Tóm tắt lý thuyết Toán 12 pot
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (270.84 KB, 26 trang )
PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1. Giai thừa : n! = 1.2 n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n
2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn;
mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là :
m + n.
3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách
chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n.
4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : P
n
= n !.
5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn :
)!kn(!k
!n
C
k
n
−
=
6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách :
= =
−
k k k
n n n k
n!
A , A C .P
(n k)!
Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị
7. Tam giác Pascal :
1
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0
CCCCC
CCCC
CCC
CC
C
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Tính chất :
k
1n
k
n
1k
n
kn
n
k
n
n
n
0
n
CCC
CC,1CC
+
−
−
=+
===
8. Nhị thức Newton :
*
n0n
n
11n1
n
0n0
n
n
baC baCbaC)ba( +++=+
−
a = b = 1 :
0 1 n n
n n n
C C C 2+ + + =
Với a, b ∈ {±1, ±2, }, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :
n
n
1
n
0
n
C, ,C,C
*
nn
n
1n1
n
n0
n
n
xC xaCaC)xa( +++=+
−
Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa
n
n
1
n
0
n
C, ,C,C
bằng cách :
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, a = ±1, ±2,
- Nhân với x
k
, đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, , a = ±1, ±2,
- Cho a = ±1, ±2, ,
∫∫
±± 2
0
1
0
hay
hay
β
α
∫
Chú ý :
TRANG 1
* (a + b)
n
: a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x :
k n k k m
n
C a b Kx
−
=
Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)
n
: a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.
m r
k n k k
p q
n
C a b Kc d
−
=
Giải hệ pt :
∈
∈
Zq/r
Zp/m
, tìm được k
* Giải pt , bpt chứa
C,A
k
n
k
n
: đặt điều kiện k, n ∈ N
*
, k ≤ n. Cần biết đơn giản
các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung.
* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp
(bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp).
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường
hợp.
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy
số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang
phải).
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.
II- ĐẠI SỐ
1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔
=
≠
==
b/ca
0b
0cb
a/b = c ⇔
≠
=
0b
bca
;
1n2
1n2
baba
+
+
=⇔=
2n
2n
2n 2n
b a
a b a b, a b
a 0
=
= ⇔ = ± = ⇔
≥
α=⇔=
≥
±=
⇔=
α
a
bbloga,
0a
ab
ba
TRANG 2
>
<
<
>
>=
⇔<−<⇔<+
b/ca
0b
b/ca
0b
0c,0b
cab;bcacba
2. Giao nghiệm :
<⇔
<
<
>⇔
>
>
}b,amin{x
bx
ax
;}b,amax{x
bx
ax
Γ
> ∨
< < <
⇔ ⇔
< Γ
≥
Γ
p
x a p q
a x b(neáua b)
;
x b
VN(neáua b)
q
Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.
3. Công thức cần nhớ :
a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện.
≤≤
≥
⇔≤
=
≥
⇔=
22
ba0
0b
ba,
ba
0b
ba
≥
≥
∨
≥
<
⇔≥
2
ba
0b
0a
0b
ba
)0b,aneáu(b.a
)0b,aneáu(b.a
ab
<−−
≥
=
b.
.
: phá
.
bằng cách bình phương :
2
2
aa =
hay bằng định nghĩa :
)0aneáu(a
)0aneáu(a
a
<−
≥
=
baba;
ba
0b
ba ±=⇔=
±=
≥
⇔=
a b b a b≤ ⇔ − ≤ ≤
b 0
a b b 0hay
a b a b
≥
≥ ⇔ <
≤ − ∨ ≥
0baba
22
≤−⇔≤
c. Mũ :
.1a0neáuy,1aneáuy,0y,Rx,ay
x
<<↓>↑>∈=
0 m/ n m m n m nn
m n m n m n m.n n n n
n n n m n
a 1; a 1/ a ; a .a a
a /a a ; (a ) a ; a / b (a/ b)
a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1
− +
−
= = =
= = =
= = ⇔ = < ≠ ∨
TRANG 3
α
=α
<<>
><
⇔<
a
log
nm
a,
)1a0neáu(nm
)1aneáu(nm
aa
d. log : y = log
a
x , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R
y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = log
a
a
α
log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N (
⇐
)
log
a
(M/N) = log
a
M – log
a
N (
⇐
)
2
aaa
2
a
MlogMlog2,Mlog2Mlog ==
(⇒)
log
a
M
3
= 3log
a
M, log
a
c = log
a
b.log
b
c
log
b
c = log
a
c/log
a
b,
Mlog
1
Mlog
a
a
α
=
α
log
a
(1/M) = – log
a
M, log
a
M = log
a
N ⇔ M = N
a a
0 M N(neáua 1)
log M log N
M N 0(neáu0 a 1)
< < >
< ⇔
> > < <
Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng
công thức làm thu hẹp miền xác định. Mất log phải có điều kiện.
4. Đổi biến :
a. Đơn giản :
Rxlogt,0at,0xt,0xt,0xt,Rbaxt
a
x2
∈=>=≥=≥=≥=∈+=
N?u trong ?? bài có ?i?u ki?n c?a x, ta chuy?n sang ?i?u ki?n c?a t b?ng cách bi?
n ??i tr?c ti?p b?t ??ng th?c.
b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho
vào miền xác định của f.
c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều
kiện của t.
d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên.
5. Xét dấu :
a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số
bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) :
không đổi dấu.
b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0.
c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của
f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f.
6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α :
f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
* S = x
1
+ x
2
= – b/a ; P = x
1
x
2
= c/a
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x
1
,x
2
) = 0
không đối xứng, giải hệ pt :
=
+=
=
21
21
x.xP
xxS
0g
Biết S, P thỏa S
2
– 4P ≥ 0, tìm x
1
, x
2
từ pt : X
2
– SX + P = 0
* Dùng ∆, S, P để so sánh nghiệm với 0 :
TRANG 4
x
1
< 0 < x
2
⇔ P < 0, 0 < x
1
< x
2
⇔
>
>
>∆
0S
0P
0
x
1
< x
2
< 0 ⇔
<
>
>∆
0S
0P
0
* Dùng ∆, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x
1
< α < x
2
⇔ af(α) < 0
α < x
1
< x
2
⇔
<α
>α
>∆
2/S
0)(f.a
0
; x
1
< x
2
< α ⇔
α<
>α
>∆
2/S
0)(f.a
0
α < x
1
< β < x
2
⇔
a.f( ) 0
a.f( ) 0
β <
α >
α < β
; x
1
< α < x
2
< β ⇔
β<α
>β
<α
0)(f.a
0)(f.a
7. Phương trình bậc 3 :
a. Viête : ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
x
1
+ x
2
+ x
3
= – b/a , x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= c/a , x
1
.x
2
.x
3
= – d/a
Biết x
1
+ x
2
+ x
3
= A , x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= B , x
1
.x
2
.x
3
= C
thì x
1
, x
2
, x
3
là 3 nghiệm phương trình : x
3
– Ax
2
+ Bx – C = 0
b. Số nghiệm phương trình bậc 3 :
• x = α ∨ f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) :
3 nghiệm phân biệt ⇔
≠α
>∆
0)(f
0
2 nghiệm phân biệt ⇔
≠α
=∆
∨
=α
>∆
0)(f
0
0)(f
0
1 nghiệm ⇔
( )
∆
∆
α
= 0
< 0hay
f = 0
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng
sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m.
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế :
dùng sự tương giao giữa (C
m
) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0
3 nghiệm ⇔
<
>∆
0y.y
0
CTCÑ
'y
2 nghiệm ⇔
=
>∆
0y.y
0
CTCÑ
'y
1 nghiệm ⇔ ∆
y'
≤ 0 ∨
>
>∆
0y.y
0
CTCÑ
'y
TRANG 5
c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :
⇔
=
>∆
0y
0
uoán
'y
d. So sánh nghiệm với α :
• x = x
o
∨ f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x)
với α.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của
f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương
giao của (C
m
) : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)
α < x
1
< x
2
< x
3
⇔
y'
CÑ CT
CÑ
0
y .y 0
y( ) 0
x
∆ >
<
α <
α <
x
1
< α < x
2
< x
3
⇔
<α
>α
<
>∆
CT
CTCÑ
'y
x
0)(y
0y.y
0
x
1
< x
2
< α < x
3
⇔
α<
<α
<
>∆
CÑ
CTCÑ
'y
x
0)(y
0y.y
0
x
1
< x
2
< x
3
< α ⇔
y'
CÑ CT
CT
0
y .y 0
y( ) 0
x
∆ >
<
α >
< α
8. Phương trình bậc 2 có điều kiện :
f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α
2 nghiệm ⇔
>∆
≠α
0
0)(f
, 1 nghiệm ⇔
≠α
=∆
=α
>∆
0)(f
0
0)(f
0
Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ∨
=α
=∆
0)(f
0
Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN.
9. Phương trình bậc 4 :
TRANG 6
α
x
1
x
2
x
3
α
x
1
x
2
x
3
α
x
1
x
2
x
3
α
x
1
x
2
x
3
a. Trùng phương : ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a ≠ 0) ⇔
=
≥=
0)t(f
0xt
2
t = x
2
⇔ x = ±
t
4 nghiệm ⇔
>
>
>∆
0S
0P
0
; 3 nghiệm ⇔
>
=
0S
0P
2 nghiệm ⇔
>
=∆
<
02/S
0
0P
; 1 nghiệm ⇔
=
=∆
<
=
02/S
0
0S
0P
VN ⇔ ∆ < 0 ∨
<
>
≥∆
0S
0P
0
⇔ ∆ < 0 ∨
0
0
P
S
>
<
4 nghiệm CSC ⇔
=
<<
12
21
t3t
tt0
Giải hệ pt :
=
+=
=
21
21
12
t.tP
ttS
t9t
b. ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0. Đặt t = x +
x
1
. Tìm đk của t bằng BBT :
2t ≥
c. ax
4
+ bx
3
+ cx
2
– bx + a = 0. Đặt t = x –
x
1
. Tìm đk của t bằng BBT : t ∈ R.
d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x
2
+ (a + b)x. Tìm đk
của t bằng BBT.
e. (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c. Đặt :
2
ba
xt
+
+=
, t ∈ R.
10. Hệ phương trình bậc 1 :
=+
=+
'cy'bx'a
cbyax
. Tính :
D =
'b
b
'a
a
, D
x
=
'b
b
'c
c
, D
y
=
'c
c
'a
a
D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = D
x
/D , y = D
y
/D.
D = 0, D
x
≠ 0 ∨ D
y
≠ 0 : VN
D = D
x
= D
y
= 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy.
ĐK : S
2
– 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S
2
– 4P ≥ 0;
Thế S, P vào pt : X
2
– SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y.
TRANG 7
(α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất
⇒ α = β ⇒ m = ?
Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không.
12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các
hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0.
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.
13. Hệ phương trình đẳng cấp :
=++
=++
'dy'cxy'bx'a
dcybxyax
22
22
Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình
theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx.
14. Bất phương trình, bất đẳng thức :
* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của
.,
, log, mũ có
thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng
tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB.
* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
số âm : có đổi chiều
Chia bất phương trình : tương tự.
* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm.
* Bất đẳng thức Côsi :
a, b ≥ 0 :
ab
2
ba
≥
+
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.
a, b, c ≥ 0 :
3
abc
3
cba
≥
++
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)
2
≤ (a
2
+ b
2
).(c
2
+ d
2
); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm
bằng số điểm chung.
Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I.
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I :
Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I.
f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt)
f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt)
III- LƯỢNG GIÁC
1. Đường tròn lượng giác :
Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM,
đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn
lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π.
TRANG 8
2− π
2π
0
+
2π
0
2− π
Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội
của
6
π
(
3
1
cung phần tư) và
4
π
(
2
1
cung phần tư)
x = α +
n
k2 π
: α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên
đường tròn lượng giác.
2. Hàm số lượng giác :
3. Cung liên kết :
* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos
đối, tg cotg hiệu π).
* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ
* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu
2
π
(sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu).
4. Công thức :
a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc.
b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b.
c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a.
d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a.
e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân
ba.
f. Đưa về
2
a
tgt =
: đưa lượng giác về đại số.
g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2.
h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b.
5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ,
sinα = 1 ⇔ α =
2
π
+ k2π; sinα = –1 ⇔ α = –
2
π
+ k2π,
cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α =
2
π
+ kπ,
cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π
sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ
cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ
6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c
* Điều kiện có nghiệm : a
2
+ b
2
≥ c
2
* Chia 2 vế cho
22
ba +
, dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản.
(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo
2
u
tgt =
)
7. Phương trình đối xứng theo sin, cos :
TRANG 9
α
0
A
x+k2
M
cos
chi u ế
sin
M
cotg
chi u xuyên tâm ế
tg
M
Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.
Đặt : t = sinu + cosu =
2
t 1
2 sin u , 2 t 2,sinu.cosu
4 2
π −
+ − ≤ ≤ =
÷
8. Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu :
Đặt :
2
1
2 0 2
4 2
t
t sinu cos u sin u , t ,sinu.cos u
π
−
= + = + ≤ ≤ =
÷
9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
Đặt :
π −
= − = − − ≤ ≤ =
÷
2
1 t
t sinu cosu 2sin u , 2 t 2,sinu.cosu
4 2
10. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
Đặt :
2
1
2 0 2
4 2
t
t sinu cos u sin u , t ,sin u.cos u
π
−
= − = − ≤ ≤ =
÷
11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :
Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos
2
u, dùng công thức
1/cos
2
u = 1 + tg
2
u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu.
12. Phương trình toàn phương mở rộng :
* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos
3
u.
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến :
Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
* t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x.
* t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x.
* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng
* t = tg
2
x
: nếu cả 3 cách trên đều không đúng.
14. Phương trình đặc biệt :
*
=
=
⇔=+
0v
0u
0vu
22
*
=
=
⇔
≥
≤
=
Cv
Cu
Cv
Cu
vu
*
=
=
⇔
+=+
≤
≤
Bv
Au
BAvu
Bv
Au
* sinu.cosv = 1 ⇔
−=
−=
∨
=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
* sinu.cosv = – 1 ⇔
=
−=
∨
−=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1.
TRANG 10
15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg
a. Dạng 1 :
=±
=±
)2(nyx
)1(m)y(F)x(F
. Dùng công thức đổi + thành nhân,
thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :
=−
=+
byx
ayx
b. Dạng 2 :
=±
=
nyx
m)y(F).x(F
. Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành
+.
c. Dạng 3 :
=±
=
nyx
m)y(F/)x(F
.
Dùng tỉ lệ thức :
db
ca
db
ca
d
c
b
a
−
−
=
+
+
⇔=
biến đổi phương trình (1) rồi dùng
công thức đổi + thành x.
d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản.
16. Toán ∆ :
* Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π
* A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2.
* A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2)
A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ;
A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2)
Dùng các tính chất này để chọn k.
* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin :
a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc.cosA
*
pr
R4
abc
Csinab
2
1
ah
2
1
S
a
====
)cp)(bp)(ap(p −−−=
* Trung tuyến :
222
a
ac2b2
2
1
m −+=
* Phân giác : ℓ
a
=
cb
2
A
cosbc2
+
IV- TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa, công thức, tính chất :
* F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F.
Họ tất cả các nguyên hàm của f :
∫
dx)x(f
= F(x) + C (C ∈ R)
*
α+
α
= + = +
α +
∫ ∫
1
u
du u C ; u du C
1
, α ≠ – 1
TRANG 11
u u
du
ln u C; e du e C;
u
= + = +
∫ ∫
∫
+=
Caln/adua
uu
sin udu cosu C= − +
∫
;
∫
+= Cusinuducos
∫
+−=
Cgucotusin/du
2
;
∫
+=
Ctguucos/du
2
*
= = −
∫
b
b
a
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a)
*
∫ ∫ ∫ ∫∫∫
+=−==
b
a
c
a
b
a
c
b
a
b
a
a
,;0
∫ ∫∫∫∫
=+=+
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
fkkf;gf)gf(
2. Tích phân từng phần :
udv uv vdu= −
∫ ∫
Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp.
a.
∫ ∫ ∫
=
nnnxn
xu:xcosx;xsinx,ex
b.
∫
= xlnu:xlnx
n
c.
∫ ∫
==
dxedvhayeu:xcose,xsine
xxxx
từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ
3. Các dạng thường gặp :
a.
∫
+
xcos.xsin
1n2m
: u = sinx.
∫
+
xsin.xcos
1n2m
: u = cosx.
∫
xcos.xsin
n2m2
: hạ bậc về bậc 1
b.
∫
xcos/xtg
n2m2
: u = tgx (n ≥ 0)
∫
xsin/xgcot
n2m2
: u = cotgx (n ≥ 0)
c.
∫
chứa a
2
– u
2
: u = asint
∫
chứa u
2
– a
2
: u = a/cost
∫
chứa a
2
+ u
2
: u = atgt
d.
∫
)xcos,x(sinR
, R : hàm hữu tỷ
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx
R đơn giản :
2
x
tgu =
TRANG 12
∫
π
−
π
=
2/
0
x
2
uñaëtthöû:
∫
π
−π=
0
xuñaëtthöû:
e.
∫
+=∈++
nqq/pnm
bxau:Zn/)1m(,)bxa(x
f.
∫
+=∈+
+
+
nnqq/pnm
bxaxu:Z
q
p
n
1m
,)bxa(x
g.
u
1
khx:cbxax)khx/[(dx
2
=++++
∫
h.
∫
++
)dcx/()bax(,x(R
, R là hàm hữu tỷ :
)dcx/()bax(u ++=
i.
∫
chứa (a + bx
k
)
m/n
: thử đặt u
n
= a + bx
k
.
4. Tích phân hàm số hữu tỷ :
∫
)x(Q/)x(P
: bậc P < bậc Q
* Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)
n
, ax
2
+ bx + c (∆ < 0)
* Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q :
n
n
2
21
n
)ax(
A
)ax(
A
ax
A
)ax(,
ax
A
ax
+
++
+
+
+
→+
+
→+
=+=<∆
++++
+
++
+
→<∆++
∫ ∫
atgtuñaët:)au/(du)0(
cbxax
dx
cbxax
B
cbxax
)bax2(A
)0(cbxax
22
222
2
5. Tính diện tích hình phẳng :
a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) :
∫
=
b
a
D
dx)x(fS
f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở .; f(x) : hàm lượng giác :
xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác.
b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x)
(C') : y = g(x) :
∫
−=
b
a
D
dx)x(g)x(fS
Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/.
c. D giới hạn bởi (C
1
) : f
1
(x, y) = 0 , (C
2
) : f
2
(x, y) = 0
α
/
b
D
a
S f(x) g(x) dx= −
∫
β
/
b
D
a
S f(y) g(y) dy= −
∫
TRANG 13
x=bx=a
f(x)
g(x)
y=a
f(y)
y=b
g(y)
Vi trng hp ) : nu biờn trờn hay biờn di b góy, ta ct D bng cỏc ng
thng ng ngay ch góy.
Vi trng hp ) : nu biờn phi hay biờn trỏi b góy, ta ct D bng cỏc ng
ngang ngay ch góy.
Chn tớnh
theo dx hay dy d tớnh toỏn hay D ớt b chia ct.
Cn gii cỏc h phng trỡnh ta giao im.
Cn bit v th cỏc hỡnh thng gp : cỏc hm c bn, cỏc ng trũn, (E) ,
(H), (P), hm lng giỏc, hm m, hm
.
.
Cn bit rỳt y theo x hay x theo y t cụng thc f(x,y) = 0 v bit chn
+
hay
( )
traựi: x,phaỷi: x,dửụựi: y,treõn: y =+==+=
6. Tớnh th tớch vt th trũn xoay :
a. D nh 5.a/ xoay quanh (Ox) :
[ ]
=
b
a
2
dx)x(fV
b.
[ ]
=
b
a
2
dy)y(fV
c.
=
b
a
22
dx)]x(g)x(f[V
d.
=
b
a
22
dy)]y(g)y(f[V
e.
+=
b
c
2
c
a
2
dx)x(gdx)x(fV
f.
+=
b
c
2
c
a
2
dy)y(fdy)y(gV
Chỳ ý : xoay quanh (Ox) : dx ; xoay quanh (Oy) : dy.
TRANG 14
a
b
f(x)
a
b
f(y)
b
f(x)
g(x
)
a
f(y)
a
g(y)
b
f(x)
g(x
0)
a b
a b
c
f(x) -g(x)
b
c
f(y)
-g(y)
a
V- KHO ST HM S
1. Tỡm lim dng
0
0
, dng 1
:
a. Phõn thc hu t :
1
1
ax
1
1
axax
Q
P
lim
)x(Q)ax(
)x(P)ax(
lim)0/0daùng(
)x(Q
)x(P
lim
=
=
b. Hm lg :
1
u
usin
limthửựccoõngduứng),0/0daùng(
)x(g
)x(f
lim
0uax
=
c. Hm cha cn :
)0/0daùng(
)x(g
)x(f
lim
ax
, dựng lng liờn hip :
a
2
b
2
= (a b)(a + b) phỏ , a
3
b
3
= (a b)(a
2
+ ab + b
2
) phỏ
3
d. Hm cha m hay log (dng 1
) : dựng cụng thc
e)u1(lim
u/1
0u
=+
2. o hm :
a. Tỡm o hm bng nh ngha :
o
o
o
xx
0
xx
)x(f)x(f
lim)x('f
=
Ti im x
o
m f i cụng thc, phi tỡm o hm tng phớa :
.lim)x(f,lim)x(f
o
xx
o
/
o
xx
o
/
+
+
==
Nu
)x(f)x(f
o
/
o
/
+
=
thỡ f cú o hm ti x
o
.
b. í ngha hỡnh hc :
k = tg = f
/
(x
M
)
c. f
/
+ : f , f
/
: f
f
//
+ : f lừm , f
//
: f li
d. f t C ti M
<
=
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
f t CT ti M
>
=
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
M l im un ca f f
//
(x
M
) = 0 v f
//
i du khi qua x
M
.
e. Tớnh o hm bng cụng thc : C
/
= 0, (x
)
/
= x
1
, (lnx)
/
= 1/x ,
( )
a
1
log x
xlna
=
, (e
x
)
/
= e
x
(a
x
)
/
= a
x
.lna, (sinx)
/
= cosx , (cosx)
/
= sinx, (tgx)
/
= 1/cos
2
x,
(cotgx)
/
= 1/sin
2
x, (ku)
/
= ku
/
, (u v)
/
= u
/
v
/
, (uv)
/
= u
/
v + uv
/
,
(u/v)
/
= (u
/
v uv
/
)/v
2
* Hm hp : (g
o
f)
/
= g
/
[f(x)]
. f
/
(x)
* o hm lụgarit : ly log (ln : c s e) 2 v , ri o hm 2 v; ỏp dng vi hm
[f(x)]
g(x)
hay f(x) dng tớch, thng, cha
n
f. Vi phõn : du = u
/
dx
3. Tim cn :
TRANG 15
x a
y
M
f(x)
∞=
→
ylim
ax
⇒ x = a : tcđ
bylim
x
=
∞→
⇒ y = b : tcn
0)]bax(y[lim
x
=+−
∞→
⇒ y = ax + b : tcx
* Vẽ đồ thị có tiệm cận :
- t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c .
- t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c.
- t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c.
* Xét
)x(Q
)x(P
y =
• Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0
• Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao
nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q.
• Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có :
)x(Q
)x(P
bax)x(f
1
++=
, tcx
là y = ax + b. Nếu Q = x – α, có thể chia Honer.
* Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 :
c
y ax b
dx e
= + +
+
( d ≠ 0 )
• a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx
• a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ.
• c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc.
4. Đồ thị các hàm thường gặp :
a/ y = ax + b :
b/ y = ax
2
+ bx + c
c/ y = ax
3
+ bx
2
+ c + d
a> 0 :
a < 0 :
d/ y = ax
4
+ bx
2
+ c
a > 0
TRANG 16
x
−∞
+∞
y b b
x
−∞
+∞
y
∞
∞
a > 0
a < 0
a = 0
a > 0 a < 0
> 0
< 0
= 0
ab < 0
ab > 0
a < 0
e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0)
ad - bc > 0 ad - bc < 0
f/ y =
edx
cbxax
2
+
++
(ad ≠ 0)
ad > 0
ad < 0
5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ :
g(x) = f(–x) : đx qua (Oy)
g(x) = – f(x) : đx qua (Ox)
(C
/
) : y =
)x(f
: giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0
đối xứng qua (Ox).
(C
/
) : y =
)x(f
: giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = 0
đối xứng qua (Oy).
6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m)
a/ Điểm cố định : M(x
o
, y
o
) ∈ (Cm), ∀m ⇔ y
o
= f(x
o
, m), ∀m ⇔ Am + B = 0, ∀m
(hay Am
2
+ Bm + C = 0, ∀m) ⇔
=
=
0B
0A
(hay
=
=
=
0C
0B
0A
). Giải hệ, được M.
b/ Điểm (Cm) không đi qua, ∀m : M(x
o
, y
o
) ∉ (Cm), ∀m ⇔ y
o
≠ f(x
o
,m), ∀m ⇔
y
o
= f(x
o
, m) VN m ⇔ Am + B = 0 VN m (hay Am
2
+ Bm + C = 0 VN m) ⇔
≠
=
0B
0A
(hay
<∆
≠
∨
≠
=
=
0
0A
0C
0B
0A
). Giải hệ , được M.
Chú ý :
C
B
A
=
VN ⇔ B = 0 ∨
=
≠
VNBCA
0B
TRANG 17
< 0
> 0
= 0
x < a
x > a
a
x = a
y < b
y > b
b
y = b
c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(x
o
, y
o
) ⇔
y
o
= f(x
o
, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại
phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3, trùng phương.
7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN :
a. (C) : y = f(x), tx (C
/
) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm :
=
=
/
C
/
C
/
/
C
C
yy
yy
.
Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm.
b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x)
* Tại M(x
o
, y
o
) : y = f'(x
o
)(x – x
o
) + y
o
.
* Qua M (x
o
, y
o
): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – x
o
) + y
o
.
Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 /
bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến).
* // (∆) : y = ax + b : (d) // (∆) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx.
* ⊥ (∆) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : y =
a
1
−
x + m. Tìm m nhờ đk tx.
c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C
/
) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến
(C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ), M(x
o
,y
o
) ∈ (C
/
) ⇔ g(x
o
,y
o
) = 0; (d) qua M :
y = k(x – x
o
) + y
o
; (d) tx (C) :
=
=
ky
yy
C
/
dC
(1). Thế k vào (1) được phương trình ẩn x,
tham số x
o
hay y
o
. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số
tiếp tuyến), tìm được x
o
hay y
o
.
8. TƯƠNG GIAO :
* Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C
/
) : y = g(x) là : f(x) = g(x).
Số nghiệm pt = số điểm chung.
* Tìm m để (C
m
) : y = f(x, m) và (C
/
m
) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương
trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm
chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) : y
= m có n điểm chung.
* Biện luận sự tương giao của (C
m
) và (C
/
m
) :
• Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của
(C
m
) và (C
/
m
) = số điểm chung của (C) và (d).
• PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (x ≠ α)
hay dạng bậc 3 : x = α ∨ f(x) = 0 : lập ∆, xét dấu ∆, giải pt f(x) = 0 để biết m nào
thì α là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1.
9. CỰC TRỊ :
* f có đúng n cực trị ⇔ f
/
đổi dấu n lần.
* f đạt cực đại tại x
o
⇔
<
=
0)x(f
0)x(f
o
//
o
/
f đạt cực tiểu tại x
o
⇔
>
=
0)x(f
0)x(f
o
//
o
/
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ và CT ⇔
/
f
∆
> 0
TRANG 18
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị :
• Bên phải (d) : x = α ⇔ y
/
= 0 có 2 nghiệm α < x
1
< x
2
.
• Bên trái (d) : x = α ⇔ y
/
= 0 có 2 nghiệm x
1
< x
2
< α .
• 1 bên (Ox) ⇔
0
0
/
f
CD CT
y . y
∆ >
>
• 2 bên (Ox) ⇔
0
0
/
f
CD CT
y .y
∆ >
<
* Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện y
CĐ
.y
CT
< 0 (>0) có thể thay bởi y = 0 VN
(có 2 nghiệm.).
* Tính y
CĐ
.y
CT
:
• Hàm bậc 3 : y = y
/
(Ax + B) + (Cx
+ D)
y
CĐ
.y
CT
= (Cx
CĐ
+ D).(Cx
CT
+ D), dùng Viète với pt y
/
= 0.
• Hàm bậc 2/ bậc 1 :
v
u
y =
y
CĐ
.y
CT
=
)x(v).x(v
)x(u).x(u
CT
/
CÑ
/
CT
/
CÑ
/
, dùng Viète với pt y
/
= 0.
* Đường thẳng qua CĐ, CT :
• Hàm bậc 3 : y = Cx + D
• Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u
/
/ v
/
* y = ax
4
+ bx
2
+ c có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trị ⇔ ab < 0
10. ĐƠN ĐIỆU :
a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với x
1
< x
2
⇒ hàm số đạt cực đại tại x
1
và đạt cực tiểu tại x
2
.
Ngoài ra ta còn có :
+ x
1
+ x
2
= 2x
0
với x
0
là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (−∞, x
1
)
+ hàm số tăng trên (x
2
, +∞)
+ hàm số giảm trên (x
1
, x
2
)
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với x
1
< x
2
⇒ hàm đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực đại tại x
2
thỏa điều kiện x
1
+ x
2
= 2x
0
(x
0
là hoành độ điểm
uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (−∞, x
1
)
+ hàm số giảm trên (x
2
, +∞)
+ hàm số tăng trên (x
1
, x
2
)
b. Biện luận sự biến thiên của y =
1baäc
2baäc
i) Nếu a.m > 0 và y
/
= 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định.
ii) Nếu a.m < 0 và y
/
= 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định.
iii) Nếu a.m > 0 và y
/
= 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thì hàm đạt cực đại tại x
1
và đạt cực tiểu
tại x
2
thỏa x
1
< x
2
và
1 2
x x
p
2 m
+
=−
.
TRANG 19
iv) Nếu a.m < 0 và y
/
= 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thì hàm đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực đại
tại x
2
thỏa x
1
< x
2
và
1 2
x x
p
2 m
+
=−
.
c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x ∈ I : đặt
đk để I nằm trong miền đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm
pt bậc 2 y
/
= 0 với α.
11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ :
a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát
thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số điểm chung.
b. Với pt mũ, log,
.,
, lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy
biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thị f.
12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(x
o
, y
o
) :
Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa x
o
, y
o
, m; khử m, được F(x
o
, y
o
) =
0; suy ra M ∈ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ?
⇔
x
o
? (hay y
o
?)
• Nếu x
o
= a thì M ∈ (d) : x = a.
• Nếu y
o
= b thì M ∈ (d) : y = b.
13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :
a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc)
tại I : đổi tọa độ : x = X + x
I
, y = Y + y
I
; thế vào hàm số : Y = F(X), cm :
F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I.
b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y
/
= 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay
là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số :
Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là trục
tung X = 0, tức x = a.
c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn :
M N I
M N I
M M
N N
x x 2x
y y 2y
y f(x )
y f(x )
+ =
+ =
=
=
d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) là
(d') : y = –
a
1
x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm x
A
,
x
B
, tính tọa độ trung điểm I của AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d)
⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm x
A
, x
B
, suy ra y
A
, y
B
.
14. Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b +
edx
c
+
có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) : giải
hệ
∈
+
++=
Zy,x
edx
c
baxy
MM
M
MM
⇔
∈
+
+
++=
Z
edx
c
,x
edx
c
baxy
M
M
M
MM
TRANG 20
⇔
=+∈
+
++=
ccuûasoáöôùcedx,Zx
edx
c
baxy
MM
M
MM
15. Tìm min, max của hàm số y = f(x)
Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, max.
16. Giải bất phương trình bằng đồ thị :
f < g ⇔ a < x < b, f > g ⇔
<
<
xb
ax
f ≤ g ⇔ a ≤ x ≤ b , f ≥ g ⇔
≥
≤
bx
ax
VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
1. Tọa độ , vectơ :
* (a,b) ± (a
/
, b
/
) = (a ± a
/
, b ± b
/
)
k(a, b) = (ka, kb)
(a, b) = (a
/
, b
/
) ⇔
=
=
/
/
bb
aa
(a, b).(a
/
,b
/
) = aa
/
+ bb
/
22
ba)b,a( +=
/
/
/
v.v
cos( v ,v )
v . v
=
r r
r r
r r
ABAB),yy,xx(AB
ABAB
=−−=
M chia AB theo tỉ số k ⇔
MBkMA =
⇔
k1
kyy
y,
k1
kxx
x
BA
M
BA
M
−
−
=
−
−
=
(k ≠ 1)
M : trung điểm AB ⇔
2
yy
y,
2
xx
x
BA
M
BA
M
+
=
+
=
M : trọng tâm ∆ABC ⇔
++
=
++
=
3
yyy
y
3
xxx
x
CBA
M
CBA
M
(tương tự cho vectơ 3 chiều).
* Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp :
)'c,'b,'a(v),c,b,a(v
/
==
[ ]
=
//////
/
b
b
a
a
,
a
a
c
c
,
c
c
b
b
v,v
/ / /
[ v ,v ] v . v .sin( v ,v )=
r r r r r r
//
v,v]v,v[
⊥
TRANG 21
a
b
f
g
*
/
vv
⊥
⇔
/
v.v
= 0 ;
/ /
v // v [ v ,v ]⇔
r r r r
= 0 ;
///
v,v,v
đồng phẳng
⇔
0v].v,v[
///
=
[ ]
AC,AB
2
1
S
ABC
=
∆
[ ]
AS.AC,AB
6
1
V
ABC.S
=
/
'D'C'B'A.ABCD
AA].AD,AB[V =
A, B, C thẳng hàng ⇔
AB // AC
uuur uuur
* ∆ trong mp : H là trực tâm ⇔
=
=
0AC.BH
0BC.AH
H là chân đường cao h
a
⇔
=
BC//BH
0BC.AH
M là chân phân giác trong
∧
A
⇔
MC
AC
AB
MB −=
M là chân phân giác ngòai
∧
A
⇔
MC
AC
AB
MB +=
I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC.
I là tâm đường tròn nội tiếp ⇔ I là chân phân giác trong
∧
B
của ∆ABM với M là
chân phân giác trong
∧
A
của ∆ABC.
2. Đường thẳng trong mp :
* Xác định bởi 1 điểm M(x
o
,y
o
) và 1vtcp
v
= (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) :
(d) :
−
=
−
+=
+=
b
yy
a
xx
:)d(,
btyy
atxx
oo
o
o
(d) : A(x – x
o
) + B(y – y
o
) = 0
* (d) qua A(a, 0); B(0,b) :
1
b
y
a
x
=+
* (AB) :
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
* (d) : Ax + By + C = 0 có
)B,A(n;)A,B(v =−=
* (d) // (∆) : Ax + By + C = 0 ⇒ (d) : Ax + By +
C
′
= 0
* (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C
/
= 0
* (d), (d
/
) tạo góc nhọn ϕ thì :
cosϕ =
( )
/
/
/
d
d
d
d
d
d
n .n
cos( n ,n )
n . n
≠
uur uuur
uur uuur
uur uuur
* d(M,(d)) =
22
MM
BA
CByAx
+
++
TRANG 22
* Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 và (d
/
) : A
/
x + B
/
y + C
/
= 0 là :
2/2/
///
22
BA
CyBxA
BA
CByAx
+
++
±=
+
++
/
d
d
n.n
> 0 : phân giác góc tù + , nhọn –
/
d
d
n.n
< 0 : phân giác góc tù – , nhọn +
* Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm.
3. Mặt phẳng trong không gian :
* Xác định bởi 1 điểm M(x
o
, y
o
, z
o
) và 1 pháp vectơ :
n
= (A, B, C) hay 2 vtcp
'v,v
.
(P) : A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0
n
= [
'v,v
]
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có
n
= (A, B, C).
(P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c)
⇔
(P) : x/a + y/b + z/c = 1
* Cho M(x
o
, y
o
, z
o
), (P) : Ax + By + Cz + D = 0
d(M,(P)) =
222
ooo
CBA
DCzByAx
++
+++
* (P) , (P
/
) tạo góc nhọn ϕ thì : cos
ϕ
=
)n,ncos(
)'P()P(
* (P) ⊥ (P
/
) ⇔
)'P()P(
nn ⊥
, (P) // (P
/
) ⇔
)'P()P(
n//n
4. Đường thẳng trong không gian :
* Xác định bởi 1 điểm M (x
o
, y
o
, z
o
) và 1 vtcp
v
= (a, b, c) hay 2 pháp vectơ :
'n,n
:
(d) :
c
zz
b
yy
a
xx
:)d(,
ctzz
btyy
atxx
ooo
o
o
o
−
=
−
=
−
+=
+=
+=
]'n,n[v =
* (AB) :
A A A
B A B A B A
x x y y z z
x x y y z z
− − −
= =
− − −
* (d) = (P) ∩ (P
/
) :
0
0
Ax By Cz D
A' x B' y C' z D'
+ + + =
+ + + =
* (d) qua A, vtcp
v
thì :
d(M,(d)) =
v
]v,AM[
* ϕ là góc nhọn giữa (d), (d
/
) thì :
cosϕ =
)v,vcos(
/
d
d
* ϕ là góc nhọn giữa (d), (P) thì :
TRANG 23
sinϕ =
)n,vcos(
pd
* (d) qua M, vtcp
v
, (P) có pvt
n
:
(d) cắt (P) ⇔
n.v
≠ 0
(d) // (P) ⇔
n.v
= 0 và M ∉ (P)
(d) ⊂ (P) ⇔
n.v
= 0 và M ∈ (P)
* (d) qua A, vtcp
v
; (d
/
) qua B, vtcp
'v
:
(d) cắt (d
/
) ⇔ [
'v,v
] ≠
0
,
AB]'v,v[
= 0
(d) // (d
/
) ⇔ [
'v,v
] =
0
, A ∉ (d
/
)
(d) chéo (d
/
) ⇔ [
'v,v
] ≠
0
,
AB]'v,v[
≠ 0
(d) ≡ (d
/
) ⇔ [
'v,v
] =
0
, A ∈ (d
/
)
* (d) chéo (d
/
) : d(d, d
/
) =
]'v,v[
AB]'v,v[
* (d) chéo (d
/
) , tìm đường ⊥ chung (∆) : tìm
]'v,v[n =
; tìm (P) chứa (d), //
n
;
tìm (P
/
) chứa (d
/
), //
n
; (∆) = (P) ∩ (P
/
).
* (d) ⊥ (P), cắt (d
/
) ⇒ (d) nằm trong mp ⊥ (P), chứa (d
/
).
* (d) qua A, // (P) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, // (P).
* (d) qua A, cắt (d
/
) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, chứa (d
/
).
* (d) cắt (d
/
), // (d
//
) ⇒ (d) nằm trong mp chứa (d
/
), // (d
//
).
* (d) qua A, ⊥ (d
/
) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, ⊥ (d
/
).
* Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, ⊥ (d), H = (d) ∩ (P).
* Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, ⊥ (P) : H = (d) ∩ (P).
* Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), ⊥ (P);
(d
/
) = (P) ∩ (Q)
* Tìm hc song song của (d) theo phương (∆) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d)
// (∆); (d
/
) = (P) ∩ (Q).
5. Đường tròn :
* Đường tròn (C) xác định bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
* (C) : x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R =
CBA
22
−+
* (d) tx (C) ⇔ d(I, (d)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R.
* Tiếp tuyến với (C) tại M(x
o
,y
o
) : phân đôi t/độ trong (C) :
(x
o
–a)(x–a) + (y
o
–b)(y–b) = R hay x
o
x + y
o
y + A(x
o
+ x) + B(y
o
+ y) + C = 0
* Cho (C) : F(x,y) = x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 thì P
M
/(C) = F(x
M
, y
M
) =
MB.MA
= MT
2
= MI
2
– R
2
với MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M ∈ (C) ⇔
P
M
/(C) = 0 , M trong (C) ⇔ P
M
/(C) < 0, ngoài ⇔ > 0.
* Trục đẳng phương của (C) và (C
/
) :2(A – A
/
)x + 2(B – B
/
)y + (C – C
/
) = 0
* (C), (C
/
) ngoài nhau ⇔ II
/
> R + R
/
: (có 4 tiếp tuyến chung); tx ngoài ⇔ = R +
R
/
(3 tiếp tuyến chung); cắt ⇔
/
RR −
< II
/
< R + R
/
(2 tt chung); tx trong ⇔ =
TRANG 24
/
RR −
(1 tt chung là trục đẳng phương) chứa nhau ⇔ <
/
RR −
(không có tt
chung).
6. Mặt cầu :
* Mc (S) xđ bởi tâm I (a, b, c) và bk R : (S) : (x – a)
2
+ (y – b
2
) + (z – c)
2
= R
2
.
* (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 có tâm I(–A,–B,–C), bk R =
DCBA
222
−++
* (P) tx (S) ⇔ d(I,(P)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R.
* Pt tiếp diện với (S) tại M : phân đôi tđộ (S).
* Cho (S) : F(x, y, z) = 0. P
M
/(S) = F (x
M
, y
M
, z
M
); P
M
/(S) = 0 ⇔ M ∈ (S), < 0
⇔ M trong (S), > 0 ⇔ M ngoài (S).
* Mặt đẳng phương của (S) và (S
/
) :
2(A – A
/
)x + 2(B – B
/
)y + 2(C – C
/
)z + (D – D
/
) = 0
* Tương giao giữa (S), (S
/
) : như (C), (C
/
).
* Khi (S), (S
/
) tx trong thì tiết diện chung là mặt đẳng phương.
* Khi (S), (S
/
) cắt nhau thì mp qua giao tuyến là mặt đẳng phương.
7. Elip : * cho F
1
, F
2
, F
2
F
2
= 2c, cho a > c > 0
M ∈ (E) ⇔ MF
1
+ MF
2
= 2a.
* (E) :
2
2
2
2
b
y
a
x
+
= 1 (a > b > 0) : tiêu điểm : F
1
(–c,0), F
2
(c,0); đỉnh A
1
(–a,0);
A
2
(a,0); B
1
(0,–b); B
2
(0,b); tiêu cự : F
1
F
2
= 2c, trục lớn A
1
A
2
= 2a; trục nhỏ
B
1
B
2
= 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn x = ± a/e; bk qua tiêu : MF
1
= a + ex
M
,
MF
2
= a – ex
M
; tt với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E),
(E) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a
2
A
2
+ b
2
B
2
= C
2
; a
2
= b
2
+ c
2
.
* (E) :
1
a
y
b
x
2
2
2
2
=+
(a > b > 0) : không chính tắc; tiêu điểm : F
1
(0,–c), F
2
(0,c);
đỉnh A
1
(0,–a), A
2
(0,a), B
1
(–b,0), B
2
(b,0), tiêu cự : F
1
F
2
= 2c; trục lớn A
1
A
2
= 2a;
trục nhỏ B
1
B
2
= 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn y = ± a/e; bán kính qua tiêu MF
1
= a + ey
M
, MF
2
= a – ey
M
; tiếp tuyến với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E); (E) tiếp
xúc (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a
2
B
2
+ b
2
A
2
= C
2
; a
2
= b
2
+ c
2
(Chú ý : tất cả các kết
quả của trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc trên bằng cách thay x bởi y, y
bởi x).
8. Hypebol :
* Cho F
1
, F
2
, F
2
F
2
= 2c, cho 0 < a < c.
M ∈ (H) ⇔
21
MFMF −
= 2a
(H) :
2
2
2
2
b
y
a
x
−
= 1 (pt chính tắc)
tiêu điểm F
1
(–c,0), F
2
(c,0); đỉnh tr.thực A
1
(–a,0), A
2
(a,0); đỉnh trục ảo
B
1
(0,–b), B
2
(0,b); tiêu cự F
1
F
2
= 2c; độ dài trục thực A
1
A
2
= 2a; độ dài trục ảo
B
1
B
2
= 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : x = ± a/e; bán kính qua tiêu : M
∈
nhánh
phải MF
1
= ex
M
+ a , MF
2
= ex
M
– a , M ∈ nhánh trái MF
1
= – ex
M
– a,
MF
2
= –ex
M
+ a; tiếp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H);
(H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a
2
A
2
– b
2
B
2
= C
2
> 0; tiệm cận y = ±
a
b
x
TRANG 25
