tom tat ly thuyet toan Dai 11cb- New2009-2010

I.1.1.2.Đường tròn LG
Đường tròn có bán kính bằng đơn vò (R=1) và trên đó ta đã chọn một
chiều (ngược chiều kim đồng hồ) làm chiều dương (+) được gọi là đường
tròn LG.
I.1.1.3.Cung LG
Cung LG AB với A,B là hai điểm trên đường tròn LG là cung vạch bởi
điểm M di chuyển trên đường tròn LG theo một chiều nhất đònh từ A đến
B.
cotMAM=α+k2π (k∈Z) ta đònh nghóa:
os =OQ sin
tan cot
c OP
AT BS
α α
α α
=
= =
*Nhận xét:
1 sin , cos 1
α α
− ≤ ≤
.
CÔNG THỨC TOÁN 11
I.LƯNG GIÁC (LG)
I.1.HÀM SỐ LG
I.1.1.Góc và cung LG: y
I.1.1.1.Góc LG
Góc LG (Ox,Oy) theo thứ tự này là góc quét bởi z
tia Oz theo một chiều nhất đònh từ Ox đến Oy.
Ox: tia gốc; Oy: tia ngọn O x
B +

M
-1 O A
1
I.1.1.4.Số đo của cung và góc LG
Số đo của góc LG: sđ(Ox,Oy)=a
0
+k360
0
trong đó 0<a
0
<360
0
hay sđ(Ox,Oy)=α+k2π trong đó 0<α<2π
Số đo của cung LG: sđAB=sđ(OA,OB). (k∈Z)
I.1.1.5.Công thức đổi đơn vò
a có đơn vò là độ; α có đơn vò là radian (rad) khi đó ta có: hay
I.1.1.6.Độ dài của một cung tròn
I.1.2.Hàm số LG sin tan
I.1.2.1.Đònh nghóa S
B
P T
-1 O A cos
Q 1
I.1.2.2.Giá trò của các hàm số LG
*Bảng các giá trò:
Góc

hàm
0 0
0

6
π
30
0
4
π
45
0
3
π
60
0
2
π
90
0
2
3
π
120
0
3
4
π
135
0
5
6
π
150

0
π
180
0
sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−

2
2
−
3
2
−
-1
tan 0
1
3
1
3
||
3−
-1
1
3
−
0
cot
||
3
1
1
3
0
1
3
−
-1

3−
||
1
.
180
a
π
α
=
180.
a
α
π
=
l=Rα
*Dấu của các hàm số lương giác:
Góc
hàm
0
2
π
α
< <
0
0
<
α
<90
0
2

π
α π
< <
90
0
<
α
<180
0
3
2
π
π α
< <
180
0
<
α
<270
0
3
2
2
π
α π
< <
270
0
<
α

<360
0
sin + +
− −
cos +
− −
+
tan +
−
+
−
cot +
−
+
−
I.1.2.3.Các hệ thức LG cơ bản
2 2
2
2
sin cos 1
sin
tan
cos 2
1
tan 1
2
cos
x k
x k
α α

α π
α π
α
π
α π
α
+ =
 
= ≠ +
 ÷
 
 
= + ≠ +
 ÷
 
( )
( )
2
2
tan .cot 1
cos
cot
sin
1
cot 1
sin
x k
x k
α α
α

α π
α
α π
α
=
= ≠
= + ≠
I.1.2.4.Các cung liên kết
Cung đối
( )
( )
( )
( )
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
α α
α α
α α
α α
− = −
− =
− = −
− = −
Cung bù
( )
( )
( )
( )

sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
π α α
π α α
π α α
π α α
− =
− = −
− = −
− = −
Cung hơn kém π
( )
( )
( )
( )
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
Cung phụ

sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
 
− =
 ÷
 
 
− =
 ÷
 
 
− =
 ÷
 
 
− =

 ÷
 
Cung hơn kém
2
π
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
 
+ =
 ÷
 
 
+ = −
 ÷
 
 

+ = −
 ÷
 
 
+ = −
 ÷
 
Đặc biệt
( )
( )
( )
( )
( )
sin k2 sin
cos k 2 cos
tan k tan
cot k cot
k Z
π α α
π α α
π α α
π α α
+ =
+ =
+ =
+ =
∈
I.1.2.5.Khảo sát hàm số LG
1.Miền xác đònh
y=sinu xác đònh khi u xác đònh; y=tanu xác đònh khi

2
k
π
π
≠ +u
y=cosu xác đònh khi u xác đònh; y=cotu xác đònh khi
k
π
≠u
(k∈Z)
2.Chu kỳ
Chu kỳ của y=sin(ax+b), y=cos(ax+b) là:
2
T=
a
π
; chu kỳ của y=tan(ax+b), y=cot(ax+b) là:
T=
a
π
.
I.1.3.Công thức LG
Công thức cộng:
( )
( )
( )
sin sinacosb sinbcosa
cos cosa cos b sinasinb
tan tan
tan b

1 tan tan
a b
a b
a b
a
a b
± = ±
± =
±
± =
m
m
Công thức nhân:
2
2 2 2 2
3
3
3
2
sin 2 2sin .cos
cos 2 cos - sin 2cos -1 1- 2sin
cos3 4cos - 3cos
sin 3 3sin 4sin
3tan - tan
tan3 =
1- 3tan
a a a
a a a a a
a a a
a a a

a a
a
a
=
= = =
=
= −
Tích thành tổng:
cosa.cosb =
1
2
[cos(a-b)+cos(a+b)]
sina.sinb =
1
2
[cos(a-b)-cos(a+b)]
sina.cosb =
1
2
[sin(a-b)+sin(a+b)]
Tổng thành tích:
sin sin 2sin cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b

a b
+ −
− =
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
±
± =
Công thức hạ bậc:
cos
2
a =
1
2
(1+cos2a)

sin
2
a =
1
2
(1−cos2a)
Biểu diễn các hàm số LG theo
a
t tan
2
=
2
2 2 2
2t 1-t 2t
sina ; cosa ; tana .
1 t 1 t 1 t
= = =
+ + −
I.2.Phương trình
I.2.1.Phương trìng LG cơ bản
* sinu=sinv
u v k2
u v k2
π
π π
= +

⇔

= − +


* cosu=cosv⇔u=±v+k2
π
* tanu=tanv⇔u=v+k
π
* cotu=cotv⇔u=v+k
π

( )
Zk ∈
.
I.2.2.Một số phương trình LG thường gặp
1.Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a.Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công
thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b.Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin
2
x+b.sinx+c=0
(hoặc a.cos
2
x+b.cosx+c=0, a.tan
2
x+b.tanx+c=0, a.cot
2
x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t
bằng hàm số LG.
2.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Đk để phương trình có nghiệm là
2 2 2
a b c+ ≥ .

C ách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt
tan
b
a
α
=
, ta được: sinx+tan
α
cosx=
cos
c
a
α
⇔
sinx
cos
α
+
sin
α
cosx=
cos
c
a
α
⇔
sin(x+
α
)=
cos

c
a
α
sin
ϕ
=
đặt
.
C ách 2: Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+
, ta được:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Đặt:
2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b
β β
= =
+ +
. Khi đó phương trình tương đương:
2 2
cos sin sin cos

c
x x
a b
β β
+ =
+
hay
( )
2 2
sin sin
c
x
a b
β ϕ
+ = =
+
đặt
.
Cách 3: Đặt
tan
2
x
t =
.
3.Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2
x=0 (*).

3
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với
2
x k
π
π
= +
.
+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta được: atan
2
x+btanx+c=0.
Nếu phương trình có dạng asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2
x=d thì biến đổi d=d(sin
2
x+cos
2
x) rồi đưa về phương trình (*).
Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc.
4.Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t |
2≤
.

sin cos 2 sin 2 cos

4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
x x x x
π π
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
Lưu y ùcác công thức :
II.DÃY SỐ_CẤP SỐ
II.1.Dãy số
II.1.1.Đònh nghóa
Dãy số là hàm số với đối số nguyên dương. Kí hiệu: (u
n
) hay u
0
; u
1
; … ;u
n
;
trong đó u
0

là số hạng đầu tiên, u
n
là số hạng thứ n.
Ví dụ: Xét dãy số
1
n
 
 ÷
 
với n>0 có u
1
=1; u
2
=
1
2
; …;u
n
=
1
n
II.1.2.Tính tăng, giảm
(u
n
) tăng ⇔ u
n
<u
n+1
,

∀n; (u
n
) giảm ⇔ u
n
>u
n+1
,

∀n
Cách xác đònh tính tăng giảm của dãy số:
*Cách 1: Chứng minh trực tiếp u
n
<u
n+1
(hoặc u
n
>u
n+1
)
*Cách 2: Lập hiệu số T:=u
n+1
-u
n
Nếu T>0⇒ (u
n
) tăng
Nếu T<0⇒ (u
n
) giảm
*Cách 3: (u

n
>0) Lập tỉ số H:=
n+1
n
u
u
Nếu H>1⇒ (u
n
) tăng
Nếu H<1⇒ (u
n
) giảm
II.1.3.Dãy bò chặn
(u
n
) bò chặn trên ⇔ ∃M: u
n
≤
M, ∀n∈N.
(u
n
) bò chặn dưới ⇔ ∃m: u
n
≥
m, ∀n∈N.
(u
n
) bò chặn ⇔ (u
n
) vừa bò chặn trên vừa bò chặn dưới.

II.2.Cấp số
II.2.1.Cấp số cộng (CSC)
II.2.1.1.Đònh nghóa
( )
1
_
n n n
u CSC u u d
+
⇔ = +
Đònh nghóa
(hằng số d được
gọi là công sai)
II.2.1.2.Công thức
1.Số hạng tổng quát
( )
1
1
n
u u n d= + −
2.Tính chất các số hạng của CSC
2
11
+−
+
=
nn
n
uu
u

3.Tổng n số hạng đầu của CSC
( ) ( )
1
1
1
2 2
n
n
n u u n d
S n u
+ −
 
= = +
 
 
II.2.2.Cấp số nhân (CSN)
II.2.2.1.Đònh nghóa
( )
1
_ .
n n n
u CSN u u q
+
⇔ =
Đònh nghóa
(hằng số q được
gọi là công bội)
II.2.2.2.Công thức
1.Số hạng tổng quát
1

1
.
n
n
u u q
−
=
2.Tính chất các số hạng của CSN
11
.
+−
=
nnn
uuu
(n≥2)
3.Tổng n số hạng đầu của CSN
1
1
1
n
n
q
S u
q
−
=
−
(q≠1)
III.GIỚI HẠN
III.1.Giới hạn của dãy số

a.Đònh nghóa:
a được gọi là giới hạn của dãy số u
n
nếu ∀
ε
>0
bé tuỳ ý ∃Nsao cho ∀n>N ta có |u
n
-a|<
ε
.
Kí hiệu:
lim hay lim
n n
n
u u
→∞
= =a a
.
b.các giới hạn cơ bản:
limC=C; (C_hằng số)
1
lim 0
k
n
=
;(kεN)
1
lim lim 0
n

n
u
u
= ∞ ⇔ =
.
c.Tính chất:
( )
*lim[ ] lim lim
*lim[ ] lim lim
lim
*lim 0
lim
*lim lim _hằng số
u v u v
u v u v
u u
v
v v
ku k u k
± = ±
× = ×
= ≠
=
4
d.Cách tính:
*Dạng: lim
( )
( )
p n
q n

(p(n),q(n) là các đa thức) thì chia tử
và mẫu cho u với số mũ cao nhất (hoặc đặt u với
số mũ cao nhất làm thừa số trước khi lấy lim).
*Dạng: lim[
( ) ( )p n q n±
] ta nhân biểu thức
liên hợp
( ) ( )p n q nm
trước khi lấy lim.
( ) ( )
3 3
2 2
3 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) + ( ) ).
p n q n
p n p n q n q n
±
×
m
(liên hợp của
là
III.2.Giới hạn của hàm số
a.Đònh nghóa:
L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x→x
0
nếu ∀
ε
>0 bé tuỳ ý ∃δ>0 sao cho 0<x<x
0

<δ ta có
| f(x)-L|<
ε
.
Kí hiệu:
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
.
b.Tính chất:
( )
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0 0
0
* lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
* lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
lim ( )
( )
* lim ( ) 0
( ) lim ( )
* lim ( ) lim ( )
* lim
x x x x x x

x x x x x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
f x g x f x g x
f x g x f x g x
f x
f x
g x
g x g x
Cf x C f x
C C C
→ → →
→ → →
→
→
→
→ →
→
± = ±
× = ×
= ≠
=
=
_hằng số
c.Cách tính:
*Nếu
0 0

lim ( ) 0, lim ( ) 0
x x x x
f x g x
→ →
= =
thì
0 0 0
0
0
( ) ( )
( ) ( )
lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x x x
x x p x
f x p x
g x x x q x q x
→ → →
−
= =
−
*Nếu
lim ( ) ,lim ( )
x x
f x g x
→∞ →∞
= ∞ = ∞
thì
( ) ( ) ( )
lim lim lim

( ) ( ) ( )
x x x
f x x p x p x
g x x q x q x
α
α
→∞ →∞ →∞
= =
với α là số lớn
nhất trong các số mũ của biến x.
*Giới hạn hàm căn thức: cách tìm tương tự cách
tìm giới hạn của dãy số chứa căn thức.
* Giới hạn hàm LG: ta có:
0
sin
lim 1
u
u
u
→
=
0
lim 0
u
u
→
=trong đó
;
0
lim 1

u
tgu
u
→
=
. Bằng các phép
biến đổi LG đưa về một trong các dạng có chứa
các giới hạn cơ bản trên.
*Cách tính giới hạn trái, phải:
0
0
( )
/ : ( )
( )
nếu
nếu
p x x x
G s f x
q x x x
>

=

<

.
Khi đó:
0 0 0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ); .
x x x x x x x x

f x p x f x q x
+ + − −
→ → → →
= =
Điều kiện để ∃ gh :
0
0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( ).
x x
x x x x
f x f x f x
+ −
→
→ →
= =
III.3.Hàm số liên tục_ứng dụng
III.3.1.Hàm số liên tục
0
0 0
( ) _ ( ) ( )
x x
f x x f x f x
→
⇔ =
đ/n
liên tục tại lim
. Các hàm đa thức, hữu tỉ, LG là liên tục trên tập xác đònh.
III.3.2.Ứng dụng (chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình)
Nếu f(x) liên tục trên [a;b] và f(a)f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc [a;b]
*

* *
ĐẠI SỐ TỔ HP
I. Quy tắc nhân
Nếu muốn hoàn thành một công việc
phải trải qua k giai đoạn,trong đó:
Giai đoạn 1 có n
1
cách thực hiện
Giai đoạn 2 có n
2
cách thực hiện
. . . . . . .
Giai đoạn k có n
k
cách thực hiện
Khi đó, có tất cả n
1
.n
2
… n
k
cách hoàn
thành công việt ấy.
II. Quy tắc cộng
Nếu một công việc có thể được hoàn
thành theo một trong k trường hợp độc lập
với nhau, trong đó:
Trường hợp 1 có n
1
cách

Trường hợp 2 có n
2
cách
. . . . . . .
Trường hợp k có n
k
cách
Khi đó, số cách hoàn thành công việc ấy
là: n
1
+n
2
+ … +n
k
.
5