Bài giảng: Quy hoạch tuyến tính docx

Bài giảng: Quy
hoạch tuyến tính

BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP. HCM
Nguyễn Đức Phương
Bài giảng
Quy hoạch tuyến tính
MSSV: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Họ tên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TP. HCM – Ngày 22 tháng 12 năm 2010
Mục lục
Mục lục iii
1 Giới thiệu quy hoạch tuyến tính 1
1.1 Một số ví dụ dẫ n đến bài toán quy hoạch tuyến tính . . . . . 1
1.2 Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Bài to án quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát . . . . . 5
1.2.2 Bài to án quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn . . . . . . . 5
1.2.3 Bài to án quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc . . . . . 6
1.3 Quan hệ dạng chuẩn và chính tắ c . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Đổi chiều bất đẳng thức của các ràng buộc . . . . . . . 8
1.3.2 Biến không ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Quan hệ dạng chuẩn, chính tắc . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Dạng ma t rận của bài toán quy hoạch . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Phương án chấp nhận được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch tuyến tính . . . . . 16
1.6.1 Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.2 Tính chất của tập phươ ng án chấp nhận được . . . . . 17
1.7 Điểm cực biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Phương án cơ bản chấp nhận được . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8.1 Nghiệm cơ bản của Ax D b . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.2 Thành lập phương án cực biên . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8.3 Phương án cực biên và phương án tối ưu . . . . . . . . 30
MỤC LỤC ii
1.9 Bài tậ p chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Phương pháp đơn hình 33
2.1 Phương pháp đơn hình cho bài to án quy hoạch dạng chuẩn . . 33
2.1.1 Phương án cực biên ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.2 Dấu hiệu tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.3 Chọn biến vào cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.4 Chọn biến ra khỏi cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1
2.1.5 Lập bảng đơn hình mới . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Thuật toán đơn hình cho bài toán min . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Bài to án chính tắc không có sẵ n ma t rận đơn vị . . . . . . . . 52
2.4 Bài tậ p chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Lý thuyết đối ngẫu 63
3.1 Ví dụ dẫn đến bái toán đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.1 Bài to án đối ngẫu của bài toán max . . . . . . . . . . . 65
3.1.2 Bài to án đối ngẫu của bài toán min . . . . . . . . . . . 67
3.2 Các định l ý về đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3 Bài tậ p chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Bài toán vận tải 80
4.1 Bài to án vận tải cân bằng thu phát . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Phương án cực biên của bài toán vận tải . . . . . . . . . . . . 82
4.3 Các phương pháp thành lập phương án cực biên . . . . . . . . 86
4.3.1 Phương pháp cước phí thấp nhất . . . . . . . . . . . . 86
4.3.2 Phương pháp góc Tây - Bắc . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.3 Phương pháp Vogel (Fogel) . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải . . . . . . . . . . . . . 89
4.4.1 Thuật toán quy không cước phí ô chọn . . . . . . . . . 89

4.4.2 Xây dựng phương án cực biên mới . . . . . . . . . . . 93
MỤC LỤC iii
4.5 Một số trường hợp đặc biệt của bài toán vận tải . . . . . . . . 98
4.5.1 Bài to án vận tải không cân bằng thu phát . . . . . . . 98
4.5.2 Bài to án vận tải có ô cấm . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.6 Bài to án vận tải cực đại cước phí . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.7 Bài tậ p chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Tài liệu tham khảo 106
Chương 1
Giới thiệu quy hoạch tuyến tính
1.1 Một số ví dụ dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính
Ví dụ 1.1 (Bài toán lập kế hoạch sản xuất). Mộ t trại cưa các khúc gỗ thành
các tấm ván. Có hai loại ván: ván thành phẩm và ván sử dụng t rong xây
dựng. Giả sử, đối với:
 Ván thành phẩm cần 2 giờ để cưa và 5 giờ để bào 10m ván.
 Ván xây dưng cần 3 giờ để cưa và 3 giờ để bào 10m ván.
Máy cưa làm việc tối đa 8 giờ trong ngày, và máy bào làm việc tối đa 15 giờ
trong ngày. Nếu lợi nhuận của 10m ván thành phẩm là 120 (ngàn đồng), và
lợi nhuận của 10m ván xây dựng l à 100 (ngàn đồng). Trong ngày, trại cưa
phải cưa bao nhiêu ván mỗi loại để lợi nhuận lớn nhất?
Giải.
1.1 Một số ví dụ dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính 2
Ví dụ 1.2 (Bài toán khẩu phầ n ăn). Chuyên gi a dinh dưỡng định thành lập
một thực đơn gồm 2 loại t hực phẩm chính A và B. Cứ một (trăm gram):
 Thực phẩm A chứa 2 đơn vị chất béo, 1 đơn vị carbohy drate và 4 đơn
vị prot ein.
 Thực phẩm B chứa 3 đơn vị chất béo, 3 đơn vị carbohydrate và 3 đơn
vị prot ein.
Nếu một (trăm gram) thực phẩm A giá 20 (ngàn đồng) và một ( trăm gram)
thực phẩm B giá 25 (ngàn đồng). Nhà dinh dưỡng muốn thức ăn phải cung

cấp ít nhất 18 đơn vị chất béo, 12 đơn vị carbohydrate và 24 đơn vị protein.
Bao nhiêu (trăm gram) thực phẩm mỗi loại để có g iá nhỏ nhất nhưng vẫn
cung cấp đủ dinh dưỡng?
Giải.
1.1 Một số ví dụ dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính 3
Ví dụ 1.3 (Bài toán vận tải). Một nhà sản xuất có 2 nhà máy: Một nhà
máy ở Vĩnh Phúc và một nhà máy ở Bình Dương. Có 3 kho hàng phân phối
sản phẩm đặt ở Hà Nội, TP. HCM và Cần Thơ. Nhà máy ở Vĩnh phúc; Bình
Dương, có khả năng cung cấp tối đa 100; 140 tấn mỗi tuầ n. Lượng cầu của
các kho ở Hà N ội, TP. HCM và C ần Thơ lần lượt từ 100; 60 và 80 tấn trở
lên. Chi phí vận chuyển (trăm ngàn) mỗi tấn cho như bảng bên dưới. Hỏi
cần vận chuyển bao nhiêu tấn hàng hóa từ nhà sản xuất đến các kho hàng ở
Hà Nội, TP. HCM và ở cầ n thơ để chi phí nhỏ nhất nhưng vẫn đáp ứng đủ
nhu cầu?
Giải.
1.1 Một số ví dụ dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính 4
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵

❵
Trạm phát
Trạm thu
Hà Nội TP. HCM Cần thơ
W
1
:100 W
2
:60 W
3
:80
Vĩnh Phúc-Q
1
: 100 5 7 9
Bình Dương-Q
2
:140 8 7 10
1.2 Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính 5
1.2 Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính
1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát
Từ các ví dụ mục 1.1, bài toá n quy hoạch tuyến tính tổng quát được phát
biểu như sau: Tìm x
1
; x
2
; : : : ; x
n
sao cho
z D c
1

x
1
C c
2
x
2
C    C c
n
x
n
! max .hay min/ (1.1)
Với các ràng buộc
8
ˆ
ˆ
ˆ
<
ˆ
ˆ
ˆ
:
a
11
x
1
C a
12
x
2
C    C a

1n
x
n
Ä ./.D/ b
1
a
21
x
1
C a
22
x
2
C    C a
2n
x
n
Ä ./.D/ b
2
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:

:
a
m1
x
1
C a
m2
x
2
C    C a
mn
x
n
Ä ./.D/ b
m
(1.2)
Hàm t uyến tính (1 .1) gọi là hàm mục ti êu. Hệ bất phương trình tuyến tính
(1.2) gọi là các r àng buộc. Vế trái của cá c ràng buộc là các hà m tuyến tí nh
với x
1
; x
2
; : : : ; x
n
là các bi ến số.
1.2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn
Chúng ta nói bài to án quy hoạch tuyến tính có dạng chuẩn nếu nó có dạng
như sau: Tìm x
1
; x

2
; : : : ; x
n
sao cho
z D c
1
x
1
C c
2
x
2
C    C c
n
x
n
! max; .hay min/ (1.3)
Với các ràng buộc
8
ˆ
ˆ
ˆ
<
ˆ
ˆ
ˆ
:
a
11
x

1
C a
12
x
2
C    C a
1n
x
n
Ä b
1
a
21
x
1
C a
22
x
2
C    C a
2n
x
n
Ä b
2
:
:
:
:
:

:
:
:
:
:
:
:
a
m1
x
1
C a
m2
x
2
C    C a
mn
x
n
Ä b
m
(1.4)
x
j
 0; j D 1; 2; : : : ; n (1.5)
1.2 Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính 6
1.2.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chín h tắc
Chúng ta nói bài toán quy hoạch tuyến t ính có dạng chính tắc

nếu nó có

dạng như sau: Tìm x
1
; x
2
; : : : ; n sao cho
z D c
1
x
1
C c
2
x
2
C    C c
n
x
n
! max; .hay min/ (1.6)
Với các ràng buộc
8
ˆ
ˆ
ˆ
<
ˆ
ˆ
ˆ
:
a
11

x
1
C a
12
x
2
C    C a
1n
x
n
D b
1
a
21
x
1
C a
22
x
2
C    C a
2n
x
n
D b
2
:
:
:
:

:
:
:
:
:
:
:
:
a
m1
x
1
C a
m2
x
2
C    C a
mn
x
n
D b
m
(1.7)
x
j
 0; j D 1; 2; : : : ; n (1.8)
Ví dụ 1.4. Cho biết dạng của các bài toán quy hoạch tuyến tính sau:
a. z D 3x
1
C 2x

2
! min
Với các ràng buộc

2x
1
C x
2
Ä 4
3x
1
 2x
2
Ä 6
x
1
 0; x
2
 0
b. z D 2x
1
C 3x
2
C 4x
3
! max
Với các ràng buộc
8
<
:

3x
1
C 2x
2
 3x
3
Ä 4
2x
1
C 3x
2
C 2x
3
Ä 6
3x
1
 x
2
C 2x
3
 8
x
1
 0; x
2
 0; x
3
 0
c. z D 3x
1

C 2x
2
C 3x
3
 2x
4
! max
Với các ràng buộc
8
<
:
2x
1
C 6x
2
C 2x
3
 4x
4
D 7
3x
1
C 2x
2
 5x
3
C x
4
D 8
6x

1
C 7x
2
C 2x
3
C 5x
4
Ä 4
x
1
 0; x
2
 0; x
3
 0; x
4
 0
d. z D 2x
1
C 5x
2
C x
3
C x
4
C 4x
5
! min

Một số sách có định nghĩa khác về dạng chuẩn và dạng chính tắc. Các bạn cần đọc kỹ định nghĩa khi

tham khảo các tài liệu khác.
1.2 Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính 7
Với các ràng buộc

3x
1
C 2x
2
 x
3
C 2x
5
D 4
4x
1
C 5x
2
C 3x
3
C 2x
4
D 7
x
1
 0; x
2
 0; x
3
 0; x
4

 0; x
5
 0
e. z D 2x
1
C 5x
2
! max
Với các ràng buộc

3x
1
C 2x
2
Ä 6
2x
1
C 9x
2
Ä 8
x
1
 0
f. z D 2x
1
C 3x
2
! min
Với các ràng buộc
8

<
:
2x
1
C x
2
 x
3
D 4
3x
1
C 2x
2
C x
3
D 8
x
1
 x
2
D 6
x
1
 0; x
2
 0
Chú ý. Bà i toán tìm giá tr ị nhỏ nhất của hàm mục tiêu có thể viết thành bài
toán tìm giá trị lớ n nhất của hàm mục tiêu và ngược lại. Điều này các bạn
sẽ thấy qua quan hệ:
min

n
X
j D1
c
j
x
j
D  max
0
@

n
X
j D1
c
j
x
j
1
A
(1.9)
tương đương
min z D  max.z/ (1.10 )
Do đó, không mất tính tổng quát trong phần lý thuyết ta chỉ phát biểu bài
toán t ìm g iá trị lớn nhất của hàm mục tiêu .max z/. Bài toán tìm giá trị nhỏ
nhất hàm mục tiêu . min z/ thì có thể sử dụng (1.10).
Ví dụ 1.5. C huyển cá c bài toán quy hoạch tuyến tính tìm max hàm mục
tiêu thành tìm min hàm mục tiêu hay ngược lại
a. z D 2x
1

C 3x
2
C 4x
3
! max
Với các ràng buộc
8
<
:
3x
1
C 2x
2
 3x
3
Ä 4
2x
1
C 3x
2
C 2x
3
Ä 6
3x
1
 x
2
C 2x
3
 8

x
1
 0; x
2
 0; x
3
 0
1.3 Quan hệ dạng chuẩn và chính tắc 8
b. z D 3x
1
C 2x
2
! min
Với các ràng buộc

2x
1
C x
2
Ä 4
3x
1
 2x
2
Ä 6
x  0; y  0
Giải.
1.3 Quan hệ dạng chuẩn và chính tắc
1.3.1 Đổi chiều bất đẳng thức của các ràng buộc
Nếu ta nhân hai vế của bất phương trình

k
1
x
1
C k
2
x
2
C    C k
n
x
n
 b
với 1 ta được bất phương trì nh
k
1
x
1
 k
2
x
2
     k
n
x
n
Ä b
1.3 Quan hệ dạng chuẩn và chính tắc 9
Ví dụ 1.6. Chuyển bài toán quy hoạch tuyến tính sau sang dạng chuẩn:
z D 2x

1
C 3x
2
C 4x
3
! max
Với các ràng buộc
8
<
:
3x
1
C 2x
2
 3x
3
Ä 4
2x
1
C 3x
2
C 2x
3
Ä 6
3x
1
 x
2
C 2x
3

 8
x
1
 0; x
2
 0; x
3
 0
Giải.
1.3.2 Biến kh ông ràng buộc
Giả sử x
j
không có ràng buộc, chúng ta có thể thay x
j
bằng hai biến x
C
j
và
x

j
x
j
D x
C
j
 x

j
trong đó x

C
j
 0 và x

j
 0: Điều này có nghĩa là mộ t số bất kỳ chính là hiệu
của ha i số không â m. Với cách này chúng ta có thể chuyển bà i toán không có
ràng buộc về biến thà nh bài toán có ràng buộc về biến.
Ví dụ 1.7. Chuyển bài toán quy hoạch tuyến tính sau sang dạng chuẩn
z D 2x
1
C 5x
2
! max (1.11 )
Với các ràng buộc

3x
1
C 2x
2
Ä 6
2x
1
C 9x
2
Ä 8
(1.12 )
x
1
 0 (1.13 )

1.3 Quan hệ dạng chuẩn và chính tắc 10
Giải.
Nhận xét. Mọi bài toán quy ho ạch tuyến t ính đều có thể chuyển đổi thành
dạng chuẩn bằng các cách như trên.
1.3.3 Biến đổi bài toán quy hoạch dạng chuẩn thành dạng chính
tắc
Xét ràng buộc t hức i trong bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn
a
i1
x
1
C a
i2
x
2
C    C a
i n
x
n
Ä b
i
(1.14 )
Chúng ta có thể chuyển ràng buộc (1.14) thành phương trình tuyến tính bằng
cách thêm vào biến phụ x
nCi
 0; và
a
i1
x
1

C a
i2
x
2
C    C a
i n
x
n
C x
nCi
D b
i
(1.15 )
Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn chuyển thành dạng chính tắ c có
dạng như sau
z D c
1
x
1
C c
2
x
2
C    C c
n
x
n
! max
Với các ràng buộc
8

ˆ
ˆ
ˆ
<
ˆ
ˆ
ˆ
:
a
11
x
1
C    C a
1n
x
n
C x
nC1
D b
1
a
21
x
1
C    C a
2n
x
n
C x
nC2

D b
2
:
:
:
:
:
:
:
:
:
a
m1
x
1
C    C a
mn
x
n
C x
nCm
D b
m
x
1
 0; : : : ; x
n
 0; x
nC1
 0; : : : ; x

nCm
 0
1.3 Quan hệ dạng chuẩn và chính tắc 11
Ví dụ 1.8. Chuyển bài toán quy hoạch tuyến tính sau sang dạng chính tắc
z D 120x
1
C 100x
2
! max
Với các ràng buộc

2x
1
C 3x
2
Ä 8
5x
1
C 3x
2
Ä 15
x
1
 0; x
2
 0
Giải.
Ví dụ 1.9. Chuyển các bài toán quy hoạch tuyến tính sau sang dạng chính
tắc
a. z D 3x

1
C 2x
2
! min
Với các ràng buộc

2x
1
C x
2
Ä 4
3x
1
 2x
2
Ä 6
x
1
 0; x
2
 0
1.3 Quan hệ dạng chuẩn và chính tắc 12
b. z D 2x
1
C 3x
2
C 4x
3
! max
Với các ràng buộc

8
<
:
3x
1
C 2x
2
 3x
3
Ä 4
2x
1
C 3x
2
C 2x
3
Ä 6
3x
1
 x
2
C 2x
3
 8
x
1
 0; x
2
 0; x
3

 0
c. z D 3x
1
C 2x
2
C 3x
3
 2x
4
! max
Với các ràng buộc
8
<
:
2x
1
C 6x
2
C 2x
3
 4x
4
D 7
3x
1
C 2x
2
 5x
3
C x

4
D 8
6x
1
C 7x
2
C 2x
3
C 5x
4
Ä 4
x
1
 0; x
2
 0; x
3
 0; x
4
 0
d. z D 2x
1
C 5x
2
! max
Với các ràng buộc

3x
1
C 2x

2
Ä 6
2x
1
C 9x
2
Ä 8
x
1
 0
1.4 Dạng ma trận của bài toán quy hoạch 13
e. z D 2x
1
C 3x
2
! min
Với các ràng buộc
8
<
:
2x
1
C x
2
 x
3
D 4
3x
1
C 2x

2
C x
3
D 8
x
1
 x
2
D 6
x
1
 0; x
3
 0
1.4 Dạng ma trận của bài toán quy hoạch
Xét bài toán quy hoạch dạng chuẩn:
z D c
1
x
1
C c
2
x
2
C    C c
n
x
n
! max
Với các ràng buộc

8
ˆ
ˆ
ˆ
<
ˆ
ˆ
ˆ
:
a
11
x
1
C a
12
x
2
C    C a
1n
x
n
Ä b
1
a
21
x
1
C a
22
x

2
C    C a
2n
x
n
Ä b
2
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
a
m1
x
1
C a
m2
x
2
C    C a
mn
x

n
Ä b
m
x
j
 0; j D 1; 2; : : : ; n
1.5 Phương án chấp nhận được 14
Đặt
A D
0
B
B
B
@
a
11
a
12
   a
1n
a
21
a
22
   a
2n
:
:
:
:

:
:
:
:
:
a
m1
a
m2
   a
mn
1
C
C
C
A
; x D
0
B
B
B
@
x
1
x
2
:
:
:
x

n
1
C
C
C
A
; b D
0
B
B
B
@
b
1
b
2
:
:
:
b
m
1
C
C
C
A
; c D
0
B
B

B
@
c
1
c
2
:
:
:
c
n
1
C
C
C
A
Chúng ta có t hể viết bài toán quy hoạch trên thành dạng ma trận: Tìm
x 2 R
n
sao cho
z D c
T
x ! max
Với các ràng buộc
Ax Ä b
x  0
Ví dụ 1.10. Viết bài toán quy hoạch tuyến tí nh sau dưới dạng ma trận.
z D 120x
1
C 100x

2
! max
Với các ràng buộc

2x
1
C 3x
2
Ä 8
5x
1
C 3x
2
Ä 15
x
1
 0; x
2
 0
Giải.
1.5 Phương án chấp nhận được
Định nghĩa 1.1 (Phương án chấp nhận được). Véctơ x 2 R
n
thỏa tấ t cả
các ràng bu ộc của bài toán quy hoạch t uyến tính được gọi là phư ơng án chấp
nhận được.
1.5 Phương án chấp nhận được 15
Ví dụ 1.11. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính:
z D 120x
1

C 100x
2
! max
Với các ràng buộc

2x
1
C 3x
2
Ä 8
5x
1
C 3x
2
Ä 15
x
1
 0; x
2
 0
và các phương án:
x
1
D
Â
1
2
Ã
; x
2

D
Â
2
1
Ã
; x
3
D
Â
1
3
Ã
; x
4
D
Â
2
2
Ã
Phương án nào là phương án chấp nhận được?
Giải.
Định nghĩa 1.2 (Phương án tối ưu). Phương án chấp nh ận được làm cho
hàm mục tiêu có giá trị lớn nhấ t (nếu là bài toán max) hay nhỏ nhất (nếu là
bài toán mi n) thì được gọi là phương án tối ưu.
1.6 Ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch tuyến tính 16
1.6 Ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch tuyến tính
Trong phần này ta xét đến phương phá p giải bài toán quy hoạch tuyến tính
bằng hình học. Phương pháp hình học chỉ gi ải bài toán quy hoạch tuyến tính
hai hoặc ba biến. Tuy nhiên, ý nghĩa của phương pháp này cho ta ý tưởng
để xây dựng thuật toán đại số có thể giải được bài toán rất lớn sẽ được trình

bày trong chương 2.
1.6.1 Phương pháp đồ thị giải b ài toán quy hoạch tuyến tính
Ví dụ 1.12. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính
z D 4x C 3y ! m ax
Với các ràng buộc

x C y Ä 4
5x C 3y Ä 15
x  0; y  0
Giải.
1.6 Ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch tuyến tính 17
Ví dụ 1.13. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính
z D 2x C 5y ! max
Với các ràng buộc

3x C 2 y Ä 6
x C 2y  2
x  0; y  0
Giải.
1.6.2 Tính chất của tập phương án chấp nhận được
Định nghĩa 1.3 (Đoạn thẳ ng). Đoạn thẳng nối hai điểm x
1
và x
2
được định
nghĩa
fx 2 R
n
jx D x
1

C .1  /x
2
; 0 Ä  Ä 1g (1.16 )
1.6 Ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch tuyến tính 18
Theo đó, nếu  D 0 chúng ta có x
2
, và nếu  D 1 chúng ta có x
1
. Những
điểm thuộc đo ạn thẳng với 0 <  < 1 được gọi là các điểm trong của đoạn,
và x
1
và x
2
được gọi là điểm biên của đoạn thẳng.
x
1
x
2
x D x
1
C .1  /x
2
Hình 1.1: x
1
; x
2
là hai điểm biên, x là điểm trong
Định lý 1.4. Cho x
1

và x
2
là hai phương án chấp nhận được của bài toán
quy hoạch tuyến tính . Điểm x D x
1
C .1  /x
2
; 0 Ä  Ä 1, trên đoạn nối
hai điểm x
1
và x
2
: Khi đó
i. x cũ ng là phương án chấ p nhận được.
ii. Nếu các giá trị hàm mục tiêu c
T
x
1
D c
T
x
2
thì c
T
x D c
T
x
1
D c
T

x
2
:
iii. Nếu các giá trị hàm mục tiêu c
T
x
1
< c
T
x
2
thì c
T
x < c
T
x
2
:
Chứng m i nh. Giả sử bài toán quy hoạch tuyến tính có ràng buộc a
T
x Ä b:
Vì x
1
và x
2
là hai phương án chấp nhận được cho nên a
T
x
1
Ä b và a

T
x
2
Ä
b:
i. Với x D x
1
C .1  /x
2
; 0 <  < 1, trên đo ạn nối hai điểm x
1
và x
2
; chúng
ta có
a
T
x D a
T
.x
1
C .1  /x
2
/
D a
T
x
1
C .1  /a
T

x
2
Ä b C .1  /b < b
Do x thỏa ràng buộ c cho nên x cũng là phương á n chấp nhận được. Vậy, các
điểm trên đoạn nối hai phương án chấp nhận được là các phương án chấp
nhận được.
ii. Theo i), x là phươ ng án chấp nhận được.
c
T
x D c
T
.x
1
C .1  /x
2
/
D c
T
x
1
C .1  /c
T
x
2
D c
T
x
2
D c
T

x
1
Vậy các phươ ng án chấp nhận được cùng thuộ c một đoạn thẳng t hì cùng giá
trị hàm mục tiêu.
1.6 Ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch tuyến tính 19
iii. Với x D x
1
C .1  /x
2
; 0 <  < 1, trên đoạn nối hai điểm x
1
và x
2
;
chúng ta có
c
T
x D c
T
.x
1
C .1  /x
2
/
D c
T
x
1
C .1  /c
T

x
2
< c
T
x
2
C .1  /c
T
x
2
D c
T
x
2
Từ định l ý này, xét t ập các phương án chấp nhận được là đoạn thẳng nối bởi
hai điểm x
1
; x
2
thì một điểm biên có giá trị hàm mục tiêu lớn nhất và điểm
biên còn lại có g iá trị hàm mục tiêu nhỏ nhất.
Ví dụ 1.14. Xem lại bài toán quy hoạch tuyến tính như ví dụ 1.12 trang
16.
z D 2x C 5y ! max
Với các ràng buộc

3x C 2 y Ä 6
x C 2y  2
x  0; y  0
2

4
2
x
y
0
A
B
C
x
1
x
2
x
2
4
2
x
y
0
A
B
C
x
1
x
2
x
z=5
(a) (b)
Hình 1.2:

a. Ta thấy x
T
1
D .1=2I 2/; x
T
2
D .2I 1=2/ là phương án chấp nhận được và
điểm x thuộc đoạn nối hai điểm x
1
x
2
; với x định bởi
x D x
1
C .1  / x
2
;  D
2
3
cũng là phương án chấp nhận được, xem hình 1.2a.
1.6 Ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch tuyến tính 20
b. Cho hai phương án chấp nhận được x
T
1
D .1=2I 7=3/ và x
T
2
D .2I 1=3/ có
cùng giá trị hàm mục tiêu là .z=5 D 3/ ; thì phươ ng án x thuộc đoạn nối hai
điểm x

1
x
2
; với x định bởi
x D x
1
C .1  / x
2
;  D
2
3
cũng cùng giá trị hàm mục tiêu là .z=5 D 3/ ; xem hình 1.2b.
Định nghĩa 1.5 (Tập lồi). Tập S 2 R
n
được gọi là tập lồi nếu với hai điểm
phân biệt bất kỳ x
1
và x
2
thuộc S thì đoạn nối hai điể m x
1
và x
2
cũng nằm
trong tập S:
C
B
D
A
x

1
x
2
B
C
A
x
1
x
2
x
1
x
2
(a) (b) (c)
x
1
x
2
y
x
x
1
x
2
y
x
x
1
x

2
(d) (e) (f)
Hình 1.3:
Ví dụ 1.15. Các tập con của R
2
trong hình 1.3 là các t ập lồi. Các tập con
của R
2
trong hình 1.4 không phải là tập lồi.
Định lý 1.6. Tập tất cả các phương án chấp nhận được S D fxjAx D b; x 
0g của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chín h tắ c là m ột tập lồi .
x
1
x
2
x
2
x
1
x
2
x
1
(a) (b) (c)
Hình 1.4: