Tam giác trong các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

WWW.VNMATH.COM
1
TAM GIÁC TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ

DẠNG 1:
Ba điểm cực trị tạo thành tam giác.

Ví dụ 1. ( DB-2004 ). Cho hàm số


422
21
m
yx mx C  (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1
2. Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân .
GIẢI
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
2. Ta có :

32 22
22
0
'4 4 4 0 0(*)
x
yxmxxxm m
xm


   





- Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị . Gọi ba điểm cực trị là :




44
0;1 ; ;1 ; ;1
A
Bm mCm m 
. Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác
vuông cân , thì đỉnh sẽ là A .
- Do tính chất của hàm số trùng phương , tam giác ABC đã là tam giác cân rồi , cho
nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông , thì AB vuông góc với AC.





44
;; ;; 2;0AB m m AC m m BC m  

  

Tam giác ABC vuông khi :



222 22828
4BC AB AC m m m m m



24 4
210;11mm m m

Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán .
* Ta còn có cách khác
- Tam giác ABC là tam giác vuông khi trung điểm I của BC : AI = IB , với


4
0;
I
m



428 222282
0; ; ;0
I
AmIAmIBm IBmIAIBmm         

. Hay
4
11mm



Ví dụ 2 : Cho hàm số
12
24
 mxxy (1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1
2.Tìm các giá trị của tham số m để đồ thi hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường
tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1.
GIẢI.
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C).
2. Ta có
mxxy 44'
3









mx
x
y
2
0
0'

- Hàm số có 3 cực trị
 y’ đổi dấu 3 lần

phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt
 m > 0
Khi m > 0 , đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị là
)1;0(,)1;(,)1;(
22
CmmBmmA 

- Gọi I là tâm và R là bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.
WWW.VNMATH.COM
2
Vì 2 điểm A, B đối xứng qua trục tung nên I nằm trên trục tung.
Đặt I(0 ; y
0
). Ta có : IC = R






2
0
1)1(
0
0
2

0
y
y
y

)0;0(OI 
hoặc
)2;0(I

* Với
)0;0(OI 
IA = R
















2
51

2
51
1
0
021)1(
2422
m
m
m
m
mmmmm

So sánh điều kiện m > 0, ta được m = 1 và m =
2
51

* Với I(0 ; 2)
IA = R
021)1(
2422
 mmmmm
(*)
Phương trình (*) vô nghiệm khi m > 0
Vậy bài toán thỏa mãn khi m = 1 và m =
2
51

BÀI TẬP

Câu1. Cho hàm số

42
21yx mx m


(1) , với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1m

 .
2. Xác định
m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo
thành một tam giác có diện tích bằng
42
.
Câu 2. Cho hàm số
422
yx 2mx 1


(1), trong đó m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam
giác có diện tích bằng 32.
Câu 3. Cho hàm số
422
2
y
xmxmm



(1) , với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
2m

 .
2. Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị
tạo thành một tam giác có góc bằng 120
0
.
Câu 4. Cho hàm số y = x
4
– 2m
2
x
2
+ 1, (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích của tam giác
ABC bằng 32.
Câu 5. Cho hàm số y = x
4
– 2m
2
x
2
+ 1 (1)
1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 1
2. Tìm m để đồ thị h/s (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân

Câu 6. Cho hàm số
42
yx 2x 2m


có đồ thị (C
m
) với m là tham số .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).của hàm số khi m = 0 .
WWW.VNMATH.COM
3
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của
đồ thị (
m
C ) là một tam giác vuông cân.
Câu 7. Cho hàm số
55)2(2
224
 mmxmxy
.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2.Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu tạo thành một tam giác
vuông cân.
Câu 8. Cho hàm số y = x
4
– 2mx
2
+ m – 1 . (1)
1. Khảo sát và và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2. Xác định m để hàm số (1) có ba cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo

thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Câu 9. Cho hàm số
mmmxxy 
224
22
(1) với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m =  1.
2 Định m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác
vuông.
Câu 10. Cho hàm số
42 4
yx 2mx 2mm=- + +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
m1=

2. Xác định m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực
tiểu của đồ thị hàm số (1) lập thành một tam giác đều.
DẠNG 2 :
Hai điểm cực trị và một điểm khác tao thành một tam giác.

Ví dụ 1. Cho hàm số




32 2 2
33 1311yxx m xm     
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (1) với m=1
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu

cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
GIẢI
1. Học sinh tự vẽ đồ thị .
2. Ta có :

22
'3 63 1yxxm   
- Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì :


22
'3 63 1yxxm

 =0 có hai nghiệm phân
biệt

22
1
2
'99 1 0 9 0; 0(*)
33
1
3
33
1
3
mmm
m
xm
m

xm
        














- Với điều kiện (*) hàm số có cực đại , cực tiểu .Gọi




11 2 2
;; ;
A
xy Bxy
là hai điểm cực
đại ,cực tiểu của hàm số . Nếu A, B cùng với O tạo thành tam giác vuông tại O thì OA
vuông góc với OB :
.0OAOB 
 

- Ta có :
 


11 2 2 12 12
;; ; . 01OA x y OB x y OAOB x x y y
  

- Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm của nó , ta có :
 


32 2 2 2 2 2 2
1
33 13 1 363 12 2 1
33
x
xx m xm xxm mxm





WWW.VNMATH.COM
4
- Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :

22
221ymx m




- Do đó :
 






2
22 2 2 2 2 2
11 2 2 12 12 12
221;221.4 41 41ymx m ymx m yymxx m xx m   
- Áp dụng Vi-ét cho (1)
12
2
12
2
.1
xx
x
xm





, thay vào :







42 2 22 2 24
12
41 2(1)(1)4 11yy m m m m m m m

  


- Vậy :




 
22 24 2 24
12 12
0(1 )4 11 0 141 10xx yy m m m m m m m

  


Hay :
 

2

224
2
42
1
1
10
134 4 0; *
3
6
4430
2
2
m
m
m
mmm
m
mm
m








   





 






Kết luận : Với m thỏa mãn (*) thì hai điểm cực đại , cực tiểu của hàm số cùng với O
tạo thành tam giác vuông tại O .
Ví dụ 2. Cho hàm số




32
331 13
m
yx x mx m C   

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m = 1 .
2. Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu
cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 .
GIẢI
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C).
2. Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
 x
2
– 2x + (1 – m) = 0 có 2 nghiệm phân biệt





0' 1 – (1 – m) > 0 m > 0 (*)
- Với điều kiện (*), hàm số có CĐ, CT . Gọi




11 2 2
;; ;
A
xy Bxy
là hai điểm cực trị .
Với
12
,
x
x là hai nghiệm của phương trình
2
(21)
x
xm


= 0 (1) .
- Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm của nó , ta được :
222'
3

1
3







 mmxy
x
y
. Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
là d : y = -2mx + 2m + 2 .
11 2 2
222; 222ymxmymxm     
.
- Ta có :
   
22
22
21 12 21 21 21
;2 ( ) 4 4 1ABxxmxx AB xx mxx xx m       


- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (AB), h là khoảng cách từ O đến AB thì :
2
41
|22|
m

m
h




-
|1|||
41
|22|
.41||
2
1
.
2
1
12
2
2
12



 mxx
m
m
mxxhABS
- Theo giả thiết :

2

2
4.12 14; 14
1
mmm mm







32 2
24013401mmm m mm m  

Kết luận : với m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán .

BÀI TẬP
Bài 1. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ m , (1).
WWW.VNMATH.COM
5
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu
và gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
Bài 2. Cho hàm số
322 3
33(1)yx mx m xm m    

(1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1
2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị và các điểm cực trị đó với gốc tọa độ tạo thành một
tam giác vuông tại O
Câu 3. Cho hàm số
32
1
23
3
yxxx


(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) .
2. Gọi
A, B lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M
thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2.
Câu 4. Cho hàm số


32 2 2
33 131yx x m xm

    
(1), với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1m

.
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị

cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
Câu 5. Cho hàm số
23
23
 mxxxy
(1) với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.
2.Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của
đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
DẠNG 3 :
Giao điểm của các đồ thị và một điểm khác tao thành tam giác.

Ví dụ 1.Cho hàm số


32
34yx x C 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc là k ( k thuộc R). Tìm k
để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B, C ( B, C khác A )
cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
GIẢI
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
2. Đường thẳng d đi qua A(-1; 0) với hệ số góc là k , có phương trình là :
y = k(x+1) = kx+ k .
- Nếu d cắt (C) tại ba điểm phân biệt thì phương trình: x
3
– 3x
2

+ 4 = kx + k
 x
3
– 3x
2
– kx + 4 – k = 0  (x + 1)( x
2
– 4x + 4 – k ) = 0






044)(
1
2
kxxxg
x
có ba nghiệm phân biệt

g(x) = x
2
– 4x + 4 – k = 0 có hai
nghiệm phân biệt khác - 1
(*)90
09
0
0)1(
0'














k
k
k
g

Với điều kiện : (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C .Với A(-1;0) , do đó B,C
có hoành độ là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0.
- Gọi
 
11 2 2
;; ;
B
xy Cxy với
12
;
x
x là hai nghiệm của phương trình :

2
44 0xx k
.
Còn
11 2 2
;ykxkykxk 
.
- Ta có :



 
2
22
21 21 21 21
;11
B
C x xkx x BC x x k x x k       


WWW.VNMATH.COM
6
- Khoảng cách từ O đến đường thẳng d :
2
1
k
h
k



- Vậy theo giả thiết :
23 3 3
3
2
11 1 11
2121
22 2 4
4
1
k
ShBC k k k k k k
k
 


Đáp số :
3
1
4
k 
, thì thỏa mãn yêu cầu của bài toán .
Ví dụ 2. Cho hàm số

2
m
mx
yH
x





1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) với m = 1
2. Tìm m để đường thẳng d : 2x + 2y - 1= 0 cắt


m
H tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho tam giác OAB có diện tích bằng
8
3
.

GIẢI
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (H).
2. Đường thẳng d viết lại :
1
2
y
x. Để d cắt


m
H tại hai điểm phân biệt A, B thì
phương trình:
0222)()2(
2
1
2

2



mxxxgxx
x
xm
có hai nghiệm phân
biệt khác - 2




















2

16
17
024
0)22(81
0)2(
0
m
m
m
m
g
(*)
- Gọi
  
22
1 1 2 2 2112 21 21 21
11
;;; ; 2
22
Ax xBx x ABxxxx AB xx xx xx
 

 
 


- Khoảng cách từ O đến d là h , thì :
22
1
1

22
22
h




- Theo giả thiết :
21
11 11117163
.2.
22 4428
22
m
SABhxx
a

  

Hay :
17
11716 3 1
;17163
16
42 8 2
16 8
m
m
mm
m





   




, thỏa mãn điều kiện (*) .
- Đáp số : m =
2
1
.
Ví dụ 3. Cho hàm số

21
1
x
yC
x




1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2.Tìm tham số m để đường thẳng d : y = - 2x + m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A,
B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 .

GIẢI

1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
WWW.VNMATH.COM
7
2. Nếu d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình :
)1(01)4(2)()1(2
1
12
2



mxmxxgxmx
x
x
có hai nghiệm phân biệt
khác -1












01)1(
08

0)1(
0)1(8)4(
22
g
m
g
mm
2
80mmR

 .
Chứng tỏ với mọi m d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B
- Gọi :




11 2 2
;2 ; ;2
A
xxmBxxm 
. Với :
12
,
x
x là hai nghiệm của phương trình (1)
- Ta có :




1
22
21 2 21 21 21
;2 4 5ABxx xx AB xx xx xx      

.
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d , thì khoảng cách từ O đến d là h :
2
5
21
mm
h 


- Theo giả thiết :
21
2
11 11
.5 83
22 224
5
xx
SABh m


 

Vậy :
22222
8 4 .3 8 4 .3 40 2 10 (*)mmmm      

Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán .

Ví dụ 4 . Cho hàm số




32
234
m
yx mx m x C    (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m = 2 .
2. Tìm m để đường thẳng d : y = x + 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A,
B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4 . ( Điểm B, C có hoành độ khác
không ; M(1;3) ).
GIẢI
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
2. Đồ thị (1) cắt d tại ba điểm A,B,C có hoành độ là nghiệm của phương trình :

32 2
2
0
2344;220
220
x
xmxmx x xxmxm
xmxm




        





2
'2012(*)mm m m        

Với m thỏa mãn (*) thì d cắt (1) tại ba điểm A(0; 4) , còn hai điểm B,C có hoành độ là
hai nghiệm của phương trình :
2
2
'20
220 12;2
20
mm
xmxm m mm
m

   
   




- Ta có :
     
22

11 22 2121 21 21 21
;4; ;4 ; 2Bxx Cxx BC xxxx BC xx xx xx


-Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d . h là khoảng cách từ M đến d thì :
21 21
134
11
2. 2.2
22
2
hSBChxxxx

      

- Theo giả thiết : S = 4
22
21
4; 2 ' 4; 2 4 6 0xx mm mm

Kết luận : với m thỏa mãn :
23 3mmm    
( chọn ).

Bài 5 . Cho hàm số
32
23(1)2yx mx m x


(1), m là tham số thực

WWW.VNMATH.COM
8
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi 0m

.
2.Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng
:2yx

 
tại 3 điểm phân biệt
(0;2)A
;
B; C sao cho tam giác
M
BC
có diện tích
22
, với (3;1).M

Giải.
2. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với
()

là:
32
23(1)2 2xmx mx x


2
02

() 2 3 2 0(2)
xy
gx x mx m




  


Đường thẳng
() cắt dồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C 
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0.





















3
2
12
023
023
0)0(
0'
2
m
mm
m
mm
g

Gọi

11
;
B
xyvà

22
;Cx y , trong đó
12
,
x
x là nghiệm của (2);

11
2yx

 và
12
2yx 
Ta có

312
;( )
2
hdM




2
2.2 2
4
2
MBC
S
BC
h
  

Mà
222 2
21 21 21 12
()()2()4

B
Cxx yy xx xx

    

=
2
8( 3 2)mm


Suy ra
2
8( 3 2)mm=16 0m(thoả mãn) hoặc 3m

(thoả mãn)
BÀI TẬP.
Bài 1. Cho hàm số y = x
3
+ 2mx
2
+ (m + 3)x + 4, có đồ thị (Cm).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2. Cho d là đường thẳng có phương trình y = x + 4 và điểm K(1 ; 3). Tìm m để d cắt
(Cm) tại ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC có diện tích bằng
28
.
Bài 2. Cho hàm số
32
23(1)2
y

xmx mx    (1), m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
0m

.
2.Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng
:2yx

 
tại 3 điểm phân biệt
(0;2)A
;
B; C sao cho tam giác
M
BC có diện tích 22, với
(3;1).M

Bài 3. Cho hàm số y =
1
12


x
x
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2. Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao
cho tam giác OMN vuông góc tại O. ( O là gốc tọa độ)
Bài 4. Cho hàm số
2



x
xm
y
có đồ thị là )(
m
H , với
m
là tham số thực.
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi
1

m
.
2.Tìm m để đường thẳng
0122:


 yxd
cắt )(
m
H tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo
thành một tam giác có diện tích là
.
8
3
S

Câu 5. Cho hàm số yx x

32
34

 có đồ thị là (C).
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
WWW.VNMATH.COM
9
2. Gọi
k
d là đường thẳng đi qua điểm
A
(1;0)

với hệ số góc
k
k()

¡ . Tìm
k
đểđường
thẳng
k
d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với
gốc toạ độ
O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
Câu 6 . Cho hàm số yx x
32
32

 có đồ thị là (C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt
(C) tại ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng
2
.
Câu 7 . Cho hàm số
21
1
x
y
x



(C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm m để đường thẳng d:
yxm
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
OAB vuông tại O.
DẠNG 4: Tiếp tuyến cùng với các trục tọa đô tạo thành tam giác.

Ví dụ 1. (KA-2009). Cho hàm số


21 1
232223
x
yC
xx





1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành , trục tung
lần lượt tai hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O .

GIẢI
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
2.Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại



00 0 0
2
0
1
;:
23
M
xy d y xx y
x
 


- d cắt trục Oy tại B :






2
00 00
00
22 2
0
00 0
2286
1
23
23 23 23
B
xx xx
yxy
x
xx x


     

 

- d cắt trục Ox tại A :


2
000
00 0
2

00
0
2242
1
0
23 23
23
AA A
xxx
xx y xx x
xx
x


       



- Tam giác OAB cân


 


2
2
2
00
00
0

00
22
00
00
43
13
1
21
;
23 23
23 23
xx
xx
x
xx
OA OB
xx
xx




   




 

0

00
2
000 00
00
2
00
00
10
2
0
;3123;220;
31
3
20
(2 3) 2 3
x
xy
xxx xx
xx
xy
xx



 








  

 



Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán :

12
2
0; ; 2;0
3
MM










Ví dụ 2. (KD-2007). Cho hàm số

2
1
x

y
C
x



WWW.VNMATH.COM
10
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) , biết tiếp tuyến tại M cắt hai trục Ox, Oy tại hai
điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
4
1
.


GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Gọi

0
00 0
0
2
;
1
x
Mxy C y
x




- Tiếp tuyến tại M là d :

 
2
2
0
000
2
0
0
2
2
2120
1
1
x
yxx xxyx
x
x




- d cắt Ox tạiA.
)0;(0)1(
1
2
)(

)2(
2
0
2
0
2
0000
0
0
0
2
0
xAxxxxxx
x
x
xx
x
AAA






- d cắt Oy tại điểm B :


 
22
00 0

0
222
0
000
22 2
2
00;
1
111
BB
xx x
yxyB
x
xxx








- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d, h là khoảng cách từ O đến d thì :
4)1(
|2|
4
0
2
0



x
x
h






















4
0
4
0

4
0
4
0
4
0
4
0
2
2
0
2
0
2
0
)1(
4)1(
)1(
4
)1(
2
;
x
x
x
x
x
xAB
x
x

xAB


Vậy :


 
4
2
4
0
0
2
0
0
22
4
00
0
2
14
11 1

22 4
11
14
x
x
x
SABh x

xx
x

  



Cho nên

22
00
2
00 00
4
00
22
00
00 00
11
21210
41
1
2
21210
2
xy
xx xx
xx
xy
xx xx

 


 

  



 
    




Do đó có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán :

12
1
1;1 ; ; 2
2
MM






Ví dụ 3: Cho hàm số
1

23
 xxy
có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lượt tại
A, B và tam giác OAB cân tại O.

GIẢI.
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
2. Gọi
1)();(
2
0
3
0000
 xxyCyxM
.
- Tiếp tuyến tại M là d:
)1())(23(
2
0
3
000
2
0
 xxxxxxy
WWW.VNMATH.COM
11
- d cắt trục Ox tại A :
0

2
0
2
0
3
0
2
0
3
000
2
0
23
12
)1())(23(0
xx
xx
xxxxxxx
AA
















0;
23
12
0
2
0
2
0
3
0
xx
xx
A

- d cắt trục Oy tại B:
12)1()0)(23(
2
0
3
0
2
0
3
000
2
0

 xxyxxxxxy
BB

)12;0(
2
0
3
0
 xxB

- Tam giác OAB cân tại O nên OA = OB
12
23
12
2
0
3
0
0
2
0
2
0
3
0



 xx
xx

xx
















































)2(01
23
1
)12(
)1(01
23
1
)12(
12
23
12
12

23
12
0
2
0
2
0
3
0
0
2
0
2
0
3
0
2
0
3
0
0
2
0
2
0
3
0
2
0
3

0
0
2
0
2
0
3
0
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx

(1)













VN
x
xx
xx
1
0123
012
0
0
2
0
2
0
3
0

(2)
























3
1
1
3
1
,1
1
0123
012
0
0
00
0
0
2
0
2
0

3
0
x
x
xx
x
xx
xx

Tứ (1) và (2) ta có :
3
1
1
00
 xvàx
* Với
)0;0(1
0
OBAx  (loại)
* Với
27
32
:
3
1
0
 xydx .

Ví dụ 4: Cho hàm số
mxxy 

23
3
. (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0
2. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox,
Oy lần lượt tại các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng
2
3
.

GIẢI:
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
2. Với
21
00

 myx M(1 ; m – 2)
- Tiếp tuyến tại M là d:
2))(63(
00
2
0
 mxxxxy

 d: y = -3x + m + 2.
- d cắt trục Ox tại A:










 0;
3
2
3
2
230
m
A
m
xmx
AA

- d cắt trục Oy tại B :
)2;0(2

 mBmy
B

-
9)2(32
3
2
3||||
2
3

||||
2
1
2
3
2


 mm
m
OBOAOBOAS
OAB













5
1
32
32
m

m
m
m

WWW.VNMATH.COM
12
Vậy : m = 1 và m = - 5
BÀI TẬP
Câu 1
. Cho hàm số y =
1
12


x
x

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này cắt hai trục tọa độ tạo thành
một tam giác có diện tích bằng
6
1
.
Bài 2. Cho hàm số:
1
2( 1)
x
y
x





1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2.Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ
một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0.
Câu 3. Cho hàm số
3
1
)2()12(
3
4
23
 xmxmxy có đồ thị là (C
m
)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
2. Gọi A là giao điểm của (C
m
) với trục tung. Tìm m sao cho tiếp tuyến của (C
m
) tại A
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
3
1

DẠNG 5 : Tiếp tuyến cùng với các tiệm cận tạo thành tam giác.

Ví dụ 1. Cho hàm số


23
2
x
y
C
x




1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B
sao cho vòng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất . Với I là giao hai
tiệm cận .
GIẢI
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
2.Tiếp tuyến của (C) tại
);(
00
yxM là


0
2
0
0
11
:2
2
2

dy xx
x
x








- d cắt tiệm cận đứng : x = -2 tại A


0
2
00
0
112
22 2
22
2
A
yx
xx
x
  




- d cắt tiệm cận ngang : y = 2 tại B


00
2
0
0
11
2222
2
2
BB
xx x x
x
x
     



- Như vậy:
)2;2(;)2;22(;
2
1
2;2
0
0











 IxB
x
A

- Ta có :

00 0
000
11111
0; ; 2 4; 0 ; 2 4; ; . .2 2 1
22222
IA IB x AB x S IA IB x
xxx
  
    
  

  
  

Do :
4

4
ABIBIA
R
R
ABIBIA
S 

WWW.VNMATH.COM
13
1
)2(
1
.)2(42
2
1
4
)2(
1
)2(4|2|2
.
|2|
1
2
0
2
0
2
0
2
00

0







x
x
x
xx
x

Dấu bằng xáy ra khi :



00
24
000
2
0
00
1
222
111
2
42 ; 2 ; 2
1

4
2
2
222
2
xy
xxx
x
xy

    


 


    



-Kết luận : Có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán .






 22;
2
1

2
1
M ;






 22;
2
1
2
2
M

Ví dụ 2.(DB-2007). Cho hàm số

1
1
11
x
yC
xx



1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2. Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận cắt nhau tạo
thành một tam giác cân .

GIẢI
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
2.Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm


00
;
M
xy, thì d :


00 0
2
0
0
11
1
1
1
yxxyy
x
x







- Nếu d cắt tiệm cận đứng : x = -1 tại điểm B :




 
00 0
00
2
00 0 0
0
11
11
11;
111 1
1
B
xx x
yxy B
xxx x
x





 



- Khi d cắt tiệm cận ngang : y=1 tại điểm A , thì :


  
00 0 0
2
0
1
12121;1
1
AA
xx y x x Ax
x
      


- Goi giao hai tiệm cận là I(-1;1) . Tam giác IAB là tam giác cân khi : IA = IB


























221
1
1
221
1
1
1
1
1
)22(
0
0
0
0
0
0
2
0
0
2
0

22
x
x
x
x
x
x
x
x
xIBIA
















3
2
2
00

02
)(022
00
00
0
2
0
0
2
0
yx
yx
xx
VNxx

Với x = 0 và y = 0 , ta có tiếp tuyến : y = x
Với x = -2 và y = 2/3 , ta có tiếp tuyến : y = x+8/3 .



WWW.VNMATH.COM
14
Ví dụ 3. Cho hàm số
2
32



x
x

y

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận
của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao
cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nh
ất.
GIẢI
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C).
2. Ta có:
2x,
2x
3x2
;xM
0
0
0
0











,


2
0
0
2x
1
)x('y




Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:

2x
3x2
)xx(
2x
1
y:
0
0
0
2
0







Toạ độ giao điểm A, B của


và hai tiệm cận là:

2;2x2B;
2x
2x2
;2A
0
0
0












Ta thấy
M0
0BA
xx
2

2x22
2
xx




,
M
0
0BA
y
2x
3x2
2
yy






suy ra M là trung điểm của AB.
Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác
IAB có diện tích
S =





























 2
)2x(
1
)2x(2
2x
3x2

)2x(IM
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2

Dấu “=” xảy ra khi








3x
1x
)2x(
1
)2x(
0
0
2
0

2
0

Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)
BÀI TẬP.
Bài 1
. Cho hàm số
2
32



x
x
y

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của
(C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao
cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nh
ất.
Bài 2. Cho hàm số
2
23



x
x
y

có đồ thị (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2.Gọi M là điểm bất kỳ trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của
(C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm tọa độ M sao cho
đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.