GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 7 NĂM 2022

Phần
ĐẠI SỐ
5
Chương I
SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC
§ 1. TẬP HP
¤
CÁC SỐ HỮU TỈ
A. CHUẨN KIẾN THỨC
1. Số hữu tỉ
Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số
a
b
với a, b ∈
¢
, b ≠ 0.
2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
Để biểu diễn số hữu tỉ
a
b
với a, b ∈
¢
, b > 0, ta làm như sau :
a) Chia đoạn thẳng đơn vò (đoạn từ điểm 0 đến điểm 1, đoạn từ điểm 1 đến
điểm 2, ) thành b phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vò mới thì đơn vò
mới bằng
1
b
đơn vò cũ.
b) Nếu a > 0 thì số hữu tỉ
a

b
được biểu diễn bởi một điểm M nằm bên phải điểm
0 và cách điểm 0 một đoạn thẳng bằng a đơn vò mới.
c) Nếu a < 0 thì số hữu tỉ
a
b
được biểu diễn bởi điểm N nằm bên trái điểm 0 và
cách điểm 0 một đoạn thẳng a đơn vò mới.
Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.
3. So sánh hai số hữu tỉ
• Với hai số hữu tỉ bất kì x, y ta luôn có : hoặc x = y hoặc x < y hoặc
x > y. Chúng ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng
phân số rồi so sánh hai phân số.
• Nếu x < y thì trên trục số, điểm x ở bên trái điểm y.
• Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương ;
Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm ;
Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. HIỂU Ý NGHĨA CÁC KÍ HIỆU ∈, ∉, ⊂,
¥
,
¢
,
¤
6
 Phương pháp giải
• Dựa vào ý nghóa các kí hiệu để giải các bài toán đọc kí hiệu, xác đònh tính
đúng sai, điền kí hiệu thích hợp vào ô trống.
• Chú ý rằng
¥

⊂
¢
⊂
¤
.
 Các ví dụ
Ví dụ 1. Điền dấu (∈, ∉, ⊂) thích hợp vào các ô trống.
– 2010 
¤
;
4
7

¢
; 185 
¥
;
2
15

¤
;
2345 
¢
; –
4
17

¤
;

¥

¢

¤
.
Giải
– 2010
∈

¤
;
4
7

∉

¢
; 185
∈

¥
;
2
15

∈

¤
;

2345
∈

¢
; –
4
17

∈

¤
;
¥

⊂

¢

⊂

¤
.
Ví dụ 2. Cách viết nào sau đây đúng ?
a)
7
11
∈
¤
; b)
511

522
−
∈
¢
; c) 1
1
7
∈
¤
;
d) –2,5 ∈
¤
; e)
¢
⊂
¤
; f)
¤
⊂
¥
.
Giải
a) Đúng ; c) Đúng ; d) Đúng ; e) Đúng.
Dạng 2. BIỂU DIỄN SỐ HỮU TỈ
 Phương pháp giải
• Số hữu tỉ thường được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản.
• Để biểu diễn số hữu tỉ trên trục số, ta viết số đó dưới dạng phân số tối giản
có mẫu dương. Mẫu của phân số cho ta biết đoạn thẳng đơn vò cần phải chia
thành bao nhiêu phần bằng nhau.
 Các ví dụ

Ví dụ 1. Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ
2
5−
?
7
8
20
−
;
9
12−
;
10
25
−
;
6
15−
;
9
15−
.
Giải
Ta có :
8
20
−
=
2
5

−
;
9
12−
=
3
4
−
;
10
25
−
=
2
5
−
;
6
15−
=
2
5
−
;
9
15−
=
3
5
−

.
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ
2
5
−
là :
8
20
−
;
10
25
−
;
6
15−
.
Ví dụ 2. Biểu diễn số hữu tỉ
2
5
−
trên trục số.
Giải
Ta có :
2
5−
=
2
5
−

Dạng 3. SO SÁNH CÁC SỐ HỮU TỈ
 Phương pháp giải
• Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng một mẫu dương, rồi so sánh các
phân số đó.
• Chú ý : Nếu x, y, z ∈
¤
mà x < y và y < z thì x < z.
 Các ví dụ
Ví dụ 1. So sánh các số hữu tỉ sau :
a) x =
25
35
−
và y =
444
777−
; b) x = –2
1
5
và y =
110
50−
;
c) x =
17
20
và y = 0,75.
Giải
a) Ta có : x =
25

35
−
=
5
7
−
, y =
444
777−
=
444 4
777 7
− −
=
. Vậy x < y.
b) Ta có : x = –2
1
5
=
11
5
−
, y =
110
50−
=
110 11
50 5
− −
=

. Vậy x = y.
c) Ta có : x =
17
20
, y = 0,75 =
3 15
4 20
=
. Vậy x > y.
8
2

−
Ví dụ 2. So sánh các số hữu tỉ sau :
a)
1
2010
và
7
19
−
; b)
3737
4141
−
và
37
41
−
; c)

497
499−
và
2345
2341
−
.
Giải
a) Ta có :
1
2010
> 0 >
7
19
−
. b) Ta có :
3737
4141
=
3737 : 101 37
4141 : 101 41
− −
=
.
c) Ta có :
497
499
< 1 <
2345
2341

.
Dạng 4. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ SỐ HỮU TỈ
a
x =
b
LÀ SỐ HỮU TỈ DƯƠNG, ÂM, 0
 Phương pháp giải
• Số
a
x
b
=
là số hữu tỉ dương khi và chỉ khi a, b cùng dấu.
• Số
a
x
b
=
là số hữu tỉ âm khi và chỉ khi a, b khác dấu.
• Số
a
x
b
=
là số 0 khi và chỉ khi a = 0, b
≠
0.
 Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho số hữu tỉ
2009

2011
m
x
−
=
. Với giá trò nào của m thì :
a) x là số dương. b) x là số âm.
c) x không là số dương, cũng không là số âm.
Giải
a) Do 2011 > 0, nên x là số dương khi : m – 2009 > 0 ⇔ m > 2009.
b) Do 2011 ≥ 0, nên x là số âm khi : m – 2009 < 0 ⇔ m < 2009.
c) Do 2011 ≠ 0, nên x không là số dương, cũng không là số âm khi :
x = 0 ⇔ m – 2009 = 0 ⇔ m = 2009.
Ví dụ 2. Cho số hữu tỉ
20 11
2010
m
x
+
=
−
. Với giá trò nào của m thì :
a) x là số dương ? b) x là số âm ?
Giải
a) Vì –2010 < 0 nên x là số dương khi : 20m + 11 < 0 ⇔ m < –
11
20
.
9
b) Vì –2010 < 0 nên x là số âm khi : 20m + 11 > 0 ⇔ m > –

11
20
.
Dạng 5. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ SỐ HỮU TỈ
a
x =
b
LÀ MỘT SỐ NGUYÊN
 Phương pháp giải
Số hữu tỉ
a
x
b
=
là số nguyên khi và chỉ khi a chia hết cho b.
 Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các số nguyên a để số hữu tỉ
101
7
x
a
−
=
+
là một số nguyên.
Giải
x là số nguyên khi –101  (a + 7) , tức là a + 7 là ước của –101. Do đó :
a + 7 ∈ {1 ; –1 ; 101 ; –101} ⇔ a ∈ {–6 ; –8 ; 94 ; –108}.
Ví dụ 2. Tìm các số nguyên x để số hữu tỉ
3 8

5
x
t
x
−
=
−
là một số nguyên.
Giải
t là số nguyên khi (3x – 8)  (x – 5). Ta có 3x – 8 = 3x – 15 + 7 = 3(x – 5) + 7. Do
đó (3x – 8)  (x – 5) ⇔ 7  (x – 5) ⇔ x – 5 là ước của 7, tức là :
x – 5 ∈ {1 ; –1 ; 7 ; –7} ⇔ x ∈ {6 ; 4 ; 12 ; –2}.
Dạng 6. CHỨNG TỎ MỘT SỐ HỮU TỈ LÀ PHÂN SỐ TỐI GIẢN, TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT SỐ
HỮU TỈ LÀ MỘT PHÂN SỐ TỐI GIẢN
 Phương pháp giải
Số hữu tỉ
a
x
b
=
là phân số tối giản khi và chỉ khi ƯCLN (a, b) = 1.
 Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng tỏ số hữu tỉ
2 9
14 62
m
x
m
+
=

+
là phân số tối giản, với mọi m ∈
¥
.
Giải
Đặt d = ƯCLN (2m + 9, 14m + 62) (d ∈
*
¥
).
Ta có 2m + 9  d và
(14 62)m d+ M
, suy ra 7(2m + 9)  d và (14m + 62)  d hay
(14m + 63)  d và (14m + 62)  d. Do đó : (14m + 63) – (14m + 62)  d ⇒ 1  d.
10
Mà d ∈
¥
*. Nên d = 1. Vậy
2 9
14 62
m
x
m
+
=
+
là phân số tối giản với mọi m ∈
¥
.
Ví dụ 2. Tìm các số tự nhiên n để số hữu tỉ
2

3 7
n
y
n
−
=
+
là một phân số tối giản.
Giải
Gọi d là ước nguyên tố của n – 2 và 3n + 7. Ta có :
(3n + 7) – 3(n – 2)  d ⇒ 13  d ⇒ d = 13.
Do n – 2  13 nên đặt n – 2 = 13k (k ∈
¢
) ⇔ n = 13k + 2.
Vậy nếu n ≠ 13k + 2 (k ∈
¢
) thì số hữu tỉ đã cho là phân số tối giản.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1.1. So sánh các số hữu tỉ sau :
a)
247
249
−
−
và
17
18
−
−
. b)

2009
2008
−
và
12345
12347−
.
c)
89
110
và
44444
55555
. d)
2413
4824−
và
409
822
−
.
1.2. Cho
a c
b d
>
(b > 0, d > 0). Chứng minh rằng ad > bc.
1.3. Chứng minh rằng nếu
a c
b d
>

(b > 0, d > 0) thì
a
b
>
a c c
b d d
+
>
+
.
1.4. Cho các số nguyên dương a, b, c, d, e, g thoả mãn a < b < c < d < e < g.
Chứng minh rằng :
a)
1
3
a b
a b c d e g
+
<
+ + + + +
. b)
1
2
a c e
a b c d e g
+ +
<
+ + + + +
.
1.5. Cho số hữu tỉ x =

2010
1963
a −
. Với giá trò nào của a thì :
a) x là số âm ? b) x là số dương ?
c) x không là số dương và cũng không là số âm ?
1.6. Cho a, b ∈
¢
, b > 0.
a) So sánh hai số hữu tỉ
a
b
và
2010
2010
a
b
+
+
.
b) So sánh hai số hữu tỉ
a
b
và
a m
b m
+
+
với m ∈
¥

*.
1.7. Cho số hữu tỉ a =
7 3
2
x
x
−
+
(x ≠ –2). Với giá trò nguyên nào của x thì a là số nguyên ?
1.8. a) Chứng tỏ số hữu tỉ a =
4 7
12 22
m
m
+
+
là một phân số tối giản, với mọi m ∈
¥
.
b) Chứng tỏ số hữu tỉ b =
10 9
15 14
n
n
+
+
là một phân số tối giản, với mọi n ∈
¥
.
11

1.9. a) Tìm các số tự nhiên để số hữu tỉ x =
3
5 2
n
n
−
+
là một phân số tối giản.
b) Tìm các số tự nhiên n để số hữu tỉ y =
7
11 2
n
n
−
+
là một phân số tối giản.
1.10. Cho số hữu tỉ a =
9
3 4
x
x
−
+
.
a) Với giá trò nguyên nào của x thì a là số nguyên ?
b) Tìm các số tự nhiên x để số hữu tỉ a là một phân số tối giản.
1.11. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản.
a)
1
2n +

;
2
3n +
;
3
4n +
;
4
5n +
;
5
6n +
;
6
7n +
.
b)
1
4n +
;
2
5n +
;
3
6n +
; ;
99
102n +
.
§ 2. CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ

A. CHUẨN KIẾN THỨC

1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ
Viết hai số hữu tỉ x, y dưới dạng :
 x =
a
m
, y =
a
m
(a, b, m
∈

¢
; m > 0).
 x + y =
a
m
+
b
m
=
a b
m
+
.  x – y =
a
m
–
b

m
=
a b
m
−
.
2. Quy tắc “chuyển vế”
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi
dấu số hạng đó.
Với mọi x, y, z ∈
¤
thì : x + y = z ⇒ x = z – y.
3. Chú ý
Trong
¤
cũng có những tổng đại số, trong đó có thể đổi chỗ các số hạng, đặt
dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong
¢
.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. CỘNG, TRỪ HAI SỐ HỮU TỈ
 Phương pháp giải
Viết hai số hữu tỉ dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi áp dụng
quy tắc cộng, trừ phân số.
 Các ví dụ
12
Ví dụ 1. Tính :
a)
5 7
13 13

− −
+
. b)
3 2
14 21
−
+
. c)
1313 1011
1515 5055
−
+
.
Giải
a)
5 7
13 13
− −
+
=
5 ( 7) 12
13 13
− + − −
=
. b)
3 2
14 21
−
+
=

9 4 9 4 5
42 42 42 42
− − + −
+ = =
.
c)
1313 1011
1515 5055
−
+
=
13 1 13 3
15 5 15 15
− −
+ = +
=
13 ( 3) 10 2
15 15 3
+ −
= =
.
Ví dụ 2. Tính :
a)
2 7
15 10
−
. b) (–5) –
2
7
. c) 2,5 –

3
4
 
−
 ÷
 
.
Giải
a)
2 7
15 10
−
=
4 21 4 21 17
30 30 30 30
− −
− = =
. b) (–5) –
2
7
=
35 2 37
7 7 7
− −
− =
.
c) 2,5 –
3
4
 

−
 ÷
 
=
5 3 10 3 13
2 4 4 4 4
 
−
− − = − =
 ÷
 
.
Dạng 2. VIẾT MỘT SỐ HỮU TỈ DƯỚI DẠNG TỔNG HOẶC HIỆU CỦA HAI SỐ HỮU TỈ
 Phương pháp giải
 Để giải bài toán dạng này, thường :
– Viết số hữu tỉ đã cho dưới dạng phân số có mẫu dương.
– Viết tử của phân số này thành tổng hoặc hiệu của hai số nguyên.
 Từ đó viết được số hữu tỉ đã cho dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ.
 Các ví dụ
Ví dụ 1. Hãy viết số hữu tỉ
−7
20
dưới dạng sau :
a) Tổng của hai số hữu tỉ âm. b) Hiệu của hai số hữu tỉ dương.
Giải
a)
− − + − − − − −
= = + = +
7 5 ( 2) 5 2 1 1
20 20 20 20 4 10

. b)
− −
= = − = −
7 1 8 1 8 1 2
20 20 20 20 20 5
.
Ví dụ 2. Hãy viết số hữu tỉ
−1
5
dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm.
Giải
13
Ta có :
− − − + − − −
= = = +
1 4 3 ( 1) 3 1
5 20 20 20 20
.
Dạng 3. TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG MỘT TỔNG HOẶC HIỆU
 Phương pháp giải
Vận dụng quy tắc “chuyển vế”, quy tắc cộng, trừ phân số để tìm được số chưa
biết trong một tổng hoặc hiệu.
 Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm x, biết :
a) x +
−
=
1 3
12 8
. b) x – 2 =

−5
9
. c)
2
15
– x =
−3
10
. d) –x +
=
4 1
5 2
.
Giải
a) x +
−
=
1 3
12 8
⇒ x =
−
−
3 1
8 12
⇒ x =
9 2
24 24
−
−
⇒ x =

−11
24
.
b) x – 2 =
−5
9
⇒ x =
−
+
5
2
9
=
−5
9
⇒ x =
−
+
5 18
9 9
⇒ x =
13
9
.
c)
2
15
– x =
−3
10

⇒ –x =
−
−
3 2
10 5
⇒ –x =
−
−
3 4
10 10
⇒ –x =
−7
10
⇒ x =
7
10
.
d) –x +
=
4 1
5 2
⇒ –x =
−
1 1
2 5
⇒ –x =
−
5 2
10 10
⇒ –x =

3
10
⇒ x = –
3
10
.
Ví dụ 2. Tính tổng x + y biết : x –
=
5 3
12 8
và
− =
223 11
669 88
y
.
Giải
x –
=
5 3
12 8
⇒ x =
+
3 5
8 12
=
19
24
;
223

669
– y =
11
88
⇒ –y =
−
11 223
88 669
⇒ y =
5
24
.
Vậy x + y =
+ =
19 5 24
24 24 24
= 1.
Dạng 4. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
 Phương pháp giải
• Trường hợp 1 : Không có dấu ngoặc.
Có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách
thích hợp, rồi tính.
• Trường hợp 2 :
– Cách 1. Tính giá trò từng biểu thức trong dấu ngoặc trước.
14
– Cách 2. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các số hạng một cách thích hợp.
 Các ví dụ
Ví dụ 1. Tính :
a)
−

+ + −
5 4 17 41
12 37 12 37
. b)
 
− + − −
 ÷
 
1 43 1 1
2 101 3 6
.
Giải
a)
−
+ + −
5 4 17 41
12 37 12 37
=
   
− + + −
 ÷
 ÷
 
 
5 17 4 41
12 12 37 37
= 1 + (–1) = 0.
b)
 
− + − −

 ÷
 
1 43 1 1
2 101 3 6
=
 
−
+ − −
 ÷
 
1 1 1 43
2 3 6 101
=
 
−
+ − −
 ÷
 
3 2 1 43
6 6 6 101
=
43
101
−
.
Ví dụ 2. Tính :
 
− +
 ÷
 

5 3
9
3 7
–
 
+ −
 ÷
 
5 2
2
7 3
+
 
− −
 ÷
 
8 4
10
7 3
.
Giải
 Cách 1.
 
− +
 ÷
 
5 3
9
3 7
–

 
+ −
 ÷
 
5 2
2
7 3
+
8 4
10
7 3
 
− −
 ÷
 

=
35 9 189
21 21 21
 
− +
 ÷
 
–
42 15 14
21 21 21
 
+ −
 ÷
 

+
24 28 210
21 21 21
 
− −
 ÷
 
=
42
21
−
= –2.
 Cách 2.
5 3
9
3 7
 
− +
 ÷
 
–
5 2
2
7 3
 
+ −
 ÷
 
+
8 4

10
7 3
 
− −
 ÷
 

=
−
5 3
3 7
+ 9 – 2 –
+ + −
5 2 8 4
7 3 7 3
– 10
= (9 – 2 – 10) +
5 2 4
3 3 3
 
+ −
 ÷
 
+
3 5 8
7 7 7
 
− − +
 ÷
 

= –3 + 1 + 0 = –2.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
2.1. Tìm x, biết :
a) x –
= −
4 7 3
15 10 4
. b) 2
1
3
– x =
−5
9
– 2.
2.2. Tính tổng x + y – z biết : x –
1
4
=
2
3
, 1
1
2
– y = 2 và z –
−
=
1 1
6 2
.
2.3. Tính :

15
a)
5 1 7
19 511 12
 
− +
 ÷
 
–
1 1 5
511 2 19
 
− − +
 ÷
 
. b) –
 
− +
 ÷
 
13 4 2
25 191 51
+
 
− + +
 ÷
 
4 2 3
191 51 5
.

2.4. Tính :
a)
− − −
1 1 1 1
199 199.198 198.197 197.196
– –
1
3.2
–
1
2.1
.
b) 1 –
− −
2 2 2
3.5 5.7 7.9
– –
−
2 2
61.63 63.65
.
2.5. Cho x ∈
1 2 3 7
; ; ;
4 5 20 10
 
− − − −
 
 
, y ∈

4 11 2
; ;
7 21 3
 
 
 
.
a) Tìm giá trò lớn nhất của x + y.
b) Tìm giá trò nhỏ nhất của x + y.
2.6. Tìm x, biết :
+ +
+ + + + +
1 1 1
( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3)x x x x x x
–
=
1 1
2010x
.
2.7. Cho 301 số hữu tỉ, trong đó 3 số bất kì nào cũng có tổng là một số hữu tỉ
âm.
a) Chứng minh rằng tổng của 301 số đó là một số âm.
b) Có thể khẳng đònh tất cả 301 số đó đều là số âm không ?
2.8. a) Có tồn tại hay không một dãy gồm bảy số, sao cho hai số liên tiếp nào
cũng có tổng là số dương, còn tổng của cả bảy số lại là số âm ?
b) Có tồn tại hay không một dãy gồm chín số sao cho ba số liên tiếp nào cũng
có tổng là số dương, còn tổng của cả chín số lại là số âm ?
§ 3. NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ
A. CHUẨN KIẾN THỨC
1. Nhân hai số hữu tỉ

Với x =
a
b
, y =
c
d
ta có x.y =
a
b
.
c
d
=
.
.
a c
bd
.
2. Chia hai số hữu tỉ
16
Với x =
a
b
, y =
c
d
(y ≠ 0) ta có x : y =
a
b
:

c
d
=
a
b
.
d
c
=
.
.
a d
bc
.
 Chú ý :
a) Phép nhân trong
¤
có các tính chất cơ bản như phép nhân trong
¢
: giao
hoán, kết hợp, nhân với 1, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
Mọi số hữu tỉ khác 0 đều có số nghòch đảo.
b) Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y ≠ 0) gọi là tỉ số của x và
y, kí hiệu là
x
y
hay x : y.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. NHÂN, CHIA HAI SỐ HỮU TỈ
 Phương pháp giải

Viết hai số hữu tỉ, dưới dạng hai phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.
 Các ví dụ
Ví dụ 1. Tính : a) 4,5.
4
9
 
−
 ÷
 
. b)
1
2
3
 
−
 ÷
 
.1
1
14
.
Giải
a) 4,5.
4
9
 
−
 ÷
 
=

9 4 9.( 4)
2 9 2.9
− −
× =
= –2. b)
1
2
3
 
−
 ÷
 
.1
1
14
=
7 15 1.5 5
.
3 14 1.2 2
− − −
= =
.
Ví dụ 2. Tính : a)
11
15
 
−
 ÷
 
: 1

1
10
. b)
7
11
−
: (–3,5).
Giải
a)
11
15
 
−
 ÷
 
: 1
1
10
11 10 2
.
15 11 3
− −
= =
. b)
7
11
−
: (–3,5)
7 2 2
.

11 7 11
−
= =
−
.
Dạng 2. VIẾT MỘT SỐ HỮU TỈ DƯỚI DẠNG TÍCH HOẶC THƯƠNG CỦA HAI SỐ HỮU TỈ
 Phương pháp giải
Để giải bài toán dạng này, ta thường viết số hữu tỉ đã cho dưới dạng phân số. Viết
tử và mẫu của phân số dưới dạng tích của hai số nguyên. Từ đó viết được số hữu
tỉ đã cho dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ.
 Các ví dụ
17
Ví dụ 1. Hãy viết số hữu tỉ
11
81
−
dưới các dạng sau :
a) Tích của hai số hữu tỉ. b) Thương của hai số hữu tỉ.
Giải
a)
11 1 11
.
81 3 27
− −
=
. b)
11 1 27
:
81 3 11
− −

=
.
Ví dụ 2. Hãy viết số hữu tỉ
1
7
dưới các dạng sau :
a) Tích của hai số hữu tỉ âm. b) Thương của hai số hữu tỉ âm.
Giải
a)
1 1 5
.
7 5 7
−
= −
. b)
1 1 7
:
7 4 4
− −
=
.
Dạng 3. TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG MỘT TÍCH HOẶC THƯƠNG
 Phương pháp giải
Vận dụng quy tắc nhân, chia phân số để tìm được số chưa biết trong một tích
hoặc thương.
 Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm x, biết :
a) x.
3
7

 
−
 ÷
 
=
5
21
. b) 1
5 28
.
9 9
x =
.
c) x :
2 15
5 16
 
− = −
 ÷
 
. d)
4 2
:
7 5
x
−
= −
.
Giải
a) x.

3
7
 
−
 ÷
 
=
5
21
⇒ x =
5 3
:
21 7
 
−
 ÷
 
⇒ x =
5 7
.
21 3
 
−
 ÷
 
⇒ x =
5
9
−
.

b) 1
5 28
.
9 9
x =
⇒
14 28
.
9 9
x =
⇒ x =
28 14
:
9 9
⇒ x =
28 9
.
9 14
⇒x = 2.
c) x :
2 15
5 16
 
− = −
 ÷
 
⇒ x =
15 2
.
16 5

 
−
−
 ÷
 
⇒ x =
3
8
.
d)
4 2
:
7 5
x
−
= −
⇒ x =
4 2
:
7 5
 
−
−
 ÷
 
⇒ x =
4 5
.
7 2
 

−
−
 ÷
 
⇒ x =
10
7
.
18
Ví dụ 2. Tính x – y, biết : x.
4
13
 
−
 ÷
 
=
3
26
−
, y :
13
5
−
=
10
39
.
Giải
Ta có : x.

4
13
 
−
 ÷
 
=
3
26
−
⇒ x = –
3
26
:
4
13
 
−
 ÷
 
⇒ x =
3
26
−
.
13
4
−
⇒ x =
3

8
.
y :
13
5
−
=
10
39
⇒ y =
10
39
.
13
5
−
⇒ y =
2
3
−
.
Do đó : x – y =
3 2
8 3
−
−
=
9 16 25
24 24 24
−

− =
.
Dạng 4. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
 Phương pháp giải
Vận dụng quy tắc thực hiện các phép tính, thứ tự thực hiện các phép tính và
tính chất của các phép tính.
 Các ví dụ
Ví dụ 1. Tính :
a)
4
7
−
–
5
13
.
39
25
−
+
1
42
−
:
5
6
 
−
 ÷
 

. b)
2 4 1 2 2
: 1
9 45 5 15 3
 
 
−
× − +
 ÷
 
 
 
–
5
27
−
.
Giải
a)
4
7
−
–
5
13
.
39
25
−
+

1
42
−
:
5
6
 
−
 ÷
 
=
4
7
−
+
3 1 6
5 42 5
 
− −
+ ×
 ÷
 
4 3 1
7 5 35
−
= + +
=
20 21 1 2
35 35 35 35
−

+ + =
.
b)
2 4 1 2 2
: 1
9 45 5 15 3
 
 
−
× − +
 ÷ 
 
 
–
5
27
−
=
2 4 1 5 5
. :
9 45 15 3 27
 
− −
+ −
 
 
=
2
9
.

4 15 5
.
45 1 3
 
−
+
 
 
–
5
27
−

=
2
9
4 5 5
3 3 27
é ù
-
ê ú
- + -
ê ú
ë û
=
2 1 5 2 5 7
.
9 3 27 27 27 27
- -
- = - =

.
Ví dụ 2. Tính :
a) 12
3
5
:
5
7
 
−
 ÷
 
+ 2
2
5
:
5
7
 
−
 ÷
 
. b)
4 4 4
3
115 5 6115
7 7 7 7
115 5 6115
− −
+

− −
.
Giải
19
a) 12
3
5
:
5
7
 
−
 ÷
 
+ 2
2
5
:
5
7
 
−
 ÷
 
=
3 2 5
12 2 :
5 5 7
   
−

+
 ÷
 ÷
 
 
= 15.
7
5
 
 ÷
 − 
= –21.
b)
4 4 4
3
115 5 6115
7 7 7 7
115 5 6115
− −
+
− −
=
1 1 1
4
115 5 6115
3
7
1 1 1
7
115 5 6115

 
− −
 ÷
 
+
 
− −
 ÷
 
=
4 3
7 7
+
= 1.
Dạng 5. TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG MỘT PHÉP TÍNH
 Phương pháp giải
Vận dụng quy tắc thực hiện các phép tính, thứ tự thực hiện các phép tính và tính
chất của các phép tính, từ đó giúp tìm được số chưa biết trong một phép tính.
 Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm x, biết :
a)
5 2 3
:
7 3 7
x
 
−
− =
 ÷
 

. b)
6 1 3
:
35 2 25
x
 
−
− =
 ÷
 
.
Giải
a)
5 2 3
:
7 3 7
x
 
−
− =
 ÷
 
⇒ x –
5 3 2
7 7 3
−
= ×
⇒ x –
5 2
7 7

= −
⇒ x =
2 5
7 7
−
+
⇒ x =
3
7
.
b)
6 1 3
:
35 2 25
x
 
−
− =
 ÷
 
⇒ x –
1 6 3
:
2 35 25
−
=
⇒ x –
1 10
2 7
−

=
⇒ x =
13
14
−
.
Ví dụ 2. Tìm x, biết :
a)
2
7
x –
1
3
x =
5
21
. b)
1 2 3
1974 1973 1972
x x x+ + +
+ +
= –3.
Giải
a)
2
7
x –
1
3
x =

5
21
⇒
6 7 5
21 21 21
x x− =
⇒ –
1 5
21 21
x =
⇒ x =
5 1
:
21 21
 
−
 ÷
 
⇒ x = –5.
b)
1 2 3
1974 1973 1972
x x x+ + +
+ +
= –3 ⇒
1 2 3
1 1 1 0
1974 1973 1972
x x x+ + +
+ + + + + =

⇒
1975 1975 1975
0
1974 1973 1972
x x x+ + +
+ + =
⇒ (x + 1975)
1 1 1
1974 1973 1972
 
+ +
 ÷
 
= 0 ⇒ x = –1975.
(Vì
1 1 1
1974 1973 1972
+ +
≠ 0).
20
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
3.1. Thực hiện phép tính :
a)
1 1 1 1 1 1 1
2 3.7 7.11 11.15 15.19 19.23 23.27
− − − − − −
.
b)
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1

5 6 7 8 9 10
           
− × − × − × − × − × −
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷
         
 
.
c) 1 –
1 1 1
5.10 10.15 15.20
− −
– –
1
95.100
.
d)
1 1 1 1

1.2 3.4 5.6 49.50
 
+ + + +
 ÷
 
:
1 1 1 1

26 27 28 50
 
+ + + +

 ÷
 
.
3.2. Tìm x, biết :
a)
1 3 33
2 5 25
x x
−
+ =
. b)
2 4 1 3
:
3 9 2 7
x x
   
−
− +
 ÷ ÷
   
= 0. c)
5 6 7
3
2005 2004 2003
x x x+ + +
+ + = −
3.3. Cho A =
1 1 1
1.2 3.4 5.6
+ +

+ +
1
99.100
. Chứng minh rằng
7
12
< A <
5
6
.
3.4. Tìm các số hữu tỉ x, y sao cho :
a) x – y = 2(x + y) = x : y. b) x + y = xy = x : y.
3.5. Tìm x, biết :
a)
1
5
x
 
−
 ÷
 
4
7
x
 
× +
 ÷
 
> 0. b)
2

3
x
 
+
 ÷
 
(x + 2) < 0.
3.6. a) Cho x, y, z ∈
¤
, thoả mãn : x + y =
7
12
; y + z =
19
24
−
; z + x =
1
8
. Tìm x, y, z.
b) Cho x, y, z thoả mãn :
12
7
xy
x y
=
+
;
yz
y z+

= –6 ;
zx
z x+
= –4. Tìm x, y, z.
3.7. Cho 206 số hữu tỉ trong đó tích của bất kì 5 số nào cũng là một số âm. Chứng
minh rằng :
a) Tích của 206 số đó là một số dương. b) Tất cả 206 số đó đều là số âm.
§ 4. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP PHÂN
A. CHUẨN KIẾN THỨC
1. Giá trò tuyệt đối của một số hữu tỉ
Giá trò tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu x, được xác đònh như sau :
x =
0
0
x x
x x
ì
ï
³
ï
í
- <
ï
ï
ỵ
nếu
nếu
21
Nhận xét :

Với mọi x ∈
¤
luôn có x ≥ 0, x = –x, x ≥ x và x ≥ –x.
Trên trục số, x là khoảng cách từ điểm biểu diễn của x tới gốc O.
2. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân
Để cộng, trừ, nhân, chia số thập phân dương và âm, ta có thể viết chúng dưới
dạng phân số thập phân rồi làm theo quy tắc các phép toán đã biết về phân số.
• Trong thực hành, khi cộng, trừ, nhân hai số thập phân ta thường áp dụng quy
tắc tìm giá trò tuyệt đối của kết quả, đặt dấu “+” hoặc “–” trước kết quả nhận
được như khi cộng, trừ, nhân hai số nguyên.
• Khi chia số thập phân x cho số thập phân y (y ≠ 0), ta áp dụng quy tắc :
Thương của hai số thập phân x và y là thương của x và y với dấu “+” đằng
trước nếu x và y cùng dấu, và dấu “–” đằng trước nếu x và y khác dấu.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1.

TÌM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
 Phương pháp giải
Ghi nhớ rằngx = 0, nếu x = 0 ; x = x nếu x > 0 ; x = –x nếu x < 0.
 Các ví dụ
Ví dụ 1. Tính x, biết :
a) x =
5
13
. b) x =
73
161
−
. c) x = –5,8.
Giải

a) x =
5
13
= 13. b) x =
73
161
-
=
73
161
. c) x = –5,8 = 5,8.
Ví dụ 2. Tính
6 4 2
25 5 25
−
+ − −
.
Giải
6 4 2
25 5 25
−
+ − −
=
6 4 2 6 20 2 12
25 5 25 25 25 25 25
- -
+ - = + - =
.
Dạng 2. TÌM MỘT SỐ KHI BIẾT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA SỐ ĐÓ
 Phương pháp giải

Lưu ý rằng x = a với x ∈
¤
:
Nếu a = 0 thì x = 0 ; nếu a > 0 thì x = a hoặc x = –a ; nếu a < 0 thì x ∈ ∅.
 Các ví dụ
22
Ví dụ 1. Tính x, biết :
a) x =
4
7
. b) x = 0. c) x = –8,7.
Giải
a) x =
4
7
⇒ x =
4
7
hoặc x = –
4
7
. b) x = 0 ⇒ x = 0.
c) x = –8,7 ⇒ x ∈ ∅.
Ví dụ 2. Tính x, biết :
a)
2 1
5 4
x − =
. b) x + 0,8 – 2,9 = 0.
Giải

a)
2 1
5 4
x − =
⇒ x –
2 1
5 4
=
hoặc x –
2 1
5 4
−
=
⇒ x =
13
20
hoặc x =
3
20
.
b) x + 0,8 – 2,9 = 0 ⇒ x + 0,8 = 2,9
⇒ x + 0,8 = 2,9 hoặc x + 0,8 = –2,9
⇒ x = 2,1 hoặc x = –3,7.
Dạng 3. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC CÓ CHỨA GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI
 Phương pháp giải
• Để tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A ta làm như sau :
– Chứng minh A ≥ m với m là hằng số.
– Chỉ ra A = m.
– Kết luận giá trò nhỏ nhất của A là m.

• Để tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A ta làm như sau :
– Chứng minh A ≤ n với n là hằng số.
– Chỉ ra A = n.
– Kết luận giá trò lớn nhất của A là n.
• Lưu ý rằng : x ≥ 0. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0
–x = x ≥ x. Dấu “=” xảy ra ⇔ x ≥ 0.
 Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm giá trò nhỏ nhất của các biểu thức sau :
a) A = x +
4
17
. b) B = x + 2,8 – 6,9.
23
Giải
a) Ta có x ≥ 0. Do đó x +
4
17
≥
4
17
hay A ≥
4
17
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0.
Vậy giá trò nhỏ nhất của A là
4
17
.
b) Ta có x + 2,8 ≥ 0. Do đó x + 2,8 – 6,9 ≥ –6,9 hay B ≥ –6,9. Dấu “=” xảy ra
khi : x + 2,8 = 0 ⇔ x = –2,8. Vậy giá trò nhỏ nhất của B là –6,9.

Ví dụ 2. Tìm giá trò lớn nhất của các biểu thức sau :
a) A = –
8
319
x +
+
141
272
. b) B = 18,9 – x – 2,5.
Giải
a) Ta có :
8
0
319
x− + ≤
. Do đó :
8 141
319 272
x− + +
≤
141
272
hay A ≤
141
272
, không
đổi. Dấu “=” xảy ra khi : x +
8
319
= 0 ⇔ x = –

8
319
. Vậy giá trò lớn nhất của A là
141
272
.
b) Ta có : –x – 2,5 ≤ 0, do đó 18,9 – x – 2,5 ≤ 18,9 hay B ≤ 18,9 không đổi.
Dấu “=” xảy ra khi x – 2,5 = 0 ⇔ x = 2,5. Vậy giá trò lớn nhất của B là 18,9.
Ví dụ 3. Tìm giá trò nhỏ nhất của các biểu thức sau :
a) A = x +
1
5
 – x +
4
7
. b) B = x – 2010 + x – 1963.
Giải
a) Ta có x +
1
5
 ≥ x +
1
5
. Do đó A ≥ x +
1
5
– x +
4
7
hay A ≥

27
35
, không đổi. Dấu
“=” xảy ra khi : x +
1
5
≥ 0 ⇔ x ≥
1
5
−
. Vậy giá trò nhỏ nhất của A là
27
35
.
b) Ta có x – 2010 = 2010 – x ≥ 2010 – x và x – 1963 ≥ x – 1963. Do đó
2010 1963B x x- + -³
hay B ≥ 47, không đổi. Dấu “=” xảy ra khi :
2010 – x ≥ 0 và x – 1963 ≥ 0 ⇔ 2010 ≥ x ≥ 1963.
Vậy giá trò nhỏ nhất của B là 47.
SAI LẦM THƯỜNG GẶP : Ta có : x – 2010≥ 0, x – 1963≥ 0. Do đó B ≥ 0. Rồi
vội vàng kết luận, giá trò nhỏ nhất của B là 0. Sai ở chỗ, không có giá trò x nào
để đồng thời có x – 2010 = 0 và x – 1963 = 0.
Dạng 4. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA CÁC SỐ THẬP PHÂN
 Phương pháp giải
Vận dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân và các tính chất
24
của các phép tính.
 Các ví dụ
Ví dụ 1. Tính :
a) –8,42 + 5,17. b) 9,2.(–0,3).

c) 4,28 – 9,5. d) –15,244 : 3,7.
Giải
a) –8,42 + 5,17 = –3,25. b) 9,2.(–0,3) = –2,76.
c) 4,28 – 9,5 = –5,22. d) –15,244 : 3,7 = –4,12.
Ví dụ 2. Tính bằng cách hợp lí :
a) –28,4.14,71 + (–28,4).85,29.
b) (5,23 + 72,9 – 47,8) – (12,9 + 3,23 – 46,8).
Giải
a) –28,4.14,71 + (–28,4).85,29 = (–28,4).(14,71 + 85,29) = –28,4.100 = –2840.
b) (5,23 + 72,9 – 47,8) – (12,9 + 3,23 – 46,8)
= 5,23 + 72,9 – 47,8 – 12,9 + 3,23 + 46,8
= (5,23 – 3,23) + (72,9 – 12,9) + (–47,8 + 46,8)
= 2 + 60 + (–1) = 61.
Dạng 5. TÌM PHẦN NGUYÊN, PHẦN LẺ CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
 Phương pháp giải
Lưu ý rằng :
– Phần nguyên của một số hữu tỉ x, kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không
vượt quá x. Vậy [x] ≤ x < [x] + 1
– Phần lẻ của một số hữu tỉ x, kí hiệu {x} là hiệu x – [x]. Vậy 0 ≤ {x} < 1.
 Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm
3
5
 
 
 
;
9
2
 

 
 
; [–8,7] ; [–4] ; [2010] ;
15
4
 
−
 
 
.
Giải
3
5
 
 
 
= 0 ;
9
2
 
 
 
= 4 ; [–8,7] = –9 ; [–4] = –4 ; [2010] = 2010 ;
15
4
 
−
 
 
= –4.

Ví dụ 2. Tìm [x], biết :
25
a) 7 < x <
47
6
. b) –
26
5
< x < –5.
Giải
a) Ta có 7 < x <
47
6
< 8 nên [x] = 7. b) Ta có –6 < –
26
5
< x < –5 nên [x] = –6.
Ví dụ 3. Tìm {x }, biết :
a) x =
15
4
. b) x = 9,3. c) x = –
21
8
. d) x = –14,2.
Giải
a) x =
15
4
nên [x] = 3. Do đó {x} = x – [x] =

15
4
– 3 =
3
4
.
b) x = 9,3 nên [x] = 9. Do đó {x} = x – [x] = 9,3 – 9 = 0,3.
c) x = –
21
8
nên [x] = –3. Do đó {x} = x – [x] = –
21
8
– (–3) =
3
8
.
d) x = –14,2 nên [x] = –15. Do đó {x} = x – [x] = –14,2 – (–15) = 0,8.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

4.1. Tìm x ∈
¤
, biết :
a) x –
4
5
 =
1
5
. b) x +

9
20
 =
4
5
.
c) 0,9 – x = 5,8. d) x –
4
5
 = 9,7.
4.2. Tìm giá trò nhỏ nhất của các biểu thức sau :
a) A = x –
5
7
 +
2
3
. b) B = x +
9
11
 –
3
7
.
c) C = x + 5,8 – 2,4. d) D = 5 – x + 8,5.
4.3. Tìm giá trò lớn nhất của các biểu thức sau :
a) A = –x +
4
7
 +

12
19
. b) B = 19,8 – x – 5,3.
c) C = –2,8 – x + 8,11. d) D = –x –
5
9
 +
13
31
.
4.4. Tìm x, y, z ∈
¤
biết :
a) x +
3
7
 + y –
4
9
 + z +
5
11
 = 0.
26
b) x –
2
5
 + x + y –
1
2

 + y – z +
3
5
 = 0.
c) x + y – 2,8 + y + z + 4 + z + x – 1,4 = 0.
4.5. Tìm giá trò nhỏ nhất của các biểu thức sau :
a) A = x – 20 + x – 2010. b) B = x + 8,9 + x – 1,2.
c) C = x – 3 + x – 5 + x – 91. d) D = x –
1
2
 + x –
5
3
 + x – 3.
4.6. a) Tìm [x] biết : x = 8,7 ; x =
5
2
−
; x = –7
1
2
.
b) Tìm {x} biết : x = 8,2 ; x =
4
7
; x = –
2
3
.
4.7. a) Cho biết [x] = [y]. Chứng minh rằng –1 < x – y < 1.

b) Cho n ∈
¥
. Chứng minh rằng
1
2 2
n n
   
+
+
   
   
= n.
§ 5. LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
A. CHUẨN KIẾN THỨC
1. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên
 Cho n là số tự nhiên khác 0 và 1, x là một số hữu tỉ bất kì. Luỹ thừa bậc n của
số x, kí hiệu x
n
, là tích của n thừa số x.
. .
n
x x x x x=
14 2 43
n thừa số
(x ∈
¤
, n ∈
¥
, n ≠ 0 và 1)
(x

n
gọi là luỹ thừa, x là cơ số, n là số mũ).
 x
1
= x ; x
0
= 1 (x ≠ 0).
Nếu x =
a
b
thì
n
n
n
a a
b
b
 
=
 ÷
 
.
 Quy ước : x
0
= 1 (x ∈
¤
, x ≠ 0) ; x
1
= x.
2. Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số

• Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ :
.
m n m n
x x x
+
=
• Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của
luỹ thừa bò chia trừ đi số mũ của luỹ thừa chia :
x
m
: x
n
= x
m – n
(x ≠ 0, m ≥ n)
3. Luỹ thừa của luỹ thừa
Khi tính luỹ thừa của một luỹ thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ :
27
(x
m
)
n
= x
m.n
4. Luỹ thừa của một tích
Luỹ thừa của một tích bằng tích các luỹ thừa : (x.y)
n

= x
n

.y
n
5. Luỹ thừa của một thương
Luỹ thừa của một thương bằng thương các luỹ thừa : (x : y)
n
= x
n
: y
n
(y ≠ 0)
6. Luỹ thừa với số mũ nguyên âm : x
–n
=
1
n
x
(n ∈
¥
*
, x ≠ 0)
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. TÍNH
 Phương pháp giải
Vận dụng đònh nghóa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên các công thức tích và
thương của hai luỹ thừa cùng cơ số, luỹ thừa của luỹ thừa, luỹ thừa của một tích,
luỹ thừa của một thương cùng với thứ tự thực hiện các phép tính, tính chất của
các phép tính và quy tắc dấu ngoặc.
28