đơn ánh, tòan ánh và song ánh trong các bài tóan về phương trình hàm

1
A.PHẦNLÝTHUYẾT
1.Ánhxạ
1.1.Địnhnghĩa.MộtánhxạftừtậpXđếntậpYlàmộtquytắcđặttươngứngmỗi
phầntửxcủaXvớimột(vàchỉmột)phầntửcủaY.Phầntửnàyđượcgọilàảnh
củaxquaánhxạfvàđượckíhiệulàf(x).
(i)TậpXđượcgọilàtậpxácđịnhcủaf.Tập hợpY đượcgọilàtập giátrịcủaf.
(ii)ÁnhxạftừXđếnY đượckíhiệ ulà
:f X Y ®
( )
x y f x = a
(iii)KhiX vàYlàcáctậpsốthực,ánhxạfđượcgọilàmộthàmsốxácđịnhtrên X
(iv)C ho ,a X y Y Î Î .Nếu
( )
f a y = thìtanóiylàảnhcủaavàalànghịchảnhcủay
quaánhxạ f.
(v)Tậphợp
( )
{ }
,Y y Y x X y f x = Î $ Î =
gọilàtậpảnhcủaf.Nóicáchkhác,tậpảnh
( )
f X làtậphợptấtcảcác phẩntửcủaYmàcónghịchảnh.
2.Đơnánh,toànánh,songánh
2.1. Định nghĩa.Ánhxạ :f X Y ® được gọilàđơnánhnếuvới ,a X b X Î Î mà
a b ¹ thì
( ) ( )
f a f b ¹ ,tứclàhaiphầntửphânbiệtsẽcóhaiảnhphânbiệt.
Từ định nghĩa ta suy ra ánh xạ f là đơn ánh khi và chỉ khi với ,a X b X Î Î mà
( ) ( )
f a f b = ,taphảicó a b = .

2.2.Địnhnghĩa.Ánhxạ :f X Y ® đượcgọilàtoànánhnếuvớimỗiphầntử y Y Î
đềutồntạimộtphầntử x X Î saocho
( )
y f x = .Nhưvậyflàtoànánhnếuvàchỉ
nếu
( )
Y f X = .
www.laisac.page.tl
Đ
Đ
Ơ
Ơ
N
N
Á
Á
N
N
H
H
,
,
T
T
O
O
À
À
N
N

Á
Á
N
N
H
H
V
V
À
À
S
S
O
O
N
N
G
G
Á
Á
N
N
H
H
T
T
R
R
O
O

N
N
G
G
C
C
Á
Á
C
C
B
B
À
À
I
I
T
T
O
O
Á
Á
N
N
V
V
Ề
Ề
P
P

H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
H
H
À
À
M
M
TRẦNNGỌCTHẮNG
2
2.3. Định nghĩa.Ánhxạ :f X Y ® đượcgọilàsongánhnếunóvừalàđơnánh
vừalàtoànánh.Nhưvậyánhxạ :f X Y ® làsongánhnếuvàchỉnếuvớimỗi

y Y Î ,tồntạivàduynhấtmộtphầntử x X Î để
( )
.y f x =
3.Ánhxạngượccủamộtsongánh
3.1.Địnhnghĩa.Ánhxạngượccủaf,đượckíhiệubởi
1
f
-
,làánhxạtừYđếnX
gánchomỗiphầntử y Y Î phầntửduynhất x X Î saocho
( )
y f x = .Nhưvậy
( ) ( )
1
f x y f x y
-
= Û =
3.2.Chúý.Nếufkhôngphả ilàsongánhthìtakhôngthểđịnhnghĩađượcánhxạ
ngượccủaf.Dođóchỉnóiđếná nhxạngượckhi flàsongánh.
4.Ánhxạhợp
4.1.Địnhnghĩa.Nếu :g A B ® và :f B C ® và
( )
g A B Ì thìánh xạhợp
:f g A C ® o đượcxácđịnhbởi
( )( ) ( )
( )
.f g a f g a = o
Kíhiệu

n

n
p p p p = o o o
14243
.
5.Mộtsốkíhiệu
¥ :Tậpcácsốtựnhiên
*
¥
:Tậpcácsốnguyêndương
¤ :Tậpcácsốhữutỷ
+
¤ :Tậpcácsốhữutỷdươ ng
¢ :Tậpcácsốnguyên
+
¢ :Tậpcá csốnguyênd ương
¡ :Tậpcácsố thực
+
¡ :Tậpcácsốthựcdương.
B.PHẦNBÀITẬPMINHHỌA
BÀIT11/409(THTT,THÁNG072011).Tìmtấtcảcáchàmsố :f ® ¡ ¡ ,liên
tụctrên¡ vàthỏamãn điềukiện
( ) ( ) ( ) ( )
, , .f xy f x y f xy x f y x y + + = + + " Ρ (1)
3
LIGII
Thay 1y = vo(1)tac:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 ,f x f x f x f x + + = + " ẻĂ (2)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1f x f x f x f ị + + - =

ị
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 2 2f x f x f x f f x f x f x + + - = = + + + - +
ị
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 ,f x f x f x f x x + - = + - " ẻ Ă.
Doútathuc :
( ) ( )
2 2 2 , 1
2 2 2 2
k k
x x x x
f x f x f f f f k
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
+ - = + - = = + - "
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
( ) ( ) ( ) ( )
2 lim 2 2 0
2 2
k k
k
x x
f x f x f f f f
đ+Ơ
ổ ử
ổ ử ổ ử
ị + - = + - = -
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ

ố ứ ố ứ
ố ứ
.Túsuyra:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 0 ,f x f x f f x + - = - " ẻĂ (3)
Vinlsnguyờndngvngthc(3)tathuc:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 0f x n f x n f f + - + - = -
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 4 2 0f x n f x n f f + - - + - = -

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 0f x f x f f + - = -
Cngtngvcỏcngthctrờnta c:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 0 , 1,f x n n f f f x n x + = - + " ẻĂ (4)
Tngttacú:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 1 2 0 1 , 1,f x n n f f f x n x + + = - + + " " ẻĂ (5)
Thay 2y n = vo(1)vkthpvingthc(4)ta c:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2f n x f n f nx f x n f n x f nx f x n f n + + = + + + - = + -

( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 1 2 2 0 1 2 0 1f n x f nx n f f f x n f f f ị + - = - + + - - -
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 1 2 0f n x f nx f x f ị + - = - (6)
Tngttacú ngthc:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 1 1 1f nx f n x f x f - - = + - (7)
Tcỏcngthc(6)v(7)tacú:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 1 1 1f nx f n x f x f - - = + -
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 1 2 2 0f n x f n x f x f - - - = -

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1f x f x f x f - = + -
Cngtngvcỏcngthctrờnta c:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 1 1 1 0f nx f x n f x f n f x f - = + - + - -
4
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 1 1 1 0f nx n f x f x f n f ị = + + - - - .Kthpvingthc(2)ta c:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1 0 ,f nx nf x n f x = - - " ẻĂ
( ) ( ) ( ) ( )
1 0 ,f nx nf x n f x ị = - - " ẻĂ (8)
Trong(8)thay 2, 1n x = = tac:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1 0 2 1 0 2 0 0 1 1 2 0 1f f f f f f f f f f f f = - - = - = - - ị - = -
t
( ) ( ) ( )
1 0 0a f f b f = - = .Khiúvimisnguyờndngnvtngthc
(8)tac:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 0f n nf n f an b = - - = +
( ) ( )
1 1 1 1
. 1 0f n nf n f f a b

n n n n
ổ ử ổ ử ổ ử
= - - ị = +
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ
( ) ( )
1 1 1 1
. 1 0f n nf n f f a b
n n n n
-
ổ ử ổ ử ổ ử
= - - - ị - = - +
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ
Vimishut r ẻÔ luụnbiudindidng
m
r
n
= ,trongú
*
,m n ẻ ẻ Ơ Â nờn
theongthc(8)vcỏcngtrờntac:
( ) ( ) ( )
1 1
. 1 0
m
f r f m mf n f a b ar b
n n n
ổ ử ổ ử
= = - - = + = +

ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
( )
f r ar b ị = + (9)
Vimi xẻĂ ,tntidóyshut
{ }
n
x hitn x nờntngthc(9)vt ớnh
liờ ntcca f suyra
( )
f x ax b = + .Thlithythamón.
Bi1(IMO1988).Tỡmttccỏchm
* *
:f đ Ơ Ơ thamón ngt hc:
( ) ( )
( )
f f m f n m n + = + ,
vimi
*
,m nẻƠ .
Ligii. Thay m n = vongthctrờntac
( )
( )
2 2f f n n = (1),vtngthc
nytacú:nu
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 2 1 2 1 2 1 2

2 2f n f n f f n f f n n n n n = ị = ị = ị = haysuyra f
lnỏnh.
Tacú
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 1 1 1 1n n n n n f f n f n f f n f n = - + + = + ị - + + = + ,vdo f ln
ỏnhnờn
( ) ( ) ( )
1 1 2 , 2f n f n f n n - + + = " (2).
Tngthc(2)tacú:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1f n f n f n f n f f a - - = - - - = = - = ,
suyra
( ) ( ) ( )
1 1f n f n a an b = + - = + trongú
( )
1b f a = - .
Thay
( )
f n an b = + vophngtr ỡnhban utac 1, 0a b = = .
Vy
( )
*
,f n n n = " ẻƠ .
Nhnxột.Bngcỏchlmtngtbitrờntagi iccỏc bitpsau:
5
Bài2(Canada2008).Tìmtấtcảcáchàm số :f ® ¤ ¤ thỏamãn đẳngthức:
( ) ( )

( )
2 2f f x f y x y + = + ,
Vớimọi , .x y Τ
Bài3 (MởrộngCanada2008).Tìmtấtcảcáchà msố :f
+ +
® ¤ ¤ thỏamãnđẳng
thức:
( ) ( )
( )
2 2f f x f y x y + = + ,
Vớimọi , .x y
+
Τ
Bài4 (BalkanMO2009).Kíhiệu
*
¥
làtậphợpcácsốnguyêndương.Tìmtấtcả
cáchàm
* *
:f ® ¥ ¥ thỏa mãn đẳngthức:
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2f f m f n m n + = + ,
Vớimọi
*
, .m nÎ¥
Lờigiải.Nếu
*
1 2

,m m Î¥ saocho
( ) ( )
1 2
f m f m = Þ
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2f f m f n f f m f n m n m n + = + Þ + = + , suy
ra
1 2
m m = hay f làđơnánh.
Dếthấyvớimọi
*
, 3n n Î ³ ¥ tacó:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 1 2 2 1n n n n + + - = - + + .
Từđẳngthứckếthợpvớiphươngtr ình đãchotađược:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2 1 2 2 1f f n f n f f n f n + + - = - + + ,
do f làđơnánhnêntacó:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2

2 2 1 2 2 1f n f n f n f n + + - = - + + (1)
Từđẳngthức(1)tacó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 1 1 2 1 
3 2 2 1 .
f n f n f n f n f n f n
f f f a
+ - + + = + - + - = =
- + =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2
1 2 2 3

1 2 1 2
1 2 2 1 3

f n f n f n f n a
f n f n f n f n a
f n f n f f a n
f n f n f f a n

Þ - - = - - - +
- - - = - - - +
Þ - - = - + -
- - - = - + -
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 1 2 1f f f f - = -
Cộngtừngvếcủacácđẳngthứctrênta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( )
2 2 2 2
1 2
1 1 2 1
2
a n n
f n f n f f
- -
- = - - + (2)
6
Từđẳngthức(2)tasuyra
( )
2
f n códạng:
( )
2 2
.f n bn cn d = + + (3)
Mặt khácphươngt rìnhban đầucho m n = tađược:
( )
( )

2 2
3 3f f n n = (4)
Từ(3)và(4)tathuđược 1, 0b c d = = = .Vậy
( )
f n n = ,vớimọi
*
nÎ ¥
.
Nhậnxét.Bằngcáchlàmtươngtựtagiảiđượcbàitoánsau:
Bài5(HSGLớp10VĩnhPhúc2011).Kíhiệu ¥ chỉtậphợpcácsốtựnhiên.Giả
sử :f ® ¥ ¥ làhàmsốthỏamãncácđiềukiện
( )
1 0f > và
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2f m n f m f n + = + ,
vớimọi ,m nÎ ¥ .Tínhcácgiátrịcủa
( )
2f và
( )
2011f .
Bài6(IndonesiaTST2010).Xácđịnhtấtcả cácsốthực a saochocómộthàmsố
:f ® ¡ ¡ thỏamãn:
( ) ( )
( )

,x f y af y f x + = +
vớimọi ,x y Ρ .
Lờigiải.
Dễthấynếu 0a = khôngthỏamãn.Dođó 0a ¹ ,thay 0y = vàođẳngthứctrênta
được:
( )
( )
( )
0x f
f f x
a
+
= (1)
Từđẳngthức(1)suyra f làmộttoànánhnêntồntại x Ρ saocho
( )
0f x = .Khi
đótừphươngtr ìnhban đầutacó:
( ) ( ) ( ) ( )
1x f y af y x a f y + = Û = - ,vớimọi y Ρ (2)
Từđẳngthức(2)thìsẽxẩyra 1a = hoặc
( )
f y const º .
+)Nếu
( )
f y const º thìkhôngthỏamãnphươngtrìnhban đầu.
+)Nếu 1a = thì lấy
( )
f x x = ,vớimọi x Ρ thỏamãnbàitoán.Vậy 1a = .
Bài7(MEMO2009).Tìmtấtcả cáchàmsố :f ® ¡ ¡ thỏamãn đẳngthức:
( )

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
f xf y f f x f y yf x f x f y + + = + + ,
Vớimọi ,x y Ρ .
Lờigiải
+)Nếu
( )
0f x = vớimọi x Ρ ,thửvàophươngtrình đãchota thấythỏamãn.
7
+)Nếutồntại a Ρ saocho
( )
0f a ¹
.Khiđóvới
1 2
,y y Î ¡ saocho
( ) ( )
1 2
f y f y = ,
từphươngtrìnhtrênthay x bởia và
y
lầnlượtbởi
1 2
,y y tađược:
( )
( )
( ) ( )
( )

( ) ( )
( )
1 1 1 1
f af y f f a f y y f a f a f y + + = + + (1)
và
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
f af y f f a f y y f a f a f y + + = + + (2).
Từ(1)và(2)tađược
( ) ( )
1 2 1 2
y f a y f a y y = Þ = .Vậy f làmộtđơnánh.
Thay 0, 1x y = = vào phương trình ta được:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
0 0 1 0 1f f f f f f f + + = + ,
sửdụng f làđơ nánhtađược
( )
0 0f = .
Mặt khácthay 0y = vàphươngtrìnhvàsửdụng
( )
0 0f = tađược:
( )

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
0 0 0. 0
,
f xf f f x f f x f x f
f f x f x f x x x
+ + = + +
Û = Û = " Î ¡
Vậy
( )
0,f x x = " Ρ hoặc
( )
,f x x x = " Ρ.
Bài8(T11/407THTTtháng52011).Tìmtấtcảcáchàmsố f xácđịnhtrêntập
¡ ,lấygiátr ịtrong ¡ vàthỏamãnphươngtrình
( )
( )
( )
( )
2f x y f y f f x y + + = + ,
vớimọisốthực
,x y
.
Lờigiải.

+)Cho 0y = tađược
( )
( )
( )
( )
0f f x f x f = + (1)
+)Tachứngminh f làđơnánh.Thậtvậynếu
1 2
,y y saocho
( ) ( )
1 2
f y f y = (2).
Từ(1)và(2)tacó
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2 1 2
0 0f f y f f y f y f f y f = Þ + = + (3).
Cho
( )
0 ( )x f f y = - thayvàophươngtrìnhđãchotađược
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )

( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
0 0 2
0 0 2 (4)
f f f y y f y f f f f y y
f y f f f f f y y
- + + = - +
Û + = - +
Từ(4)lầntha y
y
bởi
1 2
,y y tađược
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1 1 1
2 2 2
0 0 2

0 0 2
f y f f f f f y y
f y f f f f f y y
+ = - +
+ = - +
Từhaiđẳngthứcnàykếthợpvới(2)và(3)tađược
1 2
y y = . Vậy f làmộtđơ nánh.
Dođótừ(1)tacó
( ) ( )
0f x x f = + thửlạithấythỏamãn.
Bài9(IRANTST2011).Tìm tấtcảcácsongánh : f ® ¡ ¡ saocho:
8
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2f x f x f y f x f y + + = + ,
Vimi ,x y ẻĂ .(42)
Ligii.
Do f lmttonỏnhnờnvimi xẻĂ tnti t ẻĂ saocho
( )
( )
2
x f x
f t x
+
= - + .
Khiúthayvop hngtrỡnhban utac:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 0f x f x f t f t = + = (1)

Thay 2x y t = = vophngtrỡnhhmban uvkthpvi (1)tac:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 4 4 0f t f t f t f t f t + + = = (2)
T(1),(2)vdo f lnỏnhnờntacú:
( ) ( )
( )
( )
4 2 4 2 0 0
2
x f x
f t f t t t t x f x x
+
= = = - + = = .
Vy
( )
f x x = ,vimi x ẻĂ .
Bi10.Xộtttccỏ chmnỏnh :f đ Ă Ă thamón iukin:
( )
( )
2f x f x x + = ,
vimi xẻĂ .Chngminhrnghms
( )
f x x + lmtsongỏnh.(19)
Ligii.
t
( ) ( ) ( ) ( )
g x f x x f x g x x = + ị = - .Khiútphngtrỡnhban utac:
( )

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2g x f x x f x x g g x g x x + - + = - = .
Doútacú
( )
( )
( )
2 ,g g x g x x x - = " ẻĂ (1)
+)Tachngminh
g
lnỏnh.Thtvyvi
1 2
,x x ẻĂ saocho
( ) ( )
1 2
g x g x = suyra
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1 1 2 2 1 2
g g x g x g g x g x x x - = - = hay
g
lnỏnh.
+)Tachngminh

g
ltonỏnh.Thtvyvimi xẻĂ tacú:
( )
( ) ( ) ( )
2.
2 2 2
f x f x f x
f x f f
ổ ử
ổ ử
= = +
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
ố ứ
vkthpvi f lmtnỏnhtathuc:
( ) ( ) ( )
2 2 2
f x f x f x
x f g
ổ ử ổ ử
= + =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
.ngthcnychngt
g
lmttonỏnh.
Doú
g

lmtsong ỏ nhhay
( )
f x x + lmtsongỏnh.
Bi11. Xộtttccỏchm , , :f g h đ Ă Ă saocho f lnỏnhv h lso ngỏnh
thamón iukin
( )
( )
( )
f g x h x = ,vimi xẻĂ .
Chngminhrng
( )
g x lmthmsongỏnh.
9
Lờigiải.
+)Tachứng minh
( )
g x làđơnánh.Thậtvậyvới
1 2
,x x Ρ saocho
( ) ( )
1 2
g x g x =
suyra
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
f g x f g x h x h x x x = Û = Û = (do h làmộtsongánh).Từđó

suyra
g
làmộtđơ nánh.
+)Tachứngminh
( )
g x làtoànánh.Thậtvậyvớimọi xΡ vàdo h làmộtsong
ánhnêntồntại y Ρ saocho
( ) ( ) ( )
( )
( )
f x h y f g y x g y = = Þ = (do f làđơnánh).Từđósuyra
g
là mộttoàn
ánh.
Vậy
( )
g x làmộthàmsongánh.
Bài12.Xéttấtcảcá chàm
{ }
: 0f
+
® ¡ U ¡ thỏamãn đồ ngthờihaiđiềukiệnsau:
(i)
( ) ( ) ( )
f x y f x f y + = + ,vớimọi
{ }
, 0x y
+
Ρ U
(ii)Sốphầntửcủatậphợp

( ) { }
{ }
0,  0x f x x
+
= Ρ U làhữuhạn.
Chứngminhrằng f làmộthàmđơnánh.(25)
Lờigiải.
Bằngp hươngphápquynạptadễdàngchỉrađược
( ) ( ) { }
*
,  , 0f nx nf x n x
+
= " Î " Î ¥ ¡ U (1)
Thay 0x y = = vàophươngtrìnhban đầutađược
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0f f f f + = + Û = .
Giảsử
{ }
1 2
, 0x x Ρ U saocho
( ) ( )
1 2
f x f x = .Khôngmấttínhtổngquáttacóthểgiả
sử
1 2
x x ³ .Khiđótheođiềukiện( i) tađược:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 1 1 2
0f x x f x f x f x x - + = Þ - = (2)
Từ(1)và(2)tathuđược:

( )
( )
( )
1 2 1 2
0f n x x nf x x - = - = ,vớimọi
*
nÎ ¥
.Từđókết
hợpvớiđiềukiện(ii)tasuyra
1 2
x x = .Vậy f làmộthàmđơnánh.
Bài13(ShortlistIMO2002).Tìmtất cảcác hàmsố :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( )
( )
( )
( )
2f f x y x f f y x + = + - ,
vớimọi , .x yÎ ¡.
Lờigiải.
+)Tachứngminh f làtoànánh.Thậtvậy,tha y
( )
y f x = - vàophươngtrìnhban
đầutađược:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

0 2 0 2f x f f f x x f f f x x f x = + - - Û - - = -
,
suyra f làtoànánh.
+)Do f làtoànánhnêntồntại aΡ saocho
( )
0.f a =
10
+)Thay x a = vàophươngtr ìnhban đầutađược:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2f y a f f y a f f y a a f y a = + - Û - + = - (1)
+)Do f làtoànánhnênvớimọi x Ρ tồntại y Ρ saocho
( )
x a f y + = .Dođótừ
đẳngthức(1)tathuđược:
( ) ( )
,x f x a f x x a x = + Û = - " Ρ .Thửlạitathấythỏa
mãn điềukiện.Vậy
( )
.f x x a = -
Bài14.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2f f x f y f x y f y + = + + ,
vớimọi ,x y Ρ .(17)
Lờigiải.

Với
1 2
,y y Ρ sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 2 1 2
2 2f y f y f f x f y f f x f y = Þ + = + suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 2
f x y f y f x y f y y y + + = + + Þ = .Dođó f làmộtsongánh.
Thay
( )
y f x = - vàophương trìnhban đầutađược:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
f f x f f x f f x
f x f f x f x
+ - = -
Þ + - = -
( )

( )
( )
,f f x f x x Þ - = - " Ρ (1)
Thay
( )
x f y = - vàophươngtrìnhban đầutađược:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
, y
f f f y f y f f y y f y
f f y f y y f y y
- + = - + +
Þ = - + + = " Ρ
Suyra f làmộttoànánh.
Dođóvớimọi xΡ thìtồntạit Ρ saocho
( )
x f t = .Từđẳngthức (1)tacó:
( )
( )
( ) ( )
,f f t f t f x x x - = - Û - = - " Ρ .Vậ y

( )
,f x x x = " Ρ .
Bài14.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đồ ngthờicácđiề ukiệnsau:
(i)
( )
( )
( )
f f x y x f y + = + ,vớimọi ,x y Ρ
(ii)Vớ imọi
x
+
Î ¡
tồntại y
+
Ρ saocho
( )
.f y x = (27)
Lờigiải.
Với
1 2
,x x Ρ saocho
( ) ( )
1 2
f x f x = nêntừđiềukiện(i)tađược:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2

f f x y f f x y x f y x f y x x + = + Þ + = + Þ = suyra f làđơnánh.
Thay 0x y = = vàophươngtrình ởđiềukiện(i)tađược:
( )
( )
( ) ( )
0 0 0 0.f f f f = Þ = (1)
Thay 0y = vàophươngtrình ởđiềukiện(i)vàkếthợp với(1)ta được:
11
( )
( )
( ) ( )
( )
0f f x x f f f x x = + Þ = (2)
Thay x bởi
( )
f x trongphươngtrình ởđiềukiện(i)vàkêthợpvới(2)tađược:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f f f x y f x f y f x y f x f y + = + Þ + = +
(3)
Vớimọi 0x > ,tồntại 0y > saocho
( ) ( )
( )
( )
x f y f f x y f x = = Þ = .Từđósuyravới
mọi 0x > thì
( )
0f x > .

Tachứngminh f làhàmđồngbiến.Thậtvậyvới
1 2 1 2
, ,x x x x Î > ¡ vàkếthợpvới
(3)tacó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 2 2 2
f x f x x x f x x f x f x = - + = - + > suyra f là một hà m số
đồngbiến.
Dohàmsố f đồngbiếnvàđẳngthức(2)tathuđược:
( )
,f x x x = " Ρ .
Vậy
( )
,f x x x = " Ρ .
Bài14(France1995).Chohàmsố
* *
:f ® ¥ ¥ làmộtsongánh.Chứ ngminhrằng
tồntạibas ốnguyêndương , ,a b c saocho a b c < < và
( ) ( ) ( )
2f a f c f b + = .
Tasẽchứngminhbàitoántổngquáthơnbàitoántrên.
Bài15.Chohàmsố
* *
:f ® ¥ ¥ làmộtso ngánh.Chứngminhrằngtồntạibốnsố
nguyêndương , , ,a b c d saocho a b c d < < < và
( ) ( ) ( ) ( )
f a f d f b f c + = + .
Lờigiải.
Dof làmộtsongánhtừ
*

¥
đến
*
¥
nêntồntạinsaocho (1) ( )f f n < .
{ }
*
: (1) ( )M n f f n = Î < ¥ làtậpconkhácrỗngcủa
*
¥
nênt ồntạiphầntửnhỏnhất
củaM,kíhiệulàb, 1b > và ( ) (1)f b f > .Gọiclàphầntửnhỏnhấtcủatập
{ }
\M b ,
kí hiệ u là c, 1 b c < < và ( ) (1)f c f > . Từ f là songánh nên tồn tại
*
d Î ¥
sao cho
( ) ( ) ( ) (1)f d f b f c f = + - .
Từđẳngthứctrênsuyra ( ) ( ), ( ) ( ) 1 f d f b f d f c d c b ¹ ¹ Þ > > > .Dođótồntại
*
, , , a b c d Î¥ saocho 1a b c d = < < < và ( ) ( ) ( ) ( )f a f d f b f c + = + .
Bài16(THTTTháng1/2011 ).Vớimỗi
*
n Î ¥
,kíhiệu
n
a làsốtấtcảcácsongánh
{ } { }
: 1,2,3, , 1,2,3, ,f n n ® thỏa mãn điều kiện với mọi

{ }
1,2,3, ,k n Î thì
( )
( )
f f k k = .
1) Chứngminhrằng
n
a làsốchẵnvớimọi 2n ³ .
2) Chứngminhrằngvới 10n ³ và 3nM thì
9
3
n n
a a
-
- M .
12
Chứngminh. Tacó
n
a bằngtổngcủasốcácsongánhthỏamãn
( )
f n n = vàsốcác
songánhthỏamãn
( )
f n n ¹ .Chúýrằngvới
( )
f n n ¹ thì
( ) { }
1, 2,3, , 1f n n Î - nên
( )
f n có 1n - cáchchọn.Dođótacóđẳngthứcsau:

( )
1 2
1 , 2
n n n
a a n a n
- -
= + - " ³ , vớichúý
0 1
1a a = = .
1) Bằngquynạptachứngminhđượcngay
n
a làsốchẵnvớimọi 2n ³ .
2) Từđẳngthứctrêntachứ ngminhdễdàngđẳngthức:
( ) ( )
3 4
2 2 3 , 4
n n n
a n a n n a n
- -
= - + - " ³
( ) ( )
3 3 4
2 3 3
n n n n
a a n a n n a
- - -
Þ - = - + -
( )
3
0 mod3

n n
a a
-
Þ - º nếu
( )
0 mod3n º .
Từđótasuyra:
( )
9 3 3 6 6 9
0 mod3 , 10
n n n n n n n n
a a a a a a a a n
- - - - - -
- = - + - + - º " ³ .
Bài16.Tìmtấtcảcáchàmsố :f ® ¡ ¡ thỏamãn điềukiện:
( )
( )
( )
( )
f x y f xy f f x y xy + + = + + ,
vớimọisốthực
,x y
. (1)
Lờigiải.
Trướchếttachứngminh f làmộthàmđơnánh.Thậtvậy,xéthaisốa, bbấtkì.
Chọn ssaocho
2 2
4 ; 4s a s b > > .Khiđóphươngtrình
2
0t st a - + =

cóhainghiệmpbiệtlà
1 2
,t t
2
0t st b - + =
cóhainghiệmpbiệtlà
3 4
,t t
Trong(1)lần lượtthay(x,y)bằng
1 2 3 4
( , );( , )t t t t tađược:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f s f a f f s a
f s f b f f s b
ì
+ = +
ï
í
+ = +
ï
î
Từđónếu ( ) ( )f a f b = thì a=bsuyrafđơnánh.
Thay y=0trong(1)tađược

( )
( )
( )
( )
0 ( ) (0)f x f f f x f x x f + = Þ = + .
Vậy
( )
f x x a = + ,trongđó a làmột hằngsố.
C.PHẦNBÀITẬPĐỀNGHỊ
Bài17.Tìmtấtcảcáchàm
* *
:f ® ¥ ¥ thỏa mãncácđiềukiệnsau:
(i) f làtoànánh;
(ii)m làướccủa n khivàchỉkhi
( )
f m làướccủa
( )
f n .
Bài18.Tìmtấtcảcáchàm
* *
:f ® ¥ ¥ thỏa mãn điềukiện:
13
( )
( )
( )
1f m f n n f m + = + + ,
vớimọi
*
,m nÎ¥ .
Bài19(CHSéc2006).Tìmtấtcảcá chàm :f ® ¢ ¢ thỏamãn điềukiện:

( )
( )
( )
2006f f x y x f y + = + + ,
vớimọi ,x y ΢ .
Bài20 (Rumani1988).Cho
* *
:f ® ¥ ¥ làmộttoànánhvà
* *
:g ® ¥ ¥ làmộtđơn
ánh sao cho với mọi số nguyên dương n ta có
( ) ( )
f n g n ³ .  Chứng minh rằng
.f g =
Bài21(IMOShortlist1995).Chứng minhrằng tồntại một vàchỉmột hàmsố
* *
:f ® ¥ ¥ saochovớimọisốnguyêndương
,m n
tacó:
( )
( )
( )
95f m f n n f m + = + + .
Tínhtổng
( )
19
1k
f k
=
å

.
Bài22.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( )
( )
( )
( )
( )
2 2f x f x y x f f x f y + + = + + ,
vớimọi ,x y Ρ .(9)
Bài 23 (Olimpiad Áo – B alan 1997). Chứng minh rằng không tồn tại hàm số
:f ® ¢ ¢ s aochovớimọisốnguyên
,x y
tacó
( )
( )
( )
f x f y f x y + = - .
Bài24.Xéttấtcảcá chàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn điềukiện:
( )
( )
( ) ( )
2f x f x y x f x f y + + = + + ,
vớimọi ,x y Ρ .Chứngminhrằng f làmộtsongánh.(8)
Bài25.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( )
( )
( )
( ) ( )
f f x f y x f y f x y + = + + +
,

vớimọi ,x y Ρ .(13)
Bài26.Tìmtấtcảcáchàm
{ } { }
: 0 0f
+ +
® ¡ U ¡ U thỏamãn điềukiệ n:
( )
( )
( )
( )
2f f x f y x f x y + = + +
,
vớimọi ,x y Ρ .(14)
Bài27.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2f x f x f y x f x y f y + + = + + + ,
vớimọi ,x y Ρ .(15)
Bài28(Olimpic30 042009).Chohàmsố
* *
:f ® ¥ ¥ thỏa mãn điềukiện:
( )
2009
m n + chia hết cho
( ) ( )
( )
f m f n + , với mọi
*
,m nÎ¥ . Chứng minh rằng

( ) ( ) ( )
1 , 2 , 3 , f f f lậpthànhmộtcấp sốcộngvớicôngsaidương.
14
Bài29.Cótồntại haykhôngmộtsongánhthỏamãn điềuk iện:
( ) ( ) ( )
1 2 f f f n n + + + M ,
vớimọisốnguyêndươngn .
Bài30.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( )
( )
( ) ( )
2 2f x f x y x f x f y + + = + + ,
vớimọi ,x y Ρ .Chứngminhrằng
( )
0 0.f = (11)
Bài31.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( )
( )
( ) ( )
2 2f x f x y x f y f y + + = + + ,
vớimọi ,x y Ρ .(10)
Bài32.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( )
( )
( ) ( )
2 2f x f y x f x y f y + = + + + ,
vớimọi ,x y Ρ .(16)
Bài33.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( ) ( )
( )

( )
2 2f x f x f y x y f y + + = + + ,
vớimọi ,x y Ρ .(20)
Bài34.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( )
( )
( )
2 2 2f x f y x f x y + = + + ,
vớimọi ,x y Ρ .(22)
Bài35.Tìmtấtcảcáchàmsố
{ }
: 0f
+ +
® ¡ U ¡ thỏamãn điềukiện:
( )
( )
2
x f x
f y f x y
+ æ ö
+ = +
ç ÷
è ø
,
vớimọi
{ }
, 0x y
+
Ρ U (23).
Bài36.Tìmtấtcảcáchàmsố

{ } { }
: 0 0f
+ +
® ¡ U ¡ U thỏamãn điềukiện:
( )
( )
2
x f x
f y f x y
+ æ ö
+ = +
ç ÷
è ø
,
vớimọi
{ }
, 0x y
+
Ρ U (24).
Bài37.Tìmtấtcảcáchàmsố :f ® ¡ ¡ thỏamãn điềukiện:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
f f f x f y z x f y f f z + + = + +
,
vớimọi , , .x y z Ρ (29)
Bài38(Morocco2011).Tìmtấtcảcáchàmsố :f ® ¡ ¡ thỏamãn điềukiện:

( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2x f y f y f x f x yf x - + + = + ,
vớimọi , .x yÎ ¡
Bài39.Tìmtấtcảcáchàmsố
{ } { }
: 0 0f
+ +
® ¡ U ¡ U thỏamãn điềukiện:
15
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2f x f x f y f x y f y + + = + + ,
vớimọi
{ }
, 0x y
+
Ρ U .(44)
Bài40(ShortlistIMO2007).Tìmtấtcảcáchàmsố :f
+ +
® ¡ ¡ thỏa mãnđiều
kiện:
( )
( )
( ) ( )
f x f y f x y f y + = + + ,
vớimọi ,x y

+
Ρ .
Bài 41 (Macedonia NMO 2008). Tìm tất cả các hà m đơn ánh
* *
:f ® ¥ ¥ thỏa
mãn điềukiện:
( )
( )
( )
2
n f n
f f n
+
£ , vớimọi
*
nÎ ¥
.
Bài42(MacedoniaNMO2007).Cho n làmộtsốtựnhiênchiahếtcho4.Xác
địnhsốsongánh
{ } { }
: 1,2, , 1,2, ,f n n ® saocho:
( ) ( )
1
1f j f j n
-
+ = + ,
vớimọi 1,2, , .j n =
Bài43.Tìmtấtcảcáchàmsố
* *
:f ® ¥ ¥ thỏa mãn điềukiện:

( )
( )
2f f n n = ,
vớimọisốnguyêndươngn .
Bài44. Cho X làmộttậphữuhạn,chocácsongá nh , :f g X X ® thỏamãnđiều
kiệnvớimọi x X Î tacó:
( )
( )
( )
( )
f f x g g x = hoặc
( )
( )
( )
( )
f g x g f x = hoặccảhai
đều đúng. Chứng minh rằng với mọi x X Î , ta có
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f f f x g g g x =
nếu
( )
( )
( )
( )
( )

( )
f f g x g g g x =
.
Bài45 (APMO1989).Chohàmsố f tăngthựcsự,nhậngiátr ịthựctrêntậpcác
sốthực.Giảsửtồntạihàmngược
1
f
-
.Tìmtấtcảcáchàmsố f nhưthếsaocho
( ) ( )
1
2f x f x x
-
+ = ,vớimọisốthực x .
Bài46.Chocáchà msố , :f g ® ¢ ¢ .Chứngminhrằnghàmsố f go khônglàmột
toànánh.
Bài 47. Cho toàn ánh :f ® ¢ ¢ .  Chứng minh rằng tồn tại hai hàm toàn ánh
, :g h ® ¢ ¢ saocho .f gh = .
Bài48.Tìmtấtcảcáchàmsố :f ® ¡ ¡ thỏamãn điềukiện:
( ) ( )
( )
( )
( )
2
f xf x f y f x y + = + ,
vớimọi ,x y Ρ .
Bài 49. Cho
m n ³
là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng số các toàn ánh
{ } { }

: 1,2, , 1,2, ,f m n ® bằng
( ) ( )
1
0
1
n
k m
k
n
k
C n k
-
=
- -
å
.
16
Bài50(Shortlist1996).Cho U làmộttậphợphữuhạnvà cho ,f g làcáctoàn
ánhtừU vàoU.Đặt
( )
( )
( )
( )
{ }
:S U f f g g
w w w
= Î =
,
( )
( )

( )
( )
{ }
:T U f g g f
w w w
= Î =
,
vàgiảsửU S T = U .Chứngminhrằngvới U
w
Î ,
( )
f S
w
Î khivàchỉkhi
( )
g S
w
Î .
Bài51(Shortlist2009).Tìmtấtcảcáchàmsố :f ® ¡ ¡ thỏamãn điềukiện:
( )
( )
( )
( )
2
f xf x y f yf x x + = + ,vớimọisốthực x và
y
.