Tài liệu Chuyên đề cực trị - tiếp tuyến (Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt) pptx

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Cho
(m 1)x m
(Cm) : y
xm
−+
=
−
.
Đònh m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ x
0
= 4 thì
song song với đường phân giác thứ 2 của góc hệ trục.

y
|
= =
|
m
f(x)
2
2
m
(x m)
−
−

Để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm với đường phân giác
2
():y xΔ =− , ta phải có:

2
|2
m
2
m
f1 1m(4m)m
(4 m)
−
=− ⇔ =− ⇔ = − ⇔ =
−
2
2


Cho
2
(3m 1)x m m
(C): y ,m 0.
xm
+−+
=
+
≠Tìm m để tiếp tuyến với (C) tại giao điểm với trục hoành
song song y = x. Viết phương trình tiếp tuyến.

Hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành
2
0
mm 1
x,m0,

3m 1 3
−
⎧⎫
=∉
⎨⎬
+
⎩⎭
,1−

2
|
2
4m
y
(x m)
=
+

Tiếp tuyến tại điểm (C) có hoành độ // y = x
2
22
000
2
0
4m
14m(xm) xmx 3m
(x m)
=⇔ = + ⇔ = ∨ =−
+

2
2
mm
m1
m
3m 1
1
m
mm
3m
5
3m 1
⎡
−
=−
=
⎡
⎢
+
⎢
⎢
⇔⇔
⎢
=−
−
⎢
−=
⎣
⎢
⎣+

•

tiếp tuyến tại (-1,0) có pt : y = x + 1
m=−1
•

1
m
5
=−
tiếp tuyến tại
3
,0
5
⎛
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
có pt :
3
yx
5
= −

Cho
m
(C): y x 1
x1

=−+
+
.Tìm m để có điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thò vuông góc nhau

Gọi là điểm cần tìm là đường thẳng (d) qua M
000
M(x,y)
0
yk(xx)y⇒= − +
0
0

(d) là t
2

00 0
2
0
m
x1 k(xx)y kxkkkx y
x1
1
1k
(x 1)
⎧
−+ = − + = + − − +
⎪
+
⎪
⇔

⎨
⎪
−=
+
⎪
⎩
0

00
m
x1 k(x1)(1x)ky
x1
1
x1 k(x1)
x1
⎧
−+ = + − + +
⎪
⎪
+
⇔
⎨
⎪
+− = +
⎪
⎩+

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

00

2
m1
x1 x1 (1x)k y
x1 x1
1
1k
(x 1)
⎧
−+ = +− − − +
⎪
++
⎪
⇔
⎨
⎪
=−
⎪
+
⎩

[]
0
00
0
2
2
2
2
00
m1

y2
y2(x1)k
k
x1
x1
m1
(1 k)(m 1)
y2(x1)k (1k)(m1)
x1
+
⎧
+
⎧
=+− +
⎪
≠
+
⎪
⎪
+
⇔⇔
⎨⎨
+
⎛⎞
⎪⎪
=− +
+− + = − +
⎜⎟
⎩
⎪

+
⎝⎠
⎩

0
0
22 2
000000
y2
k
x1
(x 1) k 2(2m x )y 2x y 2)k (y 2) 4m 0 (*)
+
⎧
≠
⎪
+
⇔
⎨
⎪
++− −−−++−=
⎩

Từ M
0
kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau
pt (*)⇔
có 2 nghiệm thỏa k
1
k

2
= -1 và khác
0
0
y2
x1
+
+

0
0
22
00
y2
k
x1
m0
(x 1) (y 2) 4m
+
⎧
≠
⎪
+
⇔⇒
⎨
⎪
++ + =
⎩
>

Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thò
x1
y
x3
+
=
−
với trục hoành , biết rằng tiếp tuyến đó
vuông góc với đường thẳng y = x + 2006

|
2
4
y,
(x 3)
=− ∀ ≠
−
x3
Gọi (T) là tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 , khi đó (T) có hệ số góc là K
T
= -1
. Gọi (x
0
,y
0
) là tiếp điểm của (d) và (C) , ta có
0
|
2

0
0
T
x5
4
Ky 1
x1
(x 3)
=
⎡
=⇔−=− ⇒
⎢
=
−
⎣

•


00 1
x1y 1(T):y x=⇒ =−⇒ =−
•


00 2
x5y3(T):y x=⇒ =⇒ =−+8
{ } { }
12
(T ) (Ox) O(0,0) ; (T ) (Ox) A(8,0)∩= ∩=

Cho hàm số
x2
yf(x)
x1
+
==
−
; gọi đồ thò hàm số là (C) , và A(0,a).Xác đònh a để từ A kẻ được 2 tiếp
tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp tuyến tương ứng nằm về 2 phía đối với trục Ox


Phương trình tiếp tuyến (T) với (C) tại
0
000 0 0
|
(x )
M(x,y):y y f
(x x )
−=
−

0 0
00
2 2
00 00
x2 x2
33
y(xx);A(0,a)(T):a
x 1 (x 1) x 1 (x 1)

⎛⎞ ⎛⎞
++
⇔− =− − ∈ − =− −
⎜⎟ ⎜⎟
−− −−
⎝⎠ ⎝⎠
(x)

0
0
2
2
00
00
0
(x )
x1
x10
g (a 1)x 2(a 2)x a 2 0
(a 1)x 2(a 2)x a 2 0
≠
⎧
−≠
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
= −−+ ++=
−−+ ++=
⎩

⎪
⎩

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Qua A kẻ được 2 tiếp tuyến khi
0
(x )
g 0
=
có 2 nghiệm phân biệt khác 1
và
|2
2
g
a1 0
(a 2) (a 2)(a 1) 0 2 a 1
g(1) (a 1)1 2(a 2)1 a 2 0
⎧
−≠
⎪
Δ= + − + − > ⇔−< ≠
⎨
⎪
=− − + ++≠
⎩
Khi đó gọi là 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Ox
111 2 2 2
M (x ,y ),M (x ,y )
12 1212

12
12 1212
x2x2 xx2(xx)4
yy 0 0 0(1)
x1 x1 xx (xx)1
⎛⎞⎛⎞
++ +++
⇔<⇔ <⇔ <
⎜⎟⎜⎟
−− −++
⎝⎠⎝⎠

Trong đó x
1
,x
2
là nghiệm của có
0
g(x ) 0=
12
12
2(a 2)
xx
a1
a2
xx
a1
+
⎧
+=

⎪
⎪
−
⎨
+
⎪
=
⎪
⎩−

(1)
a24(a2)4(a1) 9a6
00
a22(a2)a1 3
++ + + − +
⇔<⇔
+− + +− −
<
2
0a
2
a1
3
3
Đk 2 a 1
⎫
⇔⇔>−
⎪
⇒− < ≠
⎬

⎪
−<≠
⎭


Cho hàm số có đồ thò (C) . Tìm điểm M thuộc đồ thò (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại M đi qua gốc toạ độ
32
y2x 3x 12x1=+−−


Ta có
|2
00
y 6x 6x 12 , M(x ,y )=+− ⇒
tiếp tuyến tại M
(C)∈

|2 32
00 0 0 0 0 0 0
0
(x )
yy (x x ) y (6x 6x 12)(x x ) 2x 3x 12x 1 (T)
=−+=+−−++−−

(T) qua gốc toạ độ O(0,0)
32 2
00 0 00
:4x3x10 (x1)(4xx1)0
++=⇔+ −+=

00
x1y12 M(1,1⇔=−⇒= ⇒−2)

Cho hàm số
3
1
yxx
33
=−+
2
có đồ thò (C) . Tìm trên đồ thò (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thò (C)
vuông góc với đường thẳng
12
yx
33
=− +


Gọi
3
000
1
Ax, x x
33
⎛
−+
⎜
⎝⎠
2
⎞

⎟
là điểm bất kỳ thộc (C) .
Tiếp tuyến (T) với (C) có hệ số góc
2
0
0
|
(x )
k y (x 1) (1)==−

Do (T) vuông góc với đường thẳng
12
yx
33
=− +

k3
⇒=
Khi đó
2
00
x13 x 2
−= ⇔ =±
Vậy
12
4
A2, ,A(2,0)
3
⎛⎞
−

⎜⎟
⎝⎠


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Cho hàm số
2
x3x6
y
x1
−+
=
−
, đồ thò (C) . Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhêu tiếp tuyến đến hàm số
(C) , tìm toạ độ tiếp điểm

Gọi (T) là tiếp tuyến của (C)
QuaO
Hệ số góc k
⎧
⎨
⎩
(T) : y kx⇔=
2
2
2
x3x6
kx
x1

x2x3
k
(x 1)
⎧
−+
=
⎪
−
⎪
⇔
⎨
−−
⎪
=
⎪
−
⎩
có nghiệm
22
(x 1)(x 3x 6) (x 2x 3)x
x1
⎧
−−+=−−
⇔
⎨
≠
⎩
2
x6x30
x3 6

x1
⎧
−+=
⇔⇔=
⎨
≠
⎩
±

Vậy từ O kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C)
1
2
M(3 6,363)
x3 6 y363
M(36,363
x3 6 y 363
⎡
⎡⎡
=+ −
=+ = −
⇒⇒
⎢
⎢⎢
=− − −
=− =− −
⎢
⎢⎢
⎣⎣
⎣
)

Cho hàm số
32
y mx (m 1)x (m 2)x m 1 , (Cm)=−−−++−
1.Tìm m để (Cm) đạt cực đại tại x = -1
2.Khi m = 1 , tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

1.m =1
2.
3
(C): y x 3x ; A(a,2) (d) : y 2 (d) : y k(x a) 2=− ∈ =⇒ = −+
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ
3
2
x3xk(xa)2
3x 3 k
⎧
− =−+
⎨
−=
⎩

2
x1
f(x) 2x (3a 2)x 3a 2 0
=−
⎡
⇔
⎢

=−+++=
⎣

Qua A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) có 2 nghiệm khác 1
f(x) 0⇔=
f
(1)
0
f0
−
Δ>
⎧
⇔
⎨
≠
⎩
2
(3a 2) 8(3a 2) 0
aa
3
23a23a2 0
a1
⎧
+− +>
2
< −∨>
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨

++++≠
⎩
⎪
≠−
⎩

Vậy điểm cần tìm là A(a,2)
;
2
aa2a
3
<− ∨ > ∧ ≠−
1
1


Cho hàm số , đồ thò (C). Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ
được 3 tiếp tuyến đến (C)
42
yx2x=− + −

Gọi A(0,a) , (d) là đường thẳng qua A dạng
Oy∈ :y kx a= +

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ :
42
42
3
x2x1kxa
3x 2x 1 a 0 (1)

4x 4x k
⎧
−+ −= +
⇔−−−=
⎨
−+=
⎩

Từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) khi (1) phải có 3 nghiệm
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

1a 0 a 1
⇔− − = ⇔ =−
. Khi đó
42
2
3x 2x 0 x 0 x
3
−=⇔=∨=±

Vậy toạ độ điểm cần tìm là A(0,-1)



Cho hàm số ; đồ thò (C)
32
yx 3x 2=− +
1.Qua A(1,0) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến ấy
2.CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên

1.Gọi (d) là đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng
yk(x1)= −
là tiếp tuyến của (C) khi hệ
32
2
x3x2k(x1
3x 6x k
⎧
−+=−
⎨
−=
⎩
)
3
b
có nghiệm
3
(x 1) 0 x 1 k 3⇔− =⇒=⇒=−
Vậy có 1 tiếp tuyến (d) : kẻ đến (C)
y3x=− +
2.Gọi (T) là tiếp tuyến khác của (C) song song tiếp tuyến tại A dạng
y3x= −+

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ :
32
2
x3x2 3xb
3x 6 3
⎧
−+=−+

⎨
−=−
⎩
32
bx 3x 2
b3 (T):y 3x3
x1
⎧
=− +
⇔⇒=⇒=−
⎨
=
⎩
+

(T) (d)≡
vậy không có tiếp tuyến nào khác song song với tiếp tuyến tại A

Cho hàm số
4
2
x
y3x
22
=− +
5
a
, có đồ thò (C)
1.Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thò tại điểm M có hoành độ
M

x=
.CMR hoành độ các giao điểm của
tiếp tuyến (d) với đồ thò là nghiệm của phương trình
22 2
(x a) (x 2ax 3a 6) 0− ++−=

2.Tìm tất cả các giá trò của a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thò tại 2 điểm P,Q khác nhau và khác M.Tìm
qũy tích trung điểm K của đoạn thẳng PQ

1.Gọi
44
22
(a)
|
(a)
a5 a5
Ma, 3a (C) y 3a y 2a(a 3)
22 22
⎛⎞
−+∈⇒=−+⇒ = −
⎜⎟
⎝⎠
2

Tiếp tuyến tại M có phương trình
242
35
y2a(a 3)x a 3a
22
=−−++

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là :
4
224
x5 3
3x 2a(a 3)x a 3a
22 2
−+= −− ++
2
5
2
2

22 2
(x a) (x 2ax 3a 6) 0⇔− + + −=
2.Qũy tích trung điểm K
Theo trên để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P và Q và khác M thì phương trình : = 0 có
2 nghiệm khác a
2
x2ax3a6++−
|2 2
222
a3
a(3a6)0
a1
a2a3a60
⎧
⎧
<
Δ= − − >

⎪
⇔
⎨⎨
≠
++−≠
⎪
⎩
⎩

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Khi đó
K
42
KKK
xa;x3;x
K
75
yx9x
22
⎧
=− ≤ ≠
⎪
⎨
=− + +
⎪
⎩
1

Vậy quỹ tích trung điểm K là đường cong

42
7
yx9x
22
5
= −++
và giới hạn bởi 1x 3≠≤

Cho hàm số có đò thò là (Cm).Đònh m để các tiếp tuyến của đồ thò (Cm) tại A và
B điểm cố đònh vuông góc nhau
42
yx2mx2m=− + − +1
x

Điểm cố đònh A(-1,0) B(1,0) và
|3
y4x4m=− +
||
AB
y 44m;y 44m
⇒=− =−+

Tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau
||
B
A
y .y 1
⇔ =−

35

(4 4m)(4m 4) 1 m m
44
⇔− −=−⇒=∨=

Cho hàm số
x1
y
x1
+
=
−
có đồ thò (C) . Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ có thể kẻ
được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

Gọi A(0,a) qua A có phương trình
Oy∈ (d)⇒ ykxa= +

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ
2
2
2
x1
kx a
x1 2x
x1
a(a1)x2(a1)xa10(1
2
x1 (x1)
k
(x 1)

+
⎧
=+
⎪
+−
−
⎪
⇒= +⇔−−+++=
⎨
−
−−
⎪
=
⎪
−
⎩
)

Từ A có thể kẻ được 1 tiếp tuyến đến (C)
(1)⇔
có 1 nghệm

Xét
(1)
1
a1 0 a 1 4x2 0 x A(0,1)
2
−= ⇔ = ⎯⎯→− + = ⇒ = ⇒



a1 0 a 1
a1A(a,1
'0 2a20
⎧
−≠ ≠
⎧
⇔⇔=−⇒
⎨⎨
Δ= + =
⎩
⎩
)−

Cho hàm số
x1
y
x1
−
=
+
có đồ thò (C)
Tìm trên đường thẳng y = x những điểm sao cho có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thò và góc giữa 2
tiếp tuyến đó bằng
4
π


Gọi M(x
0

,y
0
) tiếp tuyến tại M tiếp xúc (C) dạng
00
yx M(x,x)∈=⇔ ⇒
0
yk(xx)x
0
= −+ (d)
Phương trình hoành độ của (d) và (C)
00
x1
kx kx x (1)
x1
−
−+=
+

Theo ycbt thì (1) có nghiệm kép
2
00 0 0
kx (k kx x 1)x x kx 1 0
⇔+−+−+−+=
có nghiệm kép
22 2 2
000
k0
(1 x ) k 2(x 3)k (x 1) 0 (2)
≠
⎧

⇔
⎨
Δ= + − + + − =
⎩
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) tạo thành góc
4
π

(2)⇔
có 2 nghiệm phân biệt thỏa
2
12 12
12 12
kk kk
tan 1 1
1k.k 4 1k.k
⎛⎞
−−
π
= =⇔ =
⎜⎟
++
⎝⎠

0
0
22
2

2
0
00
12 12
00
k
x1
x10
8(x 1) 0
2(x 3) x 1
51
(k k ) 5k .k 1 0
(1 x ) x 1
≠
⎧
+≠
⎧
⎪
⎪
⇔Δ= + > ⇔
⎡⎤⎡⎤
⎨⎨
+−
0
− −=
⎢⎥⎢⎥
⎪⎪
+− −=
++
⎩

⎣⎦⎣⎦
⎩

0
0
2
0
x1
M( 7, 7)
x7
x18
M( 7, 7)
⎧
≠−
−−
⎧
⎪
⇔⇔=±⇒
⎨⎨
+=
⎩
⎪
⎩


Cho Parabol . Tìm những điểm trên trục Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được 2 tiếp
tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau 1 góc 45
2
(P) : y 2x x 3=+−
0

Gọi M(0,m) . Phương trình qua M có hệ số góc k là
ykOy∈ xm(d)= +

Phương trình hoàng độ giao điểm của (P) và (d) là :
22
2x x 3 kx m 2x (1 k)x m 3 0 (1)+−= + ⇔ +− − −=
(d) là tiếp tuyến của (P) khi (1) có nghiệm kép
0
⇔ Δ=

2
k2k8m250(2⇔−+ += )
5

Có
12 12
kk 2;k.k 8m2+= = +
Hai tiếp tuyến hợp nhau 1 góc 45
0
khi
0
21
12
kk
tan 45 1
1k.k
−
==
+

22
1 2 12 12
(k k) 4kk (1 kk)
⇔+ − =+
(3)
Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tạo nhau góc 45
0
khi (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa (3)
|
2
2
k
m3
18m 25 0
16m 112m 193 0
44(8m25)(8m26)
<−⎧
Δ=− − = ⎧
⇔⇔
⎨⎨
+ +=
−+=+
⎩
⎩

314 314
mm
44
+−

⇔=− ∨=

Vậy
12
314 314
M0, ,M0,
44
⎛⎞⎛
+−
−
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎟
⎠


Cho hàm số
2
x
y
x1
=
−
gọi đồ thò là (C) . Tìm trên đường y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể
kẻ tới (C) 2 tiếp tuyến lập nhau góc 45
0

Gọi A(a,4) là đường thẳng tuỳ ý trên y = 4
Gọi (T) là đường thẳng
Qua A(a,4)
có dạng: y k(x a) 4
Có hệ số góc là k
⎧
= −+
⎨
⎩

Và mọi đường thẳng (T
1
) và (T
2
) đi qua A có hệ số góc k đều có dạng :
12
yk(xa)4vàyk(xa)4=−+ =−+
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Do (T
1
) và (T
2
) tạo nhau 1 góc 45
0
khi
0
12
12
kk

tan 45
1k.k
−
=
+

22 22
12 1 2 12 1 2 12
(1 kk) (k k) (1 kk) (k k) 4kk 0 (1)
⇔+ = − ⇔+ − + + =

Do (T) là tiếp tuyến của đồ thò (C)
2
x
k(x a) 4
x1
⇔=−+
−
có nghiệm kép
2
(1 k)x (4 ka k)x 4 ka 0⇔− −− − +− = có nghiệm kép khác
1
2
22
k1
1k 0
k (a 1) 4(a 2) 0 (2)
(a 1) k 4(a 2)k 0
⎧
≠

⎧
−≠
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎡⎤
−− − =
Δ= − − − =
⎪
⎪
⎣⎦
⎩
⎩
Qua A kẻ được tới (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 gó 45
0
khi phương trình (2) có 2 nghiệm k
1
,k
2
(k 1)≠

và thỏa mãn hệ thức (1)
2
k0
4(a 2)
k
(a 1)
=
⎧
⎪

−
⎨
=
⎪
−
⎩
thỏa mãn (1) khi
2
2
2
2
2
4(a 2)
k1
a3
(a 1)
a1
4(a 2)
a2a70
k0.(10) 0 4.00
(a 1)
−
⎧
=≠
≠
⎧
⎪
−
⎪⎪
⇔≠

⎨⎨
−
⎡⎤
⎪⎪
+ −=
=+−+ +=
⎩
⎢⎥
⎪
−
⎣⎦
⎩

a12
a12
⎡
=− −
⇔
⎢
=− +
⎢
⎣
2
2

Vậy
12
A( 1 2 2,4), A( 1 2 2,4)−− −+

Cho hàm số
2
xx2
y
x1
++
=
−
có đồ thò (C) . Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thò tại A vuông
góc với đường thẳng đi qua A và có tâm đối xứng của đồ thò

Giả sử
00
0
4
Ax,x 2
x1
⎛
++
⎜
−
⎝⎠
⎞
⎟
là điểm bất kỳ trên (C) và I(1,3) là giao điểm 2 đường tiếm cận
00
0
4
AI 1 x ,1 x
x1

⎛⎞
⇒=− −−
⎜⎟
−
⎝⎠
uur

Như vậy là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AI
AI
uur
Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tiếp xúc với (C) tại A , có hệ số góc
|
2
00
0
(x )
4
ky 1 a 1,1
(x 1) (x 1)
⎛⎞
==− ⇒=−
⎜
−−
⎝⎠
r
2
4
⎟
là vectơ chỉ phương của (d) ; do đó
(d) (AI) a.AI 0

⊥⇔=
r uur

0
4
x18⇒=±

Vậy có 2 điểm
44
44
12
44
4388 4388
A1 8, ,A1 8,
88
⎛⎞⎛
−+ ++
−+
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎟
⎠


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Cho hàm số

2
x3x2
y
x
−+
=
.Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ được 2 tiếp
tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau

Gọi M(1,m) .Đường thẳng (T) qua M có hệ số góc k dạng :
x1∈=
yk(x1)m= −+

Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) khi hệ
2
2
2
x3x2
k(x 1) m
x
x2
k
x
⎧
−+
=−+
⎪
⎪
⎨
−

⎪
=
⎪
⎩
( I ) có 2 nghiệm thỏa mãn
11
22
(x ,k )
(x ,k )
⎧
⎨
⎩
12
k.k 1= −
Từ ( I )
2
(m 2)x 4x 2 0 (*) , x 0⇒+ −+= ≠
Theo ycbt
22
12
22
12
m20
'42(m2)0
(x 2) (x 2)
.1
xx
⎧
⎪
+≠

⎪
⎪
⇔Δ=− + >
⎨
⎪
−−
⎪
=−
⎪
⎩

22
12 1 2 12 12
m2
m0
(xx ) 2 (x x ) 2xx 4 (xx )
⎧
≠−
⎪
⎪
⇔<
⎨
⎪
⎡⎤
−+− +=−
⎪
⎣⎦
⎩
22
2m0

244
24
m2 m2 m2 m2
−≠ <
⎧
⎪
⎡⎤
⇔
⎨
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
−−+=−
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
⎪
+++
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
⎩
2
2
+
2
2m0
2m0
m3
m6m20
m37
−≠ <
⎧

−≠ <
⎧
⎪
⇔⇔⇔=
⎨⎨
++=
=− ±
⎪
⎩
⎩
7−±

Vậy
12
M(1, 3 7),M(1, 3 7)−− −+


Cho hàm số .Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến của đồ
thò (C) , trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
3
yx 3x=+
2

Gọi M(m,0) là điểm bất kỳ trên trục hoành
Đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc là k dạng :
yk(xm)= −

(d) là tiếp tuyến (C) khi
32
2

x3x k(xm)
(I)
3x 6x k
⎧
+=−
⎨
+=
⎩
Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau khi ( I ) có 3 giá trò k
sao cho 2 trong 3 giá trò đó tích bằng -1
Khi đó ( I )
32 2 2
x 3x (3x 6x)(x m) x 2x 3(1 m)x 6m 0
⎡⎤
⇔+ = + − ⇔ +− − =
⎣⎦
2
x0
2x 3(1 m)x 6m 0 (*)
=
⎡
⇔
⎢
+− − =
⎣

Theo ycbt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
2
m3
3m 10m 0

1
m0
m0
3
<−
⎡
⎧
Δ= + +>
⎢
⇔⇔
⎨
⎢
− <≠
≠
⎩
⎣