NHIỀU CÁCH GIẢI KHÁC NHAU CÂU 5 ĐỀ THI ĐẠI HỌC KHỐI A, B NĂM 2011 ppsx

Câu V (1,0 điểm)
Cho
,,
x
yz
là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
.
23
=++
++
+
x
yz
P
x
yyzzx

Tr
ướ
c h
ế
t ta ch
ứ
ng minh:
11 2
(*),
11
1
ab
ab

+≥
++
+
v
ớ
i
a
và
b
d
ươ
ng,
ab

≥
1.
Thật vậy, (*)
⇔
(
a +
b
+ 2)(1
+
ab
) ≥ 2(1
+
a)(1 +
b
)
⇔

(a
+
b)
ab
+ 2
ab
≥
a +
b
+ 2
ab
⇔
( ab – 1)( a – b )
2
≥ 0, luôn đúng với a và b dương, ab ≥ 1.
Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi: a = b hoặc ab = 1.
Áp dụng (*), với x và y thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, ta có:
11
23
11
x
P
zx
xy
y z
=++
+
++
≥
12

.
3
2
1
y
x
x
y
+
+
+

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi:
z
y

=

x
z
ho
ặ
c
1
x
y
=
(1)
Đặt
x

y

=

t
, t

∈
[1; 2]. Khi
đ
ó:
P

≥

2
2
2
231
t
tt
+⋅
++

Xét hàm
f
(
t
)
=

2
2
2
,
231
t
tt
+
++

t

∈
[1; 2];
3
22 2
2(43)3(21)9)
'( )
(2 3) (1 )
tt tt
ft
tt
⎡
⎤
−−+−+
⎣
⎦
=
++

<
0.
⇒
f
(
t
) ≥

f
(2)
=

34
;
33
dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: t = 2
⇔

x
y

=
4
⇔
x

=
4, y =
⇒

P

≥

34
.
33
Từ
(1) và (2) suy ra dấ
u " =
" xả
y ra khi và chỉ
khi: x
=
4, y =
1 và z
=
2.
V
ậ
y, giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a

P
b
ằ
ng
34
;
khi
x

=
4,
y

=
1,
z

=
2.
Lấ
y
đạ
o hàm theo z ta có : P’ (z) =
22
0
()()
y x
y zzx




=
22
()(
()()
)
x
yz xy
yz zx



+
Nếu x = y thì P

=
6
5

+ Ta xét x > y thì P

P(
x
y
) =
2
23
y
x
xy

yx




Kh
ả
o sát hàm P theo z, ta có P nh
ỏ
nh
ấ
t khi z =
x
y
33
www
.
l
a
i
s
ac
.
pag
e.
t
l

Ạ
Ọ

(
S
ư
u

t
ầ
m
,
t
ổ
n
g

h
ợ
p

các
b
à
i

g
i
ả
i
c
ủ
a


n
h
i
ềut
á
c
giả
t
r
ênI
n
t
er
n
e
t
)

C
ác
h

1
C
ác
h

2
ĐỀ

Khố
i

.
2011
A
N

N

N
H
H
H
I
I
I
Ề

Ề

Ề
U

U

U

C


C

C
Á

Á

Á
C

C

C
H
H
H
G
G
G
I
I
I
Ả

Ả

Ả
I
I
I

K
K
K
H
H
H
Á

Á

Á
C

C

C

N

N

N
H
H
H
A

A

A

U

U

U

C

C

C
Â

Â

Â
U

U

U

5

5

5

Đ


Đ

Đ
Ề

Ề

Ề

T

T

T
H
H
H
I
I
I
Đ

Đ

Đ
Ạ

Ạ

Ạ

I
I
I
H
H
H
Ọ
Ọ
Ọ
C

C

C

K
K
K
H
H
H
Ố
Ố
Ố
I
I
I
A

A


A
,
,
,
B

B

B

N

N

N
Ă

Ă

Ă
M
M
M
2

2

2
0


0

0
1

1

1
1

1

1
Đặ
t t =
x
y
 P thành f(t) =
2
2
2
231
t
tt



(t  (1; 2])
 f’(t) =

32
22 2
2[4 ( 1) 3(2 3)]
(2 3) ( 1)
tt t t
tt


< 0
Vậy P 
f(t) 
f(2) =
34
33
. Dấu “=” x
ảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2
V
ậ
y min P =
34
33
.

Đặt
,,,
yzx
abctbc
xyz
==== thì ta có
1

1,1
4
aabc
££=
và
12.
t
££

Biểu thức
P
được viết lại thành
111
.
3211
P
abc
=++
+++

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
11221
1
11(1)(1)11
122
1.
1
211
bcbcbc
bcbcbcbcbcbc

bc
t
bcbcbc
++++-
+===+
++++++++++
-
³+==
+
+++

Từ đó suy ra
2
2
2
12122
().
321311
23
2
t
Pft
attt
t
t
³+=+=+=
++++
+
+

Khảo sát hàm
()
ft
trên đoạn

[1,2],
ta thấy
222
31
()20
(23)(1)
t
ft
tt
éù
êú
¢
=-<
êú
++
ëû

vì
222
323
3(1)(23)(1)(23)(1)(23)
22
(41)(1)
0.
2

t
ttttttt
tt
++
+-+£+-+£+-+

=-£

Do đó
()
ft
là hàm nghịch biến trên

[1,2],
suy ra
34
()(2).
33
Pftf³³=
Mặt khác, dễ thấy đẳng thức xảy ra khi
y
4,1
x
==
và
2.
z
=

Vậy ta đi đến kết luận

34
min.
33
P =

Xét hàm số
f(x) =
x
2x+3y
+
y
y+z
+
z
z+x
⇒ f

(x) =
3y
(2x+3y)
2
−
z
(z+x)
2
Ta sẽ chứng minh
3y(x + z)
2
≤ z(2x + 3y)
2

⇔ z(4x
2
+ 9y
2
) + 6xyz ≥ 3y x
2
+ 3yz
2
⇔ z(2x − 3y)
2
+ 3y(4z −x) + 3yz(2x − z) ≥ 0 luôn đúng vì z ≤ x ≤ 4z
C
ác
h

3
C
ác
h

4
⇒ f(x) nghịch biến trên khoảng [1;4]
⇒ f(x) ≥ f(4) =
4
3y+8
+
y
y+z
+
z

z+4
= f(y)
⇒ f

(y) =
z
(y+z)
2
−
12
(3y+8)
2
Tiếp theo ta sẽ chứng minh
z(3y + 8)
2
≥ 12(y + z)
2
⇔ z(48 − 12z) + 9y
2
(z −1) + 3y(8z −y) ≥ 0 bởi vì 4 ≥ z ≥ 1; y ≤ 4z
⇒ f(y) đồng biến trên khoảng [1;4]
⇒ f(y) ≥ f (1) =
4
11
+
1
1+z
+
z
z+4

≥
34
33
Xét
x
=++
+++
23
xyz
fx
yyzzx
()
Sẽ có
(
)
(
)
zxxz
x
-
-
=<
++
+-
2222
22
436
2
0
39

23
yzyzy
fx
y
x
z
y
x
'() vì tử số của nó là:

(
)
zxx
yxx
xx
x
xx
x
æö
÷
ç
£
÷
ç
÷
ç
èø
-
=
+

-
+
-

-
£-=-
-
<-
=-£
2
22222
222
22
22
22
2
3
27
16
2716
94
9
4
16
394
4
94
3627
4
4

3648
4
302
yxzz
x
yyxy
y
yy
xyy
yy
y
()

Từ đó
³=
+
++=
++
4
83
4
4
yz
P
z
y
fgy
yz
()()
để rồi lại thấy

(
)
(
)
(
)
(
)
zz
+
=-
-
=
++++
-
222
2222
12649
1212
8383
zzy
g
yzyyzy
y
y'()
Xét tử số chính là:
zzzz=12(z-1)(4-z)+4z
³
+++-

>
2222222
12126412120
6499483
y
zyyy
y

Vì
=-+

³
-
2
144
4
8
4
3
30
zzy
yy
()(); ()()
vậy nên:

()
³=++=
++
11

41
1
14
z
z
P
ghz
z
()

Lại có nốt

(
)
(
)
z
-+
=
++
22
236
41
z
hz
zz
()()
'()
Thế cho nên
hz

'()
đổi dấu từ âm qua dương khi z chạy qua 2 vì vậy giá trị nhỏ
nhất của h(x) là =
3
2
34
3
h()
Tóm lại giá trị bé nhất cần tìm là
34
33
nó đạt được khi x
===
412
yz
;;
C
ác
h

5
ĐỀ
Khố
i
B
.
2011
Câu V (1,0 điểm) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a
+ b ) + ab = (a + b)(ab + 2).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

33 22
33 22
49
ab ab
P
ba ba
⎛⎞⎛
=+−+
⎜⎟⎜
⎞
⋅
⎟

Với a, b dương, ta có: 2(a
2
+ b
2
) + ab = (a + b)(ab + 2)
⇔ 2(
a
2

+
b
2
)
+
ab
=

a
2
b
+

ab
2

+ 2(
a
+

b)
⇔ 2
ab
ba
⎛
+
⎜
⎞
⎟

+
1
=
(
a +

b) +
2

11
.
ab
⎛⎞
+
⎜⎟
(
a

+

b
)
+
2
11
ab
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠

≥
2
11
2( )ab
ab
⎛⎞
++
⎜⎟

⎝⎠

=
22 2
ab
ba
⎛
++
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
, suy ra:
2
ab
ba
⎛
+
⎜
⎝⎠
⎞
⎟

+
1
≥

22 2
ab
ba

⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
⇒
ab
ba
+

≥

5
.
2

Đặ
t
t
=

ab
ba
+
, t
≥

5
2
, suy ra:
P

=
4(t
3
– 3t) – 9(t
2
– 2)
=
4t
3
– 9t
2
– 12t
+
18.
Xét hàm
f
(
t
)
=
4
t
3
– 9
t
2
– 12
t

+

18, v
ớ
i
t

≥

5
.

2
Ta có:
'( )
f
t

=
6(2
t
2
– 3
t
– 2)
>
0, suy ra:
5
;
2
min ( )
f

t
⎡⎞
+∞
⎟
⎢
⎣⎠

=

5
2
f
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

=
–
23
.
4

Vậy, minP
=
–
23
;
4
khi và ch
ỉ

khi:
5
2
ab
ba
+=
và
11
2ab
ab
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠

⇔
(a; b)
=
(2; 1) hoặc (a; b)
=
(1; 2).
The
o
g
iả

t
h
i
ết

ta

c
ó

(

)

(

)
(

)

2
2

2
2

a
b
ab
a
b
a
b

+
+
=
+
+

.
Từ
đ
ây
su
y
r
a
:

(

)

1
1
2
1
2

a
b
a
b

b
a
a
b

æ
ö
æ
ö

+
+
=
+
+
ç
÷
ç
÷

è
ø
è
ø

h
a
y

2

2
2
1

a
b
a
b
b
a
b
a

æ
ö

+
+
=
+
+
+
ç
÷

è
ø

Áp


d
ụ
n
g

b
ất
đ
ẳ
n
g

th
ứ
c

C
a
u
c
h
y
,
ta
có
:
2
2
2
2


a
b
a
b
b
a
b
a

æ
ö

+
+
+
³
+
ç
÷

ç
÷

è
ø

Đặ
t
t

=

a
b
b
a

+

,
ta

su
y
r
a

:
2
t
+1
³

2
2
2

t
+
Þ

4
t
2

–
4
t
–
1
5
³
0
Þ
t
³

5
2
Mặ
tk
h
ác
:
P
=

3
3
2
2


3
3
2
2

4
9

a
b
a
b

b a
b a
æ
ö
æ
ö
+
-
+
ç ÷ ç ÷
è
ø
è
ø

=


4
(
t
3

–
3
t)
–
9(t
2

–
2
)

=

4
t
3

–
9
t
2

–
1

2
t

+

1
8

=
f
(
t)
f
’
(
t)
=

1
2
t
2

–
1
8
t
–
1
2

,

f
’
(
t)

=
0
Þ

t
=

1
2

-

h
a
y
t
=

2

Þ
M
in

f
(
t
)
=

23
4

-

k
h
it
=

5
2
V
ậ
y
m
in

P=

23
4

-


k
h
i
a
=

1
và
b
=

2
hay
a
=

2
và
b

=

1
.

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
ab +2 ≥2

2ab.

C
ác
h

1
C
ác
h

2
C
ác
h

3
Từ đó suy ra

2(a
2
+b
2
) +ab

2
≥8ab(a +b)
2
.
Bất đẳng thức này có thể viết lại thành

2


a
b
+
b
a

+1

2
≥8

a
b
+
b
a
+2

.
Đặt t =
a
b
+
b
a
thì ta có (2t +1)
2
≥8(t +2).
Giải bất phương trình này với chú ý rằng t ≥2, ta tìm được t ≥

5
2
.
Bây giờ, biến đổi biểu thức P theo t, ta có
P =4(t
3
−3t) −9(t
2
−2) =4t
3
−9t
2
−12t +18 = f (t).
Xét hàm f (t) trên

5
2
, +∞

, ta có
f
′
(t) =12t
2
−18t −12 =6(2t
2
−3t −2) >0,
vì 2t
2
−3t −2 = t(2t −5) +2(t −1) >0.

Vậy f (t) đồng biến trên

5
2
, +∞

,
suy ra
P = f (t) ≥ f

5
2

=−
23
4
.
Mặt khác, dễ thấy đẳng thức xảy ra khi a =2 và b =1.
Do vậy, ta đi đến kết luận min P =−
23
4
.