Trắc địa - Phần 1 Những kiến thức cơ bản về trắc địa - Chương 2 doc

21
Chương 2

NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT SAI SỐ
I. KHÁI NIỆM CHUNG VỀ CÁC DẠNG ĐO
Đo 1 đại lượng là quá trình so sánh đại lượng cần đo với đại lượng cùng
loại được chọn làm đơn vị.
- Đo trực tiếp: Là phép đo cho ngay giá trị bằng số của đại lượng cần đo.
Ví dụ: đo chiều dài một đoạn thẳng bằng thước thép, đo một góc bằng thước
đo độ.
- Đo gián tiếp: Là giá trị của một
đại lượng cần đo được tính toán dựa vào
giá trị của đại lượng đo trực tiếp .
Ví dụ: Muốn đo diện tích hình tam giác ta đo trực tiếp hai đại lượng là
cạnh đáy và chiều cao.
- Đo cùng độ chính xác và đo không cùng độ chính xác: Nếu kết quả đo nhận
được trong cùng một điều kiện thì khi đó gọi là cùng độ chính xác, còn kết quả đo
được trong điều ki
ện đo khác nhau thì kết quả đo đó sẽ không cùng độ chính xác.
* Các điều kiện đo là: Cùng một người đo, cùng một phương pháp đo,
cùng số lần đo, cùng một loại máy đo hoặc nếu khác loại máy nhưng có cùng độ
chính xác, cùng điều kiện ngọai cảnh giống nhau.
- Đại lượng đo: Là chiều dài một cạnh, độ lớn một góc.
- Kết quả đo: Là trị
số nào đó đo được của đại lượng đo.
- Đại lượng đo cần thiết và đại lượng đo thừa.
Để xác định một đại lượng nào đó ta chỉ cần đo một số đại lượng tối thiểu,
số đại lượng tối thiểu gọi là số đại lượng cần thiết.
Ngoài số đại lượng cần thiết ta đ
o thừa một số đại lượng, đại lượng đo thừa
có tác dụng kiểm tra và nâng cao độ chính xác kết quả cần tìm.

Ví dụ: Trong một tam giác chỉ cần đo hai góc là đủ, góc thứ 3 tính được
bằng cách lấy 180
0
trừ đi tổng hai góc đã đo. Nếu đo cả 3 góc thì ở đây đại
lượng đo cần thiết là 2, đại lượng đo thừa là 1.


II. SAI SỐ ĐO, PHÂN LOẠI SAI SỐ ĐO
II.1. Sai số đo
Bất kỳ 1 phép đo nào dù hoàn chỉnh đến đâu cũng vẫn còn sai số. Chênh lệch
giữa gía trị đo được l và giá trị thực của đại lượng đo X gọi là sai số, ký hiệu là Δ,
ta có:
Δ = l – X (2-1)
Trong đó: Δ - là sai số thực.
22
l - là giá trị đo được.
X - là giá trị thực.
* Các nguyên nhân sinh ra sai số là:
- Máy và dụng cụ đo: dù hoàn chỉnh đến đâu vẫn còn tồn tại sai số.
- Người đo: giác quan con người có hạn chế nên bắt mục tiêu, đọc số có
sai.
- Môi trường: thời tiết, địa hình.
II.2. Các loại sai số đo

II.2.1. Sai số sai lầm
Chủ yếu do nhầm lẫn như đọc sai, ghi sai… để khắc phục ta phải đo nhiều
lần và tiến hành kiểm tra từng bước.
II.2.2. Sai số hệ thống:
Là sai số sinh ra chủ yếu do chế tạo dụng cụ máy móc không hoàn chỉnh.
Đặc điểm của sai số hệ thống là sai số có dấu và trị số không đổi hoặc biến

đổi theo một quy luậ
t nào đó.
Ví dụ: Dùng thước thép đo chiều dài, thước có chiều dài ngắn hơn chiều
dài tiêu chuẩn 1 cm. Như vậy đo một đoạn thẳng mỗi lần đặt thước sẽ phạm phải
sai số là -1 cm, nếu đặt thước 5 lần mới hết chiều dài đoạn thẳng thì kết quả
nhận được của phép đo có sai số là: 5.(-1) = -5cm. Khi đã biết sai số hệ thống ta
có thể loại trừ sai số này.
II.2.3. Sai số ngẫu nhiên (SSNN)
+ SSNN là sai số xuất hiện có trị số và dấu không theo một quy luật nhất định.
+ SSNN không thể loại bỏ mà chỉ làm giảm bớt bằng cách sử dụng máy tốt,
phương pháp đo và tính toán hoàn chỉnh.
Lý thuyết của toán xác xuất đã chứng minh được 4 tính chất đặc biệt của
SSNN là:
+ Trị số tuyệt đối của SSNN không vượt quá một giớ
i hạn nhất định. Trị số
giới hạn này phụ thuộc vào điều kiện đo và phương pháp đo.
+ Những SSNN có trị số tuyệt đối nhỏ thường xuất hiện nhiều hơn SSNN
có trị số tuyệt lớn.
+ Những SSNN có dấu dương (+) và SSNN có dấu âm(-) thường xuất hiện
với số lần và độ lớn ngang nhau khi số lần đo khá lớn.
+ Trị trung bình c
ộng của SSNN sẽ tiến tới “0” khi số lần đo tăng lên vô hạn.

(2-2)

Trong sai số dùng dấu tổng Gauss [ ] thay dấu ∑
[
]
0=
Δ

→∝
n
Lim
n
23

III. CÁC TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA ĐẠI LƯỢNG ĐO
TRỰC TIẾP
Muốn biết độ chính xác của phép đo và độ tin cậy của giá trị cuối cùng ta
dựa vào các tiêu chuẩn đánh giá sau đây:
III.1. Sai số trung bình
III.1.1. Sai số trung bình cộng là trị trung bình của trị tuyệt đối các sai
số thực trong dãy kết quả đo, nghĩa là :

(2-3)
Trong đó: Δ
i
- là sai số thực ( i=1, 2, 3, , n).
θ - là sai số trung bình cộng.
n - là số lần đo.
III.1.2.Ví dụ
Có 2 tổ cùng đo một đại lượng, mỗi tổ đo 4 lần với các sai số thực của các
lần đo như sau:
Tổ 1: Δ
1
= -5; Δ
2
= -3; Δ
3
= +7; Δ

4
= +1
Tổ 2: Δ
1
= +5; Δ
2
= -4; Δ
3
= -3; Δ
4
= +4
Hãy dùng sai số trung bình cộng để đánh giá xem tổ nào đo chính xác hơn?



So sánh thấy θ
1
= θ
2
như vậy 2 tổ đo có độ chính xác ngang nhau. Nhưng
thực tế ta thấy biến động sai số của tổ 1 lớn hơn (từ -5 đến +7).
Biến động sai số của tổ 2 nhỏ hơn (từ -4 đến +5) nên ta thấy sai số trung
bình cộng chưa đánh giá được độ biến động của sai số thực.
III.2. Sai số trung phương (do nhà Bác học Gauss đề xuất)

III.2.1. Sai số trung phương (SSTP) là căn bậc hai số trung bình cộng
của tổng bình phương các sai số thực trong dãy đo, nghĩa là:

(2-4)

Trong đó: m - là sai số trung phương.
n - là số lần đo.
Δ
i
- là sai số thực. ( i= 1, 2, 3, , n).

SSTP đại diện cho toàn thể các sai số chứ không đại diện cho sai số cá biệt
nào.
[
]
nn
n
Δ
=
Δ++Δ+Δ
=

21
θ
4
4
16
4
1735
1
==
++++−+−
=
θ
4

4
16
4
4345
2
==
++−+−++
=
θ
[
]
nn
m
n
22
2
2
1
2
Δ
±=
Δ++Δ+Δ
=
24

III.2.2. Ví dụ
Cũng theo ví dụ trên dùng sai số trung phương để đánh giá ta có:

So sánh thấy m
2
< m
1
nghĩa là dùng SSTP để đánh giá thì tổ 2 đo chính xác
hơn.
Như vậy ta thấy dùng SSTP để đánh giá nó làm nổi bật những sai số có giá
trị lớn, nên đánh giá độ chính xác bằng SSTP xác đáng hơn đánh giá độ chính
xác bằng sai số trung bình cộng.
III.3. Sai số giới hạn (SSGH)
Khi biết được sai số trung phương ta có thể biết được sai số giới hạn
Δgiớihạn (còn gọi là hạn sai) lý thuyết sai số
đã chứng minh được mối quan hệ
này là: Δ giới hạn = 3m, nghĩa là lấy 3 lần sai số trung phương làm sai số giới
hạn.
Trong trắc địa, do yêu cầu độ chính xác cao người ta lấy sai số giới hạn
bằng 3 lần SSTP, tức là:
Δ giới hạn = 2m (2-5)
Như vậy từ sai số gới hạn ta biết được khoảng xuất hiện các SSNN hoặc
biết được SSGH ta xác
định được SSTP từ đó xác định được điều kiện đo để đạt
độ chính xác cao theo yêu cầu.
III.4. Sai số tuyệt đối, sai ssố tương đối
III.4.1. Sai số tuyệt đối
Các sai số trung bình cộng, sai số trung phương, sai số giới hạn còn gọi là
sai số tuyệt đối ký hiệu là m
x
.
III.4.2. Sai số tương đối
Tỷ số giữa sai số tuyệt đối và giá trị trung bình của đại lượng đo dưới dạng

phân số có tử số là 1 gọi là sai số tương đối ký hiệu là:

(2-6)
Trong đó : m
x
- là sai số tuyệt đối.
L - là trị trung bình cộng.
T - là mẫu số của sai số tương đối làm tròn đến hàng chục, hàng
trăm, hàng nghìn nếu giá trị tương ứng của nó biểu thị trăm, nghìn, vạn.
- Ví dụ: Độ dài đoạn thẳng tính được trung bình là L = 196m, với sai số trung
58,4
4
84
1
±=±=m 06,4
4
66
2
±=±=m
x
x
mLL
m
T /
11
==
25
phương là m
S
= 0,25m, hãy tính sai số tương đối của đoạn thẳng đó ?

-


Khi so sánh, sai số tương đối càng nhỏ thì độ chính xác càng cao.
Chú ý: Vì sai số đo góc không phụ thuộc vào độ lớn của góc nên khi cần biểu
thị sai số đo góc dưới dạng sai số tương đối ta chia sai số do góc m
β cho ρ cùng
loại:



IV. CÁC TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ ĐỘ CHÍNH XÁC ĐẠI LƯỢNG ĐO GIÁN TIẾP
Muốn đánh giá độ chính xác đại lượng đo gián tiếp, ta cần tìm sai số trung
phương của hàm số các đại lượng đo trực tiếp.
IV.1. Hàm có dạng Z = kx + c
(2-7)
Trong đó: Z - là hàm số ; k, c - là hằng số ; x - là đại lượng đo.
Đại lượng đo x có sai số thực là Δx, khi đó hàm Z có sai số ΔZ, nghĩa là:
Z + ΔZ = k (x + Δx) + c = kx +c + kΔx (2-8)
Suy ra ΔZ = kΔx (2-9)
Nếu đại lượng x đo được n lần thì:
ΔZ
1
= kΔx
1
ΔZ
2
= kΔx
2

(2-10)
………….
ΔZ
n
= kΔx
n

Bình phương hai vế của (2-10) rồi lấy tổng sẽ được:
[ΔZ
2
] = k
2
[Δ
2
x] (2-11)
Chia hai vế của (2-11) cho n được:
(2-12)

Theo (2-4) có thể viết (2-12) ở dạng SSTP của hàm và biến:
m
2
2
= K
2
m
2
x

hoặc m

Z
= K.m
X
(2-13)
Ví dụ: Bán kính vòng tròn được xác định với sai số ± 0,29mm. Tìm SSTP
độ dài vòng tròn ?
S = 2πR = 2,3,14. R
m
S
= 2.3,14. m
R
= 2.3,14. 0,29 = ± 1,82mm
IV.2. Hàm có dạng Z = k
1
x
1
± k
2
x
2
± … ± k
n
x
n
+ c (2-14)
[
]
[
]
n

X
k
n
Z
2
2
2
Δ
=
Δ
780
1
25,0/196
1
196
25,01
====
L
m
T
'
'
;
"
"
ρρ
ββ
mm
26
Trong đó: k

i
(i = 1,2,3,…n) ; c - là hằng số.
x
i
(i = 1,2,3,4…n) - là đại lượng đo độc lập.
Trước hết ta chứng minh công thức tính sai số trung phương của hàm có
dạng:
Z = k
1
x
1
± k
2
x
2
+ c (2-15)
Các sai số của đại lượng x
1
, x
2
là Δx
1
, Δx
2
sẽ gây ra sai số của hàm nghĩa
là:
Z + ΔZ = k
1
(x
1

+ Δx
1
) + k
2
(x
2
+ Δx
2
) + c (2-16)
Từ (2-15) và (2-16) ta rút ra:
ΔZ = k
1
Δx
1
+ k
2
Δx
2
(2-17)
Bình phương hai vế của (2-17) ta có:
ΔZ
2
= k
2
1
Δ
2
x
1
+ k

2
2
Δ
2
x
2
+ 2k
1
Δx
1
.k
2
Δx
2
(2-18)
Nếu đại lượng x
1
,x
2
được đo n lần thì sẽ có n phương trình dạng (2-18)
Ta lấy tổng của phương trình đó rồi chia cho n sẽ được:

(2-19)

Theo tính chất 4 của SSNN thì thành phần thứ 3 của vế phải của phương
trình (2-19) sẽ tiến tới 0, các thành phần còn lại của phương trình này sẽ là sai số
trung phương của hàm các đại lượng đo x
1
, x
2

, nghĩa là:
m
2
Z
= k
2
1
m
2
x
1
+ k
2
2
m
2
x
2

hay
(2-20)
Công thức (2-20) của hàm 2 biến có thể mở rộng cho hàm n biến, SSTP hàm
(2-14) là:
(2-21)

Khi đo cùng độ chính xác thì SSTP của các biến số bằng nhau và khi
k
1
= k
2

=…= k
n
= 1 thì công thức (2-21) có dạng:
m
Z
= m n (2–22)
Ví dụ: Trong một đa giác có 12 góc, khi tiến hành đo góc cùng độ chính
xác ta mắc phải sai số mỗi góc là: m
1
= m
2
…= m
12
= mβ = ± 30
’’

Tính sai số trung phương khép góc của đa giác (f
β)
Theo lý thuyết thì :
[
]
n
XX
kk
n
X
k
n
X
k

n
Z
21
21
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
ΔΔ
+
Δ
+
Δ
=
Δ
2
2
2
2
1
2
1
2
xx

Z
mkmkm +=
xnnx
Z
mkmkm
22
1
2
1
2
++=
ltf
ββββ
β
12
1
1221
∑−+++=
00
12
1
1800)2(180 =−=∑ nlt
β
27
Vậy ta có:
m
f
β
= m
β

.
12
= ±30
’’
.
12
= ± 1
’
44
’’


2.4.3. Hàm có dạng tổng quát:
Z = f (x
1
, x
2
,…, x
n
) (2-23)
Trong đó: Z - là hàm số.
x
1
, x
2
,…, x
n
- là những đại lượng do độc lập.
Khi các biến số có sai số
Δx

1
, Δx
2
,…, Δx
n
thì hàm Z có sai số là:
Z +
ΔZ = f(x
1
+ Δx
1
, x
2
+ Δx
2
,…. x
n
+ Δx
n
) (2-24)
Các sai số thường rất nhỏ so với đại lượng đo, nên có thể triển khai theo
chuỗi Taylơ vế bên phải của (2-24) và chỉ giới hạn ở các số hạng bậc nhất ta có:
Z +
ΔZ = f(x
1
, x
2
,…. x
n
) +

n
n
n
X
X
X
X
X
f
X
X
f
Δ
∂
∂
++Δ
∂
∂
+Δ
∂
∂

2
2
1
1
(2-25)
Từ (2-23) và (2-25) rút ra:

ΔZ =

n
n
n
X
X
X
X
X
f
X
X
f
Δ
∂
∂
++Δ
∂
∂
+Δ
∂
∂

2
2
1
1
(2-26)
Các đạo hàm riêng là hằng số, ta ký hiệu là k
1
, k

2
,…,k
n
khi đó (2-26) viết
lại là:

ΔZ = k
1
Δx
1
+ k
2
Δx
2
+,…. k
n
Δx
n
(2-27)
Chuyển quan hệ sai số thực của (2-27) về quan hệ SSTP, sẽ được:



hay:
n
n
n
Z
X
X

X
X
X
f
X
X
f
m Δ
∂
∂
++Δ
∂
∂
+Δ
∂
∂
= ).( ).().(
2
2
1
1
(2-28)
Ví dụ: Thửa ruộng hình chữ nhật đo cạnh a được 50m, SSTP tương ứng:
m
a
= ± 2cm, đo cạnh b được 100m có SSTP tương ứng m
b
= ± 5cm. Tính SSTP
diện tích tửa ruộng ?
S = a.b

→=
∂
∂
=
∂
∂
→ a
b
S
b
a
S
; m
S
=
22
).().( mb
b
S
ma
a
S
∂
∂
+
∂
∂
= ±3,2 m
2

V. TRỌNG SỐ CỦA KẾT QUẢ ĐO
V.1. Khái niệm về trọng số
Để đánh giá độ chính xác kết quả đo không cùng độ chính xác người ta đưa
vào trong tính toán con số bổ trợ nói nên độ tin cậy của kết quả đo đạc, con số
đó là trọng số, ký hiệu là P. Độ chính xác của kết quả đo càng cao thì trị số của
trọng số càng lớn còn trị số của sai số trung phương càng nhỏ, sai số trung
xmk xmk xmk
n
2
n
2
2
2
2
2
1
2
1
2
+++=
Z
m
28
i
i
m
C
P
2
=

i
i
m
m
P
2
2
=
n
n
i
i
m
m
P
m
m
P
m
m
P
m
m
P
2
2
2
2
2
2

2
2
1
2
2
1
,, ,, ====
, ,
2
2
i
i
m
m
Pi =
,
2
2
2
2
m
m
P
i
=
n
i
n
m
m

P
2
2
=
,
1
2
2
1
m
m
P
i
=
1
2
2
==
i
i
i
m
m
P
i
i
m
P
2
2

μ
=
phương có thể âm hoặc dương nhưng trọng số luôn là một số dương và thường
không có đơn vị vật lý. Với ý nghĩa như vậy người ta đưa ra định nghĩa trọng số
như sau.
V.1.1. Định nghĩa

Trọng số là một số tỷ lệ nghịch với bình phương của sai số trung phương,
nghĩa là:
(2-29)

Trong đó: P
i
- là trọng số của trị đo.
m
i
- là sai số trung phương của trị đo đó.
C - là hệ số bất kỳ gọi là hệ số trọng số.
Hệ số trọng số C trong (2-29) có thể lấy bằng bình phương SSTP m của
một trị số đo nào đó, khi đó P sẽ là :

(2-30)


hoặc ta có thể viết: (2-31)

Từ đây ta có thể nhận xét: Có thể thay tử số m
2
bằng một trị số tuỳ ý thì tỷ
lệ giữa trọng số P

1
, P
2
,…,P
n
vẫn không đổi, vì:

Không phụ thuộc vào trị số m


V.1.2. Trọng số đơn vị
Để so sánh độ chính xác, thường thay m bằng SSTP của một trị nào đó, ví
dụ lấy m = m
i
thì công thức (2-30) có dạng:

Trọng số: (2-32)

Gọi là trọng số đơn vị, và m
i
là sai số trung phương có trọng số đơn vị , để
tổng quát thường ký hiệu sai số trung phương có trọng số đơn vị là
μ.
Vậy: (2-33)

trong đó:
μ = C (2-33’)
Tức là khi ta có hệ số trọng số C, ta có thể tính sai số trung phương đơn vị
2
1

2
2
2
1
m
m
P
P
=
29
trọng số từ hệ số trọng số C trong công thức ( 2-33’).
V.2. Tính trọng số trong một số trường hợp cụ thể

Trong thực tế công tác ngoại nghiệp, người ta đã chứng minh được công
thức tính trọng số đơn giản hơn:


Trong đó: C - là hằng số tự chọn.
K - đại lượng đặc trưng cho điều kiện đo như: Số lần đo của các
nhóm khi cùng đo một đại lượng (đo góc, đo chiều dài ).
V.2.1. Trọng số trong đo cao hình học
Việc tính trọng số trong đo cao hình h
ọc có thể tính theo 1 trong 2 công
thức sau:

hoặc

Trong đó: n - là số trạm máy trên một tuyến đo.
S - chiều dài của một tuyến đo.
V.2.2. Trọng số đo chiều dài bằng thước thép

Giả sử có một đoạn thẳng đo được chiều là S
i
, ta coi mỗi đơn vị chiều dài
được đo với độ chính xác như nhau và cũng có SSTP là
μ thì ta có SSTP đo
chiều dài mỗi đoạn là: m
i
= μ Si
Nếu chọn trong số của mỗi đơn vị dài làm đơn vị trọng số của chiều dài mỗi
đoạn:


Nếu chọn trọng số C đơn vị dài là đơn vị trọng số thì:


Vậy trong đo chiều dài trực tiếp bằng thước thép, trọng số của chiều dài
đoạn thẳng sẽ tỷ lệ nghịch với chiều dài của chính nó.
V.2.3. Xác định trọng số của góc định hướng của cạnh bất kỳ trong
đường chuyền
Có một đường chuyền như
hình vẽ:
α
o
là góc định hướng
cạnh đầu không có sai số.
βi (i = 1,2,3,…,n) là các
K
C
P =

( 2-34)
S
C
P =
n
C
P =
( 2-35)
i
i
i
S
S
P
1
)(
2
2
==
μ
μ
( 2-36)
i
S
C
P =
( 2-37)
( 2-35’)
β
n

α
n
β
2
β
1
A
B
1
n
α
0
Hình 2-2
30
góc đo cùng độ chính xác có sai số trung phương là m
β
”.
Góc định hướng cạnh thứ n tính theo công thức:

α
n
= α
0
+ β
1
+β
2
…+β
n
– n. 180

o

Theo hàm (1-14) thì :
m
αn
= m
β
n
Nếu chọn trọng số của góc
βi làm đơn vị thì trọng số góc định hướng canh n là:




Vậy trọng số của góc định hướng cạnh thứ n tỷ lệ nghịch với số góc tính
chuyền phương vị từ cạnh đã biết đến cạnh đó.


VI. BÌNH SAI TRỰC TIẾP KẾT QUẢ ĐO CỦA CÙNG MỘT ĐẠI LƯỢNG ĐO
CÙNG ĐỘ CHÍNH XÁC
Nội dung của công tác bình sai trong trắc địa là giải quyết những mâu
thuẫn phát sinh ra trong quá trình đo đạc để đảm bảo thoả mãn được những yêu
cầu về một điều kiện hình học nào đó.
Bình sai trực tiếp có nhiệm vụ tìm ra trị số gần đúng nhất cùng độ chính xác
của nó và số hiệu chỉnh cho các trị đo trong trường hợp một đại lượng được đo
nhiề
u lần.
VI.1. Số trung bình cộng và tính chất của nó
Trong trường hợp chưa biết được giá trị thực của một đại lượng nào đó người
ta tiến hành đo n lần chính xác đại lượng đó và lại được n giá trị là l

1
, l
2
…l
n
trong
trường hợp này lý thuyết sai số đo đạc đã chứng minh được trị số trung bình cộng
tính từ kết quả đo là số đáng tin cậy nhất ký hiệu là L và được tính theo công thức.

(2-39)

Ta có thể tính L theo cách thứ 2:
Nếu ta chọn một trị số lo gần đúng đối với các kết quả đo,
ε là chênh lệch
giữa các kết quả đo và Lo, ta có:

ε
i
= li – lo → li = lo + ε
i

Với n lần đo thì : [l] = n.l
0
+[ε]
Chia hai vế cho n được:

n
nm
m
P

n
1
)(
2
2
==
β
β
α
( 2-38)
n
l
L
][
n
l ll
n21
=
+
+
+
=
[
]
[
]
n
l
n
l

ε
+=
0
31
Suy ra:
(2-40)
Ví dụ: Một cạnh đo được 4 lần được kết quả đo là 120,35 m, 120,30m,
120,45m, 120,38m, Tính trị số trung bình cộng của các cạnh đó







Số trung bình cộng có tính chất là:
- Khi số lần đo tăng lên vô hạn, số trung bình cộng sẽ tiến dần đến số thực.
- Tổng đại số các số chênh lệch của mỗi lần đo ứng với số trung bình cộng
bằng 0.
VI.2. Sai số trung phương của trị số trung bình cộng
Từ công thức:
L =
n
l
n
l
n
l
n
1

11
n
l ll
21
n21
+++=
+
+
+

Nếu ta coi 1/n =k và áp dụng công thức tính sai số trung phương của hàm
(2-14) và ký hiệu là M là sai số trung phương của số trung bình cộng thì:

M =
n
m
n
m
n
m
n
22
2
22
1
22
.)
1
( )

1
(.)
1
( +++
( 2-41)
Nếu đo cùng độ chính xác thì m
1
= m
2
=…. = m
n
= m , ta có:
M =
n
m
(2-42)
VI.3. Sai số trung phương 1 lần đo và sai số trung phương của trị
trung bình cộng tính theo hiệu số hiệu chỉnh xác suất nhất
VI.3.1. Số hiệu chỉnh xác suất của đại lượng đo
Giả sử có một dãy các kết quả đo cùng độ chính xác là l
1
, l
2
, l
3
,…, l
n
của
một đại lượng đo. Trị số trung bình cộng của trị đo này là L, thì số hiệu chỉnh
xác suất nhất là V là hiệu số giữa trị trung bình cộng và các trị đo, ta có:

[
]
n
lL
ε
+=
0
m
n
l
L 37,120
4
48,481
4
38,12045,12030,12035,120][
==
+
+
+
==
mcmm
cmcmcm
m
n
lL 37,120730,120
4
08155
30,120
][
0

=+=
+
+
+
+=+=
ε
32

Vi = L – li (2-43)
Lý thuyết sai số đo đạc đã chứng minh được tính chất của số hiệu chỉnh xác
suất nhất là:
- Tổng số hiệu chỉnh xác suất nhất bằng 0, nghĩa là [V] = 0
- Tổng bình phương chênh lệch của số trung bình với mỗi lần đo riêng biệt
là một giá trị nhỏ nhất so với tổng bình phương độ chênh lệch của trị đo bất k
ỳ
với mỗi lần đo riêng biệt, nghĩa là [VV] = min
VI.3.2. Sai số trung phương 1 lần đo tính theo số hiệu chỉnh xác suất nhất

Trên cơ sở biết số trung bình cộng L, Bessen đã đề xuất công thức tính sai
số trung phương của một lần đo theo số hiệu chỉnh xác suất nhất là:

1
][
−
±=
n
VV
m
(2-44)
VI.3.3. Công thức tính sai số trung phương của trị trung bình cộng tính

theo số hiệu chỉnh xác suất nhất
Thay (2-44) vào (2-42) ta được công thức tính SSTP của trị trung bình
cộng theo số hiệu chỉnh xác suất nhất là:

)1(
][
−
±=
nn
VV
M
(2-45)
VI.3.4. Ví dụ
Góc
β đo được 6 lần, kết quả đo được ghi trong bảng 2-1.
Hãy tính trị số xác suất nhất của góc, sai số trung phương một lần đo và sai
số trung phương của trị xác suất nhất ?
Bảng 2-1:
TT

Kết quả đo
(độ, phút, giây)
V
(Giây)
VV
(Giây)
Tính L, m, M
1
2
3

4
5
6

[β]
147.45.18,5
147.45.20,7
147.45.21,4
147.45.18,1
147.45.20,5
147.45.22,3

886.32.01,5
+ 1,7
- 0,5
- 1,2
+ 2,1
- 0,3
- 2,1
- 0,3
2,89
0,25
1,44
4,41
0.09
4,41
13,49
L =
2,20.45.147
6

5,01.32.886
][
==
n
β

m =
)1(
][
−n
VV
=
16
49,13
−
= ±1
’’
,6
M =
n
m
=
=
6
1,6
± 0
’’
,6

33

VII. BÌNH SAI TRỰC TIẾP KẾT QUẢ ĐO KHÔNG CÙNG ĐỘ CHÍNH XÁC
CỦA CÙNG MỘT ĐẠI LƯỢNG
VII.1. Số trung bình cộng tổng quát
Giả sử có n nhóm đo cùng độ chính xác, số lần đo mỗi nhóm là
P
1
, P
2
…, P
n,
, tổng kết quả đo của mỗi nhóm là ∑
1
, ∑
2
,…, ∑
n
. Như vậy ta có trị số
trung bình cộng kết quả đo của mỗi nhóm là:
Khi đó các trị số l
1
, l
2,
… l
n
lại các trị đo không cùng độ chính xác vì chúng
nhận được từ số lần đo P
1
, P

2
…, P
n
khác nhau.
Trị số xác suất của đại lượng đo được tính theo công thức:
L
0
=
][
][




21
2211
21
21
p
lP
PPP
PLPlPl
PPP
n
nn
n
n
=
++
+

+
=
++
∑
+
∑
+
∑

Vậy: L
0
=
][
][
p
lP
(2-46)
L
0
- gọi là số trung bình cộng tổng quát.
Để tiện trong tính toán, sử dụng công thức:
L
0
= l
0
+
][
][
p
P

ε

Trong đó: l
0
- trị số gần đúng của kết quả đo.

ε - là số dư (được tính: ε
i
= l
i
– l
0
).
VII.2. Sai số trung phương của trị trung bình cộng tổng quát
Từ công thức (2-32) ta có: m =
P
μ

Trong sai số chứng minh được trọng số của trị trung bình cộng tổng quát P
0

bằng tổng trọng số của các kết quả đo tức là P
o
= [P]
Nên ta có thể sử dụng công thức này để 6ết công thức tính sai số trung
phương của số trung bình cộng tổng quát, ký hiệu là M
0


0

0
P
M
μ
= =
][P
μ
(2-47)
VII.3. Sai số trung phương đơn vị trọng số và sai số trung phương của
số trung phương của số trung bình cộng tổng quát theo số hiệu chỉnh xác
n
n
n
P
l
P
l
P
l
∑
=
∑
=
∑
= ; ;;
2
2
2
1
1

1
34
suất nhất

Trong sai số đã chứng minh được tính chất của số hiệu chỉnh xác suất nhất
trong đo không cùng độ chính xác và công thức tính sai số trung phương đơn vị
trọng số, công thức tính SSTP của trị trung bình cộng tổng quát theo số hiệu
chỉnh xác suất nhất như sau.

VII.3.1. Tính chất của số hiệu chỉnh xác suất nhất trong đo không cùng
độ chính xác

- Tổng số hiệu chỉnh xác suất nhất trong đo không cùng độ chính xác
bằng 0, nghĩa là: [PV] = 0
- Tổng tích số số bình phương của số hiệu chỉnh xác suất nhất trong đo
không cùng độ chính xác với trọng số tương ứng của nó nhỏ hơn tổng tích số số
bình phương của hiệu các trị số đo riêng, với số bất kỳ và trọng số tương ứng
c
ủa nó, nghĩa là:
[PVV] = min

VII.3.2. Sai số trung phương đơn vị trọng số theo số hiệu chỉnh xác suất
nhất

μ = ±
1
][
−n
PVV
(2-48)

VII.3.3. Sai số trung phương của trị trung bình cộng tổng quát theo số
hiệu chỉnh xác suất nhất
M
0
=
][P
μ
= ±
)1]([
][
−nP
PVV
(2-49)
VII.3.4. Ví dụ

Cho dãy kết quả đo không cùng độ chính xác như bảng 2-2
Hãy tính sai số trung bình cộng tổng quát và sai số trung phương của nó ?
Bảng 2-2:

TT

Giá trị góc đo
l (độ, phút,
giây)
SSTP
1 lần đo
(m
β
”)
Trọng số

p=c/m
2
β
c= 100
ε
i
= l
i
– l
0
P
i
ε
i
Vi PV
0
PVV
1
2
3
4
5
134.15.18
134.15.26
134.25.13
134.15.11
134.15.22
5

10

2
5
5
4
1
25
4
4
+ 8
’’

+16
+ 3
+ 1
+12
+ 32
’’

+ 16
+ 75
+ 4
+ 48
-3
’’
4
-11,4
+1,6
+3.6
-7,4
-13,6

-11,4
+40,0
+14,4
-29,6
46
130
64
52
219
l
0
134.15.10 38 +175 -0
’’
2 511

35
L
0
= l
0
+
][
][
p
P
ε
= 134
0
15
’

10
’’
+ 175
’’
/38 = 134
0
15
’
14
’’
,6

μ = ±
1
][
−n
PVV
=
15
511
−
= ± 11
’’
3
M
0
=
][P
μ
= 11

’’
3/ 38 = ± 1
’’
8

VIII. QUY TẮC LÀM TRÒN SỐ
VIII.1. Quy tắc chung
Số lẻ bỏ đi lớn hơn 0,5 đơn vị của số lẻ đứng trước nó cần giữ lại, thì số lẻ
giữ lại đó cộng thêm 1 đơn vị
Ví dụ:
π = 3,14165 nếu lấy đến 3 số lẻ sau dấu phẩy thì:
π = 3,142
Số lẻ bỏ đi nhỏ hơn 0,5 đơn vị của số lẻ đứng trước nó được giữ lại thì số lẻ
được giữ lại không thay đổi.
Ví dụ: Ví dụ:
π = 3,14165 nếu lấy đến 2 số lẻ sau dấu phẩy thì:
π = 3,14
Nếu số lẻ bỏ đi bằng 0,5 đơn vị của số lẻ đứng trước nó được giữ lại thì số
lẻ được giữ lại đó luôn là số chẵn.
Ví dụ: Ví dụ:
π = 3,14165 nếu lấy đến 4 số lẻ sau dấu phẩy thì:
π = 3,1416
Nếu số e = 9,735 thì e cần giữ lại đến số lẻ thứ hai sau dấu phẩy là:
e = 9,74
VIII.2. Làm tròn số trong phép cộng và phép trừ

Trong phép cộng và phép trừ lấy số nào có ít nhất số lẻ nhất sau dấu phẩy
làm cơ sở, còn các số khác lấy nhiều hơn số này một số lẻ sau dấu phẩy
Ví dụ: 192,74 + 82,3 + 47,586 thì các số cần lấy để cộng là:
192,74 + 82,3 + 47,59 = 322,53

VIII.3. Làm tròn số trong phép nhân và phép chia
Khi thực hiện phép nhân và phép chia ta lấy số nào có ít số lẻ sau dấu phẩy
nhất làm chuẩn, còn các số khác lấy nhiều hơn số đó một số l
ẻ, kể cả kết quả
phép tính.
Ví dụ: 97,425 x 1,2 thì ta có:
97,42 x 1,2 = 116,904
Kết quả lấy là: 116,90