bài tập toán cao cấp II

BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II
Bài tập về tích phân kép
Bài 1: Tìm cận của tích phân hai lớp
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
theo miền D giới hạn bởi các
đường đã chỉ ra.
1.
3, 5,3 2 4 0,3 2 1 0x x x y x y
= = − + = − + =
ĐS:
( )
3 4
5
5
3 1
3
5
,
x
x
dx f x y dy
+
+
∫ ∫
2.
0, 0, 2x y x y= = + =
ĐS:

( )
2 2
0 0
,
x
dx f x y dy
−
∫ ∫
3.
2 2
1, 0, 0x y x y+ ≤ ≥ ≥
ĐS:
( )
2
1 1
0 0
,
x
dx f x y dy
−
∫ ∫
4.
1, 1, 0x y x y x+ ≤ − ≤ ≥
ĐS:
( )
1 1
0 1
,
x
x

dx f x y dy
−
−
∫ ∫
5.
2 2
, 4y x y x≥ ≤ −
ĐS:
( )
2
2
2 4
2
,
x
x
dx f x y dy
−
−
∫ ∫
6.
2 2
1
4 9
x y
+ ≤ ĐS:
( )
2
2
3

4
2
2
3
2
4
2
,
x
x
dx f x y dy
−
−
− −
∫ ∫
7.
2
,y x y x= = ĐS:
( )
2
1
0
,
x
x
dx f x y dy
∫ ∫
8.
, 2 , 6y x y x x y= = + =
ĐS:

( ) ( )
2 2 3 6
0 2
, ,
x x
x x
dx f x y dy dx f x y dy
−
+
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 2: Thay đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau:
1
BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II
9.
( )
4 4
0
,
y
dy f x y dx
∫ ∫
ĐS:
( )
2
0 1
1 1
,
x
x
dx f x y dy

−
− +
∫ ∫
10.
( )
2
0 1
1 1
,
x
x
dx f x y dy
−
− +
∫ ∫
ĐS:
( )
2
1
1
0
1
,
y
y
dy f x y dy
−
− −
∫ ∫
11.

( )
2
1 2
0
,
x
x
dx f x y dy
−
∫ ∫
ĐS:
( ) ( )
2
1 2
0 0 1 0
, ,
y
y
dy f x y dx dy f x y dx
−
+
∫ ∫ ∫ ∫
12.
( )
2
1
1
,
y
y

dy f x y dx
∫ ∫
ĐS:
( ) ( )
1 2 2 2
1 1
1
2
, ,
x
x
dx f x y dy dx f x y dy+
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 3: Tính các tích phân kép sau:
13.
( )
1 2
0
1
x
x
dx x y dy− +
∫ ∫
ĐS:
1
3
14.
4
3
2 2

2 0
y
y
dy dx
x y
−
+
∫ ∫
ĐS:
6
π
15.
( )
2
0
2 0
2
y
dy x y dx+
∫ ∫
ĐS:
11,2−
16.
5 5
0 0
4
x
dx x ydy
−
+ +

∫ ∫
ĐS:
506
15
17.
( )
4 2
2
3 1
dy
dx
x y+
∫ ∫
ĐS:
25
24
18.
( )
2
2 2
0
2
a ax
ax
dx x y dy
−
+
∫ ∫
ĐS:
4

344
105
a
19.
2
0 sin
a
a
d rdr
π
ϕ
ϕ
∫ ∫
ĐS:
2
2
a
π
2
BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II
20.
2
1 1
2 2
0 0
1
x
dx x y dy
−
− −

∫ ∫
ĐS:
6
π
Bài 4: Tính các tích phân kép theo hình chữ nhận chỉ ra sau đây
21.
( )
2 2
, 2 3, 1 2
D
x y dxdy x y+ ≤ ≤ ≤ ≤
∫∫
ĐS:
5
4
6
22.
( )
2 2
, 1 2, 0 1
D
x y dxdy x y+ ≤ ≤ ≤ ≤
∫∫
ĐS:
5
2
6
23.
( )
2 2

, 0 1, 0 1
D
x y dxdy x y+ ≤ ≤ ≤ ≤
∫∫
ĐS:
2
3
24.
2
2
3
; 0 1, 0 1
1
D
y dxdy
x y
x
≤ ≤ ≤ ≤
+
∫∫
ĐS:
4
π
25.
( )
sin ; 0 , 0
2 2
D
x y dxdy x y
π π

+ ≤ ≤ ≤ ≤
∫∫
ĐS: 2
26.
; 0 1, 1 0
xy
D
xe dxdy x y≤ ≤ − ≤ ≤
∫∫
ĐS:
1
e
27.
( )
2
;1 2, 3 4
D
dxdy
x y
x y
≤ ≤ ≤ ≤
−
∫∫
ĐS:
4
ln
3
Bài 5: Tính các tích phân kép trên miền D giới hạn bởi các đường đã chỉ
28.
; 0, , 1

D
xydxdy y y x x= = =
∫∫
ĐS:
1
8
29.
2 2
; ,
D
xydxdy y x x y= =
∫∫
ĐS:
1
12
30.
3
; , 2, 0
D
xdxdy y x x y x= + = =
∫∫
ĐS:
7
15
31.
; 6, 7 0
D
xdxdy xy x y= + − =
∫∫
ĐS:

5
20
6
3
BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II
32.
2 2 2
; 4, 2 0
D
y xdxdy x y x y+ = + − =
∫∫
ĐS:
3
1
5
33.
( )
; 0 , 0 sin
D
x y dxdy y x y
π
+ ≤ ≤ ≤ ≤
∫∫
ĐS:
5
4
π
34.
( )
sin ; , , 0

2
D
x y x y x y y
π
+ = + = =
∫∫
ĐS:
1
2
35.
2
;
y
D
e dxdy
−
∫∫
D là tam giác với đỉnh O(0,0), B(0,1), A(1,1)
ĐS:
1 1
2 2e
− +
36.
D
xydxdy
∫∫
, D là hình elip
2 2
4 1x y+ ≤
ĐS: 0

37.
2 2
; 0, 2
D
xy dxdy y y ax x= = −
∫∫ ĐS:
5
4
5
a
38.
2 2
; , 2, 2
D
xdxdy
y x x x y
x y
= = =
+
∫∫
ĐS:
1
2
2 2
arctg
π
−
39.
; 0, 0, 1
D

x ydxdy x y x y+ = = + =
∫∫
ĐS:
2
5
40.
( )
2
; 2 , 2 1
D
x y dxdy y x y x− = − = −
∫∫
ĐS:
4
4
15
41.
( )
2 ; , 2 , 2, 3
D
x y dxdy y x y x x x+ = = = =
∫∫
ĐS:
1
25
3
42.
; 2 sin , 0, 0, 2
D
xdxdy x y x y y

π
= + = = =
∫∫
ĐS:
9
2
π
43.
( )
2
2
; 2 1
D
xydxdy x y− + =
∫∫
ĐS:
4
3
4
BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II
44.
2
D
dxdy
a x−
∫∫
, D là hình tròn bán kính a nằm trong góc phân tư thứ nhất và tiếp
xúc với các trục tọa độ. ĐS:
8
2

3
a a
45.
( ) ( )
; sin , 1 cos , 0 2
D
ydxdy x R t t y R t t
π
= − = − ≤ ≤
∫∫
(là miền giới hạn bởi
vòm của xicloid) ĐS:
3
5
2
R
π
Chỉ dẫn:
( )
2
0 0
y f x
R
D
ydxdy dx ydy
π
=
=
∫∫ ∫ ∫
Bài 6: Chuyển sang tọa độ cực và tính tích phân:

46.
( )
2 2 2 2 2
; : , 0
D
x y dxdy D x y R y+ + ≤ ≥
∫∫
ĐS:
4
4
R
π
47.
2 2
2 2
; : 1, 0, 0
x y
D
e dxdy D x y x y
+
+ ≤ ≥ ≥
∫∫
ĐS:
( )
1
4
e
π
−
48.

2 2
2 2 2
; :
x y
D
e dxdy D x y R
+
+ ≤
∫∫
ĐS:
2
2 ( 1)
R
e
π
−
49.
2 2 2 2
1 ; :
D
x y D x y x− − + ≤
∫∫
ĐS:
1 4
4 3
π
 
−
 ÷
 

50.
2 2
2 2
2 2
1
, : 1, 0, 0
1
D
x y
dxdy D x y x y
x y
− −
+ ≤ ≥ ≥
+ +
∫∫
ĐS:
( )
2
2
π π
−
51.
( )
2 2
2 2
2 2
ln
, :1
D
x y

dxdy D x y e
x y
+
≤ + ≤
+
∫∫
ĐS:
2
π
52.
( )
2 2
D
x y dxdy+
∫∫
, D giới hạn bởi các đường tròn
2 2 2 2
2 1 0, 2 0x y x x y x+ + − = + + =
ĐS:
5
2
π
5
BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II
Chỉ dẫn: Đặt
1 cos , sinx r y r
ϕ ϕ
− = =

Bài 7: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt đã chỉ ra

53.
0, 0, 0, 1x y z x y z= = = + + =
ĐS:
1
6
54.
2 2
0, 0, 0, 1,x y z x y z x y= = = + = = +
ĐS:
1
6
55.
2 2 2
, , 1, 0z x y y x y z= + = = =
ĐS:
88
105
56.
2 2 2 2 2
, , 0z x y x y a z= + + = =
ĐS:
3
2
3
a
π
57.
2 2 2 2 2
, , 0z x y x y a z= + + = =
ĐS:

4
2
a
π
58.
2 2 2
, , 0z x x y a z= + = =
ĐS:
3
4
3
a
59.
2 2
4 , 1, 1z x y x y= − − = ± = ±
ĐS:
1
13
3
60.
2
2 2 0, ,x y z y x y x− − − = = =
ĐS:
11
120
61.
2 2
4 , , 2x y x z x z x+ = = =
ĐS:
4

π
Bài 8: Tính diện tích phần mặt đã chỉ ra
62.Phần mặt phẳng
6 3 2 12x y z+ + =
nằm trong góc phần tám thứ nhất.
ĐS:
14
63.Phần mặt phẳng
2x y z a+ + =
nằm trong mặt trụ
2 2 2
x y a+ =
ĐS:
2
2 3a
6
BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II
64.Phần mặt paraboloid
2 2
z x y= +
nằm trong mặt trụ
2 2
4x y+ =
ĐS:
( )
17 17 1
6
π
−
65.Phần mặt

2 2
2z x y= +
nằm trong mặt trụ
2 2
1x y+ =
ĐS:
( )
2
2 2 1
3
π
−
66.Phần mặt nón
2 2
z x y
= +
nằm trong mặt trụ
2 2 2
x y a+ =
ĐS:
2
2a
π
67.Phần mặt nón
2 2 2 2
x y z R+ + =
nằm trong mặt trụ
2 2
x y Rx+ =

ĐS:
( )
2
2 2R
π
−
68.Phần mặt nón
2 2 2
z x y= +
nằm trong mặt trụ
2 2
2x y x+ =
ĐS:
2 2
π
69.Phần mặt trụ
2
4z x=
nằm trong góc phần tám thứ nhất và giới hạn bởi mặt
trụ
2
4y x=
và mặt phẳng
1x =
ĐS:
( )
4
2 2 1
3
−

70.Phần mặt cầu
2 2 2 2
x y z R+ + =
nằm trong mặt trụ
2 2 2
,x y a a R+ = ≤
ĐS:
(
)
2 2
4 a a a R
π
− −
Bài tập phần tích phân 3 lớp
Bài 1: Tính các tích phân lặp sau:
1.
1 2 2
0 0 1
x x
x
dx ydy dz
−
−
∫ ∫ ∫
ĐS:
1
12
7
BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II
2.

0 0 0
a y
a h
ydy dx dz
−
∫ ∫ ∫
ĐS:
3
6
a h
3.
2
2 2 3
2
0 0
2 y y
dy xdx z dz
−
∫ ∫ ∫
ĐS:
30
4.
( )
1
1 1
3
0 0 0
1
x y
x

dz
dx dy
x y x
− −
−
+ + +
∫ ∫ ∫
ĐS:
ln2 5
2 16
−
5.
( )
2 2 2
0 0 0
c b a
dz dy x y z dx+ +
∫ ∫ ∫
ĐS:
( )
2 2 2
3
abc
a b c+ +
6.
( )
2 2 2
0 0
a x y
a a x

a
dx dy x y z dz
− −
−
+ +
∫ ∫ ∫
ĐS:
5
20
a
Bài 2: Tính các tích phân 3 lớp theo miền D giới hạn bởi các đường đã chỉ ra.
7.
( )
; 1, 1, 0, 1, 0, 2
V
x y z dxdydz x x y y z z+ − = − = = = = =
∫∫∫
ĐS: -2
8.
1
; 1, 2, 2, 1, 0,
2
V
xydxdydz x x y y z z= = = − = − = =
∫∫∫
ĐS:
8
9
−
9.

( )
2
; 1, 2, 1, 2, 1, 2
V
dxdydz
x x y y z z
x y z
= = = = = =
+ +
∫∫∫
ĐS:
1 128
ln
2 125
10.
( )
2 _3 4 ; 0, 3, 0, 2, 0, 1
V
x y z dxdydz x x y y z z+ + = = = = = =
∫∫∫
ĐS: 54
11.
; 0, 0, 0, 1
V
zdxdydz x y z x y z= = = + + =
∫∫∫
ĐS:
1
24
12.

; 0, 0, 0, 1, 1
V
xdxdydz x y z y x z= = = = + =
∫∫∫
ĐS:
1
6
8
BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II
13.
2 2 2
, 1, 0
V
yzdxdydz x y z z+ + = ≥
∫∫∫
ĐS: 0
14.
( )
2 2
; 1, 0, 1 0, 0
V
xydxdydz x y z z x y+ = = = ≥ ≥
∫∫∫
ĐS:
1
8
15.
2 2 2
; 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0
V

xyzdxdydz x y z x y z x y z= = = + + = ≥ ≥ ≥
∫∫∫
ĐS:
1
48
16.
2 2 2 2 2
; , 0, 1
V
x y dxdydz x y z z z+ + = = =
∫∫∫ ĐS:
6
π
17.
( )
2 2 2
; 0, , 0, , 0,
V
x y z dxdydz x x a y y b z z c+ + = = = = = =
∫∫∫
ĐS:
( )
2 2 2
3
abc
a b c+ +
18.
2 2
; , , 0
V

ydxdydz y x z y h h= + = >
∫∫∫ ĐS:
4
4
h
π
Bài 3: Tính các tích phân 3 lớp sau bằng phương pháp đổi biến
19.
( )
2 2 2 2 2 2 2
;
V
x y z dxdydz x y z R+ + + + ≤
∫∫∫
ĐS:
5
4
5
R
π
20.
2 2 2 2 2 2 2
;
V
x y z dxdydz x y z R+ + + + ≤
∫∫∫ ĐS:
4
R
π
21.

( )
2 2 2 2
, , 1
V
x y dxdydz z x y z+ = + =
∫∫∫
ĐS:
6
π
22.
2 2 2 2
; 2 , 0, 0, 3
V
z x y dxdydz x y x y z z+ + = = = =
∫∫∫ ĐS: 8
23.
2 2 2 2
; , 0, 0, 0
V
zdxdydz x y z R x y z+ + ≤ ≥ ≥ ≥
∫∫∫
ĐS:
4
16
R
π
9
BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II
24.
( )

2 2 2 2
; 2, 2
V
x y dxdydz x y z− + = =
∫∫∫
ĐS:
16
3
π
25.
2 2 2 2
; 3 , 0, 2
V
z x y dxdydz y x x z z+ = − = =
∫∫∫ ĐS: 24
Bài 4: Tính thể tích của các vật thể giới hạn bởi các mặt đã chỉ ra.
26.
0, 0, 0, 2 6 0x y z x y z= = = + + − =
ĐS: 36
27.
2 3 4 12, 0, 0, 0x y z x y z+ + = = = =
ĐS: 12
28.
1, 0, 0, 0
x y z
x y z
a b c
+ + = = = =
ĐS:
6

abc
29.
2 2
,ax y z x a= + =
ĐS:
3
2
a
π
30.
2 2
2 , 2z x y z= + =
ĐS:
4
π
31.
2 2 2 2 2
, 2z x y x y z= + + + =
ĐS:
[8 2-7]
6
π
32.
2 2 2 2
,z x y z x y= + = +
ĐS:
6
π
33.
2 2 2

2 2 2
1
x y z
a b c
+ + = ĐS:
4
3
abc
π
10
BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II
BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I – LOẠI II
Bài 1: Tính các tích phân đường loại 1
1.
( )+
∫
C
x y ds
, C là đoạn thẳng nối A(9, 6) với B(1, 2). ĐS:
36 5
2.
∫
C
xyds
, C là biên hình vuông
| | | | , 0x y a a+ = >
ĐS: 0
3.
( )+
∫

C
x y ds
, C là biên của tam giác đỉnh A(1, 0), B(0, 1), O(0,0)
ĐS:
1 2+
4.
−
∫
C
dx
x y
, C là đoạn thẳng nối A(0, 2) với B(4, 0) ĐS:
5ln 2
5.
2 2
+
∫
C
x y ds
, C là đường tròn
2 2
x y ax+ =
ĐS:
2
2a
6.
( )
2 2
+
∫

n
C
x y ds
, C là đường tròn
2 2 2
x y a+ =
ĐS:
2 1
2
n
a
π
+
7.
2 2
+
∫
x y
C
e ds
, C là biên hình quạt
( )
, :0 ,0
4
r r a
π
ϕ ϕ
 
≤ ≤ ≤ ≤
 

 
ĐS:
( )
2 1
4
a
a
ae
e
π
− +
8.
∫
C
xyds
, C là một phần tư elip nằm trong góc phần tư thứ I
ĐS:
2 2
3
ab a ab b
a b
+ +
×
+
9.
2 2 2
+ +
∫
C
ds

x y z
, C là đoạn thẳng nối điểm O(0, 0) với A(1, 2).
11
BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II
ĐS:
5 3
ln
4
+
10.
( )
2 2 2
+ +
∫
C
x y z ds
, C là cung đường cong
cos , sin , ,0 2 , 0, 0x a t y a t z bt t a b
π
= = = ≤ ≤ > >
ĐS:
( )
2 2 2 2 2
2
3 4
3
a b a b
π
π
+ +

11.
2
∫
C
x ds
, C là đường tròn
2 2 2 2
0
x y z a
x y z

+ + =

+ + =

ĐS:
3
2
3
a
π
12.
( )
+
∫
C
x y ds
, C là một phần tư đường tròn
2 2 2 2
x y z R

y x

+ + =

=

nằm trong góc
phần tám thứ I
ĐS:
2
2R
13.
∫
C
xyzds
, C là một phần tư đường tròn
2 2 2 2
2
2 2
4
x y z R
R
x y

+ + =


+ =



nằm trong góc
phần tám thứ nhất.
Bài 2: Tính các tích phân đường loại 2 sau
14.
2 2
C
y dx x dy+
∫Ñ
, C là đường từ điểm O(0, 0) đến điểm (1, 1)
a. C là đoạn thẳng
b. C là cung parabol
2
y x=
c. C là cung parabol
y x=
12
BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II
ĐS:
2 7 7
) ; ) ; )
3 10 10
a b c
15.
2 2
C
y dx x dy−
∫Ñ
, C là đường tròn bán kính R=1 và có hướng ngược chiều kim
đồng hồ và:
a) Với tâm tại gốc tọa độ.

b) Với tâm tại điểm (1, 1)
ĐS:
) 0; ) 4a b
π
−
16.
C
xdy ydx−
∫Ñ
, C là đường gấp khúc đỉnh tại các điểm (0, 0), (1, 0), (1, 2)
ĐS: 2
17.
cos sin
C
ydx xdy−
∫Ñ
, C là đoạn thẳng từ điểm (2, -2) đến điểm (-2, 2)
ĐS:
2sin 2−
18.
( ) ( )
2 2 2 2
C
x y dx x y dy+ + −
∫Ñ
, C là đường cong
1 |1 |,0 2y x x= − − ≤ ≤
ĐS:
4
3

19.
( ) ( )
C
x y dx x y dy+ + −
∫Ñ
, C là elip có hướng dương
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
ĐS: 0
20.
( )
2
C
a y dx xdy− +
∫Ñ
, C là một vòm cuốn của đường xicloid
( ) ( )
sin , 1 cos ,0 2x a t t y a t t
π
= − = − ≤ ≤
ĐS:
2
2 a
π
−
13

BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II
21.
| | | |
C
dx dy
z y
+
+
∫Ñ
, C là biên có hướng dương của hình vuông với đỉnh tại điểm
A(1, 0), B(0, 1), C(-1, 0), D(0, -1)
ĐS: 0
22.
( ) ( )
2 2 2 2
C
x y dx x y dy− + +
∫Ñ
, C là elip có hướng dương
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
ĐS: 0
23.
( )
3 2
C

x y dx xydy− +
∫Ñ
, C là cung của đường
x
y a=
từ điểm (0, 1) đến điểm
(1, a)
ĐS:
( )
2
2
3 1
1
4 2 4ln
a
a
a
−
+ +
24.
2 2
C
y dx x dy+
∫Ñ
, C là vòm thứ nhất của đường xicloid

( ) ( )
sin , 1 cos , 0x a t t y a t a= − = − >
có định hướng tăng của tham số
ĐS:

( )
3
5 2a
π π
−
14