tuyển chọn đề và đáp án môn hình học không gian

HÌNHCHÓP
Bài1.ChohìnhchópSABCDcóđáyABCDlàhìnhvuôngcạnh a ,tamgiácSABđều,tam
giácSCDvuôngcântạiS.GọiI,J,KlầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnhAB,CD,SA.
Chứngminhrằng )()( ABCDSIJ ^ .TínhthểtíchkhốichópK.IBCD.
Giải.
Từ giảthiếttacó:
)(SIJAB
IJAB
SIAB
^ Þ
þ
ý
ü
^
^
Do )()()( ABCDSIJABCDAB ^ Þ Ì .
+Kẻ
IJSH ^
do
)(
)()(
)()(
ABCDSH
IJABCDSIJ
ABCDSIJ
^ Þ
þ
ý
ü
= Ç
^

+Goi K’làhìnhchiếuvuônggóccủaK lên (ABCD)khiđó
SHKK //'
do Klàtrungđiểm SAnên K’làtrung
điểm AH& SHKK
2
1
'= .
Từđótacó:
IBCDIBCDK
SKKV
à
= '.
3
1
.
Dễthấy:
2
3a
SI = ;
22
1 a
CDSJ = = ;
aIJ = SIJ D Þ
vuông tạiSvì:
222
IJSJSI = +
ừhệthứcSI.SJ=SH.IJ
4
3. a
IJ

SJSI
SH = = Þ
8
3
'
a
KK = Þ
Tacó
IBCD à
làhìnhthangvuôngtaiBvàCnên
4
3
2
).(
2
aBCCDIB
S
IBCD
=
+
=
à
Thayvàotađược
32
3.
3
.
a
V
IBCDK

=
Bài2. Chohìnhchóp
.S ABCD
cóđáylàhìnhthangvuôngtại A và B với
BC
làđáynhỏ.Biết
rằngtamgiác
SAB
làtamgiácđềucócạnhvớiđộdàibằng
2a
vànằmtrongmặtphẳng
vuônggócvớimặtđáy, 5SC a = vàkhoảngcáchtừ D tớimặtphẳng
( )
SHC bằng
2 2a
(ởđây H làtrung điểm AB ).Hãytínhthểtíchkhốichóptheo .a
www.laisac.page.tl
TuyểnchọnĐềvàđápán:
LuyệnthithửĐạiHọccủacáctrườngtro ng nướcnăm2012 .
M
M
ô
ô
n
n
:
:
H
H
Ì

Ì
N
N
H
H
H
H
Ọ
Ọ
C
C
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
(laisaccắtvàdán)

K '
K
J
I
A
B
C
D
S
H
I
O
A
B
C
D
S
E
F
M
Giải
Từgiảthiếtsuyra
( )
SH ABCD ^ và
2 3
3
2
a
SH a = =
TheođịnhlýPythagorastacó

2 2
2CH SC SH a = - = .
Dođótamgiác
HBC
vuôngcântại B và
BC a =
Gọi
DE HC A = Ç
thếthìtamgiác HAE cũngvuôngcânvàdođó
( ) ( )
( )
2 2 ; ;CE a d D HC d D SHC = = = suyra
2 2 2 4 3 .DE a a AD a = × = Þ =
Suyra
( )
2
1
4
2
ABCD
S BC DA AB a = + × = (đ.v.d.t.).Vậy
3
. D
1 4
3
3
S ABC ABCD
a
V SH S = × × = (đ.v.t.t.)
Bài3. Chohìnhchóptứgiácđều S.ABCDcócạnhbêntạovớiđáymộtgóc60

0
vàcạnhđáy
bằng a.
1) TínhthểtíchkhốichópS.ABCD.
2) QuaAdựngmặtphẳng (P)vuônggócvớiSC. Tínhdiệntíchthiếtdiệntạobởimặtphẳng
(P)cắthìnhchópS.ABCD.
Giải.
a) *S
ABCD
=
2
a
*
Ð = = Þ =
00
60tan60 AOSOSBO
3.
2
2a
=
2
6a
=
*
ABCDABCDS
SSOV .
3
1
.
=

2
.
2
6
.
3
1
a
a
=
6
6
3
a
=
b)
*Giảsử MSCP = Ç)(
Vì SCP ^)( và )(PAÎ nên
SCAM ^
Mặtkhác,gọi )()( SBDPEF Ç = với SDFSBE Î Î ; thì
BDEF//
và EF quaI với
SOAMI Ç =
(do SCPSCBD ^ ^ )(; nên )//(PBD ).
*Tathấymặtphẳng )(P cắt
ABCDS.
theothiếtdiệnlàtứgiác AEMF cótínhchất EFAM ^ .
Dođó EFAMS
AEMF
.

2
1
=
*Tathấy
SAC D
đều(vìgóc .,60
0
SCSASAC = = Ð ),mà
SCAM ^
nên
2
6a
AM=
VàAMlàtrungtuyếncủa
SAC D
.MặtkhácAOcũnglàtrungtuyếncủa
SAC D
nênI làtrọng
tâmcủa
SAC D
*Tacó
3
22
3
2
3
2 a
BDEF
SO
SI

BD
EF
= = Þ = =
4a
2a 2
2a
2a
a
a
a 5
C'
º
C
a
a
a
a
a
45
°
45
°
H
E
A
D
C
B
H
B

A
C
D
S
.
3
3
3
22
.
2
6
.
2
1
.
2
1
2
aaa
EFAMS
AEMF
= = = Þ
Bài4.ChohìnhchópS.ABCcóđáyABClàtamgiácvuôngcânđỉnhA,
2AB a =
.GọiIlà
trung điểm của cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn
2IA IH = -
uur uuur
.GócgiữaSCvàmặtđáy(ABC)bằng

0
60 .HãytínhthểtíchkhốichópS.ABCvà
khoảngcáchtừtrungđiểmKcủaSBđếnmặtphẳng(SAH).
Giải
*Tacó
2IA IH = - Þ
uur uuur
HthuộctiađốicủatiaIAvà 2IA IH =
2 2BC AB a = =
*Tacó
2IA IH = - Þ
uur uuur
HthuộctiađốicủatiaIAvà 2IA IH =
2 2BC AB a = =
Suyra
3
,
2 2
a a
IA a IH AH IA IH = = Þ = + =
Tacó
2 2 2 0
5
2 . .cos45
2
a
HC AC AH AC AH HC = + - Þ =
Vì
( ) ( )
( )

0 0
15
, 60 .tan 60
2
a
SH ABC SC ABC SCH SH HC ^ Þ = Ð = Þ = =
Tacó
2 2 2 0
5
2 . .cos45
2
a
HC AC AH AC AH HC = + - Þ =
Vì
( ) ( )
( )
0 0
15
, 60 .tan 60
2
a
SH ABC SC ABC SCH SH HC ^ Þ = Ð = Þ = =
ThểtíchkhốichópS.ABCDlà:
( )
3
.
1 15
.
3 6
S ABC ABC

a
V S SH dvtt
D
= =
( )
BI AH
BI SAH
BI SH
^
ì
Þ ^
í
^
î
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
1 1 1
, ,
2 2 2 2
,
d K SAH
SK a
d K SAH d B SAH BI

SB
d B SAH
Þ = = Þ = = =
Bài5.Chohìnhchóp
.S ABC
cóđáylàtamgiác
ABC
vuôngtại B ;
SA
vuônggócvớiđáy,
AB a =
,
2SA BC a = =
.Trêntiađốicủatia BA lấyđiểm M saocho
·
ACM
a
=
0 0
(0 90 )
a
< < .
Gọi I và K lầnlượtlàtrungđiểmcủa
AC
và
SC
, H làhìnhchiếucủa
S
lên
CM

.Xácđịnh

a
 đểthểtíchkhốichóp AHIKđạtGTLN.Tínhthểtíchkhốichópkhiđó.
Giải.
Có
CM SH
CM AH CH AH
CM SA
^
ì
Þ ^ Þ ^
í
^
î
H Þ
chạytrênnửađườngtrònđườngkính
AC
phần
cóchứađiểm B
2 2
1 1 5
2 2 2
a
HI AI IC AC AB BC Þ = = = = + =
3
( , )
1 1 1 1 1 5 5 5
. . ( . ). ( . ) .2 . .
3 2 12 12 12 2 2 24

AHIK AIH H AC
a a a
V SA S SA AI d SA AI HI a
D
= = £ = = .Dấu“=”xảyra
khivàchỉkhi HI AI ^ kếthợpvới HI AI = suyra
0
45
a
=
(Đãtớiđề39)
Bài6.Chohìnhchóp
.S ABC
cóđáy
ABC
làtamgiácvuôngcântại
C
cạnhhuyềnbằng
3a
.
G
làtrọngtâmtamgiác
ABC
,
( )
SG ABC ^ ,
14
2
a
SB = .Tínhthể tíchhìnhchóp

.S ABC
và
khoảngcáchtừ B đếnmặtphẳng
( )
SAC .
Giải.Gọi I làtrungđiểm AB ,
3
2 2
a a
CI IG = Þ =
Tamgiácvuông
2
2 2 2
10
4
a
BIG BG BI IG Þ = + =
2 2
2 2
14 10
4 4
a a
SG SB BG a = - = - =
3
1 1 1 3 3
. 3 . .
3 3 2 2 4
SABC ABC
a a
V S SG a a = = =

Kẻ , ,( / / )GK AC K AC GK BC SK BC ^ Î Þ ^
2
2 2 2
3 3
;
2
2 2 2 2
GC a a a a
GK SK SG GK a AC = = Þ = + = + = =
2
1 3 3 3 3
.
2 2 4
2
SAC
a a
S a Þ = =
hlàkhoảngcáchtừ B đếnmặtphẳng
( )
SAC
3
3
SABC
SAC
V
h a
S
Þ = =
Bài7. ChohìnhchópS.ABCDcóđáyABCDlàhìnhthoicạnhbằng3cm,cáccạnhSA=SB
=SC=3cm .TamgiácSBDcódiệntíchbằng6cm

2
.TínhthểtíchcủakhốichópSABCD.
Giải.
GọiHlàhìnhchiếucủaStrên(ABCD)suyraHnằmtrênBD(VìSA=SB==SC,BDlàtrung
trựccủaAC).DođóSHđườngcaocủahìnhchópcũnglàđườngcaocủatamgiácSBD
;GọiOlàgiaođiểmcủaACvàBD.VìSA=SC=DA=DCnênSO=DOsuyratamgiác
SBDlàtamgiácvuôngtạiS.Vìdt(SBD)=6vàSB=3nênSD=4;suyraBD=5,SH=12/5.
ABCDlàhìnhthoicóAD=3,DO=5/2nênAO=
11
2
suyradt(ABCD)=
5 11
2
.
1
. ( ) 2 11
3
S ABCD
V SH dt ABCD = = . VậythểtíchkhốichópS.ABCDbằng
2 11
Bài8. ChohìnhchópSABCcó
3SA a =
(với
0a >
);SAtạovớiđáy(ABC)mộtgócbằng60
0
.
TamgiácABCvuôngtạiB,
·
0

30ACB =
.GlàtrọngtâmtamgiácABC.Haimặtphẳng(SGB)và
(SGC)cùngvuônggócvớimặtphẳng(ABC).TínhthểtíchhìnhchópS.ABCtheoa.
GiảiGọiKlàtrungđiểmBC.Tacó
0
3
( ); 60 , .
2
a
SG ABC SAG AG ^ Ð = =
Từđó
9 3 3
; .
4 2
a a
AK SG = = TrongtamgiácABCđặt 2 ; 3.AB x AC x BC x = Þ = =
Tacó
2 2 2
AK AB BK = + nên
9 7
14
a
x = .Suyra
3
.
1 243
.
3 112
S ABC ABC
V SG aS = = (đvtt)

Bài9.
Cho hình chóp S.ABCD cóđáy là hình vuôngcạnh a, SA vuông góc với mặtphẳngđáy và
SA=a.GọiM,NlầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnhSB,SD;IlàgiaođiểmcủaSCvàmặtphẳng
(AMN).ChứngminhSCvuônggócvớiAIvàtínhthểtíchkhốichópMBAI.
G
I
M
S
A
C
B
K
O
C
B
A
D
S
H
Giải
Chứngminh
SC AI ^
:Tacó
AM SB AN SD
AM SC; AN SC SC (AMN) SC AI
AM BC AN CD
^ ^
ì ì
Þ ^ Þ ^ Þ ^ Þ ^
í í

^ ^
î î
Kẻ IH // BC IH (SAB) Þ ^ (vì BC (SAB) ^ )
MBAI MAB
1
V S .IH
3
Þ =
V
2 2 2
2
2 2 2
SA a a a
SI.SC SA SI
SC
3
SA AC 3a
SI IH SI.BC a
IH
SC BC SC 3
= Þ = = = =
+
= Þ = =
2 3
MAB MBAI MAB
a 1 a
S V S .IH
4 3 36
= Þ = =
V V

Bài10: ChohìnhchópS.ABCcóđáylàtamgiácvuôngtạiA,AB=3,AC=4góctạobởicác
mặtbênvàđáybằng60
o
.TínhthểtíchcủakhốichópS.ABC
Giải.
GọiHlàhìnhchiếucủa Slên(ABC);M,N,Klầnlượtlàhìnhchiếucủa
HlênhcạnhAB,AC,BC.Khiđóthể tíchVcủakhốichópđượctính
bởicôngthức
1
.
3
ABC
V S SH
D
=
mà
1
. 6
2
ABC
S AB AC
D
= =
TínhSH.
XétcáctamgiácSHM,SHN,
SHKvuôngtạiH,
cócácgócSMH,SNH,SKH
bằng 60
0
dođóHM=HN=HK=>Hlàtâm đường trònnộitiếptamgiácABC=>

2
1
ABC
S
HM
AB BC CA
= =
+ +
=>SH=HM.tan60
0
= 3
Vậy
1
3.6 2 3
3
V = =
Bài11.ChohìnhchópS.ABCD,đáyABCDlàhìnhthoi.SA=x(0<x< 3)cáccạnhcònlại
đềubằng1.TínhthểtíchcủahìnhchópS.ABCDtheox.
Giải.Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.
Tacó
1
( . . )
2
D = D Þ = =SBD CBD c c c SO CO AC
VậytamgiácSCAvuôngtạiS.
2 2 2
1 Þ = + = +CA SC SA x
Mặtkháctacó
2 2 2 2 2 2
AC BD AB BC CD AD + = + + +

2
3 ( 0 3)BD x do x Þ = - < <
Bài12 ChohìnhchópS.ABCDcóđáyABCDlàhìnhthoi;haiđườngchéoAC= 2 3a ,BD=
2avàcắtnhautạiO;haimặtphẳng(SAC)và(SBD)cùngvuônggócvớimặtphẳng(ABCD).
I
S
B
A
D
C
M
N
B
A
H
M
S
C
N
K
BiếtkhoảngcáchtừđiểmOđếnmặtphẳng(SAB)bằng
3
4
a
,tínhthểtíchkhốichópS.ABCD
theoa.
Giải.TừgiảthiếtAC= 2 3 a ;BD=2avàAC,BDvuônggócvớinhautạitrungđiểmOcủa
mỗiđườngchéo.TacótamgiácABOvuôngtạiOvàAO= 3a ;BO=a,dođó
·
0

60 A DB =
HaytamgiácABDđều.
Từgiảthiếthaimặtphẳng(SAC)và(SBD)cùngvuônggócvớimặtphẳng(ABCD)nêngiao
tuyếncủachúnglàSO ^(ABCD).
DotamgiácABDđềunênvớiHlàtrungđiểmcủaAB,KlàtrungđiểmcủaHBtacó DH AB ^
vàDH= 3a ;OK//DHvà
1 3
2 2
a
OK DH = = ÞOK ^AB ÞAB ^(SOK)
GọiIlàhìnhchiếucủaOlênSKtacóOI ^SK;AB ^OI ÞOI ^(SAB),hayOIlàkhoảng
cáchtừOđếnmặtphẳng(SAB).
TamgiácSOKvuôngtạiO,OIlàđườngcao Þ
2 2 2
1 1 1
2
a
SO
OI OK SO
= + Þ =
Diệntíchđáy
2
4 2. . 2 3
D
S
ABC ABO
S OA OB a
D
= = = ;
đườngcaocủahìnhchóp

2
a
SO = .
ThểtíchkhốichópS.ABCD:
3
.
1 3
.
3 3
D DS ABC ABC
a
V S SO = =
Bài13.
ChohìnhchópS.ABCDcóđáyABCDlàhìnhbìnhhànhcógóc
0
60BAC Ð = ;AB=a;
AC=4a.Haimặtphẳng(SAB)và(SAC)cùngvuônggócvớiđáy;SDtạovớiđáygóc
0
45 .
1,Tínhthểtíchkhốichóp.
2,GọiE,Flầnlượtlàtrung điểmcủaBCvàSD.Tínhkhoảng cách giữahai đườngthẳngDEvà
CF.
Giải.Tacó:
(SAB) (ABCD)
SA (ABCD)
(SAC) (ABCD
^
ü
Þ ^
ý

^
þ
SDA Þ Ð làgócgiữaSDvà(ABCD)
0
SDA=45 Þ Ð
Trong ΔABC có:
( )
2 2 2
BC =AB +AC 2AB.ACcos BAC Ð
2
=13a AD=BC=a 13 Þ
TrongtamgiácSADvuôngtạiA,tacó:
SA=ADtan( SDA)=a 13 Ð
2
ABCD ΔABC
S =2S =AB.ACsin(BAC)=2a 3
3
S.ABCD ABCD
1 2a 39
V = SA.S =
3 3
Þ
2,Tínhkhoảng cáchgiữaDE,CF
Trongmp(ABCD),dựng CI//ED (I AD) Î ED//(CFI) Þ
S
A
B
K
H
C

O
I
D
3
a
a
A
B
C
D
E
F
J
I
H
K
(DE,CF) (DE,(CFI)) (D,(CFI))
d =d =d Þ
Gọi Hlàtrung điểm củaAD
Þ
Dlàtrung điểmHI
Þ
(D,(CFI)) (H,(CFI))
1
d = d
2
HạHKvuônggócvớiCItạiK;HJvuônggócvớiFKtạiJ
Tacó:
FH//SA FH (ABCD) FH CI CI (FHK) (FCI) (FHK) Þ ^ Þ ^ Þ ^ Þ ^
(H,(FCI))

HJ (FCI) HJ=d Þ ^ Þ
Tathấy:
2
ΔHCI ABCD
1
S = S =a 3
2
ΔHCI
2S
HK=
CI
Þ
Tacó:
2 2 2
AD +CD AC 1 1
cos( ADC)= = cos( BCD)=
2AD.CD
13 13
Ð Þ Ð
2 2
a 13
CI=DE= DE +CD 2DE.CD.cos(BCD)=
2
Vậy:
(DE,CF)
2a 39
d =
19
Bài14.ChohìnhchópS.ABCDcóđáyABCDlàhìnhthang vuôngtạiAvàD,AB=AD=a,
CD=2a;haimặtphẳng(SAD)và(SCD)cùngvuônggócvớimặtphẳng(ABCD).CạnhbênSB

tạovớimặtphẳngđáymộtgóc60
0
;gọiGlàtrọngtâmcủatamgiácBCD.Tínhthểtíchkhối
chópS.ABCDvàkhoảngcáchtừGđếnmặt(SBC).
Giải.
+)TừgiảithiếttacóSD ^ (ABCD)
suyra(SB,(ABCD))=
·
0
60SBD =
Tacó
2
1 3
( )
2 2
ABCD
a
S AB CD AD = + = (đvdt)
+)dotamgiácABDvuôngcântạiA,AB=a
=>
0
2 tan 60 6BD a SD BD a = Þ = =
Vậy
3
.
1 6
.
3 2
S ABCD ABCD
a

V SD S = = (đvtt)
)chứngminhđượcBC ^ (SBD),kẻDH ^ SB=> DH ^ (SBC)
Có
2 2 2
1 1 1 6
2
a
DH
DH SD DB
= + Þ =
)GọiElàtrungđiểmBC,kẻGK//DH,KthuộcHE=>GK ^ (SBC)và
1 6
3 6
GK EG a
GK
DH ED
= = Þ = Vậyd(G,(SBC)=
6
6
a
GK =
4a 3
HK=
13
Þ
1 a 13
HF= SA=
2 2
TrongtamgiácFHKvuôngtạiH,có:
2 2 2 2 2 2

1 1 1 13 4 361
= + = + =
HJ HK HF 48a 13a 624a
( )
D,(CFI)
4a 39 2a 39
HJ= d =
19 19
Þ Þ
G
S
D
A
B
C
E
H
K
GọiN’làđiểmđốixứngcủaNquaIthìN’thuộcAB,tacó:
=>N’(4;5)=>PtđườngthẳngAB:4x+3y–1=0
KhoảngcáchtừIđếnđườngthẳngAB:
2 2
4.2 3.1 1
2
4 3
d
+ -
= =
+
AC=2.BDnênAI=2BI,đặtBI=x,AI=2xtrongtamgiácvuôngABIcó:

2 2 2
1 1 1
4d x x
= + suyrax= 5 suyraBI = 5
TừđótacóBthuộc(C):
2 2
( 2) ( 1) 5x y - + - =
ĐiểmBlàgiaođiểmcủađtAB:4x+3y–1=0vớiđườngtròntâmIbánkính 5
Bài15.ChohìnhchópS.ABCDcóđáyABCDlàhìnhthoicạnhavàcógóc
·
0
60ABC =
,haimặt
phẳng(SAC)và(SBD)cùngvuônggócvớiđáy,gócgiữahaimặtphẳng(SAB)và(ABCD)
bằng
0
30 .TínhthểtíchkhốichópS.ABCDvàkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngSA,CDtheoa.
Giải.
GọiO AC BD = I ,MlàtrungđiểmABvàIlàtrungđiểmcủa
AM.
DotamgiácABClàtamgiácđềucạnhanên:
,CM AB OI AB ^ ^ và
2
3 3 3
, ,
2 4 2
ABCD
a a a
CM OI S = = =
Vì(SAC)và(SBD)cùngvuônggócvới(ABCD)nên

( )
SO ABCD ^
Do
AB OI AB SI ^ Þ ^
.Suyra:
( ) ( )
·
( )
·
·
0
, , 30SAB ABCD OI SI SIO = = = é ù
ë û
XéttamgiácvuôngSOItađược:
0
3 3
.t an30 .
4 3 4
a a
SO OI = = =
Suyra:
2 3
1 1 3 3
. . . .
3 3 2 4 24
ABCD
a a a
V S SO = = = .
GọiJ OI CD = I vàHlàhìnhchiếuvuônggóccủaJtrênSI
Suyra:

3
2
2
a
IJ OI = = và
( )
JH SAB ^
Do
( )
/ / / /CD AB CD SAB Þ .Suyra:
( ) ( ) ( )
, , ,d SA CD d CD SAB d J SAB JH = = = é ù é ù
ë û ë û
XéttamgiácvuôngIJHtađược:
0
3 1 3
.sin30 .
2 2 4
a a
JH IJ = = =
Vậy
( )
3
,
4
a
d SA CD = .
Bài16.Trongkhônggian,chotamgiácvuôngcânABCcócạnhhuyền
AB=2a.TrênđươngthẳngdđiquaAvàvuônggócvớimặtphẳng(ABC)lấyđiểmS,saocho
mặtphẳng(SBC)tạovớimặtphẳng(ABC)mộtgóc 60

0
.Tínhdiệntíchmặtcầungoạitiếptứ
diệnSABC.
S
A
C
B
Giải.
Từgiảthiếtsuyra
ABC D
vuôngtạiCkếthợpvới ( )d SAC ^ .
Suyra ( )BC SAC ^
Dođó
·
0
60SCA =
Do
ABC D
vuôngtạiCvàAB=2a
2AC BC a Þ = =
TrongtamgiácvuôngSACtacó
0
.tan 60 6SA AC a = =
TrongtamgiácSABcó:
2 2
10SB SA AB a = + =
Do
·
·
0

90SCB SAB = =
nêntứdiệnSABCnộitiếptrongmặtcầuđườngkínhSB.
Suyrabánkínhmặtcầubằng
10
2 2
SB a
=
VậyS
2 2
4 10
mc
R a
p p
= = (Đ.V.D.T)
LĂNGTRỤ
Bài1.Cholăngtrụtamgiácđều
1 1 1
.ABC A B C cóchíncạnhđềubằng
5
.Tínhgócvàkhoảng
cáchgiữahaiđườngthẳng
1
AB và
1
BC.
Giải.Tínhgócvàkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng
1
AB và
1
BC.

Tacóđáylăngtrụlàtamgiácđềucạnhbằng5cácmặtbênlàhìnhvuôngcạnhbằng5
1 1
5 2AB BC Þ = = .Dựnghìnhbìnhhành
1 1 1 1 1 1
5 2, 5BDB C DB BC BD C B Þ = = = = ,
0
.sin 60 5 3AD CD = =
(do
ACD D
vuôngtại A vì )BA BC BD = =
( ) ( )
1 1 1 1
; ;AB BC AB DB Þ a = =
·
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1
1
1 2
5 2 5 2 5 3
1
cos
2 . 4
2.5 2.5 2
AB DB AD
AB D
AB DB
+ -
+ -

= = =
·
1
AB D Þ nhọntừđó
·
1
1
cos
4
AB D a = Û a = .Tathấy
( ) ( )
1 1 1 1
/ / ,BC mp AB D AB mp AB D Ì từđó
( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1 1 1
, , ,d BC AB d BC mp AB D d B mp AB D = = =
1
1
.
3
B AB D
AB D
V
dt
D
1
.

1 1
3
1
. .sin
2
B ABC
V
AB DB
=
a
1
1 1
25 3
5.
4
5
1
1 15
. sin
.5 2.5 2.
2
2 4
ABC
BB dt
AB AD
D
= = =
a
.Đápsố
( )

( )
( )
1 1
1 1
1
cos ;
4
, 5
AB BC
d AB BC
ì
a = a =
ï
í
ï
=
î
Bài2. Cholăngtrụđứng
' ' '
.ABC A B Ccóthể
tíchV.
Cácmặtphẳng(
' ' '
), ( ), ( )ABC AB C A BC cắt
nhautại
O.TínhthểtíchkhốitứdiệnO.ABCtheoV.
Giải.GọiI=AC Ç’A’C,J=A’BÇ AB’
J
I
O

H
M
B'
A'
C'
C
B
A
(BA'C) (ABC')=BI
(BA'C) (AB'C)=CJ
GoiO=BI CJ
ầ
ỹ
ù
ầ
ý
ù
ầ
ỵ
ị
Olimcntm
TacỳOltrngtừmtamgicBAC
GiHlhnhchiucaOln(ABC)
Do
V
ABClhnhchiuvunggỳcca
V
BACtrn(ABC)nnHltrngtừm
V
ABC

GiMltrungimBC.Tacú:
1
' 3
OH HM
A B AM
= =
1 1 1
. ' .
3 9 9
OABC ABC ABC
V OH S A B S V ị = = =
V V
Bi3.Cholngtrtamgiỏcu
. ' ' 'ABC A B C
cúcnhỏylavkhongcỏchtA
nmtphng(ABC)bng
2
a
.Tớnhtheo athtớchkhilngtr
. ' ' 'ABC A B C
Gii.GiMltrungimBC,hAHvuụnggúcviAM
Tacú:
( ' )
'
BC AM
BC AA M BC AH
BC AA
^
ỹ
ị ^ ị ^

ý
^
ỵ
M ' ( ' )
2
a
AH A M AH A BC AH ^ ị ^ ị = .
Mtkhỏc:
2 2 2
1 1 1 6
'
4
'
a
AA
AH A A AM
= + ị =
KL:
3
. ' ' '
3 2
16
ABC A B C
a
V = .
Bi4. Cho hỡnh lng tr
1 1 1
.ABC A B C cú ỏy l tam giỏc u cnh bng
5
v

1 1 1
5A A A B AC = = = .Chngminhrngtgiỏc
1 1
BCC B lhỡnhchnhtvtớnhthtớchkhilng
tr
1 1 1
.ABC A B C .
Gii.Gi
O
ltõmcatamgiỏcu
ABC OA OB OC ị = =
.
Ngoi ra ta cú
1 1 1
5A A A B AC = = =
1
AO ị l trc ng trũn ngoi tip tam giỏc
ABC
( )
1
A O ABC AO ị ^ ị lhỡnhchiuvuụnggúcca
1
AAlờn
( )
mp ABC .
M
1
OA BC A A BC ^ ị ^ do
1 1 1
/ /AA BB BB BC ị ^ hay hỡnh bỡnh hnh

1 1
BCC B l hỡnh ch
nht.
Tacú
( )
2
2 2 2
1 1 1 1
2 5 3 5 6
5 .
3 2 3
A O ABC AO CO A O CA CO
ổ ử
^ ị ^ = - = - =
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
Thtớchlngtr:
2
1
5 3 5 6 125 2
. .
4 3 4
ABC
V dt A O
D
= = =
Bi5.Chohỡnhlpphng
1 1 1 1
ABCD.A B C D cúdicnhbng a.TrờncỏccnhABvCD

lylnltcỏcim M,N saocho
.BM CN x = =
XỏcnhvớtrớimMsaochokhongcỏch
giahaidngthng
1
AC v
MN
bng
3
a
.
Gii.Tacú
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
MN / / BC MN / / A BC d MN , A C d MN , A BC ị ị =
Gi
1 1
H A B AB = ầ v
1
MK / / HA,K A B ẻ
2
2
x
MK ị =
ã Vỡ
1 1 1
A B AB MK A B ^ ị ^ v
( )
1 1

CB ABB A CB MK ^ ị ^ .
ã T ú suy ra
( ) ( )
( )
( )
1 1 1
MK A BC MK d MN , A BC d MN , A C ^ ị = =
Nờn
2 2
3 2 3 3
a x a a
MK x = ị = ị = .VyMthamón
2
3
a
BM =
Bi6.Cholngtr
ABCA B C
  Â
cúỏyltamgiỏcABCvuụngcõntiA,BC=2a, AA
Â
vuụnggúc
vimtphng(ABC).Gúcgia ( )AB C
Â
v( )BB C
Â
bng
0
60 .Tớnhthtớchlngtr
ABCA B C

  Â
.
GiiTAkAI ^ BC
ị
IltrungimBC
ị
AI ^ (BC
CB
 Â
)
ị
AI ^
B
Â
C(1)
TIkIM ^
B
Â
C (2)
T(1)(2)
ị
B
Â
C ^ (IAM)
ị
B
Â
C ^ MA(3)
T(2)(3)
ị

gúcgia(A
B
Â
C)v(
B
Â
CB)
bnggúcgiaIMvAM=
ã
AMI =60
0
(DotamgiỏcAMIvuụngtiI)
TacúAI=
1
2
BC a =
IM=
0
tan 60
3
AI a
=
D IMC : D
B
Â
BC
ị
.IM IC IM B C
BB
BB B C IC

Â
Â
= =
 Â

BB
Â
=
2 2
1 1
3
4
3 3
a
B C B C BB B B a
a
   Â
= = +

3
2
B B
Â
=
2
B B
Â
+4a
2

BB
Â
=
2a
2
1 1
. .2
2 2
ABC
S AI BC a a a
D
= = =
2 3
2. 2
ABC A B C
V a a a
  Â
= =
Bi7.ChohỡnhlngtrngABC.ABCcú
ã
0
, 2 , 120AC a BC a ACB = = = vngthng
'A C
tovimtphng
( )
' 'ABB A gúc
0
30 .Tớnhthtớchkhilngtróchovkhongcỏch
giahaingthng ' , 'A B CC theoa.
Gii

Trong(ABC),k
CH AB ^
( )
H AB ẻ ,suyra
( )
' 'CH ABB A ^ nờn
AHlhỡnhchiuvuụnggúccaAClờn(ABBA).Doú:
( )
ã
( )
ã
ã
0
' , ' ' ' , ' ' 30A C ABB A A C A H CA H = = = ộ ự
ở ỷ
.
ã
2
0
1 3
. .sin120
2 2
ABC
a
S AC BC
D
= =
ã
2 2 2 0 2
2 . .cos120 7 7AB AC BC AC BC a AB a = + - = ị =

ã
2. 21
7
ABC
S a
CH
AB
D
= =
N
M
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
B
Â
A
M
C
I
B
M
B
Â
B

I
C
Suyra:
0
2 21
'
sin30 7
CH a
A C = = .
XéttamgiácvuôngAA’Ctađược:
2 2
35
' '
7
a
AA A C AC = - = .
Suyra:
3
105
. '
14
ABC
a
V S AA
D
= = .
Do
( )
'/ / ' '/ / ' 'CC AA CC ABB A Þ .Suyra:
( ) ( )

( )
( )
( )
21
' , ' ', ' ' , ' '
7
a
d A B CC d CC ABB A d C ABB A CH = = = =
Bài8. ChokhốilăngtrụtamgiácABCA
1
B
1
C
1
cóđáylàtamgiácđềucạnh2a,điểmA
1
cách
đềubađiểmA,B,C.CạnhbênA
1
Atạovớimặtphẳngđáymộtgóc
a
.Hãytìm
a
,biếtthểtích
khốilăngtrụABCA
1
B
1
C
1

bằng
3
2 3a .
TacótamgiácABCđềucạnh2anênS
ABC
=
2
3a
MặtkhácA
1
A=A
1
B= A
1
C
Þ
A
1
ABClàtứdiệnđều.
GọiGlàtrọngtâmtamgiácABC,tacóA
1
Glàđườngcao.
TrongtamgiácABCcóAG=
2
3
AH=
2 3
3
a
Trong tamgiácvuôngA

1
AGcó: Ð A
1
AG=
a
 A
1
G=AG.tan
a
=
2 3
3
a
.tan
a

V
LT
=A
1
G.S
ABC
=
3
2 3a
0
tan 3 60
a a
Þ = Þ =
Tacó:

3 3
3 3 1 1 1
2 2 .4 .4 .4 .16
4 4 2 2 4
M a b ab bc abc a b a b b c a b c = + + + + = + + + +
3 4 4 4 16
2
4 4 4 12
a b b c a b c
a b
+ + + +
£ + + + +
28( )
7
12
a b c + +
= =
Dấubằngxảyrakhivàchỉkhi
16 4 1
, ,
7 7 7
a b c = = =
G
A1
B1
C1
A B
C
H
I