chuyen đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán6

Chuyên đề b i dng HSG Toỏn 6-7 : Dãy Số phức tạp
Ngi vit : T Phm Hi
Giỏo viờn Trng THCS Th trn Hng h Thỏi bỡnh
Bi toán 1 : Tính các tổng sau
1. A = 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
+ 2
6
+ 2
7
+ 2
8
+ 2
9
+ 2
10
2. B = 1 + 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+ ... + 3
100
Giải :

1. 2A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ ... + 2
10
+ 2
11
. Khi đó : 2A A = 2
11
1
2. 3B = 3 + 3
2
+ 3
3
+ ... + 3
100
+ 3
101
. Khi đó : 3B B = 2B = 3
101
1 .
Vậy B =
Ta nghĩ tới bài toán tổng quát là :
Tính tổng S = 1 + a + a
2
+ a
3
+ ... + a
n

, a Z
+
, a > 1 và n Z
+
Nhân 2 vế của S với a ta có aS = a + a
2
+ a
3
+ a
4
+ ... + a
n
+ a
n+1
. Rồi trừ cho S ta đợc :
aS S = ( a 1)S = a
n+1
1 . Vậy : 1 + a + a
2
+ a
3
+ ... + a
n
= .

Từ đó ta có công thức : a
n+1
1 = ( a 1)( 1 + a + a
2
+ a

3
+ ... + a
n
) .
Bi tập áp dụng : Tớnh cỏc tng sau:
2 3 2007
2 3 100
) 1 7 7 7 ... 7
) 1 4 4 4 ... 4
a A
b B
= + + + + +
= + + + + +
c) Chứng minh rằng : 14
14
1 chia hết cho 3
d) Chứng minh rằng : 2009
2009
1 chia hết cho 2008
Bài toán 2 : Tính các tổng sau
1) A = 1 + 3
2
+ 3
4
+ 3
6
+ 3
8
+ ... + 3
100

2) B = 7 + 7
3
+ 7
5
+ 7
7
+ 7
9
+ ... + 7
99
Giải :
1) A = 1 + 3
2
+ 3
4
+ 3
6
+ 3
8
+ ... + 3
100
. Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của A với
số nào để khi trừ cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ?.Ta thấy các số
mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 3
2
, rồi trừ cho A ta
đợc :
3
2
A = 3

2
+ 3
4
+ 3
6
+ 3
8
+ ... + 3
100
+ 3
102

A = 1 + 3
2
+ 3
4
+ 3
6
+ 3
8
+ ... + 3
100
3
2
A A = 3
102
1 . Hay A( 3
2
1) = 3
102

1 . Vậy A = ( 3
102
1): 8
Từ kết quả này suy ra 3
102
chia hết cho 8
2 ) Tơng tự nh trên ta nhân hai vế của B với 7
2
rồi trừ cho B , ta đợc :
7
2
B = 7
3
+ 7
5
+ 7
7
+ 7
9
+ ... + 7
99
+ 7
101
B = 7 + 7
3
+ 7
5
+ 7
7
+ 7

9
+ ... + 7
99
7
2
B B = 7
101
7 , hay B( 7
2
1) = 7
101
7 . Vậy B = ( 7
101
7) : 48
Tơng tự nh trên ta cũng suy ra 7
101
7 chia hết cho 48 ; 7
100
- 1 chia hết cho 48
1
Bài tập áp dụng : Tính các tổng sau :
A = 2 + 2
3
+ 2
5
+ 2
7
+ 2
9
+ ... + 2

2009
B = 1 + 2
2
+ 2
4
+ 2
6
+ 2
8
+ 2
10
+ ... + 2
200
C = 5 + 5
3
+ 5
5
+ 5
7
+ 5
9
+ ... + 5
101

D = 13 + 13
3
+ 13
5
+ 13
7

+ 13
9
+ ... + 13
99

Tng quỏt : Tớnh *
b)
2 4 6 2
1
1 ...
n
S a a a a
= + + + + +
, vi (
2, a n N

)
c)
3 5 2 1
2
...
n
S a a a a
+
= + + + +
, vi (
*
2, a n N

)

Bài tập khác : Chứng minh rằng :
a. A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ + 2
60
chia hết cho 21 và 15
b. B = 1 + 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+ + 3
11
chia hết cho 52
c. C = 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ + 5
12
chia hết cho 30 và 31
Bi toỏn 3 : Tớnh tng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10
Li gii 1 :

Nhn xột : Khong cỏch gia 2 tha s trong mi s hng l 1. Nhõn 2 v ca A vi 3
ln khong cỏch ny ta c :
3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 -
6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8)
= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11
= 9.10.11 = 990.
A = 990/3 = 330
Ta chỳ ý ti ỏp s 990 = 9.10.11, trong ú 9.10 l s hng cui cựng ca A v 11 l
s t nhiờn k sau ca 10, to thnh tớch ba s t nhiờn liờn tip. Ta có kt qu tổng quát
sau :
A = 1.2 + 2.3 + + (n - 1).n = (n - 1).n.(n + 1)/3
Li gii khỏc :
Li gii 2 :
3.A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
= 3.(0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
= [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3
= 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2) = (1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ 7
2
+ 9
2
).2.3
= (1
2

+ 3
2
+ 5
2
+ 7
2
+ 9
2
).6 = 990 = 9.10.11
Ta cha bit cỏch tớnh tng bỡnh phng cỏc s l liờn tip bt u t 1, nhng liờn h
vi li gii 1, ta cú :
(1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ 7
2
+ 9
2
).6 = 9.10.11, hay
(1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ 7
2

+ 9
2
) = 9.10.11/6
Ta cú kết quả tng quỏt :
P = 1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ 7
2
+ + (2n + 1)
2
= (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6
Bi tập vận dụng : Tớnh các tng sau :
1. P = 1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ 7
2
+ ... + 99
2

2. Q = 11
2
+ 13

2
+ 15
2
+ + 2009
2
.
3. M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + .... + 99.100
2
Bi toỏn 3 : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10
C = A + 10.11. Tớnh giỏ tr ca C.
Giải :
Theo cỏch tớnh A ca bi toỏn 2, ta c kt qu l : C = 10.11.12/3
Theo cách gii 2 ca bi toỏn 2, ta lại có :
C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 + 10.11
= (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9) + (9.10 + 10.11)
= 2( 1 + 3) + 4( 3 + 5) + 6( 5 + 7) + 8 ( 7 + 9) + 10( 9 + 11)
= 2.4 + 4.8 + 6.12 + 8.16 + 10.20 = 2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + 2.8.8 + 2.10.10
= 2.2
2
+ 2.4
2
+ 2.6
2
+ 2.8
2
+ 2.10
2
= 2.( 2
2
+ 4

2
+ 6
2
+ 8
2
+ 10
2
)
Vậy C = 2.(2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ 8
2
+ 10
2
) = 10.11.12/3 .Từ đó ta có :
2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ 8
2
+ 10
2
= 10.11.12/6

Ta li cú kt qu tng quỏt là :
2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ + (2n)
2
= 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6
Bi tập áp dụng :
1. Tớnh tng : 20
2
+ 22
2
+ + 48
2
+ 50
2
.
2. Cho n thuc N*. Tớnh tng :
n
2
+ (n + 2)
2
+ (n + 4)
2
+ + (n + 100)
2
.

Hng dn gii : Xột hai trng hp n chn v n l .Bi toỏn cú mt kt qu duy nht,
khụng ph thuc vo tớnh chn l ca n.
3.Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 999.1000
Bi toỏn 4 : Chng minh rng :
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
= n.(n + 1)(2n + 1)/6
Li gii 1 :
Xột trng hp n chn :
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
= (1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ + (n 1)

2
) + (2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ + n
2
)
= [(n 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6
= n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6
Tng t vi trng hp n l, ta cú
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
= (1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ + n
2
) + (2

2
+ 4
2
+ 6
2
+ + (n 1)
2
)
= n(n + 1)(n + 2)/6 + (n 1)n(n + 1)/6
= n(n + 1)(n + 2 + n 1)/6
= n(n + 1)( 2n + 1) /6 ( đpcm)
Lời giải 2 :
S = 1 + 2 + 3 + 4 ++ n
S = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + + n.n = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + 4(5-1) + n[(n+1)-1]
= 1.2 1+ 2.3 2 + 3.4 3 + 4.5 4 ++ n(n + 1 ) n
= 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + n( n + 1 ) ( 1 + 2 + 3 +4 + + n )
= - = n( n + 1 ). ) = n( n + 1)
Vy S =
Vậy ta có công thức tính tổng của dãy số chính phơng bắt đầu từ 1 là :
3
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
= n.(n + 1)(2n + 1)/6
Bi tập áp dụng : Tớnh giỏ tr của các biểu thức sau:

N = 1 + 2
2
+ 3
2
+ 4
2
+ 5
2
+ + 99
2
A = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + ... + 10000
B = - 1
2
+ 2
2
3
2
+ 4
2
- - 19
2
+ 20
2
.
Gợi ý:
Tỏch B = (2
2
+ 4
2
+ + 20

2
) (1
2
+ 3
2
+ + 19
2
) ; tớnh tng cỏc s trong mi ngoc
n ri tỡm kt qu ca bi toỏn.
Bài toán 5 . Tính : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99
Giải
Nhn xột : Khong cỏch gia hai tha s trong mi s hng l 2 , nhõn hai v ca A
vi 3 ln khong cỏch ny ta c :
6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + + 97.99.6
= 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + + 97.99(101 - 95)
= 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99
= 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99
= 3 + 97.99.101
1 97.33.101
A
2
+
=
= 161 651
Trong bài toán 2 ta nhân A với 3. Trong bài toán 5 ta nhân A với 6 Ta có thể nhận
thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách k giữa 2
thừa số trong mỗi hạng tử.
Bi toỏn 6 : Tớnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10.
Li gii :
Tr li bi toỏn 2. mi hng t ca tng A cú hai tha s thỡ ta nhõn A vi 3 ln khong

cỏch gia hai tha s ú. Học tập cách đó , trong b i n y ta nhõn hai v ca A vi 4 ln
khong cỏch ú vỡ õy mi hng t cú 3 tha s .Ta gii c bi toỏn nh sau :
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10
4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4
4A = [1.2.3.(4 0) + 2.3.4.(5 1) + + 8.9.10.(11 7)]
4A = (1.2.3.4 1.2.3.4 + 2.3.4.5 2.3.4.5 + + 7.8.9.10 7.8.9.10 + 8.9.10.11)
4A = 8.9.10.11 = 1980.
Từ đó ta cú kt qu tng quỏt
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + (n 1).n.(n + 1).= (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4
Bài tập áp dụng : Tính các tổng sau :
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ 99.100.101
Bài toán 7 : Tính : A = 1.3.5 + 3.5.7 + + 5.7.9 + + 95.97.99
Giải :
8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + + 95.97.99.8
4
= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + + 95.97.99(101 - 93)
= 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + + 95.97.99.101 -
93.95.97.99
= 15 + 95.97.99.101

15 95.97.99.101
A
8
+
=
= 11 517 600
Trong bài 6 ta nhân A với 4 (bốn lần khoảng cách). Trong bài 7 ta nhân A với 8 (bốn
lần khoảng cách) vì mỗi hạng tử của A cũng có 3 thừa số.
Bài toán 8 : Tính A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100
Giải

A = 2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 + + (98 + 1).100
= 2 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 + + 98.100 + 100
= (2.4 + 4.6 + + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 + + 100)
= 98.100.102 : 6 + 102.50:2
= 166600 + 2550
= 169150
Cách khác :
A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + + 99(101 - 1)
= 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + + 99.101 - 99
= (1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + + 99)
= 171650 2500
= 169150
Trong bài toán này ta không nhân A với một số mà tách ngay một thừa số trong mỗi
số hạng làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính đợc.
Bài tập ỏp dng
1. Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + + 99.99.100
Giải :
A = 1.3.( 5 3) + 3.5.( 7 3) + 5.7.( 9 - 3) + + 99.101.( 103 3)
= ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + + 99.101.103 ) ( 1.3.3 + 3.5.3 + + 99.101.3 )
= ( 15 + 99.101.103.105): 8 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101)
= 13517400 3.171650
= 13002450
2. Tính A = 1.2
2
+ 2.3
2
+ 3.4
2
+ + 99.100
2

Giải :
A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + + 99.100.(101 - 1)
= 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + + 99.100.101 - 99.100
= (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100)
= 25497450 333300
= 25164150
Bài tập áp dụng :
1.Tính A = 1
2
+ 4
2
+ 7
2
+ . +100
2
.
2.Tính B = 1.3
2
+ 3.5
2
+ 5.7
2
+ + 97.99
2
.
3.Tính A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + + 49.51+ 50.50
4. Tính B = 1.3 + 5.7 + 9.11 + + 97.101
5