Hình học sơ cấp: Phép nghịch đảo

Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
Khoa Toán – Tin



HÌNH HỌC SƠ CẤP

CHỦ ĐỀ:
PHÉP NGHỊCH
ĐẢO












___________________________
TP Hồ Chí Minh - tháng 11 năm 2010
LỚP TOÁN 4B
PHÉP NGHỊCH ĐẢO

GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Trang 2
DANH SÁCH NHÓM:
1. Đặng Minh Nhựt (Bài 1)
2. Lê Thị Hoài Thu (Bài 5)
3. Lê Hữu Phước (Bài 6)
4. Nguyễn Thị Tâm (Bài 8)
5. Trần Tâm (Bài 3)
6. Cao Thị như Thảo (Bài 2)
7. Nguyễn Thị Thảo (Bài 7)
8. Bùi Minh Nghĩa (Bài 4)
9. Nguyễn Thị Kim Ngân (Bài 10+Bài 4 LT)
10. Trịnh Thị Kim Ngân (Bài 13+Bài 3LT)
11. Nguyễn Thị Việt Nhân (Bài 14+Bài 5LT)
12. Huỳnh Thị Nhẫn (Bài 9 + Bài 7LT)
13. Đặng Nhi Thảo (Bài 12+Bài 6LT)
14. Nguyễn Thị Hoàng Yến(Bài 11+Bài 2LT)
15. Thạch Oanh Ni (Bài 15+Bài 1LT)
16. Nguyễn Hoàng Tuyết Nhung (Bài 16)
17. Lê Hoàng Thanh Trúc (Bài 17)
18. Huỳnh Thị Mỹ Hạnh (Bài 18)
19. Bùi Thị Hồng Cẩm (Bài 19)
20. Nguyễn Minh Tú (Bài 20)
21. Hồ Xuân Quân (Bài 21)
22. Mai Thị Xuyến (Bài 22)
23. Phan Lê Văn Thắng (Bài 23)
24. Mai Xuân Vinh (Bài 24)
25. Nguyễn Thanh Toàn (Bài 25)

LỚP TOÁN 4B
PHÉP NGHỊCH ĐẢO




GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Trang 3
Câu 1: Cho dây cung của đường tròn có là trung điểm. là điểm thuộc
, tiếp tuyến tại cắt tại Các tiếp tuyến tại cắt nhau tại . Xét phép
nghịch đảo cực , phương tích
a)
b) Các đường thẳng
c) đường thẳng , đường tròn đường kính .
Giải:
a).b). Qua : (do
P
).





c).  Gọi

Qua :

LỚP TOÁN 4B
PHÉP NGHỊCH ĐẢO




GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Trang 4
 Ta có: vuông góc với tại (do tính chất đường kính, dây cung)

Xét vuông tại :
Từ đó qua :
.
BÀI 2: Cho (O) và điểm S nằm ngoài (O). Hai cát tuyến lưu động của S lần lượt cẳt
(O) tại A,A’ và B, B’. Gọi M giao điểm thứ hai của (SAB’) và (SBA’). Tìm quỹ tích
điểm M
Giải:

/( )
'
''
' ' '
( ) ( )
'
'
( ')
()
K
S S O
N K P

OO
AA
BB
SAB A B
SAB AB
M M AB AB

'
()
lh
O
SM
(cách dựng cát tuyến)
S
M

()
S
KS
MN
(đường tròn). 
LỚP TOÁN 4B
PHÉP NGHỊCH ĐẢO




GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Trang 5
Câu 3: Cho đường tròn (O) và điểm S nằm ngoài (O), AB là đường kính thay đổi.

a) Chứng minh rằng đường tròn (SAB) đi qua điểm cố định khác S.
b) SA, SB lần lượt cắt (O) tại M, N. Chứng minh rằng MN đi qua điểm cố định.
Giải:
a) Ta có:
2
OS. .OI OAOB R

I là điểm cố định cần tìm.

b) ,
P
.
( ) ( )OO


MA


NB

()MN SAB

( ) ( )
K
S
I SAB J N I MN
.

LỚP TOÁN 4B
PHÉP NGHỊCH ĐẢO




GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Trang 6
Bài 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài tại A. M
là điểm nằn trên tiếp tuyến chung của (O) và (O'). Chứng minh rằng có hai đường tròn
qua M và tiếp xúc với (O) và (O’). Hãy tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của hai đường
tròn này.
Giải:

Gọi d
1
, d
2
là các tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (M
Giả sử đường tròn cần dựng là (C
1
), là đường tròn qua M và tiếp xúc với (O) và (O’).
Xét N
(M,k)
, với k=MA
2

(O)

(O’) (O’)
D
1
(C
1
)
Do (C
1
) tiếp xúc với (O) và (O’) nên d
1
tiếp xúc với (O) và (O’) và
1
Md

Từ đó suy ra d
1
là tiếp tuyến chung của (O) và (O’),
1
Md

Do (O) và (O’) có 3 tiếp tuyến chung mà tiếp tuyến chung qua A và M là bất biến qua
N
(M,k)
nên hai tiếp tuyến chung còn lại sẽ biến thành hai đường tròn qua M qua
N
(M,k)

Vậy hai đường tròn (C
1
), (C

2
) qua M và tiếp xúc với (O), (O’) là ảnh của hai tiếp
tuyến chung d
1,
d
2
của (O),(O’).

Tìm quỹ tích giao điểm của (C
1
), (C
2
).
Gọi I là giao điểm của d
1,
d
2
.
Khi đó:
N
(M,k)

d
1
(C
1
)
d
2
(C

2
)


LỚP TOÁN 4B
PHÉP NGHỊCH ĐẢO




GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Trang 7
I J (giao điểm của IM và (C
1
))
Ta có: M, I, J thẳng hàng và MI.MJ=k
2
=MA
2

Suy ra J thuộc đường tròn (IA).

Bài 6: Cho (O) và hai đường thẳng Ox,Oy vuông góc với nhau .tiếp tuyến tại M thay
đổi trên (O) cắt Ox,Oy tại A ,B .Trục đẳng phương của (O) và (OAB) cắt Ox,Oy lần
lượt tại C,D. Tìm quỹ tích trung điểm I của CD.

Giải:
Vì tam giác ABC vuông nên (ABC) nhận AB làm đường kính ,khi đó N là trung điểm
của AB là tâm của (OAB).
Xét , trong đó k=OM

2
.
MO MO
(O) (O)
E E
F F
(OAB) EF
A C
LỚP TOÁN 4B
PHÉP NGHỊCH ĐẢO




GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Trang 8
B D
OA.OC=OM
2

OB.OD=OM
2

MC OA
MD OB
Suy ra: tứ giác MDOC là hình chữ nhật.
Gọi I là trung điểm của CD khi đó I cũng là trung điểm của MO
Vậy
;
2

R
IO
.
Bài 7: Dựng đường tròn qua hai điểm cho trước và tiếp xúc với đường tròn cho trước.
Ý tưởng: Thay vì dựng đường tròn đi qua hai điểm A,B cho trước và tiếp xúc với
đường tròn
O
cho trước. Ta dùng phép nghịch đảo biến đường tròn thành đường
thẳng d tiếp xúc với
O
,việc dựng hình sẽ dễ hơn. Do đó, ta chọn phép nghịch đảo
sao cho giữ lại
O
, còn biến thành d ; A,B nên chọn một trong hai điểm
này làm tâm , vậy ta chọn phép nghịch đảo
OA
PAN
/
,
.
Phân tích:
Xét phép nghịch đảo:
OA
PAN
/
,

OO

'

BB

d

tiếp xúc với
O
d tiếp xúc với
O

B

dB
'

Cách dựng:

. Dựng cát tuyến
'
ACC
với
O

. Dựng
'
BCC
cắt
AB
tại
'
B

. Dựng d là tiếp tuyến qua
'
B
của
O
,tiếp xúc với
O
tại M
. Dựng AM cắt
O
tại
'
M

LỚP TOÁN 4B
PHÉP NGHỊCH ĐẢO




GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Trang 9
Vậy
'
ABM
là đường tròn cần dựng.
Chứng minh:
Xét phép nghịch đảo:
OA

PAN
/
,

OO

MM
'
(
OA
AMAM
/
'
.
)
d
(
OA
ACACAMAMABAB
/
''''

)
'
BB

Do tính bảo toàn góc nên:
d tiếp xúc với
O
tại

M
tiếp xúc với
O
tại
'
M

Biện luận:
. Khi A,B
O
: Đường tròn chính là đường tròn
O
. Bài toán có một nghiệm
hình.
. Khi A
O
, B
O
hoặc A
O
, B
O
. Bài toán có vô số nghiệm hình.
. Khi A,B
O
: Có 2 đường tròn đó là đường tròn tiếp xúc trong
O
và đường
tròn tiếp xúc ngoài
O

. Bài toán có 2 nghiệm hình.
Bài 8: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d tiếp xúc nhau tại A .gọi ( ) là đường
tròn thay đổi tiếp xúc với (O) và d tại các điểm khác A.chứng minh ( ) trực giao với
đường tròn cố định.

Giải:





LỚP TOÁN 4B
PHÉP NGHỊCH ĐẢO




GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Trang 10

Chọn , trong đó k=AD
2
khi đó
O D
(O) d
1

d d
D tiếp xúc (O) d//d
1

(tính chất bảo toàn góc)
( ) ( )
( ) tiếp xúc với d và (O) ( ) tiếp xúc với d,d
1

Vẽ vuông góc với AD,ta có:
( ) ( ) .
Vì cố định nên ( ) cố định.
Vậy ( ) trực giao với đường tròn cố định.

Chứng minh:
Gọi R’ là bán kính của (O’).
Xét phép nghịch đảo
'
k
O
N
với
2
'
'
R
O
kN

Suy ra (O’) bất biến.
Vì
( ) ( ')O
nên
2

/( )
'
O
Rk

Do đó:
( ) bất biến qua phép nghịch đảo
'
k
O
N
.
Giả sử
'
'
2
( ) ( '')
R
O
N
OO

Do (O) cố định nên (O’’) cố định.
Ta cần chứng minh
( ) ( '')OO
.
Thật vậy, giả sử (O) bất biến. Khi đó với
()M O
và
2

'
'
' ( )
R
O
M N M
thì
(' )M O
(*).
Mặt khác:
2
O'M.O'M'=R'
và
''O M R

Suy ra: O’M’<R’ tức là M’ nằm trong (O’) hay M’ nằm ngoài (O) (vì (O) và (O’) ngoài nhau).
Suy ra
' ( )MO
: mâu thuẫn với (*). Vậy ( ) luôn tiếp xúc đường tròn cố định thứ hai khác .
Bài 9: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ngoài nhau. ( ) là đường tròn thay đổi tiếp xúc (O)
và trực giao (O’). Chứng minh rằng: ( ) tiếp xúc đường tròn cố định thứ hai khác (O).