Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ở lớp 7

A. Phần mở đầu.
I.
Lời nói đầu.
Phát triển toàn diện nhân cách cho trẻ là mục tiêu của mọi xà hội. Nhân cách của
con ngời đợc hình thành qua quá trình giáo dục. Vì vậy giáo dục học sinh là một
việc làm hết sức cần thiết. Nó là nền tảng vững chắc ngay từ bớc đầu để trẻ hoàn
thiện nhân cách của một con ngời. Mọi trẻ em sinh ra đều có quyền đợc chăm sóc
và bảo vệ, đợc giáo dục và học hành. Nghị quyết Trung Ương II của Đảng đà sáng
suốt đa nền giáo là quốc sách hàng đầu. Chính vì vậy Đảng và nhân dân ta đà không
ngừng quan tâm và từng bớc đổi mới quá trình dạy học một cách rõ rệt, để tạo tiền
đề đa đất nớc tiến vào thời kỳ công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nớc.
Nh chúng ta đà biết, môn toán có vị trí rất quan trọng trong trờng phổ thông,
trong đời sống, trong khoa học và công nghệ hiện đại. Các kiến thức và phơng pháp
toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tập tốt các môn khoa học khác, giúp
học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Môn toán có khả năng to lớn
phát triển trí tuệ của học sinh thông qua việc rèn luyện các thao tác (phân tích, tổng
hợp, so sánh, trừu tợng hóa...), năng lực lĩnh hội các khái niệm trừu tợng, năng lực
suy luận lôgíc và sử dụng ngôn ngữ chính xác, đồng thời rèn luyện các phẩm chất
trí tuệ nh linh hoạt, độc lập, sáng tạo v.v...
Tuy nhiên, từ thực tế công tác giảng dạy của mình tại trờng THCS Định Hải Yên
Định, tôi nhận thấy nhiều học sinh học toán kém, những học sinh lời học không
nắm đợc kiến thức cơ bản đà đành, còn có nhiều học sinh chịu khó học bài thuộc
bài nhng vẫn không làm đợc hoặc làm sai bài tập. Nguyên nhân cơ bản là do các em
không chịu đề cập bài toán theo nhiều cách khác nhau, không chịu nghiên cứu khảo
sát kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết theo nhiều cách khác, không sử dụng hết
các dữ kiện của bài toán; không biết hoặc vận dụng cha thành thạo các phơng pháp
suy luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài tập đà giải hoặc áp dụng phơng
pháp giải một cách máy móc thiếu linh hoạt; không chịu suy nghĩ tìm cách giải
khác cho một bài toán hoặc mở rộng lời giải tìm đợc cho bài toán khác do đó bị hạn
chế năng trong việc rèn luyện năng lực giải toán.
II.

Thực trạng chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ở lớp 7a trờng
THCS Định Hải Yên Định.
ở lớp 7 khi chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau đa số học sinh gắn chúng vào
các tam giác và chứng minh cho hai tam giác bằng nhau mà không đề cập hay sử
dụng các định lí hay tính chất khác. Vì vậy khi không gắn đợc các đoạn thẳng vào
các tam giác thì học sinh không chứng minh đợc hoặc chứng minh đợc cũng rất dài
1


dòng. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau có ý nghÜa quan träng trong viƯc
chøng minh c¸c tam gi¸c b»ng nhau, chứng minh hình bình hành, hình chữ nhật,
hình thoi.v.v...
Do tÝnh cÊp thiÕt cđa vÊn ®Ị cïng víi thùc tiƠn ở đơn vị công tác, tôi nhận thấy
vệc Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau là vấn đề hết sức cần thiết. Đây là nội
dung rất khó đối với học sinh lớp 7. Vì vậy tôi xét thấy cần tìm hiểu đề tài này ở tr ờng và đa ra một số phơng pháp và một hệ thống bài tập tự rút ra trong quá trình
công tác nhằm giúp cho việc dạy học giải toán nói chung và chứng minh hai đoạn
thẳng bằng nhau nói riêng đạt kết quả cao.
B. Phần nội dung.
I. Các giải pháp thực hiện.
1. Khảo sát lớp thực nghiệm
Lớp 7a trờng THCS Định Hải Yên Định năm học 2008 2009.
Tổng số học sinh: 37
Khả năng

Xếp loại
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém

Khả năng
Khả năng thiết
Khả năng nêu
phân tích đề lập các dữ kiện để lời giải đúng,
tìm lời giải
chính xác
SL
4
7
12
8
6

%
10.8
18.9
32.4
21.6
16.2

SL
3
6
11
6
11

%
8.1

16.2
29.7
16.2
29.7

SL
3
6
11
8
9

%
8.1
16.2
29.7
21.6
24.3

Khả năng trình
bày bài toán
đúng và đẹp
SL
3
6
12
8
8

%

8.1
16.2
32.4
21.6
21.6

2. Phơng pháp giải.
Việc giải một bài toán cũng nh việc giải quyết bất cứ một công việc gì thờng tiến
hành theo 4 bớc:
Bớc 1: Tìm hiểu đề toán
Bớc 2: Tìm lời giải
Bớc 3: Thực hiện giải
Bớc 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải tìm đợc.
ở mỗi bớc cần phải làm gì? suy nghĩ nh thế nào? tại sao lại suy nghĩ và làm
nh vậy?
Tùy theo từng bài dạy cụ thể mà giáo viên nên đa ra các phơng pháp chứng
minh phù hợp. Sau đây là các phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
Các phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
1. Sử dụng hai đoạn thẳng có cùng số đo.
2


2. Sử dụng định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa đờng trung tuyến
của tam giác, định nghĩa đờng trung trực của đoạn thẳng.
3. Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc, tính chất đờng trung trực của
đoạn thẳng.
4. Sử dụng tính chất đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông,
tính chất cạnh đối diện với góc 300 trong tam giác vuông.
5. Sử dụng tính chất của trọng tâm, tính chất giao điểm của ba đờng phân giác,
tính chất của giao điểm của ba đờng trung trực.

6. Sử dụng đoạn thẳng thứ ba làm trung gian.
7. Sư dơng sù b»ng nhau cđa hai tam giác.
8. Sử dụng tính chất của tam giác cân.
9. Sử dụng tính chất hình bình hành (sử dụng cho lớp 8)
10. Sử dụng định ly đờng trung bình của tam giác (thuận và đảo). (sử dụng cho
lớp 8)
11. Sử dụng các đoạn thẳng bằng nhau cho trớc rồi biến đổi.
12. Sử dụng các đoạn thẳng bằng nhau trong đờng tròn. (sử dụng cho lớp 9)
13. Sử dụng đoạn thẳng địng ly TalÐt. (sư dơng cho líp 8)
14. Chøng minh ph¶n chứng.
15. Sử dụng định ly đờng thảng đi qua điểm giữa của 1 cạnh bên (đờng chéo) của
hình thang, song song với đáy sẽ đi qua trung điểm của các cạnh bên, các đờng chéo. (sử dụng cho lớp 8)
16. Sử dụng bình phơng của chúng bằng nhau (có thể sử dụng định ly Pitago, tam
giác đồng dạng, hệ thức lợng trong tam giác, trong đờng tròn để đa về bình
phơng của chúng bằng nhau).
II. Một số biện pháp đà thực hiện hớng dẫn học sinh chứng minh hai
đoạn thẳng bằng nhau.
Để hình thành kĩ năng cho học sinh ngoài việc truyền đạt các phơng pháp chứng
minh giáo viên cần đa ra hệ thống bài tập đa rạng từ dễ đến khó để học sinh rèn
luyện. Ngoài ra giáo viên cần yêu cầu học sinh chứng minh bằng nhiều cách khác
nhau để học sinh có sự so sánh. Sau đây là các bài toán chứng minh hai đoạn thẳng
bằng nhau:
Các bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Bài 1.
Cho mét gãc nhän xOy. Ta dùng vỊ phÝa ngoµi cđa góc xOy tia Ox vuông
góc với Ox và Oy vuông góc với Oy. Lấy một điểm A trên Ox và lÊy mét ®iĨm C
3


trên Oy. Sau đó lấy trên Ox một điểm B và trên Oy một điểm D sao cho OA = OB

vµ OD = OC. Chøng minh AD = BC.
y'

GT

xOy

< 900; Ox'  Ox ;

D

y

Oy '  Oy

C

OB OA ; OD OC

KL

AD  BC

x

O

A

B

x'

Gi¶i.
Ta cã:

AOD 90 0  xOy 


BOC 90 0  xOy 


OA
OB
A OD
 B OC
OD
OC







 AOD BOC .

 AOD BOC (c  g  c)  AD  BC (cạnh

tơng

ứng).
Bài 2.
Cho tam giác ABC. Gọi E là trung điểm của cạnh AC. Đờng
thẳng qua E song song với cạnh BC, cắt cạnh AB tại điểm F; đờng thẳng qua E song
song với cạnh AB cắt cạnh BC tại ®iĨm D. Chøng minh F lµ trung ®iĨm cđa AB và
D là trung điểm của BC.
A

GT
KL

EA = EC, FE // AB, FD // AB
FA = FB; DB = DC.

F

E

B

C

D

Gi¶i:
Ta cã: EF // BC 

Eˆ 1 Cˆ

ED // AB 

ˆ
Eˆ 2 A

(đồng vị) (1)
(đồng vị). (2)

E là trung điểm của AC nên EA = EC (3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra FAE DEC ( g  c  g )  FA = DE. (4)
Ta cã:
EF
ED
FD

//

BC



//
AB 
chung

 FBD DEF ( g  c  g )  FB  DE


F
1

F
2


D
1

D

2

(so

le

(so

(5).

Từ (4) và (5) suy ra FA = FB.
Điểm F  AB mµ FA = FB suy ra F lµ trung điểm của AB.
Chứng minh tơng tự, ta có điểm D là trung điểm của cạnh BC.
4

trong)

le

trong)





Bài 3.
Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đờng cao AH. Từ H kẻ HD AB
và HE AC. Chøng minh: DE = AH, KA = KH, KD = KE.
¢= 900, AH  BC
A
GT HD  AB, HE  AC
E
KL DE = AH, KA = KH
K
KD = KE.
D
C

B
H

Gi¶i: Hai tam giác vuông DAE và EHD bằng nhau vì có cạnh huyền DE chung và
hai góc ADE, HED bằng nhau (so le trong, AD // EH).
Cho ta AE = DH và AD = EH.
Hai tam giác vuông ADH và EHD có AD = EH và DH chung nên chúng b»ng nhau,
cho ta AH = DE.
Ta cã

ˆ  Hˆ
A
1
1

(so le trong)

ˆ
Eˆ 1  D
1

(so le trong)

AD = EH (chøng minh trên)
Suy ra AKD HKE KA KH và KD KE .
Bài 4.
Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Một điểm M thuộc cạnh AB và
một điểm N thuéc c¹nh AC sao cho BM = CN. Chøng tỏ rằng tam giác AMN cân.
A

GT AB = AC, BM = CN.
KL AMN cân.

M

B

Giải.
Điểm M AB nên: AM + MB = AB  AM = AB - MB
§iĨm N  AC nªn: AN + NC = AC  AN = AC - NC

Ta cã AB = AC (Tam giác ABC cân tại A)
Và MB = NC (gt)
Suy ra AM = AN. Vậy tam giác AMN là tam giác cân tại A.

5

N

C


Bài 5.

Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh BC có một điểm D sao cho

1
BD BC.
3

Trên cạnh AB có mét ®iĨm E sao cho

mét ®iĨm F sao cho
GT

1
CF  AC
3

1
AE AB

3

và trên cạnh AC có

. Chứng minh tam giác DEF là tam giác đều.

ABC đều

A

1
1
1
BD BC. , AE AB , CF AC
3
3
3

KL

E

DEF đều
F

B

D

C

Giải.
Ta cã:

1
1
1
BD  BC. , AE  AB , CF  AC
3
3
3

mà ABC đều nên ta có ba cạnh bằng

nhau:
AB  AC  BC (1)
Suy ra: BD  AE CF (2)
Mặt khác ta lại có: AF AC CF
CD  BC  BD

BE  AB  AE

KÕt hỵp víi (1) vµ (2) ta suy ra: AF CD  BE .
XÐt c¸c tam gi¸c AEF, BDE, CFD ta thÊy
BD  AE CF
AF CD BE
B C
và
A
nên chúng bằng nhau (trêng hỵp c – g – c).

AEF BDE CFD



EF DF ED .

Tam giác DEF có ba cạnh bằng nhau nên nó là tam giác đều.
Bài 6.
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD =
BA. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE =

1
3

BC. Gọi K là giao điểm cđa AE vµ
A

CD. Chøng minh r»ng DK = KC.
Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia BA lấy D
B
E

6

C
K
D

GT BD = BA. LÊy E trªn BC sao cho BE =

1
3

BC.

K là giao điểm của AE và CD
KL DK = KC.
Giải.
Xét ACD, ta có CB là đờng trung tuyến.
Điểm E thuộc đoạn CB và CE =

2
3

CB nên E là trọng tâm của ACD.

Do đó AK là đờng trung tun cđa  ACD, vËy CK = KD.
Bµi 7.
Cho ABC cân tại A, D là trung điểm của BC. Gọi E và F là chân các đờng
vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Chứng minh rằng DE = DF.
Tam giác ABC cân tại A. D là trung điểm BC.
GT E và F là chân các đờng vuông góc kẻ từ D
đến AB và AC.
KL DE = DF.

A

E

F

Giải.
C
B
Cách 1. (Đa số học sinh thờng sử dụng)
D
ABC cân tại A nên B C .
Xét hai tam giác vuông BDE và CDF.
Có
BDE = CDF (cạnh huyền góc nhọn)
DE = DF (cạnh tơng ứng).
Cách 2.
ABC cân tại A nên đờng trung tuyến AD cũng là đờng phân giác. Theo tính chất
tia phân giác của một góc, D thuộc tia phân giác của góc A nên cách đều hai cạnh
của góc đó, do đó DE = DF.
Bài 8.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I.
Gọi D và E là chân các đờng vuông góc kẻ từ I đến AB và AC.
DB CD (gt) 

ˆ
ˆ
B
C


7

Chứng minh rằng AD = AE.
Tam giác ABC vuông tại A. Phân
GT giác góc B và C cắt nhau ở I. D và E
là chân các đờng vuông góc kẻ từ I
đến AB và AC
KL AE = AD.

A
E
D

I

B
C
Giải. Cách 1.
AI là phân giác của góc A nên ID = IE. (1) Các tam giác vuông ADI, AEI có

nên là tam giác vuông cân, do đó AD = ID, AE = IE (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD = AE.
Cách 2. (học sinh thờng sử dụng)
AI là phân giác của gãc A nªn ID = IE. Suy ra hai tam giác vuông ADI và AEI bằng
nhau (cạnh huyền cạnh góc vuông). Suy ra AD = AE.
Cách 3.
AI là phân giác cđa gãc A nªn ID = IE.  ID 2  IE 2 . (1)
DAI EAI 45 0

XÐt hai tam giác vuông ADI và AEI. Có AE 2 AI 2  EI 2 ; AD 2  AI 2  DI 2 (Pitago)
(2).

Tõ (1) vµ (2)  AE 2  AD 2  AE  AD .
Bµi 9.
Cho tam giác ABC, kẻ phân giác AD của góc A. Đờng thẳng song song với AB vẽ
qua điểm D, cắt cạnh AC tại điểm E. Đờng thẳng song song với BC kẻ qua điểm E
cắt cạnh AB tại điểm F. Chứng minh AE = BF.
AD là phân giác góc A.
A
GT Dx // AB; Dx c¾t AC ë E
E
Ey // BC; Ey cắt AB ở F
F
KL AE = BF.
B

D

Giải.
AD là phân giác gãc A nªn
DE // AB



ˆ A
ˆ
A
1
2

ˆ D
ˆ

A
1

(so le trong)

VËy

ˆ
Aˆ 2 D

Cho ta

AE = DE



AED cân, đỉnh E

(1)
8

C


EF // BC

EFD FDB (so le trong)
ED // AC
(so le trong)

BFD FDE
Kết hợp với FD là cạnh chung, ta suy ra BFD EDF
BF = ED
(2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra
AE = BF
Bài 10.
Cho góc xOy, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm B sao cho Ox là trung
trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là trung trực cđa AC. Chøng minh r»ng OB =
OC.

x

C

GT Oy lµ trung trực của AB
Ox là trung trực AC
KL OB = OC.

A

y
O

Giải.
B
Oy là đờng trung trực của AB OA = OB (1).
Ox là đờng trung trực của AC OA = OC (2).
Tõ (1) vµ (2)  OB = OC.

Bµi 11.
Cho tam giác ABC cân tại A, đờng trung tuyến AM. Đờng trung trực của AC
cắt đờng thẳng AM ở D. Chứng minh rằng DA = DB.

GT

A

Tam giác ABC cân tại A.
Trung tuyến AM
Trung trực của AC cắt AM tại D

.

D

KL

DA = DB

Gi¶i

B

9

M

C

Tam giác ABC cân tại A, AM là trung tuyến nên AM cũng là đờng trung
trực của BC. D là giao điểm của các đờng trung trực của BC và của AC nên D cũng
thuộc đờng trung trực của AB. VËy DA = DB.
C. KÕt ln chung.
1. KÕt qu¶ cđa viƯc vËn dơng s¸ng kiÕn.
Qua mét thêi gian ¸p dơng giải pháp và phơng pháp nói trên chất lợng học sinh
trong lớp tôi đà đợc nâng lên rõ rệt. Cụ thể nh sau:
Khả năng

Xếp loại
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém

Khả năng
Khả năng thiết
Khả năng nêu
phân tích đề lập các dữ kiện để lời giải đúng,
tìm lời giải
chính xác
SL
8
10
12
5
2

%
21.6
27
32.4
13.5
5.4

SL
8
10
11
5
3

%
21.6
27
29.7
13.5
8.1

SL
7
9
11
6
4

%
18.9

24.3
29.7
16.2
10.8

Khả năng trình
bày bài toán
đúng và đẹp
SL
6
9
10
8
4

%
16.2
24.3
27
21.6
10.8

Qua quá trình áp dụng những phơng pháp, những kinh nghiệm của bản thân vào
quá trình dạy học môn toán nói chung và giải bài toán chứng minh hai đoạn thẳng
bằng nhau nói chung tôi đà rút ra một số bài học cho mình để góp phần tích cực
trong việc nâng cao hiệu quả việc dạy học toán giáo viên cần làm tốt các vấn đề
sau:
Khi lập kế hoạch phải dự tính trớc đợc lỗi mà học sinh thờng mắc phải, từ đó có
cách chữa lỗi. Trong giờ dạy không nên áp đặt nặng nề, không nên gay gắt đối với
những em thờng mắc lỗi phải nhẹ nhàng để học sinh thấy yên tâm.

Đối với những bài toán có cấu trúc giống nhau trong quá trình giải học sinh thờng dễ nhầm lẫn máy móc giữa bài toán này với bài toán khác. Vì vậy phải giúp các
em so sánh phân biệt từng dạng toán.
Phải giúp học sinh hiểu bài toán bằng cách giao việc cho các em thông qua gợi ý
hoặc lập hệ thống câu hỏi. Do đó yêu cầu giáo viên phải nắm chắc các dữ kiện của
đề bài, phải tóm tắt đề toán theo cách ngắn gọn, dễ hiểu. Đa ra nhiều cách giải bài
toán và trình tự các bớc, các phép tính phải chính xác khoa học. Chú ý kiểm tra kết
quả của học sinh và chỉ hớng dẫn khi các em thật khó khăn, tuyệt đối không đợc
làm thay học sinh.
Vì vậy thông qua chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau ở lớp 7, nó không những
rèn luện cho học sinh ý thức vợt khó, tính cẩn thận, năng lực lĩnh hội các khái niệm

10


trừu tợng, năng lực suy luận lôgíc và sử dụng ngôn ngữ chính xác, đồng thời rèn
luyện các phẩm chất trí tuệ nh linh hoạt, độc lập, sáng tạo v.v...
2. ý kiến đề xuất.
Qua quá trình giảng dạy để giúp các em học sinh có chất lợng học tập tốt hơn tôi
có một vài đề xuất nh sau:
- Các cấp lÃnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ nhà trờng có đủ cơ sở vật chất cho
giáo viên giảng dạy và sinh hoạt chuyên môn.
- Chuyên môn nhà trờng cần tổ chức sinh hoạt chuyên môn thờng xuyên trao
đổi để tìm ra phơng pháp dạy học có hiệu quả nhất và tổ chức dạy mẫu áp dụng các
phơng pháp đó.
- Cần tạo điều kiện, thời gian để giáo viên có điều kiện tham khảo tài liệu.
- Giáo viên cần học hỏi các đồng nghiệp của mình và giúp đỡ đồng nghiệp của
mình để bản thân và đồng nghiệp đều tiến bộ vững vàng chuyên môn.
- Phụ huynh cần quan tâm hơn đến việc học tập của con em mình đặc biệt tạo
điều kiện để các em có thật nhiều thời gian tự học ở nhà.
- Giáo viên chủ nhiệm cần phối kết hợp tốt với nhà trờng và phụ huynh trong

việc giáo dục đạo đức cho học sinh giúp các em định hớng đợc việc học của mình.
Đây là sáng kiến nhỏ của tôi, đúc kết dợc qua thực tế giảng dạy của mình. Thời
gian nghiên cứu còn eo hẹp nên chắc chắn còn nhiều sai sót. Rất mong đợc sự quan
tâm góp ý của các cấp lÃnh đạo, chuyên môn nhà trờng và đồng nghiệp cũng nh các
bạn độc giả quan tâm để tôi rút kinh nghiệm hoàn thành tốt hơn trong những năm
học sau.
Yên Định, ngày 9 tháng 4 năm 2009.
Ngời thực hiện

Lê Xuân Trờng

11