đề thi cao đẳng môn toán khối a, a1, b, d năm 2014 kèm theo lời giải chi tiết

ÐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG KHỐI A, A1, B và D NĂM 2014
Môn thi : TOÁN
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
32
31   y x x
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 .
Câu 2 (1,0 điểm) Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2 2 5  z iz i
. Tìm phần thực,
phần ảo của z.
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân
2
2
1
2ln x

x
dx
x

Câu 4 (1,0 điểm): Giải phương trình: 3
2x+1
– 4.3
x
+1

= 0

()xR

Câu 5 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm
 
2;5A
và đường
thẳng (d):
3x-4y+1=0
. Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với d. Tìm
tọa độ điểm M thuộc d sao cho AM bằng 5
Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; -1),
B(1;2;3) và mặt phẳng (P): x + 2y - 2z + 3 =0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A
trên (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B và vuông góc với (P).
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc bằng 45
0
. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD).
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
22
22
7
22

  


    



x xy y
x xy y x y
( , )x y R

Câu 9 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( ) 2 5  f x x x
.
BÀI GIẢI
Câu 1. 1.
D
;
2
y 3x 6x

  
;
y 0 x 0 x 2

    

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên
 
;0
và
 
2;
; Hàm số đồng biến trên
 

0;2

Hàm số đạt cực đại tại
x2
,
CD
y3
; Hàm số đạt cực tiểu tại
x0
,
CT
y1



2. y(1) = 1; y’(1) = 3  Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
bằng 1 là : y = 3(x – 1) + 1 hay y = 3x – 2.
Câu 2: Đặt z = a + ib
Giả thiết  2(a + ib) – i(a – ib) = 2 + 5i  2a – b + (2b – a)i = 2 + 5i
 2a – b = 2 và 2b – a = 5  b = 4 và a = 3  phần thực là 3 và phần ảo là 4.
Câu 3:
2
2
1
1
2 ln (ln )

I xdx xd x
=
2

2
22
1
x3
ln x ln 2
22

  



Câu 4 :  3.3
2x
– 4.3
x
+ 1 = 0  3
x
= 1 hay 3
x
= 1/3 = 3
-1
 x = 0 hay x = -1.
Câu 5 : Ta có
d
n (3; 4)
, gọi H là hình chiếu của A lên (d)
Ta có phương trình AH là :
x 2 3t
y 5 4t




  

H  (d)  3(3t – 2) – 4(-4t + 5) + 1 = 0
 t = 1 vậy H (1; 1).
Vì AH = 5  M  H. Vậy M (1; 1).
Cách khác: Gọi  là đường thẳng qua A và vuông góc d thì  nhận
n (4;3)
làm vectơ
pháp tuyến, nên : 4(x + 2) + 3(y – 5) = 0  : 4x + 3y – 7 = 0
Phương trình đường tròn (C) tâm A bán kính R = 5 là (C) : (x + 2)
2
+ (y – 5)
2
= 25
Tọa độ M là nghiệm hệ phương trình :
22
3x 4y 1 0
(x 2) (y 5) 25
  


   


x1
y1







Vậy M (1; 1).
Câu 6: A (2; 1; -1); B (1; 2; 3); (P) : x + 2y – 2z + 3 = 0
n (1;2; 2)
là vectơ pháp tuyến của (P). Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc (P)
thì d :
x 2 t
y 1 2t
z 1 2t






  

(t  R)
Gọi H là hình chiếu của A trên (P) thì tọa độ của H thỏa hệ phương trình:
x 2 t
y 1 2t
z 1 2t
x 2y 2z 3 0







  


   


x1
y1
z1
t1











. Vậy H (1; -1; 1)
AB ( 1;1;4)
;
AB,n ( 10;2; 3) a

   


Gọi mp (Q) chứa A, B và vuông góc với (P) thì (Q) qua A và nhận
a
làm vectơ pháp
tuyến. Do đó (Q) : -10(x – 2) + 2(y – 1) – 3(z + 1) = 0 hay (Q): 10x – 2y + 3z - 15 = 0.
Câu 7. Ta có AC = SA =
a2
 V =
3
2
1 a 2
a .a 2
33


d( B; SCD) = d (A; SCD) =
a6
3
.

Câu 8.
22
22
x xy y 7 (1)
x xy 2y x 2y (2)

  


    




(2)  x = 2y hay x = -y – 1
* TH1: x = 2y và (1)  (y = -1; x =- 2) hay (y = 1; x = 2)

* TH2: x = -y – 1 và (1)  (y = 2; x = -3) hay (y = -3; x = 2)
S
D
C
B
A
Vậy hệ có các nghiệm là (2; 1); (-2; -1); (-3; 2); (2; -3).
Câu 9. f(x) =
2 x 5 x

D = [0; 5]; f’(x) =
1 1 2 5 x x
x 2 5 x 2 x. 5 x




f’(x) = 0  x = 4; f(0) =
5
; f(4) = 5; f(5) =
25

Vậy GTLN của f(x) trên [0; 5] là 5. GTNN của f(x) trên [0; 5] là
5

.
Trần Minh Quang, Trần Minh Thịnh
(Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn – TP.HCM)