TS. ĐẶNG VĂN HIẾU - BỘ MÔN CƠ HỌC phần 6 ppt

66
Do Ω
1
gần Ω
2
nên B
1
(t), B
2
(t) là các hàm thay đổichậm
theo t.
Nghiệmcủaphương trình (1) đượcviếtdướidạng:
12
() sin( ) sinqt A t B t Bcos t
α
=Ω+=Ω+Ω
Trong đó:
22
12
A
BB=+
: Biên độ thay đổichậmtheothờigian.
12
2
Ω+Ω
Ω=
: Giá trị trungbìnhcủa hai tầnsố.
1
2
B
arctg

B
α
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
: Pha thay đổichậm theo thờigian.
67
Như thế chuyển động củahệ có tính chất điều hoà với
biên độ dao động A là hàm thay đổitheothời gian. Chu kỳ
thay đổi theo thờigianlà:
12
4
a
T
π
=
Ω
−Ω
Vì hiệusố Ω
1
–Ω
2
nhỏ nên chu kỳ T
a
có giá trị lớnhơn
nhiềuso vớichukỳ củahệ:
12
4
T

π
=
Ω
+Ω
68
Đồ thị dao động biểuthị trên hình vẽ dưới đây.
Hiệntượng dao động như hình vẽ này gọilàhiệntượng
phách.
Như vậy, hiệntượng phách là hiệntượng biên độ dao
động thay đổituần hoàn chậm theo thờigian.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
t(s)
q(m)
69
Hiệntượng phách ởđây xuấthiệnkhitầnsố kích động Ω
1
khá gầntầnsố kích động Ω
2
.
Và ở phầntrướctacũng thấy: hiệntượng phách xuấthiện

khi tầnsố củalựckíchđộng Ω khá gầntầnsố riêng ω
o
củahệ.
Tuy nhiên, nếu quan tâm đếnlựccản thì dao động tự do
sẽ tắtdần, và do đó theo thờigianhiệntượng phách cũng
sẽ mất đi.(hình vẽ dưới):
0 50 100 150 200 250 300 350 400
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
t(s)
q(m)
70
§5. Dao động cưỡng bứccủahệ chịukích
động bấtkỳ
Giả sử hàm kích động đượcbiểudiễnbởihàmkhả vi
nào đó, thì phương trình dao động củahệ có dạng:
()mq bq cq f t
+
+=
&& &
(1)
Biến đổi(1) về dạng:
2

()
2()
o
ft
qqq
g
t
m
δω
++= =
&& &
(2)
Nghiệmcủa(2) gồm : nghiệmcủa phương trình vi
phân thuầnnhấttương ứng và một nghiệm riêng của
nó.
71
Nghiệmthuầnnhất: trong trường hợpcảnnhỏ, nghiệm
của phương trình vi phân thuầnnhấtcódạng:
12
( ) sin( ) ( sin )
tt
qt Ae t e Ccos t C t
δδ
ω
αωω
−−
=+= +
(3)
Nghiệm(3) còncóthể viếtdướidạng:
11 2 2

() () ()qt Cq t Cq t
=
+
(4)
Trong đó:
1
() os t
t
qt e c
δ
ω
−
=
2
() sin t
t
qt e
δ
ω
−
=
72
Phương pháp bién thiên hằng số Lagrange:
Tìm nghiệmcủa(2) dướidạng tương tự(4) nhưng C
1
và
C
2
là hàm củathờigian:
11 2 2

() () () () ()qt C t q t C t q t
=
+
(5)
Đạo hàm (5) theo thờigiantacó:
11 2 2 11 2 2
()qt Cq Cq Cq Cq=+ ++
&&
&&&
(6)
Nếutađưavàođiềukiện:
11 2 2
0Cq Cq
+
=
&&
(7)
Thì biểuthức (6) có dạng:
11 2 2
()qt Cq Cq
=
+
&&&
(8)
73
Đạohàmbiểuthức (8) theo thời gian, ta có:
11 2 2 11 2 2
()qt Cq Cq Cq Cq=+ ++
&&
&& & & && &&

(9)
Thế (5), (8) và (9) vào (2) ta nhận được phương trình:
11 2 2
()Cq Cq gt+=
&&
&&
(10)
Từ (7) và (10) ta có hệ:
11 2 2
()Cq Cq gt+=
&&
&&
11 2 2
0Cq Cq+=
&&
Giảihệ này:
2
1
12 12
()
q
Cgt
qq qq
=−
−
&
&&
1
2
12 12

()
q
Cgt
qq qq
=
−
&
&&
(11)
74
Thế các biểuthức
1
() os t
t
qt e c
δ
ω
−
=
2
() sin t
t
qt e
δ
ω
−
=
vào (11) ta được:
và
1

1
sin ( )
t
Cetgt
δ
ω
ω
=−
&
2
1
os t ( )
t
Cecgt
δ
ω
ω
=
&
(12)
Tích phân (12) ta được:
1
0
1
() sin ( )
t
Ct A e g d
δτ
ω
τττ

ω
=−
∫
2
0
1
() ( )
t
Ct B ecos g d
δτ
ω
τττ
ω
=+
∫
(13)
75
Thế biểuthức (12) này vào (5) ta đượcnghiệmtổng quát
của(2):
()
0
() ( sin )
1
sin ( ) ( )
t
t
t
qt e Acos t B t
etgd
δ

δτ
ωω
ω
τττ
ω
−
−−
=++
+−
∫
(14)
Biểuthức nghiệm (14) có hai thành phần:
Thành phần:
() ( sin )
t
h
qt e Acost B t
δ
ω
ω
−
=+
(15)
là nghiệmcủa phương trình thuầnnhấttương ứng.
76
Thành phần:
()
0
1
() sin ( ) ( )

t
t
r
qt e t g d
δτ
ω
τττ
ω
−−
=−
∫
(16)
là nghiệm riêng của phương trình (2).
Các hằng số A và B trong nghiệm (14) đượcxácđịnh từ
điềukiện ban đầu.
Giả sửđiềukiện đầu:
(0) ; (0)
oo
qqqq
=
=
&&
Æ Ta xác định được:
1
;( )
ooo
A
qB q q
δ
ω

==+
&
77
Cuốicùngtacóbiểuthức nghiệmtổng quát của
phương trình vi phân (2):
()
0
1
() ( ( )sin )
1
sin ( ) ( )
t
ooo
t
t
qt e qcos t q q t
etgd
δ
δτ
ωδω
ω
ωτττ
ω
−
−−
=+++
+−
∫
&
(17)

78
1. Thành lập phương trình vi phân dao động
2. Dao động tự do không cản
3. Dao động tự do có cản
4. Dao động cưỡng bức
Chương 2
DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ
NHIỀU BẬC TỰ DO