Bài tập toán cao cấp II

˜
’
ˆ
NGUYEN THUY THANH

`
ˆ
BAI TAP
.
´
´
ˆ
TOAN CAO CAP
Tˆp 2
a
.
Ph´p t´ vi phˆn c´c h`m
e ınh
a a a

´
´
’
`
ˆ
ˆ
`
ˆ
NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI
.
.

.


Muc luc
.
.
´
’
a e
a
o
7 Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o
.
.
´
’ a o
7.1 Gi´.i han cua d˜y sˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o .
ı
o .
7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜a gi´.i han .
a a a e
o .
.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn c´c
´
e a
7.1.2 Ch´
u
. o . ’ a o .

.
dinh l´ vˆ gi´.i han . . . . . . . . . . . . . . . .
y ` o .
e
.
`
´
e
e
7.1.3 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn diˆu
u
. o . ’ a o .
.
’
’ e a o .
kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´
e
e y
.
.
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . .
`
´
e
7.1.4 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn diˆu
u
e
. o . ’ a o .
.
’

kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´ hˆi tu
e `
e y o .
. a a ’ e a o .
.
.
7.2
7.3
7.4

Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . .
.i han h`m mˆt biˆn . . . . . . . . . . . . . . . .
´
a
o
e
Gi´ .
o
.
’ ` o .
e
y
7.2.1 C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co. ban vˆ gi´.i han
a
a e
a .
.
H`m liˆn tuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
e .

´
`
a e . ’ a
e
e
Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . .
o .

3
4
5
11

17

. .

25

. .

27

. .

27

. .

41

. .

51

´
8 Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ınh
a
a
o
e
60
.
- . a
8.1 Dao h`m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
- . a
´
8.1.1 Dao h`m cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
a
- . a
´
8.1.2 Dao h`m cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
a
8.2

Vi phˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
´
8.2.1 Vi phˆn cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a a

75
75


2

MUC LUC
.
.

8.3

´
8.2.2 Vi phˆn cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a
. ban vˆ h`m kha vi. Quy t˘c l’Hospital.
´
’
C´c dinh l´ co ’ ` a
a .
e
a
y
Cˆng th´.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
u
’ ` a
’

8.3.1 C´c d inh l´ co. ban vˆ h`m kha vi . . . . . . . .
a .
e
y
. c´c dang vˆ dinh. Quy t˘c Lˆpitan
´
’
8.3.2 Khu a
o .
a
o
.
(L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 Cˆng th´.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
u

´
`
9 Ph´p t´
e ınh vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
a
a
e
e
- . a
9.1 Dao h`m riˆng . . . . . . . . . . . . . . .
e
- . a
´

9.1.1 Dao h`m riˆng cˆp 1 . . . . . . . .
e
a
- . a
’ a
9.1.2 Dao h`m cua h`m ho.p . . . . . . .
.
’
9.1.3 H`m kha vi . . . . . . . . . . . . .
a
- . a
9.1.4 Dao h`m theo hu.´.ng . . . . . . . .
o
- . a
´
9.1.5 Dao h`m riˆng cˆp cao . . . . . . .
e
a
´
`
9.2 Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . . . .
a ’ a
e
e
´
9.2.1 Vi phˆn cˆp 1 . . . . . . . . . . . .
a a
´
’
`

9.2.2 Ap dung vi phˆn dˆ t´nh gˆn d´ng
a e ı
a u
.
´
9.2.3 C´c t´ chˆt cua vi phˆn . . . . .
a ınh a ’
a
´
9.2.4 Vi phˆn cˆp cao . . . . . . . . . . .
a a
.c Taylor . . . . . . . . . .
9.2.5 Cˆng th´
o
u
9.3

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
’
9.2.6 Vi phˆn cua h`m ˆn . . . . . . . . .
a ’ a a
´
`
Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . . . . .
e
e
.
. ’ a
.c tri . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Cu
.
.

.c tri c´ diˆu kiˆn . . . . . . . . . .
9.3.2 Cu
e
e
.
. o `
.
.n nhˆt v` b´ nhˆt cua h`m .
´
´
9.3.3 Gi´ tri l´
a . o
a a e a ’ a

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

77
84
84
88
96
109
110
110
111
111
112
113
125
126
126
127

127
129
130
145
145
146
147


Chu.o.ng 7
’
Gi´.i han v` liˆn tuc cua
o
a e
.
.
´
h`m sˆ
a
o

7.1

´
’
Gi´.i han cua d˜y sˆ . . . . . . . . . . . . . .
o
a o
.
ıa o

7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜ gi´.i
a a
a e
o .
han . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
´
e
7.1.2 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
u
. o . ’ a o .
.
` gi´.i han . . . . . . . . . . . .
y e
c´c dinh l´ vˆ o .
a .
´
a o .
7.1.3 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a
u
. o . ’
.
’
`
’ e a
e
e
o .
e
trˆn diˆu kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn

e
.
.
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . .
7.1.4

4

5

11

l´
y
17

´
e
Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
u
. o . ’ a o .
.
’
`
e
e `
e
diˆu kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn
. a a ’ e a o .
.

l´ hˆi tu Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25
y o .
.

7.2

´
a
o
e
Gi´.i han h`m mˆt biˆn . . . . . . . . . . . . 27
o
.
.
’ ` o .
y
e
7.2.1 C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co. ban vˆ gi´.i han 27
a
a e
a .
.

7.3

H`m liˆn tuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
a
e
.
´

`
’
a e
a
e
e
Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn . 51
o
.
.

7.4


´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

4

7.1

´
’
Gi´.i han cua d˜y sˆ
o
a o

.

´
´
´
a o
H`m sˆ x´c dinh trˆn tˆp ho.p N du.o.c goi l` d˜y sˆ vˆ han. D˜y sˆ
a
o a .
e a
.
. a a o o .
.
.
´
o
e
o .
thu.`.ng du.o.c viˆt du.´.i dang:
.
a1, a2, . . . , an , . . .

(7.1)

’
´
o
a
o
ho˘c {an }, trong d´ an = f (n), n ∈ N du.o.c goi l` sˆ hang tˆng qu´t

a
.
. a o .
.
´ .
´
’ a
cua d˜y, n l` sˆ hiˆu cua sˆ hang trong d˜y.
a o e ’ o .
a
`
Ta cˆn lu.u y c´c kh´i niˆm sau dˆy:
a
´ a
a e
a
.
.o.c goi l` bi ch˘n nˆu ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an |
´
i) D˜y (7.1) du .
a
. a . a e
.
´
M ; v` goi l` khˆng bi ch˘n nˆu: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an | > M.
a . a o
. a e
.
´
´

’ a
e
ii) Sˆ a du.o.c goi l` gi´.i han cua d˜y (7.1) nˆu:
o
.
. a o .
∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n

N ⇒ |an − a| < ε.

(7.2)

´
´
’ a
’ a o .
e
iii) Sˆ a khˆng phai l` gi´.i han cua d˜y (7.1) nˆu:
o
o
∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n

N ⇒ |an − a|

ε.

(7.3)

o
iv) D˜y c´ gi´.i han du.o.c goi l` d˜y hˆi tu, trong tru.`.ng ho.p ngu.o.c

a o o .
. . a a o .
.
.
.
lai d˜y (7.1) goi l` d˜y phˆn k`.
a
a a
a y
.
.
´
v) D˜y (7.1) goi l` d˜y vˆ c`ng b´ nˆu lim an = 0 v` goi l` d˜y
a
e e
a . a a
. a a o u
n→∞
´
´
e
a e
vˆ c`ng l´.n nˆu ∀ A > 0, ∃ N sao cho ∀ n > N ⇒ |an | > A v` viˆt
o u
o
lim an = ∞.
’
`
’ . a
e

e ` e a o . a a o
vi) Diˆu kiˆn cˆn dˆ d˜y hˆi tu l` d˜y d´ phai bi ch˘n.
. a
.
.
.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´.i:
o
Ch´ ´: i) Hˆ th´
uy
e u
.
−ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε.

(7.4)


´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

5

`
´
´
’ a
’ o
’ a
u

o
Hˆ th´.c (7.4) ch´.ng to r˘ng moi sˆ hang v´.i chı sˆ n > N cua d˜y
e u
. o .
.
`
’
’
hˆi tu dˆu n˘m trong khoang (a − ε, a + ε), khoang n`y goi l` ε-lˆn
o . `
e a
a . a a
.
’
cˆn cua diˆm a.
a ’
e
.
´
´ ´
´
’ o u
Nhu. vˆy, nˆu d˜y (7.1) hˆi tu dˆn sˆ a th` moi sˆ hang cua n´ tr`.
a
e a
o . e o
ı . o .
.
.
.u han sˆ hang dˆu n˘m trong ε-lˆn cˆn bˆt k` b´ bao

`
´
´
e `
a
a a a y e
ra mˆt sˆ h˜
o o u
. o .
.
. ´
’
nhiˆu t`y y cua diˆm a.
e u ´ ’
e
´
ii) Ta lu.u y r˘ng d˜y sˆ vˆ c`ng l´.n khˆng hˆi tu v` k´ hiˆu
´ `
a
a o o u
o
o
o . a y e
.
.
’ o
lim an = ∞ (−∞) chı c´ ngh˜ l` d˜y an l` vˆ c`ng l´.n v` k´ hiˆu d´
ıa a a
a o u
o a y e o

.
.i han.
ho`n to`n khˆng c´ ngh˜ l` d˜y c´ gi´ .
a
a
o
o
ıa a a o o

7.1.1

C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜ gi´.i
a
a
a
e
o .
ıa o
han
.

’
`
´
`
’ .
Dˆ ch´.ng minh lim an = a b˘ng c´ch su. dung dinh ngh˜a, ta cˆn tiˆn
e u
a
a

ı
a
e
.
.´.c sau dˆy:
h`nh theo c´c bu o
a
a
a
’
i) Lˆp biˆu th´.c |an − a|
a
e
u
.
´ ` o o .
ii) Chon d˜y bn (nˆu diˆu d´ c´ lo.i) sao cho |an − a| bn ∀ n v`
a
e
e
a
.
.i ε du b´ bˆt k` bˆt phu.o.ng tr` dˆi v´.i n:
´
´
´
’ e a y a
v´
o
ınh o o

bn < ε

(7.5)

’
˜ a
’ ’
o
e a
c´ thˆ giai mˆt c´ch dˆ d`ng. Gia su. (7.5) c´ nghiˆm l` n > f(ε),
o e ’
o a
e
.
.
’ ´
f (ε) > 0. Khi d´ ta c´ thˆ lˆy n l` [f (ε)], trong d´ [f (ε)] l` phˆn
o
o e a
a
o
a `
a
nguyˆn cua f(ε).
e ’
´
CAC V´ DU
I
.
n

`
’ ’
V´ du 1. Gia su. an = n(−1) . Ch´.ng minh r˘ng:
ı .
a
u
i) D˜y an khˆng bi ch˘n.
a
o
. a
.
’ a o u
ii) D˜y an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n.
a
o
o
.ng minh r˘ng an thoa m˜n dinh ngh˜a d˜y khˆng
`
’
’
Giai. i) Ta ch´
u
a
a .
ı a
o
.i sˆ hiˆu n = 2([M] + 1) b˘ng
`
´
bi ch˘n. Thˆt vˆy, ∀ M > 0 sˆ hang v´ o e

a a
o .
o ´ .
a
. a
.
. .
` o o
n v` l´.n ho.n M . Diˆu d´ c´ ngh˜ l` d˜y an khˆng bi ch˘n.
a o
e
ıa a a
o
. a
.


´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

6

`
’ a o u
a
a a

ii) Ta ch´.ng minh r˘ng an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n. Thˆt vˆy,
u
o
o
. .
.i sˆ hiˆu le
’
´
’
’ a o ´ .
ta x´t khoang (−2, 2). Hiˆn nhiˆn moi sˆ hang cua d˜y v´ o e ’
e
e
e
o .
.
` u thuˆc khoang (−2, 2) v` khi n le th` ta c´:
’
’ ı
e
o
ı
o
dˆ
.
n

n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2).
´ ´
’

’
a
o o o o .
a
u o
Nhu. vˆy trong khong (−2, 2) c´ vˆ sˆ sˆ hang cua d˜y. T`. d´,
.
’ a o u
theo dinh ngh˜ suy ra an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n.
ıa
o
o
.
`
´ ’
V´ du 2. D`ng dinh ngh˜a gi´.i han d˜y sˆ dˆ ch´.ng minh r˘ng:
ı .
u
a o e u
a
ı
o .
.
1)

lim

n→∞

(−1)n−1

= 0.
n

2)

lim

n→∞

n
= 1.
n+1

’
`
’
Giai. Dˆ ch´.ng minh d˜y an c´ gi´.i han l` a, ta cˆn ch´.ng minh
a
a
u
e u
o o . a
.i mˆ i sˆ ε > 0 cho tru.´.c c´ thˆ t`m du.o.c sˆ N (N phu
˜ o
’ ı
`
´
´
r˘ng dˆi v´
a

o ´
o o e
o o
. o
.
o
o
thuˆc ε) sao cho khi n > N th` suy ra |an − a| < ε. Thˆng thu.`.ng ta
o
ı
.
’
’
˜
c´ thˆ chı ra cˆng th´.c tu.`.ng minh biˆu diˆn N qua ε.
o e ’
o
u
o
e
e
1) Ta c´:
o
|an − 0| =

1
(−1)n−1
= ·
n
n

´
’ ’
Gia su. ε l` sˆ du.o.ng cho tru.´.c t`y y. Khi d´:
a o
o u ´
o
1
1
<ε⇔n> ·
n
ε
’ ´
´
`
´
e a o ’
V` thˆ ta c´ thˆ lˆy N l` sˆ tu. nhiˆn n`o d´ thoa m˜n diˆu kiˆn:
ı e
o e a
a o .
a
e
e
.
N>

1
1
⇒

< ε.
ε
N

’
’ ´
(Ch˘ng han, ta c´ thˆ lˆy N = [1/ε], trong d´ [1/ε] l` phˆn nguyˆn
a
o e a
o
a `
a
e
.
’
cua 1/ε).
Khi d´ ∀ n N th`
o
ı:
|an − 0| =

1
n

1
< ε.
N


´

’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

7

(−1)n
` o o
= 0.
Diˆu d´ c´ ngh˜ l` lim
e
ıa a
n→∞
n
´ ´
´
´
2) Ta lˆy sˆ ε > 0 bˆt k` v` t` sˆ tu. nhiˆn N (ε) sao cho ∀ n >
a o
a y a ım o .
e
N (ε) th`
ı:
n
− 1 < ε.
n+1
´ ’
Bˆt d˘ng th´.c
a a
u

|an − 1| < ε ⇔

1
1
< ε ⇔ − 1.
n+1
ε

’ ´ ´
Do d´ ta c´ thˆ lˆy sˆ N (ε) l` phˆn nguyˆn cua
o
o e a o
a `
a
e ’

1
− 1, t´.c l`:
u a
ε

N(ε) = E((1/ε) − 1).
Khi d´ v´.i moi n N ta c´:
o
o o
.
n
n
1
1

−1 =
< ε ⇒ lim
= 1.
n→∞ n + 1
n+1
n+1
N +1
`
V´ du 3. Ch´.ng minh r˘ng c´c d˜y sau dˆy phˆn k`:
ı .
u
a
a a
a
a y
n∈N

1)

an = n,

2)

an = (−1)n ,

3)

n∈N
1
an = (−1)n + ·

n

(7.6)
(7.7)
(7.8)

´
’
’ ’ a
Giai. 1) Gia su. d˜y (7.6) hˆi tu v` c´ gi´.i han l` a. Ta lˆy ε = 1.
o . a o o . a
a
.
.i han tˆn tai sˆ hiˆu N sao cho ∀ n > N th`
´ .
Khi d´ theo dinh ngh˜ gi´ . ` . o e
o
ı
o
ıa o
.
ta c´ |an − a| < 1 ngh˜ l` |n − a| < 1 ∀ n > N . T`. d´ −1 < n − a < 1
o
ıa a
u o
∀ n > N ⇔ a − 1 < n < a + 1 ∀ n > N.
´ ’
Nhu.ng bˆt d˘ng th´.c n < a + 1, ∀ n > N l` vˆ l´ v` tˆp ho.p c´c
a a
a o y ı a

a
u
.
.
´
sˆ tu. nhiˆn khˆng bi ch˘n.
o .
e
o
. a
.
. d˜y an hˆi tu v` c´ gi´.i han l` a. Ta lˆy lˆn
´
’ ’
2) C´ch 1. Gia su a
a
a a
o . a o o . a
.
1
1
’
´
’
cua diˆm a. Ta viˆt d˜y d˜ cho du.´.i dang:
cˆn a − , a +
a
o .
e
e a a

.
2
2
{an } = −1, 1, −1, 1, . . . .

(7.9)


´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

8

1
1
’
’
l` b˘ng 1 nˆn hai diˆm −1
a `
a
e
V` dˆ d`i cua khoang a − , a +
ı o a ’
e
.
2

2
1
1
’
’ o
’
cua diˆm a,
o a a
o
e
v` +1 khˆng thˆ dˆng th`.i thuˆc lˆn cˆn a − , a +
a
o
e `
.
.
2
2
`
` o o
’
a
a
a
e
ı a ’
v` khoang c´ch gi˜.a −1 v` +1 b˘ng 2. Diˆu d´ c´ ngh˜a l` o. ngo`i
ı
a
u

1
1
´
´ ´
’ a a ı e
c´ vˆ sˆ sˆ hang cua d˜y v` v` thˆ (xem ch´
o o o o .
u
lˆn cˆn a − , a +
a a
.
2
2
’
´
’ a
y o. trˆn) sˆ a khˆng thˆ l` gi´.i han cua d˜y.
´ ’ e
o
o
e a o .
1
´
’ ’
o
C´ch 2. Gia su. an → a. Khi d´ ∀ ε > 0 (lˆy ε = ) ta c´
a
o
a
2

1
∀ n N.
|an − a| <
2
V` an = ±1 nˆn
ı
e
1
|1 − a| < ,
2

| − 1 − a| <

⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)|
⇒2 < 1,

1
2

|1 − a| + |a + 1|

1 1
+ =1
2 2

vˆ l´.
o y

1
`

` o o
´
. Sˆ hang kˆ v´.i n´
o .
e
´ a
o
3) Lu.u y r˘ng v´.i n = 2m ⇒ a2m = 1 +
2m
´ .
c´ sˆ hiˆu le 2m + 1 (hay 2m − 1) v`
o o e ’
a
a2m+1 = −1 +

1
1
< 0 (hay a2m−1 = −1 +
2m + 1
2m − 1

0).

`
T`. d´ suy r˘ng
u o
a
|an − an−1 | > 1.
´ ´
´ .

’
Nˆu sˆ a n`o d´ l` gi´.i han cua d˜y (an ) th` b˘t dˆu t`. sˆ hiˆu n`o
e o
a o a o .
a
ı ´ ` u o e a
a a
1
´ ’
’
d´ (an ) thoa m˜n bˆt d˘ng th´.c |an − a| < . Khi d´
o
a a a
u
o
2
1 1
|an − an+1 | |an − a| + |an+1 − a| < + = 1.
2 2
`
´
´
e
u
o .
e
a y ’ a a
Nhu.ng hiˆu gi˜.a hai sˆ hang kˆ nhau bˆt k` cua d˜y d˜ cho luˆn luˆn
o
o

.
˜
`
`
’ a
l´.n ho.n 1. Diˆu mˆu thuˆ n n`y ch´.ng to r˘ng khˆng mˆt sˆ thu.c
o
o
o o .
e
a
a
a
u
. ´
.i han cua d˜y d˜ cho.
’
’ a a
n`o c´ thˆ l` gi´ .
a o e a o


´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

9
`
ˆ

BAI TAP
.

’
`
H˜y su. dung dinh ngh˜ gi´.i han dˆ ch´.ng minh r˘ng
a ’ .
a
ıa o . e u
.
2n − 1
´
1. lim an = 1 nˆu an =
e
n→∞
2n + 2
3
3n2 + 1
´u an =
e
2. lim an = nˆ
n→∞
5
5n2 − 1
´t dˆu t`. sˆ hiˆu N n`o th`:
` u o e
´ .
a
ı
B˘ a

a
|an − 3/5| < 0, 01
´
e
3. lim an = 1 nˆu an =
n→∞

(DS. N = 5)

3n + 1
.
3n

cos n
= 0.
n→∞
n
2n + 5 · 6n
5. lim
= 5.
n→∞ 3n + 6n
√
3
n2 sin n2
= 0.
6. lim
n→∞
n+1
`
´

’ a o .
’
7. Ch´.ng minh r˘ng sˆ a = 0 khˆng phai l` gi´.i han cua d˜y an =
u
a
o
o
a
2
n −2
.
2n2 − 9
`
8. Ch´.ng minh r˘ng
u
a
4. lim

n2 + 2n + 1 + sin n
lim
= 1.
n→∞
n2 + n + 1
`
9. Ch´.ng minh r˘ng d˜y: an = (−1)n + 1/n phˆn k`.
u
a
a
a y
`

10. Ch´.ng minh r˘ng d˜y; an = sin n0 phˆn k`.
u
a
a
a y
’ a
11. T` gi´.i han cua d˜y: 0, 2; 0, 22; 0, 222; . . . , 0, 22 . . . 2, . . .
ım o .
’
˜
’ ˜
Chı dˆ n. Biˆu diˆn an du.´.i dang
a
e
e
o .
an = 0, 22 . . . 2 =

22
2
2
+
+ ··· + n
10 10
10

n

(DS. lim an = 2/9)

´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

10

han
12.
T`
ım
gi´.i
o
.
0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; . . . , 0, 2 33 . . . 3, . . .

’
cua

d˜y
a

´
sˆ:
o

n

˜
’
˜
’ a
Chı dˆ n. Biˆu diˆn an du.´.i dang
e
e
o .
an =

2
3
3
3
+
+ 3 + ··· + n
2
10
10
10
10

(DS. 7/30)

`
´
´
´
`

13. Ch´.ng minh r˘ng nˆu d˜y an hˆi tu dˆn a, c`n d˜y bn dˆn dˆn
u
a
e a
o . e
o a
a e
.
` e
∞ th` d˜y an /bn dˆn dˆn 0.
ı a
a ´
`
14. Ch´.ng minh r˘ng
u
a
n
i) lim n = 0.
n→∞ 2
n
ii) lim n = 0 (a > 1).
n→∞ a
˜
’ .
’ a
e u
Chı dˆ n. i) Su. dung hˆ th´.c:
.
2n = (1 + 1)n = 1 + n +

n(n − 1)
n2
n(n − 1)
+ ··· + 1 > n +
>
·
2
2
2

v` u.´.c lu.o.ng |an − 0|.
a o
.
.o.ng tu. nhu. i). Su. dung hˆ th´.c:
’ .
ii) Tu
e u
.
.
an = [1 + (a − 1)]n >

n(n − 1)
(a − 1).
2

`
15. Ch´.ng minh r˘ng
u
a
´

lim an = 2 nˆu an = 1 +
e

1
1
+ ··· + n
2
2

’
˜
’
`
´ ´
’ a ´
o
a o a e ı
Chı dˆ n. Ap dung cˆng th´.c t´nh tˆng cˆp sˆ nhˆn dˆ t´nh an rˆi
o
u ı
o
.
u.´.c lu.o.ng |an − 2|.
o
.
´ `
o a
o
16. Biˆt r˘ng d˜y an c´ gi´.i han, c`n d˜y bn khˆng c´ gi´.i han. C´
e a

a
o o .
o
o o .
’
’ a
thˆ n´i g` vˆ gi´.i han cua d˜y:
e o ı ` o .
e
i) {an + bn }.
ii) {an bn }.
` .
(DS. i) lim{an + bn } khˆng tˆn tai. H˜y ch´.ng minh.
o
o
a
u


´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

11

’ .
o
o o .
ii) C´ thˆ g˘p ca hai tru.`.ng ho.p c´ gi´.i han v` khˆng c´ gi´.i han,

o e a ’
. o o . a o
v´ du:
ı .
an =

7.1.2

n−1
, bn = (−1)n ;
n

an =

1
, bn = (−1)n .
n

´
Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
u
a o .
e
. o . ’
.
y ` o .
e
c´c dinh l´ vˆ gi´.i han
a .

’
´
’ a o
’ .
o
o
a .
Dˆ t´ gi´.i han cua d˜y sˆ, ngu.`.i ta thu.`.ng su. dung c´c dinh l´ v`
e ınh o .
y a
kh´i niˆm sau dˆy:
a e
a
.
. lim an = a, lim bn = b.
’ ’
Gia su
i) lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn = a ± b.
ii) lim an bn = lim an · lim bn = a · b.
´
iii) Nˆu b = 0 th` b˘t dˆu t`. mˆt sˆ hiˆu n`o d´ d˜y an /bn x´c
e
ı ´ ` u o o e a o a
a a
a
. ´ .
dinh (ngh˜ l` ∃ N : ∀ n N ⇒ bn = 0) v`:
ıa a
a
.

lim

lim an
a
an
=
= ·
bn
lim bn
b

´
´ a
iv) Nˆu lim an = a, lim bn = a v` b˘t dˆu t`. mˆt sˆ hiˆu n`o d´
e
a a ` u o o e a o
. ´ .
an zn bn th` lim zn = a (Nguyˆn l´ bi ch˘n hai phi´).
ı
e y . a
a
.
v) T´ cua d˜y vˆ c`ng b´ v´.i d˜y bi ch˘n l` d˜y vˆ c`ng b´.
ıch ’ a o u
e o a . a a a o u
e
.
1
´
vi) Nˆu (an ) l` d˜y vˆ c`ng l´.n v` an = 0 th` d˜y

e
l` d˜y vˆ
a a o
a a o u
o a
ı a
an
1
´
c`ng b´; ngu.o.c lai, nˆu αn l` d˜y vˆ c`ng b´ v` αn = 0 th` d˜y
u
e
a a o u
e a
ı a
. . e
αn
l` vˆ c`ng l´.n.
a o u
o
’
´ a .
`
Nhˆn x´t. Dˆ ´p dung d´ng d˘n c´c dinh l´ trˆn ta cˆn lu.u y mˆt
a e
´ o
ea
u
a
y e

a
.
.
.
´ .
sˆ nhˆn x´t sau dˆy:
o a e
a
´
` o .
’
i) Dinh l´ (iii) vˆ gi´.i han cua thu.o.ng s˜ khˆng ´p dung du.o.c nˆu
e o a
y
e
.
. e
.
˜ ´
´
’ o a ˜ o o
tu. sˆ v` mˆ u sˆ khˆng c´ gi´.i han h˜.u han ho˘c mˆ u sˆ c´ gi´.i han
a ´
o o .
u
a
a o o o .
.
.
`

´ ’
b˘ng 0. Trong nh˜.ng tru.`.ng ho.p d´ nˆn biˆn dˆi so. bˆ d˜y thu.o.ng,
a
u
o
o a
o e
e o
.
.
. sˆ v` mˆ u sˆ v´.i c`ng mˆt
’
˜ ´
`
ch˘ng han b˘ng c´ch chia ho˘c nhˆn tu o a a o o u
a
a
a
a
a ’ ´
o
.
.
.
’u th´.c.
biˆ
e
u

´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

12

`
´
’
ii) Dˆi v´.i dinh l´ (i) v` (ii) c˜ng cˆn phai thˆn trong khi ´p dung.
o o .
y
a
u
a
a
a
.
.
.
.`.ng ho.p n`y ta cˆn phai biˆn dˆi c´c biˆu th´.c an ± bn v`
’
’
´
`
’
Trong tru o

a
a
e o a
e
u
a
.
an · bn tru.´.c khi t´ gi´.i han (xem v´ du 1, iii).
o
ınh o .
ı .
´
iii) Nˆu an = a ≡ const ∀ n th` lim an = a.
e
ı
n→∞

´
CAC V´ DU
I
.
´
e
V´ du 1. T` lim an nˆu:
ı .
ım
n+2
1) an = (1 + 7 )/(3 − 7n )
2) an = (2 + 4 + 6 + · · · + 2n)/[1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1)]
3) an = n3 /(12 + 22 + · · · + n2)

’
´ ´ ´
’
e ’ a a a a
u
y
e a o
Giai. Dˆ giai c´c b`i to´n n`y ta d`ng l´ thuyˆt cˆp sˆ
˜ ´
´
u o
o
1) Nhˆn tu. sˆ v` mˆ u sˆ phˆn th´.c v´.i 7−n ta c´:
a ’ o a a o a
1 + 7n+2
7−n + 72
=
an =
3 − 7n
3 · 7−n − 1
Do d´
o
lim an = lim

7−n + 72
= −49 v` lim 7−n = 0, n → ∞.
ı
3 · 7−n − 1

´

´ ´ .
’ o a ˜ o ` a a o o
2) Tu. sˆ v` mˆ u sˆ dˆu l` cˆp sˆ cˆng nˆn ta c´:
a ´ e
e
o
2 + 2n
· n;
2
1 + (2n + 2)
1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) =
(n + 1).
2
2 + 4 + 6 + · · · + 2n =

Do d´
o
an =

n
⇒ lim an = 1.
n+1

´
3) Nhu. ta biˆt:
e
12 + 22 + · · · + n2 =

n(n + 1)(2n + 1)
6

´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

13

v` do d´:
a
o
6n3
n(n + 1)(2n + 1)
6
= 3.
= lim
(1 + 1/n)(2 + 1/n)

lim an = lim

V´ du 2. T` gi´.i han
ı .
ım o .
1
1 1
+ + ··· + n
2 4
2
lim

1
1 1
1 + + + ··· + n
3 9
3
˜ ´ e
´
´ ´
’ o a a o ` a a o a e
’
Giai. Tu. sˆ v` mˆ u sˆ dˆu l` cˆp sˆ nhˆn nˆn
1+

1
+ ··· +
2
1
1 + + ··· +
3
1+

1
2(2n − 1)
=
,
2n
2n
1
3(3n − 1)
=

3n
2 · 3n

v` do d´:
a
o
2n − 1 2
3n
2(2n − 1)
2 · 3n
= 2 lim
·
· lim n
2n
3(3n − 1)
2n
3
3 −1
1
4
2
2
= 2 lim[1 − (1/2)n ] · lim
=2·1· ·1= ·
n
3
1 − (1/3)
3
3

lim an = lim

V´ du 3.
ı .
√
1) an = n2 + n − n
√
√
2) an = 3 n + 2 − 3 n
√
3) an = 3 n2 − n3 + n
’
Giai.
´ ’
`
1) Ta biˆn dˆi an b˘ng c´ch nhˆn v` chia cho dai lu.o.ng liˆn ho.p
e o
e .
a
a
a a
.
.
√
√
n
1
( n2 + n − n)( n2 + n + n)
√
=√

=
an =
n2 + n + n
n2 + n + n
1 + 1/n + 1
o
Do d´
lim an =

1
lim (

n→∞

1 + 1/n + 1)

=

1
·
2


´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

14

´ ’
o
2) Biˆn dˆi an tu.o.ng tu. nhu. 1) ta c´:
e o
.
√
√ 3
3
3
n+2 − 3n
an = √
√
√
√
2
3
n+2 + 3n+2· 3n+ 3n
2
an = √
√
√
√
2
3
n+2 + 3n+2· 3n+ 3n

2

2

˜ ´ `
’
a o a
Biˆu th´.c mˆ u sˆ b˘ng:
e
u
n2/3

3

1 + 2/n

2

+

3

1 + 2/n + 1 → ∞

khi n → ∞ v` do d´ lim an = 0.
a
o
√
3
’ ´
3) Ta c´ thˆ viˆt n = n3 v` ´p dung cˆng th´.c:
o e e

aa
o
u
.
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
suy ra
√
√
√
2
3
3
n2 − n3 + n
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
an =
√
√
2
3
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
n2
= √
√
2
3
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
1
=
2/3 − [1/n − 1]1/3 + 1
[1/n − 1]

1
·
3
’ a a
V´ du 4. T` gi´.i han cua c´c d˜y sau
ı .
ım o .
n
n
an = √
, bn = √
,
2+n
2+1
n
n
1
1
1
+√
+ ··· + √
·
cn = √
n+1
n2 + 2
n2 + n
`
’
a
e

u
a a
Giai. Dˆu tiˆn ta ch´.ng minh lim an = 1. Thˆt vˆy:
. .

suy ra lim an =

lim an = lim

n
n

1 + 1/n

= lim

1
1 + 1/n

= 1.


´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

15

Tu.o.ng tu. lim bn = 1.

.
’ t` gi´.i han cua cn ta s˜ ´p dung Nguyˆn l´ bi ch˘n hai ph´a.
’
Dˆ ım o .
e
ea
e y . a
ı
.
.
Mˆt m˘t ta c´:
o
a
o
.
.
cn < √

1
n2

+1

+√

1
n2

+1

+ ··· + √

1
n2

n
=√
= bn
2+1
+1
n

a
a
nhu.ng m˘t kh´c:
.
cn > √

1
1
1
+√
+ ··· + √
= an .
n2 + n
n2 + n
n2 + n

Nhu. vˆy an < cn < bn v` lim an = lim bn = 1. T`. d´ suy ra
a

a
u o
.
n→∞
n→∞
lim cn = 1.
n→∞

`
´
a
a
e
V´ du 5. Ch´.ng minh r˘ng d˜y (q n ) l`: 1) d˜y vˆ c`ng l´.n nˆu
ı .
u
a
a o u
o
|q| > 1; 2) d˜y vˆ c`ng b´ khi |q| < 1.
a o u
e
’
´ ´
´
’
’ ’
a o
a y
u a

Giai. 1) Gia su. |q| > 1. Ta lˆy sˆ A > 0 bˆt k`. T`. d˘ng th´.c
u
n
´
´
|q| > A ta thu du.o.c n > log|q| A. Nˆu ta lˆy N = [log|q|A] th` ∀ n > N
e
a
ı
.
n
n
.n.
ta c´ |q| > A. Do d´ d˜y (q ) l` d˜y vˆ c`ng l´
o
o a
a a o u
o
1
1 n −1
’ ’
2) Gia su. |q| < 1, q = 0. Khi d´ q n =
> 1 nˆn
e
o
. V`
ı
q
q
1 n −1

1 n
l` d˜y vˆ c`ng l´.n v` do d´ d˜y
a a o u
o a
l` vˆ c`ng
a o u
o a
d˜y
a
q
q
b´, t´.c l` d˜y (q n ) l` d˜y vˆ c`ng b´ khi |q| < 1.
e u a a
a a o u
e
n
n
´
a
o
a o u
e
3) Nˆu q = 0 th` q = 0, |q| < ε ∀ n v` do d´ (q n ) l` vˆ c`ng b´.
e
ı

`
ˆ
BAI TAP
.

´
T` gi´.i han lim an nˆu
ım o .
e
n→∞
n2 − n
√ .
(DS. ∞)
n− n
√
2. an = n2 (n − n2 + 1).
(DS. −∞)

1. an =


´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

16

1 + 2 + 3 + ··· + n
√
.
(DS. 1/6)
9n4 + 1

√
n cos n
.
(DS. 0)
4. an =
n+1
sin n
5n
+
.
(DS. 5)
5. an =
n+1
n
3n2
n3
−
.
(DS. 1/3)
6. an = 2
n + 1 3n + 1
cos n
n
−
.
(DS. 1)
7. an =
n + 11
10n
n3 + 1

(DS. ∞)
8. an = 2
n −1
3n
cos n3
1
−
.
(DS. − )
9. an =
n
6n + 1
2
n
(−1)
10. an = √
.
(DS. 0)
5 n+1
√
√
n2 + 1 + n
11. an = √
(DS. +∞)
√ .
3
n3 + n − n
√
12. an = 3 1 − n3 + n.
(DS. 0)

√
n2 + 4n
.
(DS. 1)
13. an = √
3
n3 − 3n2
(n + 3)!
.
(DS. −∞)
14. an =
2(n + 1)! − (n + 2)!
2 + 4 + · · · + 2n
− 2.
(DS. −1)
15. an =
n+2
√
1
(DS. )
16. an = n − 3 n3 − n2 .
3
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · · − 2n
1
√
√
.
(DS. − )
17. an =
3

n2 + 1 + 4n2 + 1
1
1
1
18. an =
+
+ ··· +
.
1·2 2·3
n(n + 1)
1
1
1
˜
’ a ´
Chı dˆ n. Ap dung
= −
(DS. 1)
.
n(n + 1)
n n+1
3. an =


´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .
1
(−1)n−1

1 1
3
+ ··· +
19. an = 1 − + −
.
(DS. )
3 9 27
3n−1
4
n+1
n+1
2
+3
20. an =
.
(DS. 3)
n + 3n
2
n + (−1)n
21. an =
.
(DS. 1)
n − (−1)n
1
1
1
1
√
√
√ +√

√ + ··· + √
22. an = √
n
2n − 1 + 2n + 1
1+ 3
3+ 5
˜ ´
’
´
’ ˜
Chı dˆ n. Truc c˘n th´.c o. mˆ u sˆ c´c biˆu th´.c trong dˆu ngo˘ c.
a
u ’ a o a
e
u
a
a
. a
.
1
(DS. √ )
2
1
1
1
+
+ ··· +
23. an =
1·2·3 2·3·4
n(n + 1)(n + 2)

.´.c hˆt ta ch´.ng minh r˘ng
˜
´
`
’ a
u
a
Chı dˆ n. Tru o e
1
1
1
1
1
=
−
(DS. )
n(n + 1)(n + 2)
2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2)
4
1
1
1
1
)
24. an =
+
+ ··· +
.
(DS.
a1a2 a2 a3

an an+1
a1 d
´ ´ .
trong d´ {an } l` cˆp sˆ cˆng v´.i cˆng sai d = 0, an = 0.
o
a a o o
o o
1
25. an = (1 − 1/4)(1 − 1/9) · · · (1 − 1/(n + 1)2 ).
(DS. )
2
n+2
`
’ ˜
’ `
Chı dˆ n. B˘ng quy nap to´n hoc ch´.ng to r˘ng an =
a
a
a
u
.
a
.
.
2n + 2

7.1.3

´
Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn

u
a o .
e
. o . ’
.
’
`
’ e a
e
e
o .
e y
diˆu kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´
.
.
Bolzano-Weierstrass)

´
D˜y sˆ an du.o.c goi l`:
a o
.
. a
´
i) D˜y t˘ng nˆu an+1 > an ∀ n
a a
e
´
’
ii) D˜y giam nˆu an+1 < an ∀ n
a

e
’
C´c d˜y t˘ng ho˘c giam c`n du.o.c goi l` d˜y do.n diˆu. Ta lu.u y
a a a
a
o
´
e
.
.
. a a
.
`
´
´
r˘ng d˜y do.n diˆu bao gi`. c˜ng bi ch˘n ´t nhˆt l` mˆt ph´ Nˆu d˜y
a
a
a a o
ıa. e a
e
o u
. a ı
.
.
.

17

´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

18

`
´
o ’ o .
do.n diˆu t˘ng th` n´ bi ch˘n du.´.i bo.i sˆ hang dˆu tiˆn cua n´, d˜y
e a
ı o . a
a
e ’
o a
.
.
.n diˆu giam th` bi ch˘n trˆn bo.i sˆ hang dˆu. Ta c´ dinh l´ sau dˆy
`
´
’ o .
’
do
e
ı . a
e
a

o .
y
a
.
.
’
’ a
thu.`.ng du.o.c su. dung dˆ t´nh gi´.i han cua d˜y do.n diˆu.
o
e ı
o .
e
. ’ .
.
-.
e a . a
ı o .
Dinh l´ Bolzano-Weierstrass. D˜y do.n diˆu v` bi ch˘n th` hˆi tu.
y
a
.
.
.
’
` . ` . ’
’
Dinh l´ n`y kh˘ng dinh vˆ su. tˆn tai cua gi´.i han m` khˆng chı
o
o .
a o

y a
a
e
.
.
`
a ım o . o
o
a
e
ra du.o.c phu.o.ng ph´p t` gi´.i han d´. Tuy vˆy, trong nhiˆu tru.`.ng
.
.
.p khi biˆt gi´.i han cua d˜y tˆn tai, c´ thˆ chı ra phu.o.ng ph´p t´nh
’
´
’ a ` . o e ’
ho
e o .
o
a ı
.
’
n´. Viˆc t´ to´n thu.`.ng du.a trˆn d˘ng th´.c d´ng v´.i moi d˜y hˆi
o
e ınh a
o
e a
u u
o

.
.
. a o
.
tu:
.
lim an+1 = lim an .

n→∞

n→∞

’
’ a ’
e a
e
e .
u u
Khi t´ gi´.i han du.a trˆn d˘ng th´.c v`.a nˆu tiˆn lo.i ho.n ca l` su.
ınh o .
.
.
`
`
o
dung c´ch cho d˜y b˘ng cˆng th´.c truy hˆi.
a
a a
o
u

.
´
CAC V´ DU
I
.
`
V´ du 1. Ch´.nh minh r˘ng d˜y:
ı .
u
a
a
an =

1
1
1
+ 2
+ ··· + n
5+1 5 +1
5 +1

hˆi tu.
o .
.

’
Giai. D˜y d˜ cho do.n diˆu t˘ng. Thˆt vˆy v`:
a a
e a
a a ı

.
. .
an+1 = an +

1
5n+1 + 1

nˆn an+1 > an .
e

D˜y d˜ cho bi ch˘n trˆn. Thˆt vˆy:
a a
e
a a
. a
.
. .
1
1
1
1
1
1
1
+ 2
+ 3
+ ··· + n
< + 2 + ··· + n
5+1 5 +1 5 +1
5 +1

5 5
5
1
1
−
5 5n+1 = 1 1 − 1 < 1 ·
=
1
4
5n
4
1−
5
Nhu. vˆy d˜y an d˜ cho do.n diˆu t˘ng v` bi ch˘n trˆn nˆn n´ hˆi
a a
a
e a
a . a
e e o o
.
.
.
.

an =

tu.
.

´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

19

2n
`
’
hˆi tu v` t`m gi´.i han cua
o
a ı
o .
a
a
V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng d˜y an =
ı .
u
n! . .
n´.
o
2n
2 22
’
Giai. D˜y d˜ cho c´ dang , , . . . , , . . .
a a
o .
1 2
n!

’
D˜y an do.n diˆu giam. Thˆt vˆy
a
e
a a
.
. .
2n
2
2n+1
an+1
:
=
< 1 ∀ n > 1.
=
an
(n + 1)! n!
n+1
`
’
’
a
o
a a . a
e
a
Do d´ an+1 < an v` d˜y bi ch˘n trˆn bo.i phˆn tu. a1 . Ngo`i ra
.
.´.i. Do d´ d˜y do.n diˆu giam v` bi
’

an > 0, ∀ n nˆn d˜y bi ch˘n du o
e a . a
o a
e
a .
.
.
’ o
’ ’
a o .
y
ch˘n. N´ hˆi tu theo dinh l´ Weierstrass. Gia su. a l` gi´.i han cua n´.
a
o o .
.
.
.
Ta c´:
o
2
2
an+1
⇒ an+1 =
an .
=
an
n+1
n+1
T`. d´
u o

lim an+1 = lim

2
2an
= lim
lim an
n+1
n+1

2n
= 0.
a
a
v` nhu. vˆy: a = 0 · a → a = 0. Vˆy: lim
a
.
.
n!
√
√
`
V´ du 3. Cho d˜y an = 2, an+1 = 2an . Ch´.ng minh r˘ng d˜y hˆi
ı .
a
a
a o
u
.
.i han cua n´.
’ o

tu v` t`m gi´ .
o
. a ı
’
`
’
Giai. Hiˆn nhiˆn r˘ng: a1 < a2 < a3 < · · · < . D´ l` d˜y do.n diˆu
e
e a
o a a
e
.
√
`
´
t˘ng v` bi ch˘n du.´.i bo.i sˆ 2. Ta ch´.ng minh r˘ng n´ bi ch˘n trˆn
a
a . a
o ’ o
a
o . a
e
u
.
.
.i sˆ 2.
’ ´
bo o
Thˆt vˆy
a a

. .
a1 =

√
√
√
2; a2 = 2a1 < 2 · 2 = 2.

’ ’ a u
a
Gia su. d˜ ch´.ng minh du.o.c r˘ng an
. `
Khi d´:
o
√

√
an+1 =

2.

2an

2 · 2 = 2.


´
’ a
o .
a e .

o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

20

Vˆy theo tiˆn dˆ quy nap ta c´ an 2 ∀ n.
a
e `
e
o
.
.
´
Nhu. thˆ d˜y an do.n diˆu t˘ng v` bi ch˘n nˆn n´ c´ gi´.i han d´
e a
e a
a . a e o o o .
o
.
.
l` a.
a
Ta c´:
o
an+1 =

√
2an ⇒ a2 = 2an .
n+1

Do d´:
o
lim a2 = 2 lim an
n+1
hay a2 − 2a = 0 v` thu du.o.c a1 = 0, a2 = 2.
a
.
.n diˆu t˘ng ∀ n nˆn gi´.i han a = 2.
V` d˜y do
ı a
e a
e
o .
.
’ a
ı
o . a ı
o .
V´ du 4. Ch´.ng minh t´nh hˆi tu v` t`m gi´.i han cua d˜y
ı .
u
.
x1 =
xn =

√
a; x2 =
a+

a+

√
a, . . . ,

a + ··· +

√
´
a, a > 0, n dˆu c˘n.
a a

’
Giai. i) R˜ r`ng: x1 < x2 < x3 < · · · < xn < xn+1 < . . . ngh˜ l`
o a
ıa a
d˜y d˜ cho l` d˜y t˘ng.
a a
a a a
ii) Ta ch´.ng minh d˜y xn l` d˜y bi ch˘n. Thˆt vˆy, ta c´:
u
a
a a . a
a a
o
.
. .
√
√
a< a+1
√

√
x2 = a + a < a + a + 1 <

x1 =

√
√
a + 2 a + 1 = a + 1.

√
`
’ ’ a u
Gia su. d˜ ch´.ng minh du.o.c r˘ng: xn < a + 1.
. a
√
`
Ta cˆn ch´.ng minh xn+1 < a + 1. Thˆt vˆy, ta c´:
a
u
a a
o
. .
xn+1 =

√

a + xn <

a+

√
a+1<

√
√
a + 2 a + 1 = a + 1.

`
Do d´ nh`. ph´p quy nap to´n hoc ta d˜ ch´.ng minh r˘ng d˜y d˜
e
a
a
a a
o o
a u
.
.
√
’
cho bi ch˘n trˆn bo.i a + 1.
e
. a
.


´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

21

√
’
e e u
iii) Dˆ t` gi´.i han ta x´t hˆ th´.c xn = a + xn−1 hay
e ım o .
.
x2 = a + xn−1 .
n
T`. d´:
u o
lim x2 = lim(a + xn−1 ) = a + lim xn−1
n
´
´
’
hay nˆu gia thiˆt lim xn = A th` A2 = a + A → A2 − A − a = 0 v`
e
e
ı:
a
√
√
1 + 1 + 4a
1 − 1 + 4a
, A2 =
·
A1 =
2

2
V` A2 < 0 nˆn gi´ tri A2 bi loai v` xn > 0.
ı
e
a .
. . ı
Do d´;
o
√
1 + 1 + 4a
·
lim xn =
2
´
’ a
V´ du 5. T` gi´.i han cua d˜y an du.o.c x´c dinh nhu. sau: a1 l` sˆ
ı .
ım o .
a o
. a .
t`y y m`
u ´ a
0 < a1 < 1,

an+1 = an (2 − an ) ∀ n

1.

(7.10)

’
`
`
`
’
a
Giai. i) Dˆu tiˆn ch´.ng minh r˘ng an bi ch˘n, m` cu thˆ l` b˘ng
a
e
u
a . e a a
. a
.
`
ph´p quy nap to´n hoc ta ch´.ng minh r˘ng
e
a
u
a
.
.
0 < an < 1.

(7.11)

’ ’
u
o
a
Ta c´ 0 < a1 < 1. Gia su. (7.11) d˜ du.o.c ch´.ng minh v´.i n v` ta

o
a
.
.ng minh (7.11) d´ng v´.i n + 1 .
s˜ ch´
e u
u
o
. (7.10) ta c´; an+1 = 1 − (1 − an )2.
T`
u
o
T`. hˆ th´.c n`y suy ra 0 < (1 − an )2 < 1, v` 0 < an < 1.
u e u a
ı
.
. d´ suy ra: 0 < an+1 < 1 ∀ n.
T` o
u
`
ii) Bˆy gi`. ta ch´.ng minh r˘ng an l` d˜y t˘ng.
a
o
u
a
a a a
Thˆt vˆy, v` an < 1 nˆn 2 − an > 1. Chia (7.10) cho an ta thu
a a
ı
e

.
.
.o.c:
du .
an+1
= 2 − an > 1.
an


´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

22

a a
T`. d´ an+1 > an ∀ n. Nhu. vˆy d˜y an do.n diˆu t˘ng v` bi ch˘n.
u o
e a
a . a
.
.
.
` . a
Do d´ theo dinh l´ Weierstrass, lim An tˆn tai v` ta k´ hiˆu n´ l` a.
o
y

o
y e o a
.
.
. (7.10) ta c´:
iii) T`
u
o
lim an+1 = lim an · lim(2 − an )
hay a = a(2 − a).
a
ı
a a
a
e
T`. d´ a = 0 v` a = 1. V` x1 > 0 v` d˜y an t˘ng nˆn
u o
a = 1 = lim an .
n!
`
’
a
a
V´ du 6. Ch´.ng minh r˘ng d˜y an = n hˆi tu v` t`m gi´.i han cua
ı .
u
o . a ı
o .
.
n

n´.
o
`
’
’
Giai. i) Ta ch´.ng minh r˘ng d˜y an do.n diˆu giam, thˆt vˆy:
u
a
a
e
a a
.
. .
an+1 =

(n + 1)!
n!
n!
nn
nn
=
= n·
=
an
(n + 1)n+1
(n + 1)n
n (n + 1)n
(n + 1)n

v`

ı
nn
< 1 nˆn an+1 < an .
e
(n + 1)n
`
o a
e o . a
o
o .
y e
V` an > 0 nˆn n´ bi ch˘n du.´.i v` do d´ lim an tˆn tai, k´ hiˆu
ı
.
.
lim an = a v` r˜ r`ng l` a = lim an 0.
a o a
a
.ng minh a = 0. Thˆt vˆy ta c´:
ii) Ta ch´
u
a a
o
. .
(n + 1)n
n+1
=
n
n
n

n

= 1+

1
n

n

1+

o
Do d´:
1
nn
<
n
(n + 1)
2

1
v` an+1 < an .
a
2

’
Chuyˆn qua gi´.i han ta du.o.c a
e
o .

.

a
⇒ a = 0.
2

`
ˆ
BAI TAP
.

n
= 2.
n


´
’ a o
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o .

23

´
1. Cho c´c d˜y sˆ:
a a o
1) an =

5n2
·

n2 + 3

2) bn = (−1)n

2n
sin n. 3) cn = n cos πn.
n+1

’
H˜y chı ra d˜y n`o bi ch˘n v` d˜y n`o khˆng bi ch˘n.
a
a a . a a a a
o
.
. a
.
(DS. 1) v` 2) bi ch˘n; 3) khˆng bi ch˘n)
a
a
o
a
. .
. .
`
2. Ch´.ng minh r˘ng d˜y:
u
a
a
a0
a1

a2
, a2 =
, a3 =
,...,
a + a0
a + a1
a + a2
an−1
an =
, . . . (a > 1, a0 > 0)
a + an−1
a1 =

hˆi tu.
o .
.
a a
3. Ch´.ng minh c´c d˜y sau dˆy hˆi tu
u
a o .
.
2
n −1
1) an =
n2
1
1
1
2) an = 2 + + + · · · +
2! 3!

n!
’ ˜
u
Chı dˆ n. T´ bi ch˘n du.o.c suy t`. n!
a
ınh . a
.
.

2n−1 v` do d´
a
o

1
1
1
1
+ 2 + · · · + n−1 = 3 − n−1 < 3.
2 2
2
2
’
a a
u
4. Ch´.ng minh c´c d˜y sau dˆy hˆi tu v` t`m gi´.i han a cua ch´ng
u
a o . a ı
o .
.
√

√
√
1) a1 = k 5, an+1 = k 5an , k ∈ N. (DS. k−1 5)
2n
2) an =
(n + 2)!
2
an+1
’ ˜
< 1. (DS. a = 0)
=
Chı dˆ n.
a
an
n+3
E(nx)
trong d´ E(nx) l` phˆn nguyˆn cua nx.
3) an =
o
a `
a
e ’
n
’ .
’ ˜
e u
Chı dˆ n. Su. dung hˆ th´.c: nx − 1 < E(nx) nx. (DS. a = x)
a
.
an

2+

n
`
’
a
a
o
5. Ch´.ng minh r˘ng d˜y: an = a1/2 hˆi tu v` t` gi´.i han cua n´
u
o . a ım o .
.
(a > 1).


´
’ a
o .
a e .
o
Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ

24

`
’ ˜
’
a
(DS. a = 1. Chı dˆ n. Ch´.ng minh r˘ng an l` d˜y do.n diˆu giam

a
u
a a
e
.
v`
ı
an+1 = a1/2

n+1

n·2)

= a1/(2

=

√

an , an > 1)

`
a
a
6. Ch´.ng minh r˘ng d˜y
u
an = 1 +

1
1

1
+ 2 + ··· + 2
22 3
n

hˆi tu.
o .
.
’ ˜
’ `
Chı dˆ n. Ch´.ng to r˘ng d˜y do.n diˆu t˘ng, t´nh bi ch˘n cua n´
a
u
a
a
e a
ı
o
.
. a ’
.
.o.c x´c lˆp b˘ng c´ch su. dung c´c bˆt d˘ng th´.c:
’
`
´
’ .
du . a a a
a
a a a
u

.
1
1
1
1
=
− ,
<
2
n
n(n − 1)
n−1 n

n

2.

`
7. Ch´.ng minh r˘ng d˜y
u
a
a
an =

1
1
1
+ 2
+ ··· + n
3+1 3 +2

3 +n

c´ gi´.i han h˜.u han.
o o .
u
.
˜ n. T´ bi ch˘n cua an du.o.c x´c lˆp b˘ng c´ch so s´nh an
`
’ a
Chı dˆ
ınh . a ’
a
a
.
. a a a
.
.i tˆng mˆt cˆp sˆ nhˆn n`o d´.
o a o a a o
v´ o
o ’
. ´ ´
`
a
a
8. Ch´.ng minh r˘ng d˜y
u

1+

1

n

lim 1 +

n→∞

n+1

1
n

’
do.n diˆu giam v`
e
a
.

n+1

= e.

´
9. T´
ınh lim an , nˆu
e
n→∞

1) an = 1 +

1

n+k

n

, k ∈ N.

n
n
1
. (DS. )
n+1
e
n
√
1
3) an = 1 +
. (DS. e)
2n
2n + 1 2n
4) an =
. (DS. e)
2n

2) an =

(DS. e)