chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng bất đẳng thức sắp xếp lại và bất đẳng thức chebyshev

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẤT
Đ
ẲNG

TH
ỨC

S
ẮP

X
ẾP

L
ẠI

V
À

B
ẤT

Đ
ẲNG

TH
ỨC

CHEB

YS
HEV

Đào Quốc Huy - Tổ Toán – Tin
Trường THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam

Bất đẳng thức là một chuyên đề quan trọng trong chương trình bồi dưỡng học sinh
giỏi Quốc gia. Trong các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thì phương pháp áp dụng
bất đẳng thức cổ điển thường xuyên được sử dụng, đã có rất nhiều bài toán chứng minh bất
đẳng thức mà lời giải đề cập đến việc sử dụng bất đẳng thức liên hệ giữa Trung bình cộng -
Trung bình nhân (AM-GM), bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, bất đẳng thức Holder, bất
đẳng thức Schur …. Trong khuôn khổ bài viết, tôi xin đề cập đến bất đẳng thức Sắp xếp lại
và một số bài tập sử dụng bất đẳng thức này. Bên cạnh đó, bài viết cũng đề cập đến một
phương pháp sử dụng bất đẳng thức Chebyshev (coi như hệ quả của bất đẳng thức Sắp xếp
lại) để đánh giá một số bất đẳng thức 3 biến dạng phân thức.
I. Bất đẳng thức Sắp xếp lại:
Giả sử
1 2

n
a a a£ £ £
và
1 2

n
b b b£ £ £

(
)
*

nΥ
là hai dãy các số thực. Ta đặt
1 1 2 2
1 2 1 1


n n
n n n
A a b a b a b
B a b a b a b
-
= + + +
= + + +

Gọi
1 2
( , , , )
n
x x x
là một hoán vị của
1 2
( , , , )
n
b b b
, đặt
1 1 2 2

n n
X a x a x a x= + + +
Khi đó ta có bất đẳng thức sau A X B³ ³

D
ấu đẳng thức xảy ra khi và ch
ỉ khi các
i
a
t
ất cả bằng nhau hoặc các
i
b
t
ất cả bằng
nhau.
Ch
ứng minh
:

Trư
ớc hết ta chứng minh
A X³
b
ằng ph
ương pháp qui n
ạp:

-
V
ới
1n =
, k
ết quả l

à hi
ển nhiên.

-
Gi
ả sử bất đẳng thức đúng cho
n k
= , v
ới 1
n k
= +

ta đ
ặt
1k i
b x
+
=
và
1
k j
x b
+
= .

Từ bất đẳng thức
( )
(
)
1 1

0
k i k j
a a b b
+ +
- - ³ ta thu đư
ợc
1 1 1 1i j k k k j i k
a b a b a b a b
+ + + +
+ ³ +
,
như vậy trong X ta có thể thay đổi
i
x
và
1k
x
+
để thu được tổng lớn hơn. Sau khi đổi ta áp
dụng giả thiết qui nạp cho k thành phần đầu tiên của tổng X và suy ra A X³ .
Bất đẳng thức X B³ được suy ra từ A X³ bằng cách xét dãy
1 1

n n
b b b
-
- £ - £ £ -

thay cho dãy
1 2

n
b b b£ £ £ .

Với kí hiệu như trên, một cách ngắn gọn ta coi A là tổng các chỉ số “cùng chiều”, B
là tổng các chỉ số “đảo chiều”, còn X là tổng các chỉ số “tùy ý”. Bất đẳng thức Sắp xếp lại
cho ta: tổng cùng chiều ³ tổng tùy ý ³ tổng đảo chiều.
sent to
www.laisac.page.tl


Vic ỏp dng bt ng thc Sp xp li quan trng nht ch bin i bt ng thc
cn chng minh v dng cú cỏc v l tng ca tớch cỏc phn t tng ng ca 2 dóy m th
t ca chỳng liờn quan vi nhau (cựng th t hoc ngc th t). Chng hn hai dóy
{
}
, ,
a b c
v
{
}
3 3 3
, ,
a b c
cú cựng th t, cũn vi , , 0x y z >
thỡ hai dóy
{
}
, ,
x y z

v
1 1 1
, ,
x y z x y z
ỡ ỹ
ớ ý
+ + +
ợ ỵ
ngc th t.

II. S dng bt ng thc Sp xp li:
Mc dự bt ng thc Sp xp li c phỏt biu cho cỏc s thc nhng trong cỏc
bi tp di õy gi thit thng cho iu kin cỏc s dng hoc khụng õm, iu ny nhm
mc ớch sp xp 2 dóy cựng chiu ca gi thit c tha ỏng. Bờn cnh ú, nu khụng cú
gỡ c bit tỏc gi xin khụng trỡnh by trng hp xy ra du ng thc ( bi vỡ nú hon ton
nh phỏt biu trờn, ng thc xy ra khi 1 trong 2 dóy l dóy dng ), ng thi tỏc gi xin
c s dng kớ hiu
ồ
thay th cho
cyc
ồ
trong cỏc bi toỏn chng minh bt ng thc
quay vũng ca 3 bin. Ngoi cỏch ỏp dng bt ng thc Sp xp li, cú nhiu bi toỏn trong
s nhng bi di õy hon ton cú th gii bng nhng phng phỏp khỏc, v bờn cnh s
dng bt ng thc Sp xp li ta cũn ỏp dng mt s bt ng thc c in khỏc.

Bi toỏn 1
:
Cho n s thc ( , 2)
n nẻ Ơ

:
1 2
, , ,
n
a a a
tha món
1 2
1 2
0
1
n
n
a a a
a a a
+ + + =
ỡ
ù
ớ
+ + + =
ù
ợ

Chng minh rng
1 2
1
2
2
n
n
a a na

-
+ + + Ê

Bi gi
i:

Kớ hi
u
1 2
, , ,
t
j j j

v
1 2
, , ,
k
s s s

l cỏc phn t
{
}
1,2, ,nẻ
sao cho
1 2 1 2
0
t k
j j j s s s
a a a a a a

T
gi thit ta suy ra
1 2
1

2
t
j j j
a a a+ + + =
v
1 2
1

2
k
s s s
a a a+ + + = - .

Khụng gim tớnh tng quỏt, ta cú th gi s
1 2
2 0
n
a a na+ + +
( vỡ nu trỏi li ta
dựng phộp t
'
i i
a a= -
). Theo bt ng thc Sp xp li ta cú:

1 1 1
1 1 1
1 2
1 2 1 2 ( 1)
1
1 1 1
2
k k t
k k t
n s s s j j
s s s j j
a a na a a ka k a na
n
a a a na na
-
-
+ + + Ê + + + + + + +
-
Ê + + + + + + Ê

Bt ng thc ó cho c chng minh.

Bi toỏn 2
:
Cho cỏc s thc
, , 0a b c
tha món
1a b c+ + =
.
Chng minh rng

2
2
a b
b c
+

+
ồ


Bi gii :
Ta cú
2 2
( ) ( )
1
a b a b a b c a a b
b c b c b c
+ + + + +
= = +
+ + +
ồ ồ ồ

bt ng thc cn chng minh tr thnh
( )
a a b
a b c
b c
+
+ +
+

ồ
(*)
Chỳ ý l 2 dóy
{
}
, ,
a b c
v
1 1 1
, ,
b c c a a b
ỡ ỹ
ớ ý
+ + +
ợ ỵ
cú cựng th t, theo bt ng thc Sp
xp li ta cú
2
( ) ( )
a ab ca ab
a b c
b c b c b c b c
+ + = + +
+ + + +
ồ ồ
. Vy (*) c chng minh.

Bi toỏn 3
:
Cho , , 0.

x y z
>
Ch
ng minh rng
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
y x z y x z
x y z y z x z x y
- - -
ộ ự ộ ự ộ ự
+ + + Ê
ở ỷ ở ỷ ở ỷ


Bi gii:



t
(
)
(
)
(
)
2 2 2
, ,a x y z b y z x c z x y= + = + = +
.

L
y lụgarit t nhi
ờn 2 v,
a b
t ng thc cn chng minh v
dng:
ln ln
x c x a
Ê
ồ ồ
, b
t ng thc ny ỳng theo bt ng thc Sp xp li vi nhn xột
r
ng 2 dóy
{
}
, ,
x y z
v
{
}
, ,a b c
cựng th t, ng thi h
m
lnt ng bin tr
ờn
( )
0;+Ơ
nờn
dóy

{
}
ln ,ln ,lna b c
cng cú th t nh 2 dóy trờn, ta suy ra iu phi chng minh.

Bi toỏn 4:
Cho tam giỏc nhn ABC .
Chng minh rng
3
1 sin sin
2
A B-
ồ




Bài giải:
Sử dụng định lý sin, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
(
)
2
2 2
2
3
3 4 4 0 0
4
R ab
R R ab R ab R
R ab R

-
£ - Û - - ³ Û ³
- +
å å å
(*)
( ở đây a,b,c,R theo thứ tự là độ dài các cạnh BC,CA,AB và bán kính đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC ).
Từ bất đẳng thức quen thuộc
2 2 2 2
9a b c R+ + £ mà
2 2
3 2ab ab ab a b- = £ +
ta thu được:
(
)
2 2
3 3
R ab c ab
- ³ -
(1).
Ta sẽ chứng minh
2
2 2
4 4
c ab
R ab R R ab R
³
- + - +
å å
(2).

Vì 2 dãy
{
}
, ,a b c và
2 2 2
1 1 1
, ,
4 4 4
R bc R R ca R R ab R
ì ü
í ý
- + - + - +
î þ
có cùng thứ tự
nên theo bất đẳng thức Sắp xếp lại ta có
2 2 2
2 2 2 2
2 2
4 4 4 4
c a b ab
R ab R R ab R R ab R R ab R
³ + ³
- + - + - + - +
å å å å

Vậy (2) được chứng minh, kết hợp với (1) ta suy ra (*) được chứng minh.
Bài toán 5:
Cho
, , 0.a b c >

Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
a b c a b c
b c a b c a
+ + +
+ + ³ + +
+ + +


Bài gi
ải:


Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)

(
)
( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
1 1 1 2
2 1 1
1 1
1 1
a b a b a b ab a b ab a b ab a b
a b a b a b a b
b a ab b a
a b
+ + + ³ + + = + + + ³ + +
+ + + + +
Þ + = ³ = +
+ +
+ +
å å å å å å

Theo bất đẳng thức Sắp xếp lại
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1
1 1 1
1 1

a a a a b a
b b b b
b b b b
+
= + ³ + =
+ + +
+ +
å å å å å å
.
Từ đó ta có:


2
2
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2
1 1 1 1
1 2 1
1 1 1 1
a a b a
b b a b
a b a a
b a b b
æ ö æ ö
+ = + + +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø

æ ö æ ö
+ + + +
³ + + + = +
ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
+ + + +
è ø è ø
å å å å
å å å å

hay
2
2
1
1
a a
b b
+
³
+
å å
(đpcm).

Bài toán 6
:
Cho
, , 0a b c
³ thỏa mãn 1
a b c
+ + =

.
Chứng minh rằng
2 2 2
4
3
9
a b c abc+ + + ³

Bài giải:
Ta cần chứng minh
2 2 2 3
4
( )( ) 3 ( )
9
a b c a b c abc a b c+ + + + + ³ + +
Khai triển rồi đưa bất đẳng thức về dạng
(
)
3
5 3 3a abc ab a b+ ³ +
å å

- Theo bất đẳng thức Schur: có
( )
3
3a abc ab a b+ ³ +
å å
(1).
-

Theo b
ất đẳng thức Sắp xếp lại: có
3 2 2 2
a a b b c c a³ + +
å

và
3 2 2 2
a ab bc ca³ + +
å
,
c
ộng từng vế ta thu đ
ược
(
)
(
)
3 3
2 4 2
a ab a b a ab a b³ + Û ³ +
å å å å

(2).

Cu
ối c
ùng, cộng từng vế của (1) v
à (2) ta có đpcm.

Bài toán 7
:
Cho , , , 0a b c d ³
th
ỏa mãn
4a b c d+ + + = .

Chứng minh rằng
2 2 2 2
4a bc b cd c da d ab+ + + £

Bài giải:
Giả sử
( )
, , ,p q r s là hoán vị của
( )
, , ,a b c d sao cho p q r s³ ³ ³ .


Khi ú
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
2 2 2 2
2
2 2
2
1 1
2 4 4 2

a bc b cd c da d ab a abc b bcd c cda d dab
p pqr q pqs r prs s qrs pq rs pr qs
pq rs pr qs p q r s
p s q r
+ + + = + + +
Ê + + + = + +
ộ ự
+ + + + + +
ổ ử ổ ử
Ê = + + Êộ ự
ờ ỳ
ỗ ữ ỗ ữ
ở ỷ
ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ

(bt ng thc u tiờn l bt ng thc Sp xp li, hai bt ng thc sau l bt ng
thc AM-GM)
ý l 4p q r s a b c d+ + + = + + + =
, ta cú pcm.

III.Bt ng thc Chebyshev dng mu s
Bt ng thc Chebyshev c in cú th coi nh l h qu ca bt ng thc Sp xp li
(xem bi tp ỏp dng 1 phn V), t dng c in ny ngi ta m rng bt ng thc
Chebyshev theo mt vi hng, sau õy l mt dng m rng cú nhiu ng dng chng
minh bt ng thc:

Bt ng thc Chebyshev dng mu s (cũn gi l dng Engel) c phỏt biu nh sau:
a) Nu ta cú

1 2
1 2
1 2


n
n
n
a
a a
x x x
x x x
ỡ

ù
ớ
ù

ợ
hoc
1 2
1 2
1 2


n
n
n
a
a a

x x x
x x x
ỡ
Ê Ê Ê
ù
ớ
ù
Ê Ê Ê
ợ
thỡ ta cú
(
)
1 2
1 2
1 2 1 2



n
n
n n
n a a a
a
a a
x x x x x x
+ + +
+ + + Ê
+ + +

b)

N
u ta cú
1 2
1 2
1 2


n
n
n
a
a a
x x x
x x x
ỡ
Ê Ê Ê
ù
ớ
ù

ợ

ho
c
1 2
1 2
1 2


n

n
n
a
a a
x x x
x x x
ỡ

ù
ớ
ù
Ê Ê Ê
ợ

thỡ ta cú

( )
1 2
1 2
1 2 1 2



n
n
n n
n a a a
a
a a
x x x x x x

+ + +
+ + +
+ + +

(Ch
ng minh 2 kt qu n
y bng cỏch s dng trc tip bt ng thc Chebyshev)
Hai kt qu trờn, kt hp vi vic thờm cỏc biu thc phự hp, tr nờn hiu qu trong
vic ỏnh giỏ cỏc bt ng thc i 3 bin cú cha phõn thc, mc dự chỳng ch l m rng
n gin t bt ng thc Chebyshev. lm rừ thờm, chỳng ta xột mt vi vớ d sau:

Bi toỏn 1
: Cho , , 0a b c > tha món
1 1 1
1
1 1 1a b b c c a
+ +
+ + + + + +



Chứng minh rằng
a b c ab bc ca+ + ³ + +

Lời giải: Ta có
1 1 1
1 1 1
a b c
a b b c c a ab ac a bc ba b ca cb c
+ + = + +

+ + + + + + + + + + + +

Không giảm tính tổng quát, giả sử
c b a
£ £
, thế thì
c ca ca b bc ba a ab ac+ + £ + + £ + +
Lại có
a b c
ab ac a bc ba b ca cb c
³ ³
+ + + + + +
luôn đúng (vì bất đẳng thức này
a b cÛ ³ ³
)
Do đó theo a) thì

(
)
( )
1 1 1
1 1 1
3
2
a b c
a b b c c a ab ac a bc ba b ca cb c
a b c
a b c ab bc ca
+ + = + +
+ + + + + + + + + + + +

+ +
£
+ + + + +

Kết hợp với giả thiết ta suy ra
( )
( )
3
1
2
a b c
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
+ +
³ Û + + ³ + +
+ + + + +

Ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra khi
1a b c= = =
.

Bài toán 2
: Cho , , 0
a b c >

th
ỏa m
ãn
3a b c+ + = .

Ch
ứng minh rằng

4 9 4 9 4 9
13
ab bc ca
ab a b bc b c ca c a
+ + +
+ + ³
+ + + + + +


L
ời giải:
Không m
ất tính tổng quát, giả sử
a b c³ ³ , khi đó t
ừ bất đẳng
thức luôn đúng
( )( )
1 0
a b c+ - ³ ta suy ra ab a b ac a c+ + ³ + + . Tương tự ta thu đ
ư
ợc
ab a b ac a c bc b c+ + ³ + + ³ + +
Cũng từ bất đẳng thức luôn đúng
( )( )( )
3 3 0b c a a- - + ³ ta thu được
4 9 4 9ab ca
ab a b ca c a

+ +
£
+ + + +
, tương tự ta có
4 9 4 9 4 9ab ca bc
ab a b ca c a bc b c
+ + +
£ £
+ + + + + +



Do đó theo b) VT của bất đẳng thức cần chứng minh
( )
(
)
( )
12 81 12 81
2 6
ab bc ca ab bc ca
ab bc ca a b c ab bc ca
+ + + + + +
³ =
+ + + + + + + +

Ta chỉ cần chứng minh
(
)
3 4 27
13 3

6
ab
ab
ab
+
³ Û £
+
å
å
å

bất đẳng thức cuối cùng này đúng do
(
)
2
3
3
a b c
ab bc ca
+ +
+ + £ =
.

Bài toán 3
: Cho tam giác nhọn
ABC
.
Chứng minh rằng
1 1 1 3
1 tan tan 1 tan tan 1 tan tan

1 2 3
A B B C C A
+ + £
+ + + + + +
+


Lời giải: Tương tự Bài toán 1 ta có bất đẳng thức
(
)
(
)
1 1 1
1 tan tan 1 tan tan 1 tan tan
3 tan tan tan
tan tan tan 2 tan tan tan tan tan tan
A B B C C A
A B C
A B C A B B C C A
+ +
+ + + + + +
+ +
£
+ + + + +

Từ bất đẳng thức
(
)
3ab bc ca abc a b c+ + ³ + + và đẳng thức
tan tanA A=

å
Õ

có
( )
( )
(
)
( )
3 tan tan tan
tan tan tan 2 tan tan tan tan tan tan
3 3
2 tan tan tan tan tan tan
3 tan tan
1
1 2
tan tan tan
tan
3 3
1 2 3
3 tan
1 2
tan
A B C
A B C A B B C C A
A B B C C A
A A
A B C
A
A

A
+ +
+ + + + +
= £
+ +
+
+
+ +
= =
+
+
å
Õ
å
Õ
å

Ta có điều phải chứng minh.

Bài toán 4: Cho , , 0a b c > thỏa mãn
2 2 2
1a b c+ + = .
Chứng minh rằng
( )
9
1 1 1 2
a b b c c a
ab bc ca a b c
+ + +
+ + £

+ + + + +


Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( )( )
2 2 2
2 2 2
2
3 2 2
3 0 0
1
a b a b c
a b c ab ac bc
a b c ab ab
+ + +
æ ö
+ + - - -
- ³ Û ³
ç ÷
+ + + +
è ø
å å

Không giảm tính tổng quát, giả sử
1 1 1a b c ab ac bc³ ³ Þ + ³ + ³ +

Ta cần tiếp tục kiểm tra bất đẳng thức
(
)
( ) ( ) ( )

(
) (
)
( )
(
)
( )
(
) (
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
2 2 3 3 3 2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 3 2 2 2 2 2
2 2
3 2 2 3 2 2
1 1
2 3 2 0
2 2 3 3 3 2 2 0
2 1 2 1 2 3 3 0
2 2

a b c ab ac bc a c b ac ab bc
ab ac
b c a b c a b c abc b c a b c a b c
b c b c a a abc ab abc ac a b a c
b c b a c a abc a a a b c ab ac
b c b c b c
+ + - - - + + - - -
£
+ +
Û - - - + - - - + - - - ³
Û - + - - - + + + - - ³
Û - - + - + + - + + + + ³
Û - + + +
(
)
2 2
2 2 0
abc ab ac
+ + ³

bất đẳng thức trên luôn đúng, tương tự ta thu được
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 2 3 2 2 3 2 2
1 1 1
a b c ab ac bc a c b ac ab bc b c a bc ab ca
ab ac bc
+ + - - - + + - - - + + - - -
£ £
+ + +

Do đó theo b) ta có
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2 2
3 3 2 2 12
3 2 2
0
1 3 3
a b c ab ac bc a ab
a b c ab ac bc
ab ab ab
+ + - - - -
+ + - - -
³ = ³
+ + +
å å å
å
å å

Ta có đi
ều ph
ải chứng minh.


Bài toán 5
: Cho các số thực , ,
x y z

sao cho 1
x y z
+ + = .
Chứng minh rằng
2 2 2
9
1 1 1 10
x y z
x y z
+ + £
+ + +


Lời giải: Ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y z
x y z
x y z x y z
+ + £ + +
+ + + + + +

Do đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức trong trường hợp , , 0x y z > .
Không mất tính tổng quát, giả sử
x y z
³ ³ , khi đó
2 2 2
1 1 1x y z+ ³ + ³ +

Tiếp tục, ta kiểm tra
( )( )
2 2
1 0
1 1
x y
x y xy
x y
³ Û - - ³
+ +

Vì
1 2 1
x y z x y xy xy
+ + = ³ + ³ Þ <
nên bất đẳng thức trên đúng.
Tương tự ta có
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
³ ³
+ + +

Do đó theo a) ta thu được
(
)
( )
2 2 2 2 2 2
2

3
3 9
1
1 1 1 3 10
3
3
x y z
x y z
x y z x y z
x y z
+ +
+ + £ £ =
+ + + + + +
+ + +

Ta có điều phải chứng minh.

Bài toán 6
: Cho
, , 0a b c > thỏa mãn
1 1 1
1
1 2 1 2 1 2ab bc ca
+ + ³
+ + +

Chứng minh rằng
3a b c abc+ + ³

Lời giải:

Ta có
1 1 1
1 2 1 2 1 2 2 2 2
a b c
ab bc ca a abc b abc c abc
+ + = + +
+ + + + + +

Không giảm tính tổng quát, giả sử a b c³ ³ , thế thì 2 2 2a abc b abc c abc
+ ³ + ³ +

l
ại có
2 2 2
a b c
ab ac bc
a abc b abc c abc
³ ³ Û ³ ³
+ + +

( luôn đúng )
do đó theo a) ta có

( )
3
1 1 1
1 2 1 2 1 2 2 2 2 6
a b c
a b c
ab bc ca a abc b abc c abc a b c abc

+ +
+ + = + + £
+ + + + + + + + +

kết hợp với giả thiết ta suy ra
( )
3
1 3
6
a b c
a b c abc
a b c abc
+ +
³ Û + + ³
+ + +

Ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra khi 1a b c= = =


Bài toán 7: Cho , , 0a b c > thỏa mãn 3ab bc ca+ + = .
Chứng minh rằng


( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 3
1 1 1 1 2a b c b c a c a b abc
+ + £
+ + + + + + +

Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1 1 1
0
1 2 1 1 2 1 1 2 1
1 1 1
0
1 3 1 3 1 3
1 1 1
0
1 3 1 3 1 3
abc a b c abc b c a abc c a b
a bc b ac c ba
a bc b ac c ba
bc ac ba
abc bc abc ac abc ba

- + - + - ³
+ + + + + + + + +
- - -
Û + + ³
+ - + - + -
- - -
Û + + ³
+ - + - + -

Không mất tính tổng quát, giả sử a b c
³ ³ , khi đó
( ) ( ) ( )
1 3 1 3 1 3
abc ba abc ac abc bc
+ - £ + - £ + -
Và ta cũng có
(
)
(
)
(
)
1 1 1
1 3 1 3 1 3
bc ac ba
abc bc abc ac abc ba
- - -
³ ³
+ - + - + -

(vì
3
2 2 2
3 3 1ab bc ca a b c abc= + + ³ Þ £ )
Do đó theo b) ta có
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
3 3
1 1 1
0
1 3 1 3 1 3 3 9
ab bc ca
bc ac ba
abc bc abc ac abc ba abc ab bc ca
- - -
- - -
+ + ³ =
+ - + - + - + - - -

Ta có điều phải chứng minh.
IV. M
ột số bài t
ập áp dụng

Bài tập 1: (bất đẳng thức Chebyshev)
Kí hi
ệu
,A B
giống nh
ư trong b
ất đẳng thức Sắp xếp lại.

CMR:
(
)(
)
1 2 1 2

n n
a a a b b b
A B
n
+ + + + + +
³ ³
Bài t
ập 2
:
Cho
n s
ố thực d
ương
1 2
, , ,

n
c c c
(v
ới
*
nÎ¥ ). Ta kí hiệu
(
)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1
1 2 1 2
, ,
, 1 1 1
n n
n
n n
RMS c c c n AM c c c n
GM c c c HM n c c c
é ù
= + + + = + + +
ë û
= = + + +
é ù
ë û

CMR:

RHM AM GM HM
³ ³ ³
Bài tập 3:
Cho
, , 0.a b c > CMR:
1
2
k k
a a
a b
-
³
+
å å
( 2)k" ³
Bài tập 4:


Cho
( )
, , 1;a b cÎ +¥
. CMR:
2 2 2
log log log log log log
ab bc ca
a bc ab c abc
c a b bc ca ab+ + ³ + +

Bài tập 5:
Kí hiệu , ,

a b c lần lượt là độ dài các cạnh
, ,
BC CA AB
của tam giác nhọn
ABC
.
CMR:
(
)
4
cos cos cos
a b b c c a
a b c
C A B
+ + +
+ + ³ + +

Bài tập 6:
Cho
, , 0
a b c
>
. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
( ) ( ) ( )
2 2 2
0
a b b c b c c a c a a b
a b b c c a
- - -

+ + ³
+ + +

b)
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
a b c
b c c a a b
+ + +
+ + ³ + +
+ + +

c)
5 5 5 2 2 2
3 3 3 3 3 3
2
a b c a b c
a b b c c a
+ +
+ + ³
+ + +

Bài tập 7:
Cho
, , 0a b c > thỏa mãn 3a b c+ + =
.
CMR:
1 1 1 3
9 9 9 8ab bc ca

+ + £
- - -

Bài tập 8:
Cho
, , , 0a b c d ³

th
ỏa mãn
4a b c d+ + + =
.


CMR:
1 1 1 1
1
5 5 5 5abc bcd cda dab
+ + + £
- - - -

Bài tập 9:
Cho
, , 0a b c
³ . CMR:
(
)
2 2 2
3 8 8 8a b c a bc b ca c ab+ + ³ + + + + +

Bài tập

10
:
Chứng minh rằng với
, , 0a b c
³ và 2 0k³ ³ ta có bất đẳng thức
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0
a bc b ca c ab
b c ka a c kb b a kc
- - -
+ + ³
+ + + + + +

V. Tài liệu tham khảo:
1. G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Polya, Bất đẳng thức.
2. Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức ( tập 1).
3. VIMF (Nhiều tác giả), Discovery Inequalities (Third version).