Bài tập không gian vector

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
BÀI TẬP CHƯƠNG IV.

KHÔNG GIAN VECTƠ


1. Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau:
a.
123
(1, 1,2), (0, 2,3), ( 1,1,1)xxx=− = =−

b.
12 3
(1, 1,0,1), (0,2,1, 1), (2,0,1,1)xx x=− = − =

c.
1234
(1,1,1,1), (1,0,1,1), (1,1,0,1), (0,1,1,1)xx x x=== =

d.
1234
15 11 24 17
,, ,
42 15 57 51
AAAA
−−−
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
====
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−−−−
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

e.
2232
122
23, 1, 2 410px x p x p xx x=−+ =+ = +−+
trong
3
[]x

.
f.
32 2
123 4
1, 1, 2 , 2 4px p x p xxp x=+ =+ =− + =−−
trong
3
[]x

.
2. Cho hệ vectơ
12
,,,
n
x xx
…
độc lập tuyến tính của một không gian vectơ V.
Chứng minh hệ vectơ
11212 12
,,,
nn

yxy xx y xx x= =+ =+++
……
cũng độc
lập tuyến tính.
3. Chứng minh rằng nếu trong hệ vectơ
12
,,,
n
x xx
…
không có vectơ nào biểu thị
tuyến tính qua các vectơ còn lại thì
12
,,,
n
x xx
…
độc lập tuyến tính .
4. Tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của các hệ sau:
a.
12 34
(47, 26,16), ( 67,98, 428), (35, 23,1), (201, 294,1284),xx xx==−−==−
5
(155,86,52)x =
.
b.
123
(24, 49, 73,47), (19, 40,59, 36), (36,73,98,71),xxx===

45

(72,147,219,141), ( 38, 80, 118, 72)xx==−−−−
.
c.
12 3
(17, 24, 25,31, 42), ( 28, 37, 7,12,13), (45,61,32,19, 29),xx x==−−−=
45
(11,13, 18, 43, 55), (39,50, 11, 55, 68)xx=−−−= −−−
.
5. Cho hệ vectơ
12
,,,
n
x xx
…
biểu thị tuyến tính được qua hệ
12
,,,
m
yy y
…
. Chứng
minh:
a.
12 12
{, , , } {, , , }
nm
rank x x x rank y y y≤
……
.
b. Nếu 2 hệ này có cùng hạng thì chúng tương đương.

6. Chứng minh:
12 12
{, , , }= {, , , , }
nn
rank x x x rank u x x x ⇔
……
u biểu thị tuyến tính được qua

12
,,,
n
x xx
…
.
7. Trong
3

, cho hệ vectơ
12 3
(1, 2,1), ( 1,0,1), (0,1, 2)uu u= =− =
.
a. Chứng minh
123
,,uu u
là một cơ sở của
3

.
b. Tìm tọa độ của
(,,)uabc=

trong cơ sở
123
,,uu u
.
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
8. Trong
3

, cho 2 hệ vectơ
12 3
(1,1,1), (1,1,2), (0,1,2)uu u= ==
và
12 3
(2,1, 3), (3, 2, 5), (1, 1,1)vv v=− =− =−
.
a. Chứng minh 2 hệ trên là 2 cơ sở của
3

.
b. Viết ma trân chuyển từ cơ sở (u) sang cơ sở (v) và ngược lại.
c. Tìm tọa độ của vectơ
123
23x uuu= −+ −
trong cơ sở (v).
9. Chứng minh tập hợp:
a.
{ }
3
(, ,) / 2 0Axyz xyz=∈−+=
là không gian con của

3

.
b.
{ }
4
(, ,,) /2 0Bxyzt xyzxt=∈−+=−=
là không gian con của
4

.
c.
/,
ab
Cab
ba
⎧⎫
−
⎡⎤
=∈
⎨⎬
⎢⎥
⎣⎦
⎩⎭

là không gian con của
2
()M 
.
10. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con sinh bởi:

a.
1234
(1,0,0, 1), (2,1,1,0), (1,1,1,1), (1, 2,3, 4),aaaa=−= = =

5
(0,1,2,3)a =
.
Tìm điều kiện đối với x,y,z,t để vectơ
(, ,,)uxyzt=
thuộc về không gian
con này.
b.
123
(1, 1,1,0), (1,1,0,1), (2,0,1,1)aaa=− = =
.
Tìm điều kiện đối với x,y,z,t để vectơ
(, ,,)uxyzt=
thuộc về không gian
con này.
c.
1234
(1, 1,1, 1,1), (1,1,0,0,3), (3,1,1, 1,7), (0, 2, 1,1, 2)aaaa=− − = = − = −
Tìm điều kiện đối với x,y,z,t,u để vectơ
(, ,,,)axyztu=
thuộc về không
gian con này.
11. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con ở bài 9.
12. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con
,UVU V+ ∩
với:

a.
(1, 2,1), (1,1, 1), (1, 3, 3)U =−
và
(2,3, 1), (1,2,2), (1,1, 3)V = −−
.
b.
(1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1)U =

và
(1,0,1,0), (0,2,1,1), (1,2,1, 2)V =

c.
{ }
(, ,,)/ 2 0Uxyztxzt=−+=
và

{ }
(, ,,)/ 2 0Vxyztxtyz= =∧ − =

13. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian các nghiệm của hệ thuần nhất:
a.
12 45
12 34
12345
12345
23 0
20
42 63 4 0
24 24 7 0
xx xx

xx xx
xx xx x
xx xx x
+ −− =
⎧
⎪
− +− =
⎪
⎨
−++−=
⎪
⎪
+−+−=
⎩

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
b.
13
24
125
246
35
46
0
0
0
0
0
0
xx

xx
xx x
xxx
xx
xx
− =
⎧
⎪
−=
⎪
⎪
− +=
⎪
⎨
−+ − =
⎪
⎪
−+ =
⎪
−=
⎪
⎩

c.
135
245
1256
236
145
0

0
0
0
0
xx x
xxx
xx x x
xxx
xx x
−+ =
⎧
⎪
−+ =
⎪
⎪
− +−=
⎨
⎪
−− =
⎪
⎪
−+ =
⎩

14. Hãy tìm hệ pt thuần nhất có không gian nghiệm là:
a.
(1,1, 0), (1, 0, 2)U =−

b.
(2, 1,0,1), (1,0, 1, 2), (1, 1,1, 1), (3, 1, 1,3)U =− − −− −−

15. Trong
3

cho 3 cơ sở
,,
α βγ
. Biết
211 101
110, 111
111 110
TT
αβ γβ
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
=− − = −
⎢⎥⎢⎥
−
⎣⎦⎣⎦

và
12 3
(1,1,1), (1,0,1), (0,1,1)
γ γγ
===
.
Hãy tìm cơ sở
α
.