áp dụng hình học sơ cấp giải các bài toán nâng cao

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học với tư cách là một môn khoa học tự nhiên nghiên cứu một số mặt của thế giới
hiện thực, có hệ thống kiến thức cơ bản và phương pháp nhận thức cơ bản, cần thiết cho
đời sống, cho hoạt động lao động. Đó cũng là công cụ cần thiết cho việc học các môn
khoa học khác, tiếp tục nhận thức, khám phá thế giới xung quanh và để hoạt động có hiệu
quả hơn trong thực tiễn. Chính vì thế mà nhà toán học vĩ đại người Pháp Ganxơ đã cho
rằng “Toán học là Ông hoàng của mọi ngành khoa học”.
Một học sinh giỏi môn toán, chắc chắn khi học các môn học khác các em sẽ có
những tư duy, lập luận chặt chẽ, lôgic, ngôn ngữ các em sử dụng chính xác hơn, nó sẽ tạo
điều kiện hỗ trợ cho các em học tốt các môn học khác. Trong môn toán tiểu học, nội dung
và phương pháp dạy các yếu tố hình học ngày càng được quan tâm. Hình học là một bộ
phận được gắn bó mật thiết với các kiến thức về số học, đại số, đo lường và giải toán có
lời văn. Từ đó tạo thành bộ tạo thành bộ môn Toán thống nhất. Trong chương trình toán
tiểu học, các yếu tố hình học được sắp xếp từ dễ đến khó, từ trực quan cụ thể đến tư duy
trừu tượng, rồi đến khái quát vấn đề và đặc biệt chú trọng đến vấn đề bồi dưỡng năng lực
tư duy cho học sinh tiểu học. Xuất phát từ mục tiêu dạy học Toán ở Tiểu học đã xác định
rõ: “…Góp phần bước đầu phát triển tư duy và khả năng suy luận hợp lí và diễn đạt đúng
cách phát hiện và giải quyết các vấn đề đơn giản cần thiết trong cuộc sống, kích thích trí
tưởng tượng…” Từ lâu giải Toán hình học đã trở thành hoạt động trí tuệ sáng tạo và hấp
dẫn đối với nhiều học sinh, các thầy cô giáo.
Muốn giải được bài toán ngoài các vấn đề khách quan khác nhau, hai vấn đề then
chốt quan trọng cần đặt ra trong việc giải toán đó là: Nhận dạng được bài toán, lựa chọn
và sử dụng phương pháp giải thích hợp. Trong thực tế rất nhiều học sinh gặp khó khăn
khi tiến hành giải toán là do chưa nhận diện được dạng toán và chưa nắm được các
phương pháp giải. Do đó tôi chọn đề tài “Áp dụng hình học sơ cấp giải các bài toán
nâng cao” nhằm đi sâu nghiên cứu hai vấn đề then chốt đó, nhất là về phương pháp giải
toán nhằm giúp cho các em giải toán được tốt hơn. Trong thời gian nghiên cứ làm đề tài
do bận nhiều công việc và thời gian có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót, rất mong sự
góp ý của quý thầy cô giáo và bạn đọc để đề tài này ngày một hoàn thiện hơn. Xin chân
thành cảm ơn!

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nội dung hình học trong chương trình Toán tiểu học hiện hành
Nghiên cứu các bài toán nâng cao áp dụng hình học sơ cấp
Tìm hiểu các dạng toán cơ bản áp dụng hình hình học sơ cấp đồng thời đưa ra phương
pháp giải hợp lí.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán nâng cao áp dụng hình hình học sơ cấp
Phạm vi nghiên cứu: Chương trình Toán tiểu học hiện hành và một số đề thi học sinh giỏi
các tỉnh, thành phố.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: thu thập, tìm hiểu các tài liệu liên quan đến nội dung
các bài toán áp dụng hình học sơ cấp trong chương trình Toán tiểu học từ đó tiến hành
phân tích làm rõ vấn đề.
- Phương pháp tư duy toán học logic: sử dụng cách lập luận suy luận logic hợp lí để giải
các bài toán nâng cao có liên quan.
PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN ĐỀ TÀI
1.1 Nội dung và mục tiêu dạy học phần hình học sơ cấp trong chương trình Toán
Tiểu học
LỚ
P
NỘI DUNG MỤC TIÊU
1 - Hình vuông, hình tròn
- Hình tam giác
- Điểm. Đoạn thẳng
- Điểm ở trong, điểm ở ngoài
một hình.
- Nhận biết bước đầu các hình: Hình
vuông, hình tròn, hình tam giác
bao gồm:

+ Nhận ra hình vuông, hình tam
giác, hình tròn ở những vị trí khác
nhau.
+ Tham gia các hoạt động xếp,
ghép hình
- Nhận biết bước đầu về điểm, đoạn
thẳng
- Biết nối hai điểm để có đoạn thẳng
- Nhận biết bước đầu về điểm ở
trong, điểm ở ngoài một hình
- Biết vẽ đoạn thẳng có độ dài
không quá 10cm
2 - Đường thẳng, ba điểm thẳng
hàng
- Đường gấp khúc, độ dài đường
gấp khúc
- Hình chữ nhật, hình tứ giác. Vẽ
trên giấy ô vuông
- Khái niệm ban đầu về chu vi
của một số hình đơn giản. Tính
chu vi hình tam giác, hình tứ
giác.
- Nhận dạng và gọi đúng tên hình
chữ nhật, hình tứ giác (chưa yêu
cầu nhận ra hình chữ nhật là hình
tứ giác, hình vuông là hình chữ
nhật), đường thẳng, đường gấp
khúc.
- Biết tính độ dài đường gấp khúc
khi cho sẵn độ dài mỗi đoạn thẳng

của nó, tính chu vi hình tam giác,
hình tứ giác khi cho sẵn độ dài mỗi
cạnh của nó.
3 - Góc vuông, góc không vuông.
Giới thiệu ê ke. Vẽ góc bằng
thước thẳng và ê ke.
- Nhận biết một số đặc điểm của
một số hình: góc vuông, góc không
vuông, hình chữ nhật, hình vuông,
- Giới thiệu đỉnh, góc, cạnh của
hình đã học; giới thiệu một số
đặc điểm của hình chữ nhật,
hình vuông
- Chu vi hình chữ nhật, hình
vuông
- Giới thiệu compa. Tâm, bán
kính và đường kính của hình
tròn. Vẽ hình tròn bằng compa
- Diện tích hình chữ nhật và diện
tích hình vuông
hình tròn (có tâm, bán kính, đường
kính)
- Biết tính chu vi diện tích hình chữ
nhật, hình vuông
- Thực hành xác định tính chất hình
học mỗi hình bằng ê ke, compa.
4 - Góc nhọn, góc tù, góc bẹt
- Hai đường thẳng vuông góc,
song song
- Vẽ hai đường thẳng vuông góc,

song song
- Thực hành vẽ hình chữ nhật,
hình vuông
- Hình bình hành, chu vi diện
tích hình bình hành
- Hình thoi, chu vi diện tích hình
thoi
- Nhận biết: góc nhọn, góc tù, góc
bẹt; hai đường thẳng vuông góc,
hai đường thẳng song song.
- Biết vẽ: đường cao của hình tam
giác; hai đường thẳng vuông góc,
hai đường thẳng song song, hình
chữ nhật, hình vuông khi biết độ
dài các cạnh.
- Biết tính chu vi, diện tích của hình
bình hành, hình thoi
5 - Hình tam giác, diện tích hình
tam giác
- Hình thang, diện tích hình
thang
- Hình tròn, đường tròn.
- Chu vi, diện tích hình tròn
- Hình hộp chữ nhật, hình lập
phương
- Diện tích xung quanh và diện
tích toàn phần của hình hộp
chữ nhật, hình lập phương
- Thể tích của một hình
- Thể tích của hình hộp chữ nhật,

hình lập phương
- Giới thiệu hình trụ, hình cầu
- Nhận biết được hình thang, hình
hộp chữ nhật, hình lập phương,
hình trụ, hình cầu và một số dạng
của hình tam giác
- Biết tính chu vi, diện tích hình tam
giác, hình thang, hình tròn
- Biết tính diện tích xung quanh,
diện tích toàn phần, thể tích hình
hộp chữ nhật, hình lập phương
1.2 Các dạng toán hình học của chương trình Toán Tiểu học
1.2.1 Dạng toán nhận dạng các hình hình học
Nội dung:
Cho các hình hình học cùng với các điều kiện nào đấy (có thể cho bằng hình vẽ hoặc
bằng đồ vật), yêu cầu học sinh:
- Tô màu hoặc chỉ ra một loại hình hình học nào đó.
- Đếm số các hình hình học nào đó được tạo thành.
- Gọi tên các hình hình học nào đó.
Phương pháp giải:
Để giải các bài toán về nhận dạng các hình hình học, ta tiến hành các bước sau:
- Xác định yêu cầu của bài toán là nhận dạng các hình dựa vào hình dạng hay đặc
điểm của hình.
- Nhớ lại định nghĩa các hình liên quan tới bài toán và đặc điểm của các hình đó.
- Sử dụng một số phương pháp đếm thường sử dụng:
1. Đếm trực tiếp trên hình vẽ hoặc trên đồ vật.
2. Sử dụng sơ đồ để đếm rồi khái quát thành công thức tính số hình cần nhận
dạng.
3. Đánh số thứ tự các hình riêng lẻ dễ nhận biết.
4. Sử dụng phương pháp suy luận lôgic.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy 2 điểm bất kì E và F không trùng với hai
đỉnh B, C. Nối đỉnh A với các điểm E và F bằng các đoạn thẳng. Có bao nhiêu tam giác
được tạo thành?
Hướng dẫn:
Cách 1: Sử dụng sơ đồ
A
B
E
F
E
F
F
C
C
C

A
B
C
E
F
Từ sơ đồ trên suy ra số tam giác được tạo thành là:
3 + 2 + 1 = 6 (tam giác)
Cách 2: Phương pháp suy luận lôgic.
Ta nhận thấy đỉnh A nối với hai đầu mút của một đoạn thẳng bất kì trên BC bằng hai
đoạn thẳng ta sẽ được 1 tam giác. Do đó để xác định số tam giác được tạo thành ta chỉ
cần đếm số đoạn thẳng được tạo thành trên cạnh BC.
Số đoạn thẳng trên BC là:
3 + 2 + 1 = 6 (đoạn thẳng)
Vậy số tam giác được tạo thành là 6 (tam giác).

1.2.2 Dạng toán cắt, ghép hình.
Nội dung:
Cho trước một hoặc một số hình hình học. Học sinh cần cắt hình đã cho thành những
hình đã học, hoặc cắt hình đã cho thành những mảnh rời rồi ghép những mảnh rời đó
thành những hình đã học thỏa mãn yêu cầu nào đấy.
Phương pháp giải:
Bài toán cắt, ghép hình cũng là bài toán biến đổi hình dạng các hình hình học, đây là một
trong những bài toán khó ở bậc tiểu học. Để giải bài toán này, ta có thể tiến hành các
bước sau:
- Nhớ lại định nghĩa và một số tính chất của các hình hình học có liên quan.
- Xác định dữ kiện đã cho và yêu cầu cần thực hiện.
- Thiết lập mối quan hệ giữa dữ kiện đã cho và yêu cầu cần thực hiện.
- Xác định phương pháp cắt, ghép hình thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 1: Hãy cắt một hình chữ nhật có chiều dài 16cm, chiều rộng 9cm thành 2 mảnh sao
cho khi ghép lại ta được một hình vuông.
( Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1992 – 1993)
Hướng dẫn:
Bước 1: Theo bài toán, hình chữ nhật đã cho có diện tích:
16 x 9 = 144 (cm
2
)
Vì 144 = 12 x 12, nên hình vuông cần tìm có cạnh 12 cm.
Bước 2: Để có hình vuông cần tìm, ta cần giảm chiều dài hình chữ nhật 4cm và tăng
chiều rộng của hình chữ nhật 3cm.
Bước 3: Cắt hình chữ nhật đã cho ABCD dọc theo đường gấp khúc EFGHLM sao cho
BE = 12cm, các đoạn song song với chiều dài dài 4cm. (Hình 1)
Hình 1
Bước 4: Ghép 2
mảnh vừa cắt trên
thành hình vuông

Ví dụ 2:Một tấm
bìa hình thang có
đáy lớn dài gấp 3
lần đáy nhỏ. Hãy
cắt tấm bìa đó bằng hai nhát cắt thành 3 mảnh sao cho khi ghép lại được 2 hình tam giác
có diện tích bằng nhau
Hướng dẫn:
Bước 1:
Gọi S là diện tích, h là chiều cao của hình thang (Hình 2)
Diện tích của hình thang ABCD là:
S
ABCD
=
2
1
x h x (AB +DC)
Bước 2: Đặt DF =
3
1
DC, AE = ED (Hình 3) Ta có: DF = AB và ABFD là hình bình
hành. Hơn nữa:
S
BDA
= S
BDF
=
2
1
x h x DF =
2

1
x h (
2
1
x FC) =
4
1
x h x FC =
2
1
x S
BCF
B
L
H
G
F
A
D
C
E
M
S
BAE
= S
BDE
=
2
1
x S

BCF
h
3
2
1
E
A
B
D
C
F
Hình 2
Bước 3: Cắt hình thang thành 2 nhát cắt
- Nhát 1: Cắt dọc theo đoạn thẳng BE
- Nhát 2: Cắt dọc theo đoạn thẳng BF
Bước 4: Ghép mảnh 1 với mảnh 2 ta được 2 tam giác có diện tích bằng nhau
h
3
2
1
E
A
B
D
C
F
Hình 3
1.2.3 Dạng toán vẽ một nét liền
Nội dung:
Cho một hình vẽ gồm nhiều điểm và đoạn thẳng. Yêu cầu học sinh dùng bút vẽ một nét

liền đi qua tất cả các đoạn thẳng trên hình vẽ đúng một lần mà không nhấc bút lên.
Phương pháp giải:
Bài toán “Vẽ một nét liền” là một bài toán dạng trò chơi giải trí có tác dụng tốt đối với sự
phát triển trí tuệ và khả năng ứng xử thông minh, linh hoạt đối với học sinh tiểu học. Tuy
nhiên, chúng ta hạn chế bài toán chỉ liên quan đến những kiến thức đơn giản về lí thuyết
hữu hạn.
Để giải bài toán “Vẽ một nét liền” ta tiến hành các bước sau:
 Dựa vào nguyên tắc của “Hành trình Ơle”: Nếu trên đó xuất phát từ một điểm bất
kì đi theo chiều nào cũng được đi qua tất cả các cạnh và mỗi cạnh chỉ đi qua một
lần.
 Một đỉnh được gọi là chẵn, nếu số cạnh xuất phát hay tận cùng đỉnh đó là một số
chẵn. Một đỉnh được gọi là lẽ, nếu số cạnh xuất phát hay tận cùng đỉnh đó là một
số lẽ.
 Nếu một đồ thị liên thông có số đỉnh lẻ là 0 hoặc 2 thì đồ thị đó là một hành trình
Ơle: nếu đồ thị có số đỉnh lẻ là 0, thì xuất phát từ một điểm bất kì đều đi qua tất cả
các cạnh và mỗi cạnh chỉ đi qua một lần, rồi quay về điểm xuất phát; còn nếu đồ
thị có đỉnh lẻ là 2 thì phải xuất phát từ một trong hai đỉnh lẻ cũng đi qua tất cả các
cạnh và mỗi cạnh chỉ đi qua một lần, rồi quay về đỉnh lẻ còn lại.
 Quan sát hình vẽ và đếm số đỉnh lẻ, nếu trên hình vẽ không có đỉnh lẻ thì bao giờ
cũng vẽ được bằng một nét liền và điểm đầu, điểm cuối của nét vẽ trùng nhau.
 Nếu trên hình vẽ chỉ có hai đỉnh lẻ thì bao giờ cũng vẽ được bằng một nét liền,
nhưng phải xuất phát từ một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ còn lại.
 Nếu trên hình vẽ số đỉnh lẽ là số chẵn khác 2 thì không thể vẽ được bằng một nét
liền.Ví dụ 1: Hãy vẽ hình bên bằng một nét liền, không rời bút khỏi giấy và không
tô hai lần một đường.
A
B
C
E
D

Hình 4
Hướng dẫn:
 Bước 1: Quan sát hình vẽ và đếm được số đỉnh lẻ, ta thấy hình vẽ chỉ có 2 đỉnh lẻ
là A và B.
 Bước 2: Thực hành vẽ như sau:
Xuất phát từ một trong hai đỉnh lẻ, chẳng hạn đỉnh A, kết thúc nét vẽ tại đỉnh B.
Ví dụ 2: “Bài toán 7 chiếc cầu” (ở Kownibe) của Ơle.
A
B
C
D
Hình 5
Hướng dẫn: Quan sát hình vẽ và đếm số đỉnh lẻ, ta thấy hình vẽ có tới 4 đỉnh lẻ là A, B,
C, D. Do đó không thể vẽ hình 5 bằng một nét liền không rời bút khỏi tờ giấy và không tô
hai lần một đường. Từ đó suy ra, không thể bắt đầu bằng bất kì điểm nào để đi một vòng
theo chiều đó qua được cả 7 chiếc cầu và chỉ qua một lần sau đó trở về lại điểm xuất phát.
1.2.4 Dạng toán dùng đoạn thẳng xếp thành các hình hình học.
Nội dung: Cho một số đoạn thẳng. Yêu cầu xếp các đoạn thẳng đó thành những hình hình
học thỏa mãn những điều kiện nào đấy.
Phương pháp giải:
Để giải bài toán ta thực hiện như sau:
 Xếp rời: Chia số đoạn thẳng đã cho thành các nhóm (số nhóm bằng số hình cần
xếp), số đoạn thẳng trong mỗi nhóm bằng số tự nhiên chia hết cho số cạnh của
hình cần xếp. Bằng phương pháp xếp rời các hình xếp được có các cạnh hoàn toàn
khác nhau.
 Xếp giao: Chia số đoạn thẳng đã cho thành các nhóm (số nhóm ít hơn số hình cần
xếp), số đoạn thẳng trong mỗi nhóm bằng số tự nhiên chia hết cho số cạnh của
hình cần xếp. Sau đó chuyển dịch các hình vừa xếp được cho đến khi chúng giao
nhau và phần giao của chúng cũng tạo thành hình cần xếp. Bằng phương pháp xếp
giao một số hình trong số các hình xếp được phải mượn cạnh của hình khác.

 Xếp ghép: Chia số đoạn thẳng đã cho thành các nhóm (số nhóm bằng số hình cần
xếp), có ít nhất một nhóm có số đoạn thẳng bằng số tự nhiên chia hết cho số cạnh
của hình cần xếp. Bằng phương pháp xếp ghép một hình trong số các hình xếp
được phải mượn cạnh của hình khác.
 Kết hợp xếp giao và xếp ghép.
Ví dụ 1: Hãy xếp 6 que diêm thành 4 hình tam giác
Hướng dẫn:
Bước 1: Quan sát và nhận xét: Mỗi hình tam giác có 3 cạnh, tổng số que diêm tạo thành
cả 4 hình tam giác phải bằng 6.
Bước 2: Vì 6 = 3 + 3, nên chia 6 que diêm thành 2 nhóm, mỗi nhóm đều có 3 que diêm.
Theo bài toán, cần xếp 6 que thành 4 hình tam giác nên mỗi que là cạnh chung của hai
tam giác. Do đó ta áp dụng phương pháp xếp ghép.
Bước 3: Xếp hình (Hình 6)
Hình 6
Ví dụ 2: Cần ít nhất bao nhiêu điểm để có các đỉnh của 4 hình tam giác
(Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1983 – 1984)
Hướng dẫn:
Với 3 điểm ta chỉ vẽ được đúng một hình tam giác. Do đó để có các đỉnh của 4 hình tam
giác phải có ít nhất 4 điểm. Với 4 điểm A, B, C, D (mà không có điểm nào thẳng hàng) ta
vẽ được 4 hình tam giác. (Hình 7)
Vậy để có các đỉnh của 4 hình tam giác cần có ít nhất 4 điểm.
A
B
D
C
Hình 7
1.2.5 Dạng toán chia một hình hình học theo yêu cầu cho trước
Nội dung: Cho một hình hình học (có thể kèm theo một hay một số điều kiện). Chia hình
đó theo yêu cầu bài toán.
Phương pháp giải:

Để giải bài toán chia một hình hình học theo yêu cầu nào đấy ta tiến hành các bước sau:
- Giả sử hình hình học đã được chia theo yêu cầu bài toán.
- Quan sát và tìm mối liên hệ giữa các dữ kiện đã cho và điều cần tìm.
Ví dụ: Một sợi dây dài
3
1
1
m. Hãy cắt một đoạn dây 0,5m mà không dùng thước.
Hướng dẫn: Tỉ số giữa đoạn dây cần cắt và đoạn dây đã có là:
0,5 :
3
1
1
=
2
1
:
3
4
=
8
3
Từ đó suy ra cách cắt sợi dây như sau: Gấp đôi sợi dây rồi gấp đôi tiếp sợi dây vừa gấp,
lại gấp đôi tiếp sợi dây vừa gấp, lại gấp đôi sợi dây vưa gấp thêm lần nữa. Bằng cách đó,
sợi dây được chia thành 8 phần bằng nhau. Lấy ra 3 phần từ phía đầu sợi dây, thì đoạn
dây đó dài 0,5 m.
1.2.6 Dạng toán tính chu vi và diện tích các hình
Nội dung: Bài toán cho trước dữ kiện yêu cầu vận dụng công thức tính chu vi và diện tích
thích hợp
Phương pháp giải:

- Nắm chắc công thức tính chu vi và diện tích các hình.
- Tìm mối liên hệ giữa các dữ kiện và yêu cầu bài toán
Ví dụ 1: Nhà em có một thửa ruộng hình thang vuông: đáy lớn 60 m, đáy bé 30 m, cạnh
bên (cũng là chiều cao) AD dài 40 m.
Năm nay, xã đào một con kênh rộng 8 m chạy dọc theo đáy lớn. Hãy tính diện tích còn
lại của thửa ruộng.
8 m
60 m
30 m
A
B
D
C
H
E
Hướng dẫn: Con kênh lấy mất của thửa ruộng khoảng đất hình thang vuông CDHE.
Muốn tính được S
ABHE
ta cần tính được EH. Muốn được chiều cao EH của tam giác ADE
ta cần tính được diện tích tam giác đó.
Bây giờ ta tính S
ADE
: = 1800 (m
2
)
AH = AD – HD = 40 – 8 = 32 (m )
S
ABE
= = = 480 (m
2

)
Vì CDHE là hình thang nên:
S
CED
= S
CHE
= = = 240 (m
2
)
Vậy: S
ADE
= S
ABCD
– S
ABE
- S
ABE

= 1800 – 480 – 240
= 1080 (m
2
)
Suy ra chiều cao: EH = = = 54 (m)
Vậy S
ABHE
= = 1344 m
2
1.2.7 Các bài toán về tính thể tích hình học
Nội dung: Cho dạng hình học không gian với các dữ kiện. Yêu cầu tính thể tích
Phương pháp giải:

- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán
- Tìm mối liên hệ giữa các dữ kiện và yêu cầu cần tìm
- Áp dụng công thức tính diện tích, thể tích để tính.
Ví dụ 1: Một thùng đựng hàng hình hộp chữ nhật có kích thước 2,5m x 1,8m x 2m có
nắp. Người thợ cần bao nhiêu kg sơn để sơn đủ hai mặt chiếc thùng đó? Biết rằng mỗi
ki – lô – gam sơn sơn được 5m
2
mặt thùng.
1,8m
2,5m
2m
Hướng dẫn:
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:
(2,5 + 1,8 ) x 2 x 2 x 2,5 x 1,8 x 2 = 26,2(m
2
)
Diện tích bề mặt cần quét sơn là:
26,2 x 2 = 52,4 (m
2
)
Số ki – lô – gam sơn cần dùng là:
52,4 : 5 = 10,48 (kg)
Ví dụ 1: Một bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài 2,8m, chiều rộng 1,4m và chiều cao
1,5m. Nước trong bể hiện chiếm 45% thể tích của bể. Hỏi phải đổ thêm bao nhiêu lít
nước nữa để thể tích nước trong bể chiếm 85% thể tích của bể?
Hướng dẫn:
Thể tích của bể nước là:
2,8 x 1,4 x 1,5 = 5,88 (m
3
)

Số lít nước trong bể hiện có là:
5,88 m
3
= 5880 dm
3
5880 x 45 :100 = 2646 (dm
3
)
2646 dm
3
= 2646 lít
1,5m
1,4m
2,8m
Số lít nước trong bể sau khi đổ thêm là:
5880 x 85 : 100 = 4998 (dm
3
)
4998 dm
3
= 4998 lít
Số lít nước phải đổ thêm là:
4998 – 2646 = 2352 (lít)
CHƯƠNG II: ÁP DỤNG HÌNH HỌC SƠ CẤP ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
NÂNG CAO
1. Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = MC, trên cạnh CD
lấy N sao cho NC =
3
1
DC. Hãy so sánh diện tích hình tam giác AMN với diện tích hình

tam giác AND.
(Đề thi HS giỏi khối 5 Tp. Huế năm 2004)
Hướng dẫn:
Ta có: S
ADN
=
2
1
AD x DN =
2
1
AD x
3
2
DC
=
3
1
AD x DC =
3
1
S
ABCD
(1)
Mặt khác:
S
ABM
=
2
1

AB x BM =
2
1
AB x
2
1
BC =
4
1
AB x BC =
4
1
S
ABCD
Ta lại có:
S
MCN
=
2
1
MC x CN =
2
1
x
2
1
BC x
3
1
CD =

12
1
S
ABCD
A
D
C
B
N
M
Do đó:
S
AMN
= S
ABCD
– S
ADN
– S
ABM
– S
MCN
= S
ABCD
–
3
1
S
ABCD
-
4

1
S
ABCD
-
12
1
S
ABCD

=
3
1
S
ABCD
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: S
MCN
= S
ADN.
2. Cho hình chữ nhật ABCD, trên AB lấy trung điểm E, trên AD lấy trung điểm G. Nối
B với G, C với E chúng cắt nhau tại O. Biết diện tích hình tam giác OBE là 8 cm
2
. Tính
diện tích hình chữ nhật ABCD.
(Đề thi HS giỏi trường Nguyễn Trọng Nghĩa – Quảng Nam)
Hướng dẫn:
Nối GE, GC.
A
D
C

B
G
E
O
Ta có: S
BGE
=
2
1
x EB x GA =
2
1
x
2
AB
x
2
AD
=
8
1
S
ABCD
S
GBC
=
2
1
x AB x BC =
2

1
S
ABCD
Do đó S
GBE
=
4
1
S
GBC
mà hai tam giác có chung đáy GB nên chiều cao hạ từ E xuống GB
bằng
4
1
chiều cao hạ từ C xuống GB.
Ta thấy hai tam giác OBE và OBC có chung cạnh OB và chiều cao hạ từ E xuống OB
bằng
4
1
chiều cao hạ từ C xuống OB nên S
OBE
=
4
1
S
OBC.
Do đó S
OBC
= 8 x 4 = 32 (cm
2

)
Suy ra S
EBC
= 8 + 32 = 40 (cm
2
)
Măt khác: S
EBC
=
2
1
x EB x BC =
2
1
x
2
AB
x BC =
4
1
S
ABCD
Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD là: 40 x 4 = 160 (cm
2
)
3. Cho hình thang ABCD, có AB =
3
2
DC; DM =
3

1
DC = 4 cm. Hãy tìm điểm N trên
cạnh AB sao cho diện tích hình tứ giác MNBC gấp 3 lần diện tích hình tứ giác MNAD.
(Toán học tuổi thơ số )
Hướng dẫn:
Ta vẽ hình như sau:
A
D
C
B
M
N
Ta có CD = DM x 3 = 4 x 3 = 12 (cm)
AB = DC x
3
2
= 12 x
3
2
= 8 (cm)
Ta thấy hình thang MNBC và MNAD có chiều cao bằng nhau (cùng bằng chiều cao hình
thang ABCD)
Do đó để diện tích hình thang MNBC gấp 3 lần diện tích hình thang MNAD thì
MC + NB = (DM + AN) x 3
Suy ra: MC + NB + DM + AN = (DM + AN) x4 hay CD + AB = (DM + AN) x 4.
Khi đó DM + AN = (CD +AB) : 4 = (12+8) :4 = 5 (cm)
Mà DM = 4 cm nên AN = 5 – 4 = 1 (cm)
Vậy để diện tích hình thang MNBC gấp 3 lần diện tích hình thang MNAD thì N phải
cách A một đoạn bằng 1 cm.
4. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng là 3m, chiều dài gấp 6 lần chiều rộng. Hỏi

phải tăng chiều rộng lên bao nhiêu mét để được một hình chữ nhật có cùng diện tích như
hình ban đầu nhưng chiều dài chỉ gấp rưỡi chiều rộng?
( Đề thi học sinh giỏi bậc Tiểu học 1994 – 1995 )
Hướng dẫn:
Chiều dài lúc đầu là:
3 x 6 = 18 (m)
Diện tích của hình chữ nhật lúc đầu và lúc sau đều là:
18 x 3 = 54 (m
2
)
Hình a
Vì chiều dài lúc sau gấp rưỡi chiều rộng lúc sau nên
hình chữ nhật lúc sau có dạng như hình a. Ta chia
hình chữ nhật ABCD thành 2 phần bởi đoạn thẳng
EF. Gọi diện tích hình vuông AEFD là S
1
, diện tích
hình chữ nhật EBCF là S
2
.
Vì AE = 2EB nên S
1
= 2S
2
. Ta có:
S
2
+ S
1
= 54 (m

2
)
S
1
S
2
A
D
B
C
E
F
S
2
= 54 : (2 +1) = 18 (m
2
)
S
1
= 36 (m
2
)
Vì 36 = 6 x 6 nên cạnh của hình vuông AEFD là 6m. Đó cũng là chiều rộng của hình chữ
nhật lúc sau. Do đó chiều dài của hình chữ nhật lúc sau là:
6 x 1.5 = 9 (m)
Vậy phải tăng chiều rộng thêm:
6 – 3 = 3 (m)
5. Bằng các miếng nhựa hình vuông có cạnh 1 cm, bạn An đã ghép được 2 hình vuông
mà hiệu diện tích của chúng là 23cm
2

. Hỏi bạn An đã dùng tất cả bao nhiêu miếng nhựa
để ghép được hai hình vuông đó ?
(Đề thi HS giỏi khối 5 Tp. Đà Nẵng năm 2009)
Hướng dẫn:
Giả sử bạn An ghép được 2 hình vuông ABCD và AEFG, cạnh AB = a, AE = b
( a, b #0, a > b )
L
b
a
b
A
D
N
B
F
M
C
G
E
Diện tích của hình vuông ABCD là:
S
1
= a x a
Diện tích của hình vuông AEFG là:
S
2
= b x b
Kéo dài GF và GF gặp BC ở L. Đặt hình chữ nhật EBLF vào vị trí LMNC thì hiệu diện
tích của hai hình vuông ABCD và là diện tích của hình chữ nhật GMND với chiều dài a +
b. Ta có:

S = S
1
– S
2
= a x a – b x b = 23(cm
2
)
S = GD X DN = GD x ( a + b ) = 23 (cm
2
)
( a + b ) x ( a – b ) = a x a – a x b + b x a – b x b
= a x a – b x b = 23(cm
2
)
Nên GD = a – b
Mặt khác số 23 không chia hết cho số tự nhiên nào trừ số 1 và số 23. Nên
a + b > a – b suy ra:
( a + b ) x ( a – b ) = 23 x 1
Suy ra : a + b = 23, a – b = 1
Do đó: a = ( 23 + 1 ) : 2 = 12 (cm)
b= 23 – 12 = 11 (cm)
Diện tích của hìnhvuông ABCD là:
12 x 12 = 144 (cm
2
)
Diện tích của hình vuông AEFG là:
11 x 11 = 121 (cm
2
)
Số miếng nhựa hình vuông cạnh 1 cm cần ghép là:

144 + 121 = 265 (miếng)
6. Cho tam giác ABC có cạnh BC dài 6 cm và điểm E ở chính giữa cạnh BC.
a. Hãy tìm điểm H trên cạnh BC sao cho đoạn thẳng EH chia tam giác ABC làm 2
phần mà diện tích phần này lớn gấp đôi diện tích phần kia?
b. Tính diện tích tam giác AHC và diện tích tam giác BHE nếu biết AH là chiều cao
của tam giác ABC và AH = 3cm
(Đề thi học sinh giỏi Tp. Hải Phòng năm 2007)
Hướng dẫn:
a. Giả sử H là điểm trên cạnh BC thỏa mãn bài toán, diện tích của hình tứ giác
ABHE gấp đôi diện tích hình tam giác CEH .Gọi S là diện tích , ta có:
S
ABHE =
2S
CHE
Vì AE = EC và hai tam giác AHE và HEC có cùng chiều cao hạ từ đỉnh chung H,
nên: S
AHE
= S
HEC
do đó: S
ABH =
S
HEC =
S
HEC
Suy ra: S
ABC
= 3S
ABH
và BC = 3 BH ( Vì 2 tam giác ABC , ABH có cùng chiều cao

hạ từ đỉnh chung A)
Vì vậy BH = 6 : 3 = 2 (cm), nghĩa là điểm H phải tìm cách B là 2cm.
b ) Ta có: HC = 6 – 2 = 4(cm)
S
ABC
= 6 x 3 : 2 = 9 (cm)
S
ABC
= 4 x 3 : 2 = 6 (cm)
Vì AE = EC và hai tam giác ABE, EBC có cùng chiều cao hạ từ đỉnh chung B nên
S
ABE
= S
EBC,
do đó:
S
EBC =
1/2 S
ABC =
9 : 2 = 4.5 (cm
2
)
Vì S
BHE
= 1/3 S
ABC
= 9 : 3 = 3(cm
2
)
Nên S

BHE
= 4.5 – 3 = 1.5(cm
2
)
7. Cho hình tứ giác ABCD có đường chéo AC = 6cm. Hãy tìm trên AC một điểm E
sao cho diện tích hình ABED gấp đôi diện tích hình BCDE.
(Toán tuổi thơ số )
Hướng dẫn:
Giả sử E là điểm trên cạnh AC thỏa mãn bài toán, diện tích của hình tứ giác ABED
gấp đôi diện tích hình BCDE.
A
B
H
C
E
K
D
Ta có + = ( – ) x 2
Nhưng :
( – ) x 2= x ( BH – DK)
( + ) x 2 = + x 2
= CE x BH + CE x DK = CE x ( BH + DK)
Nên : = CE hay AE = 2 x CE
Theo bài toán: AC = AE + CE = 6 cm. Suy ra: CE = 2 cm, AE = 4cm
Vậy điểm E phải tìm trên AC cách A là 4cm
Thử lại: Vì AE = 2 x CE nên:
S
ABE =
2 x S
BCE ,

S
ADE
= 2 x S
CDE
Do đó: S
ABE
+ S
ADE =
2 x S
BCE
+ 2 x S
CDE
= 2 x (S
BCE
+ S
CDE
)
Hay S
ABED
= 2 x S
BCDE
8. Cho hình tam giác ABC có điểm N là điểm chính giữa cạnh AC . Trên hình đó có hình
thang BMNE. Nối B với N, nối E với M, hai đoạn thẳng này gặp nhau tại điểm O (Điểm
E nằm trên đoạn AN , điểm M nằm trên BC, BE là đáy lớn MN là đáy bé, BN và ME là 2
đường chéo hình thang)
a. So sánh diện tích 2 hình tam giác OMB và OEN
b. So sánh diện tích hình tam giác EMC với diện tích hình AEMB
( Đề thi HSG toàn quốc 1984 - 1985 )
Hướng dẫn:
A

C
B
E
N
M

a. BMNE là hình thang nên S
MBE
=S
NBE
(có chung đáy BE, đường cao bằng đường cao
hình thang), 2 tam giác này có phần chung là OBE nên S
OMB
= S
OEN
b. Do AN = NC nên S
ABN
= S
CBN
S
EMC
= S
CBN
– S
OMB
+ S
OEN
mà S
OMB
= S

OEN

Suy ra: S
EMC
= S
CBN
Tương tự:
S
AEMB
= S
ABN
– S
OEN
+ S
OMB
mà S
OEN
= S
OMB

Suy ra: S
AEMB
= S
ABN
Ta đã có S
ABN
= S
CBN
Vậy: S
EMC

= S
AEMB

Cách khác:
Do AN = NC nên S
ABN
= S
CBN
= 1/2 S
ABC
S
EMC
= S
CBN
– S
OMB
+ S
OEN
mà S
OMB
= S
OEN

Suy ra: S
EMC
= S
CBN
= 1/2S
ABC
Vậy: S

EMC
= S
AEMB

9. Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi là 60cm và chiều dài AB gấp rưỡi chiều rộng BC.
Lấy một điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Nối AM kéo dài cắt DC kéo dài tại
điểm E. Nối B với E. Nối D với M.
a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
b) Chứng minh diện tích tam giác MBE bằng diện tích tam giác MCD.
c) Gọi O là giao điểm của AM và BD. Tính tỷ số
OD
OB
(Đề thi tuyển sinh lớp 6 năm học 2013 – 2014 Trường Marie Curie)
Hướng dẫn:
a. Tổng của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật là: 60 : 2 = 30 (cm)
Chiều dài gấp rưỡi chiều rộng tức là chiều dài bằng
2
3
chiều rộng
Vậy chiều dài hình chữ nhật là: 30 : (3 + 2)x 3 = 18 (cm)
Chiều rộng hình chữ nhật là: 30 – 18 = 12 (cm)
Diện tích hình chữ nhật là:
18 x 12 = 216 (cm
2
)
a. S
EAB
= S
BCD
vì: + AB = CD

+ chiều cao kẻ
từ E xuống AB bằng chiều cao
BC
S
ABM
= S
DBM
vì: + BM chung
+ AB = CD
O
M
A
D
C
B
E
Suy ra S
EAB
- S
ABM
= S
BCD -
S
DBM
hay S
MBE
= S
MCD
b. S
ABM

=
3
2
SMAD vì: +Đáy BM =
3
2
AD (AD = BC)
+ Chiều cao AB bằng chiều cao hạ từ M xuống AD
Mà 2 tam giác này lại chung đáy A. Suy ra chiều cao hạ từ B xuống AM =
3
2

chiều cao hạ từ D xuống AM.
Mặt khác, đây cũng chính là chiều cao hạ xuống đáy MO của hai tam giác BMO
và DMO => S
MBO
/ S
MDO
=
3
2
Các tam giác MBO và MDO lại cùng chiều cao kẻ từ M xuống BD nên
OD
OB
=
3
2
10. Cho tam giác ABC có cạnh AC dài 6cm , trên cạnh BC lấy điểm E, sao cho EB = EC.
BH là đường cao hạ từ đỉnh B của tam giác ABC và BH = 3cm. EH chia tam giác ABC
thành hai phần và diện tích tứ giác ABEH gấp đôi diện tích tam giác CEH.

a. Tính độ dài đoạn thẳng AH.
b. Tính diện tam giác AHE
(Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Thừa Thiên Huế năm học năm 2007-2008)
Gọi S là diện tích:
Ta có: S
BAHE
= 2 S
CEH
Vì BE = EC và hai tam giác BHE, HEC có cùng chiều cao hạ từ đỉnh chung H nên S
BHE
=
S
HEC
B
A
C
E
H
Do đó S
BAH
= S
BHE
= S
HEC
Suy ra: SABC = 3S
BHA
và AC = 3HA (vì hai tam giác ABC và BHA có cùng chiều cao hạ
từ đỉnh chung B)
Vậy HA =
3

AC
= 6 : 3 = 2 (cm)
Nghĩa là điểm H phải tìm cách A là 2cm
b/ Ta có: S
ABC
= 6 x 3 : 2 = 9 (cm
2
)
Vì BE = EC và hai tam giác BAE, EAC có cùng chiều cao hạ từ đỉnh chung A, nên S
BAE

= S
EAC
do đó:
S
EAC
=
2
1
S
ABC
= 9 : 2 = 4,5 (cm
2
)
Vì S
HEC
=
3
1
S

ABC
= 9 : 3 = 3 (cm
2
)
Nên S
AHE
= 4,5 – 3 = 1,5 (cm
2
)
11. Xếp 27 hình hộp lập phương nhỏ có cạnh 1 cm thành hình hộp lập phương lớn rồi sơn
tất cả các mặt của hình hộp lập phương lớn: Hai mặt đáy sơn màu xanh, các mặt còn lại
sơn màu đỏ. Hỏi:
a. Có bao nhiêu hình hộp lập phương nhỏ có mặt được sơn xanh và mỗi hình đó có mấy
mặt màu xanh?