Bài tập hình học - Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau pptx

Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Bài 1: Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy khơng bằng nhau. CMR: đường
thẳng nối hai đường chéo và 2 cạnh bên thì bằng nhau.
+ AB // CD: ⇒ = =
⇒ = . (1)
+Mặt khác : = = .
⇒ = . (2)
Từ (1)(2) ⇒ =
⇒ DN= NC
⇔ DN = NC
⇒ MA = MB
⇒ đpcm.

P

M

A

B

O
D

C

N

Bài 2: Các đường cao của tam giác nhọn ABC cắt nhau ở O. Trên đoạn OB và OC
lấy B, C sao cho = = 90 . CMR AB = AC .(bài 31)

∆ vng ABC có: AB = AC.AN
∆ vng ACB có: AC = AM.AB

A

(1)

M
N

O
B1

Xét ∆ ANB và ∆ AMC có:
chung
= = 90

C1

B

C

⇒ ∆AMB ∽ ∆AMC (g.g)
⇒ = .
⇒ AN. AC = AM.AB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AB = AC
⇒ AB = AC
⇒ đpcm
Bài 3: Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh Ox và Oy của góc tại A và B. Từ A

vẽ tia //OB cắt đường tròn tại C, đoạn OC cắt đường tròn tại E. Hai đường thẳng
AE và OB cắt nhau tại K. CMR: OK = KB.

A

Ta có AC// OB
⇒ = (so le trong)
= = (góc nt)
⇒ =
Xét ∆ KAO và ∆ KOE có
K chung
=

1

1

E
O

1
2
K
B

⇒ ∆ KAO ∽ ∆ KOE (g.g)
-1-

C

Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

⇒ = ⇒ KO = KA.KE (1)
Mà P k / = KB = KA.KE (2)
Từ (1), (2) ⇒ KO = KB ⇒ KO = KB (đpcm)
Bài 4: Cho nửa đường trịn đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Từ M trên Ax kẻ tiếp
tuyến thứ 2 MC tới đường tròn, kẻ CH ⊥ AB. CMR: MB chia CH thành 2 phần
bằng nhau.
Ta có : = 90 (góc nt chắn )
⇒ = 90
= + = 90
+ = 90
Mà MC = MA (tính chất tiếp tuyến)
⇒ CMN cân vì C = N(cùng cộng với
C= 90 )
MN = MC ⇒ MN = MA
IC // MN : =
IM //AM : =
⇒ =
⇒ CI = IH
⇒ đpcm

N

1

M
1
C

2

I

B

A

Bài 5: Cho hình vng ABCD, đường trịn đường kính AB và đường trịn tâm D
bán kính AD cắt nhau tại điểm M (≠ D). CMR : đường thẳng MA đi qua trung
điểm của cạnh BC.
Ta có :
OD⊥ MA (vì (O) ∩ (D) = )
Xét ∆ AOD và ∆ BNA có :
= = 90 (gt)
AD = AB (gt)
=
(do + = 90 )
⇒ ∆ AOD = ∆ BNA (g.c.g)
⇒ AO = BN = OB (AB = BC)
⇒ BN = NC
⇒ đpcm

A

O

B

1
I
M

N

1
D

-2-

C


Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Bài 6 : Từ 1 điểm A ở ngồi đường trịn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường
tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng đó qua các
trung điểm của AB và AC. Kể tiếp tuyến MK của đường tròn (O). CMR MK = MA.
Gọi I, H là giao điểm của BC và
đường thẳng đi qua trung điểm của
AB và AC với đường thẳng OA.
+ ∆ vng OBA có :
OB = OI.OA
= (OH - HA)(OH + HA)
= CH - HA
⇒ HA = CH - OB = CH - R .
+ ∆ vng AHM có :
MA = HA + MH
= OH - R + MH

(1)
+ ∆ vng OHM có :
OH + HM = OM
(2)
Từ (1)(2) ⇒ MA = OM - R (*)
+ ∆ vng OKM có :
MK = OM - OK = OM - R (**)
Từ (*)(**) ⇒ MA = MK
⇒ MA = MK
⇒ đpcm.

B

O

A

H

I

K
C

M

Bài 7: Cho AB là đường kính của một đường trịn và dây CD khơng vng góc với
nó. Nếu từ hai đầu của đường kính ta hạ các đường vng góc AE và BF xuống
dây CD thì các đoạn thẳng CF và DE sẽ bằng nhau. Hãy CM điều đó.
- Kẻ AE cắt (O) ≡ H.Khi

đó = 90 (góc nt).
-  MEFB là hcn vì:
= = = 90.
- Ta có:
= (cùng nhìn cung ).

D

F

C

E

A
B
M

= ( cùng nhìn cung ).
Mà
+ = 90

= = (*)
-3-


Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Mặt khác + = 90
⇒ = 90 - (1)

Ta lại có + = 90
Từ (*) ⇒ + = 90
⇒ = 90 - (2)
Từ (1)(2) ⇒ = .
Xét ∆ CEM và ∆ DFN có :
= = 90
ME = DF
= (cmt)
⇒ ∆ CEM = ∆ DFB (g.c.g) ⇒ CE = DF ⇒ CF = DE (đpcm)
Bài 8: Cho 2 đường tròn (C) và (O’) cắt nhau ở A và B. Qua A kẻ 2 đường thẳng
CD và EF cắt (O) tại C và E, cắt (O’) tại D và F. Biết rằng = . CM CD = EF.
F
A

C

D

E

B

ABDF nội tiếp ⇒ = (cùng nhìn ) ; = = .
= + = + = (góc ngồi tam giác ) = (gt).
Mà = ⇒ = ⇒ ∆ BFD cân tại B ⇒ BF = BD.
Xét ∆ BEF và ∆ BCD có:
= (cùng nhìn )
BF = BD (cmt)
EBF = CBD (vì =+ = + =+ = + = ).
⇒ ∆ BEF = ∆ BCD.

⇒ CD = EF ⇒ đpcm.
Bài 9 : Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau ở C. Vẽ đường tròn
(O) đi qua C tiếp xúc với đường thẳng AB ở B và cắt (O) ở M. CMR: đường thẳng
AM chia đoạn BC thành 2 phần bằng nhau.

-4-


Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
A
1

C
1

M
I

O1
O1
1

B

Ta có : CA là tiếp tuyến của (O) tại A.
⇒ = = .
(1)
AB là tiếp tuyến của (O 2) tại B
⇒ = =
(2)

Từ (1)(2) ⇒ ∆ CIM và ∆ AIC có : =
chung
⇒ ∆ CIM ∽ ∆ AIC (g.g)
⇒ = . ⇒ IC = IA.IM (*)

Mà P I/ = IB = IM.IA (**)

Từ (*)(**) ⇒ IC = IB ⇒ IB = IC ⇒ đpcm.
Bài 10: Một đường tròn tiếp xúc với 2 cạnh và 2 đường trung tuyến của 1 tam
giác. CMR tam giác đó cân.
Giả sử (O,R) tiếp xúc với 2 cạnh AB, AC của
∆ABC và trung tuyến CM và BN.
A
Gọi I là giao của 2 trung tuyến.
Xét 2 tam giác ∆AMI và ∆ANI có:
1 2
A = A (t/c giao của 2 tiếp tuyến).
I = I (t/c giao của 2 tiếp tuyến).
M
N
cạnh AI chung.
1 2
∆ AMI = ∆ ANI (g.c.g)
I
⇒ AM = AN.
Mà M, N là trung điểm của AB và AC
⇒ AB = AC.
B
C
Vậy ∆ ABC cân tại A ⇒ đpcm.

Bài 12: Cho ∆ ABC, đường trung tuyến AM. Qua F nằm giữ B và M, vẽ đường
thẳng song song với AB. Cắt AM, AC thứ tự ở D, E. Qua F vẽ đường thẳng song
song với AC cắt AB ở K. CMR: DE = BK.

-5-


Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Ta có : BM = MC(gt)
A
Từ M kẻ MN //AC
E
I
⇒ AN = NB (*)
Mà KF//AC ⇒ MN //KF.
D
N
Từ D kẻ ID//MN
⇒ ID//AE (**)
Vì KF//MN
K
⇒ = (1) (ĐL ta - lét).
B
C
Vì ID//MN
F
M
⇒ = (2)
Vì DF//AB ⇒ = (3) ; Từ (1)(2)(3) ⇒ = ⇒ BK = AI (4)

Ta lại có : ID//AE; mà IA//DE ⇒ AIDE là hbh ⇒ AI = DE. (5)
Từ (4)(5) ⇒ BK = DE ⇒ đpcm
Bài 18 : Một đường thẳng cắt các cạnh song song của một hình vng có độ dại
a ; 1 đường thẳng thứ 2 ⊥ với đường thẳng thứ nhất cắt cả 2 cạnh kia của hình
vng. CMR các đoạn của các đường thẳng đó, giới hạn bởi các giao điểm với các
cạnh của hình vng bằng nhau.
Gọi : đường thẳng thứ 1 là d
d ∩ AB ≡ M ; d ∩ DC ≡ N.
đường thẳng thứ 2 là d.
d ∩ AD ≡ P ; d ∩BC ≡ Q.
Từ M kẻ MM’ ⊥ DC
Từ P kẻ PP’ ⊥ BC
Xét ∆ MNM’ và ∆ PQP’ có:
MM’ = PP’ = a.
= (góc có cạnh tương ứng vng
góc MN ⊥ PQ(gt):
NM’⊥ QP’)

d1

A

M

d2

B
Q

P'

P

D

M'

C

⇒ ∆ MNM’ = ∆ PQP’ (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ MN = PQ (đpcm)
Bài 13 : Cho tam giác ABC, trực tâm O. Trên OB lấy B’, trên OC lấy C’ sao cho
= = 90. CMR AB’ = AC’,
Theo hệ thức lượng trong ∆ vuông
A
∆ vuông AB’C có : AB’ = AN.AC (1)
∆ vng AC’B có : AC’ = AM.AB (2)
M
Xét ∆ ANB và ∆ AMC có :
chung
= = 90
N
O
⇒ ∆ ANB ∽ ∆ AMC (g.g)
B'
⇒ = ⇒ AN.AC = AM.AB (3)
C'
C
Từ (1)(2)(3) ⇒ AB’ =AC’ ⇒ AB’ = AC’.
Bài 15 :

-6-

B


Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

G
T

∆ ABC
Q là giao của phân giác góc B
và phân giác góc C.
a // BC.
a ∩ AC ≡ M
a ∩ AB ≡ N
Q ∈a
MN = MC + NB

A

M

K
L
CM :
BQ là phân giác ⇒ =
a//BC ⇒ = (sole)

N

Q

B

C

⇒ ∆ QNB cân ở N

⇒ QN = NB (1)
CQ là phân giác ⇒ =
a//BC
⇒ = (sole)
⇒ MC = MQ (2)
Từ (1)(2) ⇒ MC + NB = MQ + NQ = MN ⇒ đpcm.
Bài 16:
GT ∆ vuông ABC
H.v ABDE, ACHK ở
phía ngồi ∆ ABC.
= 90.
HM⊥ BC, DN⊥ BC
KL BC = HM +DN
Cm:
- Kẻ đường cao AP.
- Xét ∆ HMC và ∆ CPA ta có:
+ = 90

⇒ ∆ QMC cân ở M

E

K

D

A

H

M

= (1)
C

+ = 90
HC = AC (gt) (2)
Từ (1)(2) ⇒ ∆ HMC = ∆ CPA (cạnh huyền góc nhọn)
⇒ MH = CP (*)
Tương tự ta có ∆ APB = ∆ BND (cạnh huyền góc nhọn)
⇒ PB = DN (**)
Từ (*)(**) ⇒ BC = CP + PB = MH + DN
⇒ đpcm.

-7-

B

N

Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Bài 19 : Trên các cạnh AB và CB của ∆ ABC và vẽ bên ngồi ∆ hai hình vng
ABDE và BCKF. CMR DF = 2BP.
Kéo dài BP sao cho BP = PQ
AP = PC ⇒ ABQC là h.b.h
⇒ AQ = BC.
Ta có + = 180 (t/c h.b.h)
+ = 360 - ( + )
= 360 - ( 90 + 90)
= 180
⇒ =
Xét ∆ ABQ và ∆ BDF có :
E

A

Q

D

B

C

F

K

AB = DB (gt)
AQ = BF = BC
= (cmt)
Vậy ∆ ABQ = ∆ BDF (c.g.c) ⇒ DF = BQ hay DF = 2BP (đpcm)
Bài 33 : Cho 1 tứ giác nội tiếp 1 đường trịn có hai đường chéo vng góc. CMR
đường thẳng vng góc với một cạnh và đi qua giao điểm của hai đường chéo thì
đi qua trung điểm cạnh đối diện.
+ = 90
+ = 90
A
⇒ = (1)
 ABCD nội tiếp : =
D
I
Từ (1)(2) suy ra : =
B
= (đđ)
N

C

Vậy = .Hay ∆ DIN cân tại N : ND = NC (1)
CMtt : ∆ INC cân tại N : NI = NC (2)
Từ (1)(2) ⇒ NC = ND ⇒ đpcm
Bài 23 : Cho ∆ ABC có góc = 20 ( , đều nhọn) kẻ đường cao AH. Kéo dài AB về
hai phía B và trên đó lấy điểm E ; BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D.
CMR :
a. DA = DC = DH
b. AE = HC

-8-


Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

a. Vì BH = BE (gt)
⇒ ∆ BHE cân ⇒ =
Vì + = (t/c góc ngồi ∆ )
⇒ =2 =2 mà = 2 (gt)
Mặt khác :
= (đđ) ⇒ =
⇒ ∆ HDC cân tại D.
⇒ HD = DC (1)

A

2

1

D

B

3

1
1

E

1

2

H

C
F

1

Trong ∆ vng AHC có : = 90 - .
Vì AH ⊥ AC ⇒ = 90 - mà = .
⇒ = ⇒ ∆ AHD cân ở D ⇒ AD = HD (2)
Từ (1)(2) ⇒ HD = DC = AD (đpcm)
c. Lấy F ∈ HC sao cho : BH = HF
Trong ∆ ABF có : AH ⊥ BF (gt)
BH = HF (cách dựng)
⇒ ∆ BAF vuông cân ở A ⇒ AB = AF và = .
Ta có : + = =
= (gt)
⇒ = ⇒ AF = FC ⇒ AB = FC
Lại có AE = AB + BE = AB + BH = FC + HF = HC ⇒ đpcm.
Bài 24 : Ở nửa ngoài của ∆ ABC vẽ các hình vng ABDE và ACFG. Gọi H, K,
L là các trung điểm của BE, BC, CF. CMR :
a. ∆ HKL vng cân.
b. Có nhận xét gì về điểm thứ tư của hình vng có 3 điểm là H, K, L.
a. Thực hiện phép quay tâm A với góc
quay 90 ta có :

Q:C→G
E→B
⇒ Q : CE → GB
⇒
CE = GB
CE ⊥ GB

G
P

E

F

A
H
D

L

B

K

Ta có : HK // CE , HK = CE; KL // BG, KL = BG.
Mà CE = GB ⇒ HK = KL , HK ⊥ KL.
Vậy ∆ HKL vuông cân.
b. Giả sử P là đỉnh thứ 4 của hình vng có 3 đỉnh là H, K, L.
HKLP là hình vng ⇒ HD = HK = KL ; HP // KL. (1)
Mà KL//BG, KL = BG. (2)

Từ (1)(2) ⇒ HP // BG ; HP = BG.
Mà HE = HB (gt)
⇒ AP là đường trung bình của ∆ EBG ⇒ PE = PG.
Vậy P là trung điểm của EG.
-9-

C


Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Bài 25 : Cho ∆ ABC, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho
BD = 2 AD. Các đoạn thẳng AM và CD cắt nhau tại điểm I. CMR :
a. I là trung điểm của đoạn thẳng AM.
b. CI = 3DI
a. Áp dụng định lý Melelaus cho ∆
A
AMB:
. . =1
D
⇔ . . =1
⇒ IM = IA (đpcm).
I
b. Áp dụng định lý Menelaus cho ACDB:
B
M

C

. . =1

⇔ . . =1
⇒ 3ID = IC (đpcm)
Bài 21: Cho 2 điểm P và Q ở trên cạnh bên của một tam giác cân. Qua trung điểm
I của PQ ta kẻ 1 đường thẳng song song với đáy tam giác và cắt 2 cạnh bên tại M,
N. CMR : Hình chiếu vng góc của PQ trên cạnh đáy ∆ bằng MN.
CM: MN = P’Q’.
Gọi H, K lần lượt là giao điểm của PP’, QQ’,
A
MN.
Do MN // BC (gt)
Q
H M I
N
⇒  HKP’Q’ là hình chữ nhật.
K
P
⇒ HK = P’Q’ (1)
= = 90 .
Xét ∆ vng PHI và ∆ vng QKI có:
B
C
IP = IQ (gt)
P'
Q'
= (đđ)
⇒ ∆ PHI = ∆ QKI (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ PH = QK.
Ta có : = (so le trong)
= (đồng vị)
= ( ∆ ABC cân tại A)

⇒ = ⇒ = .
Xét ∆ HPM và ∆ NQK có : = = 90
HP = QK (cmt)
=
⇒ ∆ HPM = ∆ NQK (g.c.g) ⇒ HM = NK.
Ta có : HK = HM + MK
MN = KN + MK
⇒ HK = MN (2)
Từ (1)(2) ⇒ MN = P’Q’ ⇒ đpcm.
Bài 22 : Cho ∆ ABC (AB < AC) đường phân giác trong của góc và đường trung
trực của cạnh BC cắt nhau tại điểm D. Kẻ DE⊥ AB, DF⊥ AC. Đường phân giác
ngồi của góc cắt đường trung trực của cạnh BC tại D’. Kẻ D’E’ ⊥ AB,
D’F’ ⊥ AC. CMR : AC = EE’, AB = FF’.
-10-


Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Bài 28 : Trên các cạnh của tam giác bất lỳ ABC và ở miền ngoài của tam giác vẽ
các
tam giác đều ABC; ABC và ABC. CMR:
a. AA= BB = CC .
b. Các đường cao AA,BB, CC đồng quy tại O.
c. ∆ ABC là tam giác có 3 góc nhọn thì O nằm trong ta giác mà :
OA= OB + OC.
a. Thực hiện phép quay tâm A và B với góc quay 60
C
ta có :
Q:C→B
B

C →B
A
Q : CC → BB
1 O
5
2
⇒ CC = BB (1)
3 4
(CC , BB) = 60
B
C
Q:A →C
A→C
Q: AA → CC
⇒ AA = CC (2)
Từ (1)(2) ⇒ AA= BB = CC ⇒đpcm.
A
b. Giả sử BB ∩ CC ≡ mà (BB ,CC) = 60 ⇒ = .
Ta có : - = 60 và chắn ⇒  AOBC nội tiếp.
⇒ = = 60 (chắn ). (3)
Ta có = + = + 60.
⇒ =
= + = 60 + .
= và chắn ⇒  OBAC nội tiếp.
⇒ = = 60 (4)
Từ (3)(4) ⇒ = = 60 và đối đỉnh.
⇒ A, O, A thẳng hàng.
⇒ Các đường cao AA,BB, CC đồng quy tại O.
∈ OC sao cho OC = OA mà = 60.
c. Lấy C

⇒ ∆ OAC đều. ⇒ = 60.
Q :C→O
C → B
Q : CC → OB ⇒ CC = OB.
OA = OC = OC + CC = OC + OB ⇒ đpcm.
1

1

1

Bài 32: Cho 2 đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A, B. Qua A vẽ 2 cát tuyến CAD
và AEF (c và E ∈ (O)); D và F ∈ (O) góc = ). CMR CD = EF.

-11-


Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Từ B kẻ BH ⊥ EF;
BK⊥ CD.
= (gt)
+ = + .
⇒ =

C
A

H

F
K

E

D

B

+ ∆ vuông AHB và ∆ vng AKB có:
=
AB chung
∆ HAB = ∆ KAB (g.c.g)
=
⇒ HB = KB.
+ ∆ vuông EBH và ∆ vng CBK có :
= (vì +=+ =90, = = ).
BH = BK (cmt)
= = 90
⇒ ∆ HBE = ∆ KBC (g.c.g)
⇒ EH = CK (*)
Tương tự : ∆ KBD = ∆ HBF ⇒ KD = HF (**)
Mà EF = EH + HF.
CD = CK + KD
⇒ EF = CD (đpcm)
Bài 34
GT  ABCD ngoại tiếp (O)
J, K, H, I lần lượt là tiếp
điểm của cạnh AB, BC,
CD, DA với (O).

JH = KI
KL
=
D
+ = + (chắn hai cung bằng nhau).
Mà = (cùng chắn )
⇒ =
Xét ∆ IJH và ∆ IJK có : JI chung
IJH = JIK (cmt)
JH = JK
⇒ ∆ IJH = ∆ IJK (c.g.c) ⇒ IH = JK hay =
= ( + + - ) = ( + ).
= ( + - ) = ( + ).
Vậy = ⇒ đpcm.

A
J
B

I
j
K

O

H
C

Bài 38: Trên cạnh AB của hình vng ABCD lấy 1 điểm E tùy ý . Đường phân
giác của góc cắt cạnh BC tại điểm K. CMR AE + CK = DE.

-12-


Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
A

B

E

M

N
D

C

Trên DE lấy điểm M sao cho AE =EM ( ∆ EAM cân).
Và AM ∩ DK ≡ N.
Ta có + 2 = 180 .
Mà = (so le trong).
+ 2 = 180 ⇔ 2 + 2 = 180 ⇒ + = 90.
Hay + = 90 hay = 90 ⇒ AN = DK.
Xét ∆ AND và ∆ DCK có = = 90
= (so le trong)
⇒ ∆ AND ∽ ∆ DCK
⇒ = (1)
Tương tự ∆ DMN ∽ ∆ DKC (vì = = 90 ) (vì D = D )
⇒ = (2) mà = (3)
Từ (1)(2)(3) ⇒ DM = CK hay DE = AE + CK ⇒ đpcm

Bài 37 : Trên đường thẳng AB lấy 1 điểm C và qua điểm đó kẻ đường thẳng CD
tạovới AB một góc tùy ý. Trên các đường phân giác của góc và lấy các điểm M
và N. CMR MN//AB thì CD chia đoạn MN thành hai phần bằng nhau.
D

M

O

2

A

N
1

1
1

3

4

C

(⇒) MN //AB ⇒ OM = ON
+ MN//AB ⇒ =
(sole trong)
=
(CM là phân giác góc ACD)

⇒ OMC cân tại O hay OM = ON (1)
+ MN // AB ⇒ = (sole trong).
= (CN là phân giác )
⇒ = hay ∆ OCN cân ⇒ ON = OC (2)
Từ (1)(2) ⇒ OC = ON (*)
(⇐) OM = ON ⇒ MN//AB
Xét ∆ MCN có = 90
OM = ON ⇒ CO là đường trung tuyến.
⇒ CO = MN = MO = NC (trong ∆ đường trung tuyến = cạnh huyền.)
-13-

B


Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Xét ∆ MOC có MO = CO ⇒ ∆ MOC cân tại O.
⇒ =
Mà = ⇒ = (2 góc ở vị trí so le)
⇒ MO // AB (3)
Xét ∆ NOC có NO = CO ⇒ ∆ NOC cân tại O
= = ( , ở vị trí so le trong ).
⇒ ON // AB (4)
Từ (3)(4) ⇒ MN // AB (**)
Từ (*)(**) ⇒ MN//AB thì MO = ON (đpcm)
Bài 43: Vẽ ra ngoài tam giác ABC (góc , < 90 O ) các tam giác vng cân
ADB, ACE ( góc = = 90 ). Gọi I và K là chân các đường vng góc kẻ từ D và
E đến BC. CMR : BI = CK.
D
A

1

I

E

1

1

2
B

H

2
C

K

Từ A kẻ AH ⊥ BC.
Ta có + = 90 ; + = 90
⇒ =
Xét ∆ vuông AHC và ∆ vuông CKE có:
AC = CE (gt)
= (cmt)
⇒ ∆ AHC = ∆ CKE (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ AH = CK (1)
Ta lại có + = 90 ; + = 90 .

⇒ =
Xét ∆ vng IDB và ∆ vng HBA có :
DB = BA (gt)
= (cmt)
⇒ ∆ IDB = ∆ HBA (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ IB = AH (2)
Từ (1)(2) có IB = CK ⇒đpcm.
Bài 44: Cho ∆ ABC từ trung điểm D của BC kẻ 1 đường vuồn góc với phần giác
góc , đường phân giác đó cắt cạnh AM tại M và cạnh AC tại N. CMR BM =CN

-14-


Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
A

I
N
B

C

H D

M

Xét ∆ AHN có AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác.
⇒ ∆ AMN cân.
Từ B kẻ BI//MN ⇒ BM = IN (1)
+) Xét ∆ BCI có DN //BI ; BD = DC.

⇒ DN là đường trung bình.
⇒ IN = NC (2)
Từ (1)(2) ⇒ BM = NC ⇒ đpcm.
Bài 45: Cho ∆ ABC đều và một điểm D trên đoạn BC. đường thẳng đi qua D và
song song với AC cắt cạnh AB tại E . Đường thẳng qua D và song song với AB
cắt AC tại F. Gọi P là trung điểm của BF, Q là trung điểm của CE. CMR PQD là
tam giác đều.
A
F

P
E
Q
B

C

D

Vì ED //DC ⇒ ∆ EBD đều . Tương tự ta có ∆ DFC đều.
Q E→B
C→F
Q EC → BF
Mà P, Q lần lượt là trung điểm EC và BF.
QP→Q
⇒ DP = DQ ; = 60
⇒ đpcm.
Bài 50:
GT
Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB

E ∈ CD.
P=P =P
KL
CD = 2 AB
D
Từ B kẻ BM //AD.
⇒ P = P (1)
-15-

B

A

M

K

N M'

C


Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Ta CM M là điểm duy nhất trên CD tm (1).
Thật vậy, Lấy N bất kì khác M khơng làm mất tình tổng qt .
Giả sử N nằm giữa M và C . Ta sẽ CM: P ≠ P .
Từ N kẻ NK // AB (k ∈ AB) rõ ràng B nằm giữa A, K vì M nằm giữa D, N.
P =P >P.
⇒ M là điểm duy nhất thỏa mãn (1).

Tương tự từ A kẻ AM’ // BC , cũng chứng minh M’ là điểm duy nhất thỏa mãn.
P=P.
⇒ Để thỏa mãn giả thiết để chu vi 3 ∆ bằng nhau thì M ≡ M’ hay đó là điểm E.
⇒ AB = DE = EC = . ⇒ đpcm

-16-