Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 20142015
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (278.08 KB, 27 trang )
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
* KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ *
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Hàm số bậc 3: y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
• Tập xác đònh: D = R
• y' = f'(x)
y' = 0: giải phương trình y’ = 0
• y'' = f''(x)
y'' = 0: giải phương trình y’’ = 0.
Kết luận điểm uốn I.
• Giới hạn:
y
x −∞→
lim
=
y
x +∞→
lim
=
• Bảng biến thiên:
Kết luận sự đồng biến, nghòch biến của hàm số.
Kết luận các điểm cực trò của đồ thò hàm số.
• Điểm đặc biệt:
Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y.
Giao điểm với trục hoành: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.
• Đồ thò: đồ thò hàm số nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng.
Hàm số bậc 4 trùng phương y = f(x) = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0):
• Tập xác đònh: D = R
• y' = f'(x)
y' = 0: giải phương trình y’ = 0
• Giới hạn:
y
x −∞→
lim
=
y
x +∞→
lim
=
• Bảng biến thiên.
Kết luận sự đồng biến, nghòch biến của hàm số.
Kết luận các điểm cực trò của đồ thò hàm số.
• Điểm đặc biệt:
Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y.
Giao điểm với trục hoành (nếu có): y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.
• Đồ thò: đồ thò hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hàm số hữu tỷ dạng y = f(x) =
dcx
bax
+
+
(ad – cb ≠ 0, c ≠ 0):
• Tập xác đònh: D = R\{
c
d
−
}
• y' = f'(x)
Kết luận sự đồng biến, nghòch biến của hàm số.
• Giới hạn:
y
x −∞→
lim
=
c
a
,
y
x
+∞→
lim
=
c
a
⇒ Tiệm cận ngang y =
c
a
y
xx
+
→
0
lim
=
=
−
→
y
xx
0
lim
⇒ Tiệm cận đứng x = x
0
• Bảng biến thiên:
Tài liệu lưu hành nội bộ
1
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
Kết luận hàm số không có cực trò.
• Điểm đặc biệt:
Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y.
Giao điểm với trục hoành: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.
• Đồ thò: đồ thò hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a) y = x
3
+ 3x
2
- 4; b) y = -x
3
- 3x
2
+ 1; c) y = -x
3
+ 3x
2
- 4x + 2;
d) y = x
3
- 3x
2
+ 4x + 1; e) y =
3
3
x
- x
2
+ x + 1; f) y = -
3
3
x
+ x
2
- x + 1.
Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a) y = x
4
- 2x
2
- 3; b) y = -x
4
+ 2x
2
+1; c) y = -
2
4
x
- x
2
+
2
3
; d) y =
2
4
x
+ x
2
+
2
3
.
Bài 3: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a) y =
1
2
+
+−
x
x
; b) y =
12
2
+
−
x
x
; c) y =
x
x 1
+
; d) y =
x
1
.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a) y = x
3
- 6x
2
+ 9x; b) y = x
3
+ 1; c) y =
3
1
x
3
- x
2
- 3x -
3
5
;
d) y = -x
3
+ 3x
2
- 3x - 1; e) y = 2x
3
- 3x
2
- 2; f) y = x
3
- x
2
+ x.
Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a) y =
24
2
3
4
1
xx −
; b) y =
2
3
x
2
x
2
4
−+
; c) y = -
24
x
2
3
x
4
1
+
; d) y =
24
2
3
4
1
xx
−−
.
Bài 3: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a) y =
7
23
+
−
x
x
; b) y =
x
x
−
−
1
2
; c) y =
23
12
+
−
x
x
;
d) y =
12
2
−
−
x
x
; e) y =
2
2
x 3
−
+
; f) y =
1
−
x
x
.
2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số:
* Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = f(x) tại điểm M(x
0
; y
0
) nằm trên đồ thò hàm số:
y – y
0
= f’(x
0
)(x – x
0
)
ª Cho hoành độ tiếp điểm x
0
: tính tung độ tiếp điểm y
0
= f(x
0
).
ª Cho tung độ tiếp điểm y
0
: giải phương trình f(x) = y
0
, tìm hoành độ tiếp điểm.
* Dạng 2: Tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = f(x) biết hệ số góc cho trước:
Gọi M(x
0
; y
0
) là tọa độ tiếp điểm ⇒ hệ số góc tiếp tuyến là f’(x
0
).
ª Biết hệ số góc tiếp tuyến là số k: giải phương trình f’(x
0
) = k, tìm x
0
.
ª Biết tiếp tuyến vuông góc với d: y = k
1
x + m
1
: giải phương trình k
1
.f’(x
0
) = -1, tìm x
0
.
ª Biết tiếp tuyến song song với ∆: y = k
2
x + m
2
: giải phương trình f’(x
0
) = k
2
, tìm x
0
.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4 tại điểm M(0; 4).
Bài 2: Cho hàm số y = x
2
có đồ thò (C), viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm có tung độ
bằng 4.
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4 tại điểm có hoành độ bằng 2.
Tài liệu lưu hành nội bộ
2
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
Bài 4: Cho hàm số
2 x
y
x 1
−
=
+
(1). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) của hàm số (1) tại giao
điểm của đồ thò (C) với các trục tọa độ.
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số
3
y x 3x
= − +
biết tiếp tuyến đó có hệ số góc k =
-9.
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 5x
2
+ 2 biết rằng tiếp tuyến này song
song với đường thẳng y = -3x + 1.
Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 5x
2
+ 2 biết rằng tiếp tuyến này vuông
góc với đường thẳng y =
7
1
x - 4.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y =
1
32
+
+
x
x
tại điểm có hoành độ x
0
= -3 thuộc đồ
thò hàm số.
Bài 2: Cho hàm số y = x
2
- 1 có đồ thò (C), viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm có tung
độ bằng 8.
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 5x
2
+ 2 biết rằng tiếp tuyến này song
song với đường thẳng y = -3x + 1.
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 5x
2
+ 2 biết rằng tiếp tuyến này vuông
góc với đường thẳng y =
7
1
x - 4.
Bài 5: Cho hàm số y =
1
12
+
−
x
x
có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại giao điểm của (C) với trục tung.
b) Tại điểm có hoành độ
0
x
= – 2.
c) Biết tiếp tuyến có hệ số góc
3
1
.
d) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 3y = 0.
Bài 6: Cho hàm số y = x
4
- 2x
2
+ 1 có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) tại điểm
cực đại của (C).
3. Giao điểm của hai đường - Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò:
a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong:
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thò (C
1
) và hàm số y = g(x) có đồ thò là (C
2
).
Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x).
b) Biện luận số nghiệm phương trình f(x) = g(m)(*) với g(m) là đường thẳng cùng phương Ox:
Số nghiệm phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đường (C): y = f(x) và d: y = g(m).
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thò hai hàm số:
a) (C): y = x
2
- 2x + 2 và d: y = x; b) (C): y = x
3
+ 4x
2
+ 4x + 1 và d: y = x + 1;
c) (C): y = x
3
- 3x và d: y = x
2
+ x - 4; d) (C): y = x
4
- 4x
2
+ 5 và d: y = x
2
+ 1.
Bài 2: Dựa vào đồ thò (C) của hàm số y = -x
3
+ 3x
2
- 1 biện luận theo m số nghiệm phương trình:
a) -x
3
+ 3x
2
- 1 = m; b) x
3
- 3x
2
+ 1 + m = 0; c) -x
3
+ 3x
2
- 2 = m.
Bài 3: Dựa vào đồ thò (C) của hàm số y = x
4
- 2x
2
+ 3 biện luận theo m số nghiệm phương trình:
a)
2
1
x
4
- x
2
+
2
3
= m; b) 2x
4
- 4x
2
+ 6 + m = 0; c) 2x
4
- 4x
2
+ 4 - m = 0.
Bài tập tự luyện:
Tài liệu lưu hành nội bộ
3
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
Bài 1: Biện luận số nghiệm phương trình x
2
+ 2x + 1 + m = 0 theo hai phương pháp (dùng biệt thức ∆
và phương pháp biện luận bằng đồ thò)
Bài 2: Dựa vào đồ thò của hàm số y = x
3
+ 3x
2
, hãy biện luận số nghiệm của phương trình x
3
+ 3x
2
+ m
= 0 tùy theo giá trò của tham số m.
Bài 3: Cho hàm số y =
1
23
−
−
x
x
. Tìm tất cả các giá trò của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ
thò của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Bài 4: Biện luận theo m số giao điểm của hai đường:
a) (C): y = x
3
- 4x
2
+ 4x và d: y = m + 1; b) (C): y =
2
2
−
+
x
x
và d: y = m - 2.
4. Tìm giá trò lớn nhất (GTLN), giá trò nhỏ nhất (GTNN) của hàm số:
a) Giá trò lớn nhất (GTLN), giá trò nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]:
• Tìm x
i
∈ (a; b) (i = 1, 2, , n) mà tại đó f'(x
i
) = 0 hoặc f'(x
i
) không xác đònh.
• Tính f(a), f(b), f(x
i
) (i = 1, 2, , n).
• Kết luận
)(max
);(
xf
ba
= max[f(a), f(x
i
), f(b)] (i = 1, 2, , n)
)(min
);(
xf
ba
= min[f(a), f(x
i
), f(b)] (i = 1, 2, , n).
b) Giá trò lớn nhất (GTLN), giá trò nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b):
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) (a,b có thể là -∞, +∞), ta có hai trường hợp:
GTNN
f(
x
0
)
+
-
limy
x
→
b
x
→
a
limy
0
x
0
b
a
y
y'
x
GTLN
f(
x
0
)
+
-
limy
x
→
b
x
→
a
limy
0
x
0
b
a
y
y'
x
(Trong đó y'(x
0
) bằng 0 hoặc y'(x) không xác đònh tại x
0
).
Kết luận:
)(max
);(
xf
ba
= f(x
0
) tại x = x
0
hoặc
)(min
);(
xf
ba
= f(x
0
) tại x = x
0
.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số y = x
3
- 3x
2
- 9x + 35 trên đoạn [-4; 2].
Bài 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số
lny x x
= −
trên đoạn
1
;
2
e
.
Bài 3: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) = x - e
2x
trên đoạn [-1; 0].
Bài 4: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) = x +
2
4 x−
.
Bài 5: Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = cos
3
x - 6cos
2
x + 9cosx + 5.
Bài 6: Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y =
2
4 x
x
+
trên khoảng (-∞; +∞); b) y = x +
x
4
với x > 0.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) = x
4
- 2x
2
+ 1 trên đoạn [0; 2].
Bài 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số y =
x36
−
trên đoạn [-1; 1].
Bài 3: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) = sin2x - x trên đoạn [-
2
;
2
ππ
].
Bài 4: Tím các giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) f(x) =
x45
−
trên đoạn [-1; 1]; b) f(x) = 1 +
2
9 x
−
trên đoạn [-3; 3];
c) f(x) =
2
+
x
x
trên [-2; 4]; d) f(x) = x
2
- 3x + 2 trên đoạn [-10; 10].
Tài liệu lưu hành nội bộ
4
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
Bài 5: Tím các giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y =
2
cos2x + 4sinx trên đoạn [0;
2
π
]. b) f(x) = sin
4
x - 4sin
2
x + 5.
Bài 6: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của các hàm số:
a)
2
2
( )
x x
f x e
−
=
trên
[ ]
0;3
; b)
x
xexf 2)(
=
trên [-3; 1]; c)
( ) .
−
=
x
f x x e
trên
[ ]
0;2
.
Bài 7: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của các hàm số:
a)
)ln( exy
+=
trên [0; e]; b)
xxy ln.
2
=
trên
[ ]
e;1
.
Bài 8: Tìm các giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = 1 + 5x - 3x
2
; b) y = 3x
2
- 4x + 7; c) y =
x
x
2
2
+
(x > 0);
d) y = 4x
3
- 3x
4
; e) y = x + 2 +
1
1
−x
trên khoảng (1; +∞).
5. Đònh tham số để hàm số đạt cực trò tại x
0
:
Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại x
0
thì f'(x
0
) = 0.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Đònh m để hàm số y = -(m
2
+ 5m)x
3
+ 6mx
2
+ 6x - 5 đạt cực đại tại x = 1.
Bài 2: Tìm các giá trò của m để x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số y =
1
1
2
+
−+−
x
mmxx
.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số y =
3
1
x
3
- mx
2
+ (m
2
- m + 1)x + 1. Với giá trò nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại
điểm x = 1?
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = -(m
2
+ 5m)x
3
+ 6mx
2
+ 6x - 5. Với giá trò nào của m thì hàm số đạt cực
đại tại x = 1?
Bài 3: Xác đònh m để hàm số y = x
3
- mx
2
+ (m -
3
2
)x + 5 có cực trò tại x = 1. Khi đó hàm số đạt cực
tiểu hay cực đại?. Tính giá trò cực trò tương ứng.
6. Đònh tham số để hàm số đồng biến, nghòch biến trên R:
ª Nếu f'(x) ≥ 0 ∀x ∈ R thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R.
ª Nếu f'(x) ≤ 0 ∀x ∈ R thì hàm số y = f(x) nghòch biến trên R.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Đònh m để hàm số y = 4x
3
+ mx nghòch biến trên R.
Bài 2: Đònh m để hàm số y = -(m
2
+ 5m)x
3
+ 6mx
2
+ 6x - 5 đồng biến trên R.
Bài 3: Đònh m y = x
3
- 3mx
2
+ (m + 2)x – m đồng biến trên tập xác đònh.
Tài liệu lưu hành nội bộ
5
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
* MŨ VÀ LÔGARIT *
1. Lũy thừa
Đònh nghóa:
• a
n
= a. a a (n ∈ Z
+
, n ≥ 1, a ∈ R).
• a
1
= a, ∀a ∈ R; a
0
= 1; a
-n
=
n
a
1
.
•
n
m
n
m
aa
=
(a > 0, m, n ∈ N);
n
m
n
m
n
m
a
a
a
11
==
−
.
Các tính chất:
∀ a, b ∈ R, a ≠ 0, b ≠ 0 và m, n ∈ R. Ta có:
a) Các tính chất biểu thò bằng hằng đẳng thức:
a
m
.a
n
= a
m + n
n
m
a
a
= a
m – n
(a
m
)
n
= a
m.n
(ab)
n
= a
n
b
n
n
n
n
b
a
b
a
=
)(
b) Các tính chất biểu thò bằng bất đẳng thức:
i) Nếu 0 < a < b thì a
n
< b
n
, ∀n > 0 và a
n
> b
n
, ∀n < 0.
ii) Nếu a > 1 thì a
m
> a
n
với m > n.
iii) Nếu 0 < a < 1 thì a
m
< a
n
với m > n.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tính giá trò của các biểu thức sau:
a) A =
242123
2.2.4
−−−+
; b) B =
2
5
75,0
)25,0()
16
1
(
−
−
+
;
c) C =
3
1
2
4
3
4
1
64.216)
625
1
(
−
−
−+
; d) D =
2
1
75,04
)
4
9
(625)5,0(
−
−
−−
.
Bài 2: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:
a) A =
5
23
22
2
; b) B =
6
1
3
:bb
; c) C =
3
3
aaaa
; d) D =
5
3
b
a
a
b
(a, b > 0).
Bài 3: Chứng minh rằng
2352
)
3
1
()
3
1
(
<
.
Bài 4: So sánh các cặp số sau:
a)
3
)
3
1
(
và
2
)
3
1
(
; b) 2
3000
và 2
2000
; c)
3
)
2
1
(
và 1; d)
17
và
3
28
.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Không dùng máy tính, tính:
a)
5
2
5
2
27.9
; b)
4
3
4
3
9:144
; c)
2
5
75,0
)25,0()
16
1
(
−
−
+
;
d)
3
2
5,1
)125,0()04,0(
−
−
−
; e)
2
5
75,0
)25,0()
16
1
(
−
−
+
; f)
1 3
3 5
0,75
1 1
81
125 32
− −
−
+ −
÷ ÷
.
Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
a) A =
3
5
9
39
; b) B =
)0(
6
3
1
2
1
>
bbbb
;
c) C =
)0(:
3
3
4
>aaa
;
Tài liệu lưu hành nội bộ
6
n thừa số
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
d) D =
4
3
2
xx
(x > 0); e) E =
16
11
: aaaaa
(a > 0).
Bài 3: Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
)(
)(
4
1
4
3
4
1
3
2
3
1
3
4
−
−
+
+
aaa
aaa
; b)
)(
)(
3 2
3
3
2
5
1
5
4
5
1
−
−
−
−
bbb
bbb
; c)
)0(
)(
)(
4
1
4
3
4
1
3
2
3
1
3
4
>
+
+
−
−
a
aaa
aaa
;
d)
6
2
3
4
)4(
a
a
; e)
])
2
()2[()
2
2(
111
−−−
++
y
x
y
x
; f)
3
1
3
4
3
1
3
1
2
)43(2
−
−
n
nnn
.
2. Hàm số mũ và hàm số lôgarit:
a) Đồ thò hàm số mũ và hàm số lôgarit:
O
x
y
y =
log
a
x
y =
a
x
O
x
y
y =
log
a
x
y =
a
x
a > 1 0 < a < 1
b) Các tính chất cơ bản của lôgarít:
ª Hàm số y = log
a
x liên tục trên R
*
+
. ª Nếu log
a
x
1
= log
a
x
2
thì x
1
= x
2
(x
1
> 0, x
2
>0).
ª Nếu a > 1 thì log
a
x > 0 khi x > 1, log
a
x < 0 khi 0 < x < 1.
Nếu 0 < a < 1 thì log
a
x > 0 khi 0 < x < 1, log
a
x < 0 khi x >1.
c) Các đònh lí về lôgarít:
Đònh lí 1: Với mọi cơ số 0 < a ≠ 1, ta có:
*
log
,
+
∈=
Rxxa
x
a
; log
a
a
x
= x , x ∈ R.
Đònh lí 2: Với mọi cơ số 0 < a ≠ 1, ∀x
1
, x
2
> 0, ta có: log
a
(x
1
.x
2
) = log
a
x
1
+ log
a
x
2
Đònh lí 3: Với mọi cơ số 0 < a ≠ 1, ∀x
1
, x
2
> 0, ta có:
21
2
1
logloglog xx
x
x
aaa
−=
Đònh lí 4: Với mọi cơ số 0 < a ≠ 1, ∀x > 0, ta có: log
a
x
α
= αlog
a
x
Hệ quả: Nếu
n
1
=
α
thì x
α
=
n
n
xx
=
1
(với x > 0) và
x
n
x
a
n
a
log
1
log
=
.
Đònh lí 5: Với x > 0, 0 < a ≠ 1, 0 < b ≠ 1, ta có:
xxbx
b
x
abab
a
a
loglog.loglog
log
log
=⇔=
.
Hệ quả 1: log
a
b.log
b
a = 1 ⇔ log
a
b =
a
b
log
1
.
Hệ quả 2: Với mọi α ≠ 0 và x > 0 thì
xx
a
a
log
1
log
α
α
=
.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
Tài liệu lưu hành nội bộ
7
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
a)
2log
27
1
3
; b)
4log
2
1
3
)
9
1
(
; c)
4loglog
2
2
4
d) log
3
6.log
8
9.log
6
2;
e) log45 - 2log3; f)
2
1
ln25 - ln2; g) log
2
48 -
3
1
log
2
27; h) log4 - log3 + logπ +
3logr;
i) log
25
8.log
8
5;j)
)(log
1
)(log
1
abab
ba
+
.
Bài 2: Tính
a)
3
2
3
5
3log
2log
85
+=
A
; b) B =
5log2log
27
19
3
−
; c) C =
5log2log
27
19
9
−
;
d) D =
2log320log
10log4log
22
22
+
+
; e) E =
)
(log
4
5 4
3
2
a
aaa
a
; f) F =
n
5
5
5
5
55
5 loglog
.
Bài 3: Biễu diễn log
30
8 qua log
30
5 và log
30
3.
Bài 4: Cho a = log
3
15, b = log
3
10. Hãy tính
50log
3
theo a và b.
Bài 5: So sánh các số:
a) log
3
5 và log
7
4; b) log
0,3
2 và log
5
3; c)
9log
3
1
và
10log
3
1
.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính giá trò của các biểu thức sau:
a) A =
3
777
21log314log36log
2
1
−−
; b) B =
23log
3log
3log
5
1
75
5
++
;
c) C =
)(lnlog527log216log
4
23
8
1
e
+−
; d) D =
2010log
5
4
log
125
1
log
2010
4
55
−−
;
e) E =
2log.27log.5log
2543
; f) F =
5 7
9 125
2
log 6 log 8
1 log 4 log 27
2 log 3
25 49 3
3 4 5
+
−
+ −
+ +
.
Bài 3: Tính giá trò của các biểu thức sau:
a)
)3(loglog325
8
32
256log
3log
81
5
+−=
A
; b) B =
27log
3log2
4log1
1252
1
9
543
++
+
+
.
Bài 4: Biễu diễn trực tiếp y theo x:
a) lny =
3
1
lnx + ln4; b) logy +
2
1
logx = log3.
3. Phương trình mũ và lôgarit:
a) Phương trình mũ cơ bản:
ª a
f(x)
= a
b
⇔ f(x) = b, (a > 0, a ≠ 1) ª a
f(x)
= c ⇔ f(x) = log
a
c,(a > 0, a ≠ 1, c > 0)
b) Phương trình lôgarít cơ bản:
Với a > 0, a ≠ 1 ta có:
ª log
a
f(x) = log
a
g(x)
Điều kiện: f(x) > 0, g(x) > 0. Khi đó: log
a
f(x) = log
a
g(x) ⇔ f(x) = g(x)
ª log
a
f(x) = c ⇔ f(x) = a
c
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
132
7)
7
1
(
2
+−−
=
xxx
; b) (0,3)
3x - 2
= 1; c) 2.16
x
- 17.4
x
+ 8 = 0.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
Tài liệu lưu hành nội bộ
8
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
a)
15
65
2
=
−−
xx
; b)
175
)
3
2
()5,1(
+−
=
xx
; c) -8
x
+ 2.4
x
+ 2
x
- 2 = 0;
d) 4.9
x
+ 12
x
- 3.16
x
= 0; e) e
2x
- 4e
-2x
= 3; f) 7
x - 1
= 2
x
;
g) 3
x
.2
x + 1
= 72; h) 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x
; i) 5
x
+ 12
x
= 13
x
.
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) log
3
(5x + 3) = 2; b) log
2
(x - 5) + log
2
(x + 2) = 3; c) log
3
x + log
3
(x + 2) = 1;
d) -lg
3
x + 2lg
2
x = 2 - lgx; e)
3)log2)(log1(
42
=−+ xx
; f)
1
log2
2
log4
1
22
=
−
+
+ xx
.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
7332
)
7
11
()
11
7
(
−−
=
xx
; b) 2.16
x
- 17.4
x
+ 8 = 0; c) 0,125.4
2x – 3
=
x−
)
8
2
(
;
d) 4
x
-
xxx
++
=
2.34
1
; e) 5
x – 1
+ 5.0,2
x – 2
= 26; f) 25
x
– 12.2
x
– 6,25.0,16
x
= 0.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a)
143
42
2
−−+
=
xxx
; b)
xxx 318
42
2
−+−
=
; c)
2162
2
5
6
2
=
−−
xx
;
d) 2
x
+ 2
x - 1
+ 2
x – 2
= 3
x
- 3
x - 1
+ 3
x – 2
; e) 5
x
+ 5
x + 1
+ 5
x + 2
= 3
x
+ 3
x + 3
– 3
x + 1
.
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) 6.9
x
– 13.6
x
+ 6.4
x
= 0; b) 8
x
– 3.4
x
– 3.2
x + 1
+ 8 = 0; c) 4
x
– 2.14
x
+ 3.49
x
= 0;
d) 2
4x
– 50.2
2x
= 896; e) 3
4x + 8
- 4.3
2x + 5
+ 27 = 0; f) 2
2x + 6
+ 2
x + 7
– 17
= 0.
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) log
5
x = log
5
(x + 6) – log
5
(x + 2); b) lg(x
2
+ 2x – 3) +
1
3
lg
−
+
x
x
= 0. c) log
4
(x + 2)log
x
2 = 1.
4. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit:
a) Bất phương trình mũ:
ª Nếu a > 1 thì: a
f(x)
< a
g(x)
⇔ f(x) < g(x). ª Nếu 0 < a < 1 thì: a
f(x)
< a
g(x)
⇔ f(x) > g(x).
b) Bất phương trình lôgarít:
ª a > 1: log
a
f(x) > log
a
g(x) ⇔
>
>
)()(
0)(
xgxf
xg
. ª 0 < a < 1: log
a
f(x) > log
a
g(x) ⇔
<
>
)()(
0)(
xgxf
xf
.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a) 3
2x + 5
> 1; b)
143
42
2
−−+
>
xxx
; c)
4)
2
1
(
45
2
>
+− xx
;
d) 9
x
- 5.3
x
+ 6 < 0; e) 9
x
< 3
x + 1
+ 4; f) 3
x
- 3
-x + 2
+ 8 > 0.
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a)
2)1(log
3
−≥−
x
; b) log
3
(x - 3) + log
3
(x - 5) ≤ 1; c)
)52(log)1(log
2
1
2
2
1
+<++
xxx
.
d)
0loglog
2
2
2
≤+
xx
; e)
1
1lg
3lg3lg
2
<
−
+−
x
xx
; f)
53log62)2(log
8
12
−>−−
xx
.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a)
42
3
2
<
+− xx
; b)
2
6
39
+
<
x
x
; c)
7
9
)
9
7
(
32
2
≥
−
xx
;
Tài liệu lưu hành nội bộ
9
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
d) 3
x
+ 9.3
-x
– 10 < 0; e) 9
x
- 5.3
x
+ 6 < 0; f) 16
x
- 4
x
- 6 ≤ 0.
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a) log
8
(x
2
– 4x + 3) ≤ 1; b)
2)1(log
3
1
−≥−
x
; c) log
3
(x - 3) + log
3
(x - 5) < 1;
d) log
2
(x + 3) ≥ 1 + log
2
(x – 1); e) log
3
(x+ 2) > log
9
(x + 2); f)
x
x
2
2
log
1
1log
+<
.
Tài liệu lưu hành nội bộ
10
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
* NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG *
I. NGUYÊN HÀM:
1. Đònh nghóa, tính chất và nguyên hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
ª Đònh nghóa:
∫
+=
CxFdxxf )()(
(C ∈ R), với
ª Các tính chất:
Tính chất 1: (
∫
dxxf )(
)' = và
∫
dxxf )('
=
Tính chất 2:
∫
dxxkf )(
= (k là hằng số khác 0)
Tính chất 3:
∫
±
dxxgxf )]()([
=
ª Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp:
∫
dx0
=
∫
dx
=
∫
dxx
α
=
∫
+
dxbax
α
)(
=
∫
x
dx
=
∫
+
bax
dx
=
∫
α
x
dx
=
∫
+
α
)( bax
dx
=
∫
dxe
x
=
∫
+
dxe
bax
=
∫
dxa
x
=
∫
+
dxa
nmx
=
∫
xdxcos
=
∫
+
dxbax )cos(
=
∫
xdxsin
=
∫
+
dxbax )sin(
=
∫
x
dx
2
cos
=
∫
+ )(cos
2
bax
dx
=
∫
x
dx
2
sin
=
∫
+ )(sin
2
bax
dx
=
2. Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x
2
- 3, biết rằng F(1) =
3
1
.
Tài liệu lưu hành nội bộ
11
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
Bài 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
x
xx 52
2
+−
, biết rằng đồ thò của hàm số F(x) đi
qua điểm A(1;
2
1
)
3. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số sau:
a) f(x) = 3x
2
-
x
1
+ 4e
x
biết rằng F(0) = 1;
b) f(x) = sin2x.cos3x + 3tan
2
x biết rằng F(π) = 0.
Bài 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
2
23
)1(
533
−
−+−
x
xxx
biết rằng đồ thò của F(x) đi qua
điểm M(0;
2
1
−
).
Bài 3: Tìm hàm số y = f(x) biết rằng f'(x) = 2x + 1 và f(1) = 5.
II. TÍCH PHÂN:
1. Đònh nghóa:
ª Đònh nghóa: (NewTon-Lebniz) I =
∫
b
a
dxxf )(
=
với F(x) là một nguyên hàm của f(x)
ª Tính chất:
a)
∫
b
a
dxxkf )(
= (k là hằng số)
b)
∫
±
b
a
dxxgxf )]()([
=
c)
∫
b
a
dxxf )(
=
(a < c < b)
* Chú ý: Khi a > b, ta quy ước
∫∫
−=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
2. Các phương pháp tính tích phân:
a) Tính tích phân bằng đònh nghóa:
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a)
∫
+−
2
1
3
).
1
3( dx
x
xx
; b)
∫
16
1
.dxx
; c)
∫
+
2
1
8
.)13( dxx
;
d)
∫
2
1
4
1
dx
x
; e)
∫
π
0
cos.sin xdxx
; f)
∫
1
0
)
2
( dx
e
x
.
Tài liệu lưu hành nội bộ
12
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
b) Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số:
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a)
2
2
0
4 x dx−
∫
; b)
3
2
0
1
9
dx
x+
∫
; e)
∫
+
21
0
2
7 x
dx
.
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
a)
∫
−
1
0
2
3
dxex
x
; b)
dxxx
∫
+
3
0
32
1
; c)
∫
−
2
0
2cos4
2sin
π
dx
x
x
;
d)
dxxx
∫
−
4
0
2011
.)1(
; e)
dxxe
x
.cos
2
0
sin
∫
π
; f)
∫
e
x
xdx
1
ln
;
g)
dx
x
x
.
13
5
1
0
2
∫
+
; h)
dxx.tan
3
4
∫
π
π
; i)
∫
2
3
ln.
e
e
xx
dx
.
c) Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
Tài liệu lưu hành nội bộ
13
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a) I
1
=
/4
0
2 cos2x xdx
π
∫
;b) I
2
=
1
2
0
( 1)
x
x e dx+
∫
; c) I
3
=
3
2
2 ln( 1)x x dx
−
∫
;
d)
∫
+
1
0
)21ln(2 dxxx
; e)
∫
4
0
2
cos
π
x
xdx
; f)
2
2
1
ln xdx
x
∫
.
3. Tích phân của một số dạng hàm số thướng gặp:
a) Hàm số đa thức và phân thức:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)
∫
+
2
1
23
).1( dxxx
; b)
1
3 4 5
0
( 1)x x dx−
∫
; c)
∫
−
1
0
2009
)1( dxxx
.
Bài 2: Tính tích phân các hàm phân thức:
a)
∫
−
2
1
3
2
2
dx
x
xx
; b)
∫
−
−
3
2
12
3
x
x
; c)
∫
+
+
1
0
12
34
dx
x
x
; d)
∫
+
−+
1
0
2
1
1
dx
x
xx
.
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a)
∫
−
+
+
3
2
)
1
2
1
1
( dx
xx
; b)
∫
−
+−
1
1
)3)(2(
2
dx
xx
; c)
∫
−
−+
0
1
2
32xx
dx
.
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a)
dx
x
xxx
∫
−+
4
1
3
22
2
; b)
dx
xx
∫
−+
1
0
)2)(1(
1
; c)
dx
xx
dx
∫
−
4
2
)1(
;
d)
∫
−
−+
0
2
2
32
4
dx
xx
; e)
∫
+−
1
0
2
65xx
xdx
; f)
∫
+−
+
5
4
2
34
13
dx
xx
x
;
g)
dx
xx
∫
−+
3
2
2
32
2
; h)
∫
−
+−−
−
0
1
2
2
1
dx
xx
x
; i)
dx
xx
∫
++−
4
2
2
23
2
;
j)
5
3
1
( 2)( 1)
dx
x x
− +
∫
; k)
∫
−−
1
0
2
32xx
dx
; l)
∫
+−
1
0
2
65xx
xdx
.
Bài 4: Tính các tích phân sau:
a) I =
∫
−
−
0
1
3
)1(
1
dx
x
; b) J =
∫
−
++
0
1
24
12
dx
xx
x
; c) K =
∫
++
2
1
2
12
1
dx
xx
;
d) L =
∫
+−
1
0
2
22xx
dx
; e) M =
∫
++
1
0
2
2xx
dx
; f) N =
1
2
0
4 2
1
x
dx
x x
+
+ +
∫
.
b) Hàm số vô tỷ và hàm số mũ:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)
∫
−
2
0
2
4 xdxx
; b)
∫
+
1
0
2
.1. dxxx
; c)
dxxx
∫
−
2
0
2
3
3
.8
;
d)
2
2
1
3x x dx+
∫
; e)
1
3
0
1x xdx−
∫
; f)
∫
−
1
0
2
1 dxx
;
Tài liệu lưu hành nội bộ
14
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
g)
∫
+
32
2
2
4 x
dx
; h)
∫
−
1
0
2
4 x
dx
; i)
∫
−
1
0
22
1 dxxx
;
j)
dxxx
∫
−
1
0
3
1
; k)
dxxx
∫
−
1
0
8
2
1
; l)
∫
+
3
0
2
3
1x
dxx
.
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a)
∫
+
1
0
2
x
x
e
dxe
; b)
2
1
1
x
x
e
dx
e −
∫
; c)
∫
+
2ln
0
3
1
dx
e
e
x
x
; d)
∫
1
0
dxe
x
.
c) Hàm số lượng giác:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)
∫
−
2
2
7sin2sin
π
π
xdxx
b)
∫
−
2
2
3cos.5cos
π
π
xdxx
; c)
∫
π
0
3cossin xdxx
;
d)
∫
−
4
6
2
)cot(tan
π
π
dxxx
; e)
∫
−
2
0
44
)sin(cos2cos
π
dxxxx
; e)
∫
2
3
3
sin
cos
π
π
dx
x
x
.
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a)
∫
2
0
22
cossin
π
xdxx
; b)
dxxx
∫
+
6
0
cos.sin41
π
; c)
/2
4
0
cos
(1 sin )
x
dx
x
π
+
∫
;
d)
2
0
(2sin 3)cosx xdx
π
+
∫
; e)
2
4
2
0
5 tan
cos
x
dx
x
π
+
∫
.
d) Hàm số chứa giá trò tuyệt đối:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)
∫
−
−
+
1
3
2x
dx; b)
∫
−
2
0
2
dxxx
; c)
∫
−−
3
0
2
2 dxxx
; d)
∫
−
1
0
2
dxxx
.
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a)
dxxx
∫
−
−
2
2
)2(
; b)
∫
+
++
2
0
2
1
34
dx
x
xx
.
e) Hàm số có dạng tích của hai hàm số:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
Tài liệu lưu hành nội bộ
15
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
a)
2
2
1
x
xe dx
∫
; b)
∫
−
1
0
2
xdxe
x
; c)
∫
−
2ln
0
dxxe
x
; d)
∫
1
0
2
2
xdxe
x
;
e)
1
1
( 3)
x
x e dx
−
+
∫
; f)
∫
1
0
dxxe
x
; g)
dxxe
x
∫
−
1
0
12
.
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a)
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
; b)
∫
+
e
x
dxx
1
)ln3(
; c)
2
1
1 3ln
ln
e
x
xdx
x
+
∫
;
d)
dxxx
e
∫
1
2
ln
; e)
∫
2
2
.ln
e
e
x
dxx
; f)
∫
e
xdx
1
2
ln
;
g)
∫
2
ln
e
e
dx
x
x
; h)
2
1
2ln
e
x
dx
x
∫
; i)
2
3
1
ln x
dx
x
∫
.
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a)
∫
2
0
sin
π
xdxx
; b)
∫
−
2
0
cos)12(
π
xdxx
; c)
∫
4
0
2
cos
π
x
xdx
;
d)
2
0
.cos .sinx x xdx
π
∫
; e)
∫
2
0
2
sin
π
xdxx
; f)
∫
+−
2
0
2
sin)32(
π
xdxxx
;
g)
∫
+
π
0
cos
sin)( xdxxe
x
; h)
∫
2
0
2cos
2sin
π
xe
x
; i)
2
0
sin
x
e xdx
π
∫
.
II. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN:
1. Diện tích hình phẳng:
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
2
– 1; y = 0; x = 0; x = 2.
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số y = 2 – x
2
và y = x.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x
2
+ 4x và trục hoành.
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (P): y = – x
2
và y = – x – 2 .
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = 5x
4
– 3x
2
– 8, trục Ox trên [1; 3].
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = x
3
– 1 và tiếp tuyến với đồ thò
hàm số y = x
3
– 1 tại điểm M(-1 ;-2).
Tài liệu lưu hành nội bộ
16
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a) y = sinx và trục hoành trên đoạn
2
;
2
[
ππ
−
]; b) y = sin
2
x (0
π
≤≤ x
) và trục Ox;
c) y = x
3
, y = 0, x = -1, x = 2; d) y = x
2
+1, y = 3;
e) y = x
2
+ 2, y = 3x; f) y = 4x – x
2
, y = 0.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 - x
2
và đường thẳng y = - x.
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) x = -1, x = 3, y = 0, y = x
4
+ 2x
2
+ 3; b) y = x
2
- 2; y = -3x + 2;
c) y = x
2
- 12x + 36; y = 6x - x
2
; d) y = x
3
, trục hoành, x = -1, x = 2.
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Oy, Ox và đồ thò của hàm số y =
1x
1x2
+
+
.
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x
2
- 2x + 4, y - 4 = x; b) y = 2x
3
- x
2
- 8x + 1, y = 6;c) y =
1
2
+x
, y = 2 - x.
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) Trục Ox, trục Oy, y = x
3
- 3x + 1, x = -1; b) y = cosx, trục Ox, trục Oy, x = 2π.
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = 2
x
, y = 2, x = 3; b) y = xlnx, y = 0;
c) y = x; y = x + sin
2
x (0 ≤ x ≤ π); d) y =
x
e
2
1
−
, y = e
-x
, x = 1.
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = e
x
, y = 2, x = 1; b) y = lnx, y = 0, x =
e
1
, x = e; c) y = tanx, y = 0, x = 0, x =
4
π
;
d) y =
2
2
x
, y =
2
1
1
x+
; e) y =
1x
xx
2
+
+−
, trục hoành; f) y =
2x
12x10x2
2
+
−−
, y = 0;
g) y =
x
, x + y - 2 = 0; h) y = -
2
4 x
−
, x
2
+ 3y = 0; i) y
2
= 2x + 1, y = x - 1.
Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x
3
, x + y = 2, y = 0; b) y = x, y = 0, y = 4 - x; c) y = x
3
, y = x + 6, y = -x + 2.
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x
3
- 1 và tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 1 tại điểm (-1; -2);
b) Parabol (P): y = -x
2
+ 6x - 8, tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và trục tung;
c) y = x
3
- 3x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ x = -
2
1
.
2. Thể tích vật thể tròn xoay:
Tài liệu lưu hành nội bộ
17
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x
2
và y = 0. Tính thể tích vật thể
tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.,
Ví dụ 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x
2
và y = x
3
. Tính thể tích vật thể
tròn xoay tạo bởi hình phẳng trên khi quay quanh Ox.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tính thể tích các hình tròn xoay sinh bởi các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây
khi quay quanh trục Ox:
a) (P): y
2
= 8x và x = 2; b) y = x
2
và y = 3x; c) y =
sin
2
x
; y = 0; x = 0; x =
4
π
.
Bài 2: Cho hình phẳng giới hạn bới các đường y = x.e
x
, x = 2 và y = 0. Tính thể tích
vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng đó khi quay quanh trục Ox.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và parabol y = x(4 - x)
ki quay quanh trục hoành.
Bài 2: Tính thể tích các khối vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và
các đường sau đây khi quay quanh trục Ox:
a) y = -x
2
+ 1, y = 0; b) y =
2
sin
x
, y = 0, x = 0, x =
4
π
; c) y = lnx, y= 0, y = e.
Bài 3: Tính thể tích các khối vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và
các đường sau đây khi quay quanh trục Ox:
a) y = x
3
+ 1, x = 0, x = 1; b) y =
x
4
, x = 1, x = 4; c) y = lnx, x = 1, x = 2;
d) y =
2
1
2
xe
x
, x = 1, x = 2; e) y = xlnx, x = 1, x = e; f) y =
3
1
x
3
- x
2
, x = 0, x = 3.
Bài 4: Tính thể tích các khối vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
đây khi quay quanh trục Ox:
a) y = xe
x
, x = 2 và y = 0; b) y = -3x
2
+ 3x , y = 0; c) y = 5x - x
2
, y = 0.
Bài 5: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh
trục Ox:
a) y = cosx, y = 0, x = 0, x =
4
π
; b) y = 0; y = 2x – x
2
; c) y = 2x
2
, y = x
3
;
d) y = sin
2
x, y = 0, x = 0, x = 1; e) y = 2 – x
2
, y = x.
Tài liệu lưu hành nội bộ
18
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
* SỐ PHỨC *
* CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC *
1) Đònh nghóa:
• Số phức có dạng z = a + bi (a, b ∈ R) với a là phần thực, b là phần ảo.
•
1
2
−=
i
•
2
1
z
z
z
=
•
22
. baibaz
+=+=
; •
ibazibaz
−=⇒+=
•
22
bazz
+==
•
=
=
⇔+=+
db
ca
idciba
2) Các phép toán:
Cho hai số phức z
1
= a
1
+ b
1
i, z
2
= a
2
+ b
2
i
• z
1
+ z
2
= (a
1
+ a
2
) + (b
1
+ b
2
)i • z
1
- z
2
= (a
1
- a
2
) + (b
1
- b
2
)i
• z
1
.z
2
= (a
1
a
2
- b
1
b
2
) + (a
1
b
2
+ a
2
b
1
)i (nhân như nhân hai đa thức với lưu ý i
2
= -1)
•
i
ba
baba
ba
bbaa
iba
iba
z
z
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
22
11
2
1
+
−
+
+
+
=
+
+
=
(nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu)
• Số thực âm r có hai căn bậc hai là ±i
r
.
3) Phương trình bậc hai với hệ số thực:
Giải phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (*) (a, b, c ∈ R, a ≠ 0) trên C.
Tính ∆ = b
2
+ 4ac
Nếu ∆ > 0 thì phương trình (*) có 2 nghiệm thực x
1,2
=
a
b
2
∆±−
.
Nếu ∆ = 0 thì phương trình (*) có 1 nghiệm thực x =
a
b
2
−
.
Nếu ∆ < 0 thì phương trình (*) có 2 nghiệm phức x
1,2
=
a
ib
2
∆±−
.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Hãy thực hiện các phép tính:
a) 5 + 2i - 3(-7 + 6i); b) (2 -
3
i)(
2
1
+
3
i); c) (1 +
2
i)
2
; d)
i
i
23
152
+
−
.
Bài 2: Xác đònh phần thực và phần ảo của các số phức sau đây:
a) z = (2 - 3i) + (-4 + i); b) z = 4i - (-7 + 3i); c) z = (0 - i) - (2 - 3i) + (7 + 8i);
d) z = (2 - 3i)(5 + 7i); e) z =
i
i
−
1
2
; f) z =
i
i
23
6
+
−
;
g) z = (7 - 3i)
2
- (2 - i)
2
; h) z = (3i + 1)
3
; i) z = (0 - i)(2 + 3i)(5 + 2i).
Bài 3: Tìm những số thực x và y thỏa mãn từng điều kiện:
a) x + 2i = 5 + yi; b) (x + 1) + 3(y - 1)i = 5 - 6i.
Bài 4: Cho số phức z = 4 - 3i. Tìm:
a) z
2
; b)
z
1
; c)
z
; d) z + z
2
+ z
3
.
Bài 5: Tìm căn bậc hai của các số -4 và -11 (trên tập só phức).
Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) x
2
+ x + 1 = 0; b) 3x
2
- x + 2 = 0; c)
023223
2
=+−
xx
;
Bài 7: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) x
4
- 5x
2
+ 4 = 0; b) x
4
- 3x
2
- 4 = 0; c) 2x
4
+ 3x
2
- 5 = 0.
Bài 8: Gọi z, z' là hai nghiệm của phương trình x
2
- 3x + 5 = 0. Tính giá trò các biểu thức:
Tài liệu lưu hành nội bộ
19
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
a) z + z'; b) z
2
z' + zz'
2
; c) z
2
+ z'
2
; d) z
3
+ z'
3
.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Hãy thực hiện các phép tính:
a) (2 - i) + (
3
1
- 2i) b) (2 - 3i) - (
i
4
5
3
2
−
); c) (2 - 3i)(3 + i) d) (3 + 4i)
2
;
e)
3
)3
2
1
( i
−
; f)
i
i
−
+
2
1
; g)
i
i
54
32
+
−
; h)
i
−
5
3
;
i)
)22)(4(
32
ii
i
−+
+
; j)
iii
2
1
)2
2
3
)(
3
1
3(
−+−−
; k)
)
5
4
3()
5
3
4
5
()
5
1
4
3
( iii
−−++−−+
.
Bài 2: Tìm z, biết:
a)
( )
4 5i z 2 i− = +
b)
( ) ( )
2
3 2i z i 3i
− + =
; c)
1 1
z 3 i 3 i
2 2
− = +
÷
;
d)
3 5i
2 4i
z
+
= −
; e)
i
i
z
i
i
+
+−
=
−
+
2
31
1
2
.
Bài 3. Tìm môđun của các số phức sau:
a) z = 1 + 4i + (1 - i)
2
; b) z = 4 – 3i + (1 – i)
3
.
Bài 4: Tính giá trò các biểu thức:
a) A =
22
)21()21( ii ++−
; b) B = z
2
+
2
)(z
với z = 1 +
3
i;
c) C = z.
z
với z = (1 - 2i)(2 + i)
2
; d) D = (2 +
5
i)
2
+ (2 -
5
i)
2
.
Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) x
2
- 4x + 7 = 0; b) x
2
- 2x + 5 = 0. c) x
2
- 2x + 2 = 0;
d) x
2
- x + 1 = 0; e) x
2
+ 3x + 3 = 0. f) x
2
- 6x + 29 = 0.
Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) z
2
+ 5 = 0; b) z
2
+ 2z + 2 = 0; c) z
2
+ 4z + 10 = 0;
d) z
2
- 5z + 9 = 0; e) -2z
2
+ 3z - 1 = 0; g) 3z
2
- 2z + 3 = 0.
Bài 7: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
4 2
12 0z z
− − =
; b)x
4
+ 2x
2
- 3 = 0
;
c)
3
8 0z
− =
; d) z
3
+ 1 = 0.
Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của z bằng 1; b) Phần ảo của z bằng -2;
c) Phần thực của z thuộc [-1; 2], phần ảo của z thuộc [0; 1]; d) |z| ≤ 2.
Tài liệu lưu hành nội bộ
20
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
* HÌNH HỌC KHÔNG GIAN *
Kiến thức cơ bản
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 60
0
. Xác đònh tâm và
bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABCD.
Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện tích của mặt cầu đi
qua 6 đỉnh của hình lăng trụ.
Bài 3: Một mặt cầu bán kính R đi qua 8 đỉnh của một hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính cạnh của
hình lập phương đó theo R.
Bài 4: Cho khối nón có chiều cao là 12, bán kính đáy là 5. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của khối nón
và hai đường sinh cắt đáy theo dây cung có độ dài là 13
2
. Cho biết độ dài các cạnh và diện tích thiết
diện tạo thành.
Bài 5: Cho một hình nón có đường cao bằng 12cm, bán kính đáy bằng 16cm. Tính diện tích xung
quanh của hình nón đó.
Bài 6: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAB bằng 30
0
. Tính diện tích xung quanh
của hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Bài 7: Cắt khối trụ bằng một mặt phẳng qua trục của khối trụ được một hình vuông cạnh a. Tính diện
tích xung quanh của khối trụ đó.
Bài 8: Một khối trụ có chiều cao bằng 12 và bán kính đáy bằng 5. Một mặt phẳng song song với trục
và cách trục một khoảng là 3 cắt khối trụ theo thiết diện là hình gì? Cho biết diện tích của thiết diện đó.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh là a.
Bài 2: Cho tứ diện SABC có SA = a, SB = b, SC = c và đôi một vuông góc. Xác đònh tâm và bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = 5. Đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B và BA = 3,
BC = 4. Xác đònh tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 4: Cặt khối trụ tròn xoay bằng một mặt phẳng qua trục của khối trụ đó ta được một hình vuông
cạnh a. Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó.
Bài 5: Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông là AB = 3, AC = 4, quay quanh đường thẳng
chứa cạnh BC được hình tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hình tròn xoay đó.
Bài 6: Đường cao của một khối tròn xoay bằng 20cm, bán kính đáy r = 25cm. Một mặt phẳng (P) đi
qua đỉnh và cắt khối nón theo một thiết diện là một tam giác, biết rằng khoảng cách từ tâm của đáy đến
thiết diện đó là 12cm. Tính diện tích thiết diện.
Bài 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy một góc ϕ.
Xác đònh tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Tài liệu lưu hành nội bộ
21
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
60
0
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho và tính thể tích khối cầu tương ứng.
Bài 9: Một hình trụ có bán kính đáy là R và đường cao là R
3
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
Bài 10: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.
Bài 11: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, chiều cao h = a
3
. Tính diện tích
mặt trụ nội tiếp trong lăng trụ.
* Một số bài toán trong các đề thi:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,
cạnh bên SB bằng a
3
.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông
góc với đáy và SA = AC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm
của cạnh BC.
a) Chứng minh SA vuông góc với BC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông
góc với đáy và SA = AC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 6*: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' =
a
2
. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Tài liệu lưu hành nội bộ
22
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
* PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN *
1. Tọa độ vectơ, tọa độ điểm trong không gian:
ª Tọa độ vectơ:
kzjyixv
++=
⇔
v
= (x; y; z)
ª Đối với hệ tọa độ Oxyz, nếu
);;( zyxv
=
,
)';';'(' zyxv
=
thì:
'vv
±
= (x ± x'; y ± y'; z ± z') k
v
= (kx; ky; kz)
'.vv
= xx' + yy' +
zz'
222
zyxv ++=
v
cùng phương
⇔
'v
k
∃
∈R:
'vkv
=
0'.'
=⇔⊥
vvvv
=
=
=
⇔=
'
'
'
'
zz
yy
xx
vv
u
=
]',[ vv
= (
''
;
''
;
'' yx
yx
xz
xz
zy
zy
)
ª Tọa độ điểm M: M(x; y; z) ⇔
);;( zyxOM
=
⇔
kzjyixOM
++=
.
ª Đối với hệ tọa độ Oxyz, cho A(x
A
; y
A
; z
A
) và B(x
B
; y
B
; z
B
), ta có:
ABABAB
zzyyxxAB
−−−=
;;(
) AB =
222
)()()(
ABABAB
zzyyxx
−+−+−
Trung điểm của AB là I(
2
;
2
;
2
BABABA
zzyyxx
+++
).
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho ba vectơ
a
=(1; -2; 4),
b
=(-5; 2; 3),
c
=(-1; 1; 2)
a) Tính tọa độ vectơ
cbad
−+= 32
; b) Tính tích vô hướng của hai vectơ
ba
,
;
c) Tính
a
; b) Tính tích có hướng của hai vectơ
ba
,
.
Bài 2: Cho các điểm A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-2; 3; 3).
a) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Tính chu vi tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ của điểm M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM.
c) Chứng minh O, A, B, C là 4 đỉnh của một tứ diện. Tìm tọa độ trọng tâm tứ diện đó.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho ba vectơ
)3;5;2(
−=
a
,
)1;2;0(
−=
b
,
)2;7;1(
=
c
.
a) Tính tọa độ của vectơ
cbad
3
3
1
4
+−=
; b) Tính tọa độ của vectơ
cbae
24
−−=
.
Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(1; 0;1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tính tọa độ các
đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài 3: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(-2; 1; -2).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó. Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường
cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Bài 4: Cho các vectơ
)2;0;1(
−=
a
,
)1;2;1( −=b
,
)2;3;0(
−=
c
. Tìm tọa độ của vectơ
u
biết:
a)
0232
=−−+
ucba
; b)
buau
⊥⊥
,
và
u
=
21
.
Bài 5: Cho các điểm A(2; 1; -2), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và D ∈ Oy.
a) Tính diện tích ∆ABC;
b) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của ∆ABC;
c) Tìm tọa độ của điểm D để tứ diện ABCD có thể tích bằng 5;
d) Tính góc giữa hai đường thẳng OA và BC.
Bài 6: Cho
a
= (0; 1; 2),
b
= (1; 2; 3),
c
= (1; 3; 0),
d
= (2; 5; 8)
Tài liệu lưu hành nội bộ
23
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
a) Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ
cba
,,
không đồng phẳng.
b) Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ
dba
,,
đồng phẳng, hãy phân tích vectơ
d
theo hai vectơ
ba
,
.
c) Phân tích vectơ
u
= (2; 4; 11) theo ba vectơ
cba
,,
.
2. Mặt cầu:
ª Mặt cầu (S):
Rkínhbán
cbaItâm );;(
có phương trình: (x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z - c)
2
= R
2
.
ª Ngược lại, phương trình x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 thỏa điều kiện A
2
+ B
2
+ C
2
- D > 0 là
phương trình mặt cầu tâm I(-A; -B; -C), bán kính R =
DCBA
−++
222
.
ª Mặt cầu (S) tâm I, bán kính R tiếp xúc mp(
α
) ⇔ d(I,(
α
)) = R.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Xác đònh tọa độ tâm và bán kính mỗi mặt cầu có phương trình sau đây:
a) x
2
+ y
2
+ z
2
- 8x - 2y + 1 = 0; b) x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x + 8y - 2z - 4 = 0.
Bài 2: Hãy viết phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm I(1; -2; 3) và đi qua điểm M(3; 2; 4);
b) Có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1; 2; -3), B(-2; 3; 5);
c) Đi qua bốn điểm O, A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1).
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm tọa độ tâm và bán kính mỗi mặt cầu có phương trình sau đây:
a) 3x
2
+ 3y
2
+ 3z
2
+ 6x – 9y + 12z – 4 = 0; b) 9x
2
+ 9y
2
+ 9z
2
- 6x + 18y + 1 = 0.
Bài 2: Hãy viết phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1);
b) Đi qua ba điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4) và có tâm nằm trên mp(Oyz);
c) Có tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc mp(Oyz).
Bài 3: Cho mặt cầu (S) có phương trình x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 4z = 0.
a) Xác đònh tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu (S);
b) Xác đònh tọa độ giao điểm của (S) với các trục tọa độ.
Bài 4: Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a) (S) có tâm thuộc Oz và đi qua 2 điểm C(0; 1; 2), D(1; 0; -1);
b) (S) có tâm I(0; 4; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (α): 2x + y – 2z + 8 = 0;
c) (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(3; 2; 6), B(3; -1; 0), C(0; -7; 3), D(-2; 1; -1).
3. Mặt phẳng:
ª Mặt phẳng (α):
= );;(
);;(
0000
CBAnVTPTcó
zyxMquađi
có phương trình: A(x - x
0
) + B(y - y
0
) + C(z - z
0
) = 0
ª Nếu mp(α) song song hoặc chứa giá của hai vectơ
ba
,
thì mp(α) có một VTPT là
],[ ban
=
.
ª Khoảng cách từ M(x
0
; y
0
; z
0
) đến mp(α): Ax + By + Cz + D = 0: d(M,(α)) =
222
000
CBA
DCzByAx
++
+++
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6).
Bài 2: Viết phương trình mp(α) đi qua A(1; 0; 5) và song song với (Q): 2x - y + z - 17 = 0.
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(3; 1; -1), B(2; -1; 4) và vuông góc với mp(β) có
phương trình 2x - y + 3z - 1 = 0.
Bài 4: Viết phương trình mp(α) chứa trục Ox và đi qua M(1; 2; 1).
Tài liệu lưu hành nội bộ
24
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
Bài 5: Viết phương trình mp(α) qua N(3; 2; -1) và song song với mặt phẳng (Oxz).
Bài 4: Xét vò trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây:
a) (α
1
): 3x - 2y - 3z + 5 = 0, (β
1
): 9x - 6y - 9z - 5 = 0;
b) (α
2
): x - 2y + z + 3 = 0, (β
2
): x - 2y - z + 3 = 0;
c) (α
3
): x - y + 2z - 4 = 0, (β
3
): 10x - 10y + 20z - 40 = 0.
Bài 5: Tính khoảng cách từ điểm A(3; -4; 5) đến mặt phẳng x + 5y - z + 7 = 0.
Bài 6: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α): 3x - y + 4z + 2 = 0, (β): 3x - y + 4z + 8 = 0.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
a) (α) đi qua M(3; 2; -5) và vuông góc với trục Oz;
b) (α) là mặt trung trực của đoạn AB với A(3; -5; 4), B(1 ; 3; -2).
c) (α) đi qua hai điểm M(1; -1; 2), N(3; 1; 4) và song song với trục Oz;
d) (α) đi qua ba điểm A(1; 6; 2), B(5; 0; 4), C(4; 0; 6);
e) (α) đi qua hai điểm D(1; 0; 0), E(0; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng: x + y – z = 0;
f) (α) đi qua điểm I(3; -1; -5) và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt có
phương trình là: 3x –2y + 2z +5 = 0, 5x – 4y + 3z +1 = 0.
Bài 2: Cho điểm A(2; 3; 4). Hãy viết phương trình của mặt phẳng (γ) đi qua các hình chiếu của điểm
A trên các trục tọa độ.
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 3).
Bài 4: Cho A(-1; -2; 4), B(-4; -2; 0), C(3; -2; 1), D(1; 1; 1).
a) Lập phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng tỏ ABCD là tứ diện.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD và suy ra độ dài đường cao hạ từ D.
Bài 5: Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D và song song với mp(ABC).
b) Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua cạnh AD và song song cạnh BC.
Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng (α) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt
phẳng (β): 3x - 2y + 2z + 7 = 0, (γ): 5x - 4y + 3z + 1 = 0.
Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(1; 2; 3) và song song với Oy.
Bài 8: Cho A(2; -2; 0), B(4; 2; -2), Viết phương trình mp(P) vuông góc với AB và cách M(1; -1; 0) một
khoảng bằng 3.
Bài 9: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x – 2y + 4z + 5 = 0 tại M(4; 3; 0).
Bài 10: Lập phương trình mặt (α) tiếp xúc với mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
– 26x – 2y - 2z – 22 = 0, biết (α)
song song với (β): 3x – 2y + 6z + 14 = 0.
Bài 11: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với Oz, vuông góc mp(Q): x + y + z = 0 và tiếp xúc
với mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 2y - 4z - 3 = 0.
Bài 12: Cho (α): 4x + ay + 6z - 10 = 0, (β): bx - 12y - 12z + 4 = 0. Xác đònh a, b để (α) // (β) rồi tính
khoảng cách từ (α) đến (β).
4. Đường thẳng trong không gian:
Đường thẳng ∆:
= );;(
);;(
000
cbauVTCPcó
zyxMquađi
có phương trình
+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
(t ∈ R).
Nếu a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 thì ∆ có phương trình chính tắc:
c
zz
b
yy
a
xx
000
−
=
−
=
−
.
Bài tập rèn luyện:
Tài liệu lưu hành nội bộ
25
