chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi vmo

NGUYÊNLÝCỰCHẠN
Mộttậphợphữuhạncácsốthựcluôncóphầntửlớnnhấtvàphầntửnhỏnhất.Mộttập
conbấtkỳcủaNluôncóphầntửnhỏnhất.Nguyênlýđơngiảnnàytrongnhiềutrường
hợp rất cóích cho việc chứng minh.Hãy xét trườnghợpbiên!Đólà khẩuquyếtcủa
nguyênlýnày.
Mộtsố vídụmởđầu
Taxemxétmộtsốvídụsửdụngnguyênlýcựchạn
Vídụ1.Có3trườnghọc,mỗitrườngcónhọcsinh.Mỗimộthọcsinhquenvớiítnhất
n+1 học sinh từ hai trường khác. Chứng minh rằng người ta có thể chọn ra từ mỗi
trườngmộtbạnsaochoba họcsinhđượcchọnđôimộtquennhau.
Giải.
GọiAlàhọcsinhcónhiềubạnnhấtở mộttrườngkhác.Gọisốbạnnhiềunhấtnàylàk.
GiảsửAởtrườngthứnhấtvàtậpnhữngbạnquenAlàM={B
1
,B
2
,…,B
k
}ởtrường
thứ2.Cũngtheogiảthiết,cóítnhất1họcsinhCởtrườngthứ3quenvớiA.VìCquen
khôngquákhọcsinhởtrườngthứnhấtnêntheogiảthiếtCquenvớiítnhấtn+1–khọc
sinhcủatrườngthứhai,đặtN={D
1
,D
2
, ,D
m
}lànhữngngườiquenC ởtrườngthứhai
thìm ≥n+1–k. VìM,N đềuthuộctậphợpgồmnhọcsinh và| M| +| N| ≥k +n+1–k
=n+1nêntacó M Ç N≠ Æ. ChọnBnàođóthuộcM Ç Nthìtacó A,B,Cđôimộtquen
nhau.

www.laisac.page.tl
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
B
B
Ồ
Ồ
I
I
D
D
Ư
Ư
Ỡ
Ỡ
N

N
G
G
H
H
Ọ
Ọ
C
C
S
S
I
I
N
N
H
H
G
G
I
I
Ỏ
Ỏ
I
I
D
D
Ự
Ự
T

T
H
H
I
I
V
V
M
M
O
O
TS.TrầnNam Dũng
TrườngĐại họcKHTNTpHCM
Vídụ2.Chứngminhrằngkhôngtồntạisốnlẻ,n>1saocho15
n
+1chiahếtchon
Giải.Giảsửtồntạimộtsốnguyênlẻn>1saocho15
n
+1chiahếtchon.Gọiplàước
sốnguyêntốnhỏnhấtcủan,khiđóplẻ.Giảsửklàsốnguyêndươngnhỏnhấtsaocho
15
k
–1chiahếtchop (số kđược gọi làbậccủa15theomodulop).
Vì15
2n
–1=(15
n
1)(15
n
+1)chiahếtchop.Mặtkhác,theođịnhlýnhỏFermatthì15

p1
–
1chiahếtchop.Theođịnhnghĩacủak,suyraklàướcsốcủacácsố p1và2n.Suyrak|
(p1,2n).Doplàướcsốnguyêntốnhỏnhấtcủannên(n,p1)=1.Suyra(p1,2n)=2.
Vậyk|2.Từđók=1hoặck=2.Cảhaitrườnghợpnàyđềudẫntớip=7.Nhưngđiều
nàymâuthuẫnvì15
n
+1luônđồngdư2mod7
Tronghai vídụtrên,rõràngviệc xét cáctrườnghợpbiênđã đemđếnchochúngta
nhữngthôngtinbổsungquantrọng.Trongvídụthứnhất,việcchọnAlàhọcsinhcósố
ngườiquennhiềunhấtởmộttrườngkhácđãchotathôngtinsốngườiquencủaCtrong
trườngthứhaiítnhấtlàn+1–k.Trongvídụthứhai,doplàướcsốnguyêntốnhỏnhất
nênp1nguyêntốcùngnhauvớinlà bộisốcủap.
Bàitập
1.Chonđiểmxanhvànđiểmđỏtrênmặtphẳng,trongđókhôngcó3điểmnàothẳng
hàng.Chứngminhrằngtacóthểnối2nđiểmnàybằngnđoạnthẳngcóđầumútkhác
màusaochochúngđôimộtkhônggiaonhau.
2.Trênđườngthẳngcó2n+1đoạnthẳng.Mỗimộtđoạnthẳnggiaovớiítnhấtnđoạn
thẳngkhác.Chứngminhrằngtồntạimộtđoạnthẳnggiaovớitấtcảcácđoạnthẳngcòn
lại.
3.Trongmặtphẳngchon>1điểm.Haingườichơilầnlượtnốimộtcặpđiểmchưađược
nốibằngmộtvéctơvớimộttronghaichiều.Nếusaunướcđicủangườinàođótổngcác
véctơđãvẽbằng0thìngườithứhaithắng;nếuchođếnkhikhôngcònvẽđượcvéctơ
nàonữamàtổngvẫnchưacólúcnàobằng0thìngườithứnhấtthắng.Hỏiailàngười
thắngcuộcnếuchơiđúng?
Phươngpháp phản vídụnhỏnhất
Trong việcchứng minh mộtsốtínhchấtbằngphương pháp phản chứng,tacó thể có
thêmmộtsốthôngtinbổsungquantrọngnếusửdụngphảnvídụnhỏnhất.Ýtưởnglà
đểchứngminhmộttínhchấtAchomộtcấuhìnhP,taxétmộtđặctrưngf(P)củaPlà
mộthàmcógiátrịnguyêndương.BâygiờgiảsửtồntạimộtcấuhìnhPkhôngcótính

chấtA,khiđósẽtồntạimộtcấuhìnhP
0
khôngcótínhchấtAvớif(P
0
)nhỏnhất.Tasẽ
tìmcáchsuyrađiềumâuthuẫn.Lúcnày,ngoàiviệcchúngtacócấuhìnhP
0
khôngcó
tínhchấtA,tacòncómọicấuhìnhPvớif(P)<f(P
0
)đềucótínhchấtA.
Vídụ3.ChongũgiáclồiABCDEtrênmặtphẳngtoạđộcótoạđộ cácđỉnhđềunguyên.
a)Chứngminhrằngtồntạiítnhất1điểmnằmtronghoặcnằmtrêncạnhcủangũgiác
(khácvớiA,B,C,D,E)cótoạđộnguyên.
b)Chứngminhrằngtồntạiítnhất1điểmnằmtrongngũgiáccótoạ độnguyên.
c)CácđườngchéocủangũgiáclồicắtnhautạoramộtngũgiáclồinhỏA
1
B
1
C
1
D
1
E
1
bêntrong.Chứngminhrằngtồntạiítnhất1điểmnằmtronghoặctrênbiênngũgiáclồi
A
1
B
1

C
1
D
1
E
1
.
Câua)cóthểgiảiquyếtdễdàngnhờnguyênlýDirichlet:Vìcó5điểmnêntồntạiítnhất
2điểmX,Ymàcặptoạđộ(x,y)củachúngcócùngtínhchẵnlẻ(tachỉcó4trườnghợp
(chẵn,chẵn),(chẵn,lẻ),(lẻ,chẵn)và(lẻ,lẻ)).TrungđiểmZcủaXYchínhlàđiểmcần
tìm.
Sangcâub)lýluậntrênđâychưađủ,vìnếuXYkhôngphảilàđườngchéomàlàcạnhthì
Zcóthểsẽnằmtrênbiên.Taxửlýtìnhhuốngnàynhưsau.ĐểýrằngnếuXYlàmột
cạnh,chẳnghạnlàcạnhABthìZBCDEcũnglàmộtngũgiáclồicócácđỉnhcótoạđộ
đềunguyênvàtacóthểlặplạilýluậnnêutrênđốivớingũgiácZBCDE,…Tacóthể
dùngđơnbiếnđểchứngminhquátrìnhnàykhôngthểkéodàimãi,vàđếnmộtlúcnào
đósẽcó1ngũgiáccóđiểmnguyênnằmtrong.
Tuynhiên,tacóthểtrìnhbàylạilýluậnnàymộtcáchgọngàngnhưsau:Giảsửtồntại
mộtngũgiácnguyênmàbêntrongkhôngchứamộtđiểmnguyênnào(phảnvídụ).Trong
tấtcảcácngũgiácnhưvậy,chọnngũgiácABCDEcódiệntíchnhỏnhất(phảnvídụnhỏ
nhất).Nếucónhiềungũgiácnhưvậythìtachọnmộttrongsốchúng.Theolýluậnđã
trìnhbàyởcâua),tồntạihaiđỉnhX,Ycócặptoạđộcùngtínhchẵnlẻ.TrungđiểmZ
củaXYsẽcótoạđộnguyên.VìbêntrongngũgiácABCDEkhôngcóđiểmnguyênnào
nênXYphảilàmộtcạnhnàođó.Khôngmấttínhtổngquát,giảsửđólàAB.Khiđóngũ
giácZBCDEcótoạđộcácđỉnhđềunguyênvàcódiệntíchnhỏhơndiệntíchngũgiác
ABCDE.DotínhnhỏnhấtcủaABCDE(phảnvídụnhỏnhấtpháthuytácdụng!)nênbên
trongngũgiácZBCDEcó1điểmnguyênT.ĐiềunàymâuthuẫnvìTcũngnằmtrong
ngũgiácABCDE.
Phảnvídụnhỏnhấtcũnglàcáchrấttốtđểtrìnhbàymộtchứngminhquynạp(ởđây
thườnglàquy nạpmạnh), đểtránhnhững lýluậndài dòng vàthiếuchặt chẽ.

Vídụ4.Chứngminhrằngnếua,blàcácsốnguyêndươngnguyêntốcùngnhauthìtồn
tạicácsốnguyênx,ysaochoax+by=1.
Giải.
Giảsửkhẳngđịnhđềbàikhôngđúng,tứclàtồntạihaisốnguyêndươnga,bnguyêntố
cùngnhausaochokhôngtồn tạix,ynguyênsaochoax+by=1.Gọia
0
,b
0
làmộtcặpsố
nhưvậyvớia
0
+b
0
nhỏnhất(phản vídụnhỏnhất).
Vì(a
0
,b
0
)=1và(a
0
,b
0
)≠(1,1)(do1.0+1.1=1)nêna
0
≠b
0
.Khôngmấttínhtổng
quát,cóthểgiảsử a
0
>b

0
.Dễthấy(a
0
b
0
,b
0
)=(a
0
,b
0
)=1.Doa
0
–b
0
+b
0
=a
0
<a
0
+b
0
nêndotínhnhỏnhấtcủaphảnvídụ,tasuyra(a
0
b
0
,b
0
)khônglàphảnvídụ,tứclàtồn

tạix,ysaocho(a
0
b
0
)x+b
0
y=1.Nhưngtừđâythì a
0
x+b
0
(yx)=1.Mâuthuẫnđốivới
điềugiảsử.Vậyđiềugiảsửlàsaivàbàitoánđượcchứngminh.
Bàitập
4.Giảiphầnc)củavídụ3.
5.Trênmặtphẳngđánhdấumộtsốđiểm.Biếtrằng4điểmbấtkỳtrongchúnglàđỉnh
củamộttứgiáclồi.Chứngminhrằngtấtcảcácđiểmđượcđánhdấulàđỉnhcủamộtđa
giáclồi.
Nguyênlýcựchạnvàbấtđẳngthức
Nguyênlýcựchạnthườngđượcápdụngmộtcáchhiệuquảtrongcácbấtđẳngthứccó
tínhtổhợp,dạngchứngminhtồntạiksốtừnsốthỏamãnmộtđiềukiệnnàyđó.
Vídụ5.(MoscowMO1984)Trênvòngtrònngườitaxếpítnhất4sốthựckhôngâmcó
tổngbằng1.Chứngminhrằngtổngtấtcả cáctíchcáccặpsốkề nhaukhônglớnhơn .
Giải.
Tacầnchứngminhrằngvớimọin≥4số thựckhôngâm а
1
, ,а
n
,cótổngbằng1,tacó
bấtđẳngthức
a

1
a
2
+a
2
a
3
+ +a
n 1
a
n
+a
n
a
1
≤1/4.
Vớinchẵnn (n=2m)điềunàycóthểchứngminhdễdàng:đặta
1
+a
3
+ +a
2m 1
=a;
khiđó,rõràng,
a
1
a
2
+a
2

a
3
+ +a
n 1
a
n
+a
n
a
1
≤(a
1
+a
3
+ +a
2m−1
)×(a
2
+a
4
+ +a
2m
)=a(1−a) ≤
1/4.
Giảsửnlẻvàa
k
–làsố
nhỏnhất
trongcácsốđãcho.(Đểthuậntiện,tagiảsử1<k<n
−1–điềunàykhônglàmmấttínhtổngquátkhin≥4.)Đặt b

i
=а
i
,vớii=1, , k−1, b
k
=a
k
+a
k+1
vàb
i
=a
i +1
vớii=k+1, , n−1. Ápdụngbấtđẳngthứccủachúngtacho
cácsốb
1
, , b
n 1
, tađược:
a
1
a
2
+ +a
k 2
a
k 1
+(a
k 1
+a

k+2
) b
k
+a
k +2
a
k+3
+ +a
n 1
a
n
+a
n
a
1
≤1/4.
Cuốicùng,tasửdụngbấtđẳngthức
a
k 1
a
k
+a
k
a
k+1
+a
k+1
a
k+2
≤ a

k 1
a
k
+a
k 1
a
k+1
+a
k+1
a
k+2
≤(a
k 1
+a
k+2
)b
k
.
đểsuyrađiềuphảichứngminh.
Đánhgiátrênđâylàtốtnhất;dấubằngxảyrakhi2trongnsốbằng1/2,còncácsốcòn
lạibằng0.
Vídụ6.Chon
³
4vàcácsố thựcphânbiệta
1
,a
2
,…,a
n
thoả mãnđiềukiện

.1,0
1
2
1
= =
å å
= =
n
i
i
n
i
i
aa
Chứngminhrằngtồntại4sốa,b,c,dthuộc{a
1
,a
2
,…,a
n
}saocho
.
1
3
nabddbaanabccba
n
i
i
+ + + £ £ + + +
å

=
Giải.Nếua≤b≤clàbasốnhỏnhấttrongcáca
i
thìvớimọii=1,2,…,ntacóbấtđẳng
thức
(a
i
–a)(a
i
–b)(a
i
–c)≥0
Suyra
3 2
( ) ( )
i i i
a a b c a ab bc ca a abc ³ + + - + + + với mọii=1,2,…,n.
Cộngtấtcảcácbấtđẳngthức này,vớichúý .1,0
1
2
1
= =
å å
= =
n
i
i
n
i
i

aa tađược
3
1
n
i
i
a a b c nabc
=
³ + + +
å
.
Bâygiờ nếuchọnd làsốlớnnhấttrongcáca
i
thìta có
(a
i
–a)(a
i
–b)(a
i
–d)≤ 0
vớimọii=1,2,…,n.Vàcũngthựchiệntươngtựnhưtrên,tasuyrabấtđẳngthứcvế
phảicủabấtđẳngthứcképcầnchứngminh.
Vídụ7.Tổngbìnhphươngcủamột100sốthựcdươnglớnhơn10000.Tổngcủachúng
nhỏhơn300.Chứngminhrằngtồntại3sốtrongchúngcótổnglớnhơn100.
Giải.Giảsử100sốđólàC
1
≥C
2
≥ ≥C

100
>0.Nếunhư C
1
≥100,thìC
1
+C
2
+C
3
>
100.Dođótacóthểgiảsử rằngC
1
<100.Khiđó100C
1
>0,100C
2
>0,C
1
C
2
≥0
иC
1
 C
3
≥0,vìvậy
100(C
1
+C
2

+C
3
)≥100(C
1
+C
2
+C
3
) (100C
1
)(C
1
C
3
)(100C
2
)(C
2
C
3
)=
=C
1
2
+C
2
2
+C
3
(300C

1
C
2
)>
>C
1
2
+C
2
2
+C
3
(C
3
+C
4
+ +C
100
) ≥
≥C
1
2
+C
2
2
+C
3
2
+ +C
100

2
>10000.
Suyra,C
1
+C
2
+C
3
>100.
Bàitập
6.Trongmỗiôcủabảng2xntaviếtcácsốthựcdươngsaochotổngcácsốcủamỗicột
bằng1.Chứngminhrằngtacóthểxoáđiởmỗicộtmộtsốsaochoởmỗihàng,tổngcủa
cácsốcònlạikhôngvượtquá .
4
1 +n
7.40têntrộmchia4000euro.Mộtnhómgồm5têntrộmđượcgọilànghèonếutổngsố
tiềnmàchúngđượcchiakhôngquá500euro.Hỏisốnhỏnhấtcácnhómtrộmnghèotrên
tổngsốtấtcảcácnhóm5têntrộmbằngbaonhiêu?
NguyênlýcựchạnvàphươngtrìnhDiophant
Trongphầnnày,tatrìnhbàychitiếtbavídụápdụngnguyênlýcựchạntrongphương
trìnhFermat,phươngtrìnhPellvàphươngtrìnhdạngMarkov.
Vídụ8.Chứngminhrằngphươngtrìnhx
4
+y
4
=z
2
(1)khôngcónghiệmnguyêndương.
Giải.Giảsửngượclại,phươngtrình(1)cónghiệmnguyêndương,và(x,y,z)lànghiệm
của(1)vớiznhỏnhất.

(1)Dễthấyx
2
,y
2
,z đôimộtnguyêntốcùngnhau
(2)TừnghiệmcủaphươngtrìnhPythagore,tacótồntạip,qsaocho
x
2
=2pq
y
2
=p
2
q
2
z=p
2
+q
2
(3)Từđây,talạicómộtbộba Pythagorekhác,vì y
2
+q
2
=p
2
.
(4)Nhưvậy,tồntạia,b saocho
q=2ab
y=a
2

b
2
p=a
2
+b
2
a,b nguyêntốcùngnhau
(5)Kếthợpcácphươngtrìnhnày,tađược:
x
2
=2pq=2(a
2
+b
2
)(2ab)=4(ab)(a
2
+b
2
)
(6)Vìab vàa
2
+b
2
nguyêntốcùngnhau,tasuyrachúnglàcácsốchínhphương.
(7)Nhưvậya
2
+b
2
=P
2

vàa=u
2
,b=v
2
.SuyraP
2
=u
4
+v
4
.
(8)Nhưng bâygiờtathuđượcđiềumâuthuẫnvớitínhnhỏnhấtcủazvì:
P
2
=a
2
+b
2
=p <p
2
+q
2
=z <z
2
.
(9)Nhưvậyđiềugiảsửbanđầulàsai,suyrađiềuphảichứngminh.
Phươngpháptrìnhbàyởtrêncònđượcgọilàphươngphápxuốngthang.Đâycó lẽlà
phươngphápmàFermatđãnghĩtớikhiviếttrênlềcuốnsáchcủaDiophantnhữngdòng
chữ mà saunày được gọi là định lý lớn Fermat và đã làm điên đầu bao nhiêu thếhệ
những nhàtoánhọc.

Vídụ9.TìmtấtcảcáccặpđathứcP(x),Q(x)thỏamãnphươngtrình
P
2
(x)=(x
2
1)Q
2
(x)+1 (1)
Giải.Khôngmấttínhtổngquát,tachỉcầntìmnghiệmtrongtậpcácđathứccóhệsốkhởi
đầudương.
Nếu )(1)()1(
22
xQxxPxx
nn
n
- + = - + (2)thì )(1)()1(
22
xQxxPxx
nn
n
- - = - - (3)
Nhân(2)và(3)vếtheovế,tađược
)()1()(
))(1)())((1)(()1()1(1
222
2222
xQxxP
xQxxPxQxxPxxxx
nn
nnnn

nn
- - =
- - - + = - - - + =
SuyracặpđathứcP
n
(x),Q
n
(x)xácđịnhbởi(2)(và(3)!)lànghiệmcủa(1).Tachứng
minhđâylà tấtcảcácnghiệmcủa(1).Thật vậy, giảsửngượclại,tồntạicặpđathức
P(x),Q(x)khôngcódạngP
n
(x),Q
n
(x)thỏamãn(1).Taxétcặpđathức(P,Q)nhưvậy
vớidegQnhỏnhất.
Đặt )(*1)(*)1))((1)((
222
xQxxPxxxQxxP - + = - - - + (4)
Thìrõràng
)(*1)(*)1))((1)((
222
xQxxPxxxQxxP - - = - + - -
Suyra(P*,Q*)cũnglànghiệmcủa(1).
Khaitriển(4),tathuđượcP*(x)=xP(x)–(x
2
1)Q(x),Q*(x)=xQ(x)–P(x).Chúýlàtừ
(1)tasuyra(P(x)–xQ(x))(P(x)+xQ(x))=Q
2
(x)+1.VìP(x)vàQ(x)đềucóhệsốkhởi
đầu>0vàdegP=degQ+1nêntacódeg(P(x)+xQ(x))=degQ+1.Từđây,dodeg(

Q
2
(x)+1)≤2deg(Q)nêntasuyradeg(Q*(x))≤deg(Q)–1<degQ.
Nhưvậy,theocáchchọncặp(P,Q)thìtồntạinsaocho(P*,Q*)=(P
n
,Q
n
).
Nhưngkhiđótừ(4)suyra
1222
222
)1()1()1(
)1))((*1)(*()(1)(
+
- + = - + - + =
- + - + = - +
nn
xxxxxx
xxxQxxPxQxxP
Suyra(P,Q)=(P
n+1
,Q
n+1
),mâuthuẫn.
Vậyđiềugiảsửlàsaivàtacóđiềuphảichứngminh.
Ví dụ 10. Tìm tất cả các giá trị k sao cho phương trình (x+y+z)
2
= kxyz có nghiệm
nguyêndương.
Giải.

Giảsửk làmộtgiátrịcầntìm.Gọix
0
,y
0
,z
0
lànghiệmnguyêndươngcủaphương trình
(x+y+z)
2
=kxyz (1)
cóx
0
+y
0
+z
0
nhỏnhất.Khôngmấttínhtổng quát, cóthểgiảsử x
0
≥y
0
≥z
0
.
Viếtlại(1)dướidạngx
2
– (kyz–2y–2z)x+(y+z)
2
=0
tasuyrax
0

là nghiệm củaphương trìnhbậchai
x
2
– (ky
0
z
0
–2y
0
– 2z
0
)x+(y
0
+z
0
)
2
=0 (2)
TheođịnhlýVietx
1
=ky
0
z
0
–2y
0
–2z
0
–x
0

=(y
0
+z
0
)
2
/x
0
cũnglànghiệmcủa(2).Từ
đó(x
1
,y
0
,z
0
)lànghiệmcủa(1).Cũngtừcáccôngthứctrên,tasuyrax
1
nguyêndương.
Tứclà(x
1
,y
0
,z
0
) lànghiệmnguyêndươngcủa(1).Từtínhnhỏnhấtcủax
0
+y
0
+z
0

tax
1
≥x
0
. Từđâyta có
ky
0
z
0
–2y
0
–2z
0
–x
0
≥x
0
và(y
0
+x
0
)
2
/x
0
≥x
0
Từbấtđẳngthứcthứhaitasuyray
0
+z

0
≥x
0
.Từđó,ápdụngvàobấtđẳngthứcthứ
nhất,tađượcky
0
z
0
≥4x
0
.
Cuốicùng,chiahaivếcủađẳngthứcx
0
2
+y
0
2
+z
0
2
+2x
0
y
0
+2y
0
z
0
+2z
0

x
0
=kx
0
y
0
z
0
chox
0
y
0
z
0
,tađược
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 2
x y z
k
y z x z x y z x y
+ + + + + = .
Từđósuyra 1 1 2 2 2
4
k
k + + + + + ³ ,tức là
32
3
k £ .Suyrak ≤10.
Chúýnếux

0
=1thìy
0
=z
0
=1suyrak=9.Nếuk≠9thìx
0
≥2vàđánhgiáởtrêntrở
thành
1
1 2 1 2
4 2
k
k + + + + + ³ suyra
26
3
k £ ,suyrak ≤8
Vậygiátrịk =10bịloại.
Vớik =1phươngtrình cónghiệm,chẳng hạn(9,9,9)
Vớik =2phươngtrình cónghiệm,chẳng hạn(4,4,8)
Vớik =3phươngtrình cónghiệm,chẳng hạn(3,3,3)
Vớik =4phươngtrình cónghiệm,chẳng hạn(2,2,4)
Vớik =5phươngtrình cónghiệm,chẳng hạn(1,4,5)
Vớik =6phươngtrình cónghiệm,chẳng hạn(1,2,3)
Vớik =8phươngtrình cónghiệm,chẳng hạn(1,1,2)
Vớik =9phươngtrình cónghiệm,chẳng hạn(1,1,1)
Ngoài ra, ta có thể chứng minh được rằng trường hợp k = 7 phương trình không có
nghiệmnguyêndương (xinđược dànhchobạnđọc).
Vậycác giátrịkcầntìmlà k=1,2,3,4,5,6,8,9.
Vídụ11.(CRUX,Problem1420)Nếua,b,clàcácsốnguyêndươngsaocho

0<a
2
+b
2
–abc≤c
Chứngminhrằnga
2
+b
2
–abclàsốchínhphương.
Giải.Giảsửngượclạirằngtồntạicácsốnguyêndươnga,b,csaocho0<a
2
+b
2
–abc
≤cvàk=a
2
+b
2
–abc(1)khôngphảilàsốchínhphương.
Bâygiờtacốđịnhkvàcvàxéttậphợptấtcảcáccặpsốnguyêndương(a,b)thỏamãn
phươngtrình(1),tứclàtaxét
S(c,k)={(a,b) Î(N*)
2
:a
2
+b
2
–abc=k}
Giảsử(a,b)làcặpsốthuộcS(c,k)cóa+bnhỏnhất.Khôngmấttínhtổngquátcóthể

giảsửa≥b.Taxétphươngtrình
x
2
–bcx+b
2
–k=0
Tabiếtrằngx=alàmộtnghiệmcủaphươngtrình.Gọia
1
lànghiệmcònlạicủaphương
trìnhnàythìa
1
=bc– a=(b
2
–k)/a.
Ta cóthể chứng minh được rằng(bạn đọctựchứng minh!) a
1
nguyên dương. Suy ra
(a
1
,b)cũngthuộcS(c,k).
Tiếptheotacóa
1
=(b
2
k)/a<a
2
/a=a,suyraa
1
+b<a+b.Điềunàymâuthuẫnvớicách
chọn(a,b).

Bàitập
8.Chứngminhrằngphươngtrìnhx
3
+3y
3
=9z
3
không cónghiệmnguyêndương.
9.Chứngminhrằngphươngtrìnhx
2
+y
2
+z
2
=2xyzkhôngcó nghiệmnguyêndương.
10.(IMO88)Nếua,b,q=(a
2
+b
2
)/(ab+1)làcácsốnguyêndươngthìq làsốchính
phương.
11.(PTNK03).Tìm tấtcảcácsốnguyêndươngksaochophươngtrìnhx
2
(k
2
4)y
2
=
24cónghiệmnguyêndương.
12.(Mathlinks)ChoAlàtậphợphữuhạncácsốnguyêndương.Chứngminhrằngtồntại

tậphợphữuhạncácsốnguyêndươngBsaochoA ÌBvà Õ
xÎB
x= S
xÎB
x
2
.
13.(AMM1995)Chox,ylàcácsốnguyêndươngsaochoxy+xvàxy+ylàcácsố
chínhphương.Chứngminhrằngcóđúngmộttronghaisốx,ylàsố chínhphương.
14. (IMO 2007) Cho a, b là các số nguyên dương saocho 4ab – 1 chia hết (4a
2
1)
2
.
Chứngminhrằnga=b.
15.(VMO2012) Xétcácsốtựnhiênlẻ a,bmàalàướcsốcủab
2
+2vàblàướcsốcủa
a
2
+2.Chứngminhrằngavàblàcácsố hạngcủadãysốtựnhiên(v
n
)xácđịnhbởi
v
1
=v
2
=1vàv
n
=4v

n1
–v
n2
vớimọin≥2.
Nguyênlýcựchạntrongtổ hợp
TrênđâychúngtađãxemxétcácvídụápdụngcủanguyênlýcựchạntrongMảnhđất
màumỡnhấtdànhchonguyênlýcựchạn.Nguyênlýcựchạncóthểđượcứngdụngđể
chứngminhmộtquátrìnhlàdừng(trongbàitoánliênquanđếnbiếnđổi trạng thái),trong
bàitoánvềđồthị,haytrongcáctìnhhuốngtổhợpđadạngkhác.Cácđốitượngthường
đượcđemrađểxétcựchạnthườnglà:đoạnthẳngngắnnhất,tamgiáccódiệntíchlớn
nhất, góclớnnhất,đỉnhcó bậclớnnhất,chu trìnhcó độdàingắnnhất…
Dướiđâytaxem xétmộtsốvídụ:
Vídụ12.(ĐịnhlýSylvester)ChotậphợpSgồmhữuhạncácđiểmtrênmặtphẳngthỏa
mãntínhchấtsau:Mộtđườngthẳngđiqua2điểmthuộcSđềuđiquaítnhấtmộtđiểm
thứbathuộcS.Khiđó tất cảcácđiểm củaSnằmtrênmộtđườngthẳng.
Kếtluậncủađịnhlýnghecóvẻhiểnnhiênnhưngchứngminhnóthìkhônghềđơngiản.
ChứngminhdướiđâycủaKellyđượcchúngtôitham khảotừWikipedia
GiảsửphảnchứnglàtồntạimộttậphợpSgồmhữuhạnđiểmkhôngthẳnghàngnhưng
mọiđườngthẳngquahaiđiểmtrongSđềuchứaítnhấtbađiểm.Mộtđườngthẳnggọilà
đườngnốinếunóđiquaítnhấthaiđiểmtrongS.Giảsử(P,l)làcặpđiểmvàđườngnối
cókhoảngcáchdươngnhỏnhấttrongmọicặpđiểmđườngnối.
Theogiảthiết,lđiquaítnhấtbađiểmtrong S,nênnếuhạđườngcaotừP xuống lthìtồn
tạiítnhấthaiđiểmnằmcùngmộtphíacủađườngcao(mộtđiểmcóthểnằmởngaychân
đườngcao).Tronghaiđiểmnày,gọiđiểmởgầnchânđườngcaohơnlàB,vàđiểmkialà
C.XétđườngthẳngmnốiPvàC.KhoảngcáchtừBtớimnhỏhơnkhoảngcáchtừPtới
l,mâuthuẫnvớigiảthiếtvềPvàl.Mộtcáchđểthấyđiềunàylàtamgiácvuôngvớicạnh
huyềnBCđồngdạngvànằmbêntrongtamgiácvuôngvớicạnhhuyềnPC.
Dođó,khôngthểtồntạikhoảngcáchdươngnhỏnhấtgiữacáccặpđiểmđườngnối.Nói
cáchkhác,mọiđiểmđềunằmtrênđúngmộtđườngthẳngnếumọiđườngnốiđềuchứaít
nhấtbađiểm.

Vídụ13.(TrậnđấutoánhọcNga2010)Mộtquốcgiacó210thànhphố.Banđầugiữa
cácthànhphốchưacóđường.Ngườitamuốnxâydựngmộtsốconđườngmộtchiềunối
giữacácthànhphốsaocho:NếucóđườngđitừAđến BvàtừBđếnCthìkhôngcó
đườngđitừAđếnC.Hỏicóthểxâydựngđượcnhiềunhấtbaonhiêuđường?
Giải.
GọiAlàthànhphốcónhiềuđườngđinhất(gồmcảđườngđixuấtpháttừAvàđườngđi
đếnA).Tachiacácthànhphốcònlạithành3loại.LoạiICóđườngđixuấtpháttừA.
LoạiII CóđườngđiđếnA.LoạiIII:KhôngcóđườngđiđếnAhoặcxuấtpháttừA.Đặt
m=|I|,n=|II|,p=|III|.Tacó m+n+p=209.
Dễthấygiữa cácthànhphốloạiIkhôngcóđườngđi.Tươngtự,giữacácthànhphốloại2
khôngcóđườngđi.
Sốcácđườngđiliênquanđếncácthànhphốloại3khôngvượtquáp(m+n).(Dobậccủa
A=m+nlàlớnnhất).
Tổngsốđườngđibaogồm:
+CácđườngđiliênquanđếnA:m+n
+CácđườngđiliênquanđếnIII:
+CácđườngđigiữaI vàII:
Suyratổngsốđườngđinhỏhơn
.
Dấubằngxảyravớiđồthị3phe,mỗiphecó70thànhphố,thànhphốphe1cóđườngđi
đếnthànhphốphe2,thànhphốphe2cóđườngđiđếnthànhphốphe3,thànhphốphe3
cóđườngđiđếnthànhphố phe1.
Vídụ14.TrongquốchộiMỹ,mỗimộtnghịsĩcókhôngquá3kẻthù.Chứngminhrằng
cóthểchiaquốchộithành2việnsaochotrongmỗiviện,mỗimộtnghịsĩcókhôngquá
mộtkẻthù.
Đâylàmộtvídụmàtôirấtthích.Cónhiềucáchgiảikhácnhaunhưngởđâychúngtasẽ
trìnhbàymộtcáchgiảisửdụngnguyênlýcựchạn.Ýtưởngtuyđơngiảnnhưngcórất
nhiềuứngdụng(trongnhiềubàitoánphứctạphơn).
Tachiaquốchộirathành2việnA,Bmộtcáchbấtkỳ.VớimỗiviệnA,B,tagọis(A),
s(B)làtổngcủatổngsốcáckẻthùcủamỗithànhviêntínhtrongviệnđó.Vìsốcáchchia

làhữuhạnnênphảitồntạicáchchia(A
0
,B
0
)saochos(A
0
)+s(B
0
)nhỏnhất.Tachứng
minhcáchchia nàythỏamãnyêucầubàitoán.
Giảsửrằngcáchchianàyvẫnchưathoảmãnyêucầu,tứclàvẫncómộtnghịsĩnàođó
cónhiềuhơn1kẻthùtrongviệncủamình.Khôngmấttínhtổngquát,giảsửnghịsĩx
thuộcA
0
cóítnhất2kẻthùtrongA
0
.Khiđótathựchiệnphépbiếnđổisau:chuyểnxtừ
A
0
sangB
0
đểđượccáchchiamớilàA’=A
0
\{x}vàB’=B
0
È{x}.Vìxcóítnhất2kẻ
thùtrongA
0
vàA’khôngcònchứaxnêntacó
s(A’) £s(A

0
)–4(trongtổngmấtđiítnhất2củas(x)và2củacáckẻthùcủax
trongA
0
)
Vìxcókhôngquá3kẻthùvàcóítnhất2kẻthùtrongA
0
nênxcónhiềunhất1kẻthù
trongB
0
(hayB’),chonên
s(B’) £s(B
0
)+2
Từđós(A’)+s(B’) £s(A
0
)+s(B
0
)–2.Mâuthuẫnvớitínhnhỏnhấtcủas(A
0
)+s(B
0
).
Vậyđiềugiảsửlàsai,tứclàcáchchia(A
0
,B
0
) thỏa mãnyêucầubài toán(đpcm).
Bàitập
16.Cho2nđiểmtrênmặtphẳng,trongđókhôngcó3điểmnàothẳnghàng.Chứngminh

rằngnhữngđiểmnàycóthểphânthànhncặpsaochocácđoạnthẳngnốichúngkhông
cắtnhau.
17.Trongmặtphẳngcho100điểm,trongđókhôngcóbađiểmnàothẳnghàng.Biếtrằng
bađiểmbấtkỳtrongchúngtạothànhmộttamgiáccódiệntíchkhônglớnhơn1.Chứng
minhrằngtacóthểphủ tấtcảcácđiểmđãchobằngmộttam giác códiệntích4.
18.Trênmặtphẳngcho2n+3điểm,trongđókhôngcóbađiểmnàothẳnghàngvàkhông
có4điểmnàonằmtrênmộtđườngtròn.Chứngminhrằngtacóthểchọnratừcácđiểm
này3điểm,saochotrongcácđiểmcònlạicónđiểmnằmtrongđườngtrònvànđiểm
nằmngoàiđường tròn.
19.Trongmặtphẳngchonđiểmvàtađánhdấutấtcảcácđiểmlàtrungđiểmcủacác
đoạnthẳngcóđầumútlàcácđiểmđãcho.Chứngminhrằngcóítnhất2n3điểmphân
biệtđượcđánhdấu.
20.Tạimộtquốcgiacó100thànhphố,trongđócómộtsốcặpthànhphốcóđườngbay.
Biếtrằngtừmộtthànhphốbấtkỳcóthểbayđếnmộtthànhphốbấtkỳkhác(cóthểnối
chuyến).Chứngminhrằngcóthểđithămtấtcảcácthànhphốcủaquốcgianàysửdụng
khôngquá a)198chuyếnbayb) 196chuyếnbay.
CHỨNGMINHCÔNGTHỨCTỔHỢPBẰNGĐẾMBẰNGHAICÁCH
Bảnchấttổhợpcủa
k
n
C chínhlàsốcáchchọnrakphầntử(khôngsắpthứtự)từ
mộttậphợpgồmnphầntử,haynóicáchkhácsốtậpconkphầntửcủamộttập
hợpgồmnphầntử.Hiểurõbảnchấtnày,chúngtacóthểchứngminhhàngloạt
cáccôngthứcchứa
k
n
C bằngcáchgiảicùng mộtbàitoánbằnghaicáchkhác
nhau.
Vídụ4.Chứngminhrằngvớimọinnguyêndươngtacóđẳngthức
( ) ( ) ( )

2 2 2
0 1
2

n n
n n n n
C C C C + + + =
Giải.Phântích:Vếphảilàsốcáchchọnranphầntửtừ2nphầntử.Nhưnglàm
saocóthểđưatổngvếtráithànhđápsốcủachínhbàitoánnày?Vớisuynghĩ
k
n
C làsốcáchchọnkphầntửratừnphầntử,tathấy
2
( )
k
n
C làsốcáchchọnra2k
phầntử,trongđókphầntửđầulấytừnphầntửloại1vàkphầntửsaulấytừn
phầntửloại2.Thế nhưngbàitoánnàykhôngliênquanđếnbàitoántanóiởđầu
bướcphântích.Phảilàmcáchnàođâyđểcũngramộtbàitoánchọnnngườitừ
2nngười?
Saumộthồiloayhoay,tađểýrằng
k n k
n n
C C
-
= .Dođó
2
( ) .
k k n k

n n n
C C C
-
= .Lúcnày,ý
nghĩatổhợpcủa
2
( )
k
n
C trởthànhsốcáchchọnrakngườiloại1vànkngườiloại
2,tứclàchọnranngườitừ2nngườicảhailoại,trongđócókngười loại1.Đến
đâytacóthểtìmđượclờigiảinhưsau:
Xétbàitoán:Cónnamvànnữ.Hỏicóbaonhiêucáchchọnranngười?
Tagiảibàinàybằng2cách:Cách1rấtđơngiản.Vìtakhôngcóràngbuộcgì
chonhững ngườiđượcchọnnênđâychínhlàsốcáchchọnra nngườitừ2n
người,vàdođócó
2
n
n
C cáchchọn.
Cách2phứctạphơn:Đầutiêntachọnraknamvớik=0,1,2,…,ntừnnam.
Có
k
n
C cáchchọnnhưvậy.Sauđótachọnranknữđểtạothànhnngườiđược
chọn. Có
n k
n
C
-

cách chọn như vậy. Như vậy, với mỗi k chọn trước, ta có
2
. ( )
k n k k
n n n
C C C
-
= cáchchọnranngười,trongđócóknamvànknữ.Vìkcóthể
nhậncácgiátrịtừ0đếnnnêntacótổngsốcáchchọnranngườitừnnamvàn
nữnhưtrênbằng
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 1

n
n n n
C C C + + + .
Và như vậy, theo nguyên lý đếm bằng hai cách, ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 1
2

n n
n n n n
C C C C + + + = (đpcm).
Vídụ5.Cho1 £ m £ n.Chứngminhrằng
1
1 1
1

1
n m
m m
n i n
i
iC C
- +
- +
- +
=
=
å
(ĐềchọnđộituyểnNinhBìnhnămhọc20102011)
Giải.Phântích:Vếphảilàsốcách chọnram+1phầntửtừn+1phầntử.Thếcòn
vếtrái?Tacóthểviếtsốhạngtổngquát củanóthành
1 1m
i n i
C C
-
-
vàhiểulàsốcách
chọnra1phầntửtừiphầntửloại1vàsauđóchọnram1phầntửtừniphần
tửloại2.Vànhưthếđãchọnramphầntửtừnphầntử,trongđócó1phầntử
loại1vàm1phầntửloại2.Nhưngcònphầntửthứm+1làgì?Phần tửthứn+1
ởđâu?Tạisaolạichiathành2loại?Suynghĩtrảlờinhữngcâuhỏinày,tađiđến
cáchgiảisau:
Xétbàitoántìmsốcáchchọnram+1phầntửtừn+1phầntử.Cáchthứnhất
hiểnnhiênchođápsốlà
1
1

m
n
C
+
+
.
Vớicáchthứhai,tasắpcáchn+1phầntử(giảsửđólà1,2,…,n+1)thành1
hàngdọc.Gọia
1
<a
2
<…<a
m
<a
m+1
làm+1phầntửđượcchọn.Taphânloại
cáccáchchọnnàytheovịtrícủaa
2
(mụcđíchlàtạora1phầntửbêntráinóvà
m1phầntửbênphảinó).Vìa
1
<a
2
<…<a
m
<a
m+1
nêntừđâytasuyra2 £ a
2
£

n–m+2.Dođónếuđặta
2
=i+1thìi=1,2,…,nm+1.Vớia
2
=i+1cốđịnhthì
tacóicáchchọna
1
và
1m
n i
C
-
-
cáchchọna
3
,…,a
m+1
,tứclàtacó
1m
n i
iC
-
-
cáchchọn1
£ a
1
<a
2
<…<a
m+1

£ n+1vớia
2
=i+1.Doicóthểnhậncácgiátrịtừ1đếnn
m+1nêntacótổngsốcáccáchchọncácloạilà
1
1
1
n m
m
n i
i
iC
- +
-
-
=
å
.
Từđótacóđiềuphảichứngminh.
Ngoàisố
k
n
C ,tacòncóthểcónhiềuconsốcóýnghĩatổhợpkhácnhư:n!làsố
cáchoánvịcủanphầntử,2
n
làsốcáctậpconcủamộttậphợpcónphầntử,
[n/k]làsốcácbộisốcủaktrongnsốnguyêndươngđầutiên,n
k
làsốchỉnhhợp
lặpchậpkcủanphầntử…Nắmđượccácbảnchấttổhợpnày,tacóthểchứng

minhmộtsốcácđẳngthứctổhợpchứachúngbằngphươngphápđếmbằnghai
cách.
Vídụ6.Chứngminhrằngvớimọisốnguyêndươngntacó
1
1
2 .
n
i n
n
i
iC n
-
=
=
å
Giải.Xétbàitoán:Cónngười,tìmsốcáchchọnramộtsốngười,trongđócó1
ngườilànhómtrưởng.
Cáchgiảiđơngiản:Trướchếttachọnnhómtrưởng.Cóncáchchọnnhưvậy.
Sauđótachọncácthànhviêncònlạicủanhóm.Theoyêucầucủađềbàithì
cácthànhviêncònlạicóthểlàmộttậpconbấtkỳ(kểcả Æ)củan1ngườicòn
lại.Dođósốcáchchọncácthànhviêncònlạilà2n1.Vậyđápsốbàitoánlà
n2
n1
.
Bâygiờtagiảibằngcáchphứctạp:Đầutiêntacốđịnhsốngườiimàtađịnh
chọnravớii=1,2,…,n.Tiếptheo,tachọnraingườitừnngười:có
i
n
C cách
chọn như vậy. Vớimỗi cáchchọn,tacó icáchchọn nhóm trưởngtừi người

đượcchọn.Từđósuyrađápsốbàitoánlà
1
.
n
i
n
i
iC
=
å
Sosánhhaicáchgiảitacóđpcm.
Vídụ7.Gọip
n
(k)làsốcáchoánvịcủatậphợp{1,2,…,n}cóđúngkđiểmcố
định.Chứngminhrằng
0
. ( ) !
n
n
k
k p k n
=
=
å
(ĐềthiOlympicToánquốctế1987)
Giải.
Nếucácbàitoáncóliênquanđếncáchệsốnhịthứcthườngliênquanđếncác
bàitoánđếmthìcácbàitoánliênquanđếnphầnnguyênsẽliênquanđếnsốcác
điểmcótọađộnguyên.
Vídụ8.Chopvàqlàhaisốnguyêndươngnguyêntốcùngnhau.Chứngminh

rằngtacóđẳngthức
1
1
( 1)( 1)
2
p
k
kq p q
p
-
=
é ù
- -
=
ê ú
ë û
å
Giải.Vếtráicủađẳngthứctrênchínhlàsốcácđiểmnguyêntrongmiền1 £ x £
p1,0<y £ qx/p.Trongcảhìnhchữnhật
1 £ x £ p1,1 £ y £ q1
Có(p1)(q1)điểmnguyên.Chúngnằmđốixứngvớinhauquađiểmx=p/2,y=
q/2vànằmcảtrênlẫndướiđườngthẳngy=qx/p;còntrênchínhđườngthẳng
nàythìkhôngcóđiểmnào(dop,qnguyêntốcùngnhau).Từđósốđiểmnguyên
nằmdướiđườngthẳngy=qx/pbằngđúngmộtnửa,tứclà(p1)(q1)/2.
Bàitập
4.Chứngminhrằngvớimọisốnguyêndươngntacó
2 1
2 1
1
( )

n
k n
n n
k
k C nC
-
-
=
=
å
.
5.Chứngminhrằngvớimọisốnguyêndươngntacó
[ /2]
2
2
0
. .2
n
i i n i n
n n i n
i
C C C
-
-
=
=
å
.
6.Chop=4n+1làmộtsốnguyêntố.Chứngminhrằng
2

1
1
[ ]
12
n
k
p
kp
=
-
=
å
7.Chứngminhrằngvớimọisốnguyêndươngn ³ 2tacó
3
2 3
[ ] [ ] [ ] [log ] [log ] [log ]
n
n
n n n n n n + + + = + + +
8.Gọi t(n)làsốcácướcsốnguyêndươngcủan.Chứngminhrằngvớimọinnguyêndươngta
có
(1) (2) ( ) 
1 2
n n n
n
n

t t t

é ù é ù é ù

+ + + = + + +
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
3.Đếmtheophầntử
ChotậphợpX,|X|=nvàFlàmộthọcáctậpconcủaX(cáctậpconnàycóthể
trùngnhau).Giảsửtacầntính
| |
A F
S A
Î
=
å
.Tacóthểtínhbằngmộttronghaicách
sau:
1) Gọin
k
làsốcáctậpconAthuộcFsaocho|A|=kthì
1
.
n
k
k
S k n
=
=
å
.Đâylà
cáchđếmtheotậphợ phayđếmngang.
2) Gọin(x)làsốcáctậpconAthuộcFchứaphầntửx.Khiđó
( )

x X
S n x
Î
=
å
.
Đâylàcáchđếmtheophầntửhayđếmdọc.Trongđasốbàitoán,do
tínhđốixứngcủahọF,tacón(x)bằngnhauvớimọixthuộcXvàdođó
tacóS=n.n(x).
Vídụ9.ChoFlàtậptấtcảcácbộ(A
1
,...,A
n
)saochomỗiA
i
làmộttậpconcủa
{1,2,...,1998}.Kýhiệu|A|làsốcácphầntửcủatậphợpA.Hãytính
1 2
1 2
( , , , )
| |
n
n
A A A F
A A A
Î
È È È
å
(ĐềthiOlympicToánchâuÁ–TháiBìnhDương1998)
Giải.Tagiảibàitoántổngquátvới{1,2,…,1998}đượcthaybằng{1,2,…,m}

=X.Đầutiêntathửgiảibằngcáchđếmngang.Vớin=1,tacầntìm | |
A X
S A
Í
=
å
.
Vớimỗik=1,2, ,mcó
k
m
C tậpconcủaXcókphầntử.Vìthếtacó
1
1
.2
m
k m
m
k
S kC m
-
=
= =
å
(xemvídụ6)
Vớin=2.Vớimỗikcốđịnh,tathửtìmsốbộ(A,B)vớiA,B Í Xsaocho|A
È B|=k.Đầutiêntacó
k
m
C cáchchọnkphầntửcủaA È B.Vớimỗii=0,1, ,
k,tacó

i
k
C cáchchọnAvới|A|=i.KhiđóBphảichứatấtcảcácphầntửthuộc
(A È B)\A,ngoàira,BcóthểchứamộttậpconbấtkỳcủaA.Dođócó2
i
cách
chọnB.Vậy
0
2 .3
k
k i i k k
k m k m
i
n C C C
=
= =
å
Từđó
1
1
3 3 .4
m
k k m
m
k
S kC m
-
=
= =
å

(Để chứng minhđẳng thức cuối cùng, tadùngkhai triển
0
(1 )
m
m k k
m
k
x C x
=
+ =
å
. Lấy
đạohàmhaivếrồithayx=3vào,tađượckếtquả).
Tuynhiêncáchđếmngangnàykhichuyểnlênn=3đãrấtphứctạpvàgầnnhư
bếtắcvớinbấtkỳ.Tachuyểnsangcáchđếmdọc,tứclàđếmtheophầntử.
Xétphầntử1.Tađếmtấtcảcácbộ(A
1
,A
2
, ,A
n
)thuộcFmàhợpcủachúng
chứa1.DomỗiA
i
cóthểlàmộttậpconbấtkỳcủaXnêntacó 2m cách
chọnA
i
.Suyra|F|=2
mn
.Tađếmsốcácbộ (A

1
,A
2
, ,A
n
)thuộcFmàhợp
củachúngkhôngchứa1.KhiđóA
i
thuộcX\{1}dođócó2m1cáchchọnA
i
,suy
rasốcácbộ (A
1
,A
2
, ,A
n
)thuộcFmàhợpcủachúngkhôngchứa1bằng2
(m
1)n
.Từđótacó
n(1)=2
mn
–2
(m1)n
=2
(m1)n
(2
n
1)

Dovaitròcủacácsố1,2,…,mnhưnhaunêntacó
n(x)=2
(m1)n
(2
n
1)vớimọix Î X
Từđó
( 1)
( ) (2 1)2
n m n
x X
S n x m
-
Î
= = -
å
.
Lờigiảirấtngắngọnvàấntượng!
Vídụ10.ChoX={1,2,…,n}.LấyngẫunhiênhaitậpconA,BcủaX.Hãytính
sốphầntửtrungbìnhcủaA È B.
Giải.Cótấtcả4
n
cáccặptậpcon(A,B)củaXvàchúngđượclấyramộtcách
ngẫu nhiên vớixác suất1/4
n
. Vì thế số phần tử trungbìnhcủa A Ç B trong
trườnghợpnàychínhlàđạilượng
( , )
| |
4

A B F
n
A B
N
Î
Ç
=
å
Đểđếmtửsố,tađếmsốcáccặp(A,B)màA Ç Bchứax(nhưthườnglệ,tađặt
sốnàylàn(x)).RõràngcảAvàBđềuphảichứax.Ngoàira,A\{x}vàB\{x}có
thểlàmộttậpconbấtkỳcủaX\{x}.Vìthếtacó
n(x)=(2
n1
)
2
=4
n1
.
Từđâysuyra
1
( , )
| | .4
n
A B F
A B n
-
Î
Ç =
å
và

4
n
N = .
Nguyênlýbaohàmvàloạitrừ,mộtnguyênlýquantrọngcủagiảitíchtổhợp,
ngoàicáchchứngminhbằngquynạpcòncómộtcáchchứngminhrấtđẹpbằng
phépđếmtheophầntử.Taphátbiểulạinguyênlýnàyvàđưaracáchchứng
minhtổhợpchonó.
Vídụ11.(Nguyênlýbaohàmvàloạitrừ)NếuA
1
,A
2
,…,A
n
làcáctậphợpbất
kỳthìtacó
1
1
1
1 1 1 
1
| | | | | | ( 1) | | 
k
k
n
n
k
i i i j i i
i i j n i i n
i
A A A A A A

-
= £ < £ £ < < £
=
= - Ç + + - Ç Ç +
å å å U
Chứngminh.Xétmộtphầntửxbấtkỳ.Nếuxkhôngthuộc
1
n
i
i
A
=
U
thìxkhông
đượcđếmlầnnàoởvếtrái,cũngkhôngđượcđếmlầnnàoởvếphải.Nếux
thuộc
1
n
i
i
A
=
U
thìxđượcđếm1lầnởvếtrái.Tachứngminhxcũngđượcđếmmột
phầnởvếphải.Nhưthế,mộtphầntửxbấtkỳđượcđếmnhưnhauởcảhaivế,
dođóhaivếbằngnhau.
Thậtthế,vìxthuộc
1
n
i

i
A
=
U
nênxthuộcvàomộtsốtậpconA
i
.Giảsửxthuộcrtập
con.Khiđóxsẽđượcđếmrlầnởtổngthứnhấtởvếphải,
2
r
C lầnởtổngthứhai
…Nhưvậy,xsẽđượcđếm
1
1
( 1)
r
i i
r
i
C
-
=
-
å
lầnởvếphải.Cuốicùng,chúýrằng
( )
1
0 1
0 1 1 ( 1) 1 ( 1)
r r

r
i i i i
r r
i i
C C
-
= =
= - = - = - -
å å
,tasuyra
1
1
( 1) 1
r
i i
r
i
C
-
=
- =
å
,tứclàxđượcđếm1
lầnởvếphải(đpcm).
Bàitập
9.Chon ³ 1làmộtsốnguyênchotrước.VớimỗitậpconkhácrỗngAcủaE=
{1,2,…,n}taxácđịnhw(A)nhưsau:nếua
1
>a
2

>…>a
k
làcácphầntửcủaA
thìw(A)=a
1
–a
2
+…+(1)
k+1
a
k
.Hãytìmtổngtấtcảcácgiátrịw(A)khiAchạy
qua2
n
1tậpconkhácrỗngcủaE.
10.ChoX={1,2,…,n},p,qlàcácsốnguyêndương,1 £ p,q £ n.Chọnngẫu
nhiêncáctậpconA,BcủaXvới|A|=p,|B|=q.Hãytìmgiátrịtrungbìnhcủa
|AÇB|.
1
Trần Nam Dũng – Trường Đại học Khoa học tự nhiên Tp HCM, 2012
Tài liệu Tổ hợp dành cho Vietnam TST
1. Một số định lý cơ bản trong tổ hợp
Cho F là họ các tập con của X. Với x thuộc x, ta gọi d(x) là số phần tử của F chứa x.
Định lý 1.
Cho F là họ các tập con của tập hợp X. Khi đó
∑
݀
ሺ
ݔ
ሻ

ൌ
∑
|ܣ|
஺∈ி
௫∈௑
Chứng minh.
Xét
ma trận kề
M = (m
x,A
) của F. Nghĩa là M là ma trận 0-1 với |X| dòng
đánh số bởi các điểm x

X và |F| cột đánh số bởi tập A

F sao cho m
x,A
= 1 khi và chỉ
khi x

A. Để ý rằng d(x) bằng số số 1 trên dòng thứ x còn |A| là số số 1 trên cột thứ A.
Như vậy cả vế trái và vế phải đều biểu diễn số số 1 của M.
Nếu ta xét đồ thị G = (V, E) trên tập đỉnh V như một họ các tập con 2 phần tử của V t
hì ta
có định lý Euler.
Định lý 2.
(Euler, 1736) Trong mọi đồ thị, tổng bậc các đỉnh của nó bằng hai lần số cạnh
của nó và như thế, luôn là một số chẵn.
Định lý sau có thể được chứng minh bằng cách tương tự
Định lý 3.

∑
݀
ሺ
ݔ
ሻ
ൌ
∑
|ܻ ∩ ܣ|
஺∈ி
௫∈௒
với mọi Y

X.
∑
݀
ሺ
ݔ
ሻ
ଶ
ൌ
∑ ∑
݀ሺݔሻ ൌ
௫∈஺
∑ ∑
|ܣ
஻∈ி
∩ ܤ|
஺∈ி
.
஺∈ி

௫∈௑
(Hai tổng ở đẳng thức đầu ứng với số số 1 trên các hàng Y. Các tổng ở đẳng thức thứ hai
đếm số lần xuất hiện của x trong các tập có dạng A ∩ B).
Trường hợp đặc biệt khi F = E là tập con 2 phần tử, ta có
Định lý 4. Với đồ thị G = (V, E), ta có
∑
݀
ሺ
ݔ
ሻ
ଶ
ൌ
∑
ሺ݀
ሺ
ݔ
ሻ
൅ ݀
ሺ
ݕ
ሻ
ሻ.
ሺ௫,௬ሻ∈ா
௫∈௏
Định lý 5.
(Hall, 1935) Cho đồ thị hai phe X, Y. Với mỗi tập con A thuộc X, g
ọi G(A) là
tập các đỉnh thuộc Y kề với một đỉnh nào đó thuộc A. Khi đó điều kiện
cần và đủ để tồn
tại một đơn ánh f: X

Æ
Y sao cho x kề f(x) là |G(A)| ≥ |A| với mọi A khác rỗng thuộc X.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên: Nếu tồn tại đơn ánh f thì với mỗi A = {x
1
, x
2
,
…, x
r
} thuộc X, ta có G(A) chứa các phần tử phân biệt f(x
1
), …, f(x
r
), do đó |G(A)| ≥ r =
|A|.