Kỹ thuật điều khiển tự động - Chương 2 pdf

O
σ
jω
G
x
G
y
θ
G(s)
O
j
ω
σ
σ
j
ω
S
CHƯƠNG II
HÀM TRUYỀN ĐẠT
Trước tiên ôn tập lại kiến thức về số phức và hàm phức.
*Biến phức:
s = σ + jw
σ: Phần thực (Real part)
ω: Phần ảo (Imaginary part)
Nếu σ, ω là các số thực thì ta gọi là số phức, còn thay đổi s là biến phức.
Biểu diễn biến phức s trên đồ thị như sau:

Hình 2.1
* Hàm phức: Là hàm của biến phức S
G(s) = G
x
+ j G
y

Cũng bao gồm phần thực và phần ảo.
Độ lớn của
)(sG =
22
yx
GG +
Góc q = tan
-1
(G
x
/G
y
), Chiều dương theo chiều kim đồng hồ tính từ trục thực
-Biểu diễn trên đồ thị:

Hình 2.2
Hàm liên hợp của hàm G(s) là:
)(sG
= G
x
- j G
y


O
j
ω
σ
S
0
2
j 4
16
O
-11

ReG
ImG
G(S
0
)
¸

n
h

x
¹

G
Ph¼ng S
Ph¼ng G(S)
Một hàm phức, có biến là s = σ + jω . Biến phức S phụ thuộc vào 2 đại lượng độc
lập: là phần thực và phần ảo của s. Để biểu diễn hàm G(s) cần có 2 đồ thị, mỗi đồ
thị có 2 chiều:
- Đồ thị của jω ứng với s gọi là phẳng S
- Đồ thị của phần ảo G(S) (ImG) ứng với phần thực của G(S) (ReG) gọi là
phẳng G(S).
Sự tương ứng giữa các điểm trong hai phẳng đó gọi là một ánh xạ hay biến đổi .
Các điểm trong phẳng S được ánh xạ vào các điểm trong phẳng G(S) bằng hàm G.
Ví dụ:
Hàm phức G(S) = S
2
+ 1. Điểm S
0
= 2 +j 4 được ánh xạ vào điểm G(S
0
) như sau
(S
0
) = G(2 + j 4) = -11 + j 16

Hình 2.3
* Phẳng S (mặt phẳng phức)
Nếu G(S) là hàm hữu tỉ như sau:
G(S) =
∑
∑
=
=
+
+
n
i
i
m
i
im
pS
zSb
1
1
)(
)(

- Các giá trị của biến phức S = -z

i
làm cho G(s) = 0 được gọi là các không của
G(s) (Zeros)
- Các giá trị s = - p
i
làm cho G(s) → ∞ được gọi là các cực của G(s) ( Poles)
Các cực và các không được xác định bởi: một đại diện phần thực và một đại diện
phần ảo của số phức.
Biểu diễn các điểm đó trên mặt phẳng phức ( phẳng S) gọi là ánh xạ cực – không
của G(s)
Ví dụ:
G(s) =
)1)(1)(3(
)2)(1(2
685
422
23
2
jSjSS
SS
SSS
SS
−+−++
−+
=
+++
−−


Ph¼ng S

σ
jω
j
-j
-1
2
-3
Pole
Zero
Ph¼ng S
σ
Ph¼ng G(S)
ReG
jω
S
1
ImG
G(S
1
)
S
2
S
3
S
4
G(S
4
)
G(S

2
)
G(S
3
)
¸
n
h

x
¹

G
G(s) có các không: s = -1 ; s = 2
và các cực: s = -3; s = -1 – j ; s = -1 +j






Hình 2.4
*Phẳng G(s): Được biểu diễn trong mặt phẳng với 2 thành phần. Một là phần thực
của G(s) – ReG, và một là phần ảo của G(s)- ImG. ánh xạ từ các điểm s
0
sang phẳng
G(s) là các điểm G(s
0
).

Hình 2.5
* Nhận xét: Mối quan hệ giữa phẳng S ( ánh xạ cực – không)
*Phép biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace là cơ sở của một phương pháp giải tích để tìm cả đáp ứng ổn
định và đáp ứng quá độ mà các phương trình vi phân tuyến tính hệ số không đổi.
Nên phép biến đổi Laplace chỉ dùng biến đổi cho phương trình vi phân tuyến tính.
Biến đổi Laplace chuyển phươ
ng trình vi phân thành các phương trình đại số nên
tìm nghiệm của phương trình đại số đơn giản hơn và từ nghiệm của phương trình
đại số tìm được nghiệm của phương trình vi phân.
Một ưu điểm là phương pháp này có thể xử lý trực tiếp các điều kiện đầu của hệ
thống như một phần của đáp ứng.
- Bản chất của phép biến đổi Laplace:
Là các phép tính đạo hàm và tích phân gốc được chuyển thành các phép toán đại số
thông thường đối với các ảnh, miền xác định rộng.
- Hàm gốc:

O
η(
t)
t
O

t
η(
t).sint
Gọi hàm f(t) của biến thực t là hàm gốc nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:
1. Hàm f(t) liên tục trên từng đoạn thuộc miền xác định mà t
≥ 0.
Giải thích:
Lấy [a; b] trên t
≥ 0, luôn chi được trong [a; b] một số hữu hạn khoảng nhỏ [e; x]
sao cho trong mỗi khoảng đó f(t) liên tục và tại các mút của mỗi khoảng nhỏ thì f(t)
có giới hạn một phía:

∞<
→
)(lim tf
t
ξ

2. Khi t
+∞→ hàm f(t) không tăng nhanh hơn một hàm mũ. Tồn tại M > 0;
a >0 sao cho:
t
etf
.
)(
α
≤ ; mọi t >0
a gọi là chỉ số tăng của f(t).
3.f(t) = 0 khi t < 0.
Điều kiện này được đưa ra vì trong ứng dụng biến số t thường là thời gian, hàm f(t)

biểu diễn một quá trình nào đó mà ta chỉ khảo sát lúc t > 0.
Một số ví dụ:
a) Hàm h(t) = 0 khi t < 0
1 khi t > 0
Là một hàm gốc :
1)( ≤t
η
thoả mãn điều kiện hàm f(t) không tăng nhanh hơn
một hàm mũ.
t
0≥ ta lấy t thuộc trong [-1; 1] thì 1)(lim
1
=
+→
t
t
η
( thoả mãn điều kiện 1)
h(t) = 0 khi t < 0 (thoả mãn điều kiện 3)




Hình 2.6
b) Hàm f(t) = h(t). sint = 0 khi t < 0
sint khi t > 0
t
eMtt
α
η

.1sin).( =≤
( M = 1; a = 0)
tt sin).(
η
liên tục trên t ≥ 0
tt sin).(
η
= 0 khi t <0
Hình 2.7
c) Hàm f(t) = h(t).t
2
= 0 khi t < 0
t
2
khi t > 0

O
η(
t).t
t
2
t
ett .2).(
2
≤
η
( M = 2; a = 1)

Hình 2.8
- Toán tử Laplace:
Nếu f(t) là một hàm gốc có chỉ số tăng là a thì yêu cầu của f(t) để chuyển đổi được
là:

∞<
−
∫
∞
dt
t
etf
.
.
0
)(
σ
( a < s < ∞ ) tích phân hội tụ tuyệt đối.
Biến đổi Laplace là kết quả của một thuật toán chuyển đổi với một hàm thời gian
f(t) để cho ta hàm G(s) của biến phức s.
F(s) = L {f(t)} =
∫
∞
+
−
=
∫
−

∞→
0
).().(lim dt
st
etf
T
dt
st
etf
T
ε
( 0 < e < T )
Biến đổi ngược để tìm gốc f(t):
f(t) =
∫
∞+
∞−
−
j
j
ds
st
esF
j
σ
σ
π
.).(
2
1

Một số hàm biến đổi Laplace sử dụng phổ biến:
Important Laplace Transform Pairs
f(t) F(s)
Hàm bậc thang h(t)
S
1

Hàm xung đơn vị d(t) = 0 nếu t < 0
1 nếu 0
≤ t ≤ t
1

0 nếu t > t
1

1
t
2
S
1

t
n

1n
S
n!
+

e
-at
aS +
1


1)!(n
.et
at1n
−
−−

n
a)(S
1
+

)e.(1
a
1
at−
−
a)S(S
1
+

sinwt
22
ωS
ω

+

coswt
22
ωS
S
+

e
-at
.f(t) F(s + a)
f
(k)
(t) =
k
k
dt
f(t)d

s
k
F(s) – s
k-1
f(0
-
) – s
k-2
f’(0
-
) - – f

(k-1)
(0
-
)
∫
∞−
t
f(t)dt
∫
∞−
+
0
f(t)dt
s
1
s
F(s)



* Lưu ý:
Biến s được coi như phép vi phân: s
≡
dt
d

Và trong tích phân:
∫
≡
t

0
dt
s
1

* ứng dụng của toán tử Laplace:
- Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số không đổi
- Tìm hàm truyền đạt của hệ thống điều khiển tuyến tính.
2.1. Hàm truyền đạt
* Định nghĩa: Hàm truyền đạt (The Transfer function) của một hệ thống tuyến tính
được định nghĩa là tỷ số giữa biến đổi Laplace của biếu ra ( đại lượng đáp ứng ra
của hệ thố
ng) so với biến đổi Laplace của biến vào ( đại lượng tác động vào hệ
thống), Với điều kiện đầu đồng nhất bằng không. Hàm truyền đạt của hệ thống (
phần tử) đặc trưng cho mô tả động lực học của hệ thống.
- Một hàm truyền đạt chỉ có thể xác định cho hệ thống tuyến tính, hệ thống bền
vững ( tham số không
đổi). Một hệ thống không bền vững thường gọi là hệ thống
biến thời gian thay đổi, có một hay nhiều tham số thay đổi, và phép biến đổi
Laplace không được áp dụng đối với hệ thống này.
- Hàm truyền đạt thể hiện tác động vào và đáp ứng ra của trạng thái hệ thống.
- Tuy nhiên, hàm truyền đạt không diễn tả thông tin về cấu trúc bên trong của hệ
thống và trạng thái hoạt động c
ủa hệ thống.

M
1
M
2
friction f

2
friction f
1
K
V
2
(t)
V
1
(t)
Force r(t)
G(s) =
{u(t)}
{y(t)}
l
l
=
Input
Output
=
U(s)
Y(s)

Để hiểu về cách xây dựng hàm truyền đạt ta có các ví dụ sau:
Ví dụ 1:
Cho một hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân sau:

2r(t)3y
dt
dy

4
dt
yd
2
2
=++
Điều kiện đầu là: y(0) = 1,
0(0)
dt
dy
= , và r(t) = 1, t ≥ 0
Biến đổi Laplace:
[ s
2
Y(s) – s y(0) ] + 4[ s Y(s) – y(0) ] + 3 Y(s) = 2 R(s)
Thay R(s) =
s
1
và y(0) = 1 ta được:
s
2
Y(s) – s + 4 s Y(s) – 4 + 3 Y(s) =
s
2

Y(s) =
3)4s(s
4s
3)4ss(s
2

22
++
+
+
++

Trong đó: q(s) = s
2
+4s + 3 = ( s + 1)(s +3) = 0 là phương trình đặc trưng và d(s) = s
Y(s) = [
s
2/3
]
3)(s
1/3
1)(s
1
[]
3)(s
1/2
1)(s
3/2
+
+
+
+
−
+
+
−

+
+
= Y
1
(s) + Y
2
(s) + Y
3
(s)
Biến đổi Laplace ngược:
y(t) =
3
2
].e
3
1
1.e[].e
2
1
.e
2
3
[
3tt3tt
++−+−
−−−−

Trạng thái ổn định là:
3
2

y(t)lim
t
=
∞→

Ví dụ 2: Hệ thống cơ khí như hình vẽ ( được mô hình hoá)









Hình 2.9

+
-
Armature
i
f
(t)
Field
Inertia = J
Friction = f
Load
R
a
L

a
R
f
L
f
Trong hình vẽ:
K: Độ cứng lò xo ( hằng số lò xo)
f
1
, f
2
: là các hệ số ma sát
V
1
(t), V
2
(t): Vận tốc di chuyển của các trọng khối M
1
và M
2
.
M
1
sV
1
(s) + (f
1
+ f
2
)V

1
(s) – f
2
V
2
(s) = R(s)
M
2
sV
2
(s) + f
1
(V
2
(s) – V
1
(s)) + K
s
(s)V
2
= 0
Tương đương với:
(M
1
(s) + (f
1
+ f
2
)) V
1

(s) + (- f
1
)V
2
(s) = R(s)
(-f
1
)V
1
(s) + (M
2
(s) + f
1
+
s
K
) V
2
(s) = 0
Hoặc dưới dạng ma trận sau:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤

⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++−
−++
0
R(s)
(s)V
(s)V
s
K
f(s)) (Mf (
)f (ff(s)(M
2
1
121
1211
.
)

Vận tốc di chuyển của M
1

chính là đại lượng ra, việc tìm V
1
(s) bởi ma trận nghịch
đảo hoặc nguyên tắc Cramer là:
V
1
(s) =
2
112211
12
f(K/s))fs).(Mffs(M
)(K/s)).R(sfs(M
−++++
++

Hàm truyền đạt của hệ thống:
G(s) =
=
R(s)
(s)V
1
2
112211
12
f(K/s))fs).(Mffs(M
(K/s))fs(M
−++++
++
=
ss

s
2
11
2
2211
1
2
2
fK)fs).(Mffs(M
K).R(s)fs(M
−++++
++

Tại một thời điểm nào đó mà xác định x
1
(t), thì hàm truyền đạt là:

s
G(s)
sR(s)
(s)V
R(s)
(s)X
1
==
Ví dụ 3: Hàm truyền đạt của động cơ dc
Động cơ dc là thiết bị phát động mà chuyển từ dạng năng lượng điện sang chuyển
động quay.

m
y(t)
c
u(t)
d
F
c
F
m
F
d
Hình 2.10
Ví dụ 4: Cho hệ cơ học gồm một lò xo có hệ số c, một vật với khối lượng m và bộ
giảm chấn có hệ số d được nối với nhau như hình vẽ. Xác định hàm truyền đạt cho
hệ cơ đó nếu tín hiệu đầu vào u(t) được định nghĩa là lực bên ngoài tác động lên vật
và tín hiệu ra y(t) là quãng đường mà vật đi được.
Gọi F
c
, F
m
, F
d
là những lực của lò xo, vật và bộ giảm chấn sinh ra khi vật di chuyển
nhằm cản sự dịch chuyển đó thì:
F

c
= c. y(t)
F
m
= m.
2
2
dt
y(t)d

F
d
= d .
dt
dy(t)

Theo tiên đề về cân bằng lực ta được:
u(t) = F
c
+ F
m
+ F
d
= c . y(t) + m.
2
2
dt
y(t)d
+ d .
dt

dy(t)

Biến đổi Laplace: U(s) = ( c + ds + ms
2
). Y(s)
Hình 2.11
Hàm truyền đạt của hệ thống là:
G(s) =
U(s)
Y(s)
=
cdsms
1
2
++

Gọi g(t) là hàm gốc của hàm truyền đạt G(s), tức là:
g(t) = L
-1
{G(s)}
Theo tính chất của toán tử Laplace ta có:
Y(s) = G(s). U(s)
⇔ y(t) = g(t). u(t) =
∫
+∞
∞−
−
τττ
)d.u(tg( ) =
∫

+∞
∞−
τττ
)d.u(-g(t )
Hàm g(t) được gọi là hàm trọng lượng của hệ thống. Với u(t) =
)(t
δ

Do U(s) = 1 nên ta có y(t) = g(t)
* Hàm truyền đạt trong lĩnh vực Laplace
Trên đây mới chỉ giới thiệu hàm truyền đạt giới hạn trong quan hệ tỷ lệ vào – ra đơn
giản, đó là một hình thức để mô tả đặc trưng của phần tử hoặc hệ thống. Tuy nhiên
có nhiều phần tử có đáp ứng thay đổi theo thời gian. Trong lĩnh vực thời gian đặc
tính đó được mô tả bằng phươ
ng trình vi phân, phương trình này không trực tiếp
dùng làm hàm truyền đạt được.
Nếu dùng một hàm truyền đạt với biến số Laplace S, diễn tả được đặc tính động lực
của phần tử hoặc hệ thống và phương pháp phân tích trong lĩnh vực thời gian ( tức

là quá trình quá độ)sẽ tương đối đơn giản giúp ta xác định đáp ứng của phần tử hoặc
hệ thống đối với một tín hiệu vào xác định.
Đặc trưng của một hệ thống điều khiển, ta có phương trình vi phân tổng quát sau
đây:
(p
n
+ b
n-1
p
n-1
+ + b

1
p + b
0
). y(t) = ( a
m
p
m
+ a
m-1
p
m-1
+ + a
1
p + a
0
). x(t) (2.11)
y(t) =
.x(t)
(p)L
(p)L
.x(t)
bpb pbp
apa papa
n
m
01
1n
1n
n
01

1m
1m
m
m
=
++++
++++
−
−
−
−

Trong đó: a
0
, , a
m
và b
0
, , b
n
là những hằng số
x(t) hàm kích thích, nó là tín hiệu tác động vào làm kích thích hệ thống
y(t) hàm phản ứng. Nó là hàm chuyển tiếp (tín hiệu ra) dưới tác động của tín hiệu
vào x(t).
L
n
(p) = p
n
+ b
n-1

p
n-1
+ + b
1
p + b
0

L
m
(p) = a
m
p
m
+ a
m-1
p
m-1
+ + a
1
p + a
0
Biến đổi Laplace từng số hạng của phương trình (2.11) ta có
L[p
n
y(t)] = s
n
Y(s) – I(s)
n

b

n-1
L[p
n-1
y(t)] =b
n-1
. s
n-1
Y(s) – I(s)
n-1


a
m
L[p
m
x(t)] = a
m
s
m
X(s) – I(s)
m

a
m-1
L[p
m-1
x(t)] =a
m-1
s
m-1

Y(s) – I(s)
m-1

Với I(s)
n
, là những điều kiện ban đầu tương ứng với các biến đổi.
Thay vào phương trình:
Y(s) =
(s)L
I(s) (s).X(s)L
bsb sbs
I(s)X(s)asa sas(a
n
m
01
1n
1n
n
01
1m
1m
m
m
+
=
++++
+++++
−
−
−

−
).

I(s) = I(s)
n
+ I(s)
n-1
+ - I(s)
m
- I(s)
m-1
là tổng những điều kiện đầu.
Từ phương trình trên thấy rằng:
- các đa thức L
m
(s); L
n
(s) ở trong miền biến đổi s vẫn giữ nguyên như trong miền
toán tử p.
- Tử số của chúng cũng có dạng giống nhau, chỉ khác là ở miền s có các điều kiện
đầu I(s).
- Nếu các điều kiện đầu bằng 0 thì ta có thể biến đổi Laplace của phương trình vi
phân bằng cách thay s vào vị trí p, thay Y(s) vào vị trí y(t) và X(s) vào vị trí x(t).
Tức là:
Y(s) =
)(. sX
(s)L
(s)L
n
m

Và hàm truyền đạt là G(s) =
(s)L
(s)L
n
m


Vậy có mối quan hệ trong hệ thống điều khiển:
“Hàm phản ứng = Hàm truyền đạt x Hàm kích thích”
Nếu cho mẫu số của hàm truyền đạt bằng 0 ta sẽ có phương trình đặc trưng:
s
n
+ b
n-1
s
n-1
+ + b
1
s + b
0
= 0 trên cơ sở phương trình đặc trưng ta suy ra
các đặc tính chuyển tiếp của hệ thống.
- Hàm phản ứng (hàm chuyển tiếp) y(t) có thể xác định với việc biến đổi ngược hàm
Y(s)
y(t) = L
-1
[ Y(s)] = L
-1
[

(s)L
I(s) (s).X(s)L
n
m
+
]
Tìm y(t) theo 2 cách:
1) Dùng bảng để xác định các hàm thời gian tương ứng
2) Phân tích hàm đã biến đổi thành tổng những hàm đơn giản hơn và sau đó dùng
bảng để biến đổi ngược từng số hạng.
Thường dùng phương pháp 2 vì ít khi gặp các hàm đơn giản. Vậy ta tìm hiểu
phương pháp 2 như sau:
Y(s) =
(s)L
I(s) (s).X(s)L
n
m
+

Hàm kích thích X(s) hay tín hiệu vào có thể viết dưới dạng sau đây:
X(s) =
x
x
D
N

Y(s) =
)(
)(
sB

sA
=
+
xn
xxm
(s).DL
I(s).D (s).NL

ở đây A(s) và B(s) là những đa thức của s.
Để có thể chia Y(s) thành các phân thức, ta phân tích mẫu số B(s). Giả sử các
nghiệm của B(s) là r
1
, r
2
, , r
n
. Các nghiệm này có thể là nghiệm đơn, nghiệm bội
hay là số phức.
- Nghiệm đơn:
Y(s) =
n
n
2
2
1
1
rs
C

rs

C
rs
C
B(s)
A(s)
−
++
−
+
−
=

Xác định C
1
, C
2
, , C
n
ta dùng phương pháp sau
C
1
= ).Y(s)]r[(slim
1
rs
1
−
→

C
2

=
).Y(s)]r[(slim
2
rs
2
−
→


C
n
= ).Y(s)]r[(slim
n
rs
n
−
→

Biết được C
1
, C
2
, , C
n
tìm được biến đổi Laplace ngược trong bảng:

L
-1
[
n

n
r-s
C
] = C
n
. e
tr
n
( t
0≥
)
Vậy,
y(t) = L
-1
[ Y(s)] = C
1
. e
tr
1
+ C
2
. e
tr
2
+ + C
n
. e
tr
n

Hàm chuyển tiếp y(t) mong muốn là hàm tắt dần nên từng phần C
n
. e
tr
n
là hàm tắt
dần, tức là tất cả các nghiệm r
1
, r
2
, , r
n
cần phải là số âm.
- Nghiệm bội:
B(s) = (s-r)
q
.(s-r
1
).(s-r
2
) (s-r
n
)
Y(s) =
n
n
1
11
1q
1q

q
q
rs
C

rs
C
rs
K
r)(s
K
r)(s
K
B(s)
A(s)
−
++
−
+
−
++
−
+
−
=
−
−

Xác định K
q

: K
q
=
.Y(s)]r)[(slim
q
rs
−
→

Còn các hệ số còn lại xác định xác định bằng cách:
)r(s
r)(s
qC
)r(s
r)(s
qC r)(s2KKY(s)]r)[(s
ds
d
n
q
n
i
1q
12q1q
q
−
−
++
−
−

++−+=−
−
−−

K
q-1
= Y(s)]}r)[(s
ds
d
{lim
q
rs
−
→

K
q-2
= Y(s)]}r)[(s
ds
d
2
1
{lim
q
2
2
rs
−
→

K
q-k
= Y(s)]}r)[(s
ds
d
k!
1
{lim
q
(k)
(k)
rs
−
→

Vậy:
y(t) =
++++
−
+
−
−
−
−
rt
1
rt
2
rt2q

1q
rt1q
q
.eK
1!
.t.eK

2)!(q
.e.tK
1)!(q
.e.tK
C
1
. e
tr
1
+ C
2
. e
tr
2
+ + C
n
.
e
tr
n

-Nghiệm phức liên hợp:
Y(s) =

n
n
1
10
rs
C

rs
C
jbas
C
jb-as
C
B(s)
A(s)
−
++
−
+
+−
+
−
=

Xác định các hằng số C, C
0
tương ứng với các nghiệm phức liên hợp:
C =
]
)r) (sr(2jb).(s

A(s)
[lim]
)r) (srjb).(sajb).(sa(s
A(s)
jb).a[(slim
n1
jbas
n1
jbas
−−
=
−−+−−−
−−
+→+→

=
jb).K(a
2jb
1
+

K(a+jb) =
jbas +→
lim
)) (1(
)(4
n
rSrs
s
−−

= [(s
2
-2as+a
2
+b
2
.
sB
sA
/
/
)]
jbaS +=


Co =
jbas −→
lim [(s-a+jb)
)) ().().((
)(
1 n
rsrsjbasjbas
sA
−−+−−−
]
=
jbas −→
lim [
)).(.(2
)(

1 n
rsrsa
sA
−−−
] = -
a2
1
.K.(a-jb)
K(a+jb) =
jbas −→
lim [
)).((
)(
1 n
rsrs
sA
−−
] = -
a2
1
.K.(a+jb)
= [(
2
- 2as + a
2
+b
2
)
)(
)(

sB
sA
]
jbas −=

Các trị số k(a+jb) và k(a-jb) là các số phức liên hợp
Ta cần thể hiện các số này trên hình vẽ:
K(a+jb) = [k(a+jb)]e
α
j

K(a+jb) = [k(a+jb)]e
α
j

[k(a+jb)] = [k(a-jb)]
( Độ dài của véc tơ )

⇒ C và Co cũng là các số phức liên hợp .
C =
jb2
1
.[k(a+jb)].e
α
j−

Co = -[k(a+jb)]e
α
j−

Từ bảng laplace ta xác định hàm chuyển tiếp
y
)(t
= c.e
tjba ).( +
+Co.e
tjba ).( −
+C1.e
tr1
+ +Cn.e
rnt


)(t
y⇒ =
jb2
1
[k(a+jb)].e
tjba ).( +
.e
α
j−
+ -
jb2
1
[k(a-jb).e
tjba ).( −
.e
α
j−

+
=
jb2
1
[k(a+jb)].e
ta.
.e
)(
α
+btj
- e
)(
α
+− btj

=
b
1
[k(a+jb)].e
at
.
j
ee
btjbtj
2
)()(
αα
+−+
−

=
b
1
[k(a+jb)].e
at
.sin( )( bt+
α
+C1.e
tr1
+ +Cn.e
rnt

Phương trình trên thể hiện hàm điều hoà sin tắt dần theo hàm mũ, xuất phát
từnghiệm phức liên hợp Phần ảo b là tàn số dao động tắt dần . Thời gian của mỗi
dao động là
b
π
2
. Đường bao hình sin là
b
1
[k(a+jb)].e
at
. Để hàm mũ giảm dần thì a

O
j
t
(1/b).[K(a+ jb)](1/b).[K(a+ jb)].e
O

j
t
at
O
at
(1/b).[K(a+ jb)].e
t
j
t
O
b
j
a>0
a<0
a>0
a<0
a=0
phải là trị số âm . Trường hợp a = 0, ta sẽ có hàm sin có biên độ
b
1
[k(a+jb)].e
at

không đổi.

Hình 2.12
- Nếu các nghiệm nằm ở bên trái trục ảo ( a<0 ) thì dao động hình sin sex tắt dần,
nếu a=0 thì dao động với biên độ không đổi, nghiệm nằm ở bên phẩi trục ảo(a>0)
thì dao động sẽ tăng dần.
Cách khác xác định đáp ứng thời gian:
Đáp ứng thời gian có thể xác định bằng cách tìm các cực của G(s). X(s) vì
Y(s) = G(s). X(s) và ước lượng tìm các hệ số
của các phân thức của biểu thức Y(s)
tại các cực đó. Các hệ số có thể xác định bằng đồ thị nhờ một ánh xạ cực – không
của Y(s). ánh xạ này được dựng từ ánh xạ cực – không của G(s) và cộng thêm các
cực- không của X(s).
Các bước :
G(s) =
)p(s
)z(s.b
i
n
1i
i
m
1i
m

+∏
+∏
=
=

Vì G(s) là một hàm phức nên có thể viết dưới dạng cực như sau:
G(s) =
jφ
.eP(s) = P(s)
φ
∠


⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
)(Re
)(Im
tan
1
sG
sG
φ

σ
j
ω
-z
i
s
s+z
i
-p
i
s+p
i
σ
-p
1
(s)
j
ω
-z
1
-p
2
-p
3
-z
2
-z
1
σ
-z

2
-p
3
-p
2
j
ω
(s)
-p
1
a)
b)
c)
Mỗi số phức s, z
i
, p
i
, ( s + z
i
) và ( s + p
i
) có thể diễn tả bằng một vectơ trong mặt
phẳng S. Biểu diễn trên đồ thị:

Hình 2.13
Trong hình a) có một cực –p
i
và một không – z
i
và một biến phức S. Vectơ tổng s +
z
i
là vectơ bắt đầu từ không – z
i
và kết thúc tại s, vectơ s + p
i
bắt đầu từ cực – p
i
và
kết thúc tại s.
Độ lớn của
C
= b
m
.
pi) s ( cña vecto lín é§
zi)(s cña vecto lín é§
+

+
=
)p(s
)z(s.b
i
n
1i
i
m
1i
m
+∏
+∏
=
=

Trường hợp b):
1
C
=
)p).(sp(s
z).(sz(s.b
21
21m
++
++ )

Trường hợp c):
2
C =

)p).(sp(s
z).(sz(s.b
21
21m
++
++ )

Diễn tả theo dạng cực thì: C
i
=
i
j
i
eC
φ
. =
ii
C
φ
∠
Hoặc theo toạ độ vuông góc: C
i
=
iiii
CjC
φφ
sin cos. +
i
φ
= Tổng các góc của các vectơ từ các không đến – p

i
trừ đi tổng các góc của các
vectơ từ các cực tới –p
i
( nếu b
m
> 0)
i
φ
= Tổng các góc của các vectơ từ các không đến – p
i
trừ đi tổng các góc của các
vectơ từ các cực tới –p
i
+ 180
0
( nếu b
m
< 0)
-Phương pháp đồ thị này không áp dụng cho trường hợp có các cực trùng nhau
( nghiệm lặp).

G1 G2 G1xG2
RCRC
* Hàm truyền đạt trong lĩnh vực tần số
Việc phân tích hệ thống nằm trong hai lĩnh vực: Lĩnh vực thời gian và lĩnh vực tần
số.
-Trong lĩnh vực thời gian: nội dung chủ yếu là các đặc tính động lực của hệ thể hiện
trạng thái quá độ (đáp ứng quá độ). Ta đã dùng phương trình vi phân và biến đổi
Laplace để nghiên cứu các nghiệm của phương trình ( tức là các

đáp ứng của hệ).
Áp dụng biến đổi Laplace để giải các phương trình vi phân tuyến tính là phần quan
trọng nhất trong nghiên cứu trạng thái quá độ của các hệ tuyến tính thuộc lĩnh vực
thời gian.
Tuy vậy giải phương trình vi phân để phân tích trạng thái động lực của hệ thống
(tức là trong lĩnh vực thời gian) khá phức tạp đối với các hệ không đơn giản. Nhưng
phương pháp phân tích đ
áp ứng tần số ( thuộc lĩnh vực tần số) có thể đánh giá được
tính năng của hệ mà không cần giải phương trình vi phân. Phương pháp đáp ứng tần
số phân tích các tính năng của hệ xem như một hàm của tần số của tín hiệu vào
dạng sin mà không phải là khảo sát đáp ứng thời gian thực tế. Cũng có thể nói
phương pháp đáp ứng tần số phân tích đáp
ứng dạng sin ổn định của hàm truyền của
hệ.
Phương pháp này có nhiều ưu điểm:
- Cho phép ta ước lượng được dãy tần số ảnh hưởng đến tính năng của hệ
- Dễ chỉ cho ta biện pháp thay đổi hệ để đạt các tính năng yêu cầu trong việc
thiết kế các hệ thống điều khiển. Bằng đồ thị có thể chỉ cho ta bi
ện pháp
phán đoán vấn đề bằng các phương trình vi phân. Nếu các phương trình đã
được giải nhưng đáp ứng không đạt yêu cầu thì không dễ quyết định được
biện pháp thay đổi hệ thống để đạt chất lượng mong muốn. Phương pháp tần
số đã vượt qua được hạn chế đó.
- Đáp ứng có thể xác định bằng thực nghiệm cũng tốt không thua kém tính
toán giả
i tích. Ưu điểm này rất quan trọng khi mô tả các phần tử của hệ bằng
các phương trình vi phân.
2.2. Đại số sơ đồ khối
Sơ đồ khối là một trong các dạng mô hình toán của hệ thống điều khiển, trên sơ
đồ thể hiện đại lượng vào – ra của hệ thống và các tính chất của hệ thống.

Một số chuyển đổi cơ bản để rút g
ọn các sơ đồ khối phức tạp.
1. Tổ hợp các khối nối tiếp


Hình 2.14

+
+
<=>
R
G1
G2
C
R
C
G1+G2
R
+
+
C
G
A
B
<=>
+
+
C
G
G

B
A
A
B
G
1/G
+
+
<=>
B
G
C
+
A
C
G
C
<=>
B
G
C
1/G
C
B
B
B
C
G
<=>
G

G
B
C
C
C
Chứng minh : C= R.G1.G2 = G1.G2.R
2. Tổ hợp các khối song song



Hình 2.15
Tại điểm tụ C = R.G2 + R.G1 = ( G1+G2).R
3. Di chuyển điểm tụ về bên phải một khối :




Hình 2.16
Tại điểm tụ R = A + B
Nên C = G. ( A + B)
Sơ đồ tương đương là: C = A. G + B. G = G. ( A + B)
4. Di chuyển điểm tụ về bên trái một khối





Hình 2.17
5. Di chuyển điểm tán về bên ph
ải một khối

Hình 2.18
6. Di chuyển điểm tán về bên trái một khối



Hình 2.19
7. Rút gọn hệ thống

<=>
R
G
1+GH
C
B
C
H
G
R
+
-
E
E
-
+
R
G

1
H
C
B
G
2
+
E
+
R
G
H
C
B
+
-




Hình 2.20
Chứng minh:
Sơ đồ ban đầu: G =
E
C
⇔ C = E. G ; E = R - B ; B = C. H ;
E = R – C. H = R – E. GH
E. ( 1 + GH ) = R
E =
G.H1

R
+

Hàm truyền của hệ thống là:
R
C
=
G.H1
R
+
.
R
G
=
GH1
G
+

Từ biểu thức ta thấy: Nếu gia lượng tuyến thuận G lớn thì tích GH
≥ 1, lúc này gia
lượng mạch kín còn là
R
C
=
H
1

- Kết luận: Trạng thái của mạch kín phụ thuộc tính chất tuyến tính của phản
hồi H và độc lập với tuyến thuận ( về tính chất ). Nếu tuyến thuận có một vài
thay đổi do một vài lí do nào đó thì tuyến phản hồi sẽ trừ khử hiệu quả sự

thay đổi của đầu ra. Vì thế không cần điều chỉnh hệ thống, nhưng phải
điều
chỉnh phần tử phản hồi H.
- Nếu mạch kín bị cắt đứt như hình vẽ:





Hình 2.21
Hàm truyền toàn mạch còn G
1
. G
2
. H được xem như hàm truyền của mạch hở.
G
1
. G
2
. H =
E
.H.GE.G
E
C.H
E
B
21
==
* Sơ đồ khối dạng chính tắc:

ư
Hình 2.22

BE
HG
C
Các đại lượng sau cần xác định rõ:
G: Hàm truyền tuyến thuận
H: Hàm truyền tuyến phản hồi
GH: Hàm truyền mạch hở.



Hình 2.23
R
C
: Hàm truyền mạch kín (tỷ số điều khiển)
R
E
: Tỷ số tín hiệu tác động ( tỷ số sai lệch )
R
B
: Tỷ số phản hồi cơ bản
Ta có liên hệ sau:
R
C
=
GH1
G

±

* Hệ phản hồi đơn vị:
Một hệ phản hồi đơn vị là một hệ trong đó tín hiệu phản hồi cơ bản B bằng đầu ra
C. Đây là một trường hợp đặc biệt hay gặp trong thực tế và là sự so sánh trực tiếp
giữa đầu ra và đầu vào chuẩn. Vì lúc này khối phản hồi có giá trị đơn vị là 1 nên
hàm truyền mạch kín là:

R
C
=
G1
G
+

Trường hợp này xảy ra khi đầu ra mô phỏng lại đầu vào chuẩn. Bất kỳ hệ phản hồi
nào nếu chỉ có các phần tử tuyến tính trong tuyến phản hồi đều có thể đặt dưới dạng
một hệ phản hồi đơn vị bằng cách dùng chuyển đổi 4, ta được sơ đồ khối sau:


E
+
R
G
H
C
B
+

+

B
C
G.H
R
+
E
1
H

E = R
± B E =
H
R
± B
B = C.h B = C
Hình 2.24
⇒
R
C
=
GH
G
±1


B
C
G2
+
G1

R
+
-
+
H
U
C(R)
G2G1
R
+
-
H
E =
G
C
E=
HG
C
.

HG
C
.
⇒ =
H
R
± C

C (
HG.

1
± 1) =
H
R

* Hệ có nhiều tín hiệu vào ra :
Nhiều hệ có nhiễu U, hoặc có nhiều tín hiệu vào ( nhiều kích thích ) đồng thời với
tín hiệu vào chuẩn R, chúng áp lên hệ tại các điểm khác nhau và mang lại cho hệ
những tính năng khác nhau.
Khi trong một hệ tuyến tính có mặt nhiều tín hiệu vào ta phải xử lí từng tín hiệu
độc lập với nhau, sau đó dựa trên nguyên lí chồng chất cộng đại số các đáp ứng cá
biệt của t
ừng tín hiệu với nhau ta sẽ được tín hiệu ra tổng cộng của hệ khi mọi tín
hiệu đồng thời tác động lên hệ.
Có nghĩa là ta giả thiết từng tín hiệu vào tác dộng riêng biệt đến hệ ( các tín hiệu
vào còn lại giả thiết bằng không ) lần lượt làm như vậy với từng tín hiệu vào, sau đó
thực hiện một phép cộng đại số các đáp ứng nói trên, để tìm đáp ứ
ng riêng của từng
tín hiệu vào, đôi khi cần đến thủ thuật rút gọn sơ đồ khối về dạng chính tắc bằng
cách dùng một trong bảy chuyển đổi trên.
* MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1 : Xác định dầu ra C của hệ thống:





Hình 2.25
Cho U = 0 hệ thống đơn giản hoà thành :

Hình 2.26
Xác định đầu ra :
C
)(R
=
2.11
2.1
GG
GG
+
.R
+ Cho R = 0 , chỉ có đầu vào U ta có sơ đồ sau

C(U)
G2
U
+
-
G1.H
H
+
+
U
G
2
C
G

1
-
G
2
-
+
R
1
G
1
C
1
G
3
G
4
+
-
C
2
R
2



Hình 2.27
Tại điểm tụ, trước khối G1 có dấu âm nên phản hồi là phản hồi âm (đổi dấu phản
hồi ban đầu)

⇔


Hình 2.28

⇒ C
)(U
=
HGG
G
.2.11
2
+
.U
Vậy đầu ra tổng cộng khi cả 2 tín hiệu vào R, U tác động là:
C = C
)(U
= C
)(R
= (
HGG
GG
1
21
2.1
+
).R +
HGG
G

1
21
2
+
.U
* Nhận xét : Từ C
)(U
=
HGG
G
1
21
2
+
.U
Nếu G
21
.G .H ≥ 1 thì C
)(U
≈
HG .
1
1
.U
Tác dụng của nhiễu U vào hệ thống bị giảm đáng kể khi hàm truyền của mạch hở
tăng . Vì thế với gia lượng G
1
lớn có thể cho một đầu ra chính xác ( Đầu ra rất
không nhạy cảm với nhiễu) .
Ví dụ 2 : Hệ có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra

Tmà C
1
, C
2
= ?








Hình 2.29

C
1
G
1
R
1
+
-
G
2
G
3
.G
4
-

G
2
.G
3
.G
4
+
+
R
1
G
1
C
1
C
1
G
1
R
1
+
-
G
2
G
4
G
3
R
2

+
-
C
12
G
2
R
2
+
-
(-G
1
).G
3
.G
4
G
2
-
+
R
2
G
4
C
12
G
1
G
3

-
+ Trước hết bỏ qua C
2
, hệ thống chỉ còn một đầu ra C
1

Đầu tiên bỏ qua R
2
= 0 :














Hình 2.30
⇒ C
11
=
4321
1
.G.G.GG1

G
−
.R
1

Bỏ qua R
1
= 0, hệ thống còn R
2
và C
12
.









Hình 2.31
C
12
=
2
4321
431
.R
.G.G.GG1

.G.GG
−
−

Vậy đầu ra C
1
do R
1
và R
2
tác động là: C
1
= C
11
+ C
12
=
4321
1
.G.G.GG1
G
−
.R
1
+

-
G
1
G

4
C
2
G
2
R
1
+
-
G
3
G
1
.G
2
-
+
R
1
G
3
C
21
+
R
2
-
G
4
Cho R

2
= 0
C
21
G
3
R
1
+
-
G
1
.G
2.
(-G
4
)
G
3
C
22
G
4
R
2
+
-
G
1
.G

2
-
G
1
.G
2.
G
3
+
+
R
2
G
4
C
22
+
2
4321
431
.R
.G.G.GG1
.G.GG
−
−
=
4321
243111
.G.G.GG1
.R.G.GG.RG

−
−

* Bỏ qua C
1
để tìm C
2
ta có:













Hình 2.32
C
21
=
1
4321
421
.R
.G.G.GG1

.G.GG
−
−

Cho R
1
= 0:







Hình 2.33
C
22
=
4321
24
.G.G.GG1
.RG
−

Vậy đầu ra C
2
do R
1
, R
2

tác động là:
C
2
= C
21
+ C
22
=
1
4321
421
.R
.G.G.GG1
.G.GG
−
−
+
4321
24
.G.G.GG1
.RG
−
=
4321
142124
.G.G.GG1
.R.G.GG.RG
−
−

Ví dụ 3: Rút gọn sơ đồ khối về dạng chính tắc



+
H
1
G
3
G
4
+G
1
-
+
R
H
2
C
-
G
2
G
2
-
C
H
2
G
3

R
+
-
G
4
+G
1
G
3
H
1
+
C
G
4
+G
1
-
+
R
H
2
G
3
G
2.
G
3
1 + G
2.

G
3.
H
1













Hình 2.34
Hàm truyền của hệ thống:
2241132
3241
232413132132
1323241
.H).GG(G.H.GG1
.G).GG(G
].H.G).GG(G).G.H.GG).[(1.H.GG(1
).H.GG.(1.G).GG(G
R
C
G

+++
+
=
=
++++
++
==

* Nguyên tắc rút gọn sơ đồ khối phức tạp về dạng sơ đồ chính tắc
- Tổ hợp các khối nối tiếp theo chuyển đổi 1
- Tổ hợp các khối song song theo chuyển đổi 2
- Triệt tiêu các mạch phản hồi phụ theo chuyển đổi 7
- Di chuyển điểm tụ sang trái và điểm tán sang phải của mạch chính theo các
chuyển đổi 4 và 5.
- Làm lại từ bước 1 đến 4 cho
đến khi nhận được dạng chính tắc với 1 tín hiệu vào
riêng biệt.
- Làm lại từ bước 1 đến bước 5 đối với mỗi tín hiệu vào.
2.3. Graph tín hiệu và qui tắc Mason
2.3.1. Graph tín hiệu
Các hệ thống điều khiển còn được mô tả bằng mô hình toán là Graph tín hiệu.
Graph tín hiệu thể hiện bằng đồ thị sự truyền tín hiệu trong hệ thống, nhưng dễ dàng
hơn các dạng mô hình toán khác.
Xét phương trình đơn giả
n:
X
i
= A
ij
. X

j

Các biến X
i
, X
j
: là hàm thời gian, hàm biến phức hoặc hằng số, hoặc là hằng số.

NótNót
Nh¸nh
X
j
X
i
A
ij
A
in
X
i
X
2
X
1
X
n
A
i2
A
i1

A
ij
là một toán tử ánh xạ X
j
vào trong X
i
nên A
ij
gọi là hàm truyền ( hàm truyền
đạt).
Khi X
i
, X
j
các hàm của biến Laplace S ( biến phức).
Mỗi biến số trong Graph được
Mỗi biến số trong Graph được kí hiệu bằng một nút mỗi hàm chuyển được ký hiệu
bằng một nhánh, các nhánh đều có hướng ký hiệu bằng mũi tên diễn tả dòng tín
hiệu.


Hình 2.35
* Quy tắc hội tụ ( cộng vào):
Tổng các tín hiệu đi vào một nút bằng giá trị các nút đó.
Tổng quát:
X
i
=
∑
=

n
1j
jij
.XA





Hình 2.36
*Quy tắc phân kỳ ( chuyển ra): Giá trị của một nút có thể chuyển ra từng nhánh rời
khỏi nút đó.
Nếu ta có: X
i
= A
ik
; i = 1,2, , n.
Thì Graph như hình vẽ:

Ajk
Xk X2
X1
Xn
A2k
A1k
Xn
Ank

Hình 2.37
* Quy tắc nhân: Nhiều nhánh nối tiếp nhau có thể thay bằng một nhánh có hàm

chuyển bằng tích các hàm chuyển của các nhánh đó.