NỘI DUNG ÔN THI TỐT NGHIỆP HỌC PHẦN CƠ HỌC 1 docx

NỘI DUNG ÔN THI TỐT NGHIỆP
HỌC PHẦN CƠ HỌC 1
CHƯƠNG I: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
1. Hệ qui chiếu. Chuyển động thẳng, vận tốc trung bình, vận tốc tức
thời, gia tốc:
a. Hệ qui chiếu:
Để nghiên cứu chuyển động của vật thể, người ta phải chọn 1 hệ quy chiếu bao gồm 1
hệ tọa độ gắn với vật mốc để xác định vị trí của vật thể trong không gian và một đồng
hồ gắn với hệ này để đo thời gian.
Hệ quy chiếu được chọn để nghiên cứu chuyển động của vật thể là hoàn toàn tùy ý.
Chọn hệ quy chiếu khác nhau thì nói chung chuyển động của cùng một vật diễn ra đơn
giản hay phức tạp khác nhau.
b. Chuyển động thẳng:
Xét chuyển động của 1 chất điểm trên đường thẳng bất kì theo phương trục x. Ta chọn
một điểm O trên đường thẳng làm gốc. Trên trục tọa độ ta dùng các số nguyên 1, 2, 3…
để đánh dấu các điểm mà khoảng cách giữa chúng bằng nhau (bằng 1 đơn vị độ dài nào
đó). Ta chọn chiều dương của trục là hướng các của các số lớn dần (trên hình là hướng
sang phải). Chiều âm hướng ngược lại. Vị trí của chất điểm trên đường thăng được xác
định bởi tọa độ x của nó trên trục tọa độ.
Giả sử ở thời điểm t
1
chất điểm ở vị trí được xác định bởi tọa độ x
1
, ở thời điểm t
2
chất
điểm ở vị trí được xác định bởi tọa độ x
2
. Trong khoảng thời gian t = t
2
– t

1
chất điểm
dịch chuyển từ vị trí x
1
sang vị trí x
2
. Ta có:
x = x
2
– x
1
x gọi là độ dịch chuyển của chất điểm. Vậy, độ dịch chuyển của chất điểm trong
khoảng thời gian

t = t
2
– t
1
trên đường thẳng là độ biến thiên của tọa độ của chất
điểm trong khoảng thời gian đó.
c. Vận tốc:
Trong quá trình chuyển động chất điểm có thể chuyển động nhanh hoặc chậm khác
nhau.
1
O
X
Chiều dương
Chiều âm
Để đặc trưng cho độ nhanh chậm của chuyển động người ta dung một đại lượng vật lí
là vận tốc.

d. Vận tốc trung bình:
Gọi độ dịch chuyển của chất điểm trong khoảng thời gian t = t
2
– t
1
là x = x
2
– x
1
.
Sự biến đổi nhanh chậm trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian t là:
v
tb
=
t
x
∆
∆
v
tb
được gọi là vận tốc trung bình.
Vậy, vận tốc trung bình của chất điểm là 1 đại lượng vật lí bằng thương số giữa độ
dịch chuyển

x của vật trong khoảng thời gian

t chia cho khoảng thời gian đó.
Vận tốc trung bình là 1 đại lượng vectơ. Khi v
tb
có trị số lớn ta nói rằng chất điểm

chuyển động nhanh và có trị số bé ta nói rằng chất điểm chuyển động chậm.
e. Vận tốc tức thời:
Để đặc trưng cho độ nhanh chậm của chuyển động chất điểm ở thời điểm t bất kì ta
dùng đại lượng vật lí là vận tốc tức thời.
Trong công thức
tb
x
v
t
∆
=
∆
uur
ta thấy khoảng thời gian
t
∆
càng nhỏ thì vận tốc trung bình
biểu diễn càng chính xác độ nhanh chậm của chuyển động ở thời điểm t. khi
0→∆t
thì
vận tốc trung bình đó biểu diễn càng chính xác độ biến đổi theo thời gian của chuyển
động của chất điểm. Giới hạn đó của vận tốc trung bình ta gọi là vận tốc tức thời (sau
này người ta gọi tắt là vận tốc, kí hiệu là v)
t
x
v
t
∆
∆
=

→∆ 0
lim
hay
dt
dx
v =
.
Như vậy, vận tốc là đạo hàm theo thời gian của tọa độ của chất điểm.
Trong chuyển động thẳng vectơ vận tốc có phương trùng với đường thẳng quỹ đạo,
có chiều là chiều chuyển động của chất điểm. Biểu thức trên cho ta thấy giá trị đại số
của vận tốc.

f. Gia tốc:
- Gia tốc trung bình:
Trong chuyển động vận tốc thay đổi theo thời gian. Để đặc trưng cho sự thay đổi của
vận tốc, ta đưa vào một đại lượng vật lí gọi là gia tốc. Giả sử ở thời điểm t
1
của chất
điểm có vận tốc v
1
, ở thời điểm t
2
của chất điểm có vận tốc v
2
. Trong khoảng thời gian
∆t = t
2
– t
1
vận tốc của chất điểm biến thiên một lượng ∆v = v

2
– v
1
. Sự biến đổi nhanh
chậm trung bình của vận tốc trong khoảng thời gian ∆t gọi là gia tốc trung bình và được
kí hiệu là a
tb
.
2
∆X
v
r
O X
1
X
2
v
o
)(tv
tb
v
a
t
∆
=
∆
uur
Vậy, gia tốc trung bình của chuyển động là một đại lượng vật lí bằng thương số của
độ biến thiên vận tốc ∆v trong khoảng thời gian ∆t chia cho khoảng thời gian đó.
- Gia tốc tức thời:

Để đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc ở từng thời điểm, ta dùng đại lượng vật lí là
gia tốc tức thời. Nếu trong biểu thức
tb
v
a
t
∆
=
∆
uur
ta lấy khoảng thời gian ∆t càng nhỏ thì gia
tốc trung bình càng biểu diễn đúng hơn độ nhanh chậm của vận tốc. Khi ∆t → 0 thì gia
tốc trung bình đó sẽ biểu diễn một cách chính xác độ biến đổi của vận tốc chuyển động.
Giới hạn đó của gia tốc trung bình gọi là gia tốc tức thời.
t
v
a
t
∆
∆
=
→∆ 0
lim
hay
dt
dv
a =
Như vậy, gia tốc là đạo hàm theo thời gian của vận tốc.
Căn cứ vào tính chất của vận tốc và gia tốc của chất điểm ta có thể xác định tính chất

của chuyển động của chất điểm.
2. Chuyển động thẳng với gia tốc không đổi. Vật rơi tự do:
a. Định nghĩa:
Nếu gia tốc của chất điểm là không đổi (a = const) thì chuyển động của chất điểm là
chuyển động biến đổi đều.
b. Vận tốc của chất điểm chuyển động biến đổi đều:
Từ định nghĩa của gia tốc ta có phương trình:
dv = adt
Lấy tích phân không xác định ở cả hai vế ta được:
v(t) = ∫adt + c
1
Ở đây c
1
là hằng số tích phân. Do gia tốc của chất điểm không đổi theo thời gian nên:
v(t) = at + c
1
Hằng số c
1
được xác định từ điều kiện ban đầu của vận tốc, khi t = 0 thì v(0) = v
0
nên
c
1
= v
0
. Ta có biểu thức vận tốc:
v(t) = v
0
+ at
Như vậy, vận tốc của chất điểm chuyển động biến đổi đều là hàm bậc nhất của thời

gian (phụ thuộc tuyến tính vào thời gian).
Người ta phân biệt hai loại chuyển động biến đổi đều:
+ Chuyển động thẳng +nhanh dần đều là chuyển động biến đổi đều có tốc độ tăng
theo thời gian.
+ Chuyển động chậm dần đều là chuyển động biến đổi đều có tốc
độ giảm theo thời gian.
3
v
o
)(tv
H.1
v
o
)(tv
H.2
H.3
v
o
)(tv
H.4
Sự tăng giảm của tốc độ được thể hiện qua dấu của gia tốc. Từ biểu thức
t
v
a
t
∆
∆
=
→∆ 0
lim

trong đó ∆v = v
2
– v
1
ta rút ra nhận xét sau:
* Trong chuyển động nhanh dần đều thì tốc độ
2 1
v v〉
.
+ Nếu v
2
, v
1
cùng dương thì v
2
>v
1
. Do đó ∆v > 0 nên a > 0.
(xem hình H.1)
+ Nếu v
2
, v
1
cùng âm thì ∆v < 0 nên a < 0. ( H.2)
Chú ý:

∆v < 0 nhưng
2 1
v v〉
nên chuyển động là nhanh dần đều.

Như vậy, khi a và v cùng dấu thì chất điểm chuyển động thẳng
nhanh dần đều.
* Trong chuyển động chậm dần đều thì tốc độ
2 1
v v〈
.
+ Nếu v
2
, v
1
cùng dương thì ∆v < 0 nên a < 0. (H.3)
+ Nếu v
2
, v
1
cùng âm thì ∆v > 0 nên a > 0. (H.4)


Chú ý:

∆v > 0 nhưng
2 1
v v〈
nên chuyển động là chậm dần đều.
Như vậy, khi a và v khác dấu thì chất điểm chuyển động thẳng
chậm dần đều.
* Chú ý trong quá trình chuyển động chất điểm có thể
tham gia vào cả 2 chuyển động: nhanh dần đều và chậm dần
đều.
c. Phương trình chuyển động của chất điểm chuyển đông biến đổi đều:

Từ định nghĩa của vận tốc v =
dt
dx
, ta có phương trình:
dx = (v
0
+ at)dt
Lấy tích phân không xác định ở cả hai vế của phương trình trên, ta có:
∫dx = ∫v
0
dt + ∫atdt
x(t) = v
0
t +
2
2
at
+ c
2
Hằng số c
2
được xác định từ điều kiện bạn đầu của tọa độ x, khi t = 0 thì x(0) = x
0
nên
c
2
= x
0
. Tọa độ chất điểm là:
x(t) = x

0
+ v
0
t +
2
2
at
Như vậy, khi chất điểm chuyển độn biến đổi đều, tọa độ là hàm bậc hai của thời gian.
d. Công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và tọa độ:
Từ công thức: v(t) = v
0
+ at 
a
vv
t
0
−
=
thay t vào công thức: x(t) = x
0
+ v
0
t +
2
2
at
ta được:








−
+






−
+=
a
vv
a
a
vv
vxx
00
00
2
4

a
vvvvvvv
xx
2
222

2
00
2
2
00
0
+−+−
=−⇔

a
vv
xx
2
2
0
2
0
−
=−⇔

⇔
v
2
– v
0
2
= 2a(x – x
0
)
Đây là công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và tọa độ.

e. Sự rơi tự do của một vật:
Thí nghiệm chứng tỏ rằng nếu bằng cách nào đó loại bỏ được ảnh hưởng của không
khí đến chuyển động của các vật rơi thì chúng sẽ rơi như nhau với cùng một gia tốc gọi
là gia tốc rơi tự do. Kí hiệu là g.
Gia tốc g không phụ thuộc vào các đặc trưng của vật như khối lượng, khối lượng riêng
hoặc hình dạng. Giá trị của g thay đổi chút ít theo vĩ độ hoặc độ cao. Ở mức mặt biển và
các vĩ độ trung bình g = 9,8m/s
2
.
Để mô tả chuyển động theo phương thẳng đứng, ta thay trục x bằng trục đứng y có
chiều hướng xuống dưới, khi đó g > 0 ta có chuyển động rơi tự do. Để tìm các phương
trình chuyển động của sự rơi tự do ta thay a = g trong các phương trình:
v(t) = v
0
+ at
x(t) = x
0
+ v
0
t +
2
2
at
(*)
v
2
– v
0
2
= 2a(x – x

0
)
ta được:
v(t) = v
0
+ gt
y(t) = y
0
+ v
0
t +
2
2
gt
v
2
– v
0
2
= 2g(y – y
0
)
Chuyển động rơi tự do là chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ban đầu bằng 0 nên
ta có thể nhận được các phương trình chuyển động của chúng bằng cách cho v
0
= 0 và y
0
= 0 trong các phương trình trên ta được:
gyv
gt

ty
gttv
2
2
)(
)(
2
2
=
=
=
* Chú ý: với cách chọn hệ tọa độ như trên ta cũng có thể xét chuyển động của vật đi lên
bằng cách thay a = -g trong các phương trình (*).
3. Chuyển động biến đổi đều trong mặt phẳng. Chuyển động của đạn
(vật ném lên):
a. Phương trình chuyển động – phương trình quỹ đạo:
Khi mô tả chuyển động của chất điểm trong mặt phẳng, người ta thường dùng hệ tọa
độ hai chiều để xác định vị trí của chất điểm ở những thời điểm khác nhau. Hệ tọa độ
5
gồm hai trục Ox, Oy vuông góc với nhau và có điểm gốc là O, hai vectơ đơn vị
,i j
r r
hướng theo chiều dương của hai trục tọa độ.
Vị trí của chất điểm M trong mặt phẳng được xác định bởi vectơ kẻ từ gốc O của hệ
tọa độ đến điểm M, kí hiệu là
r
r
và được gọi là vectơ vị trí (còn gọi là bán kính vectơ
hoặc vectơ tia), nghĩa là:
r xi y j= +

r r r
Ở đây,
xi
r
và
y j
r
là hai vectơ thành phần của vectơ
r
r
trên hai trục Ox, Oy. Hai đại
lượng x và y là hai thành phần của vectơ
r
r
trên hai trục tọa độ tương ứng và cũng là tọa
độ chất điểm. Khi chất điểm chuyển động thì độ lớn và hướng của
r
r
điều biến đổi theo
thời gian t. Hay
r
r
là hàm của thời gian t:
r
r
=
r
r
(t)
Phương trình này xác định vị trí của chất điểm trong mặt phẳng tại mọi thời điểm và

gọi là phương trình chuyển động của chất điểm dưới dạng vectơ.
Ngoài ra, vị trí chất điểm còn được xác định bởi tọa độ:
x = x(t), y = y(t)
Các phương trình này mô tả quỹ đạo chuyển động chất điểm gọi là phương trình quỹ
đạo. Dạng khác của phương trình chuyển động tìm được bằng cách khử thời gian t trong
phương trình trên là y = f(x).
b. Chuyển động của vật ném theo phương xiên:
- Phương trình chuyển động và phương trình quỹ đạo:
Giả sử vật (chất điểm) bị ném với vận tốc bạn đầu
0
v
uur
theo phương xiên góc so với
phương nằm ngang một góc
0
θ
.
Chọn gốc O của hệ tọa độ Oxy trùng với vị trí ban đầu, trục Ox nằm ngang, trục Oy
thẳng đứng. Vectơ
0
v
uur
nằm trong mặt phẳng Oxy. Khi đó, ta có vận tốc ban đầu
0
v
uur
và gia
tốc
a
r

có các thành phần tọa độ như sau:
0 0 0
0
0 0 0
os
sin
x
y
v v c
v
v v
θ
θ
=


=

=


uur





−
=
→

→
g
a
0
6
V
0x
O
V
0y
V
0
0
θ
y
x
Vậy phương trình chuyển động của vật trên các trục tọa độ là:
x = (v
0
cosθ
0
)t
y = (v
0
sin θ
0
)t -
2
2
gt

* Phương trình quỹ đạo: từ x = (v
0
cosθ
0
)t, suy ra
)cos(
00
θ
v
x
t =
thay vào biểu thức y ta
được
2
0
2
2
0
0
cos2
)( x
v
g
tgxy
θ
θ
−=
. Đây là phương trình của đường Parapol.
- Tầm xa R:
Quãng đường mà vật đi được theo phương nằm ngang gọi là tầm xa. Kí hiệu là R.

Gọi t
R
là thời gian chất điểm đi được quãng đường R theo phương nằm ngang. Ta có:
x = (v
0
cosθ
0
)t
R
= R (1)
y = (v
0
sinθ
0
)t
R
-
2
2
R
gt
= 0 (2)
Từ phương trình (2) ta suy ra t
R
=
g
v
00
sin2
θ

, loại t
R
= 0. Thay vào (2) ta được:
0
2
0
00
2
0
2sincossin
2
θθθ
g
v
g
v
R ==
Tầm xa đạt giá trị cực đại khi sin2θ
0
= 1 hay θ
0
= 45
0
và khoảng cách cực đại là
g
v
R
2
0
=

.
- Độ cao cực đại H:
Khi chất điểm đạt đến độ cao cực đại thì v
y
= 0. Ta có:
0sin
max00
=−== gtv
dt
dy
v
y
θ
(1)
2
)sin(
2
max
max00max
gt
tvyH −==
θ
(2)
Từ (1) ta suy ra t
max
, thay vào (2) ta được:
0
2
2
0

sin
2
θ
g
v
H =
4. Chuyển động tròn đều:
Trong chuyển động tròn, khi
β
= 0 thì
ω
= const, chuyển động là chuyển động tròn
đều. Chất điểm đi theo đường tròn với vận tốc không đổi. Tuy nhiên hướng của vận tốc
luôn luôn thay đổi trong quá trình chuyển động nên chất điểm có gia tốc. Theo a
t
=
dt
dV
thì gia tốc tiếp tuyến a
t
= 0. Như vậy độ lớn của vectơ gia tốc chính là gia tốc pháp
tuyến:
a
n
=
R
v
2
7
Trong chuyển động tròn đều, vectơ gia tốc luôn luôn vuông góc với vectơ vận tốc.

Đối với chuyển động tròn đều người ta còn định nghĩa chu kì là thời gian chất điểm đi
được một vòng:
T =
ω
π
2
và tần số là số chu kì trong một đơn vị thời gian:
π
ω
ν
2
1
==
T
5. Gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến:
a. Gia tốc tiếp tuyến:
Thành phần đặc trưng cho sự biến thiên về độ lớn của vận tốc gọi là vectơ gia tốc tiếp
tuyến:
a
t
=
dt
dV
Vậy, gia tốc tiếp tuyến có độ lớn bằng đạo hàm của độ lớn vận tốc theo thời gian.
b. Gia tốc pháp tuyến:
Thành phần đặc trưng cho sự biến thiên về phương của vận tốc được gọi là vectơ gia
tốc pháp tuyến:
a
n
=

R
v
2
( R: bán kính cong của quỹ đạo)
Ta thấy:
Khi v xác định, a
n
càng lớn khi R càng nhỏ, khi đó quỹ đạo càng cong. Kết quả là
phương của vận tốc thay đổi càng nhiều.
Tương tự, khi R xác định, a
n
càng lớn khi v càng lớn, tức là trong một đơn vị thời
gian, chất điểm sẽ đi được một cung tròn càng lớn nghĩa là phương của vectơ vận tốc
thay đổi càng nhiều.
Tóm lại, gia tốc có thể phân tích thành hai thành phần
a
r
=
a
r
t
+
a
r
n
Độ lớn của vectơ gia tốc: a =
2
2
2
22









+






=+
R
v
dt
dv
aa
nt
6. Bài tập chương I.
CHƯƠNG II: CÁC ĐỊNH LUẬT CHUYỂN ĐỘNG
1. Khái niệm lực. Định luật I Niutơn. Hệ qui chiếu quán tính:
a. Khái niệm lực:
8
Nếu một vật không chịu tác dụng của các vật khác thì nó không có gia tốc. Theo định
luật quán tính thì vận tốc của vật chỉ có thể biến đổi khi có vật khác tác dụng vào nó.
Nói cách khác, gia tốc của một vật là kết quả tác dụng của các vật khác lên vật ấy.

Nguyên nhân làm xuất hiện gia tốc của một vật là tác dụng của các vật khác lên nó. Ta
gọi đại lượng vật lí đặc trưng cho loại tác dụng này là lực, kí hiệu là
F
ur
. Vậy lực được
hiểu là nguyên nhân gây ra gia tốc cho vật.
Thực nghiệm xác minh rằng lực được đặc trưng bởi các yếu tố sau:
+ Điểm đặc của lực là điểm mà tại đó vật nhận được tác dụng cơ học từ vật khác.
+ Phương, chiều của lực là phương, chiều chuyển động của chất điểm từ trạng thái
nghỉ dưới tác dụng cơ học.
+ Cường độ của lực là số đo độ mạnh yếu của tương tác cơ học. Vậy lực là một đại
lượng vectơ.
b. Định luật I Niutơn:
Một chất điểm cô lập tức là không chịu một tác động nào từ bên ngoài, nếu đang
đứng yên nó sẽ tiếp tục đứng yên, nếu đang chuyển động thì chuyển động của nó là
thẳng đều.
Chất điểm đứng yên có vận tốc
v
r
= 0, chất điểm chuyển động thẳng đều có vận tốc
v
r
khác 0, trong cả hai trường hợp vận tốc đều không đổi, như vậy chất điểm không có gia
tốc. Ta có thể nói trạng thái chuyển động của nó được bảo toàn
v
r
= const.
Tính chất bảo toàn trạng thái chuyển động của chất điểm gọi là quán tính. Vì vậy,
định luật I Niutơn còn được gọi là định luật quán tính.
c. Hệ quy chiếu quán tính:

Để xác định vật đứng yên hay chuyển động thẳng đều người quan sát cần có một hệ
quy chiếu. Như vậy, định luật thứ nhất của Niutơn khẳng định ta có thể tìm được ít nhất
một hệ quy chiếu mà trong đó định luật được nghiệm đúng. Hệ quy chiếu đó gọi là hệ
quy chiếu quán tính. Như vậy, trong hệ quy chiếu quán tính chất điểm tự do giữ nguyên
trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
2. Khối lượng quán tính. Định luật II Niutơn:
a. Khối lượng quán tính
Khối lượng quán tính là đại lượng vật lý dùng để đo mức quán tính của vật, còn
gọi là khối lượng , kí hiệu là m.
Nếu dưới tác dụng của cùng một lực. vật có khối lượng m
1
thu được gia tốc a
1
,
vật có khối lượng m
2
thu được gia tốc a
2
thì tỉ số giữa khối lượng hai vật tỉ lệ nghịch với
tỉ số giữa gia tốc mà hai vật thu được, tức là:
1
2
2
1
a
a
m
m
=
Khối lượng m trong cơ học là một đại lượng vô hướng, có giá trị dương không

đổi đối với mọi vật.
Trong hệ SI khối lượng được đo bằng kilôgam (kg).
9
b. Định luật II Niutơn:
Gia tốc của chất điểm tỉ lệ thuận với lực tác dụng lên chất điểm và tỉ lệ nghịch với
khối lượng của nó.
Định luật này được biểu diễn dưới dạng toán học bằng biểu thức vectơ:
F
a
m
=
ur
r
Nếu có nhiều lực tác dụng đồng thời lên vật thì chúng sẽ tương đương với một hợp
lực bằng tổng hình học của các lực đó. Phương trình biểu diễn định luật II của Niutơn
trong trường hợp này có dạng:
K
K
F
a
m
=
∑
uur
r
* Các phát biểu khác của định luật II:
Định luật thứ hai của newton có thể viết dưới dạng tổng quát hơn bằng cách đưa vào
một đại lượng đặt trưng cho chuyển động của chất điểm, gọi là động lượng, kí hiệu là
K
+ Động lượng

K
uur
của một chất điểm khối lượng m, chuyển động với vận tốc
v
r
bằng
tích số của khối lượng m và vectơ vận tốc
v
r
.
.K m v=
uur r
(kg.m/s)
Động lượng là một đơn vị vectơ có hướng theo hướng của vectơ vận tốc
Trong hệ SI đơn vị của động lượng là kg
s
m
.
+ Từ phương trình:
F
a
m
=
ur
r

F ma⇒ =
ur r
thay
dv

a
dt
=
r
r
( )
dv d
m mv F
dt dt
⇒ = =
r
r ur
d K
F
dt
⇒ =
uur
ur
.
Vậy, Đạo hàm theo thời gian của động lượng của chất điểm bằng tổng các lực tác
dụng lên chất điểm đó.
3. Trọng lượng của vật. Định luật III Niutơn:
a. Trọng lực và trọng lượng của vật:
Xét chất điểm nằm trên mặt phẳng nằm ngang, nhẵn và cố định đối với trái đất. Tác
dụng lên chất điểm có lực hút của trái đất
h
F
uur
, phản lực của mặt phẳng
N

uur
, lực quán tính
do chuyển động quay quanh trục của nó
qt
F
uur
. Điều kiện cân bằng của chất điểm đối với
trái đất là:
0
h qt
F F N+ + =
uur uur uur
Ta kí hiệu:
h qt
F F P P N+ = ⇒ = −
uur uur ur ur uur
Khi đó chất điểm chỉ chịu hai lực tác dụng cân bằng nhau là
P
ur
và
N
uur
.
Lực
P
gọi là trọng lực.
Trọng lực là hợp lực của lực hấp dẫn tác dụng lên vật và lực quán tính li tâm mà vật
phải chịu do sự tự quay của trái đất. Phương của trọng lực là phương thẳng đứng tại vị
trí của vật trên mặt đất, hướng từ trên xuống dưới.
10

Khái niệm trọng lượng được mở rộng như sau:
Trọng lượng của một vật là hợp lực của lực hấp dẫn tác dụng lên vật và tất cả các lực
quán tính mà vật phải chịu do chuyển động của hệ không quán tính.
b. Định luật III Nuitơn:
Hai chất điểm tác dụng lên nhau những lực có giá trị
bằng nhau, cùng hướng theo đường thẳng nối hai
điểm nhưng ngược chiều nhau.
Công thức định luật III Newton:
12 21
F F= −
r r
Hai lực đó bằng nhau về độ lớn nhưng ngược chiều. (hình bên).
4. Vài ứng dụng của định luật newton:
Một vài bài toán áp dụng các định luật newton.
Trong động lực học có hai loại bài toán quan trọng:
+ Bài toán thuận: khi giải bài toán này người ta đã biết chuyển động của vật và
cần xác định lực tác dụng gây ra chuyển động ấy.
Để giải bài toán này ta cần xác định gia tốc của vật sau đó xác định lực tác dụng
lên vật đó. Sau đây là một ví dụ về bài toán thuận:
Một thang máy có trọng lượng
P
bắt đầu đi lên với gia tốc
a
. Hãy xác định lực căng
của dây.
Giải
Lực tác dụng lên thang máy gồm trọng lực
P
hướng xuống, lực căng
T

của dây cáp
hướng lên.
Phương trình chuyển động của thang máy là:
PTam +=
Chiếu phương trình này lên phương thẳng đứng, ta được:
PTa
g
p
−=
Từ đó suy ra:
)1(
g
a
PT +=
Nếu thang máy được hạ với cùng gia tốc thì sức căng của dây sẽ bằng:
)1(
1
g
a
PT −=
+ Bài toán ngược: khi giải bài toán này người ta đã biết các lực tác dụng lên vật
và những điều kiện ban đầu của chuyển động của vật và cần xác định chuyển động của
vật đó.
Để giải bài toán này ta lấy tích phân phương trình động lực học với điều kiện ban
đầu cho trước. Lúc cho trước trong bài toán có thể là lực không đổi hoặc lực biến đổi cả
về trị số và chiều. Lực biến đổi có thể là lực chủ động hay các phản lực liên kết. Thực tế
cho biết các lực biến đổi có thể phụ thuộc vào thời gian, vào vị trí của vật thể, vào vận
tốc chuyển động. Sau đây là một thí dụ về lực biến đổi phụ thuộc vào thời gian.
11
r

12
12
F
21
F
Vật có trọng lượng là P bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng yên trên mặt phẳng
nằm ngang nhẵn dưới tác dụng của lực có trị số tăng tỉ lệ với thời gian theo quy luật
F=kt. Hãy tìm quy luật chuyển động của vật.
Giải
Chọn vị trí ban đầu của vật làm gốc tọa độ O, hướng trục Ox theo chiều chuyển động.
khi đó điều kiện ban đầu sẽ là: khi t

= 0, x

= 0, v
x
= 0.
Để mô tả chuyển động của vật ở một vị trí bất kì ta dùng phương trình chuyển động
Fam =
. Đem chiếu cả hai vế của nó lên trục x, ta có:
kt
dt
dv
g
P
x
=
Nhân cả hai vế của đẳng thức với dt và lấy tích phân ta được:
1
2

2
C
t
P
kg
v
x
+=
Thay điều kiện ban đầu vào, ta tìm được C
1
bằng 0. Thay
dt
dx
v
x
=
vào kết quả vừa thu
được, ta có:
2
2
t
P
kg
dt
dx
=
Nhân cả hai vế đẳng thức với dt và lấy tích phân ta được:
2
3
32

C
t
P
kg
x +=
Thay điều kiện ban đầu vào đây, ta tìm được C
2
= 0. Cuối cùng ta tìm được quy luật
chuyển động của vật dưới dạng:
3
6
t
P
kg
x =
Ta thấy quảng đường vật đi được sẽ tăng tỉ lệ với lũy thừa bậc ba của thời gian.
(Chúng ta có thể tham khảo một số thí dụ về bài toán ngược ở trong giáo trình cơ học
trang 66)
5. Bài tập chương II.
CHƯƠNG III: CÁC LỰC TRONG TỰ NHIÊN VÀ
CÁC ÁP DỤNG KHÁC CỦA CÁC ĐỊNH LUẬT NEWTƠN
1. Lực hấp dẫn, khối lượng quán tính và khối lượng hấp dẫn:
a. Lực hấp dẫn:
Trong thực tế, nhiều hiện tượng tự nhiên như: sự rơi tự do, chuyển động của Trái
Đất….chứng tỏ rằng các vật có khối lượng luôn tác dụng lên nhau những lực hút. Lực
hút đó gọi là lực hấp dẫn. Vào cuối thế kỉ XVII, Newton đã nêu lên một định luật cơ
bản của tự nhiên gọi là định luật vạn vật hấp dẫn. nội dung của định luật đó như sau:
12
Lực hút tương hổ giữa hai chất điểm bất kí có khối lượng m
1

, m
2
đặt tại hai điểm M
1
,
M
2
tỉ lệ với tích số hai khối lượng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa
chúng. Lực hút tương hổ đó được gọi là lực hấp dẫn.
Công thức lực hấp dẫn:
12
F

= - G.
2
21
.
r
mm
.
12
n
uur

Trong đó:
12
n
uur
là vectơ đơn vị hướng theo vectơ.

12
r
uur
: Khoảng cách từ điểm M1 đến điểm M2.
12
12 12
;
r
n r r
r
= =
uur
uur uur
;
G: Hằng số hấp dẫn có giá trị bằng G = 6,67.10
-11
N.m
2
/kg
2
.
b. Khối lượng quán tính và khối lượng hấp dẫn:
Theo định luật II của Niutơn ta có khối lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật kí
hiệu là m
q
. Khối lượng quán tính xác định theo gia tốc
a
r
mà vật thu được dưới tác dụng
của lực

F
ur
:
F=m
q
.a
Khối lượng hấp dẫn đặc trưng cho mức hấp dẫn của vật, kí hiệu: m
h
. Khối lượng hấp
dẫn m
h
được xác định từ định luật vạn vật hấp dẫn của Niutơn:
F = G.
2
.
r
Mm
hh
Trong đó: M
h
là khối lượng hấp dẫn của vật đã gây ra lực hút lên vật có khối lượng
m
h
.
Một chất điểm có khối lượng quán tính m
q
và khối lượng hấp dẫn m
h
chuyển động
dưới tác dụng của lực hấp dẫn F sẽ thu được gia tốc a bằng:

a = G.
2
.
r
Mm
hh
Mối liên hệ giữa hai khối lượng m
h
và m
q
. Xét các vật tại vị trí ở trên mặt đất. Đối với
vật rơi tự do gần mặt đất thì a= g là gia tốc rơi tự do của vật. Gọi m
qi
và m
hi
là khối
lượng quán tính và khối lượng hấp dẫn của vật thứ i, g
i
là gia tốc rơi tự do của vật thứ i
ở gần mặt đất, r = R là bán kính trái đất, M
h
= M là khối lượng hấp dẫn của trái đất, ta
có:
g
1
=
1
1
2
.

q
h
m
m
R
GM
là gia tốc rơi tự do của vật 1
g
2
=
2
2
2
q
h
m
m
R
GM
⋅
là gia tốc rơi tự do của vật 2
…………………………………………….
g
i
=
qi
hi
m
m
R

GM
⋅
2
là gia tốc rơi tự do của vật i
Tại một vị trí xác định trên trái đất thực nghiệm chỉ ra rằng gia tốc rơi tự do của mọi
vật đều khác nhau có nghĩa là: g
1
= g
2
= … = g
i.
13
K
m
m
m
m
m
m
qi
hi
q
h
q
h
====⇒
2
2
1
1

K là hệ số tỉ lệ.
Vậy khối lượng hấp dẫn m
h
tỉ lệ với khối lượng quán tính m
q
: m
h
= k.m
q
Nếu chọn đơn vị thích hợp sao cho
2
.
R
MG
g =
thì K = 1 và m
h
= m
q
.
2. Trọng lượng và lực hấp dẫn. ĐL II Niutơn trong chuyển động tròn
đều:
a. Trọng lượng và lực hấp dẫn: (phần trên).
b. ĐL II Niutơn trong chuyển động tròn đều:
Trong chuyển động tròn đều gia tốc tiếp tuyến
t
a
ur
= 0 nên
t

F
uur
= 0 do đó lực tác dụng lên
chuyển động tròn đều là:
F
ur
= m
a
r
= m
2
v
n
R
×
r
Trong đó:
R là bán kính của đường tròn.

n
r
là vectơ đơn vị pháp tuyến.
Trong chuyển động tròn đều, vận tốc

v
r
có độ lớn không đổi nên lực hướng
tâm cũng có độ lớn không đổi, nhưng
hướng thay đổi liên tục và luôn luôn
hướng tâm quĩ đạo tròn.

Hình bên mô tả một chất điểm được nối với một điểm cố định bắng một sợi dây mảnh
không co dãn và đang chuyển động tròn đầu trên mặt phẳng nằm ngang, nhẵn. Trong
trường hợp này vai trò của lực hướng tâm là sức căng dây
T
ur
. Lực hấp dẫn của trái đất
tác dụng vào trái đất cũng là lực hướng tâm. Như vậy chúng ta thấy lực hướng tâm
không phải là loại lực đặt biệt. Lực căng dây, lực hấp dẫn hay các lực khác đều có thể
đóng vai trò lực hướng tâm trong chuyển động cong.
CHƯƠNG IV: CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG
1. Khái niệm công cơ học. Công thực hiện bởi một lực không đổi:
a. Khái niệm công cơ học:
Để biểu diễn tác dụng của lực trên độ dời của vật, ta đưa vào khái niệm về công của
lực. Hay nói một cách khác một lực sinh công khi điểm đặc của nó chuyển dời.
Công là đại lượng được đo bằng tích số của lực và quãng đường dịch chuyển của
điểm đặt của lực.
b. Công thực hiện bởi một lực không đổi:
Giả sử có một lực
F
không đổi tác dụng lên một chất điểm đặt tại P. Điểm đặt của
lực
F
ur
chuyển dời một đoạn PP’ theo phương S:
14
v
m
T
n
r

'PP
uuur
=
S
ur
(hình bên). Ta có lực
F
ur
sinh ra một công. Kí hiệu là A.
Theo định nghĩa, công A của lực
F
ur
trong dịch chuyển
'PP
uuur
là đại lượng có trị số:
A = F.
'PP
uuur
.cosα = F.S.cosα
Trong đó α là góc giữa lực
F
ur
và phương dịch chuyển
S
ur
.
Theo hình vẽ ta có F.cosα là hình chiếu của lực
F
ur

lên
phương chuyển dời S, kí hiệu là F
s
ta có:
A = F
s
.S
Biểu diễn dưới dạng tích vô hướng của hai vectơ:
A =
F
ur
.
S
ur
Như vậy, công A có thể được định nghĩa bằng
tích vô hướng của vectơ lực
F
ur
và vectơ dịch chuyển
S
ur
- Khi α là góc nhọn thì A>0. Lực
F
ur
sinh công phát động.
- Khi α là góc tù thì A<0. Lực
F
ur
sinh công cản.
- Khi α = 0 thì khi đó lực

F
ur
có phương trùng với phương của
S
ur
, công A do lực sinh ra
có giá trị lớn nhất.
- Khi α =
2
π
khi đó lực
F
ur
vuông góc với phương chuyển dời, công A do lực sinh ra
bằng 0.
* Chú ý: điều kiện để lực thực hiện một công trên vật là: vật đó bị dịch chuyển.
Đơn vị của công trong hệ đơn vị SI là Jun (kí hiệu là J).
1J = 1N.m = 1kg.m
2
/s
2
2. Công và động năng. Công suất:
a. Năng lượng:
Năng lượng là một đại lượng đặc trưng cho mức độ vận động của vật chất. Một vật ở
trạng thái xác định thì có một năng lượng xác định. Khi vật tương tác với các vật bên
ngoài thì vật đó sẽ biến đổi trạng thái và trao đổi năng lượng với các vật bên ngoài.
Dạng năng lượng tương ứng với chuyển động cơ của các vật gọi là cơ năng. Cơ năng
gồm: động năng và thế năng.
Động năng là phần cơ năng tương ứng với sự chuyển động của các vật. Thế năng là
phần cơ năng tương ứng với tương tác giữa các vật.

b. Động năng:
Công của lực có mối liên hệ với đại lượng đặc trưng quan trọng của chuyển động là
động năng.
Động năng của chất điểm có khối lượng m, chuyển động với vận tốc v, kí hiệu là T và
được định nghĩa là:
2
1
2
T mv=
Theo công thức trên thì động năng của một chất điểm chỉ có giá trị dương hoặc bằng 0
và là một đại lượng vô hướng.
Đơn vị của động năng là Jun (J).
15
P
α
F
s
P
’
F
c. Định lí động năng:
Mối liên hệ giữa công và động năng được thể hiện bằng định lí động năng.
Xét một chất điểm chuyển động với vận tốc
v
r
trên một đường cong C đến D. Công
của lực
F
ur
trong dịch chuyển của chất điểm được tính bằng biểu thức:

D
CD
C
A Fds=
∫
ur
Trong đó lực
F
ur
bằng:
( )
d mv
F
dt
=
r
ur
chú ý
d s vdt=
r r
;
Khi đó biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:
( ) ( )
2
d mv
Fds mv vdv vd mv d
dt
 
= = =
 ÷

 
r
ur r r r r r
Thay biểu thức này vào biểu thức công A, ta có:
2
2
2
2 2 2
D
C
D
CD
C
mv
mvmv
A d
 
= = −
 ÷
 
∫
Hay: A
CD
= T
D
- T
C
Trong đó:
2
2

C
C
mv
T =
và
2
2
D
D
mv
T =
là động năng của chất điểm ở vị trí C và D. Hay:
A = ΔT.
Như vây, độ biến thiên động năng của chất điểm trên một chuyển dời nào đó bằng
công của lực tác dụng lên chất điểm trên chuyển dời đó. Đó là nội dung của định lí
động năng.
d. Công suất:
Công suất là đại lượng xác định công do lực sản ra trong một đơn vị thời gian, được
kí hiệu là P. Trong khoảng thời gian dt, dưới tác dụng của lực
F
ur
, chất điểm dịch chuyển
được một quãng đường
d s
r
. Công của lực
F
ur
tính trong một đơn vị thời gian sẽ bằng:
dA d s

P F
dt dt
= =
r
ur
Hay:
P Fv=
urr
Vậy: Công suất bằng tích vô hướng của lực tác dụng và vectơ vận tốc của chuyển
động tại thời điểm đó.
Trong hệ SI đơn vị công suất là Watt (oát) kí hiệu là W.
1W =
1
1
1
1
−
=
Js
s
J
;
Oát là công suất không đổi của một máy sinh công một jun trong khoảng thời gian 1
giây. Ngoài ra người ta còn sử dụng mã lực làm đơn vị của công suất.
1 mã lực = 736 W; 1 oát-giờ (W-h) = 3600 J; 1 kilôoát-giờ (kW-h) = 3600 kJ.
16
CHƯƠNG V: THẾ NĂNG VÀ BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG
1. Lực bảo toàn và lực không bảo toàn:
a. Lực bảo toàn (hay lực thế)
Lực mà công của nó không phụ thuộc và hình dạng đường đi mà chỉ phụ thuộc vào vị

trí đầu và vị trí cuối của chất điểm chuyển động gọi là lực bảo toàn hay lực thế.
c. Tính chất của lực thế:
Nếu lấy hai chất điểm C và D và nối chúng bằng hai đường cong bất kỳ 1 và 2 thì
công của lực chuyển dời từ điểm C đến điểm D theo đường cong 1 và công của lực
chuyển dời từ điểm C đến điểm D theo đường cong 2 là như nhau:
A
CD
= A
C1D
= A
C2D
Vì công chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối của chất điểm chuyển động nên nếu
điểm đầu trùng với điểm cuối thì công của lực bằng 0.
A
C1D
+ A
C2D
= 0
Vậy, Công của lực thế (hay lực bảo toàn) thực hiện trên một chất điểm chuyển động
theo một đường cong kín bằng 0.
d. Trường lực thế:
Các lực lập thành một trường gọi là trường lực thế.
Vậy, trường lực thế là phần không gian mà nếu đặt một chất điểm nào đó thì nó chịu
tác dụng của một lực thế.
b. Lực không bảo toàn:
Hệ vật lí thực thường chịu tác dụng của các lực không bảo toàn. Trong mọi trường
hợp ta vẫn áp dụng được định lí về động năng khi chất điểm chịu tác dụng của cả lực
bảo toàn và không bảo toàn, nếu ta kí hiệu A là công thực hiện bởi các lực bảo toàn. Ã
là công thực hiện bởi các lực không bảo toàn. Chúng ta viết lại định lí động năng A =
ΔT như sau:

A + Ã = ΔT (1)
Vì A = - ΔU nên biểu thức (1) trở thành:
à = ΔT + ΔU = (T
f
– T
i
) + (U
f
– U
i
) (2)
Trong đó: T
i
, U
i
và T
f
, U
f
là động năng và thế năng ở điểm đầu và điểm cuối tương ứng.
Vậy, Công thực hiện bởi các lực không bảo toàn thì bằng biến thiên động năng cộng
với biến thiên thế năng. Vì cơ năng E = T + U nên biểu thức (2) được viết lại như sau: Ã
= (T
f
+ U
f
) – (T
i
+ U
i

) hay à = ΔE (3)
Biểu thức (3) là công thực hiện bởi tất cả các lực không bảo toàn thì bằng biến thiên
cơ năng toàn phần của hệ.
Nếu hệ không chịu tác dụng của lực không bảo toàn thì Ã = 0 từ (3) ta có E
i
= E
f
có
nghĩa là cơ năng bảo toàn.
17
Đối với hệ cô lập khi có ma sát thì có sự giảm cơ năng của hệ. Năng lượng nhiệt là
một dạng của nội năng, sự thay đổi của nó được kí hiệu là: ΔE
n
Định luật bảo toàn cho hệ cô lập: ΔU + ΔT + ΔE
n
= 0
Tức là trong hệ cô lập, năng lượng có thể chuyển đổi từ dạng này sang dạng khác
nhưng năng lượng toàn phần của hệ thì không đổi.
2. Bảo toàn cơ năng. Thế năng hấp dẫn:
a. Bảo toàn cơ năng:
Xét chất điểm khối lượng m chuyển động trong trường thế từ điểm C đến điểm D. Từ
công thức
dA Fdr dU= = −
ur r
ta có công thức của lực thế:

DC
D
C
CD

UUdUA −=−=
∫
Áp dụng định lí động năng cho trường hợp chỉ có lực thế ta có A
CD
= T
D
- T
C
Hay: U
C
– U
D
= T
D
- T
C
(1)
Từ đó suy ra: U
C
+ T
C
= U
D
+ T
D
= E (2)
E là đại lượng bằng tổng động năng và thế năng của chất điểm được gọi là cơ năng.
Từ biểu thức (2) ta có định luật bảo toàn cơ năng phát biểu như sau:
Cơ năng của chất điểm chuyển động trong trường lực thế là một đại lượng bảo toàn.
Từ biểu thức (1) ta có thể viết định luật trên dưới dạng khác thể hiện sự chuyển hóa

giữa thế năng và động năng.
ΔU = - ΔT hay ΔU + ΔT = 0
b. Thế năng hấp dẫn:
Khi một chất điểm dịch chuyển từ vị trí đầu C sang vị trí cuối D trong trường lực thế
thì công A
CD
của trường lực thế chỉ phụ thuộc vào hai vị trí đầu C và cuối D. Từ tính
chất này ta có thể định nghĩa:
Thế năng của chất điểm trong trường lực thế là một hàm phụ thuộc vị trí của chất
điểm, kí hiệu là U sao cho:
A
CD
= U
C
- U
D

Từ định nghĩa trên ta thấy: nếu đồng thời cộng U
C
và U
D
với cùng một hằng số thì
định nghĩa trên vẫn đúng. Vậy thế năng của chất điểm tại một vị trí được xác định sai
khác một hằng số.
Khi chuyển từ vị trí đầu C về vị trí cuối D thì thế năng của chất điểm biến thiên một
lượng:
ΔU = U
D
- U
C

Khi đó ta có:
A
CD
= -ΔU
Nếu điểm đầu và điểm cuối được chọn vô cùng gần nhau thì công của lực thế trên độ
dời vô cùng bé
d s dr=
r r
sẽ là:
dA Fdr dU= = −
ur r
Suy ra:
U Fdr C= − +
∫
ur r
18
C là hằng số tích phân được xác định do cách chọn gốc tính thế năng.
Vậy, Thế năng của chất điểm tại một điểm trong trường lực thế là đại lượng vô
hướng U và được xác định bằng công mà các lực của trường đó sinh ra trên độ dời của
chất điểm từ vị trí đó tới vị trí không.
3. Lực không bảo toàn và định lí về động năng:
a. Lực không bảo toàn và biến thiên cơ năng:
Hệ vật lí thực thường chịu tác dụng của các lực không bảo toàn. Trong mọi trường
hợp ta vẫn áp dụng được định lí về động năng khi chất điểm chịu tác dụng của cả lực
bảo toàn và không bảo toàn, nếu ta kí hiệu A là công thực hiện bởi các lực bảo toàn. Ã
là công thực hiện bởi các lực không bảo toàn. Chúng ta viết lại định lí động năng A =
ΔT như sau:
A + Ã = ΔT (1)
Vì A = - ΔU nên biểu thức (1) trở thành:
à = ΔT + ΔU = (T

f
– T
i
) + (U
f
– U
i
) (2)
Trong đó: T
i
, U
i
và T
f
, U
f
là động năng và thế năng ở điểm đầu và điểm cuối tương ứng.
Vậy, Công thực hiện bởi các lực không bảo toàn thì bằng biến thiên động năng cộng
với biến thiên thế năng. Vì cơ năng E = T + U nên biểu thức (2) được viết lại như sau: Ã
= (T
f
+ U
f
) – (T
i
+ U
i
) hay à = ΔE (3)
Biểu thức (3) là công thực hiện bởi tất cả các lực không bảo toàn thì bằng biến thiên
cơ năng toàn phần của hệ.

Nếu hệ không chịu tác dụng của lực không bảo toàn thì Ã = 0 từ (3) ta có E
i
= E
f
có
nghĩa là cơ năng bảo toàn.
Đối với hệ cô lập khi có ma sát thì có sự giảm cơ năng của hệ. Năng lượng nhiệt là
một dạng của nội năng, sự thay đổi của nó được kí hiệu là: ΔE
n
Định luật bảo toàn cho hệ cô lập: ΔU + ΔT + ΔE
n
= 0
Tức là trong hệ cô lập, năng lượng có thể chuyển đổi từ dạng này sang dạng khác
nhưng năng lượng toàn phần của hệ thì không đổi.
b. Động năng:
Động năng của chất điểm có khối lượng m, chuyển động với vận tốc v, kí hiệu là T và
được định nghĩa là:
T =
2
1
mv
2
Theo công thức trên thì động năng của một chất điểm chỉ có giá trị dương hoặc bằng
không và là đại lượng vô hướng.
Đơn vị của động năng là Jun (J).
c. Định lí động năng:
Mối liên hệ giữa công và động năng được thể hiện bằng định lí động năng.
Xét một chất điểm chuyển động với vận tốc
v
r

trên một đường cong từ C đến D. Công
của lực
F
ur
trong dịch chuyển của chất điểm được tính bằng biểu thức:
D
CD
C
A Fds=
∫
ur
19
o
x
Trong đó lực
F
ur
bằng:
( )
d mv
F
dt
=
r
ur
Chú ý
.d s v dt=
r r
Khi đó biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:
2

( ). ( )
2
d mv
Fds mv vdv vd mv d
dt
 
= = =
 ÷
 ÷
 
uur
ur r r r r r
Thay biểu thức này vào biểu thức công A ta có:
222
2
2
2
C
D
D
C
CD
mv
mv
mv
dA −=









=
∫
Trong đó: T
C
=
2
1
mv
c
2
và T
D
=
2
1
mv
D
2
là động năng của chất điểm ở vị trí C và D.
Hay: A = ΔT
Như vậy, độ biến thiên động năng của chất điểm trên một chuyển dời nào đó bằng
công của lực tác dụng lên chất điểm trên chuyển dời đó.
4. Bảo toàn năng lượng tổng quát:
Đối với hệ cô lập khi có ma sát thì có sự giảm cơ năng của hệ. Năng lượng nhiệt là
một dạng của nội năng, sự thay đổi của nó được kí hiệu là: ΔE
n

Định luật bảo toàn cho hệ cô lập: ΔU + ΔT + ΔE
n
= 0
Tức là trong hệ cô lập, năng lượng có thể chuyển đổi từ dạng này sang dạng khác
nhưng năng lượng toàn phần của hệ thì không đổi.
5. Thế năng đàn hồi của lò xo:
Theo hình vẽ, đầu của lò xo ở tại điểm x = 0. Chọn thế năng của vật gắn ở đầu tự do của
lò xo tại điểm đó bằng 0. U(x
0
=0) = 0. Ta giả thiết rằng ngoài lực đàn hồi của lò xo
không còn một lực nào khác tác dụng lên vật. Công mà lực đàn hồi lò xo thực hiện được
khi ta kéo vật từ điểm x = 0 đến điểm x = x
max
là:
A =
2
max
0 0
max max
2
1
.).( kxdxxkdxxF
x x
∫ ∫
−=−=
Công mà lực của tay ta thực hiện có dấu ngược lại, nếu ta kí hiệu công là A
ng
thì:
A
ng

=
2
max
2
1
kx+
20
Như vậy vật nhận thêm được năng lượng
2
2
max
kx
khi ta kéo vật bị gắn vào đầu tự do ra
khỏi vị trí cân bằng một khoảng x
max
. Nếu tại đây ta thả vật thì lực đàn hồi tác dụng vào
vật làm tăng vận tốc của nó. Khi trở về vị trí cân bằng x = 0 vật có vận tốc v
0
và động
năng
2
2
0
mv
. Năng lượng dự trữ mà vật nhận được ở vị trí x
max
chuyển thành động năng
2
2
0

mv
. Ta nói vật gắn ở lò xo khi lò xo bị kéo dản một đoạn x
max
có thế năng là:
U =
2
max
2
1
kx
Tóm lại: nếu lò xo bị kéo căng hay nén với độ biến dạng x thì thế năng đàn hồi của vật
gắn ở đầu tự do là:
U =
2
max
2
1
kx
NỘI DUNG ÔN THI TỐT NGHIỆP
HỌC PHẦN ĐIỆN HỌC 1
21
CHƯƠNG I. TĨNH ĐIỆN HỌC
BÀI 1: TƯƠNG TÁC GIỮA CÁC ĐIỆN TÍCH. ĐỊNH LUẬT
CULÔNG. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐIỆN TÍCH.
THUYẾT ELECTRON.
1. Định luật Culông trong chân không:
Lực tương tác giữa hai điện tích điểm, đứng yên tương đối với nhau, tỉ lệ với tích độ
lớn của hai điện tích và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Lực
tương tác có phương nằm trên đường thẳng vạch qua hai điện tích, là lực đẩy nếu hai
điện tích cùng loại, là lực hút nếu hai điện tích khác loại:

F = F
12
= F
21
=
2
21
r
qq
k
Trong đó: k là hệ tỉ lệ phụ thuộc vào việc chọn đơn vị của các đại lượng.
Biểu thức của định luật Culông trong môi trường có dạng:
F =
2
21
0
r
qq
επε4
1
2. Định luật bảo toàn điện tích:
Đối với một hệ cô lập, tổng đại số điện tích của hệ luôn luôn không thay đổi:
∑
=1i
i
q
= const
3. Thuyết electron:
Electrôn tham gia vào cấu tạo nguyên tử của tất cả các vật thể. Vật lý học hiện đại đã
khẳng định rằng: các vật thể được cấu tạo nên từ các phân tử, các phân tử hợp lại thành

từ những nguyên tử.
Nguyên tử của mọi nguyên tố đều cấu tạo từ hạt nhân và các electrôn chuyển động
xung quanh hạt nhân. hạt nhân tích điện dương và mang hầu hết khối lượng của nguyên
tử. Điện tích của hạt nhân có độ lớn bằng giá trị tuyệt đối cảu tổng các điện tích âm của
các electrôn trong nguyên tử. Vì vậy, ở trạng thái bình thường nguyên tử trung hoà về
điện. Nếu nguyên tử mất bớt một hay vài electrôn nó sẽ mang điện dương và trở thành
iôn dương. Nếu nguyên tử nhận thêm electrôn, nó sẽ tích điện âm và trở thành iôn âm.
Quá trình nhiễm điện của các vật thể chính là quá trình các vật thể ấy nhận thêm hay
mất bớt đi một số electrôn hay iôn. Thuyết giải thích tính chất điện khác nhau của các
vật thể dựa trên việc nghiên cứu electrôn và chuyển động của chúng gọi là thuyết
electrôn.
Như vậy điện tích q của vật bất kì mang điện bao giờ cũng là một số nguyên lần của
điện tích nguyên tố e:
q
= Ne
Điều đó có nghĩa là điện tích của một vật chỉ có thể có các giá trị rời rạc, gián đoạn,
chớ không thể có bất kì giá trị nào. Vì lẽ đó người ta nói rằng, điện tích bị lượng tử hoá.
22
BÀI 2: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH
1. Khái niệm điện trường. Vectơ cường độ điện trường:
a. Khái niệm điện trường:
Trong không gian bao quanh điện tích có tồn tại một dạng vật chất mới, gọi là điện
trường. Một tính chất cơ bản của điện trường là nó có tác dụng lực điện lên mọi điện
tích đặt trong nó. Ở đây ta xét điện trường của điện tích đứng yên gọi là trường tĩnh điện
(hay điện trường tĩnh).
b. Vectơ cường độ điện trường:
Giả sử tại một điểm M nào đó trong điện trường người ta đặt một điện tích thử dương
q
o
, đó là một điện tích có giá trị đủ nhỏ để nó không làm thay đổi điện trường mà ta

đang xét. Điện tích q
o
sẽ bị điện trường tác dụng một lực
F

. Thực nghiệm chứng tỏ
thương số
0
q
F

không phụ thuộc vào điện tích thử q
o
mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm
M trong điện trường. Như vậy có nghĩa là, tại mỗi điểm xác định trong điện trường,
0
q
F
E


=
là một vectơ xác định. Do đó, ta có thể dùng vectơ đó để đặc trưng cho điện
trường về mặt tác dụng lực, tại điểm đang xét. Người ta gọi vectơ
0
q
F
E



=
(*) là vectơ
cường độ điện trường và độ lớn E của nó được gọi là cường độ điện trường.
Trong biểu thức (*) nếu đặt q
o
=+1 thì
FE

=
, nghĩa là: Vectơ cường độ điện trường tại
một điểm là một đại lượng vectơ có trị số bằng lực tác dụng của điện trường lên một
đơn vị điện tích dương đặt tại điểm đó. Trong hệ đơn vị SI, đơn vị của cường độ điện
trường là vôn trên mét, kí hiệu bằng
m
V
.
2. Vectơ cường độ điện trường do hệ điện tích điểm gây ra:
a) Nguyên lí chồng chất điện trường:
Khi có nhiều điện tích điểm q
1
,

q
2
, ,

q
n
thì mỗi điện tích gây ra một điện trường E
1

,
E
2
, ,

E
n
. Vectơ cường độ điện trường E do hệ điện tích đó gây ra

là:

∑
=
=
n
i
i
EE
1

(*)
Công thức (*) biểu thị nguyên lí chồng chất điện trường:
Vectơ cường độ điện trường gây ra bới một hệ điện tích điểm bằng tổng các vectơ
cường độ điện trườngthành phần gây ra bởi từng điện tích điểm của hệ.
b) Điện trường gây ra bởi vật mang điện:
Để xác định vectơ cường độ điện trường do vật mang điện có kích thước bất kì gây ra
tại 1 điểm M, ta có thể áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường. Ta tưởng tượng chia
vật mang điện thành nhiều phần rất nhỏ, sao cho điện tích dq của mỗi phần đó có thể coi
là điện tích điểm, và do đó 1 vật mang điện bất kì có thể coi như 1 hệ điện tích điểm.
Gọi

r
bán kính vectơ hướng từ dq tới điểm M cách dq một khoảng r và d
E
là vectơ
23
cường độ điện trường gây ra bởi dq tại M. Theo
2
1
4
o o
F q r
E
q r r
πε ε
= =
r
r
r
và
∑
=
=
n
i
i
EE
1

, vectơ
cường độ điện trường do vật mang điện gây ra tại M là:

E
=
∫
toanbo
Ed
=
r
r
r
dq
toanbo
2
0
4
1
ε
πε
∫
Ở đây ta đã thay dấu
∑
bằng dấu tích phân , thay
i
E
bằng d
E
và phép tính tích phân
được thực hiện với toàn bộ vật mang điện.
c) Thí dụ tính cường độ điện trường:
Xác định vectơ cường độ điện trường gây ra bởi đường tròn bán kính R tích điện đều

với điện tích q (q > 0) tại điểm M nằm trên trục của đường tròn, cách tâm một khoảng
cách d.
Xét một đoạn cung ds rất nhỏ của vòng tròn, đoạn cung này mang điện tích dq=
ds
λ
,
với
λ
là mật độ điện dài của vòng tròn
2
q
R
λ
π
=
, đoạn cung này coi như một điện tích
điểm, gây ra vectơ cường độ điện trường
1
d E
uur
tại M. Điện tích điểm
'
ds
λ
đối xứng với
ds
λ
gây ra tại M vectơ cường độ điện trường
2
d E

uur
và dE
2
=dE
1
. Vecto cường độ điện
trường
E
ur
gây ra bởi toàn bộ vòng tròn có phương là trục OM, có chiều hướng ra xa tâm
O và có độ lớn bằng:
2 2 3 3 3
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( )
1 1
os 2
4 4 4 4 2 4
C C C
ds ds d d d d qd
E c ds R
r r r r r R r
λ λ
α λ π
πεε πεε πεε πεε π πεε
= = = = =
∫ ∫ ∫
Vì r
2
=R
2

+ d
2
nên cuối cùng ta được:
3
2 2
2
0
4 ( )
qd
E
R d
πε ε
=
+
Với một điểm M ở xa vòng tròn d >> R thì:
2
0
4
q
E
d
πε ε
=
Khi đó vòng tròn coi như điện tích điểm.
BÀI 3. ĐIỆN THẾ - HIỆU ĐIỆN THẾ
24
1. Công của lực tĩnh điện:
Điện trường E do một điện tích Q đặt tại điểm O gây ra (như hình vẽ) và điện tích q
dịch chuyển trong điện trường đó từ A đến B (kí hiệu OA=r
A

; OB=r
B
). Công nguyên tố
bằng:






−===








=Ε==
r
d
qQ
ld
r
qQ
dl
r
qQ
ld

r
rQ
qldqldFdA
1
.
4
.
4
cos.
4
4

0
2
0
2
0
3
0
επε
επε
α
επε
επε







Trong đó
α
là góc giữa
Ε

và
ld

, và dr=dlcos
α
=MH là hình chiếu của vectơ dịch
chuyển
ld

lên phương vectơ bán kính
r

(r là khoảng cách từ điện tích Q đến điểm M
trên đường dịch chuyển L). Công của lực điện trường khi q dịch chuyển từ A đến B là:
A
AB
=









−=






−=Ε=
∫∫∫
BA
r
rLL
rr
qQ
r
d
qQ
ldqdA
B
A
11
4
1
.
4

00
επεεπε



Hay A
AB
= q








−
BA
r
Q
r
Q
επεεπε
00
44
2. Tính chất thế của trường tĩnh điện:
Công của lực điện trường tĩnh khi dịch chuyển điện tích q theo một đường cong bất kì
chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối đường đi, mà không phụ thuộc vào hình
dạng đường đi. Kết quả đó chứng tỏ điện trường tĩnh là trường thế, giống như trường
hấp dẫn.
3. Điện thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm:
Từ các công thức: W
B =
C
r

qQ
B
+
επε
0
4
(1)

; W
=
C
r
qQ
+
επε
0
4
(2)

và W
=
r
qQ
επε
0
4
(3)

ta thấy
thương số

q
W
không phụ thuộc vào độ lớn của điện tích q mà chỉ phụ thuộc vào các điện
tích gây ra điện trương và vào vị trí của điểm đang xét trong điện trường. Vì vậy ta có
thể dùng thương số đó để đặc trưng cho điện trường tại điểm đang xét, gọi thương số V
=
q
W
(4) là điện thế của điện trường tại điểm đang xét.
Từ (3) và (4) ta có thể suy ra công thức tính điện thế của điện trường gây ra bởi 1 điện
tích điểm Q tại 1 điểm cách Q một khoảng r:
V =
r
Q
επε
0
4
25
O
Q
A
r
A
r
r + d
r
B
r
B
L

M
’
M
H
F
ur
dl
uur
α