Phân tích các đề về phương trình lượng giác của đề thi đại học từ năm 2003 đến 2010 các ban A.B.D ppsx

www.saosangsong.com.vn
1

Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Nghóa










PHÂN TÍCH CÁC ĐỀ
Phương trình
lượng giác



trong đề thi ĐH 2003-2010
các ban A-B-D



www.saosangsong.com.vn


www.saosangsong.com.vn

2
LTĐH : Chun đề PT LƯỢNG GIÁC

.CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1 .Công thức cộng 2. Công thức nhân đôi


22 2
2
sin 2 2sin .cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2tan
tan 2
1tan
aaa
aaa a
a
a
a
2
a
=
=−= −=−
=
−


cos( ) cos . sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
tan tan

tan( )
1 tan . tan
ab acosb a b
ab a b b a
ab
ab
ab
±=
±= ±
±
±=
∓
∓


Công thức nhân ba Công thứ hạ bậc


3
3
sin 3 3sin 4sin
cos 3 4 cos 3cos
aa
aa
=−
=−
a
a

22
33
1cos2 1cos2
cos ; sin
22
3cos cos3 3sin sin3
cos ; sin
44
aa
aa
aa aa
aa
+−
==
+−
==

Áp dụng:
sin x cos x 2.sin(x / 4) ; sin x cos x 2.sin(x / 4)+= +π −= −π

sin x 3 cos x 2.sin(x / 3) ; 3 sin x cos x 2.sin(x / 6)± = ±π ± = ±π

sin
4
x + cos
4
x = 1 – 2sin
2
xcos
2

x = 1 -
2
1
sin 2x
2
; sin
6
x + cos
6
x = 1 – 3sin
2
xcos
2
x = 1 -
2
1
sin 2x
3


ính sinx ; cosx ; tanx theo t = tan(x/2) 4 .Công thức biến đổi tích thành tổng
3. Công th
ức t

[]
[]
[]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2

1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
ab ab ab
ab ab ab
ab ab ab
=++−
=++−
=−−+










2
2
2
2
2
sin ( tan )
12
1

cos
1
2
tan
1
tx
xt
t
t
x
t
t
x
t
==
+
−
=
+
=
−

5 .Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
22
cos cos 2sin sin
22
sin sin 2sin cos
22
sin sin 2cos sin

22
+
−
+=
+
−
−=−
+
−
+=
+−
−=
ab ab
ab
ab ab
ab
ab ab
ab
ab ab
ab

Phương pháp:
Sử dụng cơng thức lượng giác để thực hiện các phép biến đổ nhằm đưa phương trình về một trong các
dạng sau:


www.saosangsong.com.vn
3
Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản :
2
sin sin
2
2
cos cos
2
tan tan ( )
2
cot cot ( )
π
ππ
π
π
π
π
π
ππ
=+
⎡
=⇔
⎢
=−+

⎣
=+
⎡
=⇔
⎢
=− +
⎣
=⇔=+ ≠+
=⇔=+ ≠
XAk
XA
XAk
XAk
XA
XAk
X
AXAkA m
XAXAkAm

Đặc biệt:

•
sin 0 ;
sin 1 2 ; sin 1 2
22
π
ππ
π
π
=⇔ =

=⇔ = + =−⇔ =− +
XXk
XXk X X k

•
cos 0 ;
2
cos 1 2 ; cos 1 2
=⇔ = +
=⇔ = =−⇔ = +
XXk
XXk X Xk
π
π
π
ππ

Dạng 2 . Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
at
2
+ bt + c = 0 với t là một ẩn số phụ lượng giác như t = sinx , t = cosx (|t| ≤ 1), t = tanx . . .
• Giải để tìm t .
• Suy ra x
Trong dạng 2 này, ta có các tiểu dạng chuẩn sau:
2.1. . acosx + bsinx = c
Cách giải 1:Chia hai vế cho
22
ab+ và tìm góc
α
thỏa

22 22
ab
cos ; sin
ab ab
αα
==
++
, phương trình thành
:
22
c
cos(x )
ab
α
+=
+

• Nếu
22
abc+≥
2
(điều kiện có nghiệm ):
Gọi
β
là góc thỏa:
22
c
cos
ab
=

+
β
cos(x ) cos
, ta được :
α
β
=

+
Cách giải 2 :
• x =
k.2
π
π
+ là nghiệm nếu - a + c = 0
• x
≠
k.2
π
π
+ : Đặt t = tan(x/2), thế sinx =
2
2
2t 1 t
,cosx
1t 1t
2
−
=
+

+
, ta được phương trình bậc 2 theo t.
Tìm t, suy ra nghiệm x.
2.2. . asin
2
x + bsinx cosx + ccos
2
x + d = 0 .
Cách giải :
• x =
/
2k.
π
+ là nghiệm nếu a + d = 0.
π
• x
≠
/
2k.
π
π
+ : Chia hai vế cho cos
2
x 0, ta được một phương trình bậc hai theo t = tan x. Giải để tìm t ,
suy ra x.
≠
2.3 . asinxcosx + b(sinx cosx) + c = 0
±
• Đặt t = sinx cosx =
±

π
±2sin(x /4)
=> |t| 2≤
Và thế sinxcosx =
2
t1
2
−
±
, ta được PT bậc 2 theo t. Giải để tìm t thỏa |t| 2≤ . Suy ra nghiệm x.



www.saosangsong.com.vn
4
Dạng 3. PT lượng giác dạng tích số.
• Biến đổi PT về dạng f(x). g(x) = 0
• PT Ù f(x) = 0 hay g(x) = 0


Các ví dụ về dạng 1:
D2009. GPT : 3 cos5x – 2sin3xcos2x – sinx = 0 (1)
Giải
(1) Ù
3 cos5x – (sin5x + sinx) – sinx = 0 (cơng thức biến tích thành tổng)
Ù 3 cos5x – sin5x = 2sinx Ù
31
cos5 sin 5 sin
22
x

xx−=

Ù
sin cos5 cos sin 5 sin
33
x
xx
π
π
−=
Ù
sin 5 sin
3
x
x
π
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠
: Dạng 1
Ghi chú: Biểu thức 3 cos5x – sin5x thuộc dạng tổng qt 3 cosa – sina . . . rất thơng dụng, cần
nhớ (xem cơng thức ở trang đầu)
B2009. GPT : sinx + cosxsin2x + 3 cos3x = 2(cos4x + sin
3
x) (1)
Giải
(1) Ù (sinx – 2sin
3
x) + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x

Ù sinx(1 – 2sin
2
x) + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x
cos3x = 2cos4x (Thay 1 – 2sin
2
x = cos2x) Ù (sinxcos2x + cosxsin2x) + 3
Ù (sin3x) + 3 cos3x = 2cos4x (cơng thức cộng)
Lại gặp biểu thức quen thuộc: sina +
3 cosa. Giải tiếp . . .
Các ví dụ về dạng 2
A2006. GPT:
66
2(cos sin ) sin cos
0
22sin
xxxx
x
+−
=
−
(1)

k
=
0, 2, 4

2n
k
=
1

,
3, 5

2n
+
1
Giải
2
ĐK: sinx ≠
/ 2 (2)
Thay sinx cosx = ½ . sin2x và cos
6
x + sin
6
x

= 1 – 3sin
2
xcos
2
x
= 1 – (¾) sin
2
2x
(1) Ù 2 – 3/2. sin
2
2x - ½ . sin2x = 0 Ù 3sin
2
2x + sin2x – 4
= 0 (Dạng bậc 2 theo t = sin2x với |t| ≤ 1)

Ù sin2x = 1 Ù x = π/4 + kπ


www.saosangsong.com.vn
5
Xét (2) : sin(π/4 + kπ) ≠
2
/ 2
Nhận xét : sin(π/4 + kπ) =
sin / 4 2 / 2 2
sin(5 / 4) 2 / 2 2 1
khi k n
khi k n
π
π
⎧
==
⎪
⎨
=
−=
⎪
⎩
+
; do đó phương trình có nghiệm x =
5π/4 + 2nπ (n
Z
∈ )
Ghi chú: Ta có thể giải điều kiện theo cách sau:
sinx ≠

2
/2 Ù x ≠ π/4 + n.2π hay x ≠ 3π/4 + n.2π
Do đó (2) Ù π/4 + kπ ≠ π/4 + n.2π và π/4 + k.π ≠ 3π/4 + n.2π
Ù k ≠ 2n và k ≠ ½ + 2n
Ù k ≠ 2n vì điều kiện k ≠ ½ + 2n thỏa với mọi n, mọi k vì chúng nguyên,
Ù k = 2n + 1 .
Cách giải nào tốt hơn còn tùy điều kiện và nghiệm.
B2003. GPT: cotx – tanx + 4sin2x =
2
sin 2
x

Giải
Chú ý cách biến đổi biểu thức cotx – tanx :
cotx – tanx =
22
cos sin cos sin 2 cos 2
(2cot2)
sin cos sin cos sin 2
xx x x x
xx xx x
−
−= = =
x

Phương trình thành:
2cos2 2
4sin2
sin 2 sin 2
x

x
x
+=

x
Đk: sin2x ≠ 0
Phương trình thành: cos2x + 2sin
2
2x = 1 Ù cos2x + 2(1 - cos
2
2x) = 1
Ù 2cos
2
2x – cos2x – 1 = 0 (PT bậc 2 theo t = cos2x)
Ù cos2x = 1 hay cos2x = - ½.
Nhận xét rằng cos2x = 1 => sin2x = 0 do đó giá trị này bị loại . Còn cos2x = – ½ => sin2x ≠ 0 nên
nhận.
Cuối cùng ta được : 2x =
2
.2
33
kxk
π
π
π
π
±+ <=>=±+

Nhận xét : Thêm một cách giải điều kiện bằng giá trị của hàm số liên quan

Đôi khi phương trình có thể đưa về dạng bậc 3 theo một ẩn số phụ, như bài sau:

GPT: cos
2
x + 2sin(4x/3 + π/2) = 3

Giải:
Phương trình tương đương với :
1cos2
2cos(4 /3) 3
2
x
x
+
+
=

Ù cos2x + 4cos(4x/3) – 5 = 0
Nhận xér rằng 4x/3 = 2. (2x/3) còn 2x = 3.(2x/3), do đó thay:
• cos(4x/3) = 2cos
2
(2x/3) – 1 (CT nhân 2) và
• cos2x = 4cos
3
(2x/3) – 3cos(2x/3) (CT nhân 3)


www.saosangsong.com.vn
6
ta được phương trình bậc 3 theo cos(2x/3):

[4cos
3
(2x/3) – 3cos(2x/3)] + 4[2cos
2
(2x/3) – 1] – 5 = 0
Ù 4cos
3
(2x/3) + 8cos
2
(2x/3) – 3cos(2x/3) – 9 = 0
Đặt t = cos(2x/3); |t| ≤ 1: 4t
3
+ 8t
2
– 3t – 9 = 0
Ù t = 1, t = - 3/2 (loại)
Ù cos2x = 1
Ù x = kπ.

Các ví dụ về dạng 3 (dạng tích số).
Sử dụng các kỹ thuật đại số phân tích ra nhân tử một biểu thức, trong đó phép đặt nhân tử
chung, nhóm các số hạng, dùng các hằng đẳng thức . Các công thức sau thường được sử dụng:
• cos2x = cos
2
x – sin
2
x = (cosx + sinx)(cosx –sinx)
• 1 + sin2x = (sinx + cosx)
2

• sin
2
x = (1 + cosx)( - cosx)
. . .
B2007 GPT: 2sin
2
2x + sin7x – 1 = sinx
Giải
Phương trình tương đương với – cos4x) + (sin7x – sinx) = 0
Ù - cos4x + 2cos4xsin3x = 0
Ù cos4x(2sin3x – 1) = 0 Ù . . .
cos 4 0
sin 3 1/ 2
x
x
=
⎡
⎢
=
⎣
D2003 GPT: sin
2
(x/2 - π/4).tan
2
x – cos
2(
x/2) = 0
Giải
Thay : sin
2

(x/2 - π/4) =
22
22
22
1 cos( / 2) 1 sin sin 1 cos 1 cos
;tan ;cos( /2)
22 cos1sin 2
x
xxx x
xx
xx
π
−− − − +
=== =
−
, ta được :
2
2
1sin 1cos 1cos
.0
21sin 2
xxx
x
−− +
−=
−
1±

Đk: sinx ≠
Đơn giản, khử mẫu, ta được : (1 – cos

2
x) – (1 + cosx)(1 + sinx) = 0
Ù (1 + cosx)(1 – cosx – 1 – sinx) = 0
Ù (1 + cosx)(cosx + sinx) = 0 Ù
cos 1
2sin( /4) 0
x
x
π
=−
⎡
⎢
+
=
⎣
Ù
(2 1)
/4
xk
x
k
π
π
π
=+
⎡
⎢
=− +
⎣

Cả hai giá trị này đều thoả điều kiện nên là nghiệm của phương trình .


www.saosangsong.com.vn
7
D10 GPT: sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0
Giải
Thay sin2x = 2sinxcosx; cos2x = 1 – 2sin
2
x, ta được :
2sinxcosx – (1 – 2sin
2
x) + 3sinx – cosx – 1 = 0
Ù cosx(2sinx – 1) + (2sin
2
x + 3sinx – 2) = 0
Chú ý biểu thức (2sin
2
x + 3sinx – 2) là tam thức bậc 2 theo sinx, tương tự như 2x
2
+ 3x – 2 , ta có thể
phân tích chúng dễ dàng bằng bấm nghiệm của phương trình 2x
2
+ 3x – 2 = 0 bằng máy tính, được x1
= - 2 và x2 = ½ , như vậy (2sin
2
x + 3sinx – 2) = (2sinx – 1)(sinx + 2), và phương trình thành:
cosx(2sinx – 1) + (2sinx – 1)(sinx + 2) = 0
Ù (2sinx – 1)(cosx + sinx + 2) = 0 Ù
sin 1/ 2

sin( / 4) 2 ( )
x
x
VN
π
=
⎡
⎢
+=−
⎣
. . .
THỰC TẬP
Giải các phương trình sau:
1. D2008. 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
2. D2007. (sinx/2 + cosx/2)
2
+ 3 cosx = 2
3.D2006. cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0
4.D2005. cos
4
x + sin
4
x + cos(x - π/4)sin(3x - π/4) – 3/2 = 0
5.D2004. (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx
6. B2010. (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0
7. B2008. sin
3
x – 3 cos
3
x = sinxcos

2
x – 3 sin
2
xcosx
8. B2006. cotx + sinx(1 + tanxtan(x/2)) = 4
9. B2005. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
10. B2004. 5sinx – 2 = 3(1 – sinx).tan
2
x
11. A2010.
(1 sin cos 2 )sin( / 4) 1
cos
1tan
2
xxx
π
x
x
++ +
=
+

12. A2009.
(1 2 sin ) cos
3
(1 2 sin )(1 sin )
xx
xx
−
=

+−

13.A2008.
11
4sin(7 /4 )
sin sin( 3 / 2)
x
xx
π
π
+=
−
−
14. A2007. (1 + sin
2
x)cosx + (1 + cos
2
x)sinx = 1 + sin2x
15. A2005. cos
2
3xcos2x – cos
2
x = 0


www.saosangsong.com.vn
8
16. A2003 cotx – 1 =
2
cos 2 1

sin sin 2
1tan 2
x
x
x
x
+−
+

17. CĐ.
sin 4 3 cos 4 3 cos 2 sin 2 (4 cos 1)xx xxx−=+ −

18. cosx + 2sin
2
xcosx + 2 = 3 sin3x + 2(2cos
2
2x + cos
3
x)
.

GIẢI VẮN TẮT
1
. 2sinx(2cos
2
x) + 2sinxcosx = 1 + 2cosx
Ù 2sinxcosx(2cosx + 1) = 1 + 2cosx Ù (2cosx + 1)(2sinxcosx – 1) = 0 . . .
Thay 1 + cos2x = 2cos
2
x: 2sinxcosx(2cosx + 1) – (2cosx + 1) = 0

2. (1 + sinx) + 3 cosx = 2 Ù sinx + 3 cosx = 1
Ù sin(x + π/3) = ½ . . .
3. Thay cos3x = 4cos
3
x – 3cosx, cos2x = 2cos
2
x – 1, ta được phương trình bậc 3 theo cosx . . .
4. Thay cos
4
x + sin
4
x = 1 – 2sin
2
xcos
2
x = 1 – ½ .sin
2
2x , và
cos(x - π/4)sin(3x - π/4) = ½ [sin(4x - π/2) + sin(2x)] (CT sinacosb = ½ [sin(a+b) + sin(a – b)])
= ½ [- cos4x + sin2x]
Ta được : 1 – ½ .sin
2
2x + ½ [- cos4x + sin2x] = 0
Sau đó thay cos4x = 1 – 2sin
2
2x, ta được phương trình bậc 2 theo sin2x . . .
5. Biến đổi vế phải thành 2sinxcosx – sinx = sinx(2cosx – 1)
Ta đưa phương trình về dạng tích : (2cosx – 1)(2sinx + cosx – sinx ) = 0 . . . .
6. Khai triển : sin2xcosx + cos2xcosx + 2cos2x – sinx = 0
Ù sinx(2cos

2
x – 1) + cos2xcosx + 2cos2x = 0
Ù sinxcos2x + cos2xcosx + 2cos2x = 0
Ù cos2x(sinx + cosx + 2) = 0
7. (sin
3
x – sinxcos
2
x) – ( 3 cos
3
x - 3 sin
2
xcosx) = 0
Ù sinx(sin
2
x – cos
2
x) – 3 cosx(cos
2
x – sin
2
x) = 0
Ù (cos
2
x – sin
2
x) ( 3 cosx – sinx ) = 0
Ù cos2x. ( 3 cosx – sinx ) = 0 . . .

www.saosangsong.com.vn
9
8. Biến đổi: 1 + tanxtan(x/2) = 1 =
sin .sin( / 2) cos .cos( / 2) sin sin( / 2) cos
1
cos .cos( / 2) cos .cos( / 2) cos .cos( / 2)
xx x x xx x
xx xx xx
+
+= =
Phương trình tương đương với
cos cos( / 2)
sin .
sin cos .cos( / 2)
xx
x
xx
+
x
= 2
Đk: sinx.cosx ≠ 0
cos sin
4
sin cos
xx
x
x
+=
Ù cos
2

x + sin
2
x = 4sinxcosx
Ù sin2x = ½ Ù x = π/12 + kπ hay x = 5π/12 + kπ (thỏa điều kiện )
9. (1 + cos2x) + (sinx + cosx) + sin2x = 0
Ù 2cos
2
x + (sinx + cosx) + (2sinxcosx) = 0
Ù (2cos
2
x + cosx) + (sinx + 2sinxcosx) = 0
Ù cosx(2cosx + 1) + sinx(1 + 2cosx) = 0
Ù (2cos + 1)(cosx + sinx) = 0
10.
2
2
sin
5sin 2 3(1 sin )
1sin
x
xx
x
−= −
−

Ù
2
sin
5sin 2 3
1sin

x
x
x
−=
+
: phương trình bậc 2 theo sinx với sinx ≠ 1
±

11.
(1 sin cos 2 )( 2 / 2)(sin cos ) 1
cos
cos sin
2
cos
xx xx
xx
x
++ +
=
+
x

Đk : cosx ≠ 0 và sinx + cosx ≠ 0
Đơn giản, qui đồng: 1 + sinx + cos2x = 1 Ù 2sin
2
x – sinx – 1 = 0
sin 1 cos 0 ( )
sin 1/ 2( )
x
x loai

xnhan
==> =
⎡
⎢
=−
⎣

Ù
12. Đk: sinx ≠ - ½; 1
(1 – 2sinx)cosx = 3 (1 + 2sinx)(1 – sinx)
Ù
2
cos 2sin cos 3(1 sin 2sin )
x
xx x x−=+−
Ù cosx – sin2x =
3 cos2x + 3 sinx
Ù cosx – 3 sinx = 3 cos2x + sin2x
Ù 2.cos(x + π/3) = 2. cos(2x - π/6) ) (dạng 1)


www.saosangsong.com.vn
10
13. Thay sin(x - 3π/2) = sin(x + π/2) = cosx và sin(7π/4 – x) = sin(- x - π/4) =
2
.(sin cos )
2
x
x−+
,

phương trình thành :
11
22.(sin cos)
sin cos
x
x
x
x
+= +

Ù (sinx + cosx)(1 – 2
2
sinxcosx) = 0 Đk : sinxcosx ≠ 0
Ù
sin( / 4) 0
2
sin 2
2
x
x
π
+=
⎡
⎢
⎢
=
⎢
⎣
(thỏa điều kiện)
14. Khai triển và nhóm : (cosx + sinx) + sinxcosx(sinx + cosx) = (sinx + cosx)

2

Ù (sinx + cosx)( 1 + sinxcosx – sinx – cosx) = 0
Ù (sinx + cosx)(1 – sinx)(1 – cosx) = 0 (dạng 3)
15. (1 + cos6x)cos2x – (1 + cos2x) = 0 (CT hạ bậc)
Ù cos6xcos2x – 1 = 0 Ù cos8x + cos4x – 2 = 0 (CT biến tích thành tổng)
Ù 2cos
2
4x + cos4x – 3 = 0 (PT bậc 2 theo cos4x)
16.
22
2
cos cos sin
1sinsincos
sin
sin
1
cos
xxx
x
xx
x
x
x
−
−= + −
+

Ù
22

cos sin cos sin
.cos sin (sin cos )
sin cos sin
xx x x
x
xx x
xxx
−−
=+−
+
2
cos sin 0 (1)
1 cos sin sin 0 (2)
xx
xx x
−=
⎡
⎢
−+=
⎣

Đk: sinx ≠ 0 và cosx + sinx ≠ 0
PT thành cosx – sinx = (cosx – sinx) cosxsinx + sin
2
x(sinx – cosx)
Ù (cosx – sinx)(1 – cosxsinx + sin
2
x) = 0
Ù
(1) Ù x = π/4 + kπ (thỏa điều kiện)

(2) Ù 1 – ½ sin2x + sin
2
x = 0 . Vì vế trái luôn dương do (sin2x ≤ 1 )nên (2) VN.
Hoặc nhận ra đây là phương trình dạng 2.2.:
asin
2
x + bsinx cosx + ccos
2
x + d = 0: chia hai vế cho cos
2
x ,
ta được : (1 + tan
2
x) – tanx + tan
2
x = 0
Ù
2tan
2
x – tanx + 1 = 0 (VN)

17. Khai triển và nhóm lại:
(sin4x + sin2x) – 3 (cos4x + cos2x) = 4sin2xcosx
Ù 2sin3xcosx – 2 3 cos3x.cosx = 4sin2xcosx (CT biến tổng thành tích)
Ù 2cosx(sin3x – 3 cos3x – 2sin2x) = 0


www.saosangsong.com.vn
11
cos 0 (1)

sin 3 3 cos3 2sin 2 (2)
x
xxx
=
⎡
⎢
−=
⎣
Ù
(1) Ù x = π/2 + kπ
(2) Ù Sin(3x - π/3) = sin2x . . .

18 Khai triển và nhóm lại :
2
cosx + 2sin xcosx + 2 = 3 sin3x + 2(2cos
2
2x + cos
3
x)
Ù 2 - 4cos
2
sin3x + cosx(2cos
2
x - 1) – (2sinxcosx)sinx 2x = 3
Ù 2(- cos4x) =
3 sin3x + cosx(cos2x) – (sin2x)sinx
31
sin 3 cos3
22
x

x+
Ù cos(4x + π) =
Ù cos(4x + π) = cos(3x - π/3) . . .