Bài tập toán cao cấp II

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (831.79 KB, 159 trang )

˜
’
ˆ
NGUYEN THUY THANH

`
ˆ
BAI TAP
.
´
´
ˆ
TOAN CAO CAP
Tˆp 2
a
.
Ph´p t´ vi phˆn c´c h`m
e ınh
a a a

´
´
’
`
ˆ
ˆ
`
ˆ
NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI
.
.

.

Muc luc
.
.
´
’
a e
a
o
7 Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o
.
.
´
’ a o
7.1 Gi´.i han cua d˜y sˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o .
ı
o .
7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜a gi´.i han .
a a a e
o .
.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn c´c
´
e a
7.1.2 Ch´
u
. o . ’ a o .

.
dinh l´ vˆ gi´.i han . . . . . . . . . . . . . . . .
y ` o .
e
.
`
´
e
e
7.1.3 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn diˆu
u
. o . ’ a o .
.
’
’ e a o .
kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´
e
e y
.
.
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . .
`
´
e
7.1.4 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn diˆu
u
e
. o . ’ a o .
.
’

kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´ hˆi tu
e `
e y o .
. a a ’ e a o .
.
.
7.2
7.3
7.4

Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . .
.i han h`m mˆt biˆn . . . . . . . . . . . . . . . .
´
a
o
e
Gi´ .
o
.
’ ` o .
e
y
7.2.1 C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co. ban vˆ gi´.i han
a
a e
a .
.
H`m liˆn tuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
e .

´
`
a e . ’ a
e
e
Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . .
o .

3
4
5
11

17

. .

25

. .

27

. .

27

. .

41

. .

51

´
8 Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ınh
a
a
o
e
60
.
- . a
8.1 Dao h`m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
- . a
´
8.1.1 Dao h`m cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
a
- . a
´
8.1.2 Dao h`m cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
a
8.2

Vi phˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
´
8.2.1 Vi phˆn cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a a

75
75

2

MUC LUC
.
.

8.3

´
8.2.2 Vi phˆn cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a
. ban vˆ h`m kha vi. Quy t˘c l’Hospital.
´
’
C´c dinh l´ co ’ ` a
a .
e
a
y
Cˆng th´.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
u
’ ` a
’

8.3.1 C´c d inh l´ co. ban vˆ h`m kha vi . . . . . . . .
a .
e
y
. c´c dang vˆ dinh. Quy t˘c Lˆpitan
´
’
8.3.2 Khu a
o .
a
o
.
(L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 Cˆng th´.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
u

´
`
9 Ph´p t´
e ınh vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
a
a
e
e
- . a
9.1 Dao h`m riˆng . . . . . . . . . . . . . . .
e
- . a
´

9.1.1 Dao h`m riˆng cˆp 1 . . . . . . . .
e
a
- . a
’ a
9.1.2 Dao h`m cua h`m ho.p . . . . . . .
.
’
9.1.3 H`m kha vi . . . . . . . . . . . . .
a
- . a
9.1.4 Dao h`m theo hu.´.ng . . . . . . . .
o
- . a
´
9.1.5 Dao h`m riˆng cˆp cao . . . . . . .
e
a
´
`
9.2 Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . . . .
a ’ a
e
e
´
9.2.1 Vi phˆn cˆp 1 . . . . . . . . . . . .
a a
´
’
`

9.2.2 Ap dung vi phˆn dˆ t´nh gˆn d´ng
a e ı
a u
.
´
9.2.3 C´c t´ chˆt cua vi phˆn . . . . .
a ınh a ’
a
´
9.2.4 Vi phˆn cˆp cao . . . . . . . . . . .
a a
.c Taylor . . . . . . . . . .
9.2.5 Cˆng th´
o
u
9.3

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
’
9.2.6 Vi phˆn cua h`m ˆn . . . . . . . . .
a ’ a a
´
`
Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . . . . .
e
e
.
. ’ a
.c tri . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Cu
.
.

.c tri c´ diˆu kiˆn . . . . . . . . . .
9.3.2 Cu
e
e
.
. o `
.
.n nhˆt v` b´ nhˆt cua h`m .
´
´
9.3.3 Gi´ tri l´
a . o
a a e a ’ a

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

77
84
84
88
96
109
110
110
111
111
112
113
125
126
126
127

127
129
130
145
145
146
147

Chu.o.ng 7
’
Gi´.i han v` liˆn tuc cua
o
a e
.
.
´
h`m sˆ
a
o

7.1

´
’
Gi´.i han cua d˜y sˆ . . . . . . . . . . . . . .
o
a o
.
ıa o

7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜ gi´.i
a a
a e
o .
han . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
´
e
7.1.2 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
u
. o . ’ a o .
.
` gi´.i han . . . . . . . . . . . .
y e
c´c dinh l´ vˆ o .
a .
´
a o .
7.1.3 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a
u
. o . ’
.
’
`
’ e a
e
e
o .
e
trˆn diˆu kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn

e
.
.
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . .
7.1.4

4

5

11

l´
y
17

´
e
Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
u
. o . ’ a o .
.
’
`
e
e `
e
diˆu kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn
. a a ’ e a o .
.

l´ hˆi tu Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25
y o .
.

7.2

´
a
o
e
Gi´.i han h`m mˆt biˆn . . . . . . . . . . . . 27
o
.
.
’ ` o .
y
e
7.2.1 C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co. ban vˆ gi´.i han 27
a
a e
a .
.

7.3

H`m liˆn tuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
a
e
.
´

`
’
a e
a
e
e
Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn . 51
o
.
.

7.4

´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

4

7.1

´
’
Gi´.i han cua d˜y sˆ
o
a o

.

´
´
´
a o
H`m sˆ x´c dinh trˆn tˆp ho.p N du.o.c goi l` d˜y sˆ vˆ han. D˜y sˆ
a
o a .
e a
.
. a a o o .
.
.
´
o
e
o .
thu.`.ng du.o.c viˆt du.´.i dang:
.
a1, a2, . . . , an , . . .

(7.1)

’
´
o
a
o
ho˘c {an }, trong d´ an = f (n), n ∈ N du.o.c goi l` sˆ hang tˆng qu´t

a
.
. a o .
.
´ .
´
’ a
cua d˜y, n l` sˆ hiˆu cua sˆ hang trong d˜y.
a o e ’ o .
a
`
Ta cˆn lu.u y c´c kh´i niˆm sau dˆy:
a
´ a
a e
a
.
.o.c goi l` bi ch˘n nˆu ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an |
´
i) D˜y (7.1) du .
a
. a . a e
.
´
M ; v` goi l` khˆng bi ch˘n nˆu: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an | > M.
a . a o
. a e
.
´
´

’ a
e
ii) Sˆ a du.o.c goi l` gi´.i han cua d˜y (7.1) nˆu:
o
.
. a o .
∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n

N ⇒ |an − a| < ε.

(7.2)

´
´
’ a
’ a o .
e
iii) Sˆ a khˆng phai l` gi´.i han cua d˜y (7.1) nˆu:
o
o
∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n

N ⇒ |an − a|

ε.

(7.3)

o
iv) D˜y c´ gi´.i han du.o.c goi l` d˜y hˆi tu, trong tru.`.ng ho.p ngu.o.c

a o o .
. . a a o .
.
.
.
lai d˜y (7.1) goi l` d˜y phˆn k`.
a
a a
a y
.
.
´
v) D˜y (7.1) goi l` d˜y vˆ c`ng b´ nˆu lim an = 0 v` goi l` d˜y
a
e e
a . a a
. a a o u
n→∞
´
´
e
a e
vˆ c`ng l´.n nˆu ∀ A > 0, ∃ N sao cho ∀ n > N ⇒ |an | > A v` viˆt
o u
o
lim an = ∞.
’
`
’ . a
e

e ` e a o . a a o
vi) Diˆu kiˆn cˆn dˆ d˜y hˆi tu l` d˜y d´ phai bi ch˘n.
. a
.
.
.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´.i:
o
Ch´ ´: i) Hˆ th´
uy
e u
.
−ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε.

(7.4)

´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

5

`
´
´
’ a
’ o
’ a
u

o
Hˆ th´.c (7.4) ch´.ng to r˘ng moi sˆ hang v´.i chı sˆ n > N cua d˜y
e u
. o .
.
`
’
’
hˆi tu dˆu n˘m trong khoang (a − ε, a + ε), khoang n`y goi l` ε-lˆn
o . `
e a
a . a a
.
’
cˆn cua diˆm a.
a ’
e
.
´
´ ´
´
’ o u
Nhu. vˆy, nˆu d˜y (7.1) hˆi tu dˆn sˆ a th` moi sˆ hang cua n´ tr`.
a
e a
o . e o
ı . o .
.
.
.u han sˆ hang dˆu n˘m trong ε-lˆn cˆn bˆt k` b´ bao

`
´
´
e `
a
a a a y e
ra mˆt sˆ h˜
o o u
. o .
.
. ´
’
nhiˆu t`y y cua diˆm a.
e u ´ ’
e
´
ii) Ta lu.u y r˘ng d˜y sˆ vˆ c`ng l´.n khˆng hˆi tu v` k´ hiˆu
´ `
a
a o o u
o
o
o . a y e
.
.
’ o
lim an = ∞ (−∞) chı c´ ngh˜ l` d˜y an l` vˆ c`ng l´.n v` k´ hiˆu d´
ıa a a
a o u
o a y e o

.
.i han.
ho`n to`n khˆng c´ ngh˜ l` d˜y c´ gi´ .
a
a
o
o
ıa a a o o

7.1.1

C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜ gi´.i
a
a
a
e
o .
ıa o
han
.

’
`
´
`
’ .
Dˆ ch´.ng minh lim an = a b˘ng c´ch su. dung dinh ngh˜a, ta cˆn tiˆn
e u
a
a

ı
a
e
.
.´.c sau dˆy:
h`nh theo c´c bu o
a
a
a
’
i) Lˆp biˆu th´.c |an − a|
a
e
u
.
´ ` o o .
ii) Chon d˜y bn (nˆu diˆu d´ c´ lo.i) sao cho |an − a| bn ∀ n v`
a
e
e
a
.
.i ε du b´ bˆt k` bˆt phu.o.ng tr` dˆi v´.i n:
´
´
´
’ e a y a
v´
o
ınh o o

bn < ε

(7.5)

’
˜ a
’ ’
o
e a
c´ thˆ giai mˆt c´ch dˆ d`ng. Gia su. (7.5) c´ nghiˆm l` n > f(ε),
o e ’
o a
e
.
.
’ ´
f (ε) > 0. Khi d´ ta c´ thˆ lˆy n l` [f (ε)], trong d´ [f (ε)] l` phˆn
o
o e a
a
o
a `
a
nguyˆn cua f(ε).
e ’
´
CAC V´ DU
I
.
n

`
’ ’
V´ du 1. Gia su. an = n(−1) . Ch´.ng minh r˘ng:
ı .
a
u
i) D˜y an khˆng bi ch˘n.
a
o
. a
.
’ a o u
ii) D˜y an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n.
a
o
o
.ng minh r˘ng an thoa m˜n dinh ngh˜a d˜y khˆng
`
’
’
Giai. i) Ta ch´
u
a
a .
ı a
o
.i sˆ hiˆu n = 2([M] + 1) b˘ng
`
´
bi ch˘n. Thˆt vˆy, ∀ M > 0 sˆ hang v´ o e

a a
o .
o ´ .
a
. a
.
. .
` o o
n v` l´.n ho.n M . Diˆu d´ c´ ngh˜ l` d˜y an khˆng bi ch˘n.
a o
e
ıa a a
o
. a
.

´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

6

`
’ a o u
a
a a

ii) Ta ch´.ng minh r˘ng an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n. Thˆt vˆy,
u
o
o
. .
.i sˆ hiˆu le
’
´
’
’ a o ´ .
ta x´t khoang (−2, 2). Hiˆn nhiˆn moi sˆ hang cua d˜y v´ o e ’
e
e
e
o .
.
` u thuˆc khoang (−2, 2) v` khi n le th` ta c´:
’
’ ı
e
o
ı
o
dˆ
.
n

n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2).
´ ´
’

’
a
o o o o .
a
u o
Nhu. vˆy trong khong (−2, 2) c´ vˆ sˆ sˆ hang cua d˜y. T`. d´,
.
’ a o u
theo dinh ngh˜ suy ra an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n.
ıa
o
o
.
`
´ ’
V´ du 2. D`ng dinh ngh˜a gi´.i han d˜y sˆ dˆ ch´.ng minh r˘ng:
ı .
u
a o e u
a
ı
o .
.
1)

lim

n→∞

(−1)n−1

= 0.
n

2)

lim

n→∞

n
= 1.
n+1

’
`
’
Giai. Dˆ ch´.ng minh d˜y an c´ gi´.i han l` a, ta cˆn ch´.ng minh
a
a
u
e u
o o . a
.i mˆ i sˆ ε > 0 cho tru.´.c c´ thˆ t`m du.o.c sˆ N (N phu
˜ o
’ ı
`
´
´
r˘ng dˆi v´
a

o ´
o o e
o o
. o
.
o
o
thuˆc ε) sao cho khi n > N th` suy ra |an − a| < ε. Thˆng thu.`.ng ta
o
ı
.
’
’
˜
c´ thˆ chı ra cˆng th´.c tu.`.ng minh biˆu diˆn N qua ε.
o e ’
o
u
o
e
e
1) Ta c´:
o
|an − 0| =

1
(−1)n−1
= ·
n
n

´
’ ’
Gia su. ε l` sˆ du.o.ng cho tru.´.c t`y y. Khi d´:
a o
o u ´
o
1
1
<ε⇔n> ·
n
ε
’ ´
´
`
´
e a o ’
V` thˆ ta c´ thˆ lˆy N l` sˆ tu. nhiˆn n`o d´ thoa m˜n diˆu kiˆn:
ı e
o e a
a o .
a
e
e
.
N>

1
1
⇒

< ε.
ε
N

’
’ ´
(Ch˘ng han, ta c´ thˆ lˆy N = [1/ε], trong d´ [1/ε] l` phˆn nguyˆn
a
o e a
o
a `
a
e
.
’
cua 1/ε).
Khi d´ ∀ n N th`
o
ı:
|an − 0| =

1
n

1
< ε.
N

´

’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

7

(−1)n
` o o
= 0.
Diˆu d´ c´ ngh˜ l` lim
e
ıa a
n→∞
n
´ ´
´
´
2) Ta lˆy sˆ ε > 0 bˆt k` v` t` sˆ tu. nhiˆn N (ε) sao cho ∀ n >
a o
a y a ım o .
e
N (ε) th`
ı:
n
− 1 < ε.
n+1
´ ’
Bˆt d˘ng th´.c
a a
u

|an − 1| < ε ⇔

1
1
< ε ⇔ − 1.
n+1
ε

’ ´ ´
Do d´ ta c´ thˆ lˆy sˆ N (ε) l` phˆn nguyˆn cua
o
o e a o
a `
a
e ’

1
− 1, t´.c l`:
u a
ε

N(ε) = E((1/ε) − 1).
Khi d´ v´.i moi n N ta c´:
o
o o
.
n
n
1
1

−1 =
< ε ⇒ lim
= 1.
n→∞ n + 1
n+1
n+1
N +1
`
V´ du 3. Ch´.ng minh r˘ng c´c d˜y sau dˆy phˆn k`:
ı .
u
a
a a
a
a y
n∈N

1)

an = n,

2)

an = (−1)n ,

3)

n∈N
1
an = (−1)n + ·

n

(7.6)
(7.7)
(7.8)

´
’
’ ’ a
Giai. 1) Gia su. d˜y (7.6) hˆi tu v` c´ gi´.i han l` a. Ta lˆy ε = 1.
o . a o o . a
a
.
.i han tˆn tai sˆ hiˆu N sao cho ∀ n > N th`
´ .
Khi d´ theo dinh ngh˜ gi´ . ` . o e
o
ı
o
ıa o
.
ta c´ |an − a| < 1 ngh˜ l` |n − a| < 1 ∀ n > N . T`. d´ −1 < n − a < 1
o
ıa a
u o
∀ n > N ⇔ a − 1 < n < a + 1 ∀ n > N.
´ ’
Nhu.ng bˆt d˘ng th´.c n < a + 1, ∀ n > N l` vˆ l´ v` tˆp ho.p c´c
a a
a o y ı a

a
u
.
.
´
sˆ tu. nhiˆn khˆng bi ch˘n.
o .
e
o
. a
.
. d˜y an hˆi tu v` c´ gi´.i han l` a. Ta lˆy lˆn
´
’ ’
2) C´ch 1. Gia su a
a
a a
o . a o o . a
.
1
1
’
´
’
cua diˆm a. Ta viˆt d˜y d˜ cho du.´.i dang:
cˆn a − , a +
a
o .
e
e a a

.
2
2
{an } = −1, 1, −1, 1, . . . .

(7.9)

´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

8

1
1
’
’
l` b˘ng 1 nˆn hai diˆm −1
a `
a
e
V` dˆ d`i cua khoang a − , a +
ı o a ’
e
.
2

2
1
1
’
’ o
’
cua diˆm a,
o a a
o
e
v` +1 khˆng thˆ dˆng th`.i thuˆc lˆn cˆn a − , a +
a
o
e `
.
.
2
2
`
` o o
’
a
a
a
e
ı a ’
v` khoang c´ch gi˜.a −1 v` +1 b˘ng 2. Diˆu d´ c´ ngh˜a l` o. ngo`i
ı
a
u

1
1
´
´ ´
’ a a ı e
c´ vˆ sˆ sˆ hang cua d˜y v` v` thˆ (xem ch´
o o o o .
u
lˆn cˆn a − , a +
a a
.
2
2
’
´
’ a
y o. trˆn) sˆ a khˆng thˆ l` gi´.i han cua d˜y.
´ ’ e
o
o
e a o .
1
´
’ ’
o
C´ch 2. Gia su. an → a. Khi d´ ∀ ε > 0 (lˆy ε = ) ta c´
a
o
a
2

1
∀ n N.
|an − a| <
2
V` an = ±1 nˆn
ı
e
1
|1 − a| < ,
2

| − 1 − a| <

⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)|
⇒2 < 1,

1
2

|1 − a| + |a + 1|

1 1
+ =1
2 2

vˆ l´.
o y

1
`

` o o
´
. Sˆ hang kˆ v´.i n´
o .
e
´ a
o
3) Lu.u y r˘ng v´.i n = 2m ⇒ a2m = 1 +
2m
´ .
c´ sˆ hiˆu le 2m + 1 (hay 2m − 1) v`
o o e ’
a
a2m+1 = −1 +

1
1
< 0 (hay a2m−1 = −1 +
2m + 1
2m − 1

0).

`
T`. d´ suy r˘ng
u o
a
|an − an−1 | > 1.
´ ´
´ .

’
Nˆu sˆ a n`o d´ l` gi´.i han cua d˜y (an ) th` b˘t dˆu t`. sˆ hiˆu n`o
e o
a o a o .
a
ı ´ ` u o e a
a a
1
´ ’
’
d´ (an ) thoa m˜n bˆt d˘ng th´.c |an − a| < . Khi d´
o
a a a
u
o
2
1 1
|an − an+1 | |an − a| + |an+1 − a| < + = 1.
2 2
`
´
´
e
u
o .
e
a y ’ a a
Nhu.ng hiˆu gi˜.a hai sˆ hang kˆ nhau bˆt k` cua d˜y d˜ cho luˆn luˆn
o
o

.
˜
`
`
’ a
l´.n ho.n 1. Diˆu mˆu thuˆ n n`y ch´.ng to r˘ng khˆng mˆt sˆ thu.c
o
o
o o .
e
a
a
a
u
. ´
.i han cua d˜y d˜ cho.
’
’ a a
n`o c´ thˆ l` gi´ .
a o e a o

´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

9
`
ˆ

BAI TAP
.

’
`
H˜y su. dung dinh ngh˜ gi´.i han dˆ ch´.ng minh r˘ng
a ’ .
a
ıa o . e u
.
2n − 1
´
1. lim an = 1 nˆu an =
e
n→∞
2n + 2
3
3n2 + 1
´u an =
e
2. lim an = nˆ
n→∞
5
5n2 − 1
´t dˆu t`. sˆ hiˆu N n`o th`:
` u o e
´ .
a
ı
B˘ a

a
|an − 3/5| < 0, 01
´
e
3. lim an = 1 nˆu an =
n→∞

(DS. N = 5)

3n + 1
.
3n

cos n
= 0.
n→∞
n
2n + 5 · 6n
5. lim
= 5.
n→∞ 3n + 6n
√
3
n2 sin n2
= 0.
6. lim
n→∞
n+1
`
´

’ a o .
’
7. Ch´.ng minh r˘ng sˆ a = 0 khˆng phai l` gi´.i han cua d˜y an =
u
a
o
o
a
2
n −2
.
2n2 − 9
`
8. Ch´.ng minh r˘ng
u
a
4. lim

n2 + 2n + 1 + sin n
lim
= 1.
n→∞
n2 + n + 1
`
9. Ch´.ng minh r˘ng d˜y: an = (−1)n + 1/n phˆn k`.
u
a
a
a y
`

10. Ch´.ng minh r˘ng d˜y; an = sin n0 phˆn k`.
u
a
a
a y
’ a
11. T` gi´.i han cua d˜y: 0, 2; 0, 22; 0, 222; . . . , 0, 22 . . . 2, . . .
ım o .
’
˜
’ ˜
Chı dˆ n. Biˆu diˆn an du.´.i dang
a
e
e
o .
an = 0, 22 . . . 2 =

22
2
2
+
+ ··· + n
10 10
10

n

(DS. lim an = 2/9)

´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

10

han
12.
T`
ım
gi´.i
o
.
0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; . . . , 0, 2 33 . . . 3, . . .

’
cua

d˜y
a

´
sˆ:
o

n

˜
’
˜
’ a
Chı dˆ n. Biˆu diˆn an du.´.i dang
e
e
o .
an =

2
3
3
3
+
+ 3 + ··· + n
2
10
10
10
10

(DS. 7/30)

`
´
´
´
`

13. Ch´.ng minh r˘ng nˆu d˜y an hˆi tu dˆn a, c`n d˜y bn dˆn dˆn
u
a
e a
o . e
o a
a e
.
` e
∞ th` d˜y an /bn dˆn dˆn 0.
ı a
a ´
`
14. Ch´.ng minh r˘ng
u
a
n
i) lim n = 0.
n→∞ 2
n
ii) lim n = 0 (a > 1).
n→∞ a
˜
’ .
’ a
e u
Chı dˆ n. i) Su. dung hˆ th´.c:
.
2n = (1 + 1)n = 1 + n +

n(n − 1)
n2
n(n − 1)
+ ··· + 1 > n +
>
·
2
2
2

v` u.´.c lu.o.ng |an − 0|.
a o
.
.o.ng tu. nhu. i). Su. dung hˆ th´.c:
’ .
ii) Tu
e u
.
.
an = [1 + (a − 1)]n >

n(n − 1)
(a − 1).
2

`
15. Ch´.ng minh r˘ng
u
a
´

lim an = 2 nˆu an = 1 +
e

1
1
+ ··· + n
2
2

’
˜
’
`
´ ´
’ a ´
o
a o a e ı
Chı dˆ n. Ap dung cˆng th´.c t´nh tˆng cˆp sˆ nhˆn dˆ t´nh an rˆi
o
u ı
o
.
u.´.c lu.o.ng |an − 2|.
o
.
´ `
o a
o
16. Biˆt r˘ng d˜y an c´ gi´.i han, c`n d˜y bn khˆng c´ gi´.i han. C´
e a

a
o o .
o
o o .
’
’ a
thˆ n´i g` vˆ gi´.i han cua d˜y:
e o ı ` o .
e
i) {an + bn }.
ii) {an bn }.
` .
(DS. i) lim{an + bn } khˆng tˆn tai. H˜y ch´.ng minh.
o
o
a
u

´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

11

’ .
o
o o .
ii) C´ thˆ g˘p ca hai tru.`.ng ho.p c´ gi´.i han v` khˆng c´ gi´.i han,

o e a ’
. o o . a o
v´ du:
ı .
an =

7.1.2

n−1
, bn = (−1)n ;
n

an =

1
, bn = (−1)n .
n

´
Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
u
a o .
e
. o . ’
.
y ` o .
e
c´c dinh l´ vˆ gi´.i han
a .

’
´
’ a o
’ .
o
o
a .
Dˆ t´ gi´.i han cua d˜y sˆ, ngu.`.i ta thu.`.ng su. dung c´c dinh l´ v`
e ınh o .
y a
kh´i niˆm sau dˆy:
a e
a
.
. lim an = a, lim bn = b.
’ ’
Gia su
i) lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn = a ± b.
ii) lim an bn = lim an · lim bn = a · b.
´
iii) Nˆu b = 0 th` b˘t dˆu t`. mˆt sˆ hiˆu n`o d´ d˜y an /bn x´c
e
ı ´ ` u o o e a o a
a a
a
. ´ .
dinh (ngh˜ l` ∃ N : ∀ n N ⇒ bn = 0) v`:
ıa a
a
.

lim

lim an
a
an
=
= ·
bn
lim bn
b

´
´ a
iv) Nˆu lim an = a, lim bn = a v` b˘t dˆu t`. mˆt sˆ hiˆu n`o d´
e
a a ` u o o e a o
. ´ .
an zn bn th` lim zn = a (Nguyˆn l´ bi ch˘n hai phi´).
ı
e y . a
a
.
v) T´ cua d˜y vˆ c`ng b´ v´.i d˜y bi ch˘n l` d˜y vˆ c`ng b´.
ıch ’ a o u
e o a . a a a o u
e
.
1
´
vi) Nˆu (an ) l` d˜y vˆ c`ng l´.n v` an = 0 th` d˜y

e
l` d˜y vˆ
a a o
a a o u
o a
ı a
an
1
´
c`ng b´; ngu.o.c lai, nˆu αn l` d˜y vˆ c`ng b´ v` αn = 0 th` d˜y
u
e
a a o u
e a
ı a
. . e
αn
l` vˆ c`ng l´.n.
a o u
o
’
´ a .
`
Nhˆn x´t. Dˆ ´p dung d´ng d˘n c´c dinh l´ trˆn ta cˆn lu.u y mˆt
a e
´ o
ea
u
a
y e

a
.
.
.
´ .
sˆ nhˆn x´t sau dˆy:
o a e
a
´
` o .
’
i) Dinh l´ (iii) vˆ gi´.i han cua thu.o.ng s˜ khˆng ´p dung du.o.c nˆu
e o a
y
e
.
. e
.
˜ ´
´
’ o a ˜ o o
tu. sˆ v` mˆ u sˆ khˆng c´ gi´.i han h˜.u han ho˘c mˆ u sˆ c´ gi´.i han
a ´
o o .
u
a
a o o o .
.
.
`

´ ’
b˘ng 0. Trong nh˜.ng tru.`.ng ho.p d´ nˆn biˆn dˆi so. bˆ d˜y thu.o.ng,
a
u
o
o a
o e
e o
.
.
. sˆ v` mˆ u sˆ v´.i c`ng mˆt
’
˜ ´
`
ch˘ng han b˘ng c´ch chia ho˘c nhˆn tu o a a o o u
a
a
a
a
a ’ ´
o
.
.
.
’u th´.c.
biˆ
e
u

´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

12

`
´
’
ii) Dˆi v´.i dinh l´ (i) v` (ii) c˜ng cˆn phai thˆn trong khi ´p dung.
o o .
y
a
u
a
a
a
.
.
.
.`.ng ho.p n`y ta cˆn phai biˆn dˆi c´c biˆu th´.c an ± bn v`
’
’
´
`
’
Trong tru o

a
a
e o a
e
u
a
.
an · bn tru.´.c khi t´ gi´.i han (xem v´ du 1, iii).
o
ınh o .
ı .
´
iii) Nˆu an = a ≡ const ∀ n th` lim an = a.
e
ı
n→∞

´
CAC V´ DU
I
.
´
e
V´ du 1. T` lim an nˆu:
ı .
ım
n+2
1) an = (1 + 7 )/(3 − 7n )
2) an = (2 + 4 + 6 + · · · + 2n)/[1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1)]
3) an = n3 /(12 + 22 + · · · + n2)

’
´ ´ ´
’
e ’ a a a a
u
y
e a o
Giai. Dˆ giai c´c b`i to´n n`y ta d`ng l´ thuyˆt cˆp sˆ
˜ ´
´
u o
o
1) Nhˆn tu. sˆ v` mˆ u sˆ phˆn th´.c v´.i 7−n ta c´:
a ’ o a a o a
1 + 7n+2
7−n + 72
=
an =
3 − 7n
3 · 7−n − 1
Do d´
o
lim an = lim

7−n + 72
= −49 v` lim 7−n = 0, n → ∞.
ı
3 · 7−n − 1

´

´ ´ .
’ o a ˜ o ` a a o o
2) Tu. sˆ v` mˆ u sˆ dˆu l` cˆp sˆ cˆng nˆn ta c´:
a ´ e
e
o
2 + 2n
· n;
2
1 + (2n + 2)
1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) =
(n + 1).
2
2 + 4 + 6 + · · · + 2n =

Do d´
o
an =

n
⇒ lim an = 1.
n+1

´
3) Nhu. ta biˆt:
e
12 + 22 + · · · + n2 =

n(n + 1)(2n + 1)
6

´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

13

v` do d´:
a
o
6n3
n(n + 1)(2n + 1)
6
= 3.
= lim
(1 + 1/n)(2 + 1/n)

lim an = lim

V´ du 2. T` gi´.i han
ı .
ım o .
1
1 1
+ + ··· + n
2 4
2
lim

1
1 1
1 + + + ··· + n
3 9
3
˜ ´ e
´
´ ´
’ o a a o ` a a o a e
’
Giai. Tu. sˆ v` mˆ u sˆ dˆu l` cˆp sˆ nhˆn nˆn
1+

1
+ ··· +
2
1
1 + + ··· +
3
1+

1
2(2n − 1)
=
,
2n
2n
1
3(3n − 1)
=

3n
2 · 3n

v` do d´:
a
o
2n − 1 2
3n
2(2n − 1)
2 · 3n
= 2 lim
·
· lim n
2n
3(3n − 1)
2n
3
3 −1
1
4
2
2
= 2 lim[1 − (1/2)n ] · lim
=2·1· ·1= ·
n
3
1 − (1/3)
3
3

lim an = lim

V´ du 3.
ı .
√
1) an = n2 + n − n
√
√
2) an = 3 n + 2 − 3 n
√
3) an = 3 n2 − n3 + n
’
Giai.
´ ’
`
1) Ta biˆn dˆi an b˘ng c´ch nhˆn v` chia cho dai lu.o.ng liˆn ho.p
e o
e .
a
a
a a
.
.
√
√
n
1
( n2 + n − n)( n2 + n + n)
√
=√

=
an =
n2 + n + n
n2 + n + n
1 + 1/n + 1
o
Do d´
lim an =

1
lim (

n→∞

1 + 1/n + 1)

=

1
·
2

´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

14

´ ’
o
2) Biˆn dˆi an tu.o.ng tu. nhu. 1) ta c´:
e o
.
√
√ 3
3
3
n+2 − 3n
an = √
√
√
√
2
3
n+2 + 3n+2· 3n+ 3n
2
an = √
√
√
√
2
3
n+2 + 3n+2· 3n+ 3n

2

2

˜ ´ `
’
a o a
Biˆu th´.c mˆ u sˆ b˘ng:
e
u
n2/3

3

1 + 2/n

2

+

3

1 + 2/n + 1 → ∞

khi n → ∞ v` do d´ lim an = 0.
a
o
√
3
’ ´
3) Ta c´ thˆ viˆt n = n3 v` ´p dung cˆng th´.c:
o e e

aa
o
u
.
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
suy ra
√
√
√
2
3
3
n2 − n3 + n
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
an =
√
√
2
3
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
n2
= √
√
2
3
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
1
=
2/3 − [1/n − 1]1/3 + 1
[1/n − 1]

1
·
3
’ a a
V´ du 4. T` gi´.i han cua c´c d˜y sau
ı .
ım o .
n
n
an = √
, bn = √
,
2+n
2+1
n
n
1
1
1
+√
+ ··· + √
·
cn = √
n+1
n2 + 2
n2 + n
`
’
a
e

u
a a
Giai. Dˆu tiˆn ta ch´.ng minh lim an = 1. Thˆt vˆy:
. .

suy ra lim an =

lim an = lim

n
n

1 + 1/n

= lim

1
1 + 1/n

= 1.

´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

15

Tu.o.ng tu. lim bn = 1.

.
’ t` gi´.i han cua cn ta s˜ ´p dung Nguyˆn l´ bi ch˘n hai ph´a.
’
Dˆ ım o .
e
ea
e y . a
ı
.
.
Mˆt m˘t ta c´:
o
a
o
.
.
cn < √

1
n2

+1

+√

1
n2

+1

+ ··· + √

1
n2

n
=√
= bn
2+1
+1
n

a
a
nhu.ng m˘t kh´c:
.
cn > √

1
1
1
+√
+ ··· + √
= an .
n2 + n
n2 + n
n2 + n

Nhu. vˆy an < cn < bn v` lim an = lim bn = 1. T`. d´ suy ra
a

a
u o
.
n→∞
n→∞
lim cn = 1.
n→∞

`
´
a
a
e
V´ du 5. Ch´.ng minh r˘ng d˜y (q n ) l`: 1) d˜y vˆ c`ng l´.n nˆu
ı .
u
a
a o u
o
|q| > 1; 2) d˜y vˆ c`ng b´ khi |q| < 1.
a o u
e
’
´ ´
´
’
’ ’
a o
a y
u a

Giai. 1) Gia su. |q| > 1. Ta lˆy sˆ A > 0 bˆt k`. T`. d˘ng th´.c
u
n
´
´
|q| > A ta thu du.o.c n > log|q| A. Nˆu ta lˆy N = [log|q|A] th` ∀ n > N
e
a
ı
.
n
n
.n.
ta c´ |q| > A. Do d´ d˜y (q ) l` d˜y vˆ c`ng l´
o
o a
a a o u
o
1
1 n −1
’ ’
2) Gia su. |q| < 1, q = 0. Khi d´ q n =
> 1 nˆn
e
o
. V`
ı
q
q
1 n −1

1 n
l` d˜y vˆ c`ng l´.n v` do d´ d˜y
a a o u
o a
l` vˆ c`ng
a o u
o a
d˜y
a
q
q
b´, t´.c l` d˜y (q n ) l` d˜y vˆ c`ng b´ khi |q| < 1.
e u a a
a a o u
e
n
n
´
a
o
a o u
e
3) Nˆu q = 0 th` q = 0, |q| < ε ∀ n v` do d´ (q n ) l` vˆ c`ng b´.
e
ı

`
ˆ
BAI TAP
.

´
T` gi´.i han lim an nˆu
ım o .
e
n→∞
n2 − n
√ .
(DS. ∞)
n− n
√
2. an = n2 (n − n2 + 1).
(DS. −∞)

1. an =

´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

16

1 + 2 + 3 + ··· + n
√
.
(DS. 1/6)
9n4 + 1

√
n cos n
.
(DS. 0)
4. an =
n+1
sin n
5n
+
.
(DS. 5)
5. an =
n+1
n
3n2
n3
−
.
(DS. 1/3)
6. an = 2
n + 1 3n + 1
cos n
n
−
.
(DS. 1)
7. an =
n + 11
10n
n3 + 1

(DS. ∞)
8. an = 2
n −1
3n
cos n3
1
−
.
(DS. − )
9. an =
n
6n + 1
2
n
(−1)
10. an = √
.
(DS. 0)
5 n+1
√
√
n2 + 1 + n
11. an = √
(DS. +∞)
√ .
3
n3 + n − n
√
12. an = 3 1 − n3 + n.
(DS. 0)

√
n2 + 4n
.
(DS. 1)
13. an = √
3
n3 − 3n2
(n + 3)!
.
(DS. −∞)
14. an =
2(n + 1)! − (n + 2)!
2 + 4 + · · · + 2n
− 2.
(DS. −1)
15. an =
n+2
√
1
(DS. )
16. an = n − 3 n3 − n2 .
3
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · · − 2n
1
√
√
.
(DS. − )
17. an =
3

n2 + 1 + 4n2 + 1
1
1
1
18. an =
+
+ ··· +
.
1·2 2·3
n(n + 1)
1
1
1
˜
’ a ´
Chı dˆ n. Ap dung
= −
(DS. 1)
.
n(n + 1)
n n+1
3. an =

´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .
1
(−1)n−1

1 1
3
+ ··· +
19. an = 1 − + −
.
(DS. )
3 9 27
3n−1
4
n+1
n+1
2
+3
20. an =
.
(DS. 3)
n + 3n
2
n + (−1)n
21. an =
.
(DS. 1)
n − (−1)n
1
1
1
1
√
√
√ +√

√ + ··· + √
22. an = √
n
2n − 1 + 2n + 1
1+ 3
3+ 5
˜ ´
’
´
’ ˜
Chı dˆ n. Truc c˘n th´.c o. mˆ u sˆ c´c biˆu th´.c trong dˆu ngo˘ c.
a
u ’ a o a
e
u
a
a
. a
.
1
(DS. √ )
2
1
1
1
+
+ ··· +
23. an =
1·2·3 2·3·4
n(n + 1)(n + 2)

.´.c hˆt ta ch´.ng minh r˘ng
˜
´
`
’ a
u
a
Chı dˆ n. Tru o e
1
1
1
1
1
=
−
(DS. )
n(n + 1)(n + 2)
2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2)
4
1
1
1
1
)
24. an =
+
+ ··· +
.
(DS.
a1a2 a2 a3

an an+1
a1 d
´ ´ .
trong d´ {an } l` cˆp sˆ cˆng v´.i cˆng sai d = 0, an = 0.
o
a a o o
o o
1
25. an = (1 − 1/4)(1 − 1/9) · · · (1 − 1/(n + 1)2 ).
(DS. )
2
n+2
`
’ ˜
’ `
Chı dˆ n. B˘ng quy nap to´n hoc ch´.ng to r˘ng an =
a
a
a
u
.
a
.
.
2n + 2

7.1.3

´
Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn

u
a o .
e
. o . ’
.
’
`
’ e a
e
e
o .
e y
diˆu kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´
.
.
Bolzano-Weierstrass)

´
D˜y sˆ an du.o.c goi l`:
a o
.
. a
´
i) D˜y t˘ng nˆu an+1 > an ∀ n
a a
e
´
’
ii) D˜y giam nˆu an+1 < an ∀ n
a

e
’
C´c d˜y t˘ng ho˘c giam c`n du.o.c goi l` d˜y do.n diˆu. Ta lu.u y
a a a
a
o
´
e
.
.
. a a
.
`
´
´
r˘ng d˜y do.n diˆu bao gi`. c˜ng bi ch˘n ´t nhˆt l` mˆt ph´ Nˆu d˜y
a
a
a a o
ıa. e a
e
o u
. a ı
.
.
.

17

´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

18

`
´
o ’ o .
do.n diˆu t˘ng th` n´ bi ch˘n du.´.i bo.i sˆ hang dˆu tiˆn cua n´, d˜y
e a
ı o . a
a
e ’
o a
.
.
.n diˆu giam th` bi ch˘n trˆn bo.i sˆ hang dˆu. Ta c´ dinh l´ sau dˆy
`
´
’ o .
’
do
e
ı . a
e
a

o .
y
a
.
.
’
’ a
thu.`.ng du.o.c su. dung dˆ t´nh gi´.i han cua d˜y do.n diˆu.
o
e ı
o .
e
. ’ .
.
-.
e a . a
ı o .
Dinh l´ Bolzano-Weierstrass. D˜y do.n diˆu v` bi ch˘n th` hˆi tu.
y
a
.
.
.
’
` . ` . ’
’
Dinh l´ n`y kh˘ng dinh vˆ su. tˆn tai cua gi´.i han m` khˆng chı
o
o .
a o

y a
a
e
.
.
`
a ım o . o
o
a
e
ra du.o.c phu.o.ng ph´p t` gi´.i han d´. Tuy vˆy, trong nhiˆu tru.`.ng
.
.
.p khi biˆt gi´.i han cua d˜y tˆn tai, c´ thˆ chı ra phu.o.ng ph´p t´nh
’
´
’ a ` . o e ’
ho
e o .
o
a ı
.
’
n´. Viˆc t´ to´n thu.`.ng du.a trˆn d˘ng th´.c d´ng v´.i moi d˜y hˆi
o
e ınh a
o
e a
u u
o

.
.
. a o
.
tu:
.
lim an+1 = lim an .

n→∞

n→∞

’
’ a ’
e a
e
e .
u u
Khi t´ gi´.i han du.a trˆn d˘ng th´.c v`.a nˆu tiˆn lo.i ho.n ca l` su.
ınh o .
.
.
`
`
o
dung c´ch cho d˜y b˘ng cˆng th´.c truy hˆi.
a
a a
o
u

.
´
CAC V´ DU
I
.
`
V´ du 1. Ch´.nh minh r˘ng d˜y:
ı .
u
a
a
an =

1
1
1
+ 2
+ ··· + n
5+1 5 +1
5 +1

hˆi tu.
o .
.

’
Giai. D˜y d˜ cho do.n diˆu t˘ng. Thˆt vˆy v`:
a a
e a
a a ı

.
. .
an+1 = an +

1
5n+1 + 1

nˆn an+1 > an .
e

D˜y d˜ cho bi ch˘n trˆn. Thˆt vˆy:
a a
e
a a
. a
.
. .
1
1
1
1
1
1
1
+ 2
+ 3
+ ··· + n
< + 2 + ··· + n
5+1 5 +1 5 +1
5 +1

5 5
5
1
1
−
5 5n+1 = 1 1 − 1 < 1 ·
=
1
4
5n
4
1−
5
Nhu. vˆy d˜y an d˜ cho do.n diˆu t˘ng v` bi ch˘n trˆn nˆn n´ hˆi
a a
a
e a
a . a
e e o o
.
.
.
.

an =

tu.
.

´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

19

2n
`
’
hˆi tu v` t`m gi´.i han cua
o
a ı
o .
a
a
V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng d˜y an =
ı .
u
n! . .
n´.
o
2n
2 22
’
Giai. D˜y d˜ cho c´ dang , , . . . , , . . .
a a
o .
1 2
n!

’
D˜y an do.n diˆu giam. Thˆt vˆy
a
e
a a
.
. .
2n
2
2n+1
an+1
:
=
< 1 ∀ n > 1.
=
an
(n + 1)! n!
n+1
`
’
’
a
o
a a . a
e
a
Do d´ an+1 < an v` d˜y bi ch˘n trˆn bo.i phˆn tu. a1 . Ngo`i ra
.
.´.i. Do d´ d˜y do.n diˆu giam v` bi
’

an > 0, ∀ n nˆn d˜y bi ch˘n du o
e a . a
o a
e
a .
.
.
’ o
’ ’
a o .
y
ch˘n. N´ hˆi tu theo dinh l´ Weierstrass. Gia su. a l` gi´.i han cua n´.
a
o o .
.
.
.
Ta c´:
o
2
2
an+1
⇒ an+1 =
an .
=
an
n+1
n+1
T`. d´
u o

lim an+1 = lim

2
2an
= lim
lim an
n+1
n+1

2n
= 0.
a
a
v` nhu. vˆy: a = 0 · a → a = 0. Vˆy: lim
a
.
.
n!
√
√
`
V´ du 3. Cho d˜y an = 2, an+1 = 2an . Ch´.ng minh r˘ng d˜y hˆi
ı .
a
a
a o
u
.
.i han cua n´.
’ o

tu v` t`m gi´ .
o
. a ı
’
`
’
Giai. Hiˆn nhiˆn r˘ng: a1 < a2 < a3 < · · · < . D´ l` d˜y do.n diˆu
e
e a
o a a
e
.
√
`
´
t˘ng v` bi ch˘n du.´.i bo.i sˆ 2. Ta ch´.ng minh r˘ng n´ bi ch˘n trˆn
a
a . a
o ’ o
a
o . a
e
u
.
.
.i sˆ 2.
’ ´
bo o
Thˆt vˆy
a a

. .
a1 =

√
√
√
2; a2 = 2a1 < 2 · 2 = 2.

’ ’ a u
a
Gia su. d˜ ch´.ng minh du.o.c r˘ng an
. `
Khi d´:
o
√

√
an+1 =

2.

2an

2 · 2 = 2.

´
’ a
o .
a e .

o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

20

Vˆy theo tiˆn dˆ quy nap ta c´ an 2 ∀ n.
a
e `
e
o
.
.
´
Nhu. thˆ d˜y an do.n diˆu t˘ng v` bi ch˘n nˆn n´ c´ gi´.i han d´
e a
e a
a . a e o o o .
o
.
.
l` a.
a
Ta c´:
o
an+1 =

√
2an ⇒ a2 = 2an .
n+1

Do d´:
o
lim a2 = 2 lim an
n+1
hay a2 − 2a = 0 v` thu du.o.c a1 = 0, a2 = 2.
a
.
.n diˆu t˘ng ∀ n nˆn gi´.i han a = 2.
V` d˜y do
ı a
e a
e
o .
.
’ a
ı
o . a ı
o .
V´ du 4. Ch´.ng minh t´nh hˆi tu v` t`m gi´.i han cua d˜y
ı .
u
.
x1 =
xn =

√
a; x2 =
a+

a+

√
a, . . . ,

a + ··· +

√
´
a, a > 0, n dˆu c˘n.
a a

’
Giai. i) R˜ r`ng: x1 < x2 < x3 < · · · < xn < xn+1 < . . . ngh˜ l`
o a
ıa a
d˜y d˜ cho l` d˜y t˘ng.
a a
a a a
ii) Ta ch´.ng minh d˜y xn l` d˜y bi ch˘n. Thˆt vˆy, ta c´:
u
a
a a . a
a a
o
.
. .
√
√
a< a+1
√

√
x2 = a + a < a + a + 1 <

x1 =

√
√
a + 2 a + 1 = a + 1.

√
`
’ ’ a u
Gia su. d˜ ch´.ng minh du.o.c r˘ng: xn < a + 1.
. a
√
`
Ta cˆn ch´.ng minh xn+1 < a + 1. Thˆt vˆy, ta c´:
a
u
a a
o
. .
xn+1 =

√

a + xn <

a+

√
a+1<

√
√
a + 2 a + 1 = a + 1.

`
Do d´ nh`. ph´p quy nap to´n hoc ta d˜ ch´.ng minh r˘ng d˜y d˜
e
a
a
a a
o o
a u
.
.
√
’
cho bi ch˘n trˆn bo.i a + 1.
e
. a
.

´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

21

√
’
e e u
iii) Dˆ t` gi´.i han ta x´t hˆ th´.c xn = a + xn−1 hay
e ım o .
.
x2 = a + xn−1 .
n
T`. d´:
u o
lim x2 = lim(a + xn−1 ) = a + lim xn−1
n
´
´
’
hay nˆu gia thiˆt lim xn = A th` A2 = a + A → A2 − A − a = 0 v`
e
e
ı:
a
√
√
1 + 1 + 4a
1 − 1 + 4a
, A2 =
·
A1 =
2

2
V` A2 < 0 nˆn gi´ tri A2 bi loai v` xn > 0.
ı
e
a .
. . ı
Do d´;
o
√
1 + 1 + 4a
·
lim xn =
2
´
’ a
V´ du 5. T` gi´.i han cua d˜y an du.o.c x´c dinh nhu. sau: a1 l` sˆ
ı .
ım o .
a o
. a .
t`y y m`
u ´ a
0 < a1 < 1,

an+1 = an (2 − an ) ∀ n

1.

(7.10)

’
`
`
`
’
a
Giai. i) Dˆu tiˆn ch´.ng minh r˘ng an bi ch˘n, m` cu thˆ l` b˘ng
a
e
u
a . e a a
. a
.
`
ph´p quy nap to´n hoc ta ch´.ng minh r˘ng
e
a
u
a
.
.
0 < an < 1.

(7.11)

’ ’
u
o
a
Ta c´ 0 < a1 < 1. Gia su. (7.11) d˜ du.o.c ch´.ng minh v´.i n v` ta

o
a
.
.ng minh (7.11) d´ng v´.i n + 1 .
s˜ ch´
e u
u
o
. (7.10) ta c´; an+1 = 1 − (1 − an )2.
T`
u
o
T`. hˆ th´.c n`y suy ra 0 < (1 − an )2 < 1, v` 0 < an < 1.
u e u a
ı
.
. d´ suy ra: 0 < an+1 < 1 ∀ n.
T` o
u
`
ii) Bˆy gi`. ta ch´.ng minh r˘ng an l` d˜y t˘ng.
a
o
u
a
a a a
Thˆt vˆy, v` an < 1 nˆn 2 − an > 1. Chia (7.10) cho an ta thu
a a
ı
e

.
.
.o.c:
du .
an+1
= 2 − an > 1.
an

´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

22

a a
T`. d´ an+1 > an ∀ n. Nhu. vˆy d˜y an do.n diˆu t˘ng v` bi ch˘n.
u o
e a
a . a
.
.
.
` . a
Do d´ theo dinh l´ Weierstrass, lim An tˆn tai v` ta k´ hiˆu n´ l` a.
o
y

o
y e o a
.
.
. (7.10) ta c´:
iii) T`
u
o
lim an+1 = lim an · lim(2 − an )
hay a = a(2 − a).
a
ı
a a
a
e
T`. d´ a = 0 v` a = 1. V` x1 > 0 v` d˜y an t˘ng nˆn
u o
a = 1 = lim an .
n!
`
’
a
a
V´ du 6. Ch´.ng minh r˘ng d˜y an = n hˆi tu v` t`m gi´.i han cua
ı .
u
o . a ı
o .
.
n

n´.
o
`
’
’
Giai. i) Ta ch´.ng minh r˘ng d˜y an do.n diˆu giam, thˆt vˆy:
u
a
a
e
a a
.
. .
an+1 =

(n + 1)!
n!
n!
nn
nn
=
= n·
=
an
(n + 1)n+1
(n + 1)n
n (n + 1)n
(n + 1)n

v`

ı
nn
< 1 nˆn an+1 < an .
e
(n + 1)n
`
o a
e o . a
o
o .
y e
V` an > 0 nˆn n´ bi ch˘n du.´.i v` do d´ lim an tˆn tai, k´ hiˆu
ı
.
.
lim an = a v` r˜ r`ng l` a = lim an 0.
a o a
a
.ng minh a = 0. Thˆt vˆy ta c´:
ii) Ta ch´
u
a a
o
. .
(n + 1)n
n+1
=
n
n
n

n

= 1+

1
n

n

1+

o
Do d´:
1
nn
<
n
(n + 1)
2

1
v` an+1 < an .
a
2

’
Chuyˆn qua gi´.i han ta du.o.c a
e
o .

.

a
⇒ a = 0.
2

`
ˆ
BAI TAP
.

n
= 2.
n

´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

23

´
1. Cho c´c d˜y sˆ:
a a o
1) an =

5n2
·

n2 + 3

2) bn = (−1)n

2n
sin n. 3) cn = n cos πn.
n+1

’
H˜y chı ra d˜y n`o bi ch˘n v` d˜y n`o khˆng bi ch˘n.
a
a a . a a a a
o
.
. a
.
(DS. 1) v` 2) bi ch˘n; 3) khˆng bi ch˘n)
a
a
o
a
. .
. .
`
2. Ch´.ng minh r˘ng d˜y:
u
a
a
a0
a1

a2
, a2 =
, a3 =
,...,
a + a0
a + a1
a + a2
an−1
an =
, . . . (a > 1, a0 > 0)
a + an−1
a1 =

hˆi tu.
o .
.
a a
3. Ch´.ng minh c´c d˜y sau dˆy hˆi tu
u
a o .
.
2
n −1
1) an =
n2
1
1
1
2) an = 2 + + + · · · +
2! 3!

n!
’ ˜
u
Chı dˆ n. T´ bi ch˘n du.o.c suy t`. n!
a
ınh . a
.
.

2n−1 v` do d´
a
o

1
1
1
1
+ 2 + · · · + n−1 = 3 − n−1 < 3.
2 2
2
2
’
a a
u
4. Ch´.ng minh c´c d˜y sau dˆy hˆi tu v` t`m gi´.i han a cua ch´ng
u
a o . a ı
o .
.
√

√
√
1) a1 = k 5, an+1 = k 5an , k ∈ N. (DS. k−1 5)
2n
2) an =
(n + 2)!
2
an+1
’ ˜
< 1. (DS. a = 0)
=
Chı dˆ n.
a
an
n+3
E(nx)
trong d´ E(nx) l` phˆn nguyˆn cua nx.
3) an =
o
a `
a
e ’
n
’ .
’ ˜
e u
Chı dˆ n. Su. dung hˆ th´.c: nx − 1 < E(nx) nx. (DS. a = x)
a
.
an

2+

n
`
’
a
a
o
5. Ch´.ng minh r˘ng d˜y: an = a1/2 hˆi tu v` t` gi´.i han cua n´
u
o . a ım o .
.
(a > 1).

´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

24

`
’ ˜
’
a
(DS. a = 1. Chı dˆ n. Ch´.ng minh r˘ng an l` d˜y do.n diˆu giam

a
u
a a
e
.
v`
ı
an+1 = a1/2

n+1

n·2)

= a1/(2

=

√

an , an > 1)

`
a
a
6. Ch´.ng minh r˘ng d˜y
u
an = 1 +

1
1

1
+ 2 + ··· + 2
22 3
n

hˆi tu.
o .
.
’ ˜
’ `
Chı dˆ n. Ch´.ng to r˘ng d˜y do.n diˆu t˘ng, t´nh bi ch˘n cua n´
a
u
a
a
e a
ı
o
.
. a ’
.
.o.c x´c lˆp b˘ng c´ch su. dung c´c bˆt d˘ng th´.c:
’
`
´
’ .
du . a a a
a
a a a
u

.
1
1
1
1
=
− ,
<
2
n
n(n − 1)
n−1 n

n

2.

`
7. Ch´.ng minh r˘ng d˜y
u
a
a
an =

1
1
1
+ 2
+ ··· + n
3+1 3 +2

3 +n

c´ gi´.i han h˜.u han.
o o .
u
.
˜ n. T´ bi ch˘n cua an du.o.c x´c lˆp b˘ng c´ch so s´nh an
`
’ a
Chı dˆ
ınh . a ’
a
a
.
. a a a
.
.i tˆng mˆt cˆp sˆ nhˆn n`o d´.
o a o a a o
v´ o
o ’
. ´ ´
`
a
a
8. Ch´.ng minh r˘ng d˜y
u

1+

1