Vài mẹo nhỏ khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phân ppsx

1
VÀI MO NH KHI TÍNH TÍCH PHÂN BNG
PHNG PHÁP TÍCH PHÂN TNG
PHN
LÊ ANH DNG
(Gv THPT Chuyên Hunh Mn t, Rch Giá, Kiên Giang)
Khi tính tích phân bng công thc tích phân tng phn
udv uv vdu
 
 
, nu
ta chn u, v mt cách khéo léo thì thành phn
vdu

s đn gin và vic tính tích phân s
đn gin hn. Bài vit này trao đi vi các bn mt s k nng khi tính tích phân bng
phng pháp tích phân tng phn.
1. Tách tích phân thành 2 phn, tng phn 1 phn sao cho phn còn li kh vdu
Thí d 1: Tìm nguyên hàm I =
2x 2
e (x 4x 1)dx
 

Bình thng ta đt u = x
2
+ 4x + 1 thì phi tích phân tng phn 2 ln; đ tránh điu này,
ta thêm bt, đ thành phn vdu kh ht phn còn li.
2
2x
2x
2x

du 2xdx
u x
; nên vdu= xe dx
1
v e
dv e dx
2


 







 
 
 
 



s kh ht xe
2x
do đó ta thêm vào u :
+ 3x đ phn còn li ch còn xe
2x
.

Li gii. I =
2x 2 2x 2 2x
e (x 4x 1)dx e (x 3x)dx e (x 1)dx
     
  
t
2
2x
u x 3x
dv e dx
 








, chn
2x
du (2x 3)dx
1
v e
2
 











Khi đó: I =
2x 2 2x 2x
1 1
e (x 3x) e (2x 3)dx e (x 3)dx
2 2
    
 
=
2x 2 2x 2x 2 2x
1 3 1 3
e (x 3x) e dx e (x 3x) e C
2 2 2 4
     

Thí d 2: Tìm nguyên hàm sau
x 3 2
I e (x 4x 1)dx
  

Tng t ví d trên
3 2
2 x
x x
u x du 3x dx

; nên vdu= 3x e dx
dv e dx v e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s kh ht 3x
2
e
x
do đó ta thêm vào u : x
2
đ phn còn li còn li 3x
2
3 2 2
2 x
x x
u x x du (3x 2x)dx
; nên vdu=(3x +2x)e dx
dv e dx v e
   
 
 
 

 
 
 
 
 
s kh ht 2xe
x
do đó ta li
thêm vào u: -2x đ phn còn li ch còn 2x.
Li gii.
x 3 2 x 2
I e (x x 2x)dx e (3x 2x 1)dx
     
 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
2
t:
3 2
x
u x x 2x
dv e dx
  









, chn
2
x
du (3x 2x 2)dx
v e
  








x 3 2 x 2 x 2
I e (x x 2x) e (3x 2x 2)dx e (3x 2x 1)dx
        
 
x 3 2 x x 3 2
e (x x 2x) e dx e (x x 2x 1) C
        

Trên c s đó, ta có th s dng s đ sau đ tìm thành phn u cho bài toán tính tích
phân tng phn ca hàm s
ax b n n 1
n n 1 1 0
e (a x a x a a )dx
 


   

(n-2)/a
n/a
(n-1)/a
_
x
_
x
b
n - 3
b
n - 2
b
n - 1
=a
n
h s ca đa thc ca u
h s ca đa thc
a
1
a
n-2
a
n-1
a
n
n
n 1
k k 1 k 1

b a
k 2
b a b
a

 







 
(Nhân lên, ly h s ca đa thc tr ri h xung)
Thí d 3: Tính I =
1
2x 5 3
0
e (x 4x x 1)dx
  

Ta lp s đ sau ngoài nháp đ tính u
5
2
-
3
2
1
-

5
2
x
_
1
1
2
1
3
2
2
5
2
n=5, a =2
1
0
h s ca đa thc ca u
h s ca đa thc
-4
0
1
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
3
Trình bày:
I =
1 1
2x 5 4 3 2 2x 4 3 2
0 0
5 3 5 5 3 3

e x x x x x dx e x 5x x x 1 dx
2 2 2 2 2 2
   
 
 
        
 
 
 
 
   
 
t
2x
5 4 3 2
u x
dv e dx
5 3 5
x x x x
2 2 2





   







,
4 3 2
2x
du 5x
v
5
10x 3x 3x
2
1
e
2





   










1

1
2x 5 4 3 2 2x 4 3 2
0
0
1
2x 4 3 2
0
1 5 3 5 5 3 3 5
I e x x x x x e x 5x x x dx
2 2 2 2 2 2 2 4
5 3 3
e x 5x x x 1 dx
2 2 2
   
         
   
   
 
    
 
 


1
1
2x 5 4 3 2 2x
0
0
1
2x 5 4 3 2 2

0
1 5 3 5 1
e x x x x x e dx
2 2 2 2 4
1 5 3 5 1 1 1
e x x x x x e
2 2 2 2 4 8 8
 
     
 
 
 
       
 
 

Thí d 4: Tính tích phân I =
2 2
e
3
1
x ln x 2x 2
ln x dx
x
 
 









 

Chú ý:
2 4 3
1
(x 1) ' 2x; (ln x)' = 4. ln x
x
  , ta tách I thành 2 tích phân đ kh vdu
Li gii. I =
2 2
e e e
4 3 4 3
1 1 1
x 1 x 1
x ln x + 2 ln x dx = x ln xdx + 2 ln x dx
x x
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 

   
  
t
4
u ln x
dv xdx









chn
2
3
4ln x
du dx
x
1
v (x 1)
2

 














Suy ra I =


2 4
2 2
e e
1 1
x 1 ln x
x 1 x 1
e
2 ln x dx 2 ln x dx
1
2 x x

 
 
   
 
 
 
 

 
 
 
 
   
 



2 4
2
x 1 ln x
e 1
e
1
2 2


 
2. Thêm hng s cho v
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
4
Trong các bài toán du có cha mu s, thng ta chn cho v mt hng s C thích hp
đ thành phn vdu kh bt phân s.
Thí d 5: Tính tích phân I =
1
3
0
(2x 1) ln(x )dx

1
 

Li gii. t
3
u ln(x )
dv (2x 1)dx
1

 








, chn
3
2 2
2
2
3x 3x
du
x (x 1)(x )
v x
dx
1 x 1
x

 







  




 


1
Bình thng ta ly v = x
2
– x, nhng  đây ta chn C = + 1 mc đích là kh bt mu s
trong vdu.
Khi đó: I =
1
1
3
0
0
2
2
3x

(x x 1)ln(x ) dx
x 1
+1  


=
1
1
0
0
2
1
ln 2 3 x 1 dx ln 2 ln
x 1
x 3
3 x x 1 2ln 2
2 2
     

 
 




   

 





 
 
 

Thí d 6: Tính tích phân
/4
2
0
ln(sin cos )
cos
x x
dx
x



t u =
ln(sin cos )
x x


du =
cos sin
sin cos
x x
dx
x x



v =
2
1
cos
dx
x
chn
sin cos
tan
cos
x x
x
x
v + 1

 
Bình thng ta hay ly v = tanx nhng  đây ta thêm C = 1 đ kh mu
Khi đó: I =
/4
/4
0
0
cos sin
(tan 1)ln(sin cos )
cos
x x
x x x dx
x


  



=
/4
0
3
2ln 2 ( ln cos ) ln 2
4 2
x x    


3. Cách chn thành phn dv
 tìm v, ta phi tìm nguyên hàm ca dv. Trong trng hp dv không có trong bng
nguyên hàm c bn, ta phi tách tích đ ly đc nguyên hàm ca dv theo bin s mi .
Thí d 7: Tính tích phân

4
2
2
0
x
dx
(x sin x cos x)

 gim bc mu thì
2
1
(x sin x cos x)


phi nm trong thành phn dv; đ tìm đc
nguyên hàm theo bin xsinx + cosx ta cn có d(xsinx + cosx) =– xcosxdx
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
5
Li gii.
 
4 4
2
2 2
0 0
x x cos x x
dx dx
cos x
(x sin x cos x) (x sin x cos x)
.

 
 
 
t
2 2
x
u
cos x
x cos x d(x sin x cos x)
dv dx
(x sin x cos x) (x sin x cos x)


 
 
 













chn
2
x sin x cos x
du dx
cos x
1
v
x sin x cos x


















Khi đó I =


4
4
2
0
0

4
0
x dx
tan x
cos x(x sin x cos x)
cos x
2
 4 
 4 4 
  




 

Thí d 8: Tính tích phân
8
4 2
0
1
3
( 1)
x dx
x 

 gim bc ln  di mu, ta có th dùng tích phân tng phn.  kh bc 2 di mu
thì
4 2
1
( 1)
x 
phi nm  dv. Nhng đ ly đc nguyên hàm theo x
4
thì ta cn (x
4
)’ = 4x
3
.
t
5

3 4
4 2 4 2
u x
x dx 1 d(x 1)
dv
4
(x 1) (x 1)


 
 





, chn
4
4
du 5x dx
1 1
v
4
x 1

 







Vy I =
1 1
1
3 3
8 5 4
3
4 2 4 4
0
0 0
x dx x 5 x
dx
4
(x 1) 4(x 1) x 1
  
  
 
=
1 1 1
3 3 3
4
4 4 2 2
0 0 0
x 1 1 1
dx 1 dx 1 dx
x 1 x 1 2(x 1) 2(x 1)
    
   
 

 













 
 
  
Ta có
1
1
3
3
2
0
0
1 1 x 1 1 1 3 1
1 dx x ln ln
4 x 1 4
2(x 1)
3 3 1

 
    



 
 













 
 

t x = tant. Ta tính đc Tính
1
3
2
0
1
dx

2(x 1)

12



Vy I =
1 1 3 1
ln
4
3 3 1

12




Cui cùng chúng tôi xin đa ra mt s bài tp đ các bn t luyn tp
Tính các tích phân sau:
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
6
1)
2
2
1
ln(1 x)
dx.
x



2)
1
3 2
2x
0
x 2x 3x 1
dx
e
  

3)
e
3
1
ln xdx

4)
sin x
e ( x cos x)dx



2
0
1
5)
2
x
0

1 sin x
dx
(1 cos x)e




6)
1
0
2 3
1
dx
(x )1

_ HT_
www.MATHVN.com
www.mathvn.com