ y
cũng chỉ nhận giá trị thực. Nhưng
mặt khác
∂ f
∂ x
= i
∂ f
∂ y
, ta suy ra

∂ f
∂ x
=
∂ f
∂ y
= 0. Vậy f = const.
1.2.5 Định lý. (Công thức tích phân Cauchy)
Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và z
0
∈ Ω. Khi đó với mọi chu
tuyến γ ⊂ Ω
γ
⊂ Ω ta có công thức tích phân Cauchy
f (z
0
) =
1
2πi

γ
f (η)
η −z
0
dη
Nếu thêm f liên tục trên
¯
Ω và ∂Ω là một chu tuyến, thì với mọi z ∈ Ω ta có
f (z) =
1
2πi


∂ Ω
f (η)
η −z
dη.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tùy ý vây quanh z
0
sao cho Ω
γ
⊂ Ω.
Chọn ρ > 0 đủ bé để hình tròn D(z
0
,ρ) ⊂ Ω
γ
. Ký hiệu C
ρ
là biên của
D(z
0
,ρ) và đặt
Ω
γ,ρ
= Ω
γ
\D(z
0
,ρ)
Ω

γ,ρ
là miền 2- liên, ta có

γ∪C
−
ρ
f (η)
η −z
0
dη = 0.
Từ đó ta có công thức

γ
f (η)
η −z
0
dη =

C
ρ
f (η)
η −z
0
dη.
Thực hiện phép biến đổi η = z
0
+ ρe
iϕ
,dη = iρe
iϕ

dϕ ta được

C
ρ
f (η)
η −z
0
dη =

2π
0
f (z
0
+ ρe
iϕ
)
ρe
iϕ
iρe
iϕ
dϕ
= i

2π
0
f (z
0
+ ρe
iϕ
)dϕ

= i

2π
0
[ f (z
0
+ ρe
iϕ
) − f (z
0
)]dϕ +2πi f (z
0
).
Chú ý rằng khi ρ → 0 thì do tính liên tục của f ta có
lim
ρ→0
i

2π
0
[ f (z
0
+ ρe
iϕ
) − f (z
0
)]dϕ = 0
vì thế
lim
ρ→0


γ
f (η)
η −z
0
dη = 2πi f (z
0
).
Vậy
f (z
0
) =
1
2πi

γ
f (η)
η −z
0
dη.
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Trong trường hợp f liên tục trên
¯
Ω và chỉnh hình trên Ω có thể lấy ∂Ω
thay cho γ trong chứng minh trên. Khi đó với mọi z ∈ Ω các điều kiện của
trường hợp nói trên đều được thỏa mãn, vì vậy ta có :
f (z) =
1
2πi


∂ Ω
f (η)
η −z
dη.
1.2.6 Định lý. (Bất đẳng thức Cauchy)
Nếu f là hàm chỉnh hình trên Ω, điểm a ∈ Ω,0 < r < d(a,∂ Ω) và
M(a,r) = sup
|z−a|=r
| f (z)|.
Khi đó ta có bất đẳng thức sau
| f
(n)
(a)| ≤
n!M(a,r)
r
n
(1.2.9)
Chứng minh. Ta có
f
(n)
(z) =
n!
2πi

γ
f (η)
(η −z)
n+1
dη,n = 0,1,2,

với γ = ∂D(a,r) ta có
| f
(
n)(a)| = |
n!
2πi

γ
f (η)
(η −a
n+1
dη|
≤
n!
2π
M(a,r)
r
n+1
|γ| =
n!M(a,r)
r
n
,n = 0,1,
1.2.7 Định lý. (Định lý Liouville)
Nếu hàm f (z) chỉnh hình và bị chặn trên C, thì f = const.
Chứng minh. Giả sử z ∈ C tùy ý. Theo bất đẳng thức Cauchy (với n = 1)
ta có
| f

(z)| ≤

M
R
,∀R > 0
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ở đây
M = sup
z∈C
| f (z)| < ∞
Cho R → ∞, ta có f

(z) = 0. Vì vậy f = const
1.2.8 Định lý. (Định lý về giá trị trung bình)
Nếu f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và hình tròn
¯
D(z
0
,r) ⊂ Ω, thì
f (z
0
) =
1
2π

2π
0
f (z
0
+ re
iϕ

)dϕ.
Chứng minh. Theo công thức tích phân Cauchy ta có
f (z
0
) =
1
2πi

∂ D(z
0
,r)
f (z)
(z −z
0
)
dz.
Viết z = z
0
+ re
iϕ
,z ∈ ∂ D(z
0
,r) ta có
f (z
0
) =
1
2π

2π

0
f (z
0
+ re
iϕ
)dϕ.
1.2.9 Định lý. (Weierstrass)
Giả sử
{
f
n
}
hội tụ đều trên mọi tập compact trong Ω tới hàm f , thì hàm f
chỉnh hình trên Ω.
Chứng minh. Cho z
0
∈ Ω. Chọn r > 0 đủ bé để
¯
D(z
0
,r) ⊂ Ω.
Theo công thức tích phân Cauchy với mọi z ∈ D(z
0
,r) ta có :
f
n
(z) =
1
2πi


∂ D(z
0
,r)
f
n
(η)
η −z
dη.
Do
{
f
n
}
hội tụ đều tới f trên ∂ D(z
0
,r) bằng cách tiến đến gới hạn dưới
dấu tích phân ta nhận được
f
n
(z) =
1
2πi

∂ D(z
0
,r)
f (η)
η −z
dη với mọi z ∈ D(z
0

,r).
Vì vậy f chỉnh hình trên D(z
0
,r).
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.2.10 Định lý. Giả sử các hàm f
n
liên tục trên miền Ω và chuỗi hàm
∑
∞
n=1
f
n
hội tụ đều trên Ω tới hàm f . Khi đó với mọi đường cong trơn (hay
trơn từng khúc) γ ⊂ Ω ta có

γ
f dz =

γ
(
∞
∑
n=1
f
n
)dz =
∞
∑

n=1

γ
f
n
dz.
.
1.3. Chuỗi Taylor, chuỗi Laurent
1.3.1 Định nghĩa. (Chuỗi Taylor)
Chuỗi hàm có dạng
∞
∑
n=0
C
n
(z − z
0
)
n
gọi là chuỗi Taylor tại z
0
hay chuỗi lũy thừa của z − z
0
.
1.3.2 Định lý. (Taylor)
Nếu hàm f chỉnh hình trên hình tròn |z − z
0
| < R, thì trong hình tròn này
f (z) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại z
0

. Cụ thể là
f (z) =
∞
∑
n=0
C
n
(z −z
0
)
n
với |z − z
0
| < R
ở đây các hệ số C
n
được xác định một cách duy nhất theo công thức
C
n
=
f
(n)
(z
0
)
n!
=
1
2πi


|η−z
0
|=r
f (η)
(η −z
0
)
n+1
dη
với 0 < r < R.
Chứng minh. Lấy tùy ý z với |z −z
0
| < R.
Chọn r > 0 sao cho |z − z
0
| < r < R. Theo công thức tích phân Cauchy
ta có
f (z) =
1
2πi

γ
r
f (η)
η −z
dη
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ở đây γ
r

là đường tròn |z −z
0
| = r.
Ta viết
1
η −z
=
1
(η −z
0
) −(z −z
0
)
=
1
(η −z
0
)(1 −
z −z
0
η −z
0
)
vì thế nếu η ∈ γ
r
thì |
z −z
0
η −z
0

| < 1.
Ta có
1
η −z
=
1
η −z
0
∞
∑
k=0
(
z −z
0
η −z
1
)
k
=
∞
∑
k=0
(z − z
0
)
k
(η −z
0
)
k+1

và chuỗi này hội tụ đều trên γ
r
. Theo định lý 1.2.8 ta có
1
2πi

γ
r
f (η)
(η −z)
dη =
1
2πi

γ
r
f (η)[
∞
∑
k=0
(z −z
0
)
k
(η −z
0
)
k+1
]dη
=

∞
∑
k=0
(z − z
0
)
k
1
2πi

γ
r
f (η)
(η −z
0
)
k+1
dη.
Chú ý rằng
C
k
=
1
2πi

γ
r
f (η)
(η −z
0

)
k+1
dη =
f
(k)
(z
0
)
k !
,k = 0,1,2,
không phụ thuộc vào r,0 < rR. Vậy ta có
f (z) =
1
2πi

γ
r
f (η)
η −z
dη =
∞
∑
n=0
C
n
(z −z
0
)
n
.

1.3.3 Hệ quả. Hàm f (z) xác định trên miền Ω là chỉnh hình khi và chỉ khi
với mọi z
0
∈ Ω hàm f có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa theo z− z
0
mà
nó hội tụ tới f (z) với bán kính hội tụ R ≥ d(z
0
,∂ D).
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.3.4 Định nghĩa. (Chuỗi Laurent)
Chuỗi hàm có dạng
+∞
∑
k=−∞
C
k
(z −z
0
)
k
gọi là chuỗi Laurent theo lũy thừa của (z − z
0
) hay chuỗi Laurent tại z
0
.
1.3.5 Định lý. (Laurent)
Nếu hàm f (z) chỉnh hình trong hình vành khăn
0 < r < |z −z

0
| < R < +∞
thì f (z) biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của chuỗi Laurent
f (z) =
+∞
∑
n=−∞
C
n
(z − z
0
)
n
các hệ số của chuỗi này được xác định bởi công thức
C
n
=
1
2πi

γ
ρ
f (η)
(η −z
0
)
n+1
dη,n = 0,±1,
trong đó γ
ρ

là đường tròn bất kỳ |z −z
0
| = ρ,r < ρ < R.
Chứng minh. Cố định r < r

< R

< R. Hàm f chỉnh hình trên hình vành
khăn r

< |z − z
0
| < R

, do đó theo công thức tích phân cho miền đa liên ta
có
f (z) =
1
2πi

γ
r

f (η)
(η −z)
dη +
1
2πi

γ

+
R

f (η)
(η −z)
dη
với mọi z : r

< |z −z
0
| < R

.
Đặt
f
+
(z) =
1
2πi

γ
R

f (η)
η −z
dη,|z −z
0
| < R

.

16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Tương tự trong chứng minh định lý Taylor ta có :
f
+
(z) =
1
2πi

γ
R

f (η)
(η −z
0
) −(z −z
0
)
dη
=
1
2πi

γ
R

f (η)[
∞
∑
n=0

(z −z
0
)
n
(η −z
0
)
n+1
]dη
=
∞
∑
n=0
C
n
(z −z
0
)
n
với |z −z
0
| < R

.
trong đó
C
n
=
1
2πi


γ
R

f (η)
(η −z
0
)
n+1
dη
mà nó không phụ thuộc vào r < R

< R.
Cho R

→ R ta suy ra chuỗi
∞
∑
n=0
C
n
(z − z
0
)
n
hội tụ tới f
+
(z) trong hình tròn |z − z
0
| < R.

Đặt
f
−
(z) =
1
2πi

γ
r

f (η)
η −z
dη,|z −z
0
| > r

ta có
f
−
(z) =
1
2πi

γ
r

f (η)
(z −z
0
)


1 −
η −z
0
z −z
0

dη
=
1
2πi

γ
r

f (η)[
∞
∑
n=0
(η −z
0
)
n
(z − z
0
)
−n−1
]dη
=
∞

∑
n=0
(
1
2πi

γ
r

f (η)(η −z
0
)dη(z − z
0
)
−n−1
)
=
0
∑
n=−∞
C
n
(z −z
0
)
n
.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
trong đó

C
n
=
1
2πi

γ
r

f (η)
(η −z
0
)
n+1
dη,n = 1,2,
mà nó không phụ thuộc vào r < r

< R.
Cho r

→ r ta suy ra chuỗi
−1
∑
n=−∞
C
n
(z − z
0
)
n

hội tụ đến f
−
(z) trong |z − z
0
| > r.
Vậy trong vành khăn r < |z − z
0
| < R, f (z) khai triển thành chuỗi Lau-
rent như trong định lý.
1.3.6 Định nghĩa. (Điểm bất thường của hàm chỉnh hình)
Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền Ω. Điểm z
0
∈ C gọi là điểm bất
thường của f nếu tồn tại r > 0 sao cho vành khăn 0 < |z −z
0
| < r bao hàm
trong Ω và f chỉnh hình trên hình vành khăn đó không thể mở rộng chỉnh
hình tới z
0
, tức là không tồn tại hàm chỉnh hình g trên hình tròn |z −z
0
| < r
sao cho
g(z) = f (z) với 0 < |z − z
0
| < r.
Giả sử f chỉnh hình trên hình vành khăn 0 < |z − z
0
| < r. Chỉ có thể sảy ra
một trong ba khả năng sau:

1. Tồn tại lim
z→z
0
f (z) = a ∈ C. Khi đó z
0
gọi là điểm thường của f .
2. Tồn tại lim
z→z
0
f (z) = ∞. Khi đó z
0
gọi là cực điểm của f .
3. Không tồn tại lim
z→z
0
f (z) trong
¯
C. Khi đó z
0
gọi là điểm bất thường
cốt yếu của f .
Để khảo sát các trường hợp này ta xét khai triển Laurent của f tại z
0
trên
vành khăn0 < |z −z
0
| < r.
f (z) =
+∞
∑

n=−∞
C
n
(z −z
0
)
n
(1.3.1)
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
trong đó
C
n
=
1
2πi

γ
ρ
f (η)
(η −z
0
)
n+1
dη,n = 0,±1,
với ρ tùy ý, 0 < ρ < r.
1.3.7 Định lý. Nếu tồn tại lim
z→z
0
f (z) = a ∈ C, tức z

0
là điểm thường của
f , hay tổng quát hơn f bị chặn trong lân cận của a thì f có thể mở rộng
chỉnh hình tới z
0
Chứng minh. Theo giả thiết tồn tại 0 < r

< r sao cho
M = sup
0<|z−z
0
|≤r

| f (z)| < ∞
Từ công thức
C
n
=
1
2πi

γ
ρ
f (η)
(η −z
0
)
n+1
dη,n = 0,±1,
ta có

|C
n
| ≤
M2πρ
2πρ
n+1
=
M
ρ
n
với mọi 0 < ρ < r

,n = 0,±1,
Vì thế hàm
f
+
(z) =
∞
∑
n=0
C
n
(z − z
0
)
n
,|z −z
0
| < r
là một mở rộng chỉnh hình củaf (z) tới z

0
.
Từ định lý 1.3.7 ta thấy rằng điểm thường của hàm f không phải là
điểm bất thường của nó. Dĩ nhiên cực điểm và đặc biệt điểm bất thường
cốt yếu thực chất là điểm bất thường.
1.3.8 Định lý. 1. Điểm z
0
là cực điểm của hàm chỉnh hình f (z) trên
0 < |z − z
0
| < r nếu và chỉ nếu trong khai triển
f (z) =
+∞
∑
n=−∞
C
n
(z −z
0
)
n
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
tồn tại m > 0 để C
−m
= 0 và C
k
= 0 với k < −m. Số nguyên m > 0, gọi là
bậc của cực điểm z
0

.
2. Điểm z
0
là điểm bất thường cốt yếu nếu và chỉ nêu tồn tại vô số k > 0
để C
−k
= 0.
Chứng minh. Rõ ràng chỉ cần chứng minh (1.). Giả sử tồn tại m > 0 để
C
−m
= 0 còn C
k
= 0 với k < −m. Khi đó ta có khai triển
f (z) =
∞
∑
k=−m
C
k
(z − z
0
)
k
hay
f (z)(z −z
0
)
m
=
∞

∑
k=0
C
−m+k
(z − z
0
)
k
bởi vì
lim
z→z
0
[ f (z)(z −z
0
)
m
] = lim
z→z
0
∞
∑
k=0
C
−m+k
(z − z
0
)
k
= C
−m

= 0
và
lim
z→z
0
(z − z
0
)
m
= 0
nên
lim
z→z
0
f (z) = ∞.
Nghĩa là z
0
là cực điểm của f .
Ngược lại giả sử z
0
là cực điểm của hàm f (z), tức là lim
z→z
0
f (z) = ∞.
Chọn r

,0 < r

< r sao cho f (z) = 0 với 0 ≤ |z − z
0

| < r

.
Đặt ϕ(z) =
1
f (z)
,0 < |z −z
0
| < r

thì ϕ(z) là hàm chỉnh hình trên vành
khăn 0 < |z − z
0
| < r

và lim
z→z
0
ϕ(z) = 0. Theo định lý 1.3.7, ϕ là hàm
chỉnh hình trên hình tròn |z − z
0
| < r

với ϕ(z
0
) = 0. Vì vậy
1
f (z)
= ϕ(z) =
∞

∑
k=m
C

k
(z −z
0
)
k
,|z −z
0
| < r

20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
trong đó m ≥ 1 và C

m
= 0. Ta có thể viết
f (z) =
1
∑
∞
k=m
C

k
(z −z
0
)

k
= (z −z
0
)
−m
1
ψ(z)
với
ψ(z) = C

m
+
∞
∑
k=1
C

m+k
(z −z
0
)
k
,|z −z
0
| < r

.
Lấy r

,0 < r


< r

sao cho ψ(z) = 0 với |z −z
0
| < r

. Trong hình tròn này
1
ψ(z)
chỉnh hình, vì vậy ta có thể viết
1
ψ(z)
= C
−m
+
∞
∑
k=1
C
−m+k
(z −z
0
)
k
,|z −z
0
| < r

trong đó

C
m
=
1
C

m
= 0.
tức là
f (z) = (z −z
0
)
−m
∞
∑
k=0
C
−m+k
(z − z
0
)
k
=
∞
∑
k=−m
C
k
(z − z
0

)
k
,0 < |z −z
0
| < r trong đó m ≥ 0,C
−m
= 0.
1.3.9 Nhận xét. 1. Như đối với đa thức điểm z
0
được gọi là không điểm
bậc m của hàm chỉnh hình f nếu
f (z
0
) = = f
(m−1)
(z
0
) = 0
nhưng
f
(m)
= 0
Như vậy z
0
là không điểm bậc m của f (z) nếu và chỉ nếu khai triển (1.3.1)
có dạng
f (z) =
∞
∑
k=m

C
k
(z − z
0
)
k
= (z −z
0
)
m
∞
∑
k=0
C
m+k
(z −z
0
)
k
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2. Trong khai triển (1.3.1) , đặt
m = in f {k : C
k
= 0}
khi đó
(i). z
0
là cực điểm nếu và chỉ nếu −∞ < m < 0. Trong trường hợp này −m
là bậc của cực điểm z

0
.
(ii). z
0
là điểm bất thường cốt yếu nếu và chỉ nếu m = −∞.
3. z
0
là cực điểm bậc m của f (z) nếu và chỉ nếu nó là không điểm cấp m
của hàm
1
f (z)
.
4. Điểm ∞ được gọi là điểm bất thường của hàm chỉnh hình f (z) trên
|z| > R nếu 0 là điểm bất thường của hàm g(z) = f (
1
z
). Như vậy, tồn tại
R > 0 sao cho f chỉnh hình trên vành khăn |z| > R và không chỉnh hình tại
∞. Khai triển Laurent của hàm f (
1
z
) trong vành khăn 0 < |z| <
1
R
đưa tới
khai triển mà ta cũng gọi là khai tr iển Laurent của hàm f (z) tại ∞, trong
vành khăn |z| > R
f (z) =
∞
∑

n=−∞
C
n
z
n
trong đó chuỗi
∑
∞
n=1
C
n
z
n
là phần chính còn chuỗi
∑
0
n=−∞
C
n
z
n
là phần đều.
Tuy nhiên đó cũng chính là khai triển Laurent của f tại 0 trong vành khăn
R < |z| < +∞.
Phân loại tính bất thường của ∞ được suy ra tương ứng từ phân loại tính
bất thường của điểm 0 đối với hàm f (
1
z
). Như vậy, nếu tồn tại
lim

z→∞
f (z) ∈ C
thì z = ∞ là điểm thường của hàm f tức là f có thể mở rộng chỉnh hình tới
∞.
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Nếu tồn tại
lim
z→∞
f (z) = ∞
thì tồn tại m > 0 để C
n
= 0 với mọi n > m và C
m
= 0. Lúc đó z = ∞ được
gọi là cực điểm cấp m của f (z).
Cuối cùng nếu không tồn tại lim
z→∞
f (z) (trong
¯
C) thì có vô số m > 0 để
C
m
= 0, lúc đó ∞ sẽ được gọi là điểm bất thường cốt yếu của f (z).
Như vậy z = ∞ là cực điểm của mọi đa thức khác const. Bậc của nó chính
là bậc của đa thức.
1.4. Không gian Bergman
1.4.1 Định nghĩa. 1. Cho D =
{
z ∈ C : |z| < 1

}
là đĩa đơn vị trong C,
dA =
dxdy
π
=
rdrdθ
π
là độ đo Lebesgue trên D, với(r,θ) là tọa độ cực
trong C
2. Không gian L
2
(D,dA) là không gian Hilbert với tích vô hướng
< f ,g >=

D
f ¯gdA f ,g ∈ L
2
(D,dA).
* Khai triển của không gian L
2
(D,dA)
Giả sử
R =

a : D → C radial






1
0
r
|
a(r)
|
2
dr < ∞

và R
k
= e
ikθ
R,k ∈ Z, với mỗi R
k
là không gian con của L
2
(D,dA)
Từ đó với u ∈ R
k
thì u(re
iθ
) = e
ikθ
a(r) và

D
|
u(z)

|
2
dA(z) =

1
0

2π
0
|
a(r)
|
2
rdθ dr < ∞.
3. Ký hiệu L
2
a
(D,dA) là không gian Bergman các hàm chỉnh hình trên D
thỏa mãn:

D
| f (z)|
2
dA(z) < ∞.
23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.4.2 Mệnh đề. L
2
a
(D,dA) là không gian con đóng của L

2
(D,dA).
Chứng minh. Lấy
{
f
n
}
∈ L
2
a
(D,dA) thỏa mãn f
n
→ f trong L
2
(D,dA). Ta
chứng minh f chỉnh hình trên D.
Lấy z
0
∈ D và hình tròn D(z
0
,r) ∈ D.
Với m > n ≥ 1, theo định lý giá trị trung bình ta có :
| f
m
(z) − f
n
(z)|
2
≤
4

πr
2

D(z,
r
2
)
| f
m
(t)− f
n
(t)|
2
dA(t)
≤
4
πr
2

D(z
0
,r)
| f
m
(t)− f
n
(t)|
2
dA(t) với ∀|z −z
0

| <
r
2
.
⇒
{
f
n
}
là dãy Cauchy trong D(z
0
,r).
Theo định lý Weierstrass f chỉnh hình trên D(z
0
,r), do z
0
tùy ý nên f
chỉnh hình trên D.
1.4.3 Định nghĩa. Giả sử P là toán tử chiếu trực giao từ L
2
(D,dA) lên
L
2
a
(D,dA). Cho ϕ ∈ L
∞
(D,dA), toán tử Toeplitz với symbol ϕ là toán tử
T
ϕ
: L

2
a
→ L
2
a
xác định bởi
T
ϕ
( f ) = P(ϕ f ).
1.5. Phép biến đổi Mellin
1.5.1 Định nghĩa. Cho hàm f liên tục trên (0; ∞), biến đổi Mellin của hàm
f là hàm
ˆ
f xác định bởi :
ˆ
f (z) :=

∞
0
f (x)x
z−1
dx
với z là một số phức.
1.5.2 Mệnh đề. Gải sử f (x) là hàm iên tục trên khoảng (0;∞) sao cho
f (x) =



o(x
α

) x → 0
o(x
β
) x → ∞
24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên