Đạo hàm, vi phân và ứng dụng của đạo hàm pot

Lecture
4
Lecture

4
Nguyen Van Thuy
À
Â
Đ
Ạ
O H
À
M, VI PH
Â
N
Ứng dụng của đạo hàm
R
e
vi
e
w
ee

Đ
ị
nh
nghĩ
a
.
Đ
ạ

o
hà
m
củ
a
hà
m
s
ố
f
tạ
i
a
,
ký
hi
ệ
u
Đ
ị
nh

nghĩ
a
.
Đ
ạ
o
hà
m

củ
a
hà
m
s
ố
f
tạ
i
a
,
ký
hi
ệ
u

f’(a), được xác định bởi
0
()()
'( ) lim
h
f
ah fa
fa
h
→
+
−
=
nếu giới hạn đó tồn tại

0
h
h
→
 Phươn
g
trình ti
ế
ptuy
ế
n của đườn
g
con
g
(C):
y
=f
(
x
)
t
ạ
i
đ
i
ể
mP
(a,
f
(a))

y
(
)
ạ
đ
(a, (a))
y = f’(a)(x-a) + f(a)
12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-2
R
e
vi
e
w
ee

Cá
ccôngth
ứ
c đ
ạ
o
hà
mcơ
bả
n
Cá
c

công

th
ứ
c

đ
ạ
o

hà
m

cơ

bả
n
1
'
()
'',
()
'',
(
ln
)
'
uu
u
uuueeuu
αα
α

−
===
() () ( )
(sin )' 'cos , (cos )' 'sin
u
uu u u uu==−
22
(tan )' '(1 tan ),(cot )' '(1 cot )
''
uu u u u u
uu
=+ =−+
22
(arcsin )' ,(arccos )'
11
uu
uu
uu
=
=−
−−
22
''
(arctan )' ,(arccot )'
11
uu
uu
uu
==−
++

12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-3
11
uu
++
R
e
vi
e
w
ee

() ( 1)
''
(
'
)
'
,
'''
(
''
)
'
,

,()
'
nn
yyyy y y
−

=
==
 Công thức
(), (),, ( )
yyyy y y
()
1
1(1)!
()
n
n
n
n
xa xa
+
−
⎛⎞
=
⎜⎟
++
⎝⎠
()
()
ax n n ax
eae=
()
(sin ) sin
2
nn
ax a ax n

π
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
()
(cos ) cos
2
nn
ax a ax n
π
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
2
⎝⎠
2
⎜⎟
⎝⎠
Công thức Leibniz
() () ( ) (0)
0
!
() , ,
!
()
!
n
nkknk k

nn
k
n
fg C f g f f C
knk
−
=
===
−
∑
12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-4
0
()
k
=
Ư
́
n
g

dụ
n
g
kh
ả
o

sá
t
h

à
m
s
ố
Ư
g
dụ
g
ả
o
sá
t
à
s
ố

Tì
mti
ệ
mc
ậ
n
Tì
m

ti
ệ
m

c

ậ
n
 Tìm khoảng tăng, giảm

T
ìm c
ự
c trị

Tí
nh l
ồ
i
lõ
m
đi
ể
mu
ố
n

Tí
nh

l
ồ
i

lõ
m

,
đi
ể
m

u
ố
n
 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến
12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-5
Quy

t
ắ
c
L’H
osp
i
ta
l
Quy t
ắ
cospta

Đ
ị
nh
lý
.
N

ế
u
có
dạ
ng
khi
x
→
a
và
t
ồ
n
tạ
i
()fx
0
,
∞
Đ
ị
nh

lý
.
N
ế
u

có

dạ
ng
khi
x
→
a
và
t
ồ
n
tạ
i
()gx
,
0
∞
'
()
fx
()
'
()
fx f x
thì
()
lim
'( )
xa
fx
gx

→
() ()
lim lim
() '()
xa xa
fx f x
g
x
g
x
→→
=
 Chú ý. Quá trình x→a có thể thay bởix→a
+
,x→a
-
,
x→∞,x→-
∞

Ví
dụ

Ví
dụ
.
32
0000
sin 0 1 cos 0 sin 0 cos 1
lim lim lim lim

0306066
xxxx
xx x x x
xxx
→→→→
−−
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
=
===
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-6
0000
0306066
xxxx
xxx
→→→→
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
Quy

t
ắ
c
L’H
osp
i
ta
l
Quy t
ắ

cospta

Ví dụ
.
Ví

dụ
.
3
0
arctan 0
)lim
0
x
xx
aL
x
→
−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
2
ln
)lim
x
x
bL
x

→∞
∞
⎛⎞
=
⎜⎟
∞
⎝⎠
0
x
⎝⎠
x
⎝⎠
(
)
1
)lim
x
cL
⎛⎞
=
−
∞
−
∞
⎜⎟
)lim(.0)
x
dL xe
=
∞

(
)
1
)lim
1ln
x
cL
xx
→
=∞∞
⎜⎟
−
⎝⎠
)lim(.0)
x
dL xe
→−∞
0
)li (0)
x
f
1/(2 2)
1
)lim (1)
x
x
eL x
−
∞
→

=
0
0
)li
m
(0 )
x
x
f
Lx
+
→
=
1/ 0
)lim( )()
xx
x
gL x e
→∞
=
+∞
12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-7
Đ
a

t
h
ứ
c
T

ay
l
or
at
ứ
cayo

Bà
i
toá
n
Tì
m đath
ứ
cP
(
x
)
b
ậ
c ≤nsaocho

Bà
i

toá
n
.
Tì
m

đa

th
ứ
c

P
(
x
)

b
ậ
c

≤n

sao

cho
f’(0)=P’(0)
f’’(0)=P’’(0)
…
f
(n)
(0)=P
(n)
(0)
 Kết quả

()
2
'(0) ''(0) (0)
() (0)
n
n
ff f
Px f x x x
=+ + ++
()
() (0)
1! 2! !
(
0
)
k
n
k
Px f x x x
n
f
=+ + ++
∑
"
12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-8
0
()
!
k
k

f
x
k
=
=
∑
Đ
a

t
h
ứ
c
T
ay
l
or
at
ứ
cayo

Bà
i
toá
n.
Tì
m đath
ứ
cP
(

x
)
b
ậ
c ≤nsaocho

Bà
i

toá
n.

Tì
m

đa

th
ứ
c

P
(
x
)

b
ậ
c

≤n

sao

cho
f’(a)=P’(a)
f’’( ) P’’( )
f’’(
a
)
=
P’’(
a
)
…
f
(n)
(a)=P
(n)
(a)

K
ế
t
quả

K
ế
t

quả
()
2
'( ) ''( ) ( )
()() () () ()
n
n
fa fa f a
Px fa xa xa xa
=+ + ++
()
()() () () ()
1! 2! !
()
()
k
n
k
Px fa xa xa xa
n
f
a
=+
−
+
−
++
−
∑
"

12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-9
0
()
()
!
k
k
f
x
a
k
=
=
−
∑
Đ
a

t
h
ứ
c
T
ay
l
or
at
ứ
cayo


Ví dụ
Vi
ế
t đath
ứ
csaud
ướ
i
dạ
ng đath
ứ
c

Ví

dụ
.
Vi
ế
t

đa

th
ứ
c

sau

d

ướ
i

dạ
ng

đa

th
ứ
c

theo x-1
432
()
37
f
xx xx
=
−++

Ví dụ
Tì
m đath
ứ
cTaylorc
ấ
p
3
củ

a
hà
m
()
f

Ví

dụ
.
Tì
m

đa

th
ứ
c

Taylor

c
ấ
p

3

củ
a

hà
m

sau tại x=1
( ) arctan
f
xx
=
12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-10
Kh
a
i
t
ri
ể
n T
ay
l
or
at
ể
ay o

X
ấ
p
xỉ hà
mf
(
x

)
b
ở
i
1
đath
ứ
ctheo(x
-
a)
X
ấ
p

xỉ

hà
m

f
(
x
)

b
ở
i

1
đa

th
ứ
c

theo

(x
a)
()
2
()
'( ) ''( ) ( )
()() () () ()
1! 2! !
n
n
n
fa fa f a
fx f Rxaxaxa xa
n
=+ −+ −++ −+"
()
()
1! 2! !
()
()
!
n
k

n
k
Rx
n
fa
xa
k
=−+
∑
(1)
1
0
()
() ( )
(1)!
!
(),(,)
n
n
n
k
fc
Rx xa
k
Lagrange c x a
=
+
+
∈=−
+

(1)!
() (( ))
()
(),.lim 0
()
n
n
n
n
n
Rx O
Rx
Peanox iea =
+
=−
()
n
x
a
n
x
a
→
−
12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-11
Kh
a
i
t
ri

ể
n M
ac
l
au
rin
at
ể
ac au

X
ấ
p
xỉ hà
mf
(
x
)
b
ở
i
1
đath
ứ
ctheox
X
ấ
p

xỉ

hà
m

f
(
x
)

b
ở
i

1
đa

th
ứ
c

theo

x
()
2
()
'(0) ''(0) (0)
() (0)
n
n

Rx
ff f
fx f x x x
=+ + ++ +
"
()
()
()
() (0)
1! 2! !
(
0
)
n
k
n
k
Rx
R
fx f x x x
n
f
=+ + ++ +
+
∑
(
1
0
)
()

()
()
!
n
n
k
k
R
x
fc
f
x
k
+
=
=+
∑
(
)
1
()
() (),(,0)
(1)!
n
n
fc
Rx x
n
Lagrange c x
+

∈
=
+
0
()
(),.lim 0() ( )
n
n
n
n
x
Rx O
R
x
Peano i e
x
x
→
==
12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-12
Cá
c
kh
a
i
t
ri
ể
n M
ac

l
au
rin
cơ

bả
n
Cá
cat
ể
ac au cơ
bả
35 21
12
sin ( 1) ( )
n
nn
xx x
xx Ox
−
+
=−
+
−
+
−
+
"
24 2
21

sin ( 1) ( )
3! 5! (2 1)!
cos 1 ( 1) ( )
n
nn
xx Ox
n
xx x
xOx
+
++ +
−
=+ + +
23
cos 1 ( 1) ( )
2! 4! (2 )!
1
1()
nn
xOx
n
O
=
−
+
−
+
−
+
"

23
23
1
1()
1
l( ) ( ) ( )
nn
n
nn
xx x x
O
x
x
xx x
+
=+ + + + + +
−
"
1
23
l
n
(
1
)(
1
)()
23
nn
n

xx x
xx Ox
n
xx x x
+
+=− +−+− +"
357
1()
1! 2! 3! !
x
n
xx x x
eOx
n
xxx
=
++ + ++ +"
21n
x
−
12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-13
arctan
357
xxx
xx=− + − +
1
(1) ( )
21
nn
x

Ox
n
+
+
−+
−
"
Á
p

dụ
n
g
kh
a
i
t
ri
ể
n
cơ

bả
n
p
dụ
gat
ể
cơ
bả


Ví dụ
.
Vi
ế
tkhaitri
ể
n Maclaurin
củ
a
hà
ms
ố
sau
Ví

dụ
.

Vi
ế
t

khai

tri
ể
n

Maclaurin

củ
a

hà
m

s
ố

sau

đến cấp 3

sin
()
x
fx
=
()
1
fx
x−

( ) arctan
x
f
xe x=
12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-14