Tải bản đầy đủ (.pdf) (12 trang)

tuyển chọn đề và đáp án môn hình học không gian

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (442.38 KB, 12 trang )

HÌNHCHÓP
Bài1.ChohìnhchópSABCDcóđáyABCDlàhìnhvuôngcạnh a ,tamgiácSABđều,tam
giácSCDvuôngcântạiS.GọiI,J,KlầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnhAB,CD,SA.
Chứngminhrằng )()( ABCDSIJ ^ .TínhthểtíchkhốichópK.IBCD.
Giải.
Từ giảthiếttacó:
)(SIJAB
IJAB
SIAB
^ Þ
þ
ý
ü
^
^
Do )()()( ABCDSIJABCDAB ^ Þ Ì .
+Kẻ
IJSH ^
do
)(
)()(
)()(
ABCDSH
IJABCDSIJ
ABCDSIJ
^ Þ
þ
ý
ü
= Ç
^


+Goi K’làhìnhchiếuvuônggóccủaK lên (ABCD)khiđó
SHKK //'
do Klàtrungđiểm SAnên K’làtrung
điểm AH& SHKK
2
1
'= .
Từđótacó:
IBCDIBCDK
SKKV
à
= '.
3
1
.
Dễthấy:
2
3a
SI = ;
22
1 a
CDSJ = = ;
aIJ = SIJ D Þ
vuông tạiSvì:
222
IJSJSI = +
ừhệthứcSI.SJ=SH.IJ
4
3. a
IJ

SJSI
SH = = Þ
8
3
'
a
KK = Þ
Tacó
IBCD à
làhìnhthangvuôngtaiBvàCnên
4
3
2
).(
2
aBCCDIB
S
IBCD
=
+
=
à
Thayvàotađược
32
3.
3
.
a
V
IBCDK

=
Bài2. Chohìnhchóp
.S ABCD
cóđáylàhìnhthangvuôngtại A và B với
BC
làđáynhỏ.Biết
rằngtamgiác
SAB
làtamgiácđềucócạnhvớiđộdàibằng
2a
vànằmtrongmặtphẳng
vuônggócvớimặtđáy, 5SC a = vàkhoảngcáchtừ D tớimặtphẳng
( )
SHC bằng
2 2a
(ởđây H làtrung điểm AB ).Hãytínhthểtíchkhốichóptheo .a
www.laisac.page.tl
TuyểnchọnĐềvàđápán:
LuyệnthithửĐạiHọccủacáctrườngtro ng nướcnăm2012 .
M
M
ô
ô
n
n
:
:
H
H
Ì

Ì
N
N
H
H
H
H
Ọ

C
C
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
(laisaccắtvàdán)

K '
K
J
I
A
B
C
D
S
H
I
O
A
B
C
D
S
E
F
M
Giải
Từgiảthiếtsuyra
( )
SH ABCD ^ và
2 3
3
2
a
SH a = =
TheođịnhlýPythagorastacó

2 2
2CH SC SH a = - = .
Dođótamgiác
HBC
vuôngcântại B và
BC a =
Gọi
DE HC A = Ç
thếthìtamgiác HAE cũngvuôngcânvàdođó
( ) ( )
( )
2 2 ; ;CE a d D HC d D SHC = = = suyra
2 2 2 4 3 .DE a a AD a = × = Þ =
Suyra
( )
2
1
4
2
ABCD
S BC DA AB a = + × = (đ.v.d.t.).Vậy
3
. D
1 4
3
3
S ABC ABCD
a
V SH S = × × = (đ.v.t.t.)
Bài3. Chohìnhchóptứgiácđều S.ABCDcócạnhbêntạovớiđáymộtgóc60

0
vàcạnhđáy
bằng a.
1) TínhthểtíchkhốichópS.ABCD.
2) QuaAdựngmặtphẳng (P)vuônggócvớiSC. Tínhdiệntíchthiếtdiệntạobởimặtphẳng
(P)cắthìnhchópS.ABCD.
Giải.
a) *S
ABCD
=
2
a
*
Ð = = Þ =
00
60tan60 AOSOSBO
3.
2
2a
=
2
6a
=
*
ABCDABCDS
SSOV .
3
1
.
=

2
.
2
6
.
3
1
a
a
=
6
6
3
a
=
b)
*Giảsử MSCP = Ç)(
Vì SCP ^)( và )(PAÎ nên
SCAM ^
Mặtkhác,gọi )()( SBDPEF Ç = với SDFSBE Î Î ; thì
BDEF//
và EF quaI với
SOAMI Ç =
(do SCPSCBD ^ ^ )(; nên )//(PBD ).
*Tathấymặtphẳng )(P cắt
ABCDS.
theothiếtdiệnlàtứgiác AEMF cótínhchất EFAM ^ .
Dođó EFAMS
AEMF
.

2
1
=
*Tathấy
SAC D
đều(vìgóc .,60
0
SCSASAC = = Ð ),mà
SCAM ^
nên
2
6a
AM=
VàAMlàtrungtuyếncủa
SAC D
.MặtkhácAOcũnglàtrungtuyếncủa
SAC D
nênI làtrọng
tâmcủa
SAC D
*Tacó
3
22
3
2
3
2 a
BDEF
SO
SI

BD
EF
= = Þ = =
4a
2a 2
2a
2a
a
a
a 5
C'
º
C
a
a
a
a
a
45
°
45
°
H
E
A
D
C
B
H
B

A
C
D
S
.
3
3
3
22
.
2
6
.
2
1
.
2
1
2
aaa
EFAMS
AEMF
= = = Þ
Bài4.ChohìnhchópS.ABCcóđáyABClàtamgiácvuôngcânđỉnhA,
2AB a =
.GọiIlà
trung điểm của cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn
2IA IH = -
uur uuur
.GócgiữaSCvàmặtđáy(ABC)bằng

0
60 .HãytínhthểtíchkhốichópS.ABCvà
khoảngcáchtừtrungđiểmKcủaSBđếnmặtphẳng(SAH).
Giải
*Tacó
2IA IH = - Þ
uur uuur
HthuộctiađốicủatiaIAvà 2IA IH =
2 2BC AB a = =
*Tacó
2IA IH = - Þ
uur uuur
HthuộctiađốicủatiaIAvà 2IA IH =
2 2BC AB a = =
Suyra
3
,
2 2
a a
IA a IH AH IA IH = = Þ = + =
Tacó
2 2 2 0
5
2 . .cos45
2
a
HC AC AH AC AH HC = + - Þ =

( ) ( )
( )

0 0
15
, 60 .tan 60
2
a
SH ABC SC ABC SCH SH HC ^ Þ = Ð = Þ = =
Tacó
2 2 2 0
5
2 . .cos45
2
a
HC AC AH AC AH HC = + - Þ =

( ) ( )
( )
0 0
15
, 60 .tan 60
2
a
SH ABC SC ABC SCH SH HC ^ Þ = Ð = Þ = =
ThểtíchkhốichópS.ABCDlà:
( )
3
.
1 15
.
3 6
S ABC ABC

a
V S SH dvtt
D
= =
( )
BI AH
BI SAH
BI SH
^
ì
Þ ^
í
^
î
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
1 1 1
, ,
2 2 2 2
,
d K SAH
SK a
d K SAH d B SAH BI

SB
d B SAH
Þ = = Þ = = =
Bài5.Chohìnhchóp
.S ABC
cóđáylàtamgiác
ABC
vuôngtại B ;
SA
vuônggócvớiđáy,
AB a =
,
2SA BC a = =
.Trêntiađốicủatia BA lấyđiểm M saocho
·
ACM
a
=
0 0
(0 90 )
a
< < .
Gọi I và K lầnlượtlàtrungđiểmcủa
AC
và
SC
, H làhìnhchiếucủa
S
lên
CM

.Xácđịnh

a
 đểthểtíchkhốichóp AHIKđạtGTLN.Tínhthểtíchkhốichópkhiđó.
Giải.
Có
CM SH
CM AH CH AH
CM SA
^
ì
Þ ^ Þ ^
í
^
î
H Þ
chạytrênnửađườngtrònđườngkính
AC
phần
cóchứađiểm B
2 2
1 1 5
2 2 2
a
HI AI IC AC AB BC Þ = = = = + =
3
( , )
1 1 1 1 1 5 5 5
. . ( . ). ( . ) .2 . .
3 2 12 12 12 2 2 24

AHIK AIH H AC
a a a
V SA S SA AI d SA AI HI a
D
= = £ = = .Dấu“=”xảyra
khivàchỉkhi HI AI ^ kếthợpvới HI AI = suyra
0
45
a
=
(Đãtớiđề39)
Bài6.Chohìnhchóp
.S ABC
cóđáy
ABC
làtamgiácvuôngcântại
C
cạnhhuyềnbằng
3a
.
G
làtrọngtâmtamgiác
ABC
,
( )
SG ABC ^ ,
14
2
a
SB = .Tínhthể tíchhìnhchóp

.S ABC
và
khoảngcáchtừ B đếnmặtphẳng
( )
SAC .
Giải.Gọi I làtrungđiểm AB ,
3
2 2
a a
CI IG = Þ =
Tamgiácvuông
2
2 2 2
10
4
a
BIG BG BI IG Þ = + =
2 2
2 2
14 10
4 4
a a
SG SB BG a = - = - =
3
1 1 1 3 3
. 3 . .
3 3 2 2 4
SABC ABC
a a
V S SG a a = = =

Kẻ , ,( / / )GK AC K AC GK BC SK BC ^ Î Þ ^
2
2 2 2
3 3
;
2
2 2 2 2
GC a a a a
GK SK SG GK a AC = = Þ = + = + = =
2
1 3 3 3 3
.
2 2 4
2
SAC
a a
S a Þ = =
hlàkhoảngcáchtừ B đếnmặtphẳng
( )
SAC
3
3
SABC
SAC
V
h a
S
Þ = =
Bài7. ChohìnhchópS.ABCDcóđáyABCDlàhìnhthoicạnhbằng3cm,cáccạnhSA=SB
=SC=3cm .TamgiácSBDcódiệntíchbằng6cm

2
.TínhthểtíchcủakhốichópSABCD.
Giải.
GọiHlàhìnhchiếucủaStrên(ABCD)suyraHnằmtrênBD(VìSA=SB==SC,BDlàtrung
trựccủaAC).DođóSHđườngcaocủahìnhchópcũnglàđườngcaocủatamgiácSBD
;GọiOlàgiaođiểmcủaACvàBD.VìSA=SC=DA=DCnênSO=DOsuyratamgiác
SBDlàtamgiácvuôngtạiS.Vìdt(SBD)=6vàSB=3nênSD=4;suyraBD=5,SH=12/5.
ABCDlàhìnhthoicóAD=3,DO=5/2nênAO=
11
2
suyradt(ABCD)=
5 11
2
.
1
. ( ) 2 11
3
S ABCD
V SH dt ABCD = = . VậythểtíchkhốichópS.ABCDbằng
2 11
Bài8. ChohìnhchópSABCcó
3SA a =
(với
0a >
);SAtạovớiđáy(ABC)mộtgócbằng60
0
.
TamgiácABCvuôngtạiB,
·
0

30ACB =
.GlàtrọngtâmtamgiácABC.Haimặtphẳng(SGB)và
(SGC)cùngvuônggócvớimặtphẳng(ABC).TínhthểtíchhìnhchópS.ABCtheoa.
GiảiGọiKlàtrungđiểmBC.Tacó
0
3
( ); 60 , .
2
a
SG ABC SAG AG ^ Ð = =
Từđó
9 3 3
; .
4 2
a a
AK SG = = TrongtamgiácABCđặt 2 ; 3.AB x AC x BC x = Þ = =
Tacó
2 2 2
AK AB BK = + nên
9 7
14
a
x = .Suyra
3
.
1 243
.
3 112
S ABC ABC
V SG aS = = (đvtt)

Bài9.
Cho hình chóp S.ABCD cóđáy là hình vuôngcạnh a, SA vuông góc với mặtphẳngđáy và
SA=a.GọiM,NlầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnhSB,SD;IlàgiaođiểmcủaSCvàmặtphẳng
(AMN).ChứngminhSCvuônggócvớiAIvàtínhthểtíchkhốichópMBAI.
G
I
M
S
A
C
B
K
O
C
B
A
D
S
H
Giải
Chứngminh
SC AI ^
:Tacó
AM SB AN SD
AM SC; AN SC SC (AMN) SC AI
AM BC AN CD
^ ^
ì ì
Þ ^ Þ ^ Þ ^ Þ ^
í í

^ ^
î î
Kẻ IH // BC IH (SAB) Þ ^ (vì BC (SAB) ^ )
MBAI MAB
1
V S .IH
3
Þ =
V
2 2 2
2
2 2 2
SA a a a
SI.SC SA SI
SC
3
SA AC 3a
SI IH SI.BC a
IH
SC BC SC 3
= Þ = = = =
+
= Þ = =
2 3
MAB MBAI MAB
a 1 a
S V S .IH
4 3 36
= Þ = =
V V

Bài10: ChohìnhchópS.ABCcóđáylàtamgiácvuôngtạiA,AB=3,AC=4góctạobởicác
mặtbênvàđáybằng60
o
.TínhthểtíchcủakhốichópS.ABC
Giải.
GọiHlàhìnhchiếucủa Slên(ABC);M,N,Klầnlượtlàhìnhchiếucủa
HlênhcạnhAB,AC,BC.Khiđóthể tíchVcủakhốichópđượctính
bởicôngthức
1
.
3
ABC
V S SH
D
=
mà
1
. 6
2
ABC
S AB AC
D
= =
TínhSH.
XétcáctamgiácSHM,SHN,
SHKvuôngtạiH,
cócácgócSMH,SNH,SKH
bằng 60
0
dođóHM=HN=HK=>Hlàtâm đường trònnộitiếptamgiácABC=>

2
1
ABC
S
HM
AB BC CA
= =
+ +
=>SH=HM.tan60
0
= 3
Vậy
1
3.6 2 3
3
V = =
Bài11.ChohìnhchópS.ABCD,đáyABCDlàhìnhthoi.SA=x(0<x< 3)cáccạnhcònlại
đềubằng1.TínhthểtíchcủahìnhchópS.ABCDtheox.
Giải.Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.
Tacó
1
( . . )
2
D = D Þ = =SBD CBD c c c SO CO AC
VậytamgiácSCAvuôngtạiS.
2 2 2
1 Þ = + = +CA SC SA x
Mặtkháctacó
2 2 2 2 2 2
AC BD AB BC CD AD + = + + +

2
3 ( 0 3)BD x do x Þ = - < <
Bài12 ChohìnhchópS.ABCDcóđáyABCDlàhìnhthoi;haiđườngchéoAC= 2 3a ,BD=
2avàcắtnhautạiO;haimặtphẳng(SAC)và(SBD)cùngvuônggócvớimặtphẳng(ABCD).
I
S
B
A
D
C
M
N
B
A
H
M
S
C
N
K
BiếtkhoảngcáchtừđiểmOđếnmặtphẳng(SAB)bằng
3
4
a
,tínhthểtíchkhốichópS.ABCD
theoa.
Giải.TừgiảthiếtAC= 2 3 a ;BD=2avàAC,BDvuônggócvớinhautạitrungđiểmOcủa
mỗiđườngchéo.TacótamgiácABOvuôngtạiOvàAO= 3a ;BO=a,dođó
·
0

60 A DB =
HaytamgiácABDđều.
Từgiảthiếthaimặtphẳng(SAC)và(SBD)cùngvuônggócvớimặtphẳng(ABCD)nêngiao
tuyếncủachúnglàSO ^(ABCD).
DotamgiácABDđềunênvớiHlàtrungđiểmcủaAB,KlàtrungđiểmcủaHBtacó DH AB ^
vàDH= 3a ;OK//DHvà
1 3
2 2
a
OK DH = = ÞOK ^AB ÞAB ^(SOK)
GọiIlàhìnhchiếucủaOlênSKtacóOI ^SK;AB ^OI ÞOI ^(SAB),hayOIlàkhoảng
cáchtừOđếnmặtphẳng(SAB).
TamgiácSOKvuôngtạiO,OIlàđườngcao Þ
2 2 2
1 1 1
2
a
SO
OI OK SO
= + Þ =
Diệntíchđáy
2
4 2. . 2 3
D
S
ABC ABO
S OA OB a
D
= = = ;
đườngcaocủahìnhchóp

2
a
SO = .
ThểtíchkhốichópS.ABCD:
3
.
1 3
.
3 3
D DS ABC ABC
a
V S SO = =
Bài13.
ChohìnhchópS.ABCDcóđáyABCDlàhìnhbìnhhànhcógóc
0
60BAC Ð = ;AB=a;
AC=4a.Haimặtphẳng(SAB)và(SAC)cùngvuônggócvớiđáy;SDtạovớiđáygóc
0
45 .
1,Tínhthểtíchkhốichóp.
2,GọiE,Flầnlượtlàtrung điểmcủaBCvàSD.Tínhkhoảng cách giữahai đườngthẳngDEvà
CF.
Giải.Tacó:
(SAB) (ABCD)
SA (ABCD)
(SAC) (ABCD
^
ü
Þ ^
ý

^
þ
SDA Þ Ð làgócgiữaSDvà(ABCD)
0
SDA=45 Þ Ð
Trong ΔABC có:
( )
2 2 2
BC =AB +AC 2AB.ACcos BAC Ð
2
=13a AD=BC=a 13 Þ
TrongtamgiácSADvuôngtạiA,tacó:
SA=ADtan( SDA)=a 13 Ð
2
ABCD ΔABC
S =2S =AB.ACsin(BAC)=2a 3
3
S.ABCD ABCD
1 2a 39
V = SA.S =
3 3
Þ
2,Tínhkhoảng cáchgiữaDE,CF
Trongmp(ABCD),dựng CI//ED (I AD) Î ED//(CFI) Þ
S
A
B
K
H
C

O
I
D
3
a
a
A
B
C
D
E
F
J
I
H
K
(DE,CF) (DE,(CFI)) (D,(CFI))
d =d =d Þ
Gọi Hlàtrung điểm củaAD
Þ
Dlàtrung điểmHI
Þ
(D,(CFI)) (H,(CFI))
1
d = d
2
HạHKvuônggócvớiCItạiK;HJvuônggócvớiFKtạiJ
Tacó:
FH//SA FH (ABCD) FH CI CI (FHK) (FCI) (FHK) Þ ^ Þ ^ Þ ^ Þ ^
(H,(FCI))

HJ (FCI) HJ=d Þ ^ Þ
Tathấy:
2
ΔHCI ABCD
1
S = S =a 3
2
ΔHCI
2S
HK=
CI
Þ
Tacó:
2 2 2
AD +CD AC 1 1
cos( ADC)= = cos( BCD)=
2AD.CD
13 13
Ð Þ Ð
2 2
a 13
CI=DE= DE +CD 2DE.CD.cos(BCD)=
2
Vậy:
(DE,CF)
2a 39
d =
19
Bài14.ChohìnhchópS.ABCDcóđáyABCDlàhìnhthang vuôngtạiAvàD,AB=AD=a,
CD=2a;haimặtphẳng(SAD)và(SCD)cùngvuônggócvớimặtphẳng(ABCD).CạnhbênSB

tạovớimặtphẳngđáymộtgóc60
0
;gọiGlàtrọngtâmcủatamgiácBCD.Tínhthểtíchkhối
chópS.ABCDvàkhoảngcáchtừGđếnmặt(SBC).
Giải.
+)TừgiảithiếttacóSD ^ (ABCD)
suyra(SB,(ABCD))=
·
0
60SBD =
Tacó
2
1 3
( )
2 2
ABCD
a
S AB CD AD = + = (đvdt)
+)dotamgiácABDvuôngcântạiA,AB=a
=>
0
2 tan 60 6BD a SD BD a = Þ = =
Vậy
3
.
1 6
.
3 2
S ABCD ABCD
a

V SD S = = (đvtt)
)chứngminhđượcBC ^ (SBD),kẻDH ^ SB=> DH ^ (SBC)
Có
2 2 2
1 1 1 6
2
a
DH
DH SD DB
= + Þ =
)GọiElàtrungđiểmBC,kẻGK//DH,KthuộcHE=>GK ^ (SBC)và
1 6
3 6
GK EG a
GK
DH ED
= = Þ = Vậyd(G,(SBC)=
6
6
a
GK =
4a 3
HK=
13
Þ
1 a 13
HF= SA=
2 2
TrongtamgiácFHKvuôngtạiH,có:
2 2 2 2 2 2

1 1 1 13 4 361
= + = + =
HJ HK HF 48a 13a 624a
( )
D,(CFI)
4a 39 2a 39
HJ= d =
19 19
Þ Þ
G
S
D
A
B
C
E
H
K
GọiN’làđiểmđốixứngcủaNquaIthìN’thuộcAB,tacó:
=>N’(4;5)=>PtđườngthẳngAB:4x+3y–1=0
KhoảngcáchtừIđếnđườngthẳngAB:
2 2
4.2 3.1 1
2
4 3
d
+ -
= =
+
AC=2.BDnênAI=2BI,đặtBI=x,AI=2xtrongtamgiácvuôngABIcó:

2 2 2
1 1 1
4d x x
= + suyrax= 5 suyraBI = 5
TừđótacóBthuộc(C):
2 2
( 2) ( 1) 5x y - + - =
ĐiểmBlàgiaođiểmcủađtAB:4x+3y–1=0vớiđườngtròntâmIbánkính 5
Bài15.ChohìnhchópS.ABCDcóđáyABCDlàhìnhthoicạnhavàcógóc
·
0
60ABC =
,haimặt
phẳng(SAC)và(SBD)cùngvuônggócvớiđáy,gócgiữahaimặtphẳng(SAB)và(ABCD)
bằng
0
30 .TínhthểtíchkhốichópS.ABCDvàkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngSA,CDtheoa.
Giải.
GọiO AC BD = I ,MlàtrungđiểmABvàIlàtrungđiểmcủa
AM.
DotamgiácABClàtamgiácđềucạnhanên:
,CM AB OI AB ^ ^ và
2
3 3 3
, ,
2 4 2
ABCD
a a a
CM OI S = = =
Vì(SAC)và(SBD)cùngvuônggócvới(ABCD)nên

( )
SO ABCD ^
Do
AB OI AB SI ^ Þ ^
.Suyra:
( ) ( )
·
( )
·
·
0
, , 30SAB ABCD OI SI SIO = = = é ù
ë û
XéttamgiácvuôngSOItađược:
0
3 3
.t an30 .
4 3 4
a a
SO OI = = =
Suyra:
2 3
1 1 3 3
. . . .
3 3 2 4 24
ABCD
a a a
V S SO = = = .
GọiJ OI CD = I vàHlàhìnhchiếuvuônggóccủaJtrênSI
Suyra:

3
2
2
a
IJ OI = = và
( )
JH SAB ^
Do
( )
/ / / /CD AB CD SAB Þ .Suyra:
( ) ( ) ( )
, , ,d SA CD d CD SAB d J SAB JH = = = é ù é ù
ë û ë û
XéttamgiácvuôngIJHtađược:
0
3 1 3
.sin30 .
2 2 4
a a
JH IJ = = =
Vậy
( )
3
,
4
a
d SA CD = .
Bài16.Trongkhônggian,chotamgiácvuôngcânABCcócạnhhuyền
AB=2a.TrênđươngthẳngdđiquaAvàvuônggócvớimặtphẳng(ABC)lấyđiểmS,saocho
mặtphẳng(SBC)tạovớimặtphẳng(ABC)mộtgóc 60

0
.Tínhdiệntíchmặtcầungoạitiếptứ
diệnSABC.
S
A
C
B
Giải.
Từgiảthiếtsuyra
ABC D
vuôngtạiCkếthợpvới ( )d SAC ^ .
Suyra ( )BC SAC ^
Dođó
·
0
60SCA =
Do
ABC D
vuôngtạiCvàAB=2a
2AC BC a Þ = =
TrongtamgiácvuôngSACtacó
0
.tan 60 6SA AC a = =
TrongtamgiácSABcó:
2 2
10SB SA AB a = + =
Do
·
·
0

90SCB SAB = =
nêntứdiệnSABCnộitiếptrongmặtcầuđườngkínhSB.
Suyrabánkínhmặtcầubằng
10
2 2
SB a
=
VậyS
2 2
4 10
mc
R a
p p
= = (Đ.V.D.T)
LĂNGTRỤ
Bài1.Cholăngtrụtamgiácđều
1 1 1
.ABC A B C cóchíncạnhđềubằng
5
.Tínhgócvàkhoảng
cáchgiữahaiđườngthẳng
1
AB và
1
BC.
Giải.Tínhgócvàkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng
1
AB và
1
BC.

Tacóđáylăngtrụlàtamgiácđềucạnhbằng5cácmặtbênlàhìnhvuôngcạnhbằng5
1 1
5 2AB BC Þ = = .Dựnghìnhbìnhhành
1 1 1 1 1 1
5 2, 5BDB C DB BC BD C B Þ = = = = ,
0
.sin 60 5 3AD CD = =
(do
ACD D
vuôngtại A vì )BA BC BD = =
( ) ( )
1 1 1 1
; ;AB BC AB DB Þ a = =
·
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1
1
1 2
5 2 5 2 5 3
1
cos
2 . 4
2.5 2.5 2
AB DB AD
AB D
AB DB
+ -
+ -

= = =
·
1
AB D Þ nhọntừđó
·
1
1
cos
4
AB D a = Û a = .Tathấy
( ) ( )
1 1 1 1
/ / ,BC mp AB D AB mp AB D Ì từđó
( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1 1 1
, , ,d BC AB d BC mp AB D d B mp AB D = = =
1
1
.
3
B AB D
AB D
V
dt
D
1
.

1 1
3
1
. .sin
2
B ABC
V
AB DB
=
a
1
1 1
25 3
5.
4
5
1
1 15
. sin
.5 2.5 2.
2
2 4
ABC
BB dt
AB AD
D
= = =
a
.Đápsố
( )

( )
( )
1 1
1 1
1
cos ;
4
, 5
AB BC
d AB BC
ì
a = a =
ï
í
ï
=
î
Bài2. Cholăngtrụđứng
' ' '
.ABC A B Ccóthể
tíchV.
Cácmặtphẳng(
' ' '
), ( ), ( )ABC AB C A BC cắt
nhautại
O.TínhthểtíchkhốitứdiệnO.ABCtheoV.
Giải.GọiI=AC Ç’A’C,J=A’BÇ AB’
J
I
O

H
M
B'
A'
C'
C
B
A
(BA'C) (ABC')=BI
(BA'C) (AB'C)=CJ
GoiO=BI CJ


ù

ý
ù



Olimcntm
TacỳOltrngtừmtamgicBAC
GiHlhnhchiucaOln(ABC)
Do
V
ABClhnhchiuvunggỳcca
V
BACtrn(ABC)nnHltrngtừm
V
ABC

GiMltrungimBC.Tacú:
1
' 3
OH HM
A B AM
= =
1 1 1
. ' .
3 9 9
OABC ABC ABC
V OH S A B S V ị = = =
V V
Bi3.Cholngtrtamgiỏcu
. ' ' 'ABC A B C
cúcnhỏylavkhongcỏchtA
nmtphng(ABC)bng
2
a
.Tớnhtheo athtớchkhilngtr
. ' ' 'ABC A B C
Gii.GiMltrungimBC,hAHvuụnggúcviAM
Tacú:
( ' )
'
BC AM
BC AA M BC AH
BC AA
^

ị ^ ị ^

ý
^

M ' ( ' )
2
a
AH A M AH A BC AH ^ ị ^ ị = .
Mtkhỏc:
2 2 2
1 1 1 6
'
4
'
a
AA
AH A A AM
= + ị =
KL:
3
. ' ' '
3 2
16
ABC A B C
a
V = .
Bi4. Cho hỡnh lng tr
1 1 1
.ABC A B C cú ỏy l tam giỏc u cnh bng
5
v

1 1 1
5A A A B AC = = = .Chngminhrngtgiỏc
1 1
BCC B lhỡnhchnhtvtớnhthtớchkhilng
tr
1 1 1
.ABC A B C .
Gii.Gi
O
ltõmcatamgiỏcu
ABC OA OB OC ị = =
.
Ngoi ra ta cú
1 1 1
5A A A B AC = = =
1
AO ị l trc ng trũn ngoi tip tam giỏc
ABC
( )
1
A O ABC AO ị ^ ị lhỡnhchiuvuụnggúcca
1
AAlờn
( )
mp ABC .
M
1
OA BC A A BC ^ ị ^ do
1 1 1
/ /AA BB BB BC ị ^ hay hỡnh bỡnh hnh

1 1
BCC B l hỡnh ch
nht.
Tacú
( )
2
2 2 2
1 1 1 1
2 5 3 5 6
5 .
3 2 3
A O ABC AO CO A O CA CO
ổ ử
^ ị ^ = - = - =
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
Thtớchlngtr:
2
1
5 3 5 6 125 2
. .
4 3 4
ABC
V dt A O
D
= = =
Bi5.Chohỡnhlpphng
1 1 1 1
ABCD.A B C D cúdicnhbng a.TrờncỏccnhABvCD

lylnltcỏcim M,N saocho
.BM CN x = =
XỏcnhvớtrớimMsaochokhongcỏch
giahaidngthng
1
AC v
MN
bng
3
a
.
Gii.Tacú
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
MN / / BC MN / / A BC d MN , A C d MN , A BC ị ị =
Gi
1 1
H A B AB = ầ v
1
MK / / HA,K A B ẻ
2
2
x
MK ị =
ã Vỡ
1 1 1
A B AB MK A B ^ ị ^ v
( )
1 1

CB ABB A CB MK ^ ị ^ .
ã T ú suy ra
( ) ( )
( )
( )
1 1 1
MK A BC MK d MN , A BC d MN , A C ^ ị = =
Nờn
2 2
3 2 3 3
a x a a
MK x = ị = ị = .VyMthamón
2
3
a
BM =
Bi6.Cholngtr
ABCA B C
  Â
cúỏyltamgiỏcABCvuụngcõntiA,BC=2a, AA
Â
vuụnggúc
vimtphng(ABC).Gúcgia ( )AB C
Â
v( )BB C
Â
bng
0
60 .Tớnhthtớchlngtr
ABCA B C

  Â
.
GiiTAkAI ^ BC

IltrungimBC

AI ^ (BC
CB
 Â
)

AI ^
B
Â
C(1)
TIkIM ^
B
Â
C (2)
T(1)(2)

B
Â
C ^ (IAM)

B
Â
C ^ MA(3)
T(2)(3)


gúcgia(A
B
Â
C)v(
B
Â
CB)
bnggúcgiaIMvAM=
ã
AMI =60
0
(DotamgiỏcAMIvuụngtiI)
TacúAI=
1
2
BC a =
IM=
0
tan 60
3
AI a
=
D IMC : D
B
Â
BC

.IM IC IM B C
BB
BB B C IC

Â
Â
= =
 Â

BB
Â
=
2 2
1 1
3
4
3 3
a
B C B C BB B B a
a
   Â
= = +

3
2
B B
Â
=
2
B B
Â
+4a
2


BB
Â
=
2a
2
1 1
. .2
2 2
ABC
S AI BC a a a
D
= = =
2 3
2. 2
ABC A B C
V a a a
  Â
= =
Bi7.ChohỡnhlngtrngABC.ABCcú
ã
0
, 2 , 120AC a BC a ACB = = = vngthng
'A C
tovimtphng
( )
' 'ABB A gúc
0
30 .Tớnhthtớchkhilngtróchovkhongcỏch
giahaingthng ' , 'A B CC theoa.
Gii

Trong(ABC),k
CH AB ^
( )
H AB ẻ ,suyra
( )
' 'CH ABB A ^ nờn
AHlhỡnhchiuvuụnggúccaAClờn(ABBA).Doú:
( )
ã
( )
ã
ã
0
' , ' ' ' , ' ' 30A C ABB A A C A H CA H = = = ộ ự
ở ỷ
.
ã
2
0
1 3
. .sin120
2 2
ABC
a
S AC BC
D
= =
ã
2 2 2 0 2
2 . .cos120 7 7AB AC BC AC BC a AB a = + - = ị =

ã
2. 21
7
ABC
S a
CH
AB
D
= =
N
M
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
B
Â
A
M
C
I
B
M
B
Â
B

I
C
Suyra:
0
2 21
'
sin30 7
CH a
A C = = .
XéttamgiácvuôngAA’Ctađược:
2 2
35
' '
7
a
AA A C AC = - = .
Suyra:
3
105
. '
14
ABC
a
V S AA
D
= = .
Do
( )
'/ / ' '/ / ' 'CC AA CC ABB A Þ .Suyra:
( ) ( )

( )
( )
( )
21
' , ' ', ' ' , ' '
7
a
d A B CC d CC ABB A d C ABB A CH = = = =
Bài8. ChokhốilăngtrụtamgiácABCA
1
B
1
C
1
cóđáylàtamgiácđềucạnh2a,điểmA
1
cách
đềubađiểmA,B,C.CạnhbênA
1
Atạovớimặtphẳngđáymộtgóc
a
.Hãytìm
a
,biếtthểtích
khốilăngtrụABCA
1
B
1
C
1

bằng
3
2 3a .
TacótamgiácABCđềucạnh2anênS
ABC
=
2
3a
MặtkhácA
1
A=A
1
B= A
1
C
Þ
A
1
ABClàtứdiệnđều.
GọiGlàtrọngtâmtamgiácABC,tacóA
1
Glàđườngcao.
TrongtamgiácABCcóAG=
2
3
AH=
2 3
3
a
Trong tamgiácvuôngA

1
AGcó: Ð A
1
AG=
a
 A
1
G=AG.tan
a
=
2 3
3
a
.tan
a

V
LT
=A
1
G.S
ABC
=
3
2 3a
0
tan 3 60
a a
Þ = Þ =
Tacó:

3 3
3 3 1 1 1
2 2 .4 .4 .4 .16
4 4 2 2 4
M a b ab bc abc a b a b b c a b c = + + + + = + + + +
3 4 4 4 16
2
4 4 4 12
a b b c a b c
a b
+ + + +
£ + + + +
28( )
7
12
a b c + +
= =
Dấubằngxảyrakhivàchỉkhi
16 4 1
, ,
7 7 7
a b c = = =
G
A1
B1
C1
A B
C
H
I

×